Една петнадесета в десетичен знак. Десетично преобразуване в нормално

В тази статия ще анализираме как преобразуване на обикновени дроби в десетични, а също така разгледайте обратния процес - преобразуването на десетични дроби в обикновени дроби. Тук ще изразим правилата за обръщане на дроби и ще дадем подробни решения на типични примери.

Навигация в страницата.

Преобразуване на обикновени дроби в десетични

Нека обозначим последователността, в която ще се занимаваме с преобразуване на обикновени дроби в десетични.

Първо, ще разгледаме как да представим обикновени дроби със знаменател 10, 100, 1000, ... като десетични дроби. Това е така, защото десетичните дроби по същество са компактна форма на обикновени дроби със знаменатели 10, 100, ....

След това ще продължим и ще покажем как всяка обикновена дроб (не само със знаменатели 10, 100, ...) може да бъде записана като десетична дроб. При това преобразуване на обикновени дроби се получават както крайни десетични дроби, така и безкрайни периодични десетични дроби.

Сега за всичко по ред.

Преобразуване на обикновени дроби със знаменател 10, 100, ... в десетични дроби

Някои редовни дроби се нуждаят от "предварителна подготовка", преди да се превърнат в десетични дроби. Това важи за обикновените дроби, чийто брой цифри в числителя е по-малък от броя на нулите в знаменателя. Например обикновената дроб 2/100 трябва първо да бъде подготвена за преобразуване в десетична дроб, но дробта 9/10 не е необходимо да се подготвя.

„Предварителната подготовка“ на правилните обикновени дроби за преобразуване в десетични дроби се състои в добавяне на толкова много нули отляво в числителя, така че общият брой на цифрите там да стане равен на броя на нулите в знаменателя. Например дроб след добавяне на нули ще изглежда като .

След като подготвите правилната обикновена дроб, можете да започнете да я преобразувате в десетична дроб.

Да дадем правило за преобразуване на правилна обикновена дроб със знаменател 10, или 100, или 1000, ... в десетична дроб. Състои се от три стъпки:

• запишете 0;
• поставете десетична точка след него;
• записваме числото от числителя (заедно с добавените нули, ако сме ги добавили).

Обмислете приложението на това правило при решаване на примери.

Пример.

Преобразувайте правилната дроб 37/100 в десетична.

Решение.

Знаменателят съдържа числото 100, което има две нули в своя запис. Числителят съдържа числото 37, в неговия запис има две цифри, следователно тази фракция не трябва да се подготвя за преобразуване в десетична дроб.

Сега пишем 0, поставяме десетична запетая и записваме числото 37 от числителя, докато получаваме десетичната дроб 0,37.

Отговор:

0,37 .

За да консолидираме уменията за превод на редовни обикновени дроби с числители 10, 100, ... в десетични дроби, ще анализираме решението на друг пример.

Пример.

Запишете правилната дроб 107/10 000 000 като десетичен знак.

Решение.

Броят на цифрите в числителя е 3, а броят на нулите в знаменателя е 7, така че тази обикновена дроб трябва да бъде подготвена за преобразуване в десетична. Трябва да добавим 7-3=4 нули отляво в числителя, така че общият брой на цифрите там да стане равен на броя на нулите в знаменателя. Получаваме .

Остава да образуваме желаната десетична дроб. За да направите това, първо, записваме 0, второ, поставяме запетая, трето, записваме числото от числителя заедно с нули 0000107 , като резултат имаме десетична дроб 0,0000107 .

Отговор:

0,0000107 .

Неправилните обикновени дроби не се нуждаят от подготовка при преобразуване в десетични дроби. Трябва да се спазва следното правила за преобразуване на неправилни обикновени дроби със знаменатели 10, 100, ... в десетични дроби:

• запишете числото от числителя;
• разделяме с десетична запетая толкова цифри отдясно, колкото нули има в знаменателя на първоначалната дроб.

Нека анализираме приложението на това правило при решаване на пример.

Пример.

Преобразувайте неправилна обикновена дроб 56 888 038 009/100 000 в десетична.

Решение.

Първо записваме числото от числителя 56888038009 и второ отделяме 5 цифри отдясно с десетична запетая, тъй като в знаменателя на оригиналната дроб има 5 нули. В резултат на това имаме десетична дроб 568 880.38009.

Отговор:

568 880,38009 .

За да преобразувате смесено число в десетична дроб, чийто знаменател на дробната част е числото 10, или 100, или 1000, ..., можете да преобразувате смесеното число в неправилна обикновена дроб, след което получената дроб може да се преобразува в десетична дроб. Но можете да използвате и следното правилото за преобразуване на смесени числа със знаменател на дробната част 10, или 100, или 1000, ... в десетични дроби:

• ако е необходимо, извършваме „предварителна подготовка“ на дробната част от първоначалното смесено число, като добавяме необходимия брой нули отляво в числителя;
• запишете цялата част от първоначалното смесено число;
• поставете десетична точка;
• записваме числото от числителя заедно с добавените нули.

Нека разгледаме пример, при решаването на който ще извършим всички необходими стъпки, за да представим смесено число като десетична дроб.

Пример.

Преобразувайте смесено число в десетично.

Решение.

Има 4 нули в знаменателя на дробната част и числото 17 в числителя, състоящ се от 2 цифри, следователно трябва да добавим две нули отляво в числителя, така че броят на знаците там да стане равен на брой нули в знаменателя. Като направите това, числителят ще бъде 0017.

Сега записваме цялата част от оригиналното число, тоест числото 23, поставяме десетична точка, след което записваме числото от числителя заедно с добавените нули, тоест 0017, докато получаваме желания десетичен знак дроб 23.0017.

Нека запишем накратко цялото решение: .

Несъмнено беше възможно смесеното число първо да се представи като неправилна дроб и след това да се преобразува в десетична дроб. С този подход решението изглежда така:

Отговор:

23,0017 .

Преобразуване на обикновени дроби в крайни и безкрайни периодични десетични дроби

В десетична дроб могат да се преобразуват не само обикновени дроби със знаменател 10, 100, ..., но и обикновени дроби с други знаменатели. Сега ще разберем как се прави това.

В някои случаи първоначалната обикновена дроб лесно се свежда до един от знаменателите 10, или 100, или 1000, ... (виж редуцирането на обикновена дроб до нов знаменател), след което не е трудно да се представи получената дроб като десетична дроб. Например, очевидно е, че дробта 2/5 може да се сведе до дроб със знаменател 10, за това трябва да умножите числителя и знаменателя по 2, което ще даде дроб 4/10, което според правилата, обсъдени в предишния параграф, могат лесно да бъдат преобразувани в десетична дроб 0, четири .

В други случаи трябва да използвате различен начин за преобразуване на обикновена дроб в десетична, което сега ще разгледаме.

За да преобразувате обикновена дроб в десетична дроб, числителят на дробта се разделя на знаменателя, числителят първо се заменя с равна десетична дроб с произволен брой нули след десетичната запетая (говорихме за това в раздела равно и неравни десетични дроби). В този случай делението се извършва по същия начин като деленето на колона от естествени числа, а десетичната запетая се поставя в частното, когато делението на цялата част от дивидента приключи. Всичко това ще стане ясно от решенията на дадените по-долу примери.

Пример.

Преобразувайте обикновената дроб 621/4 в десетична.

Решение.

Представяме числото в числителя 621 като десетична дроб, като добавяме десетична запетая и няколко нули след нея. Като начало ще добавим 2 цифри 0, по-късно, ако е необходимо, винаги можем да добавим още нули. И така, имаме 621,00.

Сега нека разделим числото 621 000 на 4 с колона. Първите три стъпки не се различават от деленето на колона от естествени числа, след което стигаме до следната картина:

Така стигнахме до десетичната запетая в дивидента и остатъкът е различен от нула. В този случай поставяме десетична запетая в частното и продължаваме делението по колона, като игнорираме запетаите:

Това деление е завършено и в резултат получаваме десетичната дроб 155,25, която съответства на оригиналната обикновена дроб.

Отговор:

155,25 .

За да консолидирате материала, помислете за решението на друг пример.

Пример.

Преобразувайте обикновената дроб 21/800 в десетична.

Решение.

За да преобразуваме тази обикновена дроб в десетична, нека разделим десетичната дроб 21 000 ... на 800 с колона. След първата стъпка ще трябва да поставим десетична запетая в частното и след това да продължим делението:

Накрая получихме остатъка 0, с това преобразуването на обикновената дроб 21/400 в десетичната дроб е завършено и стигнахме до десетичната дроб 0,02625.

Отговор:

0,02625 .

Може да се случи така, че при разделянето на числителя на знаменателя на обикновена дроб никога да не получим остатък 0. В тези случаи разделянето може да продължи колкото желаете. Въпреки това, започвайки от определена стъпка, остатъците започват да се повтарят периодично, докато цифрите в частното също се повтарят. Това означава, че оригиналната обикновена дроб се превръща в безкраен периодичен десетичен знак. Нека покажем това с пример.

Пример.

Запишете обикновената дроб 19/44 като десетичен знак.

Решение.

За да преобразуваме обикновена дроб в десетична, извършваме деление по колона:

Вече е ясно, че при деленето остатъците 8 и 36 са започнали да се повтарят, докато в частното числата 1 и 8 се повтарят. Така оригиналната обикновена дроб 19/44 се превежда в периодична десетична дроб 0,43181818…=0,43(18) .

Отговор:

0,43(18) .

В заключение на този параграф ще разберем кои обикновени дроби могат да бъдат преобразувани в крайни десетични дроби и кои могат да бъдат преобразувани само в периодични.

Нека имаме нередуцируема обикновена дроб пред нас (ако дробта е редуцируема, тогава първо извършваме редукцията на дробта) и трябва да разберем в каква десетична дроб може да бъде преобразувана - крайна или периодична.

Ясно е, че ако една обикновена дроб може да бъде намалена до един от знаменателите 10, 100, 1000, ..., тогава получената дроб може лесно да бъде преобразувана в последна десетична дроб съгласно правилата, разгледани в предишния параграф. Но към знаменателите 10, 100, 1000 и т.н. не са дадени всички обикновени дроби. До такива знаменатели могат да се сведат само дроби, чиито знаменатели са поне едно от числата 10, 100, ... А кои числа могат да бъдат делители на 10, 100, ...? Числата 10, 100, … ще ни позволят да отговорим на този въпрос, а те са както следва: 10=2 5 , 100=2 2 5 5 , 1 000=2 2 2 5 5 5, … . От това следва, че делителите на 10, 100, 1000 и т.н. може да има само числа, чиито разложения на прости множители съдържат само числата 2 и (или) 5 .

Сега можем да направим общо заключение за преобразуването на обикновени дроби в десетични дроби:

• ако само числата 2 и (или) 5 присъстват в разлагането на знаменателя на прости множители, тогава тази дроб може да бъде преобразувана в последна десетична дроб;
• ако в допълнение към две и петици има други прости числа в разширението на знаменателя, тогава тази дроб се превежда в безкрайна десетична периодична дроб.

Пример.

Без да преобразувате обикновените дроби в десетични, кажете ми коя от дробите 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 може да се преобразува в крайна десетична дроб и коя може да се преобразува само в периодична.

Решение.

Разлагането на прости множители на знаменателя на дробта 47/20 има формата 20=2 2 5 . В това разширение има само двойки и петици, така че тази дроб може да бъде намалена до един от знаменателите 10, 100, 1000, ... (в този пример до знаменателя 100), следователно може да бъде преобразувана в краен десетичен знак фракция.

Разлагането на прости множители на знаменателя на дробта 7/12 има формата 12=2 2 3 . Тъй като съдържа прост фактор 3, различен от 2 и 5, тази дроб не може да бъде представена като крайна десетична дроб, но може да бъде преобразувана в периодична десетична дроб.

Фракция 21/56 - свиваем, след редукция приема формата 3/8. Разлагането на знаменателя на прости множители съдържа три множителя, равни на 2, следователно обикновената дроб 3/8, а оттам и дробта, равна на нея 21/56, могат да бъдат преведени в крайна десетична дроб.

И накрая, разширението на знаменателя на дробта 31/17 само по себе си е 17, следователно тази дроб не може да бъде преобразувана в крайна десетична дроб, но може да бъде преобразувана в безкрайна периодична дроб.

Отговор:

47/20 и 21/56 могат да бъдат преобразувани в краен десетичен знак, докато 7/12 и 31/17 могат да бъдат преобразувани само в периодичен десетичен знак.

Обикновените дроби не се преобразуват в безкрайни неповтарящи се десетични знаци

Информацията от предишния параграф повдига въпроса: „Може ли да се получи безкрайна непериодична дроб при разделяне на числителя на дроб на знаменателя“?

Отговор: не. При превод на обикновена дроб може да се получи или крайна десетична дроб, или безкрайна периодична десетична дроб. Нека обясним защо това е така.

От теоремата за делимост с остатък става ясно, че остатъкът винаги е по-малък от делителя, т.е. ако разделим някакво цяло число на цяло число q, тогава само едно от числата 0, 1, 2, ..., q −1 може да бъде остатъкът. От това следва, че след приключване на делението на цялата част от числителя на обикновена дроб на знаменателя q, след не повече от q стъпки, ще възникне една от следните две ситуации:

• или получаваме остатъка 0, това ще приключи делението и ще получим последната десетична дроб;
• или ще получим остатък, който вече се е появил преди, след което остатъците ще започнат да се повтарят както в предишния пример (тъй като при деление на равни числа на q се получават равни остатъци, което следва от вече споменатата теорема за делимост), така че ще се получи безкрайна периодична десетична дроб.

Не може да има други опции, следователно при преобразуване на обикновена дроб в десетична дроб не може да се получи безкрайна непериодична десетична дроб.

От разсъжденията, дадени в този параграф, също следва, че дължината на периода на десетична дроб винаги е по-малка от стойността на знаменателя на съответната обикновена дроб.

Преобразувайте десетични числа в обикновени дроби

Сега нека да разберем как да преобразуваме десетична дроб в обикновена. Нека започнем с преобразуване на крайните десетични числа в обикновени дроби. След това разгледайте метода за обръщане на безкрайни периодични десетични дроби. В заключение, нека кажем за невъзможността за преобразуване на безкрайни непериодични десетични дроби в обикновени дроби.

Преобразуване на крайните десетични числа в обикновени дроби

Получаването на обикновена дроб, която се записва като последна десетична дроб, е доста проста. Правилото за преобразуване на крайна десетична дроб в обикновена дробсе състои от три стъпки:

• първо, запишете дадената десетична дроб в числителя, като преди това сте изхвърлили десетичната запетая и всички нули отляво, ако има такива;
• второ, напишете едно в знаменателя и добавете към него толкова нули, колкото има цифри след десетичната запетая в оригиналната десетична дроб;
• трето, ако е необходимо, намалете получената фракция.

Нека разгледаме примери.

Пример.

Преобразувайте десетичната запетая 3,025 в обикновена дроб.

Решение.

Ако премахнем десетичната запетая в оригиналната десетична дроб, тогава получаваме числото 3025. Няма нули отляво, които бихме изхвърлили. И така, в числителя на търсената дроб записваме 3025.

Записваме числото 1 в знаменателя и добавяме 3 нули вдясно от него, тъй като в оригиналната десетична дроб има 3 цифри след десетичната запетая.

Така че имаме обикновена дроб 3 025/1 000. Тази дроб може да се намали с 25, получаваме .

Отговор:

.

Пример.

Преобразувайте десетичната дроб 0,0017 в обикновена дроб.

Решение.

Без десетична запетая оригиналната десетична дроб изглежда като 00017, като изхвърлим нулите отляво, получаваме числото 17, което е числителят на желаната обикновена дроб.

В знаменателя записваме единица с четири нули, тъй като в оригиналната десетична дроб има 4 цифри след десетичната запетая.

В резултат на това имаме обикновена дроб 17/10 000. Тази дроб е несъкратима и преобразуването на десетична дроб в обикновена е завършено.

Отговор:

.

Когато цялата част от оригиналната крайна десетична дроб е различна от нула, тогава тя може незабавно да бъде преобразувана в смесено число, заобикаляйки обикновената дроб. Да дадем правило за преобразуване на последен десетичен знак в смесено число:

• числото преди десетичната запетая трябва да бъде записано като цяла част от желаното смесено число;
• в числителя на дробната част трябва да напишете числото, получено от дробната част на оригиналната десетична дроб, след като изхвърлите всички нули отляво в нея;
• в знаменателя на дробната част трябва да напишете числото 1, към което отдясно добавете толкова нули, колкото има цифри в записа на първоначалната десетична дроб след десетичната точка;
• ако е необходимо, намалете дробната част на полученото смесено число.

Помислете за пример за преобразуване на десетична дроб в смесено число.

Пример.

Изразете десетичната запетая 152,06005 като смесено число

Решение.

Номер 152 до десетичната запетая е цялата част от желаното смесено число.

След като десетичната запетая е 06005, след като изхвърлим нулата вляво, получаваме числото 6005 - това е числителят на дробната част.

И в знаменателя на дробната част пишем 1 и добавяме 5 нули, тъй като след десетичната запетая има 6 цифри, тоест знаменателят ще бъде 100 000.

Така че имаме смесено число. Дробната част на това число може да се намали с 5, след което имаме.

Това завършва превода на последната десетична дроб 152.06005 в смесено число.

Отговор:

3,75(0) към равния му краен десетичен знак 3,75. И как се извършва преобразуването на крайните десетични дроби в обикновени дроби, разгледахме в предишния параграф: . Така 3,75(0)=15/4.

Отговор:

3,75(0)=15/4 .

Обръщаме се към преобразуването на безкрайни периодични десетични дроби с период, различен от 0, в обикновени дроби. Този превод се основава на факта, че периодичната част на периодична десетична дроб може да се разглежда като сумата от членовете на безкрайно намаляваща геометрична прогресия. Например, 0,(73)=0,73+0,0073+0,000073+… или 4.07(254)=4.07+ (0,00254+0,00000254+0,00000000254+…) .

Спомнете си, че сумата от членовете на безкрайно намаляваща геометрична прогресия с първия член b 8/9 (0,0018+0,000018+0,00000018+...)= 43/100+18/9900 .

След като съберем дроби с различни знаменатели и съкратим получената дроб, стигаме до обикновена дроб 19/44. Това завършва преобразуването на периодична дроб в обикновена дроб.

Отговор:

0,43(18)=19/44 .

Безкрайните неповтарящи се десетични знаци не се преобразуват в обикновени дроби

По-горе открихме, че всяка обикновена дроб се превежда или в крайна десетична дроб, или в периодична десетична дроб. От това следва, че никоя безкрайна непериодична десетична дроб не може да бъде преобразувана в обикновена дроб, тъй като получената обикновена дроб не може да бъде преобразувана обратно в тази безкрайна непериодична дроб.

Библиография.

• Математика: проучвания. за 5 клетки. общо образование институции / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21 изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
• Математика. 6 клас: учебник. за общо образование институции / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-ро изд., Рев. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра:учебник за 8 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (наръчник за кандидати за технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.

Десетичната запетая има две части, разделени със запетаи. Първата част е цяло число, втората част е десетици (ако числото след десетичната запетая е едно), стотици (две числа след десетичната запетая, като две нули в сто), хилядни и т.н. Нека да разгледаме примери за десетични числа: 0, 2; 7, 54; 235,448; 5.1; 6,32; 0,5. Това са всички десетични числа. Как се преобразува десетична дроб в обикновена дроб?

Пример първи

Имаме дроб, например 0,5. Както бе споменато по-горе, той се състои от две части. Първото число, 0, показва колко цели единици има дробта. В нашия случай не са. Второто число показва десетици. Дробта дори чете нула цяло пет десети. Десетично число преобразувам в дробсега няма да е трудно, пишем 5/10. Ако видите, че числата имат общ делител, можете да намалите дробта. Имаме това число 5, като разделим двете части на дробта на 5, получаваме – 1/2.

Пример втори

Да вземем по-сложна дроб - 2,25. Чете се така - две цели и двадесет и пет стотни. Обърнете внимание - стотни, тъй като след десетичната запетая има две числа. Сега можете да конвертирате в обикновена дроб. Записваме - 2 25/100. Цялата част е 2, дробната част е 25/100. Както в първия пример, тази част може да бъде съкратена. Общият делител за 25 и 100 е 25. Имайте предвид, че винаги избираме най-големия общ делител. Разделяйки двете части на дробта на НОД, получаваме 1/4. Така че 2, 25 е 2 1/4.

Пример трети

И за да консолидираме материала, нека вземем десетичната дроб 4,112 - четири цяло и сто и дванадесет хилядни. Защо хилядни, мисля, че е ясно. Сега записваме 4 112/1000. Според алгоритъма намираме НОД на числата 112 и 1000. В нашия случай това е числото 6. Получаваме 4 14/125.

Заключение

1. Разделяме дробта на цели и дробни части.
2. Гледаме колко цифри след десетичната запетая. Ако едно е десетици, две е стотици, три е хилядни и т.н.
3. Записваме дробта в обичайната форма.
4. Намаляваме числителя и знаменателя на дробта.
5. Запишете получената дроб.
6. Извършваме проверка, разделяме горната част на фракцията на долната. Ако има цяло число, добавете към получената десетична дроб. Оказа се оригиналната версия - страхотно, значи сте направили всичко както трябва.

Използвайки примери, показах как можете да преобразувате десетична дроб в обикновена. Както можете да видите, това е много лесно и просто да се направи.

Автор в Youtube: Анастасия Иванова

ИЗТЕГЛЯНЕ Преобразувайте обикновена дроб в десетична и обратно. Периодични дроби. Видео уроци по други теми, както и за подготовка за Единния държавен изпит и Държавен изпит, вие […]

Коментари за това видео:

Последни коментари в сайта

Cheat on roblox (МИНАВАНЕ ПРЕЗ СТЕНИ) - Гледайте / изтеглете
⇒ „Някой обеща ли ви, че можете да изтеглите измамата тук? :)“
Добавено - Comedy Club - Perfect Woman - Гледайте/Изтеглете
⇒ „Обичам дуета на Демис Карибидис и Андрей Скороход) Тези момчета знаят как да се смеят, особено ми харесва акцентът на Карибидис) Вече съм уморен от Пашка Воля и Харламов, но тук можете да видите свежи, не изтъркани шеги. И Марина Кравец също гори.Като цяло мисля, че е време да сменим малко формата на шоуто, да вкараме нови елементи.За толкова години вече малко се изморих.В това отношение много харесвам Comedy Woman, всичко е много динамично и модерно с тях."
Добавено - Сбогом на Лондон: Бизнесмени бегълци искат да се върнат в Русия - Русия 24 - Гледайте/Изтеглете
⇒ „Да, вярвайте повече на такива новини. Нашите олигарси, живеещи в английски замъци, умират от желание да се върнат в Русия, наистина ли някой у нас вярва на подобни пропагандни новини. Връщаме се обратно в Съветския съюз. Всеки ден разбирам все повече и повече защо телевизията се превръща в зомби, всеки ден ни диктуват в какво да вярваме, независимо дали е истина, глупостите, които се натрапват на населението, за да покажат колко е добре тук, но те имат живее ад там."
Добавено - Шоу Дружко #23 - Гледайте/Изтеглете
⇒ "Получи се страхотно издание. Почти както винаги. Все пак той има свой собствен стил и харизма, което е много привлекателно."
Добавено – ПОЛИТИЦИ ПОЗДРАВЯВАТ ПУТИН – Вижте/изтеглете
⇒ "Браво, какво да кажа, всички са уважавани хора, как да не поздравя тук. Присъединявам се към поздравленията с удоволствие."
Добавено -

Десетично преобразуване в нормално

Всеки десетичен знак може да бъде представен като обикновена дроб. Просто напишете със знаменателя, за да го направите.

Основното правило за преобразуване на десетична дроб в обикновена дроб е четенето на десетичната дроб, но обикновено се записва. Например:

2.3 - две точки от три десетки

Тъй като дробта е пълна, тя може да бъде преобразувана в смесено число или неправилна дроб:

Преобразуване на правилна дроб в десетична

Нетрадиционна дроб може да бъде преобразувана в десетична, тъй като за нормална десетична нотация знаменателят трябва да започне заедно с една или повече нули, като 10, 100, 1000 и т.н.

Как да конвертирате общия дял в десетичен знак

Ако разширим такъв знаменател с първични множители, получаваме същия брой удвоявания и пет:

100 = 10 10 = 2 5 2,5

1000 = 10 10 10 = 2 5 2 5 2 5

Няма други прости множители, така че тези разширения не съдържат, така че:

Редовна дроб може да бъде представена като десетична само ако знаменателят й не съдържа множители, различни от 2 и 5.

Нека се включим:

Когато знаменателят се разшири до главните множители, резултатът е произведение от 2 2:

Ако го умножите по две четворки, приравните числото пет към две, ще получите един от нужните знаменатели - 100.

За да получите пасаж, равен на това, броячът трябва да бъде умножен по произведението на две петици:

Нека да разгледаме друга фракция:

Когато знаменателят се разшири до основните множители, резултатът е произведение от 2,7, съдържащо числото 7:

Коефициент 7 ще присъства в знаменателя, за да го умножите или цели числа, така че продукт, съдържащ само две и пет, никога няма да се получи.

Следователно тази дроб не може да бъде намалена до нито един от необходимите знаменатели: 10, 100, 1000 и т.н. Това означава, че не може да бъде представена като десетично число.

Редовната несъвместима дроб не може да бъде представена като десетично число, ако нейният знаменател съдържа поне един водещ множител от едно до две.

Имайте предвид, че правилото говори само за необратими дроби, тъй като някои дроби могат да бъдат представени като десетични дроби чрез съкращение.

Нека да разгледаме две части:

Сега всичко, което остава, е да умножите двете фракции на фразата по 5, за да получите 10 в знаменателя, и можете да преобразувате дробта в десетична запетая:

Как да конвертирате десетична дроб в обикновена дроб

Тук изглежда, че преводът на десетична дроб в обикновена е елементарна тема, но много ученици не я разбират!

Затова днес ще разгледаме по-подробно няколко алгоритъма наведнъж, с помощта на които ще се справите с всякакви дроби само за секунда.

Нека ви напомня, че има най-малко две форми за запис на една и съща дроб: обикновена и десетична.

Десетичните дроби са всички видове конструкции от формата 0,75; 1,33; и дори -7,41. А ето и примери за обикновени дроби, които изразяват едни и същи числа:

Сега нека да разберем: как да превключите от десетичен към нормален?

И най-важното: как да го направите възможно най-бързо?

Основен алгоритъм

Всъщност има поне два алгоритъма. И сега ще разгледаме и двете. Да започнем с първия - най-простият и разбираем.

За да преобразувате десетична дроб в обикновена дроб, трябва да следвате три стъпки:

1. Препишете оригиналната дроб като нова дроб: оригиналната десетична дроб ще остане в числителя, а единица трябва да бъде поставена в знаменателя. В този случай знакът на оригиналното число също се поставя в числителя.

   Например:

2. Умножаваме числителя и знаменателя на получената дроб по 10, докато запетаята изчезне в числителя. Напомням: при всяко умножение по 10 запетаята се измества надясно с един знак след десетичната запетая. Разбира се, тъй като знаменателят също се умножава, вместо числото 1 там ще се появи 10, 100 и т.н.
3. Накрая намаляваме получената дроб според стандартната схема: разделяме числителя и знаменателя на онези числа, на които са кратни. Например в първия пример 0,75=75/100, докато и 75, и 100 се делят на 25.

   Следователно получаваме $0,75=\frac(75)(100)=\frac(3\cdot 25)(4\cdot 25)=\frac(3)(4)$ - това е целият отговор. :)

Важна забележка относно отрицателните числа. Ако в оригиналния пример има знак минус пред десетичната дроб, тогава на изхода също трябва да има знак минус пред обикновената дроб.

Преобразуване на обикновена дроб в десетична

Ето още няколко примера:

Бих искал да обърна специално внимание на последния пример. Както можете да видите, във фракцията 0,0025 има много нули след десетичната запетая. Поради това трябва да умножите четири пъти числителя и знаменателя по 10. Възможно ли е по някакъв начин да се опрости алгоритъмът в този случай?

Да, със сигурност може. И сега ще разгледаме алтернативен алгоритъм - той е малко по-труден за разбиране, но след малко практика работи много по-бързо от стандартния.

По-бърз начин

Този алгоритъм също има 3 стъпки.

За да получите обикновена дроб от десетична дроб, трябва да направите следното:

1. Изчислете колко цифри има след десетичната запетая. Например дробта 1,75 има две такива цифри, а 0,0025 има четири. Нека означим тази величина с буквата $n$.
2. Пренапишете оригиналното число като дроб от формата $\frac(a)(((10)^(n)))$, където $a$ са всички цифри на оригиналната дроб (без "началните" нули отляво , ако има), а $n$ е същият брой цифри след десетичната запетая, който преброихме в първата стъпка.

   С други думи, необходимо е цифрите на първоначалната дроб да се разделят на единица с $n$ нули.

3. Ако е възможно, намалете получената фракция.

Това е всичко! На пръв поглед тази схема е по-сложна от предишната. Но всъщност е едновременно по-просто и по-бързо. Преценете сами:

Както можете да видите, в дробта 0,64 има две цифри след десетичната запетая - 6 и 4.

Следователно $n=2$. Ако премахнем запетаята и нулите отляво (в този случай само една нула), тогава получаваме числото 64. Преминете към втората стъпка: $((10)^(n))=((10)^( 2))=100$, така че знаменателят е точно сто. Е, тогава остава само да намалим числителя и знаменателя. :)

Още един пример:

Тук всичко е малко по-сложно.

Първо, вече има 3 цифри след десетичната запетая, т.е. $n=3$, така че трябва да разделите на $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$. Второ, ако премахнем запетаята от десетичния запис, получаваме следното: 0,004 → 0004. Припомнете си, че нулите отляво трябва да бъдат премахнати, така че всъщност имаме числото 4. Тогава всичко е просто: разделете, намалете и получи отговора.

И накрая, последният пример:

Особеността на тази фракция е наличието на цяло число.

Следователно на изхода получаваме неправилна дроб 47/25. Можете, разбира се, да опитате да разделите 47 на 25 с остатък и по този начин отново да изолирате цялата част.

Но защо да усложнявате живота си, ако това може да се направи дори на етапа на трансформация? Е, нека да го разберем.

Какво да правим с цялата част

Всъщност всичко е много просто: ако искаме да получим правилната дроб, тогава трябва да премахнем цялата част от нея за времето на трансформация и след това, когато получим резултата, да я добавим отново вдясно отпред на дробната лента.

Например, помислете за същото число: 1,88. Нека оценим с единица (цяла част) и разгледаме частта 0,88.

Преобразува се лесно:

След това си спомняме за „изгубената“ единица и я добавяме отпред:

\[\frac(22)(25)\до 1\frac(22)(25)\]

Това е всичко! Отговорът се оказа същият като след избора на цялата част миналия път. Още няколко примера:

\[\begin(align)& 2,15\to 0,15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13,8\до 0,8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\до 13\frac(4)(5).

Това е красотата на математиката: без значение кой път тръгнете, ако всички изчисления са направени правилно, отговорът винаги ще бъде един и същ. :)

В заключение бих искал да разгледам друга техника, която помага на мнозина.

Трансформации по слух

Нека помислим какво е десетичната запетая.

По-точно как го четем. Например числото 0,64 - четем го като "нула цяло число, 64 стотни", нали? Е, или просто "64 стотни". Ключовата дума тук е "стотни", т.е. номер 100.

Какво ще кажете за 0,004? Това е „нулева точка, 4 хилядни“ или просто „четири хилядни“.

По един или друг начин ключовата дума е "хилядни", т.е. 1000.

Е, какво лошо има в това? И фактът, че именно тези числа в крайна сметка „изскачат“ в знаменателите на втория етап на алгоритъма. Тези. 0,004 е "четири хилядни" или "4 делено на 1000":

Опитайте се да се обучите - много е просто. Основното е да прочетете правилно оригиналната фракция. Например 2,5 е "2 цели числа, 5 десети", така че

И някои 1,125 е „1 цяло, 125 хилядни“, следователно

В последния пример, разбира се, някой ще възрази, че не е очевидно за всеки ученик, че 1000 се дели на 125.

Но тук трябва да запомните, че 1000 = 103 и 10 = 2 ∙ 5, така че

\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(align)\]

Така всяка степен на десет се разлага само на множители 2 и 5 - именно тези множители трябва да се търсят в числителя, така че накрая всичко да се редуцира.

Този урок приключи.

Нека да преминем към по-сложна обратна операция - вижте "Преход от обикновена дроб към десетична дроб".

Дроб е число, което се състои от една или повече дроби от единица. В математиката има три вида дроби: обикновени, смесени и десетични.

• 
  Обикновени дроби

Обикновената дроб се записва като отношение, в което числителят отразява колко части от числото са взети, а знаменателят показва на колко части е разделена единицата. Ако числителят е по-малък от знаменателя, тогава имаме правилна дроб, например: ½, 3/5, 8/9.

Ако числителят е равен или по-голям от знаменателя, тогава имаме работа с неправилна дроб. Например: 5/5, 9/4, 5/2 Разделянето на числителя може да доведе до крайно число. Например 40/8 \u003d 5. Следователно всяко цяло число може да бъде записано като обикновена неправилна дроб или поредица от такива дроби. Помислете да напишете едно и също число като поредица от различни .

• смесени фракции

Най-общо една смесена дроб може да бъде представена с формулата:

Така смесената дроб се записва като цяло число и обикновена правилна дроб и такъв запис се разбира като сбор от цяло и неговата дробна част.

• Десетични знаци

Десетичната дроб е специален вид дроб, в която знаменателят може да бъде представен като степен на 10. Има безкрайни и крайни десетични дроби. При писане на този вид дроби първо се посочва цялата част, след което дробната част се фиксира чрез разделителя (точка или запетая).

Записът на дробната част винаги се определя от нейната размерност. Десетичният запис изглежда така:

Правила за превод между различни видове дроби

• Преобразуване на смесена дроб в обикновена дроб

Смесена дроб може да се преобразува само в неправилна дроб. За превод е необходимо цялата част да се приведе към същия знаменател като дробната част. Като цяло ще изглежда така:
Помислете за използването на това правило на конкретни примери:

• Преобразуване на обикновена дроб в смесена

Неправилна обикновена дроб може да се преобразува в смесена дроб чрез просто деление, което води до цяло число и остатък (дробна част).

Например, нека преведем фракцията 439/31 в смесена:
​​

• Превод на обикновена дроб

В някои случаи преобразуването на дроб в десетичен знак е доста просто. В този случай се прилага основното свойство на дробта, числителят и знаменателят се умножават по едно и също число, за да се приведе делителя на степен 10.

Например:

В някои случаи може да се наложи да намерите коефициента, като разделите на ъгъл или използвате калкулатор. А някои дроби не могат да бъдат сведени до крайна десетична дроб. Например дробта 1/3 никога няма да даде крайния резултат при разделяне.

Още в началното училище учениците се сблъскват с дроби. И тогава се появяват във всяка тема. Невъзможно е да забравите действия с тези числа. Следователно трябва да знаете цялата информация за обикновените и десетичните дроби. Тези концепции са прости, основното е да разберете всичко в ред.

Защо са необходими дроби?

Светът около нас се състои от цели обекти. Следователно няма нужда от акции. Но ежедневието постоянно тласка хората да работят с части от предмети и неща.

Например, шоколадът се състои от няколко резена. Помислете за ситуацията, в която неговата плочка е образувана от дванадесет правоъгълника. Ако го разделите на две, получавате 6 части. Ще бъде добре разделена на три. Но петимата няма да могат да дадат цял ​​брой резени шоколад.

Между другото, тези резени вече са дроби. И по-нататъшното им разделяне води до появата на по-сложни числа.

Какво е "фракция"?

Това е число, състоящо се от части на едно. Външно изглежда като две числа, разделени с хоризонтална или наклонена черта. Тази характеристика се нарича фракционна. Числото, написано отгоре (вляво), се нарича числител. Този отдолу (вдясно) е знаменателят.

Всъщност дробната черта се оказва знак за деление. Тоест числителят може да се нарече дивидент, а знаменателят - делител.

Какво представляват дробите?

В математиката има само два вида от тях: обикновени и десетични дроби. Учениците се запознават с първите в началните класове, наричайки ги просто „дроби“. Вторите учат в 5 клас. Тогава се появяват тези имена.

Обикновени дроби са всички тези, които са записани като две числа, разделени с черта. Например 4/7. Десетично е число, в което дробната част има позиционен запис и е отделена със запетая от цялото число. Например 4.7. Учениците трябва да са наясно, че двата дадени примера са напълно различни числа.

Всяка проста дроб може да бъде записана като десетична дроб. Това твърдение почти винаги е вярно и обратното. Има правила, които ви позволяват да запишете десетична дроб като обикновена дроб.

Какви подвидове имат тези видове дроби?

По-добре е да започнете в хронологичен ред, тъй като те се изучават. На първо място са обикновените дроби. Сред тях могат да се разграничат 5 подвида.

Правилно. Числителят му винаги е по-малък от знаменателя.

погрешно Числителят му е по-голям или равен на знаменателя.

Редуцируем/нередуцируем. Може да е както правилно, така и грешно. Друго нещо е важно дали числителят и знаменателят имат общи множители. Ако има, тогава те трябва да разделят двете части на дробта, тоест да я намалят.

Смесени. Цяло число се присвоява на обичайната му правилна (неправилна) дробна част. И винаги стои отляво.

Композитен. Образува се от две фракции, разделени една на друга. Тоест, той има три дробни характеристики наведнъж.

Десетичните числа имат само два подвида:

окончателен, т.е. този, в който дробната част е ограничена (има край);

infinite - число, чиито цифри след десетичната запетая не завършват (могат да се пишат безкрайно).

Как да преобразувам десетични числа в обикновени?

Ако това е крайно число, тогава се прилага асоциация по правилото - както чувам, така и пиша. Тоест, трябва да го прочетете правилно и да го запишете, но без запетая, но с дробна черта.

Като намек за необходимия знаменател, не забравяйте, че той винаги е една и няколко нули. Последните трябва да бъдат записани толкова, колкото са цифрите в дробната част на въпросното число.

Как да конвертирате десетични дроби в обикновени, ако цялата им част липсва, тоест е равна на нула? Например 0,9 или 0,05. След прилагане на посоченото правило се оказва, че трябва да напишете нула цели числа. Но не е посочено. Остава да запишем само дробните части. За първото число знаменателят ще бъде 10, за второто - 100. Тоест посочените примери ще имат числа като отговори: 9/10, 5/100. Освен това последното се оказва възможно да се намали с 5. Следователно резултатът за него трябва да бъде записан 1/20.

Как да направим обикновена дроб от десетична, ако цялата й част е различна от нула? Например 5,23 или 13,00108. И двата примера четат цялата част и записват нейната стойност. В първия случай това е 5, във втория 13. След това трябва да преминете към дробната част. С тях е необходимо да се извърши същата операция. Първото число има 23/100, второто има 108/100000. Втората стойност трябва да се намали отново. Отговорът е смесени дроби: 5 23/100 и 13 27/25000.

Как да преобразувам безкраен десетичен знак в обикновена дроб?

Ако е непериодично, тогава такава операция не може да се извърши. Този факт се дължи на факта, че всяка десетична дроб винаги се преобразува или в крайна, или в периодична.

Единственото нещо, което е позволено да се направи с такава дроб е да се закръгли. Но тогава десетичната запетая ще бъде приблизително равна на тази безкрайност. Вече може да се превърне в обикновен. Но обратният процес: преобразуване в десетична - никога няма да даде първоначалната стойност. Тоест безкрайните непериодични дроби не се превеждат в обикновени дроби. Това трябва да се помни.

Как да напишем безкрайна периодична дроб под формата на обикновена?

В тези числа след десетичната запетая винаги се появяват една или повече цифри, които се повтарят. Те се наричат ​​периоди. Например 0,3(3). Тук "3" в периода. Те се класифицират като рационални, тъй като могат да бъдат превърнати в обикновени дроби.

Тези, които са се сблъсквали с периодични фракции, знаят, че те могат да бъдат чисти или смесени. В първия случай точката започва веднага от запетаята. Във втория дробната част започва с произволни числа и след това започва повторението.

Правилото, по което трябва да напишете безкраен десетичен знак под формата на обикновена дроб, ще бъде различно за тези два вида числа. Доста лесно е да напишете чисти периодични дроби като обикновени дроби. Както при последните, те трябва да бъдат преобразувани: запишете точката в числителя, а числото 9 ще бъде знаменателят, като се повтаря толкова пъти, колкото цифри има в периода.

Например 0,(5). Числото няма цяло число, така че трябва незабавно да преминете към дробната част. В числителя напишете 5, а в знаменателя - 9. Тоест отговорът ще бъде дробта 5/9.

Правило как да напишете обикновена десетична дроб, която е смесена дроб.

Вижте продължителността на периода. Толкова 9 ще има знаменател.

Запишете знаменателя: първо деветки, след това нули.

За да определите числителя, трябва да напишете разликата на две числа. Всички цифри след десетичната запетая ще бъдат намалени, заедно с точката. Изважда се - без точка е.

Например 0,5(8) - запишете периодичната десетична дроб като обикновена дроб. Дробната част преди точката е една цифра. Така че нула ще бъде едно. В периода също има само една цифра - 8. Тоест има само една деветка. Тоест трябва да напишете 90 в знаменателя.

За да определите числителя от 58, трябва да извадите 5. Получава се 53. Например ще трябва да напишете 53/90 като отговор.

Как се преобразуват обикновените дроби в десетични?

Най-простият вариант е число, чийто знаменател е числото 10, 100 и т.н. Тогава знаменателят просто се изхвърля и се поставя запетая между дробната и целочислената част.

Има ситуации, когато знаменателят лесно се превръща в 10, 100 и т.н. Например числата 5, 20, 25. Достатъчно е да ги умножите съответно по 2, 5 и 4. Само е необходимо да се умножи не само знаменателят, но и числителят с едно и също число.

За всички останали случаи ще ви бъде полезно едно просто правило: разделете числителя на знаменателя. В този случай можете да получите два отговора: крайна или периодична десетична дроб.

Действия с обикновени дроби

Събиране и изваждане

Учениците ги опознават по-рано от останалите. И отначало дробите имат еднакви знаменатели, а след това различни. Общите правила могат да бъдат сведени до такъв план.

Намерете най-малкото общо кратно на знаменателите.

Напишете допълнителни множители към всички обикновени дроби.

Умножете числителите и знаменателите по факторите, дефинирани за тях.

Добавете (извадете) числителите на дробите и оставете общия знаменател непроменен.

Ако числителят на умаляваното е по-малък от изваждаемото, тогава трябва да разберете дали имаме смесено число или правилна дроб.

В първия случай целочислената част трябва да вземе единица. Добавете знаменател към числителя на дроб. И след това направете изваждането.

Във втория - е необходимо да се приложи правилото за изваждане от по-малко число към по-голямо. Тоест, извадете модула на умаляваното от модула на изважданото и поставете знака „-“ в отговор.

Погледнете внимателно резултата от събирането (изваждането). Ако получите неправилна дроб, тогава трябва да изберете цялата част. Тоест, разделете числителя на знаменателя.

Умножение и деление

За тяхното прилагане не е необходимо дробите да се свеждат до общ знаменател. Това улеснява предприемането на действия. Но все пак трябва да спазват правилата.

Когато умножавате обикновени дроби, е необходимо да вземете предвид числата в числителите и знаменателите. Ако някой числител и знаменател имат общ множител, тогава те могат да бъдат намалени.

Умножете числителите.

Умножете знаменателите.

Ако получите редуцируема дроб, тогава тя трябва да бъде опростена отново.

Когато делите, първо трябва да замените делението с умножение, а делителя (втора дроб) с реципрочна (разменете числителя и знаменателя).

След това продължете както при умножението (започвайки от точка 1).

В задачи, в които трябва да умножите (делите) с цяло число, последното се предполага, че се записва като неправилна дроб. Тоест със знаменател 1. След това продължете както е описано по-горе.



Операции с десетични знаци

Събиране и изваждане

Разбира се, винаги можете да превърнете десетичната дроб в обикновена дроб. И действайте според вече описания план. Но понякога е по-удобно да се действа без този превод. Тогава правилата за тяхното събиране и изваждане ще бъдат абсолютно еднакви.

Изравнете броя на цифрите в дробната част на числото, тоест след десетичната запетая. Задайте липсващия брой нули в него.

Напишете дробите така, че запетаята да е под запетаята.

Добавяне (изваждане) като естествени числа.

Махнете запетаята.

Умножение и деление

Важно е, че не е необходимо да добавяте нули тук. Предполага се, че дробите се оставят така, както са дадени в примера. И след това вървете по план.

За умножение трябва да напишете дроби една под друга, без да обръщате внимание на запетаите.

Умножете като естествени числа.

Поставете запетая в отговора, като преброите от десния край на отговора толкова цифри, колкото са в дробните части на двата фактора.

За да разделите, първо трябва да преобразувате делителя: направете го естествено число. Тоест, умножете го по 10, 100 и т.н., в зависимост от това колко цифри има в дробната част на делителя.

Умножете дивидента по същото число.

Разделете десетичната запетая на естествено число.

Поставете запетая в отговора в момента, в който приключи разделянето на цялата част.



Ами ако в един пример има и двата вида дроби?

Да, в математиката често има примери, в които трябва да извършвате операции с обикновени и десетични дроби. Има две възможни решения на тези проблеми. Трябва обективно да претеглите числата и да изберете най-доброто.

Първи начин: представя обикновени десетични знаци

Подходящо е, ако при разделяне или преобразуване се получат крайни фракции. Ако поне едно число дава периодична част, тогава тази техника е забранена. Следователно, дори и да не обичате да работите с обикновени дроби, ще трябва да ги преброите.

Вторият начин: напишете десетичните дроби като обикновени

Тази техника е удобна, ако има 1-2 цифри в частта след десетичната запетая. Ако има повече от тях, може да се получи много голяма обикновена дроб и десетичните записи ще ви позволят да изчислите задачата по-бързо и по-лесно. Следователно винаги е необходимо трезво да се оцени задачата и да се избере най-простият метод за решение.