Намерете ъгъла между градиентите на функциите. Векторен анализ скаларно поле на повърхността и линията на нивото на посоката производна производна на скаларното поле градиент основни свойства на градиента инвариантна дефиниция на градиент правила за изчисляване на градиента

1 0 Градиентът е насочен по нормалата към повърхността на нивото (или към линията на нивото, ако полето е плоско).

2 0 Градиентът е насочен в посока на нарастване на полевата функция.

3 0 Модулът на градиента е равен на най-голямата производна по посока в дадена точка от полето:

Тези свойства дават инвариантна характеристика на градиента. Казват, че векторът gradU показва посоката и големината на най-голямата промяна в скаларното поле в дадена точка.

Забележка 2.1.Ако функцията U(x,y) е функция на две променливи, тогава векторът

(2.3)

лежи в окси равнината.

Нека U=U(x,y,z) и V=V(x,y,z) функции, диференцируеми в точка М 0 (x,y,z). Тогава важат следните равенства:

а) grad()= ; б) град(УВ)=ВградУ+УградВ;

в) grad(U V)=gradU gradV; г) г) град = , V ;

д) gradU( = gradU, където , U=U() има производна по отношение на .

Пример 2.1.Дадена е функцията U=x 2 +y 2 +z 2. Определете градиента на функцията в точка M(-2;3;4).

Решение.Съгласно формула (2.2) имаме

.

Повърхнините на нивото на това скаларно поле са семейството от сфери x 2 +y 2 +z 2 , векторът gradU=(-4;6;8) е нормален векторсамолети.

Пример 2.2.Намерете градиента на скаларното поле U=x-2y+3z.

Решение.Съгласно формула (2.2) имаме

Повърхнините на нивото на дадено скаларно поле са равнините

x-2y+3z=C; векторът gradU=(1;-2;3) е нормалният вектор на равнините от това семейство.

Пример 2.3.Намерете най-стръмния наклон на повърхността U=x y в точката M(2;2;4).

Решение.Ние имаме:

Пример 2.4.намирам единичен векторнормала към повърхността на нивото на скаларното поле U=x 2 +y 2 +z 2 .

Решение.Нивелирани повърхности на дадена скаларна полева сфера x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).

Градиентът е насочен по нормалата към равната повърхност, така че

Определя вектора на нормалата към повърхността на нивото в точката M(x,y,z). За единичен нормален вектор получаваме израза

, където

.

Пример 2.5.Намерете градиента на полето U= , където и са постоянни вектори, r е радиус векторът на точката.

Решение.Позволявам

Тогава:
. По правилото за диференциране на детерминантата получаваме

Следователно,

Пример 2.6.Намерете градиента на разстоянието, където P(x,y,z) е точката на изследваното поле, P 0 (x 0,y 0,z 0) е някаква фиксирана точка.

Решение.Имаме единичен вектор на посоката.

Пример 2.7.Намерете ъгъла между градиентите на функциите в точката M 0 (1,1).

Решение.Намираме градиентите на тези функции в точката M 0 (1,1), имаме

; Ъгълът между gradU и gradV в точката M 0 се определя от равенството

Следователно =0.

Пример 2.8.Намерете производната по отношение на посоката, на която е равен радиус векторът

(2.4)

Решение.Намиране на градиента на тази функция:

Замествайки (2.5) в (2.4), получаваме

Пример 2.9.Намерете в точката M 0 (1;1;1) посоката на най-голямото изменение в скаларното поле U=xy+yz+xz и величината на това най-голямо изменение в тази точка.

Решение.Посоката на най-голямото изменение на полето се обозначава с вектора grad U(M). Намираме го:

И следователно, . Този вектор определя посоката на най-голямо увеличение дадено полев точката M 0 (1;1;1). Стойността на най-голямата промяна в полето в тази точка е равна на

.

Пример 3.1.Намерете векторни линии на векторно поле където е постоянен вектор.

Решение.Имаме така

(3.3)

Умножете числителя и знаменателя на първата дроб по x, на втората по y, на третата по z и ги добавете член по член. Използвайки свойството пропорция, получаваме

Следователно xdx+ydy+zdz=0, което означава

x 2 +y 2 +z 2 =A 1 , A 1 -const>0. Сега като умножим числителя и знаменателя на първата дроб (3.3) по c 1, втората по c 2, третата по c 3 и сумираме член по член, получаваме

От където c 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

И следователно с 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . 2-конст.

Необходими уравнения на векторни прави

Тези уравнения показват, че векторните линии се получават в резултат на пресичането на сфери с общ център в началото с равнини, перпендикулярен на вектора . От това следва, че векторните прави са окръжности, чиито центрове са на права линия, минаваща през началото по посока на вектора c. Равнините на окръжностите са перпендикулярни на посочената права.

Пример 3.2.Намерете линия на векторно поле минаваща през точката (1,0,0).

Решение. Диференциални уравнениявекторни линии

следователно имаме . Решаване на първото уравнение. Или ако въведем параметъра t, тогава ще имаме В този случай уравнението приема формата или dz=bdt, откъдето z=bt+c 2 .

Задача 2. Намерете косинуса на ъгъла a между градиентите на полето в точки A(1, 2, 2) и B(-3, 1, 0). Решение.

Задача 3. За функция намерете производната по вътрешната нормала към цилиндрична повърхност x 2 + z 2 = a 2 + c 2 в точката M 0(a, b, c). Решение. Нека f(x, y, z) = x 2 + z 2. Повърхнината, дадена в условието, е повърхността на нивото за f, минаваща през точката M 0. Имаме Функцията f в точката M 0 расте най-бързо в посока grad f, следователно, в посоката, нормална към дадената повърхност.

Въз основа на формата на функцията f заключаваме, че това е посоката на външната нормала. Следователно единичният вектор на вътрешната нормала в точката M 0 ще бъде равен на

Задача 5. Изчислете потока на векторното поле a = (z 2 - x, 1, y 5) през вътрешна повърхност S: y 2 = 2 x отсечени от равнини: x = 2, z = 0, z = 3. Решение.

Решение. Метод I Контур L - кръг с радиус R, лежащ в равнината z = 3. Нека изберем ориентацията, както е показано на фигурата, т.е. обратно на часовниковата стрелка. Параметрични уравнениякръговете изглеждат така

II начин. За да изчислим циркулацията съгласно теоремата на Стокс, избираме някаква повърхност S, обхваната от контура. Естествено е да приемем за S окръжност, която има за граница контура L. Уравнението на повърхността S има формата: Според избраната ориентация на контура, нормалата към повърхността трябва да се приеме равна на

Задача 7. Използвайки теоремата на Стокс, намерете циркулацията на векторното поле върху сечението x 2 + y 2 + z 2 = R 2 с равнината z = 0. Решение. Според формулата на Стокс

Задача 8. Намерете векторния поток през част от сферата x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , за x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, по посока на външната нормала. Решение. По дефиницията на векторния поток през повърхността намираме

Ако във всяка точка от пространството или част от пространството е определена стойността на определена величина, тогава се казва, че полето на тази величина е дадено. Полето се нарича скаларно, ако разглежданата стойност е скаларна, т.е. добре характеризиран със своята числова стойност. Например температурното поле. Скаларното поле е дадено от скаларната функция на точката u = /(M). Ако в пространството се въведе декартова координатна система, тогава има функция от три променливи x, yt z - координатите на точката M: Определение. Повърхнината на нивото на скаларно поле е набор от точки, в които функцията f(M) приема една и съща стойност. Пример за уравнение на повърхността на ниво 1. Намиране на повърхности на ниво на скаларно поле ВЕКТОРЕН АНАЛИЗ Повърхнини на ниво на скаларно поле и линии на ниво Производна на посока Производна градиент на скаларно поле Основни свойства на градиента Инвариантна дефиниция на градиент Правила за изчисляване на градиент -4 По дефиниция, ниво уравнението на повърхността ще бъде. Това е уравнението на сфера (с Ф 0) с център в началото. Скаларното поле се нарича плоско, ако полето е еднакво във всички равнини, успоредни на дадена равнина. Ако посочената равнина се приеме като равнина xOy, тогава функцията на полето няма да зависи от координатата z, т.е., тя ще бъде функция само на аргументите x и y, а също и значението. Уравнение на линия на ниво - Пример 2. Намерете линии на ниво на скаларно поле Линиите на ниво са дадени с уравнения При c = 0 получаваме двойка прави, получаваме семейство хиперболи (фиг. 1). 1.1. Производна по посока Нека има скаларно поле, дефинирано от скаларна функция u = /(Af). Да вземем точката Afo и да изберем посоката, определена от вектора I. Да вземем друга точка M, така че векторът M0M да е успореден на вектора 1 (фиг. 2). Нека означим дължината на MoM вектора с A/, а увеличението на функцията /(Af) - /(Afo), съответстваща на преместването D1, с Di. Отношението определя Средната скоростпромяна на скаларното поле на единица дължина към дадената посока Нека сега клони към нула, така че векторът М0М да остава през цялото време успореден на вектора I. Определение. Ако за D/O съществува краен предел на връзката (5), то той се нарича производна на функцията в дадена точка Afo спрямо дадената посока I и се означава със символа zr!^. Така че, по дефиниция, тази дефиниция не е свързана с избора на координатна система, тоест има **вариантен характер. Нека намерим израз за производната по отношение на посоката в Декартова системакоординати. Нека функцията / е диференцируема в точка. Разгледайте стойността /(Af) в точка. Тогава общото нарастване на функцията може да се запише в следния вид: където и символите означават, че частните производни се изчисляват в точката Afo. Следователно тук величините jfi, ^ са насочващите косинуси на вектора. Тъй като векторите MoM и I са съвместно насочени, техните насочващи косинуси са еднакви: Тъй като M Afo, установявайки се през цялото време на права линия, успореден на вектора 1, то ъглите са постоянни, следователно Накрая от равенствата (7) и (8) получаваме Eamuan и 1. Частните производни са производни на функцията и по направленията на координатните оси с външните nno- Пример 3. Намерете производната на функцията към точката Векторът има дължина. Неговите насочващи косинуси: По формула (9) ще имаме Фактът, че означава, че скаларното поле в точка в дадена посока на възраст- За плоско поле, производната в посока I в точка се изчислява по формулата където a е ъгълът, образуван от вектора I с оста Oh. Zmmchmm 2. Формула (9) за изчисляване на производната по посока I в дадена точка Afo остава в сила дори когато точката M клони към точката Mo по крива, за която векторът I е допирателен в точката PrISchr 4. Изчислете производната на скаларното поле в точката Afo(l, 1). принадлежащи на парабола по посока на тази крива (по посока на нарастване на абсцисата). Посоката ] на парабола в точка е посоката на допирателната към параболата в тази точка (фиг. 3). Нека допирателната към параболата в точката Afo образува ъгъл o с оста Ox. Тогава откъде насочващи косинуси на допирателна Да изчислим стойности и в точка. Имаме Сега по формула (10) получаваме. Намерете производната на скаларното поле в точка по посока на окръжността. Векторното уравнение на окръжността има формата. Намираме единичния вектор m на допирателната към окръжността.Точката съответства на стойността на параметъра. Градиент на скаларно поле Нека едно скаларно поле се дефинира от скаларна функция, за която се предполага, че е диференцируема. Определение. Градиентът на скаларно поле » в дадена точка M е вектор, обозначен със символа grad и определен от равенството. Ясно е, че този вектор зависи както от функцията /, така и от точката M, в която се изчислява нейната производна. Нека 1 е единичен вектор в посоката. Тогава формулата за производната по посока може да бъде записана, както следва: . по този начин производната на функцията и в посока 1 е равна на точков продуктна градиента на функцията u(M) за единичен вектор 1° от посоката I. 2.1. Основни свойства на градиента Теорема 1. Градиентът на скаларното поле е перпендикулярен на повърхността на нивото (или на линията на нивото, ако полето е плоско). (2) Прокарайте произволна точка M е нивелирана повърхност u = const и избираме гладка крива L на тази повърхност, минаваща през точката M (фиг. 4). Нека I е вектор, допирателен към кривата L в точката M. Тъй като на повърхността на нивото u(M) = u(M|) за всяка точка Mj ∈ L, тогава От друга страна, = (gradu, 1°) . Ето защо. Това означава, че векторите grad и и 1° са ортогонални.Така векторът grad и е ортогонален на всяка допирателна към повърхността на нивото в точка M. Следователно, той е ортогонален на самата повърхност на нивото в точка M. Теорема 2 Градиентът е насочен в посока на нарастване на полевата функция. По-рано доказахме, че градиентът на скаларното поле е насочен по нормалата към повърхността на нивото, която може да бъде ориентирана или към нарастване на функцията u(M), или към нейното намаляване. Означаваме с n нормалата на повърхността на нивото, ориентирана по посока на нарастване на функцията ti(M), и намираме производната на функцията u по посока на тази нормала (фиг. 5). Имаме Тъй като според условието на фиг. 5 и следователно ВЕКТОРЕН АНАЛИЗ Скаларно поле Повърхнини и линии на ниво Производна на посоката Производна Градиент на скаларно поле Основни свойства на градиента Инвариантно определение на градиента Правила за изчисляване на градиента От това следва, че grad и е насочен в същата посока като тази, която сме избрали за нормалното n, т.е. в посоката на нарастваща функция u(M). Теорема 3. Дължината на градиента е равна на най-голямата производна по отношение на посоката в дадена точка на полето (тук max $ се взема във всички възможни посоки в дадена точка M към точката). Имаме къде е ъгълът между векторите 1 и grad n. Тъй като най-голямата стойност е Пример 1. Намерете посоката на най-големия имонион на скаларното поле в точката, а също и величината на тази най-голяма промяна в определената точка. Посоката на най-голямото изменение в скаларното поле е обозначена с вектор. Имаме така Този вектор определя посоката на най-голямото увеличение на полето до точка. Стойността на най-голямата промяна в полето в този момент е 2,2. Инвариантна дефиниция на градиента Количествата, които характеризират свойствата на обекта, който се изследва и не зависят от избора на координатна система, се наричат ​​инварианти този обект. Например, дължината на една крива е инвариант на тази крива, но ъгълът на допирателната към кривата с оста x не е инвариант. Въз основа на трите свойства на градиента на скаларното поле, доказани по-горе, можем да дадем следното инвариантна дефиницияградиент. Определение. Градиентът на скаларното поле е вектор, насочен по нормалата към повърхността на нивото в посока на нарастваща функция на полето и имащ дължина, равна на най-голямата производна по посока (в дадена точка). Нека е единичен нормален вектор, насочен в посока на нарастващо поле. След това Пример 2. Намерете градиента на разстоянието - някаква фиксирана точка и M(x,y,z) - текущата. 4 Имаме къде е единичният вектор на посоката. Правила за изчисляване на градиента, където c е постоянно число. Горните формули се получават директно от дефиницията на градиента и свойствата на производните. По правилото за диференциране на произведението Доказателството е подобно на доказателството на свойството Нека F(u) е диференцируема скаларна функция. След това 4 По дефиницията на градиента имаме Приложи към всички членове от дясната страна правилото за диференциация сложна функция. По-специално, формула (6) следва от равнината на формулата до две фиксирани точки на тази равнина. Разгледайте произволна елипса с фокуси Fj и F] и докажете, че всеки светлинен лъч, който излиза от единия фокус на елипсата, след отражение от елипсата, влиза в другия й фокус. Линиите на нивото на функцията (7) са ВЕКТОРЕН АНАЛИЗ Скаларно поле Повърхности и линии на ниво Производна на посоката Производна Градиент на скаларно поле Основни свойства на градиента Инвариантна дефиниция на градиента Правила за изчисляване на градиента Уравнения (8) описват семейство от елипси с фокуси в точки F) и Fj. Съгласно резултата от пример 2, имаме Така, градиентът дадено поле равен на вектора PQ на диагонала на ромб, построен върху единичните вектори на r? и радиус вектори. начертан до точката P(x, y) от фокусите F| и Fj, и следователно лежи върху ъглополовящата на ъгъла между тези радиус вектори (фиг. 6). Според Tooromo 1, градиентът PQ е перпендикулярен на елипсата (8) в точката. Следователно Фиг.6. нормалата към елипсата (8) във всяка th точка разполовява ъгъла между радиус векторите, начертани към тази точка. От тук и от факта, че ъгълът на падане е равен на ъгъла на отражение, получаваме: светлинен лъч, излизащ от единия фокус на елипсата, отразен от него, със сигурност ще попадне в другия фокус на тази елипса.