Площта на ромба е произведението на диагоналите. Четири формули за изчисляване на площта на ромб

Ромбът е специален случай на успоредник. Това е плоска четириъгълна фигура, в която всички страни са равни. Това свойство определя, че ромбовете имат успоредни противоположни страни и равни противоположни ъгли. Диагоналите на ромба се пресичат под прав ъгъл, точката на тяхното пресичане е в средата на всеки диагонал, а ъглите, от които излизат, са разделени наполовина. Тоест, те са диагоналите на ромба и са ъглополовящи на ъглите. Въз основа на горните определения и изброените свойства на ромбите, тяхната площ може да се определи по различни начини.

1. Ако и двата диагонала на ромба AC и BD са известни, тогава площта на ромба може да се определи като половината от произведението на диагоналите.

S = ½ ∙ AC ∙ BD

където AC, BD са дължините на диагоналите на ромба.

За да разберете защо това е така, можете мислено да впишете правоъгълник в ромб по такъв начин, че страните на последния да са перпендикулярни на диагоналите на ромба. Става очевидно, че площта на ромба ще бъде равна на половината от площта на правоъгълника, вписан по този начин в ромба, чиято дължина и ширина ще съответстват на размера на диагоналите на ромба.

2. По аналогия с паралелепипед, площта на ромба може да се намери като продукт на неговата страна, от височината на перпендикуляра от противоположната страна, спусната към дадената страна.

S = а ∙ ч

където a е страната на ромба;
h е височината на перпендикуляра, пуснат на дадената страна.

3. Площта на ромба също е равна на квадрата на неговата страна, умножен по синуса на ъгъла α.

S = a2 ∙ грях α

където a е страната на ромба;
α е ъгълът между страните.

4. Също така площта на ромба може да се намери през неговата страна и радиуса на вписания в него кръг.

S=2 ∙ а ∙ r

където a е страната на ромба;
r е радиусът на окръжността, вписана в ромба.

Интересни факти
Думата ромб произлиза от старогръцката rombus, което означава "тамбурин". В онези дни тамбурите наистина имаха форма на диамант, а не кръгли, както сме свикнали да ги виждаме в момента. Оттогава се появи и името на боята на картите "тамбурин". Ромбите от различни видове се използват много широко в хералдиката.

Ромбът е специална фигура в геометрията. Поради специалните си свойства има не една, а няколко формули, които изчисляват площта на ромба. Какви са тези свойства и какви са най-често срещаните формули за намиране на площта на тази фигура? Нека да го разберем.

Каква геометрична фигура се нарича ромб

Преди да разберете каква е площта на ромба, струва си да знаете какъв вид фигура е.

От времето на евклидовата геометрия ромбът се нарича симетричен четириъгълник, чиито четири страни са равни по дължина и успоредни по двойки.

Произход на термина

Името на тази фигура дойде в повечето съвременни езици от гръцки, чрез посредничеството на латински. „Прародителят“ на думата „ромб“ е гръцкото съществително ῥόμβος (тамбурин). Въпреки че жителите на двадесети век, свикнали с кръгли тамбури, е трудно да си ги представят в различна форма, но сред елините тези музикални инструменти традиционно се правят не в кръгла, а в диамантена форма.

В повечето съвременни езици се използва този математически термин, както на латински: rombus. На английски обаче диамантите понякога се наричат ​​диамант (диамант или диамант). Тази фигура получи такъв прякор поради специалната си форма, напомняща скъпоценен камък. По правило подобен термин не се използва за всички ромби, а само за тези, при които ъгълът на пресичане на двете му страни е шестдесет или четиридесет и пет градуса.

За първи път тази фигура се споменава в писанията на гръцкия математик, живял през първия век на новата ера - Херон от Александрия.

Какви са свойствата на тази геометрична фигура

За да намерите площта на ромба, първо трябва да знаете какви характеристики има дадена геометрична фигура.

При какви условия успоредникът е ромб?

Както знаете, всеки ромб е успоредник, но не всеки успоредник е ромб. За да се твърди точно, че представената фигура наистина е ромб, а не обикновен успоредник, тя трябва да съответства на една от трите основни характеристики, които отличават ромба. Или и трите наведнъж.

1. Диагоналите на успоредник се пресичат под ъгъл от деветдесет градуса.
2. Диагоналите разделят ъглите на две, действайки като техни ъглополовящи.
3. Не само успоредните, но и съседните страни имат еднаква дължина. Това, между другото, е една от основните разлики между ромб и паралелограм, тъй като втората фигура има само успоредни страни, които са еднакви по дължина, но не и съседни.

При какви условия ромбът е квадрат?

Според свойствата си в някои случаи ромбът може едновременно да се превърне в квадрат. За да потвърдите визуално това твърдение, достатъчно е просто да завъртите квадрата във всяка посока с четиридесет и пет градуса. Получената фигура ще бъде ромб, всеки от ъглите на който е равен на деветдесет градуса.

Освен това, за да потвърдите, че квадратът е ромб, можете да сравните знаците на тези фигури: и в двата случая всички страни са равни, а диагоналите са ъглополовящи и се пресичат под ъгъл от деветдесет градуса.

Как да намерите площта на ромб, използвайки неговите диагонали

В съвременния свят в интернет можете да намерите почти всички материали за извършване на необходимите изчисления. Така че има много ресурси, оборудвани с програми за автоматично изчисляване на площта на определена фигура. Освен това, ако (както в случая с ромб) има няколко формули за това, тогава е възможно да изберете коя ще бъде най-удобна за използване. Въпреки това, на първо място, вие сами трябва да можете да изчислите площта на ромб без помощта на компютър и да навигирате във формулите. Има много от тях за ромб, но най-известните от тях са четири.

Един от най-лесните и често срещани начини да разберете площта на тази фигура е, ако имате информация за дължината на нейните диагонали. Ако проблемът има тези данни, в този случай можете да приложите следната формула, за да намерите площта: S = KM x LN / 2 (KM и LN са диагоналите на ромба KLMN).

Можете да проверите валидността на тази формула на практика. Да кажем, че KLMN ромбът има дължина на един от неговите диагонали KM - 10 см, а вторият LN - 8 см. След това заместваме тези данни в горната формула и получаваме следния резултат: S \u003d 10 x 8 / 2 \u003d 40 cm 2.

Формула за изчисляване на площта на успоредник

Има и друга формула. Както бе споменато по-горе в дефиницията на ромб, той не е просто четириъгълник, но и успоредник и има всички характеристики на тази фигура. В този случай, за да намерите неговата площ, е доста препоръчително да използвате формулата, използвана за успоредник: S \u003d KL x Z. В този случай KL е дължината на страната на успоредника (ромба), а Z е дължината на височината, начертана към тази страна.

В някои задачи дължината на страната не е дадена, но периметърът на ромба е известен. Тъй като формулата за намирането й беше посочена по-горе, тя може да се използва и за намиране на дължината на страната. И така, периметърът на фигурата е 10 см. Дължината на страната може да се намери, като обърнете формулата за периметъра и разделите 10 на 4. Резултатът ще бъде 2,5 см - това е желаната дължина на страната на ромба.

Сега си струва да опитате да замените това число във формулата, знаейки, че дължината на височината, изтеглена отстрани, също е 2,5 см. Сега нека се опитаме да поставим тези стойности в горната формула за площта на \u200b\ u200b успоредника. Оказва се, че площта на ромба е S = 2,5 x 2,5 = 6,25 cm 2.

Други начини за изчисляване на площта на ромб

Тези, които вече са усвоили синуси и косинуси, могат да използват формули, които ги съдържат, за да намерят площта на ромба. Класически пример е следната формула: S = KM 2 x Sin KLM. В този случай площта на фигурата е равна на произведението на двете страни на ромба, умножено по синуса на ъгъла между тях. И тъй като в ромба всички страни са еднакви, по-лесно е незабавно да превърнете едната страна в квадрат, както е показано във формулата.

Проверяваме тази схема на практика, а не само към ромб, а към квадрат, в който, както знаете, всички ъгли са прави, което означава, че са равни на деветдесет градуса. Да предположим, че една от страните е 15 см. Известно е също, че синусът на ъгъл от 90 ° е равен на едно. След това, според формулата, S \u003d 15 x 15 x Sin 90 ° = 255x1 \u003d 255 cm 2.

В допълнение към горното, в някои случаи се използва друга формула, използваща синус за определяне на площта на ромб: S \u003d 4 x R 2 / Sin KLM. В тази версия се използва радиусът на окръжността, вписана в ромба. Повдига се на степен на квадрат и се умножава по четири. И целият резултат се разделя на синуса на ъгъла, съседен на вписаната фигура.

Като пример, за простота на изчисленията, нека отново вземем квадрат (синусът на неговия ъгъл винаги ще бъде равен на единица). Радиусът на вписания в него кръг е 4,4 см. Тогава площта на ромба ще бъде изчислена, както следва: S \u003d 4 x 4,4 2 / Sin 90 ° = 77,44 cm 2

Горните формули за намиране на радиуса на ромб далеч не са единствените по рода си, но те са най-лесните за разбиране и извършване на изчисления.

Какво е ромб? Ромбът е успоредник с равни страни.

Ромб, фигура на равнина, четириъгълник с равни страни. Ромбът е специален случай на ПАРАЛЕЛОГРАМ, в който или две съседни страни са равни, или диагоналите се пресичат под прав ъгъл, или диагоналът разполовява ъгъла. Ромб с прави ъгли се нарича квадрат.

Класическата формула за площта на ромба е изчисляването на стойността чрез височината. Площта на ромба е равна на произведението на страна и височината, начертана към тази страна.

1. Площта на ромба е равна на произведението на страна и височината, начертана към тази страна:

\[ S = a \cdot h \]

2. Ако страната на ромба е известна (всички страни на ромба са равни) и ъгълът между страните, тогава площта може да се намери по следната формула:

\[ S = a^(2) \cdot sin(\alpha) \]

3. Площта на ромба също е равна на полупродукта на диагоналите, тоест:

\[ S = \dfrac(d_(1) \cdot d_(2) )(2) \]

4. Ако е известен радиусът r на кръга, вписан в ромба, и страната на ромба a, тогава неговата площ се изчислява по формулата:

\[ S = 2 \cdot a \cdot R \]

Свойства на ромб

На снимката по-горе \(ABCD \) е диамант, \(AC = DB = CD = AD \) . Тъй като ромбът е успоредник, той има всички свойства на успоредник, но има и свойства, които са уникални за ромба.

Във всеки ромб може да се впише кръг. Центърът на окръжност, вписана в ромб, е пресечната точка на нейните диагонали. Радиус на кръгаравно на половината от височината на ромба:

\[ r = \frac( AH )(2) \]

Свойства на ромб

Диагоналите на ромба са перпендикулярни;

Диагоналите на ромба са ъглополовящи на неговите ъгли.

Знаци на ромб

Успоредник, чиито диагонали се пресичат под прав ъгъл, е ромб;

Успоредник, чиито диагонали са ъглополовящи на неговите ъгли, е ромб.

Javascript е деактивиран във вашия браузър.
ActiveX контролите трябва да са активирани, за да се правят изчисления!

- това е успоредник, в който всички страни са равни, тогава за него важат всички същите формули като за успоредника, включително формулата за намиране на площта чрез произведението на височина и страна.

Площта на ромба може да се намери, като се знаят и неговите диагонали. Диагоналите разделят ромба на четири абсолютно еднакви правоъгълни триъгълника. Ако ги сортираме така, че да получим правоъгълник, тогава дължината и ширината му ще бъдат равни на един цял диагонал и половината от втория диагонал. Следователно площта на ромба се намира чрез умножаване на диагоналите на ромба, намалени с две (като площта на получения правоъгълник).

Ако са налични само ъгълът и страната, тогава можете да се въоръжите с диагонал като помощник и да го нарисувате срещу известния ъгъл. След това тя ще раздели ромба на два еднакви триъгълника, чиито площи общо ще ни дадат площта на ромба. Площта на всеки от триъгълниците ще бъде равна на половината от произведението на квадрата на страната и синуса на известния ъгъл, като площта на равнобедрен триъгълник. Тъй като има два такива триъгълника, коефициентите се унищожават, оставяйки само страната на втора степен и синуса:

Ако окръжност е вписана вътре в ромб, тогава нейният радиус ще се отнася към страната под ъгъл от 90 °, което означава, че два пъти радиусът ще бъде равен на височината на ромба. Замествайки вместо височината h=2r в предишната формула, получаваме площта S=ha=2ra

Ако заедно с радиуса на вписаната окръжност е дадена не страна, а ъгъл, тогава първо трябва да намерите страната, като начертаете височината по такъв начин, че да получите правоъгълен триъгълник с даден ъгъл. Тогава страната a може да се намери от тригонометричните отношения по формулата . Замествайки този израз в същата стандартна формула за площта на ромба, се оказва

Ромбът (от старогръцки ῥόμβος и от латински rombus „тамбурин“) е успоредник, който се характеризира с наличието на страни с еднаква дължина. В случай, че ъглите са 90 градуса (или прав ъгъл), такава геометрична фигура се нарича квадрат. Ромбът е геометрична фигура, вид четириъгълници. Може да бъде както квадрат, така и успоредник.

Произход на термина

Нека поговорим малко за историята на тази фигура, която ще ви помогне да разкриете малко мистериозните тайни на древния свят. Познатата за нас дума, често срещана в училищната литература, „ромб“, произлиза от старогръцката дума „тамбурин“. В древна Гърция тези музикални инструменти са направени под формата на ромб или квадрат (за разлика от съвременните тела). Със сигурност сте забелязали, че костюмът на картата - тамбурина - има ромбична форма. Формирането на този костюм датира от дните, когато кръглите диаманти не са били използвани в ежедневието. Следователно ромбът е най-старата историческа фигура, която е изобретена от човечеството много преди появата на колелото.

За първи път такава дума като "ромб" е използвана от такива известни личности като Херон и папата на Александрия.

Свойства на ромб

1. Тъй като страните на ромба са срещуположни една на друга и са по двойки успоредни, ромбът несъмнено е успоредник (AB || CD, AD || BC).
2. Ромбичните диагонали се пресичат под прав ъгъл (AC ⊥ BD) и следователно са перпендикулярни. Следователно пресечната точка разполовява диагоналите.
3. Симетралите на ромбичните ъгли са диагоналите на ромба (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т.н.).
4. От идентичността на паралелограмите следва, че сумата от всички квадрати на диагоналите на ромб е числото на квадрата на страната, който се умножава по 4.

Знаци на ромб

Ромбът в тези случаи е успоредник, когато отговаря на следните условия:

1. Всички страни на успоредник са равни.
2. Диагоналите на ромба се пресичат под прав ъгъл, т.е. те са перпендикулярни един на друг (AC⊥BD). Това доказва правилото на трите страни (страните са равни и са под ъгъл 90 градуса).
3. Диагоналите на успоредник споделят ъглите еднакво, тъй като страните са равни.

Област на ромб

1. Площта на ромба е равна на числото, което е половината от произведението на всичките му диагонали.
2. Тъй като ромбът е вид успоредник, площта на ромба (S) е числото на произведението на страната на успоредника и неговата височина (h).
3. В допълнение, площта на ромба може да се изчисли с помощта на формулата, която е продуктът на квадратната страна на ромба и синуса на ъгъла. Синусът на ъгъла е алфа - ъгълът между страните на оригиналния ромб.
4. Формула, която е продукт на удвоения ъгъл алфа и радиуса на вписаната окръжност (r), се счита за напълно приемлива за правилното решение.