Нека сега видим дали вълновото уравнение наистина описва основните свойства на звуковите вълни в дадена среда. Първо, искаме да заключим, че звуковата вълна или смущението се движи с постоянна скорост. Освен това трябва да докажем, че две различни вибрации могат свободно да преминават една през друга, т.е. принципът на суперпозицията. Също така искаме да докажем, че звукът може да се разпространява както надясно, така и наляво. Всички тези свойства трябва да се съдържат в нашето единствено уравнение.

По-рано отбелязахме, че всяко смущение, което има формата на плоска вълна и се движи с постоянна скорост, може да бъде записано като е(х—vt). Нека сега да видим дали f(х— vT) решение на вълновото уравнение. Компютри dχ/dx,получаваме производната на функцията д χ / дх= f`(х—vt). Разграничавайки отново, намираме

Разграничаване на същата функция χ На T, вземете стойността - v, умножено по производната, или д χ / дT = —vf`(х — vt); втората производна по отношение на времето дава

Очевидно е, че f (Х — vt) удовлетворява вълновото уравнение, ако v се равнява ° Сс.
Така от законите на механиката получаваме, че всяко звуково смущение се разпространява със скорост ° Сс и между другото,

по този начин свързахме скоростта на звуковите вълни със свойстватаоколен свят.

Лесно е да се види, че звуковата вълна може да се разпространява и в отрицателна посока Х,т.е. звуково нарушение на формата χ(x, t)=g(x+vt) също удовлетворява вълновото уравнение. Единствената разлика между тази вълна и тази, която се разпространява отляво надясно, е знакът v,но знак d 2 χ / дt2не зависи от избора x+vtили х—vT,тъй като тази производна съдържа само v 2.От това следва, че решението на уравнението описва вълни, движещи се във всяка посока със скорост ° Сс .


От особен интерес е въпросът за суперпозицията на решенията. Да кажем, че намерихме едно решение, да речем χ 1 . Това означава, че втората производна χ 1 . На хравно на втората производна χ 1 На T,умножено по 1/c 2 s. И нека има второ решение χ 2 притежаващи същото имущество. Събирайки тези две решения, получаваме

Сега искаме да се уверим в това χ(x,T)също представлява определена вълна, т.е. χ също удовлетворява вълновото уравнение. Това е много лесно да се докаже, тъй като

Оттук следва, че d 2 χ/дx 2 = (1/c 2 s)d2χ лдt2,така че валидността на принципа на суперпозицията е проверена. Самото съществуване на принципа на суперпозицията се дължи на факта, че вълновото уравнение линейноНа χ .


Сега би било естествено да се очаква, че плоска светлинна вълна се разпространява по оста хи поляризиран така, че електрическото поле да е насочено по оста при, също удовлетворява вълновото уравнение

където се скоростта на светлината. Вълновото уравнение за светлинна вълна е едно от следствията на уравненията на Максуел. Уравненията на електродинамиката водят до вълново уравнение за светлината, точно както уравненията на механиката водят до вълново уравнение за звука.

Вълни. вълново уравнение

В допълнение към движенията, които вече разгледахме, в почти всички области на физиката има друг вид движение - вълни. Отличителна черта на това движение, което го прави уникално е, че във вълната се разпространяват не частиците на материята, а промените в тяхното състояние (смущения).

Нар. смущения, които се разпространяват в пространството във времето вълни . Вълните са механични и електромагнитни.

еластични вълниса разпространяващи се смущения на еластичната среда.

Смущението на еластична среда е всяко отклонение на частиците на тази среда от равновесното положение. Смущенията възникват в резултат на деформация на средата на някое от нейните места.

Съвкупността от всички точки, до които е достигнала вълната в даден момент, образува повърхност, наречена фронт на вълната .

Според формата на фронта вълните се делят на сферични и плоски. Посока определя се разпространението на вълновия фронтперпендикулярно на вълновия фронт, т.нар лъч . За сферичната вълна лъчите са радиално разминаващ се лъч. За плоска вълна лъчът е лъч от успоредни прави.

Във всяка механична вълна съществуват два вида движение едновременно: трептене на частиците на средата и разпространение на смущение.

Вълна, при която трептенията на частиците на средата и разпространението на смущението протичат в една и съща посока, се нарича надлъжно (фиг.7.2 а).

Вълна, при която частиците на средата осцилират перпендикулярно на посоката на разпространение на смущенията, се нарича напречен (Фиг. 7.2 b).

При надлъжната вълна смущенията представляват компресия (или разреждане) на средата, а при напречната вълна те са премествания (срязвания) на едни слоеве на средата спрямо други. Надлъжните вълни могат да се разпространяват във всички среди (течни, твърди и газообразни), докато напречните вълни могат да се разпространяват само в твърди.

Всяка вълна се разпространява с определена скорост . Под скорост на вълната υ разберете скоростта на разпространение на смущението.Скоростта на вълната се определя от свойствата на средата, в която се разпространява тази вълна. В твърдите тела скоростта на надлъжните вълни е по-голяма от скоростта на напречните вълни.

Дължина на вълнатаλ е разстоянието, на което вълната се разпространява за време, равно на периода на трептене в нейния източник. Тъй като скоростта на вълната е постоянна величина (за дадена среда), изминатото от вълната разстояние е равно на произведението на скоростта и времето на нейното разпространение. Така че дължината на вълната

От уравнение (7.1) следва, че частиците, разделени една от друга с интервал λ, осцилират в една и съща фаза. Тогава можем да дадем следната дефиниция на дължината на вълната: дължината на вълната е разстоянието между две най-близки точки, осцилиращи в една и съща фаза.

Нека изведем уравнението на плоска вълна, което ни позволява да определим изместването на всяка точка от вълната по всяко време. Нека вълната се разпространява по лъча от източника с някаква скорост v.

Източникът възбужда прости хармонични трептения, а изместването на всяка точка от вълната във всеки момент от времето се определя от уравнението

S = Asinωt (7. 2)

Тогава точката от средата, която се намира на разстояние х от източника на вълната, също ще извършва хармонични трептения, но със закъснение от , т.е. времето, необходимо на вибрациите да се разпространят от източника до тази точка. Преместването на осцилиращата точка спрямо равновесното положение във всеки момент от времето ще бъде описано от съотношението

(7. 3)

Това е уравнението на равнинната вълна. Тази вълна се характеризира със следните параметри:

· S - преместване от положението на равновесната точка на еластичната среда, до която е достигнало трептенето;

· ω - циклична честота на генерираните от източника трептения, с които трептят и точките на средата;

· υ - скоростта на разпространение на вълната (фазова скорост);

x – разстоянието до тази точка от средата, до която е достигнало трептенето и чието преместване е равно на S;

· t – времето, отчитано от началото на трептенията;

Въвеждайки дължината на вълната λ в израза (7.3), уравнението на равнинната вълна може да бъде написано, както следва:

(7. 4)

където наречено вълново число (брой вълни на единица дължина).

вълново уравнение

Уравнението на равнинната вълна (7.5) е едно от възможните решения на общото диференциално уравнение с частни производни, което описва процеса на разпространение на смущение в среда. Такова уравнение се нарича вълна . Уравнения (7.5) включват променливи t и x, т.е. преместването периодично се променя както във времето, така и в пространството S = f(x, t). Вълновото уравнение може да се получи чрез диференциране на (7.5) два пъти по отношение на t:

И два пъти х

Замествайки първото уравнение във второто, получаваме уравнението на равнинна вълна, движеща се по оста X:

(7. 6)

Уравнение (7.6) се нарича вълна, а за общия случай, когато преместването е функция на четири променливи, то има формата

(7.7)

, където е операторът на Лаплас

§ 7.3 Вълнова енергия. Вектор Умов.

При разпространение в среда на плоска вълна

(7.8)

се осъществява трансфер на енергия. Нека мислено отделим елементарния обем ∆V, който е толкова малък, че скоростта на движение и деформацията във всички негови точки могат да се считат за еднакви и съответно равни

Разпределеният обем има кинетична енергия

(7.10)

m=ρ∆V е масата на материята в обема ∆V, ρ е плътността на средата].

(7.11)

Замествайки в (7.10) стойността , получаваме

(7.12)

Максимумите на кинетичната енергия падат върху тези точки на средата, които преминават през равновесните позиции в даден момент от време (S = 0), в тези моменти от време колебателното движение на точките на средата се характеризира с най-висока скорост .

Разглежданият обем ∆V има и потенциалната енергия на еластична деформация

[E - модул на Юнг; - относително удължение или компресия].

Като вземем предвид формула (7.8) и израза за производната, намираме, че потенциалната енергия е равна на

(7.13)

Анализът на изразите (7.12) и (7.13) показва, че максимумите на потенциалната и кинетичната енергия съвпадат. Трябва да се отбележи, че това е характерна черта на пътуващите вълни. За да определите общата обемна енергия ∆V, трябва да вземете сумата от потенциалната и кинетичната енергия:

Разделяйки тази енергия на обема, в който се съдържа, получаваме енергийната плътност:

(7.15)

От израз (7.15) следва, че плътността на енергията е функция на координатата x, т.е. има различни стойности в различни точки на пространството. Плътността на енергията достига своята максимална стойност в тези точки в пространството, където отместването е нула (S = 0). Средната енергийна плътност във всяка точка на средата е

(7.16)

тъй като средната

По този начин средата, в която се разпространява вълната, има допълнителен резерв от енергия, който се доставя от източника на трептения в различни области на средата.

Преносът на енергия във вълните се характеризира количествено чрез вектора на плътността на енергийния поток. Този вектор за еластични вълни се нарича вектор на Умов (на името на руския учен Н. А. Умов). Посоката на вектора на Umov съвпада с посоката на пренос на енергия и неговият модул е ​​равен на енергията, пренесена от вълна за единица време през единица площ, разположена перпендикулярно на посоката на разпространение на вълната.

Механизмът на образуване на механични вълни в еластична среда.

МЕХАНИЧНИ ВЪЛНИ

1. Механизмът на образуване на механични вълни в еластична среда. Надлъжни и напречни вълни. Вълново уравнение и неговото решение. Хармонични вълни и техните характеристики.

2. Фазова скорост и вълнова дисперсия. Вълнов пакет и групова скорост.

3. Понятието кохерентност. Вълнова интерференция. стоящи вълни.

4. Доплеров ефект за звукови вълни.

Ако в някое място на еластична среда (твърда, течна или газообразна) се възбудят трептения на нейните частици, тогава поради взаимодействието между частиците това трептене ще се разпространява в средата от частица към частица с определена скорост. Процесът на разпространение на трептенията в пространството се нарича вълна. Геометричното място на точките, до които трептенията достигат до момента t, се нарича вълнов фронт (вълнов фронт).В зависимост от формата на фронта, вълната може да бъде сферична, плоска и др.

Вълната се нарича надлъжна, ако посоката на изместване на частиците на средата съвпада с посоката на разпространение на вълната.

Надлъжната вълна се разпространява в твърди, течни и газообразни среди.

Вълната се нарича напречна, ако изместването на частиците на средата е перпендикулярно на посоката на разпространение на вълната. Напречна механична вълна се разпространява само в твърди тела (в среди с устойчивост на срязване, следователно такава вълна не може да се разпространява в течности и газове).

Уравнение за определяне на преместването(x, t) на всяка точка от средата с координата x във всеки момент t се нарича вълново уравнение.

Например уравнението на равнинната вълна, т.е. вълна, разпространяваща се в една посока, например по посока на оста x, има формата

Нека въведем стойността, която се нарича вълново число.

Ако умножим вълновото число по единичния вектор на посоката на разпространение на вълната, получаваме вектор, наречен вълнов вектор

Използване на оператора на Лаплас (Лапласиан) това уравнение може да бъде написано по-сбито

(Решението на това уравнение е вълновото уравнение (28-1), (28-2).)

Определение 1

В случай, че една вълна се разпространява в хомогенна среда, тогава нейното движение обикновено се описва с вълново уравнение(чрез частично диференциално уравнение):

\[\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial t^2)=v^2\left(\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial x ^2)+\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial y^2)+\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial z^2)\ дясно)\ляво(1\дясно)\]

\[\триъгълник \overrightarrow(s)=\frac(1)(v^2)\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial t^2)\left(2\right), \]

където $v$ е фазовата скорост на вълната $\triangle =\frac((\partial )^2)(\partial x^2)+\frac((\partial )^2)(\partial y^2) +\ frac((\partial )^2)(\partial z^2)$ е операторът на Лаплас. Уравнение (1.2) се решава чрез уравнението на всяка вълна; тези уравнения отговарят, например, както на равнинни, така и на сферични вълни.

Ако плоска вълна се разпространява по оста $X$, тогава уравнение (1) се представя като:

Бележка 1

Ако дадено физическо количество се разпространява като вълна, тогава то задължително удовлетворява вълновото уравнение. Обратното твърдение е вярно: ако някое количество се подчинява на вълновото уравнение, тогава то се разпространява като вълна. Скоростта на разпространение на вълната ще бъде равна на корен квадратен от коефициента, който представлява сумата от пространствените производни (при този тип запис).

Вълновото уравнение играе много важна роля във физиката.

Решение на вълновото уравнение за плоска вълна

Нека напишем общото решение на уравнение (2) за светлинна вълна, разпространяваща се във вакуум, ако скаларната функция s зависи само от една от декартовите променливи, например $z$, т.е. $s=s(z,t)$, което означава, че функцията $s$ има постоянна стойност в точките на равнината, която е перпендикулярна на оста $z. Вълновото уравнение (1) в този случай ще приеме формата:

където скоростта на разпространение на светлината във вакуум е равна на $c$.

Общото решение на уравнение (4) при дадени условия ще бъде изразът:

където $s_1\left(z+ct\right)$ е функция, описваща произволна вълна, която се движи със скорост $c$ в отрицателна посока по отношение на посоката на оста $z, $s_2\left(z-ct \right) $ - функция, описваща произволна вълна, която се движи със скорост $c$ в положителна посока спрямо посоката на оста Z$. Трябва да се отбележи, че по време на движение стойностите на $s_1$ и $s_2$ във всяка точка на вълната и нейната форма на вълната са непроменени.

Оказва се, че вълната, която се описва чрез суперпозицията на две вълни (в съответствие с формула (5)). Освен това тези съставни вълни се движат в противоположни посоки. В този случай вече не може да се говори за скорост или посока на вълната. В най-простия случай се получава стояща вълна. В общия случай е необходимо да се разгледа сложно електромагнитно поле.

Вълново уравнение и система от уравнения на Максуел

Вълновите уравнения за колебанията на векторите на електрическото поле и вектора на магнитната индукция на магнитното поле могат лесно да бъдат получени от системата от уравнения на Максуел в диференциална форма. Нека напишем системата от уравнения на Максуел за вещество, в което няма свободни заряди и токове на проводимост:

Нека приложим операцията $rot$ към уравнение (7):

В израз (10) е възможно да се промени редът на диференциране от дясната страна на израза, тъй като пространствените координати и времето са независими променливи, следователно имаме:

Нека вземем предвид това уравнение (6), замествайки $rot\overrightarrow(B)$ в израз (11) с дясната страна на формула (6), имаме:

Знаейки, че $rotrot\overrightarrow(E)=graddiv\overrightarrow(E)-(\nabla )^2\overrightarrow(E)$ и използвайки $div\overrightarrow(E)=0$, получаваме:

По подобен начин може да се получи вълновото уравнение за вектор на магнитна индукция. Изглежда като:

В изрази (13) и (14) фазовата скорост на разпространение на вълната $(v)$ е равна на:

Пример 1

Упражнение:Вземете общото решение на вълновото уравнение $\frac((\partial )^2s)(\partial z^2)-\frac(1)(c^2)\frac((\partial )^2s)(\partial t^2 )=0(1.1)$ на плоска светлинна вълна.

Решение:

Нека въведем променливи от независим тип за функцията $s$:

\[\xi =z-ct,\ \eta =z+ct\left(1.2\right).\]

В този случай частната производна $\frac(\partial s)(\partial z)$ е равна на:

\[\frac(\partial s)(\partial z)=\frac(\partial s)(\partial \xi)\frac(\partial \xi)(\partial z)+\frac(\partial s)( \partial \eta )\frac(\partial \eta )(\partial z)=\frac(\partial s)(\partial \xi)+\frac(\partial s)(\partial \eta )\left(1.3 \вдясно).\]

Частичната производна $\frac(\partial s)(\partial t)$ е:

\[\frac(\partial s)(\partial t)=\frac(\partial s)(\partial \xi)\frac(\partial \xi)(\partial t)+\frac(\partial s)( \partial \eta)\frac(\partial \eta)(\partial t)=-c\frac(\partial s)(\partial \xi)+c\frac(\partial s)(\partial \eta)\ до \frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)=-\frac(\partial s)(\partial \xi)+\frac(\partial s)(\partial \eta) \left(1.4\right).\]

Изваждаме термин по термин израз (1.4) от израз (1.3), имаме:

\[\frac(\partial s)(\partial z)-\frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)=2\frac(\partial s)(\partial \xi) \left(1.5\right).\]

Почленно събиране на изрази (1.4) и (1.3) дава:

\[\frac(\partial s)(\partial z)-\frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)=2\frac(\partial s)(\partial \eta ) \left(1.6\right).\]

Нека намерим произведението на левите части на изрази (1.5) и (1.6) и вземем предвид резултатите, записани в десните части на тези изрази:

\[\left(\frac(\partial s)(\partial z)-\frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)\right)\left(\frac(\partial s )(\partial z)-\frac(1)(c)\frac(\partial s)(\partial t)\right)=\frac((\partial )^2s)(\partial z^2)-\ frac(1)(c^2)\frac((\partial )^2s)(\partial t^2)=4\frac(\partial )(\partial \xi )\frac(\partial s)(\partial \eta )=0\left(1.7\right).\]

Ако интегрираме израза (1.7) върху $\xi $, тогава получаваме функция, която не зависи от тази променлива и може да зависи само от $\eta $, което означава, че е произволна функция на $\Psi(\ eta)$. В този случай уравнението (1.7) ще приеме формата:

\[\frac(\partial s)(\partial \eta )=\Psi \left(\eta \right)\left(1.8\right).\]

Нека интегрираме (1.8) върху $\eta $, имаме:

където $s_1\left(3\right)$ е антипроизводната, $s_2\left(\xi \right)$ е интеграционната константа. Освен това функциите $s_1$ и $s_2$ са произволни. Като се вземат предвид изразите (1.2), общото решение на уравнение (1.1) може да се запише като:

Отговор:$s\left(z,t\right)=s_1\left(z+ct\right)+s_2\left(z-ct\right).$

Пример 2

Упражнение:Определете от вълновото уравнение каква е фазовата скорост на разпространение на плоска светлинна вълна.

Решение:

Сравняване на вълновото уравнение, например, за вектора на полето, получено от уравненията на Максуел:

\[(\nabla )^2\overrightarrow(E)-\varepsilon (\varepsilon )_0\mu (\mu )_0\frac((\partial )^2\overrightarrow(E))(\partial t^2) =0(2.1)\]

с вълновото уравнение:

\[\триъгълник \overrightarrow(s)=\frac(1)(v^2)\frac((\partial )^2\overrightarrow(s))(\partial t^2)(2.2)\]

ни позволява да заключим, че скоростта на разпространение на вълната $(v)$ е равна на:

Но тук е необходимо да се отбележи, че концепцията за скоростта на електромагнитната вълна има определено значение само с вълни с проста конфигурация; например категорията на плоските вълни е подходяща за такива вълни. Така че $v$ няма да бъде скоростта на разпространение на вълната в случай на производно решение на вълновото уравнение, което включва например стоящи вълни.

Отговор:$v=\frac(c)(\sqrt(\mu \varepsilon )).$

Едно от най-разпространените частични диференциални уравнения от втори ред в инженерната практика е вълновото уравнение, което описва различни видове трептения. Тъй като трептенията са нестационарен процес, една от независимите променливи е времето T. В допълнение, независимите променливи в уравнението също са пространствени координати x, y,z. В зависимост от броя им се разграничават едномерни, двумерни и тримерни вълнови уравнения.

Едномерно вълново уравнение- уравнение, което описва надлъжните вибрации на прът, чиито сечения извършват равнинно-паралелни колебателни движения, както и напречни вибрации на тънък прът (струна) и други задачи. 2D вълново уравнениеизползвани за изследване на вибрациите на тънка плоча (мембрана). 3D вълново уравнениеописва разпространението на вълни в пространството (например звукови вълни в течност, еластични вълни в непрекъсната среда и др.).

Помислете за едномерно вълново уравнение, което може да бъде написано като

За напречни вибрации на струната, желаната функция U(х, T) описва позицията на низа в момента T. В такъв случай а 2 = Т/ρ,където T -напрежение на струната, ρ - неговата линейна (линейна) плътност. Приема се, че колебанията са малки, т.е. амплитудата е малка в сравнение с дължината на струната. Освен това уравнение (2.63) е написано за случая на свободни трептения. В случай на принудителни трептения към дясната страна на уравнението се добавя определена функция f(х, T), характеризиращи външните влияния, докато съпротивлението на средата към колебателния процес не се взема предвид.

Най-простият проблем за уравнение (2.63) е проблемът на Коши: в началния момент от време са зададени две условия (броят на условията е равен на реда на производната по отношение на T):

Тези условия описват първоначалната форма на струната и скоростта на нейните точки.

На практика по-често се налага да се решава не проблемът на Коши за безкраен низ, а смесен проблем за ограничен низ с известна дължина л. В този случай в краищата му се задават гранични условия. По-специално, когато краищата са фиксирани, техните премествания са равни на нула, а граничните условия имат формата

Нека разгледаме някои разностни схеми за решаване на задача (2.63)-(2.65). Най-простата е изричната трислойна кръстосана схема (шаблонът е показан на фигура 2.21). Нека заменим в уравнение (2.63) вторите производни на търсената функция UНа Tи хтехните отношения с крайни разлики, използващи стойностите на функцията на мрежата в възлите на мрежата:

Ориз. 2.21. Образец на ясна схема

Оттук може да се намери явен израз за стойността на мрежовата функция на ( й + 1)ти слой:

Тук, както обикновено в трислойни схеми, за определяне на неизвестните стойности на ( й + 1)тото ниво трябва да знае решенията на й-ом и ( й- 1)ти слоеве. Следователно е възможно да се започне броене по формули (2.66) само за втория слой, а решенията на нулевия и първия слой трябва да са известни. Те се намират с помощта на началните условия (2.64). На нулевия слой имаме

За да получим решение на първия слой, използваме второто начално условие (2.64). Заменяме производната с приближение с крайни разлики. В най-простия случай се предполага

(2.68)

От тази връзка могат да се намерят стойностите на мрежовата функция на първия времеви слой:

Обърнете внимание, че апроксимацията на първоначалното условие във формата (2.68) влошава апроксимацията на първоначалната диференциална задача: грешката на апроксимацията става от порядъка на , т.е. първа поръчка в τ, въпреки че самата схема (2.66) има втори ред на приближение в чи τ. Ситуацията може да се коригира, ако вместо (2.69) вземем по-точно представяне:

(2.70)

Вместо това вземете. И изразът за втората производна може да бъде намерен с помощта на оригиналното уравнение (2.63) и първото начално условие (2.64). Вземете

Тогава (2.70) приема формата:

Различната схема (2.66), като се вземе предвид (2.71), има апроксимационна грешка от порядъка

При решаване на смесена задача с гранични условия от вида (2.65), т.е. когато стойностите на самата функция са дадени в краищата на разглеждания сегмент, вторият ред на приближение се запазва. В този случай, за удобство, крайните възли на мрежата са разположени в граничните точки ( x0=0, xI = л). Въпреки това, гранични условия могат да бъдат определени и за производната.

Например, в случай на свободни надлъжни вибрации на прът, условието

Ако това условие се запише в разностна форма с първи ред на приближение, тогава грешката на приближението на схемата става от порядъка на . Следователно, за да се запази вторият ред на тази схема по отношение на чнеобходимо е граничното условие (2.72) да се апроксимира с втори ред.

Разгледаната разностна схема (2.66) за решаване на задача (2.63) - (2.65) е условно устойчива. Необходимо и достатъчно условие за стабилност:

Следователно, при това условие и като се вземе предвид приближението, схема (2.66) се сближава към първоначалния проблем със скорост О(ч2 + τ 2 ). Тази схема често се използва при практически изчисления. Осигурява приемлива точност на решението. U(х, T), който има непрекъснати производни от четвърти ред.

Ориз. 2.22. Алгоритъм за решаване на вълновото уравнение

Алгоритъмът за решаване на задача (2.63)-(2.65) с помощта на тази изрична разностна схема е показан на фиг. 2.22. Тук е представена най-простата версия, когато всички стойности на мрежовата функция, които образуват двуизмерен масив, се съхраняват в паметта на компютъра по време на изчислението и след решаване на задачата се показват резултатите. Би било възможно да се предвиди съхраняване на решението само на три слоя, което ще спести памет. Резултатите в този случай могат да бъдат показани по време на процеса на изчисление (виж Фиг. 2.13).

Има и други разностни схеми за решаване на вълновото уравнение. По-специално, понякога е по-удобно да се използват неявни схеми, за да се отърват от ограниченията върху размера на стъпката, наложени от условие (2.73). Обикновено тези схеми са абсолютно стабилни, но алгоритъмът за решаване на проблема и компютърната програма се усложняват.

Нека изградим най-простата имплицитна схема. Второто производно по отношение на Tв уравнение (2.63) ние приближаваме, както преди, чрез модела с три точки, използвайки стойностите на мрежовата функция на слоевете й- 1, й, й + 1. Производна на хзаменяме полусумата на нейното приближение на ( й + 1)-ом и ( й- 1)-ти слоеве (фиг. 2.23):

Ориз. 2.23. Модел на имплицитна схема

От тази връзка може да се получи система от уравнения за неизвестни стойности на мрежовата функция на ( й+ 1)ти слой:

Получената неявна схема е стабилна и се сближава със скорост . Системата от линейни алгебрични уравнения (2.74) може да бъде решена по-специално чрез метода на почистване. Тази система трябва да бъде допълнена с различни начални и гранични условия. По този начин изразите (2.67), (2.69) или (2.71) могат да се използват за изчисляване на стойностите на мрежовата функция на нулевия и първия слой време.

За две или три независими пространствени променливи вълновите уравнения приемат формата

За тях също могат да се конструират диференциални схеми по аналогия с едномерното вълново уравнение. Разликата е, че е необходимо да се апроксимират производните по отношение на две или три пространствени променливи, което естествено усложнява алгоритъма и изисква много повече памет и време за изчисление. Двумерните проблеми ще бъдат разгледани по-подробно по-долу за топлинното уравнение.