Обратна функция 3. Взаимно обратни функции, основни определения, свойства, графики

Завършени работи

ТЕЗИ РАБОТИ

Много вече е назад и сега сте дипломиран, ако, разбира се, напишете дипломната си работа навреме. Но животът е такова нещо, че едва сега ви става ясно, че след като сте престанали да бъдете студент, ще загубите всички студентски радости, много от които не сте опитали, отлагайки всичко и го отлагайки за по-късно. И сега вместо да наваксваш си човъркаш тезата? Има чудесен изход: изтеглете дисертацията, от която се нуждаете, от нашия уебсайт - и веднага ще имате много свободно време!
Дипломните работи са успешно защитени във водещи университети на Република Казахстан.
Цената на работата от 20 000 тенге

КУРСОВИ РАБОТИ

Курсовият проект е първата сериозна практическа работа. С писането на курсова работа започва подготовката за разработване на дипломни проекти. Ако студентът се научи правилно да формулира съдържанието на темата в курсов проект и правилно да го състави, тогава в бъдеще той няма да има проблеми нито с писането на доклади, нито с компилирането на дипломни работи, нито с изпълнението на други практически задачи. За да подпомогне студентите при писането на този тип студентски работи и да изясни въпросите, които възникват в хода на подготовката им, всъщност беше създадена тази информационна секция.
Разходи за работа от 2 500 тенге

МАГИСТЪРСКИ ТЕЗИ

В момента във висшите учебни заведения на Казахстан и страните от ОНД етапът на висше професионално образование, който следва след бакалавърската степен - магистърската степен, е много разпространен. В магистратурата студентите учат с цел получаване на магистърска степен, която се признава в повечето страни по света повече от бакалавърската степен, а също така се признава от чуждестранни работодатели. Резултатът от обучението в магистратура е защитата на магистърска теза.
Ние ще ви предоставим актуален аналитичен и текстов материал, като цената включва 2 научни статии и резюме.
Разходи за работа от 35 000 тенге

ДОКЛАДИ ОТ ПРАКТИКАТА

След завършване на всякакъв вид студентска практика (учебна, производствена, бакалавърска) се изисква отчет. Този документ ще бъде потвърждение за практическата работа на студента и основа за формиране на оценката за практиката. Обикновено, за да съставите отчет за стажа, трябва да съберете и анализирате информация за предприятието, да разгледате структурата и работния график на организацията, в която се провежда стажът, да съставите календарен план и да опишете практическите си дейности.
Ще ви помогнем да напишете доклад за стажа, като вземете предвид спецификата на дейността на конкретно предприятие.

Цели на урока:

Образователни:

• да формират знания по нова тема в съответствие с програмния материал;
• да изучава свойството обратимост на функция и да научи как да намери функция, обратна на дадена;

Разработване:

• развиват умения за самоконтрол, предметна реч;
• овладеят концепцията за обратна функция и научат методите за намиране на обратна функция;

Образователни: формиране на комуникативна компетентност.

Оборудване:компютър, проектор, екран, интерактивна дъска SMART Board, лист (самостоятелна работа) за групова работа.

По време на часовете.

1. Организационен момент.

Цел – подготовка на учениците за работа в класната стая:

Определение за отсъствие,

Отношение на учениците към работа, организация на вниманието;

Съобщение за темата и целта на урока.

2. Актуализиране на основните знания на учениците.предна анкета.

Цел - да се установи правилността и осъзнаването на изучения теоретичен материал, повторението на преминатия материал.<Приложение 1 >

На интерактивната дъска за учениците е показана графика на функцията. Учителят формулира задачата - да разгледа графиката на функцията и да изброи изучените свойства на функцията. Учениците изброяват свойствата на функция според плана на изследването. Учителят вдясно от графиката на функцията записва посочените свойства с маркер на интерактивната дъска.

Свойства на функцията:

В края на изследването учителят съобщава, че днес в урока те ще се запознаят с още едно свойство на функцията - обратимостта. За смислено изучаване на нов материал учителят кани децата да се запознаят с основните въпроси, на които учениците трябва да отговорят в края на урока. Въпросите се пишат на обикновена дъска и всеки ученик има лист (раздава се преди урока)

1. Какво е обратима функция?
2. Всяка функция обратима ли е?
3. Каква е обратната дадена функция?
4. Как са свързани домейнът на дефиницията и наборът от стойности на функция и нейната обратна функция?
5. Ако функцията е дадена аналитично, как се дефинира обратната функция с формула?
6. Ако една функция е дадена графично, как да начертаете нейната обратна функция?

3. Обяснение на нов материал.

Цел - да формират знания по нова тема в съответствие с програмния материал; да изучава свойството обратимост на функция и да научи как да намери функция, обратна на дадена; развиват предмета.

Учителят провежда презентация на материала в съответствие с материала на параграфа. На интерактивната дъска учителят сравнява графиките на две функции, чиито домейни на дефиниция и набори от стойности са едни и същи, но една от функциите е монотонна, а другата не е, като по този начин подвежда учениците под концепцията за обратима функция .

След това учителят формулира дефиницията на обратима функция и доказва теоремата за обратимата функция, използвайки графиката на монотонната функция на интерактивната дъска.

Определение 1: Извиква се функцията y=f(x), x X обратими, ако приема някоя от стойностите си само в една точка от множеството X.

Теорема: Ако функцията y=f(x) е монотонна в множеството X, тогава тя е обратима.

Доказателство:

1. Нека функцията y=f(x)се увеличава с хостави x 1 ≠ x 2- две точки от сета х.
2. За категоричност нека х 1< х 2.
   Тогава от какво х 1< х 2следва това f(x 1) < f(x 2).
3. По този начин различните стойности на аргумента съответстват на различни стойности на функцията, т.е. функцията е обратима.

(По време на доказателството на теоремата учителят прави всички необходими обяснения върху чертежа с маркер)

Преди да формулира дефиницията на обратна функция, учителят кара учениците да определят коя от предложените функции е обратима? Интерактивната дъска показва графики на функции и са написани няколко аналитично дефинирани функции:

б)

G) y = 2x + 5

Д) y = -x 2 + 7

Учителят въвежда определението за обратна функция.

Определение 2: Нека обратима функция y=f(x)определени на снимачната площадка хи E(f)=Y. Нека съпоставим всеки гот Yтогава единственият смисъл х, при което f(x)=y.След това получаваме функция, която е дефинирана на Y, а хе диапазонът на функцията

Тази функция е означена x=f -1 (y)и се нарича обратна на функцията y=f(x).

Студентите са поканени да направят заключение за връзката между областта на дефиницията и набора от стойности на обратни функции.

За да разгледа въпроса как да се намери обратната функция на дадено, учителят включи двама ученици. Предния ден децата получиха задача от учителя самостоятелно да анализират аналитичните и графичните методи за намиране на обратната зададена функция. Учителят действаше като консултант при подготовката на учениците за урока.

Съобщение от първия ученик.

Забележка: монотонността на функцията е достатъчноусловие за съществуване на обратна функция. Но не енеобходимо условие.

Ученикът даде примери за различни ситуации, когато функцията не е монотонна, а обратима, когато функцията не е монотонна и не е обратима, когато е монотонна и обратима

След това студентът запознава учениците с метода за намиране на обратната функция, дадена аналитично.

Алгоритъм за намиране

1. Уверете се, че функцията е монотонна.
2. Изразете x чрез y.
3. Преименуване на променливи. Вместо x \u003d f -1 (y) те пишат y \u003d f -1 (x)

След това решава два примера, за да намери функцията, обратна на дадената.

Пример 1:Покажете, че има обратна функция за функцията y=5x-3 и намерете нейния аналитичен израз.

Решение. Линейната функция y=5x-3 е дефинирана върху R, нараства върху R и нейният обхват е R. Следователно обратната функция съществува върху R. За да намерим нейния аналитичен израз, решаваме уравнението y=5x-3 по отношение на х; получаваме Това е желаната обратна функция. Тя се определя и нараства с R.

Пример 2:Покажете, че има обратна функция за функцията y=x 2 , x≤0, и намерете нейния аналитичен израз.

Функцията е непрекъсната, монотонна в своята област на дефиниция, следователно е обратима. След като анализираме областите на дефиниция и набора от стойности на функцията, се прави съответното заключение за аналитичния израз за обратната функция.

Вторият ученик прави презентация за графикакак да намерим обратната функция. В хода на своето обяснение ученикът използва възможностите на интерактивната дъска.

За да получите графиката на функцията y=f -1 (x), обратна на функцията y=f(x), е необходимо да преобразувате графиката на функцията y=f(x) симетрично по отношение на правата y=x.

По време на обяснението на интерактивната дъска се изпълнява следната задача:

Построете графика на функция и графика на нейната обратна функция в една и съща координатна система. Запишете аналитичен израз за обратната функция.

4. Първично фиксиране на новия материал.

Цел - да се установи правилността и осъзнаването на разбирането на изучения материал, да се идентифицират пропуски в първичното разбиране на материала, да се коригират.

Учениците се разделят на двойки. Раздават им се листове със задачи, в които работят по двойки. Времето за изпълнение на работата е ограничено (5-7 минути). Една двойка ученици работи на компютъра, проекторът е изключен за това време и останалите деца не могат да видят как учениците работят на компютъра.

В края на времето (приема се, че по-голямата част от учениците са изпълнили работата), интерактивната дъска (проекторът се включва отново) показва работата на учениците, където по време на теста се изяснява, че задачата е изпълнена в двойки. Ако е необходимо, учителят провежда коригираща, разяснителна работа.

Самостоятелна работа по двойки<Приложение 2 >

5. Резултатът от урока.По въпросите, които бяха зададени преди лекцията. Обявяване на оценките за урока.

Домашна работа §10. №№ 10.6(а,в) 10.8-10.9(б) 10.12(б)

Алгебра и началото на анализа. 10 клас В 2 части за образователни институции (ниво на профил) / А. Г. Мордкович, Л. О. Денищева, Т. А. Корешкова и др.; изд. А. Г. Мордкович, M: Mnemosyne, 2007

Вече се сблъскахме с проблем, когато при дадена функция f и дадена стойност на нейния аргумент беше необходимо да се изчисли стойността на функцията в тази точка. Но понякога човек трябва да се сблъска с обратния проблем: да намери, като е дадена известната функция f и нейната определена стойност y, стойността на аргумента, в който функцията приема дадената стойност y.

Функция, която приема всяка от своите стойности в една точка в своята област на дефиниция, се нарича обратима функция. Например линейна функция би била обратима функция. Квадратична функция или синусова функция няма да бъдат обратими функции. Тъй като функцията може да приема една и съща стойност с различни аргументи.

Обратна функция

Да приемем, че f е произволна обратима функция. Всяко число от неговия диапазон y0 съответства само на едно число от областта x0, така че f(x0) = y0.

Ако сега присвоим стойност y0 на всяка стойност на x0, тогава ще получим нова функция. Например, за линейна функция f(x) = k * x + b, функцията g(x) = (x - b)/k ще бъде обратна.

Ако някаква функция жвъв всяка точка хобхватът на обратимата функция f приема стойността y, така че f(y) = x, тогава казваме, че функцията ж- има обратна функция на f.

Ако имаме графика на някаква обратима функция f, тогава, за да начертаем графиката на обратната функция, можем да използваме следното твърдение: графиката на функцията f и обратната на нея функция g ще бъдат симетрични по отношение на права линия, дадена от уравнението y = x.

Ако функцията g е обратна на функцията f, тогава функцията g ще бъде обратима функция. И функцията f ще бъде обратна на функцията g. Обикновено се казва, че две функции f и g са взаимно обратни една на друга.

Следващата фигура показва графики на функции f и g взаимно обратни една на друга.

Нека изведем следната теорема: ако функция f нараства (или намалява) на някакъв интервал A, тогава тя е обратима. Функцията g, обратна на a, дефинирана в диапазона на функцията f, също е нарастваща (или, съответно, намаляваща) функция. Тази теорема се нарича теорема за обратна функция.

препис

1 Взаимно обратни функции Две функции f и g се наричат ​​взаимно обратни, ако формулите y=f(x) и x=g(y) изразяват една и съща връзка между променливите x и y, т.е. ако равенството y=f(x) е вярно тогава и само ако равенството x=g(y) е вярно: y=f(x) x=g(y) Ако две функции f и g са взаимно обратни, тогава g се нарича обратна функция за f и обратно, f е обратна функция за g. Например y=10 x и x=lgy са взаимно обратни функции. Условието за съществуване на взаимно обратна функция Функцията f има обратна функция, ако от връзката y=f(x) променливата x може да бъде уникално изразена чрез y. Има функции, за които е невъзможно аргументът да се изрази еднозначно чрез дадената стойност на функцията. Например: 1. y= x. За дадено положително число y има две стойности на аргумента x, така че x = y. Например, ако y \u003d 2, тогава x \u003d 2 или x \u003d - 2. Следователно е невъзможно да се изрази x уникално чрез y. Следователно тази функция няма взаимна обратна функция. 2. y=x 2. x=, x= - 3. y=sinx. За дадена стойност на y (y 1) има безкрайно много x стойности, така че y=sinx. Функцията y=f(x) има обратна, ако която и да е права y=y 0 пресича графиката на функцията y=f(x) в не повече от една точка (тя може изобщо да не пресича графиката, ако y 0 не пресича графиката принадлежат към диапазона на функцията f) . Това условие може да се формулира по различен начин: уравнението f(x)=y 0 за всяко y 0 има не повече от едно решение. Условието, че функцията има обратна функция, със сигурност е изпълнено, ако функцията е строго нарастваща или строго намаляваща. Ако f е строго нарастващо, тогава за две различни стойности на аргумента той приема различни стойности, тъй като по-голямата стойност на аргумента съответства на по-голямата стойност на функцията. Следователно уравнението f(x)=y за строго монотонна функция има най-много едно решение. Експоненциалната функция y \u003d a x е строго монотонна, така че има обратна логаритмична функция. Много функции нямат обратни. Ако за някое b уравнението f(x)=b има повече от едно решение, тогава функцията y=f(x) няма обратна. На графиката това означава, че правата y=b пресича графиката на функцията в повече от една точка. Например y \u003d x 2; y=sinx; y=tgx.

2 Неяснотата на решението на уравнението f(x)=b може да бъде разрешена, ако областта на дефиниране на функцията f се намали, така че диапазонът от стойности да не се променя, но да приема всяка от своите стойности веднъж. Например, y=x 2, x 0; y=sinx, ; y=tgx,. Общото правило за намиране на обратната функция за функция: 1. решавайки уравнението за x, намираме; 2. Променяйки обозначението на променливата x на y и y на x, получаваме функцията, обратна на дадената. Свойства на взаимно обратни функции Тъждества Нека f и g са взаимно обратни функции. Това означава, че равенствата y=f(x) и x=g(y) са еквивалентни: f(g(y))=y и g(f(x))=x. Например, 1. Нека f е експоненциална функция и g е логаритмична функция. Получаваме: i. 2. Функциите y \u003d x 2, x 0 и y \u003d са взаимно обратни. Имаме две идентичности: и за x 0. Област на дефиниция Нека f и g са взаимно обратни функции. Областта на областта на функцията f съвпада с областта на функцията g и обратно, областта на функцията f съвпада с областта на функцията g. Пример. Областта на експоненциалната функция е цялата числова ос R, а нейната област е множеството от всички положителни числа. Логаритмичната функция има обратното: областта на дефиниция е множеството от всички положителни числа, а областта на стойностите е цялото множество R. Монотонност Ако една от взаимно обратните функции е строго нарастваща, тогава другата е строго нарастваща . Доказателство. Нека x 1 и x 2 са две числа, лежащи в домейна на функцията g, и x 1

3 Графики на взаимно обратни функции Теорема. Нека f и g са взаимно обратни функции. Графиките на функциите y=f(x) и x=g(y) са симетрични една на друга по отношение на ъглополовящата на ъгъла на Хоу. Доказателство. По дефиниция на взаимно обратни функции, формулите y=f(x) и x=g(y) изразяват една и съща зависимост между променливите x и y, което означава, че тази зависимост се изобразява от една и съща графика на някаква крива C. Крива C е графика на функциите y=f(x). Вземете произволна точка P(a; b) C. Това означава, че b=f(a) и в същото време a=g(b). Нека построим точка Q, симетрична на точката P спрямо ъглополовящата на ъгъла how. Точка Q ще има координати (b; a). Тъй като a=g(b), тогава точката Q принадлежи на графиката на функцията y=g(x): наистина, за x=b стойността на y=a е равна на g(x). По този начин всички точки, симетрични на точките на кривата C по отношение на определената права линия, лежат на графиката на функцията y \u003d g (x). Примери за графични функции, които са взаимно обратни: y=e x и y=lnx; y=x 2 (x 0) и y= ; y=2x4 и y=+2.

4 Производна на обратна функция Нека f и g са взаимно обратни функции. Графиките на функциите y=f(x) и x=g(y) са симетрични една на друга по отношение на ъглополовящата на ъгъла на Хоу. Нека вземем точка x=a и изчислим стойността на една от функциите в тази точка: f(a)=b. Тогава по дефиниция на обратната функция g(b)=a. Точките (a; f(a))=(a; b) и (b; g(b))=(b; a) са симетрични спрямо правата l. Тъй като кривите са симетрични, допирателните към тях също са симетрични спрямо правата l. От симетрията ъгълът на едната права с оста x е равен на ъгъла на другата права с оста y. Ако правата линия образува ъгъл α с оста x, тогава нейният наклон е равен на k 1 =tgα; тогава втората линия има наклон k 2 =tg(α)=ctgα=. По този начин коефициентите на наклона на линии, симетрични по отношение на линия l, са взаимно обратни, т.е. k 2 =, или k 1 k 2 =1. Преминавайки към производните и като вземем предвид, че наклонът на допирателната е стойността на производната в точката на контакт, заключаваме: Стойностите на производните на взаимно обратни функции в съответните точки са взаимно обратни, т.е. Пример 1. Докажете, че функцията f(x)=x 3, обратима. Решение. y=f(x)=x 3. Обратната функция ще бъде функцията y=g(x)=. Нека намерим производната на функцията g:. Тези. =. Задача 1. Докажете, че функцията, дадена с формулата, е обратима 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

5 Пример 2. Намерете функцията, обратна на функцията y=2x+1. Решение. Функцията y \u003d 2x + 1 нараства, следователно има обратна. Изразяваме x чрез y: получаваме .. Обръщайки се към общоприетата нотация, Отговор: Задача 2. Намерете обратните функции за тези функции 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

Глава 9 Степени Степен с цяло число. 0 = 0; 0 = ; 0 = 0. > 0 > 0; > >.. >. Ако е дори, тогава ()< (). Например, () 0 = 0 < 0 = = () 0. Если нечетно, то () >(). Например () => = = (), така че

Какво ще учим: Урок на тема: Изследване на функция за монотонност. Намаляващи и нарастващи функции. Връзка между производната и монотонността на функция. Две важни теореми за монотонността. Примери. Момчета, ние

6 Проблеми, водещи до концепцията за производна Нека материална точка се движи по права линия в една посока съгласно закона s f (t), където t е времето, а s е пътят, изминат от точката във времето t Отбележете определен момент

1 SA Lavrenchenko Лекция 12 Обратни функции 1 Концепцията за обратна функция Определение 11 Функция се нарича едно към едно, ако не приема никаква стойност повече от веднъж, което следва от

Лекция 5 Производни на основни елементарни функции Анотация: Дадени са физически и геометрични интерпретации на производната на функция на една променлива, разгледани са примери за диференциране на функция и правило.

Глава 1. Граници и непрекъснатост 1. Числови множества 1 0. Реални числа От училищната математика знаете естествени N цели Z рационални Q и реални R числа Естествени и цели числа

Числени функции и числови редици DV Lytkina NPP, I семестър DV Lytkina (SibSUTI) Математически анализ на АЕЦ, I семестър 1 / 35 Съдържание 1 Числова функция Понятие за функция Числени функции.

Лекция 19 ПРОИЗВОДНА И НЕГОВИТЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. ДЕФИНИЦИЯ ЗА ПРОИЗВОДНА. Нека имаме някаква функция y=f(x), дефинирана на някакъв интервал. За всяка стойност на аргумента x от този интервал функцията y=f(x)

Глава 5 Изследване на функции с помощта на формулата на Тейлър Локален екстремум на дефиниция на функция

Катедра Математика и информатика Елементи на висшата математика Учебно-методически комплекс за ученици от средното професионално образование, обучаващи се с дистанционни технологии Модул Диференциално смятане Съставител:

Катедра "Математика и информатика" Математически анализ Учебно-методически комплекс за студенти от НВО, обучаващи се с използване на дистанционни технологии Модул 4 Приложения на производната Съставител: доц.

Задачи за самостоятелно решаване. Намерете домейна на функцията 6x. Намерете тангенса на ъгъла на наклон към оста x на тангентата, минаваща през точката M (;) от графиката на функцията. Намерете тангенса на ъгъл

Тема Теория на границите Практическо упражнение Числови последователности Дефиниция на числова последователност Ограничени и неограничени последователности Монотонни последователности Безкрайно малки

44 Пример Намерете общата производна на комплексна функция = sin v cos w където v = ln + 1 w= 1 Съгласно формулата (9) d v w v w = v w d sin cos + cos cos + 1 sin sin 1 Сега намираме общия диференциал на комплексната функция f

МОДУЛ „Приложение на непрекъснатост и производна. Приложение на производната за изследване на функции. Приложение на непрекъснатостта.. Метод на интервалите.. Допирателна към графиката. Формула на Лагранж. 4. Приложение на производната

Московски физико-технологичен институт Експоненциални, логаритмични уравнения и неравенства, методът на потенциране и логаритъм при решаване на задачи. Методическо ръководство за подготовка за олимпиади.

Глава 8 Функции и графики Променливи и зависимости между тях. Две величини и се наричат ​​правопропорционални, ако съотношението им е постоянно, т.е. ако =, където е постоянно число, което не се променя с промяна

Министерство на образованието на Република Беларус ОБРАЗОВАТЕЛНА ИНСТИТУЦИЯ "ГРОДНЕНСКИ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ НА ИМЕТО НА ЯНКА КУПАЛА" Ю.Ю. Гнездовски, В. Н. Горбузов, П. Ф. Проневич ЕКСПОНЕНЦИАЛНА И ЛОГАРИТМИЧНА

Тема Числова функция, нейните свойства и графика Концепцията за числова функция Домейнът на дефиницията и множеството от стойности на функция Нека е дадено числово множество X Правило, което съпоставя всяко число X с уникално

I Дефиниция на функция на няколко променливи Област на дефиниция Когато изучаваме много явления, човек трябва да се занимава с функции на две или повече независими променливи.Например телесната температура в даден момент

1. Определен интеграл 1.1. Нека f е ограничена функция, дефинирана върху сегмента [, b] R. Разделение на сегмента [, b] е набор от точки τ = (x, x 1,..., x n 1, x n ) [, b ] така че = x< x 1 < < x n 1

Лекция Изследване на функция и построяване на нейната графика Анотация: Функцията се изследва за монотонност, екстремум, изпъкналост-вдлъбнатост, за наличие на асимптоти

Тема. функция. Методи на задачите. Неявна функция. Обратна функция. Класификация на функциите. Елементи от теорията на множествата. Основни понятия Едно от основните понятия на съвременната математика е понятието за множество.

Тема 2.1 Числови функции. Функция, нейните свойства и графика Нека X и Y Някои набори от числа Ако на всяко според някакво правило F се присвои един елемент, тогава те казват, че

Алгебра и началото на анализа, XI АЛГЕБРА И НАЧАЛОТО НА АНАЛИЗ

Ел Ей Щраус, И.В. Баринова Задачи с параметър в Ръководството за единен държавен изпит y=-x 0 -a- -a x -5 Уляновск 05 Strauss L.A. Задачи с параметър в USE [Текст]: насоки / L.A. Щраус, И.В.

Глава 3. Изследване на функции с помощта на производни 3.1. Екстремуми и монотонност Да разгледаме функция y = f (), дефинирана на някакъв интервал I R. Казва се, че тя има локален максимум в точката

Тема. Логаритмични уравнения, неравенства и системи уравнения I. Общи указания

Какво ще учим: Урок на тема: Намиране на точките на екстремуми на функции. 1. Въведение. 2) Точки на минимум и максимум. 3) Екстремум на функцията. 4) Как да изчислим екстремуми? 5) Примери Момчета, да видим

1 SA Lavrenchenko Лекция 13 Експоненциални и логаритмични функции 1 Концепцията за експоненциална функция Определение 11 Експоненциалната функция е функция на основната положителна константа на формата, където Функция

Уебинар 5 Тема: Преглед Подготовка за Единния държавен изпит (задача 8) Задача 8 Намерете всички стойности на параметъра a, за всяка от които уравнението a a 0 има седем или осем решения Нека, тогава t t Първоначално уравнение

Московски държавен технически университет на името на N.E. Бауман Факултет по фундаментални науки Департамент по математическо моделиране А.Н. Канатников, А.П. Кришенко

Обща информация Задачи с параметри Уравнения с модул задача от тип C 5 1 Подготовка за Единния държавен изпит Dikhtyar M.B. 1. Абсолютната стойност или модулът на числото x е самото число x, ако x е 0; число x,

И. В. Яковлев Материали по математика MathUs.ru Логаритъм

13. Частични производни от по-високи разряди Нека = има и е дефинирано върху D O. Функциите и се наричат ​​също частни производни от първи ред на функция или първи частни производни на функция. и изобщо

Министерство на образованието и науката на Руската федерация

СЪДЪРЖАНИЕ НА АЛГЕБРАТА И НАЧАЛОТО НА ФУНКЦИОНАЛНИЯ АНАЛИЗ...10 Основни свойства на функциите...11 Четни и нечетни...11 Периодичност...12 Функционални нули...12 Монотонност (нарастване, намаляване)...13 Крайности (максимум

ВЪВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЯ АНАЛИЗ Лекция. Понятието набор. Основни свойства на дефиницията на функция. Основни елементарни функции. СЪДЪРЖАНИЕ: Елементи от теорията на множествата Множество от реални числа Числен

Тема 36 "Свойства на функции" Ще анализираме свойствата на функция, като използваме примера на графиката на произволна функция y = f (x): 1. Домейнът на функция е множеството от всички стойности на променливата x, които имат съответстващи

Асимптоти Графика на функция Декартова координатна система Линейно-дробна функция Квадратна триномна Линейна функция Локален екстремум Набор от квадратни триномни стойности Набор от функционални стойности

Уралски федерален университет, Институт по математика и компютърни науки, Катедра по алгебра и дискретна математика Уводни бележки Тази лекция е посветена на изучаването на равнината. Материалът, който съдържа

ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ 1. Основни понятия Диференциално уравнение по отношение на някаква функция е уравнение, което свързва тази функция с нейните независими променливи и с нейните производни.

ИЗПОЛЗВАНЕ НА МАТЕМАТИКА Задачи C5 7 Неравенства (метод на площта) Показания и решения Справочен материал Източници Корянов А Г, Брянск Изпращайте коментари и предложения на: [имейл защитен]ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРИ

Тема 41 "Задачи с параметър" Основните формулировки на задачи с параметър: 1) Намерете всички стойности на параметри, всяка от които отговаря на определено условие.) Решете уравнение или неравенство с

Тема 39. "Производни на функции" Функцията Производната на функция в точката x 0 се нарича границата на съотношението на увеличението на функцията към увеличението на променливата, т.е. = lim = lim + () Таблица с производни: Производна

Катедра Математика и информатика Елементи на висшата математика Учебно-методически комплекс за ученици от средното професионално образование, обучаващи се с дистанционни технологии Модул Теория на границите Съставител: ст.н.с.

Производна на функция Нейното геометрично и физическо значение Техника на диференциране Основни дефиниции Нека f () е дефинирано върху (,) a, b някаква фиксирана точка, увеличение на аргумента в точка,

Диференциране на неявна функция Да разгледаме функцията (,) = C (C = const) Това уравнение дефинира неявна функция () Да предположим, че сме решили това уравнение и сме намерили явен израз = () Сега можем

Министерство на образованието и науката на Руската федерация Ярославски държавен университет на името на П. Г. Демидов Катедра по дискретни анализи СБОРНИК ЗАДАЧИ ЗА САМОСТОЯТЕЛНО РЕШЕНИЕ ПО ТЕМАТА ГРАНИЦА НА ФУНКЦИЯТА

Регионална научно-практическа конференция на образователната, изследователската и дизайнерската работа на учениците от 6-11 клас „Приложни и фундаментални въпроси на математиката“ Методически аспекти на изучаването на математиката

Граници и приемственост. Граница на функция Нека функцията = f) е дефинирана в някаква околност на точка = a. В същото време в самата точка а функцията не е непременно дефинирана. Определение. Числото b се нарича граница

Единен държавен изпит по математика, 7-годишна демонстрация Част A Намерете стойността на израза 6p p с p = Решение Използвайте свойството на степента: Заместете в получения израз Правилно

0.5 Логаритмични уравнения и неравенства. Използвани книги:. Алгебра и началото на анализа 0 - под редакцията на А. Н. Колмогоров. Самостоятелни и контролни работи по алгебра 0- под редакцията на Е. П. Ершов

Система от задачи по темата „Тангенциално уравнение“ Определете знака на наклона на допирателната, начертана към графиката на функцията y f (), в точки с абсцисите a, b, c a) b) Посочете точките, в които производната

Неравенства с параметър в единния държавен изпит В. В. Силвестров

Алгебрични уравнения, където Определение. Алгебричното е уравнение във формата 0, P () 0, някои реални числа. 0 0 В този случай променливата се нарича неизвестна и се извикват числата 0

Уравнения на права линия и равнина Уравнение на права линия върху равнина Общо уравнение на права линия. Знак за паралелност и перпендикулярност на линиите. В декартови координати всяка линия в равнината Oxy се определя от

Графика на производната на функция Интервали на монотонност на функция Пример 1. На фигурата е показана графика y =f (x) на производната на функцията f (x), определена на интервала (1;13). Намерете интервалите на нарастваща функция

Примерни основни магистърски задачи и въпроси за ограничението на последователността на семестъра Просто изчисляване на ограничението на последователността l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Изчисляване на ограничението на последователността

Задачи по аналитична геометрия, механика, Московски държавен университет Задача Dan е тетраедър O Изразете вектора EF чрез вектори O O O с начало в средата E на ръба O и завършващо в точката F на пресечната точка на медианите на триъгълника Решение Нека

Постановка на проблема Метод на разполовянето Метод на хордите (метод на пропорционалните части 4 Метод на Нютон (метод на допирателните 5 Метод на итерациите (метод на последователните приближения) Постановка на проблема Нека дадено

1. Изрази и трансформации 1.1 Корен на степен n. Понятие за корен на степен n. Свойства на корена на степен n: Коренът на произведението и произведението на корените: опростете израза; намиране на стойности Корен на частно

ЛЕКЦИЯ N4. Диференциал на функция от първи и по-горни редове. Инвариантност на диференциалната форма. Производни от по-високи разряди. Приложение на диференциала при приближени изчисления. 1. Понятието диференциал ....

МОДУЛ 7 "Експоненциални и логаритмични функции". Обобщение на понятието степен. Коренът на степента и неговите свойства.. Ирационални уравнения.. Степен с рационален показател.. Показателна функция..

13. Експонента и логаритъм За да завършим доказателството на предложение 12.8, остава да дадем едно определение и да докажем едно твърдение. Определение 13.1. Серия a i се нарича абсолютно сходяща, ако

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ НОВОСИБИРСК ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРАН ОБРАЗОВАТЕЛЕН И НАУЧЕН ЦЕНТЪР Математика 10 клас ИЗСЛЕДВАНЕ НА ФУНКЦИИ Новосибирск За проверка

ЛЕКЦИЯ N. Скаларно поле. Производна по посока. Градиент. Допирателна равнина и нормала на повърхнина. Екстремуми на функция на няколко променливи. Условен екстремум Скаларно поле. Производна по отношение на

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ НОВОСИБИРСК ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРАН ОБРАЗОВАТЕЛЕН И НАУЧЕН ЦЕНТЪР Математика Клас 0 ГРАНИЦИ НА ПОСЛЕДОВАТЕЛНОСТИ Новосибирск Интуитивен

Дефиниция на обратна функция и нейните свойства: лема за взаимната монотонност на права и обратна функция; симетрия на графики на преки и обратни функции; теореми за съществуването и непрекъснатостта на обратната функция за функция, строго монотонна на сегмент, интервал и полуинтервал. Примери за обратни функции. Пример за решение на проблем. Доказателства на свойства и теореми.

Определение и свойства

Дефиниция на обратната функция
Нека функцията има домейн X и набор от стойности Y . И нека има свойството:
за всички .
Тогава за всеки елемент от множеството Y може да се асоциира само един елемент от множеството X, за което . Това съответствие дефинира функция, наречена обратна функцияда се . Обратната функция се означава по следния начин:
.

От дефиницията следва, че
;
за всички ;
за всички .

Свойство за симетрията на графики на преки и обратни функции
Графиките на правата и обратната функция са симетрични спрямо правата линия.

Теорема за съществуването и непрекъснатостта на обратната функция върху отсечка
Нека функцията е непрекъсната и строго нарастваща (намаляваща) на интервала. Тогава на интервала е определена и непрекъсната обратната функция, която е строго нарастваща (намаляваща).

За нарастваща функция. За спускане - .

Теорема за съществуването и непрекъснатостта на обратната функция на интервал
Нека функцията е непрекъсната и строго нарастваща (намаляваща) на отворен краен или безкраен интервал. Тогава обратната функция е определена и непрекъсната на интервала, който е строго нарастващ (намаляващ).

За нарастваща функция.
За слизане: .

По подобен начин може да се формулира теорема за съществуването и непрекъснатостта на обратна функция на полуинтервал.

Ако функцията е непрекъсната и строго нараства (намалява) на полуинтервала или , то на полуинтервала или се дефинира обратната функция, която строго нараства (намалява). Тук .

Ако тя е строго нарастваща, тогава интервалите и съответстват на интервалите и . Ако е строго намаляващ, тогава интервалите и съответстват на интервалите и .
Тази теорема се доказва по същия начин като теоремата за съществуването и непрекъснатостта на обратната функция на интервал.

Примери за обратни функции

Арксинус

Графики y= грях хи обратна функция y = arcsin x.

Помислете за тригонометричната функция синусите: . Той е определен и непрекъснат за всички стойности на аргумента, но не е монотонен. Въпреки това, ако областта на дефиниция е стеснена, тогава могат да се разграничат монотонни участъци. И така, на сегмента функцията е дефинирана, непрекъсната, строго нарастваща и приемаща стойности от -1 преди +1 . Следователно той има обратна функция върху него, която се нарича арксинус. Арксинусът има дефиниционна област и набор от стойности.

Логаритъм

Графики y= 2 хи обратна функция y = дневник 2 x.

Експоненциалната функция е дефинирана, непрекъсната и строго нарастваща за всички стойности на аргумента. Наборът от неговите стойности е отворен интервал. Обратната функция е логаритъм с основа две. Има обхват и набор от стойности.

Корен квадратен

Начертава y=x 2 и обратна функция.

Степенната функция е дефинирана и непрекъсната за всички. Наборът от неговите стойности е половин интервал. Но не е монотонен за всички стойности на аргумента. На полуинтервала обаче тя е непрекъсната и строго монотонно нарастваща. Следователно, ако като област вземем множеството, тогава има обратна функция, която се нарича квадратен корен. Обратната функция има област на дефиниция и набор от стойности.

Пример. Доказателство за съществуването и уникалността на корен от степен n

Докажете, че уравнението , където n е естествено число, е реално неотрицателно число, има уникално решение в множеството от реални числа, . Това решение се нарича n-ти корен от a. Тоест, трябва да покажете, че всяко неотрицателно число има уникален корен от степен n.

Да разгледаме функция на променлива x:
(P1) .

Нека докажем, че е непрекъснат.
Използвайки определението за непрекъснатост, показваме това
.
Прилагаме биномната формула на Нютон:
(P2)
.
Нека приложим аритметичните свойства на границите на функцията. Тъй като , тогава само първият член е различен от нула:
.
Приемствеността е доказана.

Нека докажем, че функцията (P1) стриктно нараства като .
Да вземем произволни числа, свързани с неравенства:
, , .
Трябва да покажем това. Нека въведем променливи. Тогава . Тъй като , се вижда от (A2), че . Или
.
Доказано е строго увеличение.

Намерете набора от функционални стойности за.
В точката , .
Да намерим границата.
За да направите това, приложете неравенството на Бернули. Когато имаме:
.
Тъй като , тогава и .
Прилагайки свойството на неравенствата на безкрайно големи функции, намираме, че .
По този начин, , .

Съгласно теоремата за обратната функция, обратна функция е дефинирана и непрекъсната на интервал. Тоест, за всяко има уникално, което удовлетворява уравнението. Тъй като имаме , това означава, че за всяко , уравнението има уникално решение, което се нарича корен на степен n от числото x:
.

Доказателства на свойства и теореми

Доказателство на лемата за взаимната монотонност на права и обратна функция

Нека функцията има домейн X и набор от стойности Y . Нека докажем, че има обратна функция. Въз основа на , трябва да докажем това
за всички .

Да приемем обратното. Нека има числа, така че. Нека в същото време. В противен случай променяме нотацията, така че да е . Тогава, поради строгата монотонност на f, трябва да е валидно едно от неравенствата:
ако f е строго нарастващо;
ако f е строго намаляващо.
Това е . Имаше противоречие. Следователно има обратна функция.

Нека функцията е строго нарастваща. Нека докажем, че обратната функция също е строго нарастваща. Нека въведем обозначението:
. Тоест трябва да докажем, че ако , тогава .

Да приемем обратното. Нека, но.

Ако, тогава. Този случай е излязъл.

Позволявам . Тогава, поради строгото нарастване на функцията , , или . Имаше противоречие. Следователно е възможен само случаят.

Лемата е доказана за строго нарастваща функция. Тази лема може да се докаже по подобен начин за строго намаляваща функция.

Доказателство за свойство на симетрията на графики на преки и обратни функции

Нека е произволна точка от графиката на директната функция:
(2.1) .
Нека покажем, че точката , симетрична на точката A спрямо правата , принадлежи на графиката на обратната функция :
.
От дефиницията на обратната функция следва, че
(2.2) .
Следователно трябва да покажем (2.2).

Графика на обратната функция y = f -1(x)е симетрична на графиката на пряката функция y = f (х)спрямо правата y = x .

От точки A и S пускаме перпендикуляри върху координатните оси. Тогава
, .

През точка А начертаваме права, перпендикулярна на правата. Нека линиите се пресичат в точка С. Построяваме точка S на правата, така че . Тогава точката S ще бъде симетрична на точката A по отношение на правата.

Помислете за триъгълници и . Те имат две равни по дължина страни: и , и равни ъгли между тях: . Следователно те са конгруентни. Тогава
.

Нека разгледаме триъгълник. Защото тогава
.
Същото важи и за триъгълника:
.
Тогава
.

Сега намираме:
;
.

И така, уравнение (2.2):
(2.2)
е изпълнено, защото , и (2.1) е изпълнено:
(2.1) .

Тъй като сме избрали произволно точка А, това се отнася за всички точки на графиката:
всички точки от графиката на функцията, отразени симетрично спрямо правата, принадлежат на графиката на обратната функция.
Тогава можем да си разменим местата. В резултат на това получаваме
всички точки от графиката на функцията, отразени симетрично спрямо правата, принадлежат на графиката на функцията.
От това следва, че графиките на функциите и са симетрични спрямо правата.

Имотът е доказан.

Доказателство на теоремата за съществуването и непрекъснатостта на обратната функция на интервал

Нека обозначава областта на дефиниране на функцията - отсечката .

1. Нека покажем, че наборът от стойности на функцията е интервалът:
,
където .

Наистина, тъй като функцията е непрекъсната на сегмента , тогава, съгласно теоремата на Вайерщрас, тя достига своя минимум и максимум на него. След това, според теоремата на Болцано-Коши, функцията взема всички стойности от сегмента. Това е, за всяко съществува , за което . Тъй като има минимум и максимум, функцията приема само стойности на сегмента от набора.

2. Тъй като функцията е строго монотонна, тогава според горното има обратна функция, която също е строго монотонна (нараства, ако нараства; и намалява, ако намалява). Домейнът на обратната функция е множеството, а множеството от стойности е множеството.

3. Сега доказваме, че обратната функция е непрекъсната.

3.1. Нека има произволна вътрешна точка на отсечката : . Нека докажем, че обратната функция е непрекъсната в тази точка.

Нека съответства на точката. Тъй като обратната функция е строго монотонна, т.е. вътрешната точка на сегмента:
.
Съгласно дефиницията за непрекъснатост, трябва да докажем, че за всяка има функция, такава че
(3.1) за всички .

Имайте предвид, че можем да вземем произволно малки. Наистина, ако сме намерили функция, така че неравенствата (3.1) са изпълнени за достатъчно малки стойности на , тогава те автоматично ще бъдат изпълнени за всякакви големи стойности на , ако зададем за .

Нека го вземем толкова малък, че точките и принадлежат на сегмента:
.
Нека въведем и подредим нотацията:



.

Преобразуваме първото неравенство (3.1):
(3.1) за всички .
;
;
;
(3.2) .
Тъй като е строго монотонен, следва, че
(3.3.1) , ако се увеличава;
(3.3.2) ако намалее.
Тъй като обратната функция също е строго монотонна, неравенствата (3.3) предполагат неравенства (3.2).

За всяко ε > 0 съществува δ, така че |f -1 (y) - f -1 (y 0) |< ε за всички |y - y 0 | < δ .

Неравенствата (3.3) определят отворен интервал, чиито краища са разделени от точката на разстояния и . Нека има най-малкото от тези разстояния:
.
Поради строгата монотонност на , , . Ето защо . Тогава интервалът ще лежи в интервала, определен от неравенства (3.3). И за всички стойности, принадлежащи към него, неравенствата (3.2) ще бъдат изпълнени.

И така, открихме, че за достатъчно малък съществува , така че
при .
Сега нека променим нотацията.
За достатъчно малък , съществува такова, че
при .
Това означава, че обратната функция е непрекъсната във вътрешни точки.

3.2. Сега разгледайте краищата на областта на дефиницията. Тук всички аргументи остават същите. Трябва да се вземат предвид само едностранните съседства на тези точки. Вместо точка ще има или , а вместо точка - или .

И така, за нарастваща функция, .
при .
Обратната функция е непрекъсната при , тъй като за всеки достатъчно малък има , така че
при .

За намаляваща функция , .
Обратната функция е непрекъсната при , тъй като за всеки достатъчно малък има , така че
при .
Обратната функция е непрекъсната при , тъй като за всеки достатъчно малък има , така че
при .

Теоремата е доказана.

Доказателство на теоремата за съществуването и непрекъснатостта на обратната функция на интервала

Нека обозначава областта на функцията - отворен интервал. Нека е множеството от неговите стойности. Съгласно горното има обратна функция, която има област на дефиниция, набор от стойности и е строго монотонна (увеличава се, ако нараства, и намалява, ако намалява). Остава да го докажем
1) множеството е отворен интервал и това
2) обратната функция е непрекъсната върху него.
Тук .

1. Нека покажем, че наборът от стойности на функцията е отворен интервал:
.

Като всеки непразен набор, чиито елементи имат операция за сравнение, наборът от функционални стойности има долни и горни граници:
.
Тук и могат да бъдат крайни числа или символи и .

1.1. Нека покажем, че точките и не принадлежат към множеството от стойности на функцията. Тоест наборът от стойности не може да бъде сегмент.

Ако или е точка в безкрайността: или , тогава такава точка не е елемент от множеството. Следователно не може да принадлежи към набор от стойности.

Нека (или ) е крайно число. Да приемем обратното. Нека точката (или) принадлежи към множеството от стойности на функцията. Тоест съществува такова, за което (или ). Вземете точки и задоволявайки неравенствата:
.
Тъй като функцията е строго монотонна, тогава
, ако f нараства;
ако f намалява.
Тоест намерихме точка, в която стойността на функцията е по-малка (по-голяма от ). Но това противоречи на определението за долно (горно) лице, според което
за всички .
Следователно точките и не може да принадлежи към набор от стойности функции .

1.2. Сега нека покажем, че наборът от стойности е интервал , а не обединение на интервали и точки. Тоест за всяка точка съществува , за което .

Съгласно дефинициите на долните и горните стени, във всяка близост на точките и съдържа поне един елемент от множеството . Позволявам - произволно число, принадлежащо на интервала : . След това за квартала съществува , за което
.
За квартала съществува , за което
.

Тъй като и , тогава . Тогава
(4.1.1) ако се увеличава;
(4.1.2) ако намалява.
Неравенствата (4.1) се доказват лесно от противно. Но можете да използвате , според който на снимачната площадка има обратна функция , което е строго нарастващо, ако и строго намалява, ако . Тогава веднага получаваме неравенства (4.1).

Така че имаме сегмент , където ако се увеличава;
ако намалява.
В краищата на сегмента функцията приема стойностите и . Тъй като , тогава по теоремата на Болцано-Коши има точка , за което .

Тъй като , по този начин показахме, че за всеки съществува , за което . Това означава, че наборът от стойности на функцията е отворен интервал .

2. Нека сега покажем, че обратната функция е непрекъсната в произволна точка интервал : . За да направите това, приложете към сегмента . Тъй като , след това обратната функция непрекъснат на сегмента , включително в точката .

Теоремата е доказана.

Препратки:
О.И. Демони. Лекции по математически анализ. Част 1. Москва, 2004 г.
СМ. Николски. Курс по математически анализ. Том 1. Москва, 1983 г.