От произволна точка отделете вектор, равен на дадения. Вектори Вектори Историческа справка Концепцията за вектор Равенство на вектори Отлагане на вектор от дадена точка Сумата от два вектора Закони за добавяне Изваждане

1. Определете равенството на геометричните вектори.

две геометричен векторсе казва, че са равни, ако:

те са колинеарни и еднопосочни;

дължините им са еднакви.

2. Определете сумата от вектори и умножението на вектор по число.

Сборът a + b на два вектора a и b е вектор c, конструиран съгласно следното правило на триъгълника. Нека съпоставим началото на вектора b с края на вектора a. Тогава сумата от тези вектори ще бъде векторът c, чието начало съвпада с началото на a, а краят на който съвпада с края на b.

Наред с правилото на триъгълника съществува правилото на успоредника. Избор за вектори a и b общо начало, изграждаме успоредник върху тези вектори. Тогава диагоналът на успоредника, излизащ от общото начало на векторите, определя тяхната сума.

При умножаване на вектор по число посоката на вектора не се променя, но дължината на вектора се умножава по числото.

3. Дайте дефиниции на колинеарни и копланарни вектори.

Два геометрични вектора се наричат колинеарни, ако лежат на една права или на успоредни прави.

Три геометрични вектора се наричат копланарни, ако тези вектори лежат на прави, успоредни на някаква равнина.

4. Определете линейно зависими и линейно независима системавектори.

Векторите a 1 , … , a n се наричат линейно зависими, ако такъв набор от коефициенти α 1 , . . . , α n така че α 1 a 1 + . . . + α n a n = 0 и освен това поне един от тези коефициенти е различен от нула.

Ако посоченият набор от коефициенти не съществува, тогава векторите се наричат линейно независими.

5. Формулирайте геометрични критерии линейна зависимост 2 и 3 вектора.

Два вектора са линейно зависими тогава и само ако са колинеарни.

6. Дефинирайте основата и координатите на вектор.

Базис е множеството от такива вектори в векторно пространствоче всеки вектор от това пространство може да бъде уникално представен като линейна комбинация от вектори от това множество - базисни вектори.

Векторните координати са коефициентите на единствената възможна линейна комбинация от базисни вектори в избраната координатна система, равна на дадения вектор.

7. Формулирайте теорема за разлагането на вектор по базис.

Всеки вектор от векторно пространство може да бъде разложен в основата си и освен това по уникален начин.

Ако = (̅		– основа , ̅		= (1, 2, 3) , тогава има набор от числа (	…) така че

	̅ + + ̅̅, където (		…) са координатите на вектора в основата.

8. Дефинирайте ортогоналната скаларна проекция на вектор върху посока.

Ортогоналната проекция на вектор върху посоката на вектора се нарича скаларен Pr = | | cos(), където angle е ъгълът между векторите.

9. Дефинирайте скаларното произведение на векторите.

Скаларното произведение на два вектора се нарича число, равно на cos -

произведение на дължини | | и | | тези вектори чрез косинуса на ъгъла между тях.

10. Формулирайте свойството линейност на скаларното произведение.

λ(̅ ̅ ).

= ̅ c̅+ ̅ c̅.

11. Запишете формула за изчисляване на скаларното произведение на два вектора, дадени в ортонормална база.

̅ = { , }, ̅ = { , }

̅ ̅ = + +

12. Запишете формулата за косинус на ъгъла между векторите, даден в ортонормална основа.

̅ ̅ cos =̅ |̅|| |

13. Дефинирайте дясната и лявата тройка вектори.

Подредена тройка от некомпланарни вектори a, b, c се нарича права, ако посоката на вектора a е подравнена с посоката на вектора b чрез най-краткото завъртане на вектора a в равнината на тези вектори, което се извършва обратно на часовниковата стрелка от посоката на вектора ac. В противен случай (въртене по часовниковата стрелка), тази тройка се нарича лява.

14. Дефинирайте векторното произведение на векторите.

векторно изкуствонеколинеарни вектори ̅ и ̅ се наричат вектор с̅, който отговаря на следните три условия:

вектор c е ортогонален на векторите a и b ;

дължината на вектора c е равна на |с̅ | = |̅ | |̅ |sin ϕ, където ϕ е ъгълът между векторите ̅ и ̅ ;

подредената тройка вектори ̅ ,̅ ,с̅ е права.

15. Формулирайте свойството комутативност (симетричност) на скаларното произведение и свойството антикомутативност (антисиметричност) на векторното произведение.

Скаларното произведение е комутативно: ̅ ̅ =̅ ̅ .

Векторното произведение е антикомутативно: ̅ x̅ =− ̅ x̅ .

16. Формулирайте свойството за линейност на векторното произведение на векторите.

свойството асоциативност заедно с умножение по числото (λ ̅ )×̅ = λ(̅ ×̅ );

разпределително свойство по отношение на събирането (̅ +̅ )×с̅ =̅×с̅ +̅×с̅ .

Свойствата на асоциативност и дистрибутивност на векторен продукт се комбинират, подобно на случая на вътрешен продукт, в свойство за линейност на векторен продукт

по отношение на първия фактор. Поради свойството антикомутативност на векторното произведение, векторното произведение също е линейно по отношение на втория фактор:

̅ ×(λ̅ ) = −(λ̅ )×̅ = −λ(̅ ×̅ ) = λ(̅ ×̅ )

̅ ×(̅ +̅s ) = −(̅ +̅s )×̅ = −(̅ ×̅ +̅s ×̅ ) =̅ ×̅ +̅ ×̅s .

17. Запишете формулата за изчисляване на кръстосаното произведение в правилната ортонормална основа.

̅ = { , }, ̅ = { , }.

18. Дефинирайте смесеното произведение на векторите.

смесен продукттри вектора ̅ , ̅ , c̅ се нарича число, равно на (̅ ×̅ ) c̅ - скаларното произведение на кръстосаното произведение на първите два вектора и третия вектор.

19. Формулирайте пермутационното свойство (коса симетрия) на смесеното произведение.

За смесен продукт, правило за циклична пермутация:


	̅ с̅ = с̅ ̅		= ̅с ̅= − ̅с̅	= − с̅ ̅= − ̅ ̅с.
20. Формулирайте свойството линейност на смесеното произведение.
Смесеният продукт удовлетворява свойството за асоциативност по отношение на

	умножение на вектори с число: (λ ̅ )с̅				= λ(̅ с̅ ).

	Смесеният продукт удовлетворява разпределителното свойство: (̅̅̅ +̅̅̅ )с̅					= ̅̅̅

	̅s + ̅̅̅
	̅s + ̅̅̅	с.

Тези свойства на смесения продукт са формулирани за първия фактор. Въпреки това, използвайки циклична пермутация, може да се докаже подобно

твърдения както за втория, така и за третия фактор, т.е. равенствата са верни

̅ (λ̅ )̅с = λ(̅ ̅ ̅с ),̅ ̅ (λ̅с ) = λ(̅ ̅ ̅с ),̅ (̅̅̅ 1 +̅̅̅ 2 )̅с =̅ ̅̅̅ 1 ̅с +̅ ̅̅̅ 2 ̅с ,̅ ̅ (̅ 1 +̅ 2 ) =̅ ̅ ̅ 1 +̅ ̅ ̅ 2 ,

и в резултат имаме свойството линейност на смесения продукт за всеки фактор.

21. Запишете формулата за изчисляване на смесения продукт в правилната ортонормална основа.

̅ = { , }, ̅ = { , }, ̅= { , }

22. Записвайте общо уравнениеравнини и уравнението “в сегменти”. Обяснете геометричен смисълпараметри, включени в тези уравнения.

Уравнението Ax + By + Cz + D = 0 се нарича общото уравнение на равнината. Коефициентите A, B, C за неизвестните в това уравнение имат ясен геометричен смисъл: векторът n = (A; B; C) е перпендикулярен на равнината. Наричат го нормален векторсамолети. То, подобно на общото уравнение на равнината, се определя с точност до (ненулев) числов фактор.

Уравнението + + = 1 се нарича уравнение на равнина в сегменти, където a, b, c са

съответните координати на точките, лежащи съответно на осите OX, OY и OZ.

23. Напишете уравнението на равнина, минаваща през 3 дадени точки.

Нека 1 (1 , 1 , 1 ), 2 (2 , 2 , 2 ), 3 (3 , 3 , 3 ) са дадени точки и точката M(x, y, z) е точка, принадлежаща на равнината, образувана от точки 1 , 2 и 3 , тогава уравнението на равнината има

− 1	− 1	− 1
\| 2 −1	2 − 1	2 −1 \| = 0
3 − 1	3 − 1	3 − 1

24. Формулирайте условията за успоредност и перпендикулярност на две равнини.

два самолета перпендикулярен, ако нормалните им вектори са ортогонални.

Две равнини са успоредни, ако нормалните им вектори са колинеарни.

25. Напишете формула за разстоянието от точка до равнина, дадено от общото уравнение.

Да се намери разстоянието от точката 0 (0 , 0 , 0 ) до равнината

: + + + = 0 се използва формулата: (,) = | 0 + 0 + 0 + |

√ 2 +2 +2

26. Запишете каноничните и параметрични уравненияправа линия в пространството. Обяснете геометричния смисъл на параметрите, включени в тези уравнения.

Уравнението ( = 0 + , където (l; m; n) са координатите на насочващия вектор̅ на правата L и

(0 ;0 ;

са координатите на точката 0 L в правоъгълна координатна система, се наричат

параметрични уравнения на права линия в пространството.

Уравнението

− 0

Наречен канонични уравненияправ

пространство.

27. Напишете уравнението на права, минаваща през две дадени точки в пространството.

Уравнения

− 1

наречени уравнения на права линия, минаваща през две точки

1 (1 ,1 ,1 ) и 2 (2 ,2 ,2 ).

28. Запишете условието две прави да принадлежат на една и съща равнина.

Нека a и b са насочващите вектори на тези прави, а точките M1 и M2 принадлежат съответно на правите и l 1 и l 2 . Тогава две прави ще принадлежат на една и съща равнина, ако смесеното произведение (a, b, M1 M2 ) е равно на 0.

29. Запишете формулата за разстоянието от точка до права в пространството.

Разстоянието от точка 1 до линия L може да се изчисли по формулата:

30. Запишете формулата за разстоянието между косите линии.

Разстоянието между пресичащите се линии 1 и 2 може да се изчисли по формулата:

принадлежащи на прави линии.

1. Докажете геометричния критерий за линейна зависимост три вектора.

Три вектора са линейно зависими тогава и само ако са копланарни.

Доказателство:

Ако три вектора ̅ ,̅ ,̅ са линейно зависими, то съгласно теорема 2.1 (за линейната зависимост на векторите) един от тях, например ̅ , е линейна комбинация от останалите: ̅ = β̅ + γ̅ . Нека съберем началото на векторите ̅ и ̅ в точка A. Тогава векторите β̅ , γ̅ ще имат общо начало в точка A и по правилото на успоредника тяхната сума, т.е. вектор̅ , ще бъде вектор с начало A и край, който е върха на успоредника, изграден върху векторите на членовете. По този начин всички вектори лежат в една и съща равнина, т.е. компланарен.

Нека векторите ̅ ,̅ ,̅ са компланарни. Ако един от тези вектори е нула, тогава е очевидно, че той ще бъде линейна комбинация от останалите. Достатъчно е всички коефициенти на линейната комбинация да бъдат равни на нула. Следователно можем да приемем, че и трите вектора не са нула. Нека комбинираме началото на тези вектори в обща точка O. Нека краищата им са съответно точки A, B, C (фиг. 2.1). През точката C начертаваме прави, успоредни на правите, минаващи през двойките точки O, A и O, B. Означавайки пресечните точки с A’ и B’, получаваме


успоредник OA'CB', следователно = ′ + ′ . Вектор′ и ненулев вектор̅
са колинеарни и следователно първият от тях може да се получи чрез умножаване на втория по

реално число α: ′ = . По същия начин′ = , β R. В резултат на това получаваме, Какво
	̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
= ′ + ′ , т.е. вектор̅ е линейна комбинация от вектори̅ и. Според теоремата
		̅ са линейно зависими.
2.1 (за линейната зависимост на векторите), векторите ̅,		̅ са линейно зависими.

2. Докажете теоремата за разлагането на вектор по базис.
Теорема за разлагането на вектор по базис. Ако = (̅			– основа , ̅		= (1, 2, 3), тогава

има набор от числа (	…), така че ̅= ̅̅̅	̅ + + ̅ ̅, където (		…) – координати

вектори в основата.

Доказателство: (за i = 2)

(̅1 , ̅2 )– основа 2 , ̅2

По дефиниция на пространството V2: x, e1, e2 са копланарни => (критерий за линейна зависимост на 3 вектора) => ̅ ,̅ 1 , ̅ 2 са линейно зависими => 0 , 1 , 2 .

0 ̅+1 ̅1 +2 ̅2 = 0̅ ,0 2 +1 2 +2 2 ≠ 0

1 случай: 0 \u003d 0, тогава 1 ̅ 1 + 2 ̅ 2 = 0 ̅, 1 2 + 2 2 ≠ 0, тогава 1, 2 са линейно зависими (̅ 1, ̅ 2) - лин. зависят. ̅ 1 и ̅ 2 са колинеарни.

2-ри случай: 0 ≠ 0

̅= (− 1 ) ̅1 + (−2 ) ̅2 0 0

Доказано, че съществува.

Нека има 2 представяния:

̅= 1 ̅1 +2 ̅2

Разлика:

0 ̅ = ̅− ̅= 1 ̅ 1 + 2 ̅ 2 − 1 ̅ 1 − 2 ̅ 2 = (1 − 1 )̅ 1 + (2 − 2 )̅ 2 => са линейно зависими и това противоречи на дефиницията на основа.

3. Докажете свойството линейност на скаларното произведение.

Заедно с умножението по число, операцията скаларно умножение е асоциативна: (λ̅ )̅ =

λ(̅ ̅ ).

Скаларното умножение и векторното събиране са свързани чрез разпределителното свойство: (̅ +̅ )с̅

= ̅ c̅+ ̅ c̅.

Q.E.D.

4. Изведете формула за изчисляване на скаларното произведение на вектори, дадени в ортонормален базис.

Извеждане на формула за изчисляване на скаларното произведение на вектори, дадени в ортонормален базис.

Нека векторите ̅ и ̅ от 3 са дадени чрез техните координати в ортонормалната основа, ̅ ,̅ ̅ :̅ = ( ; ; ),̅ = ( ; ; ). Това означава, че има разширения ̅ =̅ +̅ +̅,

̅ =̅ +̅ +̅ . Използвайки тях и свойствата на скаларното произведение, изчисляваме

̅̅ = (̅+ ̅+̅ )(̅+ ̅+̅ )

= ̅ ̅+ ̅ ̅+ ̅̅ + ̅ ̅+ ̅ ̅+ ̅̅ +̅ ̅+̅ ̅ +̅ ̅ =2 ̅+2 ̅+̅ 2 = + + .

Окончателният отговор е получен, като се вземе предвид фактът, че ортонормалността на основата,̅ ,̅

̅ означава изпълнението на равенствата ̅̅ = ̅ ̅ = ̅ ̅ = 0, 2 ̅= 2 ̅= 2 = 1 . По този начин,

̅ ̅ = + +

5. Изведете формула за изчисляване на кръстосаното произведение на вектори, дадени в правилната ортонормална основа.

Извеждане на формула за изчисляване на кръстосаното произведение на вектори, дадени в ортонормална база.

Да разгледаме два вектора ̅

и, дадени от техните координати в правилната ортонормална основа

̅ = {

). След това има разширения на тези вектори ̅ =̅ +̅

, ̅, ̅:

= ̅ +̅ +

Въз основа на тези

представителства

алгебричен

векторно умножение,

получаваме

= ̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× +

̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× +

̅ ̅

× ̅+ × ̅+

× = (

)̅+ (

За да опростим получената формула, отбелязваме, че тя е подобна на формулата за разширяване на детерминанта от трети ред в 1-ви ред, като се използват само вектори вместо числени коефициенти. Следователно можете да напишете тази формула като детерминанта, която се изчислява по обичайните правила. Два реда от този детерминант ще се състоят от числа, а един - от вектори. И така, формулата за изчисляване на векторното произведение в правилната ортонормална основа,̅ ,̅ ̅ може да бъде записана като:

6. Докажете свойството линейност на смесеното произведение.

Използвайки свойствата на смесения продукт, може да се докаже линейността на вектора

продукти по първи фактор:

(̅ + ̅ , ̅)= (̅,)̅+ (̅ ,)̅

За това намираме скаларно произведениевекторът от лявата страна на равенството и единичният вектор на стандартната основа. Като се има предвид линейността на смесения продукт по отношение на втория фактор,

получаваме

тези. абсцисата на вектора от лявата страна на доказваното равенство е равна на абсцисата на вектора от дясната му страна. По същия начин доказваме, че ординатите, както и апликите, на векторите в двете части на равенството са съответно равни. Следователно това равни вектори, тъй като техните координати спрямо стандартната основа са еднакви.

7. Изведете формула за изчисляване на смесената продукти от тривектори в правилната ортонормална база.

Извеждане на формула за изчисляване на смесеното произведение на три вектора в правилната ортонормална основа.

Нека векторите a, b, c са дадени чрез техните координати в дясната ортонормална база: ̅ = ( ;

), = ( ; ; ), ̅с = ( ; ; ). За да намерите техния смесен продукт,

ще използваме формулите за изчисляване на скаларните и векторните произведения:

̅̅= ̅(× ̅)= ̅ (|

8. Изведете формула за разстоянието от точка до равнина, дадено от общото уравнение.

Извеждане на формула за разстоянието от точка до равнина, дадено от общото уравнение.

Да разгледаме някаква равнина π и произволна точка 0 в пространството. Да изберем

за равнината, единичен нормален вектор n с начало в някаква точка 1 π и нека ρ(0 ,

тъй като | ̅ | = 1.

Ако равнината π е дадена в правоъгълна системакоординати чрез своето общо уравнение
Ax + By + Cz + D = 0, тогава неговият нормален вектор е векторът с координати (A; B; C).
Нека (0 , 0 , 0 ) и (1 , 1 , 1 ) са координатите на точките 0				и 1 . След това равенството
A 1 +B1 +C1 +D = 0, тъй като точката M1 принадлежи на равнината и могат да се намерят координатите
̅̅̅̅̅̅̅̅		̅̅̅̅̅̅̅̅					̅̅̅̅̅̅̅̅
Вектори 1 0 :		1 0 = (0 − 1 ; 0 − 1 ; 0 − 1 ) . Записване на скаларното произведение ̅ 1 0
координатна форма и трансформиране (5.8), получаваме
	\| (0 −1 ) + (0 −1 ) + (0 −1 )\|				\| 0 +0 +0 − (1 +1 +1 )\|

			2 + 2+ 2			2 + 2+ 2

= |0 +0 +0 + | √2 +2 +2

тъй като 1 + 1 + 1 = − . Така че, за да изчислите разстоянието от точка до равнина, трябва да замените координатите на точката в общото уравнение на равнината и след това да разделите абсолютната стойност на резултата на нормализиращия коефициент, равна на дължинатасъответен нормален вектор.

9. Изведете формула за разстоянието от точка до права линия в пространството.

Извеждане на формула за разстоянието от точка до права в пространството.

Разстоянието от точка 1 (1, 1, 1) до правата L, дадено от каноничните уравнения L: − 0 = − 0 = − 0, може да се изчисли с помощта на кръстосаното произведение. Наистина ли,

каноничните уравнения на правата ни дават точката 0 (0 , 0 , 0 ) на правата

и насочващият вектор ̅ = (l; m; n) на тази права. Нека построим успоредник върху векторите ̅ и ̅̅̅̅̅̅̅̅ .

Тогава разстоянието от точка 1 до правата L ще бъде равно на височината h на успоредника (фиг. 6.6).

Така че необходимото разстояние може да се изчисли по формулата

	̅̅̅̅̅̅̅̅
(1 ,) =	\| 0 1 × \|

10. Изведете формула за разстоянието между косите линии.

Извеждане на формула за разстоянието между косите прави.

Разстоянието между косите линии може да се намери с помощта на смесените

работа. Нека линиите 1	и 2		канонични уравнения. Тъй като те
			̅̅̅̅̅̅̅̅

се пресичат, техните насочващи вектори 1 ,2 и векторът 1 2, свързващ точките на правите, са некомпланарни. Следователно върху тях може да се построи паралелепипед (фиг. 6.7).

Тогава разстоянието между правите е равно на височината h на този паралелепипед. От своя страна височината на паралелепипеда може да се изчисли като съотношението на обема на паралелепипеда към площта на основата му. Обем на кутията равен на модуласмесен продукт от три определени вектори, а площта на паралелограма в основата на паралелепипеда е равна на модула на векторния продукт на насочващите вектори на линиите. В резултат на това получаваме формулата за разстоянието

(1 , 2 ) между редовете:

̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅

(1 ,2 ) =

| 1 2

1 2|

Знания и умения, придобити при този урок, ще бъдат полезни на учениците не само в часовете по геометрия, но и в часовете по други науки. По време на урока учениците ще се научат да отлагат вектора от дадена точка. Може да бъде редовен урок по геометрия, както и извънкласен или факултативен урокматематика. Това развитиеще помогне на учителя да спести време за подготовка за урока по темата "Забавяне на вектор от дадена точка." За него ще бъде достатъчно да пусне видео урока в клас, а след това да затвърди материала със собствена селекция от упражнения.

Продължителността на урока отнема само 1:44 минути. Но това е достатъчно, за да научи учениците да отлагат вектора от дадена точка.

Урокът започва с демонстрация на вектор, чието начало е в някаква точка. Казват, че векторът е отложен от него. След това авторът предлага да докаже заедно с него твърдението, според което вектор, равен на дадения и освен това уникален, може да бъде изтеглен от всяка точка. В хода на доказателството авторът разглежда всеки случай в детайли. Първо, приема ситуацията, когато даденият вектор е нула, и второ, когато векторът е различен от нула. По време на доказателството се използват илюстрации под формата на рисунки и конструкции, математическа нотация, които формират математическа грамотност сред учениците. Авторът говори бавно, което позволява на учениците да водят бележки паралелно, докато коментират. Конструкцията, извършена от автора в хода на доказване на формулираното по-рано твърдение, показва как от някаква точка може да се построи вектор, равен на дадения.

Ако учениците гледат внимателно урока и едновременно с това си водят бележки, лесно ще научат материала. Освен това авторът разказва подробно, премерено и доста пълно. Ако по някаква причина не сте чули нещо, можете да се върнете и да гледате урока отново.

След като гледате видео урока, препоръчително е да започнете да фиксирате материала. На учителя се препоръчва да избере задачи по тази тема, за да развие умението за отлагане на вектора от дадена точка.

Този урок може да се използва за самоподготовкатеми за ученици. Но за да консолидирате, трябва да се свържете с учителя, за да избере подходящите задачи. Наистина, без консолидиране на материала е трудно да се постигне положителен резултат в обучението.

ov, първо трябва да разберете такава концепция като отлагане на вектор от дадена точка.

Определение 1

Ако точката $A$ е началото на някакъв вектор $\overrightarrow(a)$, тогава се казва, че векторът $\overrightarrow(a)$ е отделен от точката $A$ (фиг. 1).

Фигура 1. $\overrightarrow(a)$, изчертано от точка $A$

Въвеждаме следната теорема:

Теорема 1

От всяка точка $K$ може да се начертае вектор $\overrightarrow(a)$ и само един.

Доказателство.

Наличие:Тук трябва да разгледаме два случая:

Векторът $\overrightarrow(a)$ е нула.

В този случай е очевидно, че желаният вектор е векторът $\overrightarrow(KK)$.

Векторът $\overrightarrow(a)$ е различен от нула.

Нека точката $A$ означава началото на вектора $\overrightarrow(a)$, а точката $B$ означава края на вектора $\overrightarrow(a)$. Нека начертаем права $b$, успоредна на вектора $\overrightarrow(a)$ през точката $K$. Нека начертаем отсечките $\left|KL\right|=|AB|$ и $\left|KM\right|=|AB|$ на тази права линия. Разгледайте векторите $\overrightarrow(KL)$ и $\overrightarrow(KM)$. От тези два вектора, желаният ще бъде този, който ще бъде съвместно насочен с вектора $\overrightarrow(a)$ (фиг. 2)

Фигура 2. Илюстрация на теорема 1

Уникалност:уникалността непосредствено следва от конструкцията, извършена в подраздел "съществуване".

Теоремата е доказана.

Изваждане на вектори. Правило едно

Нека са ни дадени вектори $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$.

Определение 2

Разликата между два вектора $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$ е вектор $\overrightarrow(c)$, който, когато се добави към вектора $\overrightarrow(b)$, дава вектора $\ overrightarrow(a)$, т.е

\[\стрелка надясно(b)+\стрелка надясно(c)=\стрелка надясно(a)\]

Обозначаване:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(c)$.

Ще разгледаме конструкцията на разликата на два вектора, използвайки проблема.

Пример 1

Нека са дадени вектори $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$. Конструирайте вектора $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$.

Решение.

Нека построим произволна точка $O$ и от нея начертаем векторите $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(OB)=\overrightarrow(b)$. Свързвайки точката $B$ с точката $A$, получаваме вектора $\overrightarrow(BA)$ (фиг. 3).

Фигура 3. Разлика на два вектора

Според правилото на триъгълника за конструиране на сумата от два вектора, виждаме това

\[\overrightarrow(OB)+\overrightarrow(BA)=\overrightarrow(OA)\]

\[\стрелка надясно(b)+\стрелка надясно(BA)=\стрелка надясно(a)\]

От Определение 2 получаваме това

\[\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)\]

Отговор:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)$.

От тази задача получаваме следното правило за намиране на разликата на два вектора. За да намерим разликата $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$, от произволна точка $O$ трябва да оставим настрана векторите $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow( OB)=\overrightarrow(b )$ и свържете края на втория вектор с края на първия вектор.

Изваждане на вектори. Правило две

Припомнете си следното понятие, от което се нуждаем.

Определение 3

Векторът $\overrightarrow(a_1)$ се нарича произволен за вектора $\overrightarrow(a)$, ако тези вектори са противоположно насочени и имат еднаква дължина.

Обозначаване:Векторът $(-\overrightarrow(a))$ е обратен на вектора $\overrightarrow(a)$.

За да въведем второто правило за разликата на два вектора, първо трябва да въведем и докажем следната теорема.

Теорема 2

За всеки два вектора $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$ е в сила следното равенство:

\[\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(a)+(-\overrightarrow(b))\]

Доказателство.

По дефиниция 2 имаме

Добавете към двете части вектора $\left(-\overrightarrow(b)\right)$, получаваме

Тъй като векторите $\overrightarrow(b)$ и $\left(-\overrightarrow(b)\right)$ са противоположни, тогава $\overrightarrow(b)+\left(-\overrightarrow(b)\right)=\ стрелка надясно (0)$. Ние имаме

Теоремата е доказана.

От тази теорема получаваме следното правило за разликата на два вектора: За да намерим разликата $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$, трябва да отложим вектора $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow( a)$ от произволна точка $O$, след това от получената точка $A$ отложите вектора $\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(b)$ и свържете началото на първия вектор с края на вторият вектор.

Пример за задача върху концепцията за разликата на векторите

Пример 2

Нека $ADCD$ е успоредник, чиито диагонали се пресичат в $O$. $\overrightarrow(AB)=\overrightarrow(a)$, $\overrightarrow(AD)=\overrightarrow(b)$ (фиг. 4). Изразете следните вектори по отношение на $\overrightarrow(a)$ и $\overrightarrow(b)$:

a) $\overrightarrow(DC)+\overrightarrow(CB)$

б) $\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)$

Фигура 4. Успоредник

Решение.

а) Добавяме според правилото на триъгълника, получаваме

\[\overrightarrow(DC)+\overrightarrow(CB)=\overrightarrow(DB)\]

От първото правило за разликата на два вектора получаваме

\[\overrightarrow(DB)=\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)\]

b) Тъй като $\overrightarrow(OC)=\overrightarrow(AO)$, получаваме

\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)=\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)\]

По теорема 2 имаме

\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)=\overrightarrow(BO)+\left(-\overrightarrow(AO)\right)=\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)\]

Използвайки правилото на триъгълника, най-накрая имаме

\[\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(BA)=-\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(a)\]

Векторът е насочен сегмент от права линия в евклидовото пространство, в който единият край (точка A) се нарича начало на вектора, а другият край (точка B) се нарича край на вектора (фиг. 1). . Векторите се означават:

Ако началото и краят на вектора са еднакви, тогава векторът се извиква нулев вектори означено 0 .

Пример. Нека началото на вектора в двумерното пространство има координати А(12,6) , а краят на вектора е координатите б(12.6). Тогава векторът е нулев вектор.

Дължина на рязане ABНаречен модул (дължина, нормата) вектор и се означава с | а|. вектор на дължината, равно на едно, е наречен единичен вектор . В допълнение към модула, векторът се характеризира с посока: векторът има посока от Ада се б. Векторът се нарича вектор, противоположноствектор .

Двата вектора се наричат колинеаренако лежат на една права или на успоредни прави. На фиг. 3 червени вектора са колинеарни, тъй като те лежат на една и съща права линия и сините вектори са колинеарни, защото лежат на успоредни прави. две колинеарни векториНаречен еднакво насочениако техните краища лежат от една и съща страна на линията, свързваща техните начала. Два колинеарни вектора се наричат противоположни посокиако краищата им лежат различни страниот свързващата ги права линия. Ако два колинеарни вектора лежат на една и съща права, тогава те се наричат еднакво насочени, ако един от лъчите, образувани от един вектор, съдържа изцяло лъча, образуван от другия вектор. В противен случай векторите се наричат противоположно насочени. На Фигура 3 сините вектори са в същата посока, а червените вектори са в противоположната посока.

Двата вектора се наричат равенако имат равни модули и са еднакво насочени. На фиг.2 векторите са равни, защото техните модули са равни и имат еднаква посока.

Векторите се наричат компланаренако лежат в една равнина или в успоредни равнини.

AT нВ пространствено векторно пространство разгледайте набора от всички вектори, чиято начална точка съвпада с началото. Тогава векторът може да се запише в следната форма:

(1)

където x 1 , x 2 , ..., x nвекторни координати на крайната точка х.

Векторът, записан във вида (1), се нарича редов вектор, и векторът, записан като

(2)

Наречен колонен вектор.

Номер нНаречен измерение (в ред) вектор. Ако тогава векторът се извиква нулев вектор(защото началната точка на вектора ). Два вектора хи гса равни тогава и само тогава, когато съответните им елементи са равни.

Векторът е едно от основните геометрични понятия. Векторът се характеризира с число (дължина) и посока. Визуално може да се представи като насочен сегмент, въпреки че, говорейки за вектор, е по-правилно да се има предвид цял клас насочени сегменти, които са успоредни един на друг, имат еднаква дължина и една и съща посока (фиг. 1). Примери за физични величини, които имат векторен характер, са скоростта (на прогресивно движещо се тяло), ускорението, силата и др.

Концепцията за вектор се появява в трудовете на немския математик от 19 век. Г. Грасман и ирландския математик У. Хамилтън; след това беше прието с готовност от много математици и физици. В съвременната математика и нейните приложения тази концепция играе роля съществена роля. Векторите се използват в класическата механика на Галилей-Нютон (в нейния модерно представяне), в теорията на относителността, квантовата физика, в математическа икономикаи много други клонове на природните науки, да не говорим за използването на вектори в различни области на математиката.

Всеки от насочените сегменти, които съставят вектора (фиг. 1), може да се нарече представител на този вектор. Вектор, чийто представител е насочен сегмент, преминаващ от точка до точка, се означава с . На фиг. 1 имаме , т.е. и е един и същ вектор (представен от двата насочени сегмента, подчертани на фиг. 1). Понякога векторът се обозначава с малка буква със стрелка: , .

Вектор, представен от насочена "отсечка", чието начало и край съвпадат, се нарича нула; означава се с , т.е. . две паралелен векторс еднаква дължина, но противоположни посоки се наричат противоположни. Ако един вектор се обозначава с , то противоположният му вектор се означава с .

Нека назовем основните операции, свързани с векторите.

I. Отлагане на вектор от точка. Нека е някакъв вектор и е точка. Сред насочените отсечки, които са представители на вектора, има насочена отсечка, започваща от точката . Краят на този насочен сегмент се нарича точка, получена в резултат на отлагането на вектора от точката (фиг. 2). Тази операция има следното свойство:

I1. За всяка точка и всеки вектор съществува и само една точка, за която .

Добавяне на вектори. Нека и са два вектора. Нека вземем произволна точка и отделим вектора от точката , т.е. намерете такава точка, че (фиг. 3). След това отделяме вектора от точката, т.е. намираме такава точка, че . Векторът се нарича сбор от векторите и и се означава с . Може да се докаже, че сумата не зависи от избора на точката, т.е. ако заменим с друга точка , тогава получаваме вектор, равен на (фиг. 3). От дефиницията на сумата от вектори следва, че за всеки три точки равенството

I2:

(правило на три точки). Ако ненулевите вектори и не са успоредни, тогава е удобно да се намери тяхната сума, като се използва правилото на паралелограма (фиг. 4).

II. Основните свойства на сумата от вектори изразяват следните 4 равенства (валидни за всякакви вектори , , ):

II2. .

Отбележете също, че сумата от няколко вектора се намира чрез последователно намиране на сумата от два от тях. Например: .

В същото време, в какъвто ред добавяме дадени вектори, резултатът (както следва от свойствата, посочени в точки II1 и II2) винаги ще бъде един и същ. Например:

Освен това, геометрично, сумата от няколко вектора може да се получи, както следва: необходимо е да се поставят насочените сегменти, които са представители на тези вектори, последователно един след друг (т.е. така че началото на втория насочен сегмент да съвпада с края на първият, началото на третия - с края на втория и т.н.); след това векторът ще има за свой представител „затварящ” насочен сегмент, преминаващ от началото на първия до края на последния (фиг. 5). (Имайте предвид, че ако такова последователно отлагане води до „прекъсната линия на затворен вектор“, тогава .)

III. Умножение на вектор по число. Нека е ненулев вектор и е ненулево число. Вектор се означава със следните две условия: а) дължината на вектора е ; б) векторът е успореден на вектора , а посоката му съвпада с посоката на вектора при и е противоположна на него при (фиг. 6). Ако поне едно от равенствата е вярно, тогава продуктът се счита за равен на . По този начин продуктът е дефиниран за всеки вектор и всяко число.

Следните 4 равенства (валидни за всякакви вектори и всякакви числа) изразяват основните свойства на операцията за умножаване на вектор по число:

III2. .

III3. .

От тези свойства следва серия още фактисвързани с разглежданите операции върху вектори. Нека отбележим някои от тях, които често се използват при решаване на проблеми.

а) Ако е такава точка от сегмента, че , тогава за всяка точка равенството , по-специално, ако е средата на сегмента , тогава .

б) Ако - пресечната точка на медианите на триъгълника, тогава ; освен това, за всяка точка равенството (обратните теореми също са валидни).

в) Нека е точка на права линия и е ненулев вектор, успореден на тази права линия. Точка принадлежи на правата тогава и само ако (където е число).

г) Позволявам е точка на равнината и , са различни от нула и непаралелни вектори, успоредни на тази равнина. Точка принадлежи на равнината тогава и само ако векторът е изразен чрез и , т.е. .

Накрая отбелязваме и свойството размерност, което изразява факта, че пространството е триизмерно.

IV. Има три вектора , , , в пространството, така че никой от тях не може да бъде изразен чрез другите два; всеки четвърти вектор се изразява чрез тези три вектора: . се определя от равенството: означава се скаларното произведение на вектора (и тогава ъгълът между тях не е дефиниран).

Свойствата на векторните операции, изброени по-горе, са в много отношения подобни на свойствата на събиране и умножение на числа. В същото време векторът е геометричен обект, а в дефиницията на векторните операции такъв геометрични понятиякато дължина и ъгъл; това обяснява полезността на векторите за геометрията (и нейните приложения във физиката и други области на знанието). Въпреки това, за да се реши геометрични задачис помощта на вектори е необходимо преди всичко да се научите как да "превеждате" условието на геометрична задача на векторен "език". След такъв „превод“ се извършват алгебрични изчисления с вектори и след това полученото векторно решение отново се „превежда“ на геометричен „език“. Това е векторното решение на геометрични задачи.

Когато се представя курс по геометрия в училище, векторът е даден като дефинирана концепция (виж Дефиниция) и следователно аксиоматиката, приета в училищния учебник (виж Аксиоматика и аксиоматичният метод) на геометрията, не казва нищо за свойствата на векторите, т.е. всички тези свойства трябва да бъдат доказани като теореми.

Съществува обаче друг начин за представяне на геометрията, при който векторът и точката се считат за първоначални (недефинирани) понятия, а свойствата I1, I2, II1-II4, III1-III4, IV, V1-V4, отбелязани по-горе се приемат като аксиоми. Този начин за конструиране на геометрията е предложен през 1917 г. от немския математик Г. Вайл. Тук линиите и равнините са дефинирани понятия. Предимството на такава конструкция е нейната краткост и органична връзкасъс съвременно разбиране на геометрията, както в самата математика, така и в други области на знанието. По-специално, аксиоми II1-II4, III1-III4 въвеждат така нареченото векторно пространство, използвано в съвременната математика, физика, математическа икономика и др.