Последователността е дадена с рекурентната формула xn 2. Свойства на числовите редица

Вида г= f(х), хО н, където н- Много естествени числа(или функция на естествен аргумент), означ г=f(н) или г 1 ,г 2 ,…, y n,…. Стойности г 1 ,г 2 ,г 3 ,… се наричат ​​съответно първи, втори, трети, ... членове на редицата.

Например за функцията г= н 2 може да се напише:

г 1 = 1 2 = 1;

г 2 = 2 2 = 4;

г 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Методи за задаване на последователности.Могат да се задават последователности различни начини, сред които особено важни са три: аналитичен, описателен и повтарящ се.

1. Редица е дадена аналитично, ако е дадена нейната формула н-ти член:

y n=f(н).

Пример. y n= 2н- 1 – поредица от нечетни числа: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Описателен начинът да се уточни числова последователност е, че се обяснява от какви елементи е изградена последователността.

Пример 1. "Всички членове на редицата са равни на 1." Това означава, говорим сиотносно стационарната редица 1, 1, 1, …, 1, ….

Пример 2. „Поредицата се състои от всички прости числавъв възходящ ред". Така е дадена последователността 2, 3, 5, 7, 11, …. С този метод за указване на последователността в този примертрудно е да се отговори на какво е равен, да речем, 1000-ният елемент от редицата.

3. Повтарящият се начин за указване на последователност е, че се посочва правило, което позволява да се изчисли н-ти член на редицата, ако предишните й членове са известни. Името рекурсивен метод идва от латинска дума повтарящ се- Върни се. Най-често в такива случаи се посочва формула, която позволява изразяване нчлен на редицата през предходните и посочете 1–2 първоначални членовепоследователности.

Пример 1 г 1 = 3; y n = y n–1 + 4 ако н = 2, 3, 4,….

Тук г 1 = 3; г 2 = 3 + 4 = 7;г 3 = 7 + 4 = 11; ….

Може да се види, че последователността, получена в този пример, може да бъде определена и аналитично: y n= 4н- 1.

Пример 2 г 1 = 1; г 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 ако н = 3, 4,….

Тук: г 1 = 1; г 2 = 1; г 3 = 1 + 1 = 2; г 4 = 1 + 2 = 3; г 5 = 2 + 3 = 5; г 6 = 3 + 5 = 8;

Последователността, съставена в този пример, е специално изучавана в математиката, тъй като има редица интересни свойства и приложения. Нарича се редицата на Фибоначи - на името на италианския математик от 13 век. Дефинирането на последователността на Фибоначи рекурсивно е много лесно, но аналитично е много трудно. н-то число на Фибоначи се изразява чрез него сериен номерследната формула.

На пръв поглед формулата за нчислото на Фибоначи изглежда неправдоподобно, тъй като формулата, която определя последователността от естествени числа, съдържа само квадратни корени, но можете да проверите "ръчно" валидността на тази формула за първите няколко н.

Свойства на числови редици.

Числова последователност – специален случай числова функция, така че редица свойства на функциите също се разглеждат за последователности.

Определение . Последователност ( y n} се нарича нарастващ, ако всеки от неговите членове (с изключение на първия) е по-голям от предходния:

г 1 y 2 y 3 y n y n +1

Определение. Последователност ( y n} се нарича намаляваща, ако всеки от неговите членове (с изключение на първия) е по-малък от предходния:

г 1 > г 2 > г 3 > … > y n> y n +1 > … .

Нарастващи и намаляващи последователности са обединени от общ термин - монотонни последователности.

Пример 1 г 1 = 1; y n= н 2 е нарастваща последователност.

Следователно следната теорема е вярна (характерното свойство аритметична прогресия). Една числова редица е аритметична тогава и само ако всеки от нейните членове, с изключение на първия (и последния в случай на крайна редица), е равен на средноаритметичното на предходния и следващите членове.

Пример. На каква стойност хчисла 3 х + 2, 5х– 4 и 11 х+ 12 образуват крайна аритметична прогресия?

Според характерно свойство, дадените изрази трябва да удовлетворяват отношението

5х – 4 = ((3х + 2) + (11х + 12))/2.

Решаването на това уравнение дава х= –5,5. С тази стойност хдадени изрази 3 х + 2, 5х– 4 и 11 х+ 12 вземете съответно стойностите -14,5, –31,5, –48,5. Това е аритметична прогресия, нейната разлика е -17.

Геометрична прогресия.

Числова последователност, чиито всички членове са различни от нула и чийто всеки член, започвайки от втория, се получава от предишния член чрез умножаване по същото число р, се нарича геометрична прогресия, а числото р- знаменателят на геометрична прогресия.

По този начин геометричната прогресия е числова последователност ( b n), зададен рекурсивно от отношенията

b 1 = b, b n = b n –1 р (н = 2, 3, 4…).

(bи q-дадени числа, b ≠ 0, р ≠ 0).

Пример 1. 2, 6, 18, 54, ... - нарастваща геометрична прогресия b = 2, р = 3.

Пример 2. 2, -2, 2, -2, ... – геометрична прогресия b= 2,р= –1.

Пример 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрична прогресия b= 8, р= 1.

Геометричната прогресия е нарастваща последователност, ако b 1 > 0, р> 1 и намалява, ако b 1 > 0, 0q

Едно от очевидните свойства на геометричната прогресия е, че ако една последователност е геометрична прогресия, тогава последователността от квадрати, т.е.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,... е геометрична прогресия, чийто първи член е равен на b 1 2 , а знаменателят е р 2 .

Формула н-член на геометрична прогресия има формата

b n= b 1 q n– 1 .

Можете да получите формулата за сумата от членовете на крайна геометрична прогресия.

Нека има крайна геометрична прогресия

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

позволявам S n -сумата от неговите членове, т.е.

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

Прието е, че р No 1. Да се ​​определи S nприлага се изкуствен трик: някои геометрични трансформацииизрази S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)р = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

По този начин, S n q= S n +b n q – b 1 и следователно

Това е формулата с umma n членове на геометрична прогресияза случая, когато р≠ 1.

При р= 1 формула не може да се изведе отделно, очевидно е, че в този случай S n= а 1 н.

Геометричната прогресия е наречена, защото в нея всеки член с изключение на първия е равен на средното геометрично на предходния и следващите членове. Наистина, тъй като

b n = b n- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

Следователно, b n 2= b n– 1 bn+ 1 и е вярна следната теорема (характерно свойство на геометрична прогресия):

числова последователност е геометрична прогресия тогава и само ако квадратът на всеки от нейните членове с изключение на първия (и последния в случай на крайна последователност), е равно на произведениетопредишни и следващи членове.

Ограничение на последователността.

Нека има последователност ( c n} = {1/н}. Тази последователност се нарича хармонична, тъй като всеки от нейните членове, започвайки от втория, е хармоничната средна стойност между предишния и следващите членове. Средно аритметично геометрични числа аи bима номер

В противен случай последователността се нарича дивергентна.

Въз основа на това определение може например да се докаже съществуването на граница А=0за хармоничната последователност ( c n} = {1/н). Нека ε е произволно малко положително число. Ние отчитаме разликата

Има ли такъв нче за всички n≥ ннеравенство 1 /Н? Ако се приема като нвсяко естествено число, по-голямо от 1/ε , след това за всички n ≥ Nнеравенство 1 /n ≤ 1/N ε, Q.E.D.

Понякога е много трудно да се докаже съществуването на граница за определена последователност. Най-често срещаните последователности са добре проучени и са изброени в справочници. Има важни теореми, които позволяват да се заключи, че дадена последователност има граница (и дори да я изчисли) въз основа на вече изучени последователности.

Теорема 1. Ако една последователност има граница, значи тя е ограничена.

Теорема 2. Ако една последователност е монотонна и ограничена, тогава тя има граница.

Теорема 3. Ако последователността ( a n} има ограничение А, след това последователностите ( мога}, {a n+ в) и (| a n|} имат граници cA, А +° С, |А| съответно (тук ° Се произволно число).

Теорема 4. Ако последователности ( a n} и ( b n) имат граници, равни на Аи б pa n + qb n) има ограничение pA+ qB.

Теорема 5. Ако последователности ( a n) и ( b n) имат граници, равни на Аи бсъответно, тогава последователността ( a n b n) има ограничение AB.

Теорема 6. Ако последователности ( a n} и ( b n) имат граници, равни на Аи бсъответно и в допълнение b n ≠ 0 и B≠ 0, след това последователността ( a n / b n) има ограничение A/B.

Анна Чугайнова

Цели на урока:

1. формиране на представа за числова редица като функция с естествен аргумент;
2. формирането на знания за това как да се задават числови последователности, способността да се намират членовете на последователността според предложената формула, както и способността да се намира самата формула, която определя последователността;
3. развитие на умения за прилагане на предварително изучен материал;
4. развитие на умения за анализ, сравнение, обобщение;
5. развиване на умение за работа по двойки, самооценка.

Оборудване: шрайбпроектор, комплект фолио със задачи, Раздавателен материал, плакат с начини за задаване на последователности.

По време на часовете

1. Организационен момент.

2. Подготовка за възприемане на нови знания.

Учениците трябва да решат две задачи устно:

Задача номер 1: В склада има 500 тона въглища, всеки ден се доставят 30 тона Колко въглища ще има в склада за 1 ден? 2 ден? Ден 3? Ден 4? Ден 5?

Предизвикателство №2: Кога свободно паданетялото изминава 4,9 m през първата секунда и 9,8 m повече през всяка следваща секунда. Какво е разстоянието, изминато от падащото тяло за 1 секунда? 2 секунди? 3 секунди? 4 секунди? 5 секунди?

Отговорите на учениците се записват на дъската. Задача 1: 500; 530; 560; 590; 620

Задача 2: 4,9; 14,7; 24,5; 34,3; 44.1

Задаване на въпроси за задачи:

към задача 1: Колко въглища ще има на склад за 35 дни?

към задача 2: Какво разстояние ще измине тялото за 35 секунди?

За решаване на поставените задачи разглеждаме отговорите на задачите като редица от числа, т.е числови последователности.

Целта на урока е: Намерете начини да намерите който и да е член на последователността.

Цели на урока: Научете какво е числова последователност и как се дефинират последователностите.

Записване на темата на урока

3. Учене на нов материал.

1. Въведение в определението за числова редица.

Въвеждат се обозначения: y 1, y 2, y 3, y 4, y 5,…- членове на последователност; 1,2,3,4,5,… - пореден номер на члена на последователността; ( y2) е самата числова последователност

По време на разговора дефинираме понятието числова редица.

Насочващи въпроси: Като знаем номера на член на последователност, можем ли да намерим самия член на последователност? И обратно? Как се наричат ​​тези зависимости? Какъв е аргументът? Какво е значението на функцията? Каква е областта на дефиницията?

Учениците записват определението: Числовата последователност е функция, дадена върху множеството от естествени числа.

Решете устно задачи:

Определете дали следното съвпадение е последователност:

а) всяко естествено число получава своя квадрат;
б) на всяко естествено число се приписва числото 7;
в) на всяко естествено четно число се приписва неговият куб, а на всяко естествено число, делимо на 4, се приписва числото 9.

2. Определете дали дадената функция е числова редица: (формулите са написани на дъската)

а) y=2x-1, xI (0;+?)б)

в) y=2x-1, xI Z G) ?

Заключение: (формулирано заедно с децата) Какво е основното в определението?

Числова редица 1) функция 2) нейната област на дефиниране е множеството N.

2. Определяне как да се специфицират последователности.

Напомняме, че дадена функция се счита за дадена, ако е дефинирано правило, според което на всеки аргумент се присвоява стойността на функцията.

Съвместно се формулира (и след това се записва) условието за задаване на числова последователност: Числова последователност се счита за дадена, ако е указан метод, който позволява намирането на член на последователността от произволно число.

По време на разговора си припомняме начините за определяне на функции (вербални, графични, формулни (съобщава се, че се нарича аналитичен)), тяхната същност.

На дъската е поставена диаграма:

А) словесно. Същността на метода се появява на дъската. Учениците записват името на метода и неговата същност в таблица №1.

Таблица № 1 Начини за задаване на числова последователност:

начин
Пример

Опишете с думи как се получава всеки член на редицата или посочете първите няколко члена на редицата.

Таблица № 1 съдържа вербални задачи от две последователности:

Последователност 1. ( y n) е поредица от естествени числа, кратни на 3.

Последователност 2. ( y n) е поредица от четни естествени числа.

Задача: Запишете първите 5 члена на редицата. (Насочващи въпроси: какво са кратни на 3, кои числа се считат за четни). (2 ученика се извикват на дъската)

Дайте вашите примери (устно).

б) Графичен начин.

Конструирайте набор от точки (n; y n)

Задача: Задайте графично Последователност 1 и 2 (двама ученици на дъската върху готовата координатна равнина, останалите в таблица № 1)

Б) Аналитичен метод . Същността на метода се появява на дъската. Учениците записват името на метода и неговата същност в таблица №1.

Посочете формулата на n-тия член на редицата.

Задача: 1. Последователността е дадена по формулата: . Запишете първите 5 члена на редицата. (Един ученик на дъската с пълно обяснение, останалите в тетрадка)

2. Задайте формулата н-ти член на редица 1 и 2 (говорете устно, запишете в таблица № 1)

Г) рекурсивен метод.

3. Задайте формулата нчлен на редицата …, 74, 81, 88, 95, 102, …

Можете ли да намерите следващия член в последователността? Така? (Насочващ въпрос как да получите 81 от 74, да получите 88 от 81)

Извод: Ако знаем n-1член на последователността, ще бъде възможно да се намери и н-ни.

Този начин за определяне на последователност се нарича повтарящ се. (Добавя се запис към диаграмата на дъската рецидивиращ)

В нашия пример y n = y n-1 + 7

Какви данни са ни необходими за това? И ако последователността е дадена от формулата

y n = y n-1 + y n-2?

Заключение: За повтарящо се присвояване на последователност е необходимо:

1) знаят един или два първи члена на последователността
2) задайте правило за изчисляване на следващите членове на редицата

Същността на метода се появява на дъската. Учениците записват името на метода и неговата същност в таблица №1.

Изразете всеки член на редицата, като започнете от 2-ри (или 3-ти) през предходните.

Задача: 1. Последователността е дадена рекурентно y 1 = 2,y n =5y n-1Посочете първите 5 членове на редицата. (Един ученик на дъската с пълно обяснение, останалите в тетрадка)

2. Задайте повтарящи се последователности 1 и 2 (говорим устно, запишете в таблица № 1)

Междинна сума: Имаме 4 начина за задаване на числови последователности. Представени са на дъската и в таблица №1. Най-ценни за решаване на практически задачи са последните два метода: аналитичен и рекуррентен. И сега ще работим с тези методи.

4. Първично разбиране и консолидиране на материала

Инструкция:Ето таблици 2 и 3.

Таблица № 2: Аналитичен метод Упражнение:Попълни таблицата

x 1, x 2, x 3, x 4, x 5
		x 1 =	x 4 =

Таблица #3: Рекурсивен метод Упражнение:Попълни таблицата

x 1, x 2, x 3, x 4, x 5	x 1, x 2, x n
		x 1 =	x 4 =

Таблицата показва аналитичния метод, таблица 3 - рецидивиращ. Задача в редове 1 и 2 на тези таблици: според тези формули задайте първите 5 члена на редицата. Задача в 3 и 4 ред на тези таблици: за първите членове на редицата задайте подходящата формула.

Тази задача вече не е тривиална, изисква известна изобретателност.

Учениците работят по задачи по двойки.

Първите двойки, които изпълнят задачата, получават фолио със задачата, където записват своите отговори.

Разтворите се проверяват с кодоскоп.

5. Първичен контрол на усвояването на знанията(самостоятелна работа с последваща самопроверка)

Инструкции: Вземете листове с номер на таблица 5.

Таблица № 5: Самостоятелна работа Упражнение:Попълни таблицата

x 1, x 2, x 3, x 4, x 5	Аналитичен метод	Рекурсивен начин
			x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 =
			x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 =
500; 530; 560; 590; 620; …
4,9; 14,7; 24,5; 34,3; …

Критерии за оценка: 4 „+” оценка „5”; 3 "+" оценка "4"; 2 "+" оценка "3"

Подпишете ги. Задача в редове 1 и 2 на тези таблици: според тези формули задайте първите 5 члена на редицата. Задача в 3 и 4 ред на тези таблици: за първите членове на редицата задайте подходящата формула.

Задачите се изпълняват самостоятелно. След изпълнение проверяваме решенията.

Решенията се проверяват с помощта на кодоскоп (отговорите се записват предварително).

Указания за проверка и оценяване: Ето отговорите на задачите. Сравнете ги с вашите резултати. Ако е правилно, поставете "+", ако не, тогава "-". След това пребройте броя на "+" и си поставете оценка в съответствие с критериите, които сте написали под таблицата. Ако желаете получената оценка да бъде поставена в дневника, тогава в скоби до оценката напишете "в дневника".

6. Обобщаване на урока

Обръща се внимание на последните 2 реда в таблица 5. Това са последователностите на задачите в началото на урока. Въпросите на задачите се напомнят. Намираме отговора на поставените проблеми (питат се 2 ученика).

Прави се фронтално проучване съвместно с учениците заключения от урока:

1. Какво е последователност
2. Какви са начините за указване на последователности? Каква е тяхната същност?
3. Кой от начините ви позволява да определите член на редицата, като знаете само неговия номер?
4. Къде се прилагат знанията за числови редици?

Таблица № 4: Допълнителна задача:Попълни таблицата

x 1, x 2, x 3, x 4, x 5	Аналитичен метод
		x 1 =	x 4 =
x 1, x 2, x 3, x 4, x 5	Рекурсивен начин
		x 1 =	x 4 =

Повтаряща се последователност. От курса на математиката е известна концепцията за повтаряща се последователност. Това понятие се въвежда по следния начин: нека са известни k числа a1, ..., ak. Тези числа са първите числа от числовата последователност. Следващите елементи от тази последователност се изчисляват, както следва:

Тук F е функция от k аргумента. Преглед на формула

Наречен повтаряща се формула. Стойността k се нарича дълбочина на рекурсия.

С други думи, можем да кажем, че една повтаряща се поредица е безкрайна поредица от числа, всяко от които, с изключение на началното k, е изразено чрез предходните.

Примери за повтарящи се последователности са аритметична (1) и геометрична (2) прогресия:

Рекурентната формула за определената аритметична прогресия е:

Рекурсивната формула за дадена геометрична прогресия е:

Дълбочината на рекурсия и в двата случая е равна на единица (тази зависимост се нарича още едностъпкова рекурсия). Като цяло повтарящата се последователност се описва от множеството начални стойностии рекурсивна формула. Всичко това може да се комбинира в една разклонена формула. За аритметична прогресия:

За геометрична прогресия:

Следната числова последователност е известна в математиката като числата на Фибоначи:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...

Започвайки от третия елемент, всяко число е равно на сумата от стойностите на предходните две, тоест това е повтаряща се последователност с дълбочина 2 (рекурсия в две стъпки). Ние го описваме в разклонена форма:

Въвеждането на понятието за повтарящи се последователности ни позволява да хвърлим нов поглед върху някои проблеми, които вече са ни известни. Например факториелът на цяло число n! може да се разглежда като стойността на n-тия елемент от следната поредица от числа:

Повтарящото се описание на такава последователност е както следва:

Програмиране на изчисления на рекурентни последователности. Проблеми от следния вид са свързани с повтарящи се последователности:

1) изчислете дадения (n-ти) елемент от последователността;

2) математическа обработка на определена част от последователността (например изчисляване на сумата или произведението на първите n члена);

4) определя броя на първия елемент, който отговаря на определено условие;

Този списък със задачи не претендира за пълен, но обхваща най-често срещаните видове. В първите четири задачи не се изисква да се съхраняват в паметта едновременно много елементи от редица от числа. В този случай неговите елементи могат да бъдат получени последователно в една променлива, като се заменят един друг.

Пример 1. Изчислете n-тия елемент от аритметична прогресия (1).

VarM,I: 0..Maxint;

За I: =2 To N Do

WriteLn("A(",N:l,")=",A:6:0)

Рекурсивната формула ai = ai-1 + 2 е преминала в оператора A:= A + 2.

Пример 2. Сумирайте първите n елемента от геометричната прогресия (2) (без да използвате формулата за сумата от първите n члена на прогресията).

Var N,1: 0..Maxint;

Напиши ("N="); ПрочететеLn(N);

За I: =2 To N Do

WriteLn("Сумата е равна",S:6:0)

При изчисляване на рекурентна последователност с дълбочина 2, една променлива вече не може да бъде премахната. Това се вижда от следния пример.

Пример 3. Отпечатайте първите n (n ≥ 3) числа на Фибоначи. Пребройте колко от тях са четни числа.

VarN,I,K,F,F1,F2: 0..Максинт;

WriteLn("F(l)=",Fl,"F(2)=",F2);

За I:=3 To N Do

WriteLn("F(",I:l,")=",F);

Ако не е нечетно (F), тогава K:=K+1;

WriteLn("Броят на четните числа в редицата е",K)

Бяха необходими три променливи за последователно изчисляване на рекурсията в две стъпки, тъй като за да се намери следващият елемент, е необходимо да се запомнят стойностите на предишните два.

Пример 4. За дадено реално x и малка стойност на ε (например ε = 0,000001), изчислете сумата от серията

включително само членове, превишаващи ε. Известно е, че сумата от такъв безкраен ред има крайна стойност, равна на ex, където e = 2,71828... е основата на естествения логаритъм. Тъй като елементите на тази редица са намаляваща редица от числа, клонящи към нула, сумирането трябва да се извърши до първия член, съгласно абсолютна стойностне превишава ε.

Ако термините в този израз са означени по следния начин:

тогава обобщената формула за i-тия елемент ще бъде както следва:

Лесно е да се види, че има повтаряща се връзка между елементите на тази последователност. Може да се намери интуитивно, но може и да се изведе формално. Вярно, за това трябва да се досетите, че рекурсията е едностъпкова и че всеки следващ елемент се получава чрез умножаване на предходния по някакъв коефициент, т.е.

Използвайки обобщената формула, имаме:

Наистина ли:

Следователно тази повтаряща се последователност може да бъде описана по следния начин:

И накрая, представяме програма, която решава проблема.

Var A, X, S, Eps: Реално;

Write("X="); ReadLn(X);

Write("epsilon="); readln(eps);

A:=l; S:=0; I:=0;

Докато Abs(A)>Eps Do

WriteLn("Сумата на серията е", S:10:4)

Както и преди, стойностите на последователността на повтаряне на една стъпка се изчисляват в една променлива.

Всяко повторно изпълнение на цикъла в тази програма доближава стойността на S до желаната (посочва значимите цифри в нейния запис). Такъв изчислителен процес в математиката се нарича итеративен процес. Съответно, циклите, които реализират итеративния изчислителен процес, се наричат ​​итеративни цикли. За тяхната организация се използват инструкциите While или Repeat.

Пример 5. За дадено естествено N и реално x (x > 0), изчислете стойността на израза:

В този случай рецидивът не е толкова очевиден. Нека се опитаме да го намерим по индукция. Приемаме, че желаният израз е N-ти елементпоследователности като тази:

От тук можете да видите връзката:

Сега задачата се решава много просто:

Var A, X: Реален; I,N: Цяло число;

Write("X="); ReadLn(X);

Напиши ("N="); ПрочететеLn(N);

За I:=2 To N Do

WriteLn("Отговор:",A)

Към всички гореизброени проблеми може да се подходи по различен начин.

Извикване на рекурсивно дефинирани подпрограми. Вижте описанието на аритметична прогресия под формата на повтаряща се последователност. Това директно предполага начин за дефиниране на функция за изчисляване на даден елемент от прогресията.

Нека направим това за общия случай, като дефинираме аритметична прогресия с първия член a0 и разликата d:

Съответната подпрограма функция изглежда така:

Функция Progres(AO, D: Real; I: Integer): Real;

Тогава Напредък:=AO

ElseProgres:=Прогрес(A0,D,I-1)+D

Следващата програма показва първите 20 числа на Фибоначи, които са изчислени от рекурсивната функция на Фибон.

Функция Fibon(N: Integer): Цяло число;

Ако (N=1) или (N=2)

Else Fibon:=Fibon(N-1)+Fibon(N-2)

За K:=l до 20 Направете WriteLn(Fibon(K))

Трябва да се отбележи, че използването на рекурсивни функции забавя изчислението. Освен това може да срещнете проблема с липсата на дължина на стека, в който се запомня „маршрутът“ на рекурсивните извиквания.

Повтарящите се последователности често се използват за решаване различен видеволюционни задачи, т.е. задачи, които проследяват някакъв процес, който се развива във времето. Нека разгледаме такава задача.

Пример 6. По време на лечебно гладуване теглото на пациента намалява от 96 на 70 kg за 30 дни. Установено е, че дневната загуба на тегло е пропорционална на телесното тегло. Изчислете какво е теглото на пациента след k дни след началото на гладуването за k = 1, 2, ..., 29.

Нека обозначим теглото на пациента в i-ти денпрез pi (i = 0, 1, 2, ..., 30). От условията на задачата е известно, че p0 = 96 kg, p30 = 70 kg.

Нека K е коефициентът на пропорционалност на намаляването на масата за един ден. Тогава

Получаваме последователност, описана със следната рекурентна формула:

Ние обаче не знаем коефициента K. Той може да бъде намерен чрез условието p30 = 70.

За да направим това, ще направим обратни замествания:

Var I: Байт; P, Q: Реално;

Q:=Exp(l/30*Ln(70/96));

За I:=l До 29 Do

WriteLn(I,"th day-",P:5:3,"kg")