Примери за обратна матрица с решение 2x2. Обратна матрица и нейните свойства

Матрична алгебра - обратна матрица

обратна матрица

обратна матрицасе нарича матрица, която, когато се умножи отдясно и отляво по тази матрицадава матрицата на идентичността.
Обозначаваме матрицата, обратна на матрицата НОпрез , то според определението получаваме:

където д – матрица на идентичността.
квадратна матрицаНаречен неспециални (неизродени), ако неговата детерминанта не е равна на нула. Иначе се нарича специален (изродени) или единствено число.

Има една теорема: всяка неособена матрица има обратна матрица.

Операцията за намиране на обратната матрица се нарича обжалванематрици. Помислете за алгоритъма за инверсия на матрицата. Нека е дадена неособена матрица н-та поръчка:

където Δ = det А ≠ 0.

Алгебрично елементно допълнениематрици н-та поръчка НОдетерминантата на матрицата ( н–1)-ти ред, получен чрез изтриване аз-ти ред и й-та колона на матрицата НО:

Да създадем т.нар приложенматрица:

където са алгебричните допълнения на съответните елементи на матрицата НО.
Обърнете внимание, че алгебричните допълнения на редовите елементи на матрицата НОсе поставят в съответните колони на матрицата Ã , тоест матрицата се транспонира едновременно.
Разделяне на всички елементи на матрицата Ã на Δ - стойността на детерминантата на матрицата НО, получаваме обратната матрица като резултат:

Отбелязваме серията специални свойстваобратна матрица:
1) за дадена матрица НОнея обратна матрица е единственият;
2) ако има обратна матрица, тогава десен реверси ляв реверсматриците съвпадат с него;
3) специална (изродена) квадратна матрица няма обратна матрица.

Основните свойства на обратната матрица:
1) детерминантата на обратната матрица и детерминантата на оригиналната матрица са реципрочни;
2) обратната матрица на произведението на квадратните матрици е равна на произведението на обратните матрици на факторите, взети в обратен ред:

3) транспонираната обратна матрица е равна на обратната матрица от дадената транспонирана матрица:

ПРИМЕР Изчислете матрицата, обратна на дадената.

Определение 1:Една матрица се нарича изродена, ако нейният детерминант е нула.

Определение 2:Матрицата се нарича неособена, ако нейният детерминант не е равен на нула.

Матрица "А" се нарича обратна матрица, ако е изпълнено условието A*A-1 = A-1 *A = E (матрица на идентичност).

Квадратната матрица е обратима само ако е неособена.

Схема за изчисляване на обратната матрица:

1) Изчислете детерминантата на матрицата "A", ако ∆ A = 0, тогава обратната матрица не съществува.

2) Намерете всички алгебрични допълнения на матрицата "A".

3) Съставете матрица от алгебрични добавки (Aij )

4) Транспонирайте матрицата на алгебричните допълнения (Aij )T

5) Умножете транспонираната матрица по число, обратна детерминантатази матрица.

6) Изпълнете проверка:

На пръв поглед може да изглежда, че е трудно, но всъщност всичко е много просто. Всички решения се основават на прости аритметични операции, основното при решаването е да не се бъркате със знаците "-" и "+" и да не ги губите.

Сега нека решим заедно практическа задача, изчисляване на обратната матрица.

Задача: намерете обратната матрица "A", показана на снимката по-долу:

Решаваме всичко точно както е посочено в плана за изчисляване на обратната матрица.

1. Първото нещо, което трябва да направите, е да намерите детерминантата на матрицата "A":

Обяснение:

Опростихме нашия детерминант, като използвахме основните му функции. Първо добавихме към 2-ри и 3-ти ред елементите от първия ред, умножени по едно число.

Второ, сменихме 2-ра и 3-та колона на детерминантата и според нейните свойства сменихме знака пред нея.

Трето, извадихме общия множител (-1) на втория ред, като по този начин отново променихме знака и той стана положителен. Също така опростихме ред 3 по същия начин, както в самото начало на примера.

Имаме триъгълен детерминант, в който елементите под диагонала са равни на нула и по свойство 7 то е равно на произведениетодиагонални елементи. В резултат на това получихме ∆ A = 26, следователно съществува обратната матрица.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. Следващата стъпка е да се състави матрица от получените добавки:

5. Умножаваме тази матрица по реципрочната стойност на детерминантата, т.е. по 1/26:

6. Е, сега просто трябва да проверим:

По време на проверката получихме идентификационна матрица, следователно решението беше взето абсолютно правилно.

2 начин за изчисляване на обратната матрица.

1. Елементарно преобразуване на матрици

2. Обратна матрица чрез елементарен преобразувател.

Елементарната матрична трансформация включва:

1. Умножаване на низ с различно от нула число.

2. Добавяне към всеки ред на друг ред, умножен по число.

3. Размяна на редовете на матрицата.

4. Поставяне на веригата елементарни трансформации, получаваме друга матрица.

НО -1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A -1 )

2. А -1*A=E

Помислете за това практически примерс реални числа.

Упражнение:Намерете обратната матрица.

Решение:

Да проверим:

Малко пояснение за решението:

Първо разменихме редове 1 и 2 на матрицата, след което умножихме първия ред по (-1).

След това първият ред беше умножен по (-2) и добавен към втория ред на матрицата. След това умножихме втория ред по 1/4.

финален етаптрансформациите бяха умножението на втория ред по 2 и събирането от първия. В резултат на това имаме матрица за идентичност отляво, следователно обратната матрица е матрицата отдясно.

След проверка се убедихме в правилността на решението.

Както можете да видите, изчисляването на обратната матрица е много просто.

В заключение на тази лекция бих искал да отделя малко време и на свойствата на такава матрица.

Намиране на обратната матрица- проблем, който най-често се решава по два метода:

• методът на алгебричните допълнения, при който се изисква намиране на детерминанти и транспониране на матрици;
• метод на елиминиране неизвестен гаус, в който се изисква да се извършват елементарни трансформации на матрици (събиране на редове, умножаване на редове по едно и също число и т.н.).

За тези, които са особено любопитни, има и други методи, например методът на линейните трансформации. В този урок ще анализираме трите споменати метода и алгоритмите за намиране на обратната матрица чрез тези методи.

обратна матрица НО, такава матрица се нарича

НО
. (1)

обратна матрица да се намери за даденото квадратна матрица НО, такава матрица се нарича

продуктът, чрез който матриците НОвдясно е матрицата на идентичността, т.е.
. (1)

Идентификационната матрица е диагонална матрица, в която всички диагонални записи са равни на единица.

Теорема.За всяка неособена (неособена, неособена) квадратна матрица може да се намери обратна матрица и освен това само една. За специална (изродена, сингулярна) квадратна матрица обратната матрица не съществува.

Квадратната матрица се нарича неспециални(или неизродени, неединствен), ако неговата детерминанта не е равна на нула, и специален(или изродени, единствено число), ако неговата детерминанта е нула.

Обратната матрица може да се намери само за квадратна матрица. Естествено, обратната матрица също ще бъде квадратна и от същия ред като дадената матрица. Матрица, за която може да се намери обратна матрица, се нарича обратима матрица.

За обратна матрица има подходяща аналогия с реципрочната стойност на число. За всяко число а, което не е равно на нула, съществува число bче работата аи bравно на едно: аб= 1. Номер bсе нарича реципрочна стойност на число b. Например за числото 7 обратното е числото 1/7, тъй като 7*1/7=1.

Намиране на обратната матрица по метода на алгебричните допълнения (матрица на обединение)

За неособена квадратна матрица НОобратното е матрицата

където е матричната детерминанта НО, а е матрицата, свързана с матрицата НО.

В съюз с квадратна матрица Ае матрица от същия ред, чиито елементи са алгебричните допълнения на съответните елементи на детерминантата на матрицата, транспонирана по отношение на матрицата A. Така, ако

тогава

и

Алгоритъм за намиране на обратната матрица по метода на алгебричните събирания

1. Намерете детерминантата на тази матрица А. Ако детерминантата е равна на нула, намирането на обратната матрица спира, тъй като матрицата е изродена и за нея няма обратна.

2. Намерете матрица, транспонирана по отношение на А.

3. Изчислете елементите на обединителната матрица като алгебричните допълнения на марита, намерени в стъпка 2.

4. Приложете формула (2): умножете реципрочната стойност на детерминантата на матрицата А, към матрицата на обединение, намерена в стъпка 4.

5. Проверете резултата, получен в стъпка 4, като умножите тази матрица Акъм обратната матрица. Ако произведението на тези матрици е равно на единичната матрица, тогава обратната матрица е намерена правилно. В противен случай стартирайте процеса на решение отново.

Пример 1За матрица

намерете обратната матрица.

Решение. За да се намери обратната матрица, е необходимо да се намери детерминантата на матрицата НО. Намираме по правилото на триъгълниците:

Следователно матрицата НОе неединично (неизродено, неединично) и има обратно за него.

Нека намерим матрицата, свързана с дадената матрица НО.

Нека намерим матрицата, транспонирана по отношение на матрицата А:

Ние изчисляваме елементите на обединителната матрица като алгебрични допълнения на матрицата, транспонирани по отношение на матрицата А:

Следователно, матрицата, конюгирана с матрицата А, има формата

Коментирайте.Редът на изчисляване на елементите и транспонирането на матрицата може да бъде различен. Първо могат да се изчислят алгебричните допълнения на матрицата А, и след това транспонирайте матрицата от алгебрични допълнения. Резултатът трябва да бъде същите елементи на обединителната матрица.

Прилагайки формула (2), намираме матрицата, обратна на матрицата НО:

Намиране на обратната матрица чрез елиминиране на неизвестните по Гаус

Първата стъпка за намиране на обратната матрица чрез елиминиране на Гаус е да се присвои на матрицата Аидентификационна матрица от същия ред, като ги разделя с вертикална черта. Получаваме двойна матрица. Умножете двете части на тази матрица по , тогава получаваме

,

Алгоритъм за намиране на обратната матрица чрез елиминиране на неизвестните по Гаус

1. Към матрицата Азадайте идентична матрица от същия ред.

2. Трансформирайте получената двойна матрица, така че матрицата за идентичност да се получи в лявата й част, след което обратната матрица автоматично ще бъде получена в дясната част на мястото на матрицата за идентичност. Матрица Аот лявата страна се преобразува в матрицата на идентичност чрез елементарни трансформации на матрицата.

2. Ако в процеса на матрична трансформация Ав матрицата за идентичност във всеки ред или във всяка колона ще има само нули, тогава детерминантата на матрицата е равна на нула и следователно матрицата Аще бъде изродена и няма обратна матрица. В този случай по-нататъшното намиране на обратната матрица спира.

Пример 2За матрица

намерете обратната матрица.

и ще го трансформираме така, че матрицата на идентичност да се получи от лявата страна. Да започнем трансформацията.

Умножете първия ред на лявата и дясната матрица по (-3) и го добавете към втория ред, след което умножете първия ред по (-4) и го добавете към третия ред, след което получаваме

.

Да се ​​избягва, ако е възможно дробни числав следващите трансформации първо ще създадем единица във втория ред от лявата страна на двойната матрица. За да направите това, умножете втория ред по 2 и извадете третия ред от него, тогава получаваме

.

Нека добавим първия ред към втория и след това да умножим втория ред по (-9) и да го добавим към третия ред. Тогава получаваме

.

След това разделете третия ред на 8

.

Умножете третия ред по 2 и го добавете към втория ред. Оказва се:

.

Разменяйки местата на втория и третия ред, накрая получаваме:

.

Виждаме, че матрицата на идентичността се получава от лявата страна, следователно обратната матрица се получава от дясната страна. По този начин:

.

Можете да проверите правилността на изчисленията, като умножите оригиналната матрица по намерената обратна матрица:

Резултатът трябва да бъде обратна матрица.

Пример 3За матрица

намерете обратната матрица.

Решение. Съставяне на двойна матрица

и ние ще го трансформираме.

Умножаваме първия ред по 3, а втория по 2 и изваждаме от втория, след което умножаваме първия ред по 5 и третия по 2 и изваждаме от третия ред, тогава получаваме

.

Умножаваме първия ред по 2 и го добавяме към втория, след което изваждаме втория от третия ред, след което получаваме

.

Виждаме, че в третия ред от лявата страна всички елементи се оказаха равни на нула. Следователно матрицата е изродена и няма обратна матрица. Спираме по-нататъшното намиране на обратната мария.

Матрицата $A^(-1)$ се нарича обратна на квадратната матрица $A$, ако $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, където $E $ е единичната матрица, чийто ред е равен на реда на матрицата $A$.

Неособена матрица е матрица, чийто детерминант не е равен на нула. Съответно, изродена матрица е тази, чиято детерминанта е равна на нула.

Обратната матрица $A^(-1)$ съществува тогава и само ако матрицата $A$ е неособена. Ако обратната матрица $A^(-1)$ съществува, тогава тя е уникална.

Има няколко начина да намерите обратното на матрица и ще разгледаме два от тях. Тази страница ще покрие метода на свързаната матрица, който се счита за стандартен в повечето курсове. висша математика. Вторият начин за намиране на обратната матрица (метод на елементарни трансформации), който включва използването на метода на Гаус или метода на Гаус-Джордан, е разгледан във втората част.

Метод на съединена (обединена) матрица

Нека е дадена матрицата $A_(n\times n)$. За да се намери обратната матрица $A^(-1)$, са необходими три стъпки:

1. Намерете детерминантата на матрицата $A$ и се уверете, че $\Delta A\neq 0$, т.е. че матрицата A е неизродена.
2. Съставете алгебрични допълнения $A_(ij)$ на всеки елемент от матрицата $A$ и запишете матрицата $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ от намереното алгебрични допълнения.
3. Напишете обратната матрица, като вземете предвид формулата $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Матрицата $(A^(*))^T$ често се нарича присъединена (взаимна, съюзна) матрица на $A$.

Ако решението се взема ръчно, тогава първият метод е добър само за матрици с относително малки поръчки: втори (), трети (), четвърти (). Да се ​​намери обратната на матрица по-висок ред, се използват други методи. Например методът на Гаус, който е разгледан във втората част.

Пример #1

Намерете матрица, обратна на матрица $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Тъй като всички елементи от четвъртата колона са равни на нула, тогава $\Delta A=0$ (т.е. матрицата $A$ е изродена). Тъй като $\Delta A=0$, няма матрица, обратна на $A$.

Пример #2

Намерете матрицата, обратна на матрицата $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.

Използваме метода на свързаната матрица. Първо намираме детерминантата дадена матрица$A$:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Тъй като $\Delta A \neq 0$, тогава обратната матрица съществува, така че ние продължаваме решението. Намиране на алгебрични допълнения

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(подравнено)

Съставете матрица от алгебрични допълнения: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Транспонирайте получената матрица: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (резултантната матрицата често се нарича присъединена или обединена матрица към матрицата $A$). Използвайки формулата $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, имаме:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

Така се намира обратната матрица: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array) \вдясно) $. За да проверите истинността на резултата, е достатъчно да проверите истинността на едно от равенствата: $A^(-1)\cdot A=E$ или $A\cdot A^(-1)=E$. Нека проверим равенството $A^(-1)\cdot A=E$. За да работим по-малко с дроби, ще заместим матрицата $A^(-1)$ не във формата $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ но като $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ край (масив)\десен)$:

Отговор: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

Пример #3

Намерете обратната на матрицата $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$.

Нека започнем с изчисляване на детерминантата на матрицата $A$. И така, детерминантата на матрицата $A$ е:

$$ \Delta A=\left| \begin(масив) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(масив) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Тъй като $\Delta A\neq 0$, тогава обратната матрица съществува, така че продължаваме решението. Намираме алгебричните допълнения на всеки елемент от дадената матрица:

Съставяме матрица от алгебрични добавки и я транспонираме:

$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$

Използвайки формулата $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, получаваме:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(масив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$

Така че $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. За да проверите истинността на резултата, е достатъчно да проверите истинността на едно от равенствата: $A^(-1)\cdot A=E$ или $A\cdot A^(-1)=E$. Нека проверим равенството $A\cdot A^(-1)=E$. За да работим по-малко с дроби, ще заместим матрицата $A^(-1)$ не във формата $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, но като $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

Проверката е преминала успешно, обратната матрица $A^(-1)$ е намерена правилно.

Отговор: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

Пример #4

Намерете матрица, обратна на $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

За матрица от четвърти ред, намирането на обратната матрица с помощта на алгебрични добавки е малко трудно. Въпреки това, такива примери контролна работаСреща.

За да намерите обратната матрица, първо трябва да изчислите детерминантата на матрицата $A$. Най-добрият начин да направите това в тази ситуация е да разширите детерминантата в ред (колона). Избираме всеки ред или колона и намираме алгебричното допълнение на всеки елемент от избрания ред или колона.

Намиране на обратната матрица.

В тази статия ще разгледаме концепцията за обратна матрица, нейните свойства и начините за намирането й. Нека се спрем подробно на решаването на примери, в които се изисква да се изгради обратна матрица за дадена.

Навигация в страницата.

Обратна матрица - определение.

Намиране на обратната матрица с помощта на матрица от алгебрични добавки.

Свойства на обратната матрица.

Намиране на обратната матрица по метода на Гаус-Жордан.

Намиране на елементи от обратната матрица чрез решаване на съответните системи от линейни алгебрични уравнения.

Обратна матрица - определение.

Концепцията за обратна матрица се въвежда само за квадратни матрици, чиято детерминанта е различна от нула, т.е. за неособени квадратни матрици.

Определение.

Матрицасе нарича обратна на матрицата, чийто детерминант е различен от нула, ако равенствата са верни , където де идентичната матрица на реда нна н.

Намиране на обратната матрица с помощта на матрица от алгебрични добавки.

Как да намерим обратната матрица за дадена?

Първо, имаме нужда от концепциите транспонирана матрица, матричният минор и алгебричното допълнение на матричния елемент.

Определение.

Незначителенк-то поръчкаматрици Апоръчка мна не детерминантата на матрицата на поръчката кна к, който се получава от елементите на матрицата НОразположени в избрания клинии и кколони. ( кне надвишава най-малкото число мили н).

Незначителен (n-1)-торед, който се състои от елементите на всички редове, с изключение на i-тои всички колони с изключение на j-ти, квадратна матрица НОпоръчка нна ннека го обозначим като.

С други думи, минорът се получава от квадратната матрица НОпоръчка нна нзачеркване на елементи i-толинии и j-тиколона.

Например, нека напишем, минор 2-роред, който се получава от матрицата избор на елементи от неговия втори, трети ред и първа, трета колона . Показваме и минора, който се получава от матрицата изтриване на втория ред и третата колона . Нека илюстрираме конструкцията на тези второстепенни: и .

Определение.

Алгебрично събиранеелемент на квадратна матрица се нарича второстепенен (n-1)-торед, който се получава от матрицата НО, изтривайки елементи от него i-толинии и j-тиколона, умножена по .

Алгебричното допълнение на елемент се означава като . По този начин, .

Например за матрица алгебричното допълнение на елемента е .

Второ, ще ни трябват две свойства на детерминантата, които обсъдихме в раздела изчисляване на матрична детерминанта:

Въз основа на тези свойства на детерминантата дефинициите операции за умножение на матрица по числои концепцията за обратна матрица, имаме равенството , където е транспонирана матрица, чиито елементи са алгебрични добавки.

Матрица наистина е обратната на матрицата НО, тъй като равенствата . Нека го покажем

Да композираме алгоритъм с обратна матрицаизползвайки равенство .

Нека анализираме алгоритъма за намиране на обратната матрица с помощта на пример.

Пример.

Дадена е матрица . Намерете обратната матрица.

Решение.

Изчислете матричната детерминанта НО, разширявайки го с елементите на третата колона:

Детерминантата е различна от нула, така че матрицата НОобратими.

Нека намерим матрица от алгебрични добавки:

Ето защо

Нека извършим транспонирането на матрицата от алгебрични добавки:

Сега намираме обратната матрица като :

Да проверим резултата:

Равенство се изпълняват, следователно обратната матрица е намерена правилно.

Свойства на обратната матрица.

Понятие за обратна матрица, равенство , дефинициите на операциите върху матрици и свойствата на детерминанта на матрица позволяват да се обоснове следното свойства на обратната матрица:

Намиране на елементи от обратната матрица чрез решаване на съответните системи от линейни алгебрични уравнения.

Помислете за друг начин за намиране на обратната матрица за квадратна матрица НОпоръчка нна н.

Този метод се основава на решението нсистеми от линейни нееднородни алгебрични уравнения с ннеизвестен. Неизвестните променливи в тези системи от уравнения са елементите на обратната матрица.

Идеята е много проста. Обозначаваме обратната матрица като х, това е, . Тъй като по дефиниция на обратната матрица , тогава

Приравнявайки съответните елементи по колони, получаваме нсистеми от линейни уравнения

Решаваме ги по произволен начин и формираме обратна матрица от намерените стойности.

Нека анализираме този метод с пример.

Пример.

Дадена е матрица . Намерете обратната матрица.

Решение.

Приеми . Равенството ни дава три системи от линейни нехомогенни алгебрични уравнения:

Няма да описваме решението на тези системи, ако е необходимо, вижте раздела решение на системи от линейни алгебрични уравнения.

От първата система от уравнения имаме , от втората - , от третата - . Следователно желаната обратна матрица има формата . Препоръчваме да проверите, за да се уверите, че резултатът е правилен.

Обобщете.

Разгледахме концепцията за обратна матрица, нейните свойства и три метода за намирането й.

Пример за решения на обратна матрица

Упражнение 1.Решете SLAE, като използвате метода на обратната матрица. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x4 = 4

Начало на формуляра

Край на формата

Решение. Нека запишем матрицата във формата: Вектор B: B T = (1,2,3,4) Голяма детерминанта Малка за (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 Малък за (2,1): = 3 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 Малък за (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 Малък за (4,1): = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Второстепенна детерминанта ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Транспонирана матрицаАлгебрични допълнения ∆ 1.1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1.2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1,3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1,4 = -3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2,1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4 )+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2,2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2,3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2,4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5)+1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3,1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3,2 = -2 (7 1-2 4 )-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3,3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4-5 4) = 1 ∆ 3,4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4,1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4,2 = 2 ( 7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -3 ∆ 4,3 \u003d -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4,4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6- 3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 обратна матрица Резултат вектор X X = A -1 ∙ B X T = (2,-1,-0,33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0,33 x 4 = 1

Вижте също Решения на SLAE по метода на обратната матрицаонлайн. За да направите това, въведете вашите данни и вземете решение с подробни коментари.

Задача 2. Напишете системата от уравнения в матрична форма и я решете с помощта на обратната матрица. Проверете полученото решение. Решение:xml:xls

Пример 2. Напишете системата от уравнения в матрична форма и решете с помощта на обратната матрица. Решение:xml:xls

Пример. Дадена е система от три линейни уравнения с три неизвестни. Задължително: 1) намерете решението му, като използвате Формули на Крамер; 2) напишете системата в матрична форма и я решете с помощта на матрично смятане. Насоки. След решаване по метода на Cramer намерете бутона "Решение на обратна матрица за първоначални данни". Ще получите подходящо решение. Така данните няма да се налага да се попълват отново. Решение. Означаваме с A - матрицата на коефициентите за неизвестни; X - колонна матрица на неизвестните; B - матрица-колона на безплатните членове:

Вектор B: B T =(4,-3,-3) Като се имат предвид тези обозначения, тази система от уравнения приема следната матрична форма: А*Х = B. Ако матрицата А е неособена (нейният детерминант е различен от нула, тогава тя има обратна матрица А -1 , Умножавайки двете страни на уравнението с A -1, получаваме: A -1 * A * X \u003d A -1 * B, A -1 * A \u003d E. Това равенство се нарича матрична нотация на решението на системата от линейни уравнения. За да се намери решение на системата от уравнения, е необходимо да се изчисли обратната матрица A -1 . Системата ще има решение, ако детерминантата на матрицата A е различна от нула. Нека намерим основната детерминанта. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 И така, детерминантата е 14 ≠ 0, така че ние продължаваме решението. За да направим това, намираме обратната матрица чрез алгебрични добавки. Нека имаме неособена матрица A:

Изчисляваме алгебрични добавки.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 = -1 x 2 = 14 / 14 =1 x 3 = 28 / 14 =2 Преглед. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 док:xml:xls Отговор: -1,1,2.