Определяне на разстоянието между успоредни равнини. Разстояние между две успоредни равнини: определение и примери за намиране

Разстояние между двама успоредни равнинисе изразява с формулата:

Ние не знаем координатите на точките и не е необходимо да ги знаем, тъй като перпендикулярът между равнините може да бъде удължен навсякъде.

Да намерим разстоянието между успоредни равнини от пример № 8:

Пример 10

.

Решение: Използвайте формулата:

Отговор:

Мнозина вероятно имат въпрос: за тези самолети - първите три коефициента са еднакви, но това не винаги е така! Да, не винаги.

Пример 11

Намерете разстоянието между успоредни равнини

Нека проверим пропорционалността на коефициентите: , но следователно равнините наистина са успоредни. Първите три коефициента са пропорционални, но не еднакви. Но формулата предвидени съвпадащи коефициенти!

Има две решения:

1) Намерете някаква точка, принадлежаща на някоя от равнините. Например, помислете за самолет. За да намерите точка, най-лесният начин е да зададете две координати на нула. Нека нулираме "X" и "Z", след това: .

Така точката принадлежи на дадената равнина. Сега можете да използвате формулата за разстоянието от точка до линия, разгледана в предишния раздел.

2) Вторият начин е свързан с малък трик, който трябва да се приложи, за да продължите да използвате формулата ! Това е пример за „направи си сам“.

Пресичащи се равнини

Третият, най-често срещан случай, когато две равнини се пресичат по права линия:

Две равнини се пресичат тогава и само ако техните коефициенти с променливи НЕ пропорционално, тоест НЯМА такава стойност на "ламбда", че равенствата да са изпълнени

Веднага ще отбележа важен факт: Ако равнините се пресичат, тогава системата линейни уравнения определя уравнението на права линия в пространството. Но за пространствената линия по-късно.

Като пример, помислете за самолетите . Нека съставим система за съответните коефициенти:

От първите две уравнения следва, че , но от третото уравнение следва, че следователно системата е непоследователна, и равнините се пресичат.

Проверката може да бъде направена "по глупаво" в един ред:

Вече анализирахме успоредни равнини, сега нека поговорим за перпендикулярни равнини. Очевидно е, че безкрайно много могат да бъдат привлечени към всяка равнина. перпендикулярни равнини, а за да фиксирате определена перпендикулярна равнина, трябва да знаете две точки:

Пример 12

Даден самолет . Построете равнина, перпендикулярна на дадената и минаваща през точките .

Решение: Започваме да анализираме състоянието. Какво знаем за самолета? Известни са две точки. Можете да намерите вектор, успореден на дадената равнина. Не достатъчно. Би било хубаво да се изрови някъде друг подходящ вектор. Тъй като равнините трябва да са перпендикулярни, нормалният вектор на равнината ще свърши работа.

Схематичен чертеж помага да се извършат такива разсъждения:

За по-добро разбиранезадачи отделят нормалния вектор от точка в равнината.

Трябва да се отбележи, че две произволни точки могат да бъдат разположени в пространството както желаете, а перпендикулярната равнина може да бъде обърната към нас от съвсем различен ъгъл. Между другото, сега можете ясно да видите защо една точка не определя перпендикулярна равнина - безкраен брой перпендикулярни равнини ще се „въртят“ около една точка. Освен това един вектор (без никакви точки) няма да ни подхожда. Векторът е свободен и ще ни "подпечата" с безкраен брой перпендикулярни равнини (които, между другото, всички ще бъдат успоредни). В това отношение две точки осигуряват минималната твърда структура.

Алгоритъмът е разглобен, решаваме проблема:

1) Намерете вектора .

2) От уравнението премахнете нормалния вектор: .

3) Съставяме уравнението на равнината от точката (възможно е да вземем и ) и два неколинеарни вектора :

Материалът на тази статия ви позволява да придобиете умението да определяте разстоянието между две успоредни равнини, като използвате метода на координатите. Нека дадем дефиниция на разстоянието между успоредни равнини, да получим формула за неговото изчисляване и да разгледаме теорията на практически примери.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

Разстояние между успоредни равниние разстоянието от произволна точкаедна от разглежданите успоредни равнини на другата равнина.

Нека са дадени две успоредни равнини ϒ 1 и ϒ 2. От произволна точка M 1 на равнината ϒ 1 спускаме перпендикуляра M 1 H 1 към друга равнина ϒ 2. Дължината на перпендикуляра M 1 H 1 ще бъде разстоянието между дадените равнини.

Това определение на разстоянието между успоредни равнини е свързано със следната теорема.

Теорема

Ако две равнини са успоредни, тогава всички точки на една от успоредните равнини са на еднакво разстояние от другата равнина.

Доказателство

Да предположим, че са дадени две успоредни равнини ϒ 1 и ϒ 2. За да се получи доказателство на теоремата, е необходимо да се докаже, че перпендикулярите, пуснати от различни произволни точки на една равнина в друга равнина, са равни. Нека са дадени произволни точки M 1 и M 2 на равнината ϒ 1 и от тях са спуснати перпендикуляри M 1 H 1 и M 2 H 2 към равнината ϒ 2. Следователно трябва да докажем, че M 1 H 1 \u003d M 2 H 2.

Правите M 1 H 1 и M 2 H 2 са успоредни, тъй като са перпендикулярни на една равнина. Въз основа на аксиомата за една равнина, минаваща през три различни точки, които не лежат на една права, можем да твърдим, че има само една равнина, минаваща през две успоредни прави. Ще приемем, че има някаква равнина ϒ 3, минаваща през две успоредни прави M 1 H 1 и M 2 H 2 . Очевидният факте, че равнината ϒ 3 пресича равнините ϒ 1 и ϒ 2 по правите M 1 M 2 и H 1 H 2 , които не се пресичат и следователно са успоредни (в противен случай дадените равнини биха имали обща точка, което е невъзможно поради успоредността им по условието на задачата). Така наблюдаваме четириъгълник M 1 M 2 H 1 H 2, в който противоположни страниса по двойки успоредни, т.е. M 1 M 2 H 1 H 2 е успоредник (в този случай правоъгълник). Следователно противоположните страни на този успоредник са равни, което означава | M 1 H 1 | = | M 2 H 2 | . Q.E.D.

Забележете също, че разстоянието между успоредни равнини е най-малкото от разстоянията между произволни точки на тези равнини.

Намиране на разстоянието между успоредни равнини

Според програмата от 10 - 11 клас разстоянието между успоредни равнини се определя чрез конструиране на перпендикуляр от всяка точка на една равнина, спусната до друга равнина; след което се намира дължината на този перпендикуляр (използвайки питагоровата теорема, знаци за равенство или подобие на триъгълници, или определението за синус, косинус, тангенс на ъгъл).

В случай, че вече е зададена или е възможно да се зададе правоъгълна координатна система, тогава имаме възможност да определим разстоянието между успоредни равнини чрез координатния метод.

Нека дадено триизмерно пространство, а в нея - правоъгълна координатна система и две успоредни равнини ϒ 1 и ϒ 2 . Нека намерим разстоянието между тези равнини, разчитайки, наред с други неща, на дефиницията на разстоянието между равнините, дадена по-горе.

В началните данни - равнини ϒ 1 и ϒ 2, и можем да определим координатите (x 1, y 1, z 1) на определена точка M 1, принадлежаща на една от дадени самолети: нека това е равнината ϒ 1 . Получаваме и нормалното уравнение на равнината ϒ 2: cos α · x + cos β · y + cos λ · z - p = 0 . В този случай необходимото разстояние | M 1 H 1 | ще бъде равно на разстоянието от точката M 1 (x 1, y 1, z 1) до равнината ϒ 2 (съответства на нормалната cos уравнениеα x + cos β y + cos γ z - p = 0). След това изчисляваме необходимото разстояние по формулата: M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p. Извеждането на тази формула може да се изучава в темата за изчисляване на разстоянието от точка до равнина.

Нека да обобщим. За да се определи разстоянието между две успоредни равнини, е необходимо:

Определение 2

Намерете координатите (x 1 , y 1 , z 1) на определена точка M 1, принадлежаща на една от първоначалните равнини;

Дефинирайте нормалното уравнение на друга равнина във вида cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 ;

Изчислете необходимото разстояние по формулата: M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p .

Ако в правоъгълна координатна система равнината ϒ 1 е дадена от общото уравнение на равнината A x + B y + C z + D 1 = 0, а равнината ϒ 2 е дадена от общото уравнение A x + B y + C z + D 2 = 0, тогава разстоянието между успоредни равнини трябва да се изчисли по формулата:

M 1 H 1 = D 2 - D 1 A 2 + B 2 + C 2

Нека покажем как дадена формулаполучени.

Нека точката M 1 (x 1, y 1, z 1) принадлежи на равнината ϒ 1 . В този случай координатите на тази точка ще съответстват на уравнението на равнината A x + B y + C z + D 1 = 0 или равенството ще бъде вярно: A x 1 + B y 1 + C z 1 + D 1 = 0 . От тук получаваме: A · x 1 + B · y 1 + C · z 1 + D 1 = 0. Полученото равенство все още ще ни бъде полезно.

Ще бъде описана равнината ϒ 2 нормално уравнениеравнина A x + B y + C z + D 2 A 2 + B 2 + C 2 = 0 или - A x + B y + C z + D 2 A 2 + B 2 + C 2 = 0 (в зависимост от знака на числото D 2). Въпреки това, за всяка стойност на D 2 разстоянието | M 1 H 1 | може да се изчисли по формулата:

M 1 H 1 = A x 1 + B y 1 + C z 1 + D 2 A 2 + B 2 + C 2 = A x 1 + B y 1 + C z 1 + D 2 A 2 + B2 + C2

Сега използваме полученото по-рано равенство A x 1 + B y 1 + C z 1 = - D 1 и преобразуваме формулата:

M 1 H 1 = - D 1 + D 2 A 2 + B 2 + C 2 = D 2 - D 1 A 2 + B 2 + C 2

Пример 1

Дадени са две успоредни равнини ϒ 1 и ϒ 2, описани съответно с уравненията x 1 6 + y - 1 4 + z 1 4 3 = 1 и 3 x - 2 y + 2 3 z - 20 = 0. Необходимо е да се определи разстоянието между дадените равнини.

Решение

Нека решим проблема по два начина.

1. Уравнението на равнината в сегменти, което е посочено в условието на проблема, позволява да се определят координатите на точката M 1, принадлежаща на равнината, описана от това уравнение. Като точка M 1 използваме пресечната точка на равнината ϒ 1 и оста O x . Така имаме: M 1 1 6 , 0 , 0 .

Нека трансформираме общото уравнение на равнината ϒ 2 в нормалната форма:

3 x - 2 y + 2 3 z - 20 = 0 ⇔ 3 x - 2 y + 2 3 z - 20 3 2 + (- 2) 2 + 2 3 2 = 0 ⇔ ⇔ 3 5 x - 2 5 y + 2 3 5 z - 4 = 0

Изчислете разстоянието | M 1 H 1 | от точка M 1 1 6 , 0 , 0 до равнина 3 5 x - 2 5 y + 2 3 5 z - 4 = 0:

M 1 H 1 \u003d 3 5 1 6 - 2 5 0 + 2 3 5 0 - 4 = 1 10 - 4 \u003d 3 9 10

Така че получихме желаното разстояние между първоначалните успоредни равнини.

1. Преобразуваме уравнението на равнината в сегменти в общото уравнение на равнината:

x 1 6 + y - 1 4 + z 1 4 3 = 1 ⇔ 6 x - 4 y + 4 3 z - 1 = 0

Приравняваме коефициентите за променливите x, y, z в общите уравнения на равнините; За тази цел умножаваме двете страни на екстремното равенство по 2:

3 x - 2 y + 2 3 z - 20 = 0 ⇔ 6 x - 4 y + 4 3 z - 40 = 0

Нека използваме формулата, за да намерим разстоянието между успоредни равнини:

M 1 H 1 \u003d D 2 - D 1 A 2 + B 2 + C 2 = - 40 - (- 1) 6 2 + (- 4) 2 + (4 3) 2 = 39 100 \u003d 3 9 10.

Отговор: 3 9 10 .

Пример 2

Дадени са две успоредни равнини, описани с уравненията: 6 x + 4 y - 12 z + 3 = 0 и 3 x + 2 y - 6 z - 2 = 0 . Необходимо е да се намери разстоянието между тези равнини.

Решение

Ще бъде по-удобно да използвате втория начин за решаване на такива проблеми. Умножете двете страни на второто уравнение по 2 и коефициентите в уравненията на равнините ще станат равни: 6 x + 4 y - 12 z + 3 = 0 и 6 x + 4 y - 12 z - 4 = 0. Сега можете да използвате формулата:

M 1 H 1 \u003d - 4 - 3 6 2 + 4 2 + (- 12) 2 \u003d 7 196 \u003d 1 2

Нека обаче се опитаме да намерим отговора по първия начин: да кажем, че точката M 1 (x 1, y 1, z 1) принадлежи на равнината 6 x + 4 y - 12 z + 3 = 0 . Съответно координатите на тази точка съответстват на уравнението на равнината и равенството ще бъде вярно:

6 x 1 + 4 y 1 - 12 z 1 + 3 = 0

Нека y 1 = 0, z 1 = 0, тогава x 1: 6 x 1 + 4 0 - 12 0 + 3 = 0 ⇔ x 1 = - 1 2

Така че точката става точни координати: M 1 - 1 2 , 0 , 0 .

Нека преобразуваме общото уравнение на равнината 3 x + 2 y - 6 z - 2 = 0 в нормална форма:

3 x + 2 y - 6 z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y - 6 z - 2 = 0 3 2 + 2 2 + - 6 = 0 ⇔ 3 7 x + 2 7 y - 6 7 z - 2 7 = 0

В този случай необходимото разстояние между равнините е: 3 7 - 1 2 + 2 7 0 - 6 7 0 - 6 7 0 - 2 7 = - 1 2 = 1 2

Отговор: 1 2 .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

С този онлайн калкулатор можете да намерите разстоянието между равнините. дадено подробно решениес обяснения. За да намерите разстоянието между равнините, въведете елементите на уравнението на равнината в клетките и кликнете върху бутона "Решаване".

×

Внимание

Изчистване на всички клетки?

Затвори Изчисти

Инструкция за въвеждане на данни.Числата се въвеждат като цели числа (примери: 487, 5, -7623 и т.н.), десетични числа (напр. 67., 102,54 и т.н.) или дроби. Дробта трябва да бъде въведена във формата a/b, където a и b (b>0) са цели числа или десетични числа. Примери 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.н.

Разстояние между равнините - теория

Алгоритъмът за изчисляване на разстоянието между равнините съдържа следните стъпки:

1. Проверка за колинеарност нормални векторисамолети.
2. Намиране на някаква точка М 0 на първия самолет.
3. Изчисляване на разстоянието между точка М 0 и втората равнина.

Нормалният вектор на уравнение (2") има следната форма:

принадлежи на равнината (1):

Общото уравнение на равнината има формата:

Заменете стойностите A, B, C, D 1 , д 2 инча (9):

Нека опростим и решим.

Определение.Ще се обадим разстояние от точка до равнинаминималното разстояние от дадена точка до точки в m-равнината.

защото минималното разстояние от дадена точка до точките на всяка права, лежаща на m-равнината, е разстоянието от дадена точка до основата на перпендикуляра, пуснат от нея към правата. Разстоянието от точка до m-равнината е равно на разстоянието от тази точка до основата на перпендикуляра, пуснат от нея към m-равнината.

Намерете разстоянието от точката до равнината, дадена от уравнението
(4) . Уравнението на перпендикуляр, паднал от точка
в самолет изглежда така:
(12) . Заместител (12) в (4) :.
(13) . защото разстояние от точката
до произволна точка от равнината е равно на
(14) . По-специално, разстоянието до равнината от началото на системата е
(15) . Когато нормалният вектор е единица, формулата (14) може да се напише като
(14’) , а (15) :
(15’) . В случай, че нормалният вектор е единица, абсолютната стойност на свободния член в (4) равно на разстоянието до равнината.

Изявление.Тъй като успоредните равнини могат да имат еднакви вектори на посоката , тогава нормалните вектори на успоредните равнини са колинеарни. Разстоянията от всички точки на едната от двете успоредни равнини до другата от тези равнини са равни. Наистина, разстоянието от произволна точка
към равнина през точка
успоредна на дадената равнина (4) с вектори на посоката , посредством (14) се равнява
. Тези. равно на разстоянието от точката
към същата равнина.

Определение.Ще наречем числото, равно на тези разстояния, разстояние между две успоредни равнини.

Ако уравненията на две равнини са записани като: (17) , тогава разстоянието между тях е равно на разстоянието от точката
лежащ на втората равнина преди първата. Поради връзката (14) , това разстояние е
, но защото точка
лежи на втората равнина, след това на вектора удовлетворява уравнението на тази равнина, т.е. получаваме:
(18) .

23. Намаляване на уравнението на крива от втори ред до канонична форма с класификация на възможните типове типове в случай на δ≠0

Фиксираме правоъгълна координатна система на равнината и разглеждаме общото уравнение от втора степен. (1)

Деф: Множеството от точки, чиито координати отговарят на уравнение 1, се нарича крива от втори ред. група старши членове (2) може да се разглежда като квадратна форма в координатите (x, y) на вектора x. Тъй като матрицата е A-симетрична, тогава  ортонормална основа
от собствени вектори a, в която матрицата квадратна формадиагонал и реален. Нека матрица P= е матрицата на прехода от базис e към базис . Тогава
. Тогава (5)
. Като вземем предвид 5, записваме квадратната форма 2. (6) И
(лесно се извлича чрез умножаване на P T AP). Следователно в осн квадратната форма може да бъде записана като
. Тъй като P T P=I, матрицата Р е ортогонална и геометрично преходът от базис към базис отговаря на завъртане с някакво y
гол обратно на часовниковата стрелка.
. С оглед на валидността на 5.6, пренаписваме Уравнение 1 в нови координати. (10)

Да сложим (11)
. Тогава λ 1 λ 2 =detD=det(P T AP)=detP T detA detP=detA.

Средства

Нека разделим случаите:

1)

(13)
. И:
,
,
.

НО)Да предположим, че всички λ са с един и същи знак, тогава геометричното място на точките, чиито координати отговарят на условие 13, е:

Елипса, ако знакът на c е противоположен на знака на λ

"Въображаема елипса", ако знак c=знак λ

точка, ако c=0

AT)Позволявам
, т.е. λ 1 и λ 2 с различни знаци. Тогава ще бъдат 13

а. уравнение на хипербола:
, ако c≠0

b. И двойки пресичащи се прави, ако c=0

Намаляване на уравнението на крива от втори ред до канонична форма с класификация на възможните типове в случая δ =0

Криви инварианти от втори ред. Определение канонично уравнениекрива от втори ред в инварианти.

Деф: инвариантна кривасе наричат ​​функции на коефициентите на уравнението на кривата, които не се променят при преминаване от единица правоъгълна системакоординати на друг.

Теорема.За крива от втори ред
,
,
са инварианти. В доказателството са разгледани 2 случая: 1) паралелна транслация (променливи се променят, отварят се скоби, групират се) 2) Завъртане с Р.

Елиптична крива		- Елипса
		- Елипса
Крива от хиперболичен тип		Хипербола
		Двойка пресичащи се линии
		Парабола
		Двойка успоредни прави

Намаляване на повърхностното уравнение от втори ред до канонична форма с класификация на типа в случай, когато всички λ аз са различни от нула.

В случай, когато всички λ i са различни от нула. Повърхнината, чрез трансформиране на квадратичната форма с помощта на преходната матрица P (както при кривите само за матрица 3x3) и след това трансформиране на координатите и привеждането им в каноничната форма, се трансформира в следната форма:. Тогава имаме следното.

			Елипсоид
			Еднолистов хиперболоид
			Двулистов хиперболоид
			Въображаем елипсоид
	 λi със същия знак		въображаем конус

Намаляване на повърхностното уравнение от втори ред до канонична форма с класификация на типа в случай, когато едно от λ аз ­ е равно на нула.

Нека за определеност λ 3 =0. Тогава уравнението на повърхността ще приеме формата:
(4). Ако на 4
, тогава уравнението става уравнение на цилиндрична повърхност.
(5). Отново приемаме, че c≤0, в противен случай умножаваме 5 по -1.

			Елиптичен цилиндър
			хиперболичен цилиндър
			Въображаем елиптичен цилиндър
	λi с един знак		Две въображаеми пресичащи се равнини	Права x=0, y=0
	λi различни знаци
	Ако λi е със същия знак		Елиптичен параболоид
	Ако различни знаци		Хиперболичен параболоид

Намаляване на уравнението на повърхност от втори ред до канонична форма с класификация на типовете в случай, когато две от λ аз са равни на нула.

Позволявам
, тогава уравнението на повърхността ще приеме формата: (7) . Това е двойка успоредни равнини, различно, когато λ 1 C<0, совпадающих, когда C=0, мнимых, если λ 1 C>0.

Ако 2 ≠ 0 или 3 ≠ 0, правим замяна, като приемем:
,
. Замествайки в 7 получаваме:
, където
. Дали е крива от втори ред в равнината или параболичен цилиндър.

Теорема 1: Пространството R може да се разложи на пряка сума от инвариантни подпространства N 0 (p) и M (p) . В този случай подпространството N 0 (p) се състои само от техните собствени и свързани вектори, съответстващи на собствената стойност λ=0, а в подпространството M (p) трансформацията е обратима (т.е. λ=0 не е собствена стойност на трансформацията A в подпространството M ( p).

Доказателство:за да се докаже първото твърдение, е достатъчно да се покаже, че пресечната точка на подпространствата N 0 (p) и M 0 (p) е равно на нула. Да приемем обратното, т.е. нека има вектор y≠0 такъв, че yM (p) и yN 0 (p) . Тъй като yM (p) , тогава y=A p x.

Но от равенства (8) и (9) следва, че има вектор x, за който A p x≠0 и в същото време A 2 p x = A p y = 0

Това означава, че x е асоцииран трансформационен вектор A със собствена стойност λ=0, който не принадлежи на подпространството N 0 (p) , което е невъзможно, тъй като N 0 (p) се състои от всички такива вектори.

Така доказахме, че пресечната точка на N 0 (p) и M 0 (p) е равна на нула. Тъй като сумата от размерите на тези подпространства е равна на n (това е ядрото и образът на трансформацията A p), следва, че пространството R се разлага на пряка сума от тези подпространства:

R=M(p) N 0 (p)

Нека сега докажем второто твърдение на теоремата, т.е. че в подпространството M (p) трансформацията A няма нулева собствена стойност. Наистина, ако това не беше така, тогава в M ​​(p) щеше да съществува вектор x≠0 такъв, че A p x=0

Но това равенство означава, че xN 0 (p) , т.е. е общ вектор на M (p) и N 0 (p) и ние доказахме, че само нула може да бъде такъв вектор.

Теорема 2:Нека трансформация A на пространството R има k различни собствени стойностиλ 1 ,….,λ k . Тогава R може да се разложи на пряка сума от k инвариантни подпространства N λ 1 (p 1) ,….,N λk (pk) :

R = N λ 1 (p 1) ….N λk (pk)

Всяко от подпространствата N λi (pi) се състои само от собствени вектори и асоциирани вектори, съответстващи на собствената стойност λ i

С други думи, за всяко i има такова число p i, че за всички xN λ i (pi) .

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебен ред, в съдебни производства и/или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други цели от обществен интерес.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.