Намерете проекцията на точката върху равнината, дадена от уравнението. Намиране на координатите на проекцията на точка върху равнина, примери

Прожекционен апарат

Проекционният апарат (фиг. 1) включва три проекционни равнини:

π 1 -хоризонтална проекционна равнина;

π 2 -равнина на фронтална проекция;

№ 3– профилна равнина на проекции .

Проекционните равнини са взаимно перпендикулярни ( π 1^ π 2^ № 3), а техните пресечни линии образуват оси:

Пресичане на равнини π 1и π 2образуват ос 0X (π 1∩ π 2 = 0X);

Пресичане на равнини π 1и № 3образуват ос 0Г (π 1∩ № 3 = 0Г);

Пресичане на равнини π 2и № 3образуват ос 0Z (π 2∩ № 3 = 0Z).

За референтна точка (точка 0) се приема пресечната точка на осите (ОХ∩OY∩OZ=0).

Тъй като равнините и осите са взаимно перпендикулярни, такова устройство е подобно Декартова системакоординати.

Проекционните равнини разделят цялото пространство на осем октанта (на фиг. 1 те са обозначени с римски цифри). Проекционните равнини се считат за непрозрачни и зрителят винаги е вътре азти октан.

Проекция, ортогонална с проекционни центрове S1, S2и S3съответно за хоризонталната, фронталната и профилната проекционна равнина.

НО.

От прожекционни центрове S1, S2и S3излизат стърчащи греди l 1, l 2и l 3 НО

- A 1 НО;

- А 2– фронтална проекция на точката НО;

- A 3– профилна проекция на точка НО.

Една точка в пространството се характеризира със своите координати А(x,y,z). точки A x, A yи азсъответно по осите 0X, 0Ги 0Zпокажи координати x, yи zточки НО. На фиг. 1 дава всички необходими обозначения и показва връзката между точката НОпространството, неговите проекции и координати.

точкова диаграма

Да начертая точка НО(фиг. 2), в проекционния апарат (фиг. 1) равнината π 1 A 1 0X π 2. След това самолетът № 3с точкова проекция A 3, завъртете обратно на часовниковата стрелка около оста 0Z, докато съвпадне с равнината π 2. Посока на въртене на равнините π 2и № 3показано на фиг. 1 стрели. В същото време директен A 1 A xи A 2 A x 0Xперпендикулярен A 1 A 2, и прави линии A 2 A xи A 3 A xще бъдат разположени общо с оста 0Zперпендикулярен A 2 A 3. Тези редове ще бъдат наричани вертикален и хоризонтална свързващи линии.

Трябва да се отбележи, че по време на прехода от проекционния апарат към диаграмата, проектираният обект изчезва, но цялата информация за неговата форма, геометрични размерии мястото на разположението му в пространството се запазват.

НО(x A, y A, z Ax A, y Aи z Aв следната последователност (фиг. 2). Тази последователност се нарича техника за начертаване на точки.

1. Осите са начертани ортогонално OX, OYи унция

2. По оста ОХ х Аточки НОи вземете позицията на точката A x.

3. Чрез точката A xперпендикулярно на оста ОХ

A xпо посока на оста ойчисловата стойност на координатата се отлага у аточки НО A 1на парцела.

A xпо посока на оста унциячисловата стойност на координатата се отлага z Aточки НО А 2на парцела.

6. Чрез точката А 2успоредна на оста ОХначертава се хоризонтална линия. Пресечната точка на тази права и оста унцияще даде позицията на точката A z.

7. На хоризонтална линия от точката A zпо посока на оста ойчисловата стойност на координатата се отлага у аточки НОи се определя позицията на профилната проекция на точката A 3на парцела.

Точкова характеристика

Всички точки на пространството се подразделят на точки на частно и общо положение.

Точки за частна позиция. Точките, принадлежащи към проекционния апарат, се наричат ​​точки с определено положение. Те включват точки, принадлежащи на проекционните равнини, оси, начало и проекционни центрове. Характерните особености на точките на частно положение са:

Метаматематически - една, две или всички числени стойности на координатите са равни на нула и (или) безкрайност;

На диаграмата - две или всички проекции на точка са разположени върху осите и (или) са разположени в безкрайност.

точки обща позиция. Точките в общо положение включват точки, които не принадлежат към проекционния апарат. Например точка НОна фиг. 1 и 2.

AT общ случайчислените стойности на координатите на точка характеризират нейното разстояние от проекционната равнина: координатата хот самолета № 3; координирам гот самолета π 2; координирам zот самолета π 1. Трябва да се отбележи, че знаците при числените стойности на координатите показват посоката на отстраняване на точката от проекционните равнини. В зависимост от комбинацията от знаци за числените стойности на координатите на точката, зависи в кой от октаните се намира.

Метод с две изображения

В практиката, освен метода на пълната проекция, се използва методът на две изображения. Различава се по това, че при този метод се изключва третата проекция на обекта. За да се получи проекционен апарат за метода на две изображения, профилната проекционна равнина с неговия проекционен център се изключва от пълния проекционен апарат (фиг. 3). Освен това по ос 0Xпроизходът е зададен (точка 0 ) и от него перпендикулярно на оста 0Xв проекционни равнини π 1и π 2разходна ос 0Ги 0Zсъответно.

В този апарат цялото пространство е разделено на четири квадранта. На фиг. 3 са отбелязани с римски цифри.

Проекционните равнини се считат за непрозрачни и зрителят винаги е вътре азти квадрант.

Помислете за работата на устройството, като използвате примера за проектиране на точка НО.

От прожекционни центрове S1и S2излизат стърчащи греди l 1и l 2. Тези лъчи преминават през точката НОи пресичащи се с проекционните равнини образуват неговите проекции:

- A 1- хоризонтална проекция на точка НО;

- А 2– фронтална проекция на точката НО.

Да начертая точка НО(фиг. 4), в проекционния апарат (фиг. 3) равнината π 1с получената точкова проекция A 1завъртете по посока на часовниковата стрелка около ос 0X, докато съвпадне с равнината π 2. Посока на въртене на равнината π 1показано на фиг. 3 стрели. В същото време на диаграмата на точката, получена по метода на две изображения, остава само една точка. вертикаленкомуникационна линия A 1 A 2.

На практика начертаване на точка НО(x A, y A, z A) се извършва според числените стойности на неговите координати x A, y Aи z Aв следната последователност (фиг. 4).

1. Начертана е ос ОХи произходът е зададен (точка 0 ).

2. По оста ОХчисловата стойност на координатата се отлага х Аточки НОи вземете позицията на точката A x.

3. Чрез точката A xперпендикулярно на оста ОХначертава се вертикална линия.

4. На вертикалната линия от точката A xпо посока на оста ойчисловата стойност на координатата се отлага у аточки НОи се определя положението на хоризонталната проекция на точката A 1 ойне е нарисувано, но се предполага, че е положителни стойностиразположен под оста ОХ, докато отрицателните са по-високи.

5. На вертикалната линия от точката A xпо посока на оста унциячисловата стойност на координатата се отлага z Aточки НОи се определя положението на фронталната проекция на точката А 2на парцела. Трябва да се отбележи, че на диаграмата ос унцияне е начертано, но се приема, че положителните му стойности са разположени над оста ОХ, докато отрицателните са по-ниски.

Конкурентни точки

Точките на един и същ проектиращ лъч се наричат ​​конкурентни точки. Те имат обща проекция по посока на проектиращия лъч, т.е. техните проекции съвпадат идентично. характерна особеностконкуриращи се точки на диаграмата е идентичното съвпадение на техните проекции със същото име. Конкуренцията е във видимостта на тези проекции спрямо наблюдателя. С други думи, в пространството за наблюдателя една от точките е видима, другата не. И съответно на чертежа: една от проекциите на конкуриращите се точки е видима, а проекцията на другата точка е невидима.

На модел на пространствена проекция (фиг. 5) от две конкуриращи се точки НОи ATвидима точка НОна две взаимно допълващи се основания. Според веригата S 1 → A → Bточка НОпо-близо до наблюдателя, отколкото точка AT. И съответно по-далеч от равнината на проекцията π 1(тези. z A > z A).

Ориз. 5 Фиг.6

Ако се вижда самата точка А, то неговата проекция също се вижда A 1. По отношение на съвпадащата с него проекция B1. За по-голяма яснота и, ако е необходимо, на диаграмата, невидимите проекции на точки обикновено се поставят в скоби.

Премахнете точките от модела НОи AT. Техните съвпадащи проекции върху равнината ще останат π 1и отделни проекции - на π 2. Условно оставяме фронталната проекция на наблюдателя (⇩), разположена в центъра на проекцията S1. След това по веригата от изображения ⇩ → A2 → B2това ще може да се прецени z A > з би че самата точка се вижда НОи неговата проекция A 1.

По същия начин разгледайте конкуриращите се точки ОТи дочевидно спрямо равнината π 2 . Тъй като общият прожектиращ лъч на тези точки l 2успоредна на оста 0Г, след това знакът за видимост на конкурентните точки ОТи дсе определя от неравенството yC > yD. Следователно точката дзатворен с точка ОТи съответно проекцията на точката D2ще бъдат обхванати от проекцията на точката От 2на повърхността π 2.

Нека да разгледаме как се определя видимостта на конкуриращи се точки в сложен чертеж (фиг. 6).

Според съвпадащите прогнози A 1≡В 1самите точки НОи ATса върху една и съща стърчаща греда, успоредна на оста 0Z. Така че координатите трябва да се сравняват z Aи з бтези точки. За целта използваме равнината на предната проекция с отделни точкови изображения. AT този случай z A > з б. От това следва, че проекцията е видима A 1.

точки ° Си дв разглеждания комплексен чертеж (фиг. 6) също са на същата изпъкнала греда, но само успоредно на оста 0Г. Следователно, от сравнение yC > yDзаключаваме, че проекцията C 2 е видима.

Общо правило . Видимостта за съвпадащи проекции на конкуриращи се точки се определя чрез сравняване на координатите на тези точки в посоката на общ проектиращ лъч. Вижда се проекцията на точката, за която тази координата е по-голяма. В този случай сравнението на координатите се извършва в равнината на проекциите с отделни изображения на точки.

Изучаването на свойствата на фигурите в пространството и на равнината е невъзможно без познаване на разстоянията между точка и такива геометрични обекти като права линия и равнина. В тази статия ще покажем как да намерим тези разстояния, като разгледаме проекцията на точка върху равнина и върху права.

Уравнение на права линия за двумерни и тримерни пространства

Изчисляването на разстоянията на точка до права линия и равнина се извършва с помощта на нейната проекция върху тези обекти. За да можете да намерите тези проекции, трябва да знаете в каква форма са дадени уравненията за прави и равнини. Да започнем с първото.

Правата линия е колекция от точки, всяка от които може да бъде получена от предишната чрез прехвърляне към вектори, успоредни един на друг. Например, има точка M и N. Векторът MN¯, който ги свързва, преобразува M в N. Има и трета точка P. Ако векторът MP¯ или NP¯ е успореден на MN¯, тогава и трите точки лежат на същата линия и я оформете.

В зависимост от размера на пространството, уравнението, което определя правата линия, може да промени формата си. Да, всеки знае линейна зависимост y-координати от x в пространството описват равнина, която е успоредна на третата z-ос. В тази връзка в тази статия ще разгледаме само векторното уравнение за права линия. То има същият погледза самолет и триизмерни пространстваа.

В пространството може да се определи права линия следния израз:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α*(a; b; c)

Тук стойностите на координатите с нулеви индекси съответстват на някаква точка, принадлежаща на правата, u¯(a; b; c) са координатите на вектора на посоката, който лежи на дадената права, α е произволен реално число, променяйки което можете да получите всички точки на линията. Това уравнение се нарича вектор.

Често горното уравнение се записва в разширена форма:

По същия начин можете да напишете уравнение за права линия, която е в равнина, тоест в двумерно пространство:

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α*(a; b);

Уравнение на равнината

За да можете да намерите разстоянието от точка до проекционни равнини, трябва да знаете как се определя равнината. Точно като права линия, тя може да бъде представена по няколко начина. Тук разглеждаме само едно: общото уравнение.

Да предположим, че точката M(x 0 ; y 0 ; z 0) принадлежи на равнината и векторът n¯(A; B; C) е перпендикулярен на нея, тогава за всички точки (x; y; z) от равнина ще бъде валидно равенството:

A*x + B*y + C*z + D = 0, където D = -1*(A*x 0 + B*y 0 + C*z 0)

Трябва да се помни, че в това общо уравнение на равнината коефициентите A, B и C са координатите на вектора, нормален към равнината.

Изчисляване на разстояния по координати

Преди да преминете към разглеждане на проекциите върху равнината на точка и върху права линия, трябва да си припомним как трябва да се изчисли разстоянието между две известни точки.

Нека има две пространствени точки:

A 1 (x 1; y 1; z 1) и A 2 (x 2; y 2 ​​​​; z 2)

Тогава разстоянието между тях се изчислява по формулата:

A 1 A 2 \u003d √ ((x 2 -x 1) 2 + (y 2 -y 1) 2 + (z 2 -z 1) 2)

С помощта на този израз се определя и дължината на вектора A 1 A 2 ¯.

За случая на равнината, когато две точки са дадени само от двойка координати, можем да напишем подобно равенство без наличието на член с z в него:

A 1 A 2 \u003d √ ((x 2 -x 1) 2 + (y 2 -y 1) 2)

Сега разглеждаме различни случаи на проекция върху равнина на точка върху права линия и върху равнина в пространството.

Точка, права и разстояние между тях

Да предположим, че има някаква точка и линия:

P 2 (x 1; y 1);

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α*(a; b)

Разстоянието между тези геометрични обекти ще съответства на дължината на вектора, чието начало е в точката P 2, а краят е разположен в точка P на определената линия, за която векторът P 2 P ¯ е перпендикулярен към тази линия. Точката P се нарича проекция на точката P 2 върху разглежданата линия.

Фигурата по-долу показва точката P 2 , нейното разстояние d до правата линия, както и водещия вектор v 1 ¯. Също така на линията е избран произволна точка P 1 и от него до P 2 е начертан вектор. Точка P тук съвпада с мястото, където перпендикулярът пресича правата.

Вижда се, че оранжевата и червената стрелка образуват успоредник, чиито страни са векторите P 1 P 2 ¯ и v 1 ¯, а височината е d. От геометрията е известно, че за да се намери височината на успоредник, неговата площ трябва да се раздели на дължината на основата, върху която е спуснат перпендикулярът. Тъй като площта на успоредник се изчислява като векторно произведение на неговите страни, получаваме формулата за изчисляване на d:

d = ||/|v 1 ¯|

Всички вектори и координати на точки в този израз са известни, така че можете да го използвате, без да извършвате никакви трансформации.

Този проблем можеше да бъде решен по различен начин. За целта трябва да се напишат две уравнения:

• скаларното произведение на P 2 P ¯ и v 1 ¯ трябва да бъде равно на нула, тъй като тези вектори са взаимно перпендикулярни;
• координатите на точка P трябва да отговарят на уравнението на права линия.

Тези уравнения са достатъчни, за да намерите координатите P и след това дължината d, като използвате формулата, дадена в предишния параграф.

Намиране на разстоянието между права и точка

Нека ви покажем как да използвате данните теоретична информацияза решаване на конкретен проблем. Да предположим, че са известни следната точка и линия:

(x; y) = (3; 1) - α*(0; 2)

Необходимо е да се намерят проекционните точки на правата върху равнината, както и разстоянието от М до правата.

Проекцията, която трябва да се намери, означаваме с точката M 1 (x 1 ; y 1). Решаваме този проблем по два начина, описани в предишния параграф.

Метод 1. Насочващият вектор v 1 ¯ координати има (0; 2). За да построим успоредник, избираме точка, принадлежаща на правата. Например точка с координати (3; 1). Тогава векторът на втората страна на успоредника ще има координати:

(5; -3) - (3; 1) = (2; -4)

Сега трябва да изчислите произведението на векторите, които определят страните на успоредника:

Заместваме тази стойност във формулата, получаваме разстоянието d от М до правата линия:

Метод 2. Сега нека намерим по друг начин не само разстоянието, но и координатите на проекцията на M върху правата, както се изисква от условието на проблема. Както бе споменато по-горе, за да се реши задачата, е необходимо да се състави система от уравнения. Тя ще приеме формата:

(x 1 -5)*0+(y 1 +3)*2 = 0;

(x 1; y 1) = (3; 1)-α*(0; 2)

Нека решим тази система:

Проекцията на първоначалната точка на координатата има M 1 (3; -3). Тогава желаното разстояние е:

d = |MM 1 ¯| = √(4+0) = 2

Както можете да видите, и двата метода на решаване дадоха един и същ резултат, което показва правилността на извършеното математически операции.

Проекция на точка върху равнина

Сега помислете каква е проекцията на дадена точка в пространството върху определена равнина. Лесно е да се досетите, че тази проекция също е точка, която заедно с първоначалната образува вектор, перпендикулярен на равнината.

Да предположим, че проекцията върху равнината на точка M има следните координати:

Самата равнина се описва с уравнението:

A*x + B*y + C*z + D = 0

Въз основа на тези данни можем да формулираме уравнението на права линия, пресичаща равнината под прав ъгъл и минаваща през M и M 1:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α*(A; B; C)

Тук променливите с нулеви индекси са координатите на точка M. Позицията в равнината на точката M 1 може да се изчисли въз основа на факта, че нейните координати трябва да удовлетворяват и двете написани уравнения. Ако тези уравнения не са достатъчни при решаването на задачата, тогава може да се използва условието за паралелност на MM 1 ¯ и водещия вектор за дадена равнина.

Очевидно проекцията на точка, принадлежаща на равнината, съвпада със самата нея и съответното разстояние е нула.

Проблем с точка и равнина

Нека са дадени точка M(1; -1; 3) и равнина, която се описва със следното общо уравнение:

Трябва да изчислите координатите на проекцията върху равнината на точката и да изчислите разстоянието между тези геометрични обекти.

Като начало съставяме уравнението на права линия, минаваща през M и перпендикулярна на определената равнина. Изглежда като:

(x; y; z) = (1; -1; 3) + α*(-1; 3; -2)

Нека означим точката, в която тази права пресича равнината, M 1 . Равенствата за равнина и права трябва да са изпълнени, ако в тях се заменят координатите M 1 . Записвайки изрично уравнението на права линия, получаваме следните четири равенства:

X 1 + 3*y 1 -2*z 1 + 4 = 0;

y 1 \u003d -1 + 3 * α;

От последното равенство получаваме параметъра α, след което го заместваме в предпоследното и във втория израз, получаваме:

y 1 \u003d -1 + 3 * (3-z 1) / 2 \u003d -3 / 2 * z 1 + 3,5;

x 1 \u003d 1 - (3-z 1) / 2 \u003d 1/2 * z 1 - 1/2

Заменяме израза за y 1 и x 1 в уравнението за равнината, имаме:

1*(1/2*z 1 - 1/2) + 3*(-3/2*z 1 + 3,5) -2*z 1 + 4 = 0

Къде получаваме:

y 1 \u003d -3 / 2 * 15/7 + 3,5 \u003d 2/7;

x 1 = 1/2*15/7 - 1/2 = 4/7

Установихме, че проекцията на точка M върху дадена равнинасъответства на координати (4/7; 2/7; 15/7).

Сега нека изчислим разстоянието |MM 1 ¯|. Координатите на съответния вектор са:

MM 1 ¯(-3/7; 9/7; -6/7)

Необходимото разстояние е:

d = |MM 1 ¯| = √126/7 ≈ 1,6

Три проекционни точки

По време на изготвянето на чертежи често е необходимо да се получат проекции на сечения върху взаимно перпендикулярни три равнини. Следователно е полезно да разгледаме какви са проекциите на някаква точка M с координати (x 0 ; y 0 ; z 0) върху три координатни равнини.

Не е трудно да се покаже, че равнината xy е описана от уравнението z = 0, равнината xz съответства на израза y = 0, а останалата равнина yz е означена с x = 0. Лесно е да се досетите, че проекциите на точка на 3 равнини ще бъдат равни:

за x = 0: (0; y 0 ; z 0);

за y = 0: (x 0 ; 0 ; z 0);

за z = 0: (x 0 ; y 0 ; 0)

Къде е важно да знаем проекциите на точка и разстоянията й до равнини?

Определянето на позицията на проекцията на точки върху дадена равнина е важно при намирането на такива величини като площ и обем за наклонени призмии пирамиди. Например разстоянието от върха на пирамидата до равнината на основата е височината. Последното е включено във формулата за обема на тази фигура.

Разгледаните формули и методи за определяне на проекции и разстояния от точка до права линия и равнина са доста прости. Важно е само да запомните съответни формиуравнения на равнина и права, а също имат добър пространствено въображениеза да ги приложите успешно.

Проекцията на точка върху равнина е частен случай обща задачанамиране на проекцията на точка върху повърхност. Поради простотата на изчисляване на проекцията на точка върху равнина, допирателна към повърхността, тя се използва като нулево приближение при решаването на общия проблем.

Разгледайте проблема за проектиране на точка върху равнина, дадена от радиус вектора

Ще приемем, че векторите не са колинеарни. Да приемем, че в общия случай векторите не са ортогонални и имат неединична дължина. Равнината минава през точката, където параметрите са равни на нула, а векторите определят параметричните посоки. Дадената точка има единствена проекция върху равнината (4.6.1). Нека построим единица, нормална към равнината

Ориз. 4.6.1. Проекция на точка върху равнината s(u, v)

Нека изчислим радиус вектора на проекцията на точката върху равнината като разликата между радиус вектора на проектираната точка и компонента на вектора, успореден на нормалата към равнината,

(4.6.4)

На фиг. 4.6.1 показва векторите на равнината, нейната начална точка и проекция дадена точка.

Параметрите и дължините на проекциите са свързани с уравненията

където косинусът на ъгъла между векторите се определя по формулата (1.7.13).

От системата от тези уравнения намираме параметрите на проекцията на точка върху равнина

(4.6.6)

където са коефициентите на първата основна квадратна формаравнините (1.7.8), които също са ковариантни компоненти на тензора на метричната повърхност, са контравариантни компоненти на тензора на метричната повърхност. Ако векторите са ортогонални, тогава формулите (4.6.6) и (4.6.7) приемат формата

Разстоянието от точка до нейната проекция върху равнина обикновено се изчислява като дължина на вектор. Разстоянието от точка до нейната проекция върху равнина може да се определи без да се изчислява проекцията на точката, а чрез изчисляване на проекцията на вектора върху нормалата към равнината

(4.6.8)

Особени случаи.

Проекциите на точка върху някои аналитични повърхности могат да бъдат намерени без участие числени методи. Например, за да намерите проекцията на точка върху повърхността на кръгъл цилиндър, конус, сфера или тор, трябва да преведете проектираната точка в локална системаповърхностни координати, където е лесно да се намерят проекционни параметри. По подобен начин могат да бъдат намерени проекции върху екструзионни и ротационни повърхности. В някои конкретни случаи позициите на проектираната точка от нейната проекция могат лесно да бъдат намерени и върху други повърхности.

Общ случай.

Разгледайте проблема за проектиране на точка върху повърхност в общия случай. Нека се изисква да се намерят всички проекции на точка върху повърхност. всеки желана точкаповърхността удовлетворява системата от две уравнения

Системата от уравнения (4.6.9) съдържа две неизвестни величини - параметрите u и v. Тази задача се решава по същия начин като задачата за намиране на проекциите на дадена точка върху крива.

На първия етап определяме нулевите приближения на параметрите на повърхността за проекциите на точката, а на втория етап намираме точните стойности на параметрите, които определят проекциите на дадена точка върху повърхността

Нека преминем по повърхността със стъпки, изчислени по формули (4.2.4) и (4.2.5), описани по-горе чрез начина на движение по параметричната област. Нека означим параметрите на точките, през които ще преминем през . Във всяка точка ще изчислим скаларните произведения на векторите

(4.6.10)

Ако желаното решение се намира близо до точка с параметри , тогава ще имаме различни знаци, както и и ще имат различни знаци. Смяна на табели скаларни произведенияпоказва, че желаното решение е наблизо. За нулево приближение на параметрите ние вземаме стойностите Започвайки от нулевото приближение на параметрите, един от методите за решаване нелинейни уравнениянамиране на решение на задачата със зададена точност. Например, в метода на Нютон, при итерации, увеличенията на проекционните параметри могат да бъдат намерени от системата от линейни уравнения

където са частните производни на радиус вектора по отношение на параметрите. следващо приближениепараметрите на точковата проекция са равни на . Процесът на прецизиране на параметрите ще бъде завършен, когато неравенствата са изпълнени на следващата итерация, където е посочената грешка. По същия начин намираме всички други корени на системата от уравнения (4.6.9).

Ако трябва да намерите само най-близката проекция на дадена точка върху повърхността, тогава можете да преминете през същите точки на геометричен обект и да изберете тази, която е най-близо до дадената точка. Параметрите на най-близката точка и трябва да бъдат избрани като нулево приближение на решението на проблема.

Проекция на точка върху повърхност в дадена посока.

В някои случаи възниква проблемът да се определи проекцията на точка върху повърхност не по нормалата към нея, а по дадено направление. Нека посоката на проекцията е дадена от вектор с единична дължина q. Нека изградим права линия

(4.6.12)

преминаващ през дадена точка и имащ посока даден вектор. Проекции на точка върху повърхност в дадено направлениеопределяме като точките на пресичане на повърхността с правата (4.6.12), минаваща през дадена точка в дадената посока.

ПРОЕКЦИЯ НА ТОЧКА ВЪРХУ ДВЕ РАВНИНИ НА ПРОЕКЦИИ

Образуването на прав сегмент AA 1 може да бъде представено в резултат на преместване на точка А във всяка равнина H (фиг. 84, а), а образуването на равнина може да бъде представено като изместване на прав сегмент AB ( Фиг. 84, b).

Точка - основна геометричен елементлинии и повърхности, така че изучаването на правоъгълната проекция на обект започва с изграждането на правоъгълни проекции на точка.

В космоса двустенен ъгъл, образувана от две перпендикулярни равнини - фронталната (вертикална) равнина на проекциите V и хоризонталната равнина на проекциите H, поставяме точка А (фиг. 85, а).

Линията на пресичане на проекционните равнини е права линия, която се нарича проекционна ос и се обозначава с буквата x.

V-равнината е показана тук като правоъгълник, а H-равнината като успоредник. Наклонената страна на този успоредник обикновено се чертае под ъгъл от 45° спрямо хоризонталната му страна. Дължината на наклонената страна се приема равна на 0,5 от нейната действителна дължина.

От точка А се спускат перпендикуляри върху равнините V и H. Точките a "и a на пресечната точка на перпендикулярите с проекционните равнини V и H са правоъгълни проекцииточки A. Фигурата Aaa x a "в пространството е правоъгълник. Страната aa на този правоъгълник във визуалното изображение е намалена 2 пъти.

Нека подравним равнината H с равнината V, като завъртим V около линията на пресичане на равнините x. Резултатът е сложен чертеж на точка А (фиг. 85, b)

За да се опрости сложният чертеж, границите на проекционните равнини V и H не са посочени (фиг. 85, c).

Перпендикулярите, прекарани от точка А към проекционните равнини, се наричат ​​проектиращи прави, а основите на тези проектиращи прави - точки а и а "се наричат ​​проекции на точка А: а" е фронталната проекция на точка А, а е хоризонталната проекция на точка А.

Линия a "a се нарича вертикална линия на проекционната връзка.

Местоположението на проекцията на точка върху сложен чертеж зависи от позицията на тази точка в пространството.

Ако точка А лежи върху хоризонталната проекционна равнина H (фиг. 86, а), тогава нейната хоризонтална проекция a съвпада с дадената точка, а фронталната проекция a "е разположена на оста. Когато точка B е разположена на фронталната проекция равнина V, неговата фронтална проекция съвпада с тази точка, а хоризонталната проекция лежи на оста x. Хоризонталната и предна проекциядадена точка C, лежаща на оста x, съвпада с тази точка. Комплексен чертеж на точки A, B и C е показан на фиг. 86б.

ПРОЕКЦИЯ НА ТОЧКА ВЪРХУ ТРИ РАВНИНИ НА ПРОЕКЦИИ

В случаите, когато е невъзможно да си представим формата на даден обект от две проекции, той се проектира върху три проекционни равнини. В този случай се въвежда профилната равнина на проекциите W, перпендикулярни на равнини V и H. Визуално представяне на система от три проекционни равнини е дадено на фиг. 87 а.

Ръбовете на тристенния ъгъл (пресечната точка на проекционните равнини) се наричат ​​проекционни оси и се означават с x, y и z. Пресечната точка на проекционните оси се нарича начало на проекционните оси и се обозначава с буквата O. Нека пуснем перпендикуляра от точка A към проекционната равнина W и, отбелязвайки основата на перпендикуляра с буквата a, ние получавам профилна проекцияточки А.

За да се получи сложен чертеж, точките A от равнините H и W се изравняват с равнината V, като се въртят около осите Ox и Oz. Комплексен чертеж на точка А е показан на фиг. 87б и в.

Отсечките на проектиращите прави от точка А към проекционните равнини се наричат ​​координати на точка А и се означават: x A, y A и z A.

Например, координатата z A на точка A, равна на сегмента a "a x (фиг. 88, a и b), е разстоянието от точка A до хоризонталната проекционна равнина H. Координатата в точка A, равна на сегмент aa x, е разстоянието от точка A до фронталната равнина на проекциите V. Координатата x A, равна на сегмента aa y, е разстоянието от точка A до профилната равнина на проекциите W.

По този начин разстоянието между проекцията на точка и проекционната ос определя координатите на точката и е ключът към разчитането на нейния комплексен чертеж. Чрез две проекции на точка могат да се определят и трите координати на точка.

Ако са дадени координатите на точка А (например x A = 20 mm, y A = 22 mm и z A = 25 mm), тогава могат да бъдат построени три проекции на тази точка.

За да направите това, от началото на координатите O в посоката на оста Oz, координатата z A се поставя нагоре и координатата y A се поставя надолу. сегменти, равни на координатата x A. Получените точки a "и a - челен и хоризонтална проекцияточки А.

Съгласно две проекции a "и точка A, неговата профилна проекция може да бъде конструирана по три начина:

1) от началото O се изчертава спомагателна дъга с радиус Oa y, равен на координатата (фиг. 87, b и c), от получената точка a y1 начертайте права линия, успоредна на оста Oz, и положете a сегмент, равен на z A;

2) от точката a y се изчертава спомагателна права линия под ъгъл 45 ° спрямо оста Oy (фиг. 88, а), получава се точка a y1 и т.н.;

3) от началото O, начертайте спомагателна права линия под ъгъл от 45 ° спрямо оста Oy (фиг. 88, b), вземете точка a y1 и т.н.