Хомогенна система от линейни алгебрични уравнения. Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид

Позволявам М 0 е множеството от решения на хомогенната система (4) от линейни уравнения.

Определение 6.12.Вектори с 1 ,с 2 , …, с п, които са решения на хомогенна система от линейни уравнения, се наричат фундаментален набор от решения(съкратено FNR) ако

1) вектори с 1 ,с 2 , …, с плинейно независими (т.е. никой от тях не може да бъде изразен чрез другите);

2) всяко друго решение на хомогенна система от линейни уравнения може да бъде изразено чрез решения с 1 ,с 2 , …, с п.

Имайте предвид, че ако с 1 ,с 2 , …, с пе някаква ф.н.р., то от израза к 1× с 1 + к 2× с 2 + … + kp× с пможе да опише целия комплект М 0 решения на система (4), така се нарича общ изглед на системното решение (4).

Теорема 6.6.Всяка неопределена хомогенна система от линейни уравнения има фундаментален набор от решения.

Начинът за намиране на фундаменталния набор от решения е следният:

Намерете общото решение на хомогенна система от линейни уравнения;

изграждане ( н – r) частични решения на тази система, докато стойностите на свободните неизвестни трябва да образуват матрица на идентичност;

Напишете общата форма на включеното в него решение М 0 .

Пример 6.5.Намерете фундаменталното множество от решения на следната система:

Решение. Нека намерим общото решение на тази система.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Тази система има пет неизвестни ( н= 5), от които има две основни неизвестни ( r= 2), три безплатни неизвестни ( н – r), тоест фундаменталното множество от решения съдържа три вектора на решение. Да ги построим. Ние имаме х 1 и х 3 - основни неизвестни, х 2 , х 4 , х 5 - свободни неизвестни

Стойности на свободните неизвестни х 2 , х 4 , х 5 образуват матрицата на идентичността дтрети ред. Разбрах тези вектори с 1 ,с 2 , с 3 форма ф.н.р. тази система. Тогава множеството от решения на тази хомогенна система ще бъде М 0 = {к 1× с 1 + к 2× с 2 + к 3× с 3 , к 1 , к 2 , к 3 О R).

Нека сега открием условията за съществуването на ненулеви решения на хомогенна система от линейни уравнения, с други думи, условията за съществуването на фундаментален набор от решения.

Една хомогенна система от линейни уравнения има ненулеви решения, тоест тя е неопределена, ако

1) рангът на основната матрица на системата е по-малък от броя на неизвестните;

2) в хомогенна система от линейни уравнения броят на уравненията е по-малък от броя на неизвестните;

3) ако в хомогенна система от линейни уравнения броят на уравненията е равен на броя на неизвестните, а детерминантата на основната матрица е равна на нула (т.е. | А| = 0).

Пример 6.6. При каква стойност на параметъра ахомогенна система от линейни уравнения има ненулеви решения?

Решение. Нека съставим основната матрица на тази система и да намерим нейния детерминант: = = 1×(–1) 1+1 × = – а– 4. Детерминантата на тази матрица е равна на нула, когато а = –4.

Отговор: –4.

7. Аритметика н-дименсионално векторно пространство

Основни понятия

В предишните раздели вече се сблъскахме с концепцията за набор от реални числа, подредени в определен ред. Това е редова матрица (или колонна матрица) и решение на система от линейни уравнения с ннеизвестен. Тази информация може да бъде обобщена.

Определение 7.1. н-размерен аритметичен векторсе нарича подредено множество от нреални числа.

Средства а= (a 1, a 2, …, a н), къде азО R, аз = 1, 2, …, не общият изглед на вектора. Номер нНаречен измерениевектор, а числата a азму се обади координати.

Например: а= (1, –8, 7, 4, ) е петизмерен вектор.

Всичко е готово н-размерните вектори обикновено се означават като R n.

Определение 7.2.Два вектора а= (a 1, a 2, …, a н) и b= (b 1 , b 2 , …, b н) със същото измерение равенако и само ако техните съответни координати са равни, т.е. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a н= б н.

Определение 7.3.сумадве н-размерни вектори а= (a 1, a 2, …, a н) и b= (b 1 , b 2 , …, b н) се нарича вектор а + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a н+б н).

Определение 7.4. работареално число кна вектор а= (a 1, a 2, …, a н) се нарича вектор к× а = (к×a 1, к×a 2 , …, к×a н)

Определение 7.5.вектор относно= (0, 0, …, 0) се извиква нула(или нулев вектор).

Лесно е да се провери, че действията (операциите) за добавяне на вектори и умножаването им по реално число имат следните свойства: а, b, ° С Î R n, " к, лИЛИ:

1) а + b = b + а;

2) а + (b+ ° С) = (а + b) + ° С;

3) а + относно = а;

4) а+ (–а) = относно;

5) 1× а = а, 1 О R;

6) к×( л× а) = л×( к× а) = (л× к)× а;

7) (к + л)× а = к× а + л× а;

8) к×( а + b) = к× а + к× b.

Определение 7.6.Много R nс операциите за добавяне на вектори и умножаването им по дадено върху него реално число се нарича аритметично n-мерно векторно пространство.

Хомогенната система винаги е последователна и има тривиално решение
. За да съществува нетривиално решение, е необходимо рангът на матрицата беше по-малко от броя на неизвестните:

.

Фундаментална система за вземане на решения хомогенна система
наричаме системата от решения под формата на колонни вектори
, които отговарят на каноничната основа, т.е. основа, в която произволни константи
последователно се задават равни на единица, докато останалите се задават на нула.

Тогава общото решение на хомогенната система има вида:

където
са произволни константи. С други думи, общото решение е линейна комбинация от фундаменталната система от решения.

По този начин основните решения могат да бъдат получени от общото решение, ако на свободните неизвестни алтернативно се даде стойност единица, като се приеме, че всички останали са равни на нула.

Пример. Нека намерим решение на системата

Приемаме, след което получаваме решението във формата:

Нека сега изградим фундаментална система от решения:

.

Общото решение може да се запише като:

Решенията на система от хомогенни линейни уравнения имат следните свойства:

С други думи, всяка линейна комбинация от решения на хомогенна система отново е решение.

Решаване на системи линейни уравнения по метода на Гаус

Решаването на системи от линейни уравнения представлява интерес за математиците от няколко века. Първите резултати са получени през XVIII век. През 1750 г. Г. Крамер (1704–1752) публикува своите трудове върху детерминантите на квадратните матрици и предлага алгоритъм за намиране на обратната матрица. През 1809 г. Гаус очертава нов метод на решение, известен като метод на елиминиране.

Методът на Гаус или методът на последователно елиминиране на неизвестни се състои в това, че с помощта на елементарни трансформации системата от уравнения се свежда до еквивалентна система от стъпаловидна (или триъгълна) форма. Такива системи ви позволяват последователно да намирате всички неизвестни в определен ред.

Да предположим, че в системата (1)
(което винаги е възможно).

(1)

Умножавайки първото уравнение на свой ред по т.нар подходящи числа

и добавяйки резултата от умножението със съответните уравнения на системата, получаваме еквивалентна система, в която всички уравнения, с изключение на първото, няма да имат неизвестни х 1

(2)

Сега умножаваме второто уравнение на системата (2) с подходящи числа, като приемаме, че

,

и добавяйки го към по-ниските, елиминираме променливата на всички уравнения, като се започне от третото.

Продължавайки този процес, след
стъпки, които получаваме:

(3)

Ако поне едно от числата
не е равно на нула, то съответното равенство е несъстоятелно и системата (1) е несъстоятелна. Обратно, за всяка съвместна бройна система
са равни на нула. Номер не е нищо друго освен ранга на системната матрица (1).

Преходът от система (1) към (3) се нарича по права линия Метод на Гаус и намиране на неизвестни от (3) - наопаки .

Коментирайте : По-удобно е да се извършват трансформации не със самите уравнения, а с разширената матрица на системата (1).

Пример. Нека намерим решение на системата

.

Нека напишем разширената матрица на системата:

.

Нека добавим към редовете 2,3,4 първото, умножено съответно по (-2), (-3), (-2):

.

Нека разменим редове 2 и 3, след това в получената матрица добавете ред 2 към ред 4, умножено по :

.

Добавете към ред 4 ред 3, умножено по
:

.

Очевидно е, че
, следователно системата е съвместима. От получената система от уравнения

намираме решението чрез обратно заместване:

,
,
,
.

Пример 2Намерете системно решение:

.

Очевидно е, че системата е непоследователна, т.к
, а
.

Предимства на метода на Гаус :

Отнема по-малко време от метода на Cramer.

Недвусмислено установява съвместимостта на системата и ви позволява да намерите решение.

Дава възможност за определяне на ранга на всякакви матрици.

Решаването на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE) несъмнено е най-важната тема в курса по линейна алгебра. Огромен брой задачи от всички клонове на математиката се свеждат до решаване на системи от линейни уравнения. Тези фактори обясняват причината за създаването на тази статия. Материалът на статията е подбран и структуриран така, че с негова помощ можете

• изберете оптималния метод за решаване на вашата система от линейни алгебрични уравнения,
• изучаване на теорията на избрания метод,
• решите вашата система от линейни уравнения, като разгледате подробно решенията на типични примери и задачи.

Кратко описание на материала на статията.

Първо даваме всички необходими дефиниции, концепции и въвеждаме някои обозначения.

След това разглеждаме методи за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения, в които броят на уравненията е равен на броя на неизвестните променливи и които имат уникално решение. Първо, нека се съсредоточим върху метода на Крамер, второ, ще покажем матричния метод за решаване на такива системи от уравнения и трето, ще анализираме метода на Гаус (методът на последователно елиминиране на неизвестни променливи). За да консолидираме теорията, определено ще решим няколко SLAE по различни начини.

След това се обръщаме към решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид, в които броят на уравненията не съвпада с броя на неизвестните променливи или основната матрица на системата е изродена. Ние формулираме теоремата на Kronecker-Capelli, която ни позволява да установим съвместимостта на SLAE. Нека анализираме решението на системите (в случай на тяхната съвместимост), използвайки концепцията за базисния минор на матрицата. Ще разгледаме и метода на Гаус и ще опишем подробно решенията на примерите.

Не забравяйте да се спрете на структурата на общото решение на хомогенни и нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения. Нека дадем концепцията за фундаментална система от решения и да покажем как общото решение на SLAE се записва с помощта на векторите на фундаменталната система от решения. За по-добро разбиране нека разгледаме няколко примера.

В заключение разглеждаме системи от уравнения, които се свеждат до линейни, както и различни задачи, при чието решаване възникват SLAE.

Навигация в страницата.

Дефиниции, понятия, обозначения.

Ще разгледаме системи от p линейни алгебрични уравнения с n неизвестни променливи (p може да е равно на n) от вида

Неизвестни променливи, - коефициенти (някои реални или комплексни числа), - свободни членове (също реални или комплексни числа).

Тази форма на SLAE се нарича координирам.

AT матрична форматази система от уравнения има формата,
където - основната матрица на системата, - колоната на матрицата на неизвестните променливи, - колоната на матрицата на свободните членове.

Ако към матрицата А добавим като (n + 1)-та колона матрицата-стълб от свободни членове, то получаваме т.нар. разширена матрицасистеми от линейни уравнения. Обикновено разширената матрица се обозначава с буквата T, а колоната от свободни членове е разделена с вертикална линия от останалите колони, т.е.

Чрез решаване на система от линейни алгебрични уравнениянаречен набор от стойности на неизвестни променливи, който превръща всички уравнения на системата в идентичности. Матричното уравнение за дадените стойности на неизвестните променливи също се превръща в идентичност.

Ако система от уравнения има поне едно решение, тогава тя се нарича става.

Ако системата от уравнения няма решения, тогава тя се нарича несъвместими.

Ако SLAE има уникално решение, то се извиква определени; ако има повече от едно решение, тогава - несигурен.

Ако свободните членове на всички уравнения на системата са равни на нула , тогава системата се извиква хомогенен, в противен случай - разнородни.

Решаване на елементарни системи линейни алгебрични уравнения.

Ако броят на системните уравнения е равен на броя на неизвестните променливи и детерминантата на основната му матрица не е равна на нула, тогава ще наречем такива SLAE елементарен. Такива системи от уравнения имат уникално решение и в случай на хомогенна система всички неизвестни променливи са равни на нула.

Започнахме да изучаваме такъв SLAE в гимназията. Когато ги решавахме, взехме едно уравнение, изразихме една неизвестна променлива чрез други и я заместихме в останалите уравнения, след това взехме следващото уравнение, изразихме следващата неизвестна променлива и я заместихме в други уравнения и т.н. Или са използвали метода на добавяне, тоест добавят две или повече уравнения, за да елиминират някои неизвестни променливи. Няма да се спираме подробно на тези методи, тъй като по същество те са модификации на метода на Гаус.

Основните методи за решаване на елементарни системи от линейни уравнения са методът на Крамер, матричният метод и методът на Гаус. Нека ги подредим.

Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Крамер.

Нека трябва да решим система от линейни алгебрични уравнения

в която броят на уравненията е равен на броя на неизвестните променливи и детерминантата на основната матрица на системата е различна от нула, т.е.

Нека е детерминантата на основната матрица на системата и са детерминанти на матрици, които се получават от A чрез заместване 1-ви, 2-ри, …, n-тиколона съответно към колоната безплатни членове:

С такава нотация неизвестните променливи се изчисляват по формулите на метода на Cramer като . Така се намира решението на система от линейни алгебрични уравнения по метода на Крамер.

Пример.

Метод на Крамер .

Решение.

Основната матрица на системата има формата . Изчислете неговия детерминант (ако е необходимо, вижте статията):

Тъй като детерминантата на основната матрица на системата е различна от нула, системата има уникално решение, което може да бъде намерено по метода на Крамер.

Съставете и изчислете необходимите детерминанти (детерминантата се получава чрез заместване на първата колона в матрица А с колона от свободни членове, детерминантата - чрез заместване на втората колона с колона от свободни членове, - чрез заместване на третата колона на матрица А с колона от свободни членове ):

Намиране на неизвестни променливи с помощта на формули :

Отговор:

Основният недостатък на метода на Крамър (ако може да се нарече недостатък) е сложността на изчисляване на детерминантите, когато броят на системните уравнения е повече от три.

Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения по матричен метод (с помощта на обратната матрица).

Нека системата от линейни алгебрични уравнения е дадена в матрична форма, където матрицата A има размерност n на n и нейният детерминант е различен от нула.

Тъй като , тогава матрицата A е обратима, т.е. има обратна матрица . Ако умножим двете части на равенството по отляво, тогава получаваме формула за намиране на матрицата на колоната на неизвестни променливи. Така че получихме решението на системата от линейни алгебрични уравнения по матричния метод.

Пример.

Решаване на система от линейни уравнения матричен метод.

Решение.

Нека пренапишем системата от уравнения в матрична форма:

защото

тогава SLAE може да се реши по матричния метод. Използвайки обратната матрица, решението на тази система може да се намери като .

Нека изградим обратна матрица, използвайки матрица от алгебрични допълнения на елементите на матрица A (ако е необходимо, вижте статията):

Остава да се изчисли - матрицата на неизвестните променливи чрез умножаване на обратната матрица в колоната на матрицата на безплатните членове (ако е необходимо, вижте статията):

Отговор:

или в друга нотация x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Основният проблем при намирането на решения на системи от линейни алгебрични уравнения чрез матричния метод е сложността на намирането на обратната матрица, особено за квадратни матрици с порядък по-висок от третия.

Решаване на системи линейни уравнения по метода на Гаус.

Да предположим, че трябва да намерим решение на система от n линейни уравнения с n неизвестни променливи
чиято детерминанта на основната матрица е различна от нула.

Същността на метода на Гауссе състои в последователно изключване на неизвестни променливи: първо x 1 се изключва от всички уравнения на системата, като се започне от второто, след това x 2 се изключи от всички уравнения, като се започне от третото и така нататък, докато само неизвестната променлива x n остава в последното уравнение. Такъв процес на трансформиране на уравненията на системата за последователно елиминиране на неизвестни променливи се нарича директен метод на Гаус. След завършване на напредването на метода на Гаус, x n се намира от последното уравнение, x n-1 се изчислява от предпоследното уравнение, като се използва тази стойност, и така нататък, x 1 се намира от първото уравнение. Процесът на изчисляване на неизвестни променливи при преминаване от последното уравнение на системата към първото се нарича обратен метод на Гаус.

Нека опишем накратко алгоритъма за елиминиране на неизвестни променливи.

Ще приемем, че , тъй като винаги можем да постигнем това чрез пренареждане на уравненията на системата. Изключваме неизвестната променлива x 1 от всички уравнения на системата, започвайки от второто. За да направите това, добавете първото уравнение, умножено по към второто уравнение на системата, добавете първото умножено по към третото уравнение и така нататък, добавете първото умножено по към n-то уравнение. Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

къде .

Ще стигнем до същия резултат, ако изразим x 1 чрез други неизвестни променливи в първото уравнение на системата и заместим получения израз във всички останали уравнения. Така променливата x 1 се изключва от всички уравнения, като се започне от второто.

След това действаме по подобен начин, но само с част от получената система, която е маркирана на фигурата

За да направите това, добавете второто, умножено по, към третото уравнение на системата, добавете второто, умножено по, към четвъртото уравнение и така нататък, добавете второто, умножено по, към n-тото уравнение. Системата от уравнения след такива трансформации ще приеме формата

къде . Така променливата x 2 се изключва от всички уравнения, като се започне от третото.

След това пристъпваме към елиминирането на неизвестното x 3, като действаме по подобен начин с частта от системата, отбелязана на фигурата

Така че продължаваме директния ход на метода на Гаус, докато системата приеме формата

От този момент започваме обратния ход на метода на Гаус: изчисляваме x n от последното уравнение като , като използваме получената стойност x n намираме x n-1 от предпоследното уравнение и така нататък намираме x 1 от първото уравнение.

Пример.

Решаване на система от линейни уравнения Метод на Гаус.

Решение.

Нека изключим неизвестната променлива x 1 от второто и третото уравнение на системата. За да направим това, към двете части на второто и третото уравнение добавяме съответните части на първото уравнение, умножени съответно по и по:

Сега изключваме x 2 от третото уравнение, като добавяме към лявата и дясната му части лявата и дясната част на второто уравнение, умножени по:

С това предният ход на метода на Гаус е завършен, започваме обратния ход.

От последното уравнение на получената система от уравнения намираме x 3:

От второто уравнение получаваме.

От първото уравнение намираме останалата неизвестна променлива и това завършва обратния ход на метода на Гаус.

Отговор:

X 1 \u003d 4, x 2 = 0, x 3 \u003d -1.

Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.

В общия случай броят на уравненията на системата p не съвпада с броя на неизвестните променливи n:

Такива SLAE може да нямат решения, да имат едно решение или да имат безкрайно много решения. Това твърдение се отнася и за системи от уравнения, чиято основна матрица е квадратна и изродена.

Теорема на Кронекер-Капели.

Преди да се намери решение на система от линейни уравнения, е необходимо да се установи нейната съвместимост. Отговорът на въпроса кога SLAE е съвместим и кога е несъвместим, дава Теорема на Кронекер–Капели:
за система от p уравнения с n неизвестни (p може да бъде равно на n), за да бъде последователна, е необходимо и достатъчно рангът на основната матрица на системата да е равен на ранга на разширената матрица, т.е. Rank( A)=Ранг(T) .

Нека разгледаме като пример приложението на теоремата на Кронекер-Капели за определяне на съвместимостта на система от линейни уравнения.

Пример.

Разберете дали системата от линейни уравнения има решения.

Решение.

. Нека използваме метода на граничещи непълнолетни. Минор от втори ред различен от нула. Нека да разгледаме непълнолетните от трети ред около него:

Тъй като всички гранични второстепенни от трети ред са равни на нула, рангът на основната матрица е две.

От своя страна, рангът на увеличената матрица е равно на три, тъй като минорът от трети ред

различен от нула.

По този начин, Следователно Rang(A) , съгласно теоремата на Кронекер-Капели, можем да заключим, че оригиналната система от линейни уравнения е непоследователна.

Отговор:

Няма система за решение.

И така, ние се научихме да установяваме непоследователността на системата, използвайки теоремата на Кронекер-Капели.

Но как да намерим решението на SLAE, ако неговата съвместимост е установена?

За да направим това, имаме нужда от концепцията за базисния минор на матрица и теоремата за ранга на матрица.

Извиква се минор от най-висок порядък на матрицата A, различен от нула основен.

От дефиницията на базисния минор следва, че неговият ред е равен на ранга на матрицата. За ненулева матрица A може да има няколко базисни минора; винаги има един основен минор.

Например, помислете за матрицата .

Всички минори от трети ред на тази матрица са равни на нула, тъй като елементите на третия ред на тази матрица са сумата от съответните елементи на първия и втория ред.

Следните минори от втори ред са основни, тъй като са различни от нула

Непълнолетни не са основни, тъй като са равни на нула.

Теорема за ранга на матрицата.

Ако рангът на матрица от ред p по n е r, тогава всички елементи на редовете (и колоните) на матрицата, които не образуват избрания основен минор, се изразяват линейно чрез съответните елементи на редовете (и колоните) ), които формират основния минор.

Какво ни дава теоремата за ранга на матрицата?

Ако чрез теоремата на Кронекер-Капели сме установили съвместимостта на системата, тогава избираме всеки основен минор от главната матрица на системата (нейният ред е равен на r) и изключваме от системата всички уравнения, които не образуват избрания основен минор. Полученият по този начин SLAE ще бъде еквивалентен на оригиналния, тъй като отхвърлените уравнения все още са излишни (според теоремата за матричния ранг те са линейна комбинация от останалите уравнения).

В резултат на това, след отхвърляне на излишните уравнения на системата, са възможни два случая.

Ако броят на уравненията r в получената система е равен на броя на неизвестните променливи, тогава тя ще бъде определена и единственото решение може да бъде намерено чрез метода на Крамер, матричния метод или метода на Гаус.

Пример.

.

Решение.

Ранг на основната матрица на системата е равно на две, тъй като минорът от втори ред различен от нула. Разширен матричен ранг също е равно на две, тъй като единственият минор от третия ред е равен на нула

и минорът от втория ред, разгледан по-горе, е различен от нула. Въз основа на теоремата на Kronecker-Capelli може да се твърди съвместимостта на оригиналната система от линейни уравнения, тъй като Rank(A)=Rank(T)=2.

Като основен минор приемаме . Образува се от коефициентите на първото и второто уравнения:


Третото уравнение на системата не участва във формирането на основния минор, така че го изключваме от системата въз основа на теоремата за ранга на матрицата:


Така получихме елементарна система от линейни алгебрични уравнения. Нека го решим по метода на Крамър:


Отговор:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Ако броят на уравненията r в резултантния SLAE е по-малък от броя на неизвестните променливи n, тогава оставяме членовете, които формират основния минор в левите части на уравненията, и прехвърляме останалите членове в десните части на уравненията на системата с обратен знак.

Неизвестните променливи (има r от тях), останали в лявата страна на уравненията, се наричат основен.

Извикват се неизвестни променливи (има n - r от тях), които са се оказали от дясната страна Безплатно.

Сега приемаме, че свободните неизвестни променливи могат да приемат произволни стойности, докато r главните неизвестни променливи ще бъдат изразени чрез свободните неизвестни променливи по уникален начин. Техният израз може да бъде намерен чрез решаване на получената SLAE по метода на Крамер, матричния метод или метода на Гаус.

Да вземем пример.

Пример.

Решаване на система от линейни алгебрични уравнения .

Решение.

Намерете ранга на основната матрица на системата по метода на граничещите непълнолетни. Нека вземем 1 1 = 1 като ненулев минор от първи ред. Нека започнем да търсим ненулев минор от втори ред около този минор:


Така че намерихме ненулев минор от втори порядък. Нека започнем да търсим ненулев граничен минор от трети ред:


По този начин рангът на основната матрица е три. Рангът на разширената матрица също е равен на три, т.е. системата е последователна.

Намереният ненулев минор от трети ред ще бъде взет като основен.

За по-голяма яснота показваме елементите, които формират основния минор:


Членовете, участващи в основния минор, оставяме от лявата страна на уравненията на системата, а останалите с противоположни знаци прехвърляме в десните страни:


Даваме безплатни неизвестни променливи x 2 и x 5 произволни стойности, тоест вземаме , където са произволни числа. В този случай SLAE приема формата


Решаваме получената елементарна система от линейни алгебрични уравнения по метода на Крамер:


Следователно,.

В отговора не забравяйте да посочите безплатни неизвестни променливи.

Отговор:

Къде са произволните числа.

Обобщете.

За да решим система от линейни алгебрични уравнения от общ вид, първо намираме нейната съвместимост с помощта на теоремата на Кронекер-Капели. Ако рангът на основната матрица не е равен на ранга на разширената матрица, тогава заключаваме, че системата е непоследователна.

Ако рангът на основната матрица е равен на ранга на разширената матрица, тогава избираме основния минор и отхвърляме уравненията на системата, които не участват във формирането на избрания основен минор.

Ако редът на базисния минор е равен на броя на неизвестните променливи, тогава SLAE има уникално решение, което може да бъде намерено по всеки познат ни метод.

Ако редът на основния минор е по-малък от броя на неизвестните променливи, тогава оставяме членовете с основните неизвестни променливи от лявата страна на уравненията на системата, прехвърляме останалите членове в десните страни и присвояваме произволни стойности към свободните неизвестни променливи. От получената система от линейни уравнения намираме основните неизвестни променливи по метода на Крамер, матричния метод или метода на Гаус.

Метод на Гаус за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.

С помощта на метода на Гаус могат да се решават системи от линейни алгебрични уравнения от всякакъв вид без тяхното предварително изследване за съвместимост. Процесът на последователно елиминиране на неизвестни променливи дава възможност да се направи заключение както за съвместимостта, така и за несъответствието на SLAE и ако съществува решение, прави възможно намирането му.

От гледна точка на изчислителната работа методът на Гаус е за предпочитане.

Вижте подробното му описание и анализирани примери в статията Метод на Гаус за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения от общ вид.

Записване на общото решение на хомогенни и нехомогенни линейни алгебрични системи с помощта на векторите на основната система от решения.

В този раздел ще се съсредоточим върху съвместни хомогенни и нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения, които имат безкраен брой решения.

Нека първо да разгледаме хомогенните системи.

Фундаментална система за вземане на решенияХомогенна система от p линейни алгебрични уравнения с n неизвестни променливи е набор от (n – r) линейно независими решения на тази система, където r е редът на базисния минор на основната матрица на системата.

Ако обозначим линейно независими решения на хомогенен SLAE като X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) са колони на матрици с размерност n чрез 1 ) , тогава общото решение на тази хомогенна система се представя като линейна комбинация от вектори на фундаменталната система от решения с произволни постоянни коефициенти С 1 , С 2 , …, С (n-r), т.е.

Какво означава терминът общо решение на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения (орослау)?

Значението е просто: формулата уточнява всички възможни решения на оригиналния SLAE, с други думи, вземайки произволен набор от стойности на произволни константи C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , съгласно формулата, която ние ще получи едно от решенията на оригиналния хомогенен SLAE.

По този начин, ако намерим фундаментална система от решения, тогава можем да зададем всички решения на тази хомогенна SLAE като .

Нека покажем процеса на конструиране на фундаментална система от решения за хомогенна SLAE.

Избираме основния минор на оригиналната система от линейни уравнения, изключваме всички други уравнения от системата и прехвърляме към дясната страна на уравненията на системата с противоположни знаци всички членове, съдържащи свободни неизвестни променливи. Нека дадем на свободните неизвестни променливи стойностите 1,0,0,…,0 и да изчислим основните неизвестни чрез решаване на получената елементарна система от линейни уравнения по какъвто и да е начин, например по метода на Крамер. Така ще се получи X (1) – първото решение на фундаменталната система. Ако дадем на свободните неизвестни стойностите 0,1,0,0,…,0 и изчислим основните неизвестни, тогава получаваме X (2) . И така нататък. Ако дадем на свободните неизвестни променливи стойностите 0,0,…,0,1 и изчислим основните неизвестни, тогава получаваме X (n-r) . Така ще бъде построена фундаменталната система от решения на хомогенната СЛАУ и нейното общо решение може да се запише във вида .

За нехомогенни системи от линейни алгебрични уравнения общото решение се представя като

Нека да разгледаме примерите.

Пример.

Намерете основната система от решения и общото решение на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения .

Решение.

Рангът на основната матрица на хомогенните системи от линейни уравнения винаги е равен на ранга на разширената матрица. Нека намерим ранга на главната матрица по метода на периферните второстепенни. Като ненулев минор от първи ред приемаме елемента a 1 1 = 9 от основната матрица на системата. Намерете граничния ненулев минор от втори ред:

Намира се минор от втори порядък, различен от нула. Нека да преминем през минори от трети ред, граничещи с него, в търсене на различен от нула:

Всички гранични второстепенни от трети ред са равни на нула, следователно рангът на основната и разширената матрица е две. Нека вземем основния минор. За по-голяма яснота отбелязваме елементите на системата, които я формират:

Третото уравнение на оригиналния SLAE не участва във формирането на основния минор, следователно може да бъде изключено:

Оставяме членовете, съдържащи основните неизвестни от дясната страна на уравненията, и прехвърляме членовете със свободни неизвестни в дясната страна:

Нека изградим фундаментална система от решения на оригиналната хомогенна система от линейни уравнения. Фундаменталната система от решения на този SLAE се състои от две решения, тъй като оригиналният SLAE съдържа четири неизвестни променливи, а редът на основния минор е два. За да намерим X (1), даваме на свободните неизвестни променливи стойностите x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, след което намираме основните неизвестни от системата от уравнения
.

Ще продължим да усъвършенстваме техниката елементарни трансформациина хомогенна система от линейни уравнения.
Според първите параграфи материалът може да изглежда скучен и обикновен, но това впечатление е измамно. В допълнение към по-нататъшното разработване на техники, ще има много нова информация, така че, моля, опитайте се да не пренебрегвате примерите в тази статия.

Какво е хомогенна система от линейни уравнения?

Отговорът се подсказва сам. Система от линейни уравнения е хомогенна, ако свободният член всекиуравнението на системата е нула. Например:

Съвсем ясно е, че хомогенната система е винаги последователна, тоест винаги има решение. И, на първо място, т.нар тривиаленрешение . Тривиално, за тези, които изобщо не разбират значението на прилагателното, означава беспонтовое. Не академично, разбира се, но разбираемо =) ... Защо да се заобикаляме, нека да разберем дали тази система има други решения:

Пример 1

Решение: за решаване на хомогенна система е необходимо да се напише системна матрицаи с помощта на елементарни трансформации го приведете в стъпаловидна форма. Обърнете внимание, че тук не е необходимо да записвате вертикалната лента и нулевата колона на безплатните членове - в края на краищата, каквото и да правите с нули, те ще останат нула:

(1) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по -2. Първият ред беше добавен към третия ред, умножен по -3.

(2) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по -1.

Разделянето на третия ред на 3 няма много смисъл.

В резултат на елементарни преобразувания се получава еквивалентна хомогенна система , и прилагайки обратното движение на метода на Гаус, е лесно да се провери, че решението е уникално.

Отговор:

Нека формулираме един очевиден критерий: хомогенна система от линейни уравнения има само тривиално решение, ако ранг на системната матрица(в този случай 3) е равно на броя на променливите (в този случай 3 бр.).

Загряваме и настройваме радиото си на вълна от елементарни трансформации:

Пример 2

Решете хомогенна система от линейни уравнения

За да коригираме най-накрая алгоритъма, нека анализираме последната задача:

Пример 7

Решете хомогенна система, запишете отговора във векторна форма.

Решение: пишем матрицата на системата и с помощта на елементарни трансформации я привеждаме в стъпаловидна форма:

(1) Променен е знакът на първия ред. Още веднъж обръщам внимание на многократно срещаната техника, която ви позволява значително да опростите следното действие.

(1) Първият ред беше добавен към 2-ри и 3-ти ред. Първият ред, умножен по 2, беше добавен към 4-тия ред.

(3) Последните три реда са пропорционални, два от тях са премахнати.

В резултат на това се получава стандартна стъпкова матрица и решението продължава по набраздената писта:

– основни променливи;
са свободни променливи.

Ние изразяваме основните променливи чрез свободни променливи. От второто уравнение:

- заместител в 1-во уравнение:

Така че общото решение е:

Тъй като в разглеждания пример има три свободни променливи, фундаменталната система съдържа три вектора.

Нека заместим тройка от стойности в общото решение и да получим вектор, чиито координати удовлетворяват всяко уравнение на хомогенната система. И отново повтарям, че е много желателно да проверявате всеки получен вектор - това няма да отнеме толкова много време, но ще спести сто процента от грешки.

За тройка ценности намерете вектора

И накрая за тройката получаваме третия вектор:

Отговор: , където

Тези, които желаят да избегнат дробни стойности, могат да обмислят тройки и получете отговора в еквивалентната форма:

Говорейки за дроби. Нека разгледаме матрицата, получена в задачата и задайте въпроса - възможно ли е да се опрости по-нататъшното решение? В края на краищата тук първо изразихме основната променлива по отношение на дроби, след това основната променлива по отношение на дроби и, трябва да кажа, този процес не беше от най-лесните и не от най-приятните.

Второто решение:

Идеята е да се опита изберете други основни променливи. Нека погледнем матрицата и забележим две единици в третата колона. Така че защо да не получите нула на върха? Нека направим още една елементарна трансформация:

Можете да поръчате подробно решение на вашия проблем !!!

За да разберете какво е фундаментална система за вземане на решенияможете да гледате видео урока за същия пример, като щракнете върху . Сега нека да преминем към описанието на цялата необходима работа. Това ще ви помогне да разберете по-подробно същността на този въпрос.

Как да намерим основната система от решения на линейно уравнение?

Вземете за пример следната система от линейни уравнения:

Нека намерим решение на тази линейна система от уравнения. Да започнем с това, ние запишете матрицата на коефициента на системата.

Нека трансформираме тази матрица в триъгълна.Пренаписваме първия ред без промени. И всички елементи, които са под $a_(11)$, трябва да бъдат направени нула. За да поставите нула на мястото на елемента $a_(21)$, трябва да извадите първия от втория ред и да напишете разликата във втория ред. За да направите нула на мястото на елемента $a_(31)$, трябва да извадите първия от третия ред и да запишете разликата в третия ред. За да направите нула на мястото на елемента $a_(41)$, трябва да извадите първото умножено по 2 от четвъртия ред и да запишете разликата в четвъртия ред. За да направите нула на мястото на елемента $a_(31)$, извадете първото умножено по 2 от петия ред и напишете разликата в петия ред.

Пренаписваме първия и втория ред без промени. И всички елементи, които са под $a_(22)$, трябва да бъдат направени нула. За да направите нула на мястото на елемента $a_(32)$, е необходимо да извадите второто, умножено по 2, от третия ред и да запишете разликата в третия ред. За да направите нула на мястото на елемента $a_(42)$, е необходимо да извадите секундата, умножена по 2, от четвъртия ред и да запишете разликата в четвъртия ред. За да направите нула на мястото на елемента $a_(52)$, извадете второто, умножено по 3, от петия ред и напишете разликата в петия ред.

Виждаме това последните три реда са еднакви, така че ако извадите третото от четвъртото и петото, тогава те ще станат нула.

За тази матрица напишете нова система от уравнения.

Виждаме, че имаме само три линейно независими уравнения и пет неизвестни, така че фундаменталната система от решения ще се състои от два вектора. Така че ние преместете последните две неизвестни надясно.

Сега започваме да изразяваме тези неизвестни, които са от лявата страна, чрез тези, които са от дясната страна. Започваме с последното уравнение, първо изразяваме $x_3$, след това заместваме получения резултат във второто уравнение и изразяваме $x_2$, а след това в първото уравнение и тук изразяваме $x_1$. Така изразихме всички неизвестни, които са от лявата страна, чрез неизвестните, които са от дясната страна.

След това, вместо $x_4$ и $x_5$, можете да замените произволни числа и да намерите $x_1$, $x_2$ и $x_3$. Всеки от тези пет числа ще бъде коренът на нашата оригинална система от уравнения. За да намерите векторите, които са включени в FSRтрябва да заменим 1 вместо $x_4$ и да заменим 0 вместо $x_5$, да намерим $x_1$, $x_2$ и $x_3$ и след това обратното $x_4=0$ и $x_5=1$.