Конструиране на математически доказателства. Начини за математическо доказателство

1. Методи за математическо доказателство

2. Преки и косвени доказателства. Доказателство от противно.

3. Ключови констатации

Начини за математическо доказателство

AT ежедневиеточесто, когато се говори за доказателство, се има предвид просто проверката на заявено твърдение. В математиката проверката и доказателството са две различни неща, въпреки че са свързани. Да предположим, например, че е необходимо да се докаже, че ако четириъгълник има три прави ъгъла, тогава той е правоъгълник.

Ако вземем всеки четириъгълник с три прави ъгъла и като измерим четвъртия, се убедим, че той наистина е прав, тогава тази проверка ще направи това твърдение по-правдоподобно, но все още не е доказано.

За да докажете това твърдение, разгледайте произволен четириъгълник, в който три ъгъла са прави. Тъй като във всеки изпъкнал четириъгълник сумата от ъглите е 360⁰, то в този е 360⁰. Сборът от три прави ъгъла е 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰), така че четвъртият е 90⁰ (360⁰ - 270⁰). Ако всички ъгли на четириъгълника са прави ъгли, то той е правоъгълник.Следователно този четириъгълник ще бъде правоъгълник. Q.E.D.

Забележете, че същността на доказателството е изграждането на такава последователност от верни твърдения (теореми, аксиоми, дефиниции), от които логически следва твърдението, което трябва да се докаже.

В общи линии Да се докаже твърдение означава да се покаже, че това твърдение следва логически от система от верни и свързани твърдения..

В логиката се смята, че ако разглежданото твърдение логически следва от вече доказани твърдения, тогава то е оправдано и също толкова вярно, колкото последното.

По този начин основата на математическото доказателство е дедуктивното заключение. А самото доказателство е верига от изводи, а заключението на всяко от тях (с изключение на последното) е предпоставка в едно от следващите заключения.

Например в горното доказателство могат да се разграничат следните заключения:

1. Във всеки изпъкнал четириъгълник сумата от ъглите е 360⁰; тази фигура е изпъкнал четириъгълник, следователно сумата от ъглите в нея е 360⁰.

2. Ако е известна сумата от всички ъгли на четириъгълника и сумата от три от тях, тогава чрез изваждане можете да намерите стойността на четвъртия; сумата от всички ъгли на този четириъгълник е 360⁰, сумата от три е 270⁰ (90⁰ 3 = 270⁰), тогава стойността на четвъртия е 360⁰ - 270⁰ = 90⁰.

3. Ако в един четириъгълник всички ъгли са прави, то този четириъгълник е правоъгълник; Този четириъгълник има всички прави ъгли, така че е правоъгълник.

Всички горни изводи са направени съгласно правилото за заключение и следователно са дедуктивни.

Най-простото доказателство се състои от едно заключение. Такова е например доказателството на твърдението, че 6< 8.

Така че, говорейки за структурата на математическото доказателство, трябва да разберем, че то включва преди всичко твърдението, което се доказва, и системата от верни твърдения, с които се извършва доказателството.

Трябва също да се отбележи, че математическото доказателство не е просто набор от изводи, това са изводи, подредени в определен ред.

Според начина на приложение (под формата) те се различават преки и непреки доказателство за. Разгледаното по-рано доказателство беше директно - в него, въз основа на някакво вярно изречение и като се вземе предвид условието на теоремата, беше изградена верига от дедуктивни изводи, която доведе до вярно заключение.

Пример за косвени доказателства е доказателството от противоречие . Същността му е следната. Нека е необходимо да се докаже теоремата

A ⇒ B. При доказване от противно се приема, че заключението на теорема (B) е невярно и, следователно, нейното отрицание е вярно. Чрез добавяне на изречението „не B“ към набора от истински предпоставки, използвани в процеса на доказване (сред които е условие А), те изграждат верига от дедуктивни изводи, докато се получи твърдение, което противоречи на една от предпоставките и по-специално, условие A. Веднага щом се установи такова противоречие, процесът на доказване е завършен и се казва, че полученото противоречие доказва истинността на теоремата

Задача 1. Докажете, че ако a + 3 > 10, то a ≠ 7. Метод на противоречие.

Задача 2. Докажете, че ако x² - четен брой, тогава x е четно. Обратният метод.

Задача 3. Дадени са четири последователни естествени числа. Вярно ли е, че произведението на средните стойности на тази последователност повече произведения на изкуствотокрайно с 2? Метод на непълна индукция.

Пълна индукция- това е метод на доказване, при който истинността на едно твърдение следва от неговата истинност във всички специални случаи.

Задача 4. Докажете, че всяко съставно естествено число, по-голямо от 4, но по-малко от 20, може да бъде представено като сбор от две прости числа.

Задача 5. Вярно ли е, че ако естествено число n не е кратно на 3, то стойността на израза n² + 2 е кратно на 3? Метод на пълна индукция.

Основни изводи

В този момент се запознахме с понятията: умозаключение, предпоставка и заключение, дедуктивно (правилно) разсъждение, непълна индукция, аналогия, пряко доказателство, косвено доказателство, пълна индукция.

Открихме, че непълната индукция и аналогия са тясно свързани с дедукцията: изводите, получени с помощта на непълна индукция и аналогия, трябва или да бъдат доказани, или опровергани. От друга страна, дедукцията не възниква от нулата, а е резултат от предварително индуктивно изследване на материала.

Дедуктивните разсъждения позволяват да се получат нови истини от съществуващите знания и освен това с помощта на разсъждения, без да се прибягва до опит, интуиция и др.

Открихме, че математическото доказателство е верига от дедуктивни изводи, извършени съгласно определени правила. Запознахме се с най-простите от тях: правилото за заключение, правилото за отрицание, правилото за силогизма. Научихме, че можете да проверите правилността на изводите с помощта на кръгове на Ойлер.

ТЕКСТОВА ЗАДАЧА И ПРОЦЕСЪТ НА НЕЙНОТО РЕШАВАНЕ

Лекция 11

1. Структурата на текстовата задача

2. Методи и методи за решаване на текстови задачи

3. Етапи на решаване на проблема и методи за тяхното изпълнение

С изключение различни концепции, предложения, доказателства във всякакви курс по математикаима задачи. В обучението по математика младши учениципреобладават тези, които се наричат аритметични, текстови и сюжетни. Тези задачи са формулирани на естествен език (наричат се текст):те обикновено описват количествената страна на някои явления, събития (затова те често се наричат аритметикаили парцел);те са задачи за намиране на желаното и се свеждат до пресмятане неизвестна стойностс известна величина (поради което понякога се наричат компютри).

В това ръководство ще използваме термина „текстови задачи“, тъй като той се използва най-често в методиката на обучението по математика на по-малките ученици.

Решаване на текстови задачи със начално образованиеобърна голямо внимание. Това се дължи на факта, че подобни задачи често са не само средство за формиране на много математически понятия, но най-важното - средство за развиване на умения за изграждане математически моделиреални явления, както и средство за развитие на мисленето на децата.

Има различни методически подходида научим децата да решават текстови задачи. Но какъвто и метод на обучение да избере учителят, той трябва да знае как са подредени такива задачи и да може да ги решава. различни методии начини.

Структура на текстова задача

Както бе споменато по-горе, всякакви текстова задачае описание на явление (ситуация, процес). От тази гледна точка текстовата задача е словесен модел на явление (ситуация, процес). И както във всеки модел, текстовата задача не описва цялото явление като цяло, а само някои негови аспекти, главно количествените му характеристики. Да разгледаме например следната задача: „Автомобил напусна точка А със скорост 60 km/h. След 2 часа го последва втора кола със скорост 90 км/ч. На какво разстояние от А втората кола ще изпревари първата?

Задачата описва движението на два автомобила. Както знаете, всяко движение се характеризира с три величини: изминато разстояние, скорост и време на движение. В тази задача са известни скоростите на първия и втория автомобил (60 км/ч и 90 км/ч), известно е, че те са изминали еднакво разстояние от точка А до точката на срещата, количествена характеристикакойто трябва да се намери. Освен това е известно, че първата кола е била на пътя 2 часа повече от втората.

Обобщавайки, можем да кажем, че текстовата задача е описание на естествен езикнякакво явление (ситуация, процес) с изискването да се даде количествено описание на всеки компонент на това явление, да се установи наличието или отсъствието на някаква връзка между компонентите или да се определи вида на тази връзка.

Помислете за друг проблем от начален курсматематици: „Пуловерът, шапката и шалът са изплетени от 1 кг 200 г вълна. За шал са били необходими 100 g повече вълна, отколкото за шапка, и 400 g по-малко, отколкото за пуловер. Колко вълна е използвано за всеки артикул?

В задачата ние говорим заза харченето на вълна за пуловер, шапка и шал. По отношение на тези обекти има определени изявленияи изисквания.

Изявления:

1. Пуловер, шапка и шал са изплетени от 1200 г вълна.

2. Похарчихме 100 г повече за шал, отколкото за шапка.

3. За шал са похарчени 400 г по-малко, отколкото за пуловер.

Изисквания:

1. Колко вълна използвахте за пуловера?

2. Колко вълна използвахте за шапката?

3. Колко вълна използвахте за шала?

Извикват се формулировки на задачи условия(или условие, както в началното училище). В една задача обикновено има не едно условие, а няколко елементарни условия. Те представляват количествени или качествени характеристики на обектите на задачата и връзките между тях. В една задача може да има няколко изисквания. Те могат да бъдат формулирани както във въпросителни, така и в утвърдителна форма. Условията и изискванията са взаимосвързани.

Системата от взаимосвързани условия и изисквания се нарича пропозиционален модел на задачата.

По този начин, за да разберем каква е структурата на задачата, е необходимо да идентифицираме нейните условия и изисквания, като изхвърлим всичко излишно, второстепенно, което не засяга нейната структура. С други думи, необходимо е да се изгради пропозиционален модел на проблема.

За да се получи този модел, е необходимо да се разшири текстът на задачата (това може да стане писмено или устно), тъй като текстът на задачата по правило се дава в съкратена, свита форма. За да направите това, можете да перифразирате проблема, да го изградите графичен модел, въведе някои обозначения и т.н.

В допълнение, изолирането на условията на проблема може да се извърши с различна дълбочина. Дълбочината на анализа на условията и изискванията на проблема зависи главно от това дали сме запознати с типа проблем, към който принадлежи дадения, и дали знаем как да решаваме такива проблеми.

Пример 1. Формулирайте условията и изискванията на задачата:

Две момичета тичаха едновременно едно срещу друго по спортна писта, чиято дължина е 420 м. Когато се срещнаха, първото пробяга с 60 м повече от второто. Колко бързо е бягало всяко момиче, ако се срещнат след 30 секунди?

Проблемът е за движението на две момичета едно към друго. Както знаете, движението се характеризира с три величини: разстояние, скорост и време.

Условия на проблема:

1. Две момичета тичат едно към друго.

2. Те започнаха да се движат едновременно.

3. Разстоянието, което са пробягали е 420 m.

4. Едното момиче пробяга 60 метра повече от другото.

5. Момичетата се срещнаха след 30 s.

6. Скоростта на движение на едно момиче е повече от скоростта на движение
друг.

Изисквания към задачата:

1. Колко бързо тичаше първото момиче?

2. Колко бързо тичаше второто момиче?

Във връзка с условията и изискванията има:

а) определени задачи -те имат толкова дадени условия, колкото
необходими и достатъчни за изпълнение на изискванията;

б) недостатъчно определени задачи -в тях условията не са достатъчни за получаване на отговор;

в) предефинирани задачи -имат допълнителни условия.

AT начално училищеНедостатъчно определените задачи се считат за задачи с липсващи данни, а свръхопределените задачи се считат за задачи с излишни данни.

Например задачата „В близост до къщата имаше 5 ябълкови дървета, 2 череши и 3 брези. Колко овощни дървета растяха близо до къщата? се отменя, защото съдържа допълнително условие.

Задача "Първо 12 стола бяха изнесени от залата, след това още 5. Колко стола останаха в залата?" е недоопределен - в него няма достатъчно условия, за да се отговори на поставения въпрос.

Нека сега изясним значението на термина "решение на проблем". Случи се така, че този термин обозначава различни концепции:

1) резултатът се нарича решение на проблема, т.е. отговор на търсенето
задачи;

2) процесът на намиране на този резултат се нарича решение на проблема и този процес се разглежда по два начина: както като метод за намиране на резултата (например, те говорят за решаване на проблема по аритметичен начин), така и като последователност от онези действия, които решаващият изпълнява, използвайки един или друг метод (т.е. в този случайпод
решението на проблем се разбира като цялостната дейност на лицето, което решава проблема).

Упражнения

1. В следващите задачи подчертайте условията и изискванията:

а) Два автобуса са тръгнали едновременно от града към селото, разстоянието до което е 72 км. Първият автобус пристигна в селото с 15 минути по-рано от втория. Каква е скоростта на всеки автобус, ако скоростта на единия е с 4 km/h по-голяма от скоростта на другия?

б) Сборът на две числа е 199. Намерете тези числа, ако едното от тях е с 61 повече от другото.

2. Формулирайте задачите от упражнение 1 така, че изречението, съдържащо изискването, да не съдържа условия.

3. В задачите от упражнение 1 повелителна формазаменете изискванията с въпросително, въпросителното с повелително.

4. Решете задачите от I упражнение.

5. Дадени са условията на проблема: "Събрахме 42 кг краставици и осолихме 5/7 от всички краставици."

От списъка по-долу изберете изискванията за това условие и решете получения проблем:

а) Колко килограма краставици са останали неосолени?

б) Колко килограма домати са останали неосолени?

в) Кое е по-голямо - масата на осолените краставици или масата на краставиците, които са останали неосолени?

6. Формулирайте възможните изисквания към условието на проблема:

а) Купихме 12 m плат и изразходвахме една трета от плата за рокля.

б) Пешеходец излязъл от селото, а след 2 часа след него тръгнал велосипедист. Скоростта на велосипедист е 10 km/h, а скоростта на пешеходец е 5 km/h.

7. Какви данни са необходими, за да се отговори на следното изискване
задачи:

а) Коя част от урока се използва за решаване на проблема?

б) Колко рокли са направени от закупения плат?

в) Намерете обиколката на правоъгълника.

8. На ученика е дадена задача: „Велосипедистът е карал 2 часа с
някаква скорост. След като изминава 60 км със същото
скорост, пътят му ще бъде равен на 48 км. С каква скорост си карал
велосипедист?" Той го реши така:

1)60-48= 12 (км)

2) 12:2 = 6 (км/ч)

Отговор: 6 км/ч е скоростта на велосипедиста.

Съгласни ли сте с това решение на този проблем?

9. Можете ли да отговорите на изискването за следния проблем:

а) 60 000 рубли са платени за 3 м плат. Вторият път купихме 6 м плат. Колко пари бяха платени за плата, закупен втори път?

б) Двама мотоциклетисти се движат един срещу друг. Скоростта на единия е 62 км/ч, а на другия 54 км/ч. След колко часа ще се срещнат мотоциклетистите?

Ако е невъзможно да се отговори на изискването на проблема, допълнете условието му и решете проблема.

10. Има ли задачи с допълнителни данни сред следните:

а) Обемът на помещението е 72 m³. Височината на стаята е 3 м. Намерете площта на помещението, ако дължината му е 6 м.

5) За засаждане на гора е разпределена площ от 300 хектара. Du6 бяха засадени на 7/10 от парцела, а борове на 3/10 от парцела. Колко хектара са заети от дъбове и борове?

Ако задачата съдържа допълнителни данни, изключете ги и решете задачата.

Да се докаже твърдение означава да се покаже, че това твърдение следва логически от система от верни и свързани твърдения.

По този начин основата на математическото доказателство е дедуктивен метод. Доказателството е набор от логически методи за обосноваване на истинността на твърдение с помощта на други верни и свързани твърдения.

Математическото доказателство не е просто набор от изводи, то е изводи, подредени в определен ред.

Доказателствата разграничават преки и непреки.

Преки доказателства.

1) Въз основа на някои верни изречения и условието на теоремата се изгражда верига от дедуктивни изводи, които водят до истинско заключение.

Пример. Нека докажем това вертикални ъглиса равни. Ъгли 1 и 2 са съседни, следователно 1 + 2 = 180 o. Ъгли 2 и 3 са съседни, следователно 2 + 3 = 180 o. Имаме: 1 = 180 o –23 = 180 o –21 =2.

2) Методът на математическата индукция. Твърдението е вярно за всички естествено число Пако: важи за П= 1 и от валидността на твърдението за всяко произволно естествено П=кследва неговата справедливост за П=к+ 1. (Повече подробности ще бъдат обсъдени в старши курсове.)

3) Пълна индукция (виж по-рано).

косвени доказателства.

1) Метод от противоречие. Нека е необходимо да се докаже теоремата НОAT. Предполага се, че заключението му е невярно и следователно неговото отрицание вярно. Като прикачите оферта към набора от истински предпоставки, използвани в процеса на доказване (сред които е условието НО), изградете верига от дедуктивни разсъждения, докато се получи твърдение, което противоречи на една от предпоставките. Полученото противоречие доказва теоремата.

Пример. Ако две прави са успоредни на една и съща права, тогава те са успоредни една на друга.

дадени: х с,при с. Докажи това х при.

Доказателство. Нека линията хне е успореден на права при, т.е. линиите се пресичат в дадена точка НО. Следователно, през точката НОпрекарайте две линии, успоредни на линията с, което е невъзможно от аксиомата за паралелизъм.

2) Доказателство, основано на закона за противопоставянето: вместо теорема НОATдокажете еквивалентна теорема
. Ако е вярно, тогава оригиналната теорема също е вярна.

Пример. Ако хТогава 2 е четно число х- четен брой.

Доказателство. Нека се преструваме, че хе нечетно число, т.е. х= 2к+ 1х 2 = (2к+ 1) 2 = = 4к 2 + 4к+ 1 = 2(2к 2 + 2к) + 1 е странно.

тестови въпроси

Какво се нарича умозаключение?

Какъв вид разсъждения се наричат дедуктивни?

Дайте определения за непълна и пълна индукция.

Дефинирайте извода по аналогия.

Запишете схемите на дедуктивното разсъждение и докажете идентичната истинност на формулите, лежащи в основата на тези правила.

Как да проверите правилността на заключенията с помощта на кръгове на Ойлер? Какви други методи са известни за проверка на правилността на изводите?

Какво заключение се нарича софизъм?

Какво означава да докажеш твърдение?

Какви доказателства се отличават с метода на провеждане?

Опишете начините, по които е разсъждението различни формипреки и косвени доказателства.

Основният метод в математически изследванияса математически доказателства - строги логически разсъждения. По силата на обективна необходимост, посочва член-кореспондентът на Руската академия на науките Л. Д. Кудрявцев Кудрявцев Л. Д. - Съвременната математика и нейното преподаване, Москва, Наука, 1985 г., логическите разсъждения (които по своята природа, ако са правилни, са и строги) са метод на математиката, без тях математиката е немислима. Трябва да се отбележи, че математическото мислене не се ограничава до логически разсъждения. За правилна настройказадача, да оцени нейните данни, да подчертае съществените и да избере метод за решаването й, необходима е и математическа интуиция, която позволява да се предвиди желаният резултат, преди да бъде получен, да се очертае пътя на изследването с помощта на правдоподобно разсъждение. Но валидността на разглеждания факт се доказва не чрез проверката му на редица примери, не чрез провеждане на редица експерименти (което само по себе си играе голяма роля в математическите изследвания), а по чисто логичен начин, според законите на формалната логика.

Смята се, че математическото доказателство е върховната истина. Решение, което се основава на чиста логика, просто не може да бъде грешно. Но с развитието на науката и задачите пред математиците се поставят все по-сложни.

„Влязохме в епоха, когато математически апаратстана толкова сложен и тромав, че на пръв поглед вече не е възможно да се каже дали възникналият проблем е верен или не“, казва Кийт Девлин от Станфордския университет в Калифорния, САЩ. Той цитира като пример „класификацията на простите крайни групи“, която е формулирана през 1980 г., но пълно точно доказателство все още не е дадено. Най-вероятно теоремата е вярна, но е невъзможно да се каже със сигурност за това.

Компютърното решение също не може да се нарече точно, защото такива изчисления винаги имат грешка. През 1998 г. Хейлс предложи компютърно подпомогнато решение на теоремата на Кеплер, формулирана през 1611 г. Тази теорема описва най-плътното опаковане на топки в космоса. Доказателството беше представено на 300 страници и съдържаше 40 000 реда машинен код. 12 рецензенти проверяваха решението в продължение на една година, но никога не постигнаха 100% увереност в правилността на доказателството и изследването беше изпратено за преразглеждане. В резултат на това той беше публикуван едва след четири години и без пълна заверка на рецензентите.

Всички последни изчисления за приложни задачисе правят на компютър, но учените смятат, че за по-голяма надеждност математическите изчисления трябва да се представят без грешки.

Теорията на доказателството е развита в логиката и включва три структурни компоненти: теза (това, което се предполага, че се доказва), аргументи (набор от факти, общоприети концепции, закони и т.н. на съответната наука) и демонстрация (процедурата за разполагане на самото доказателство; последователна верига от изводи, когато н-тото заключение става една от предпоставките n+1то заключение). Разграничени са правилата за доказване, посочени са възможните логически грешки.

Математическото доказателство има много общо с принципите, установени от формалната логика. Освен това, математически правиларазсъжденията и операциите очевидно послужиха като една от основите в развитието на процедурата за доказателство в логиката. По-специално, изследователите на историята на формирането на формалната логика смятат, че по едно време, когато Аристотел е направил първите стъпки за създаване на закони и правила на логиката, той се е обърнал към математиката и към практиката на юридическата дейност. В тези източници той намира материал за логическите конструкции на замислената теория.

През 20-ти век понятието доказателство губи строгото си значение, което се случва във връзка с откритието логически парадоксискрит в теорията на множествата и особено във връзка с резултатите, които доведоха теоремите на К. Гьодел за непълнотата на формализацията.

На първо място, това засегна самата математика, във връзка с която се смяташе, че терминът "доказателство" няма точно определение. Но ако такова мнение (което продължава и днес) засяга самата математика, тогава те стигат до извода, че доказателството трябва да се приеме не в логико-математическата, а в психологически смисъл. Нещо повече, подобен възглед се среща и при самия Аристотел, който вярва, че да докажеш означава да проведеш разсъждение, което да ни убеди до такава степен, че използвайки го, ние убеждаваме другите в правилността на нещо. Определен нюанс психологически подходнамираме у А. Е. Есенин-Волпин. Той рязко се противопоставя на приемането на истината без доказателство, свързвайки я с акт на вяра и по-нататък пише: „Наричам доказателството на едно съждение честен метод, който прави това съждение неоспоримо“. Есенин-Волпин съобщава, че неговата дефиниция все още трябва да бъде изяснена. В същото време самото характеризиране на доказателствата като „честен метод“ не издава ли призив към морално-психологическа оценка?

В същото време откриването на парадоксите на теорията на множествата и появата на теоремите на Годел само допринесоха за развитието на теорията на математическото доказателство, предприето от интуиционистите, особено от конструктивистката посока, и Д. Хилберт.

Понякога се смята, че едно математическо доказателство е от общ характер и представлява перфектен вариант научно доказателство. Въпреки това, това не е единственият метод; има и други методи на процедури и операции, основани на доказателства. Вярно е само, че математическото доказателство има много общо с формално-логическото доказателство, прилагано в естествените науки, и че математическото доказателство има определени специфики, както и набор от техники-операции. Тук ще спрем, пропускайки общото нещо, което го прави свързано с други форми на доказателства, тоест без да разширяваме алгоритъма, правилата, грешките и т.н. във всички стъпки (дори и основните). процес на доказване.

Математическото доказателство е разсъждение, което има за задача да обоснове истинността (разбира се, в математическия, тоест като изводим смисъл) на едно твърдение.

Наборът от правила, използвани в доказателството, се формира заедно с появата на аксиоматични конструкции математическа теория. Това е осъзнато най-ясно и пълно в геометрията на Евклид. Неговите "Принципи" се превърнаха в един вид модел на стандарт за аксиоматична организация на математическите знания и дълго време останаха такива за математиците.

Твърденията, представени под формата на определена последователност, трябва да гарантират заключение, което при спазване на правилата на логическата операция се счита за доказано. Трябва да се подчертае, че определено разсъждение е доказателство само по отношение на някаква аксиоматична система.

При характеризирането на едно математическо доказателство се разграничават две основни характеристики. На първо място, фактът, че математическото доказателство изключва всякакво позоваване на емпирични доказателства. Цялата процедура за обосноваване на истинността на заключението се извършва в рамките на приетата аксиоматика. Акад. А. Д. Александров подчертава в тази връзка. Можете да измерите ъглите на триъгълник хиляди пъти и да се уверите, че са равни на 2d. Но математиката не доказва нищо. Ще му го докажеш, ако изведеш горното твърдение от аксиомите. Да повторим. Тук математиката се доближава до методите на схоластиката, която също фундаментално отхвърля аргументацията чрез експериментално дадени факти.

Например, когато беше открита несъизмеримостта на сегментите, при доказването на тази теорема, призивът към физически експеримент, тъй като, първо, самата концепция за "несъизмеримост" е лишена физически смисъл, и, второ, математиците, когато се занимават с абстракция, не могат да доведат на помощ реално-конкретни разширения, измерени чрез сетивно-визуално устройство. Несъизмеримостта, по-специално, на страната и диагонала на квадрата, се доказва въз основа на свойството на целите числа с помощта на Питагоровата теорема за равенството на квадрата на хипотенузата (съответно диагонала) на сумата от квадрати на краката (две страни правоъгълен триъгълник). Или когато Лобачевски търси потвърждение за своята геометрия, като се позовава на резултатите астрономически наблюдения, то това потвърждение е извършено от него с чисто спекулативен характер. Интерпретациите на Cayley-Klein и Beltrami на неевклидовата геометрия също включват типично математически, а не физически обекти.

Втората характеристика на математическото доказателство е неговата най-висока абстрактност, по която то се различава от доказателствените процедури в другите науки. И отново, както в случая с концепцията за математически обект, не става дума само за степента на абстракция, а за неговата природа. Факт е, че високо нивоДоказателството достига абстракция в редица други науки, например във физиката, космологията и, разбира се, във философията, тъй като крайните проблеми на битието и мисленето стават предмет на последната. Математиката, от друга страна, се отличава с това, че тук функционират променливи, чийто смисъл е в абстрахиране от всякакви специфични свойства. Спомнете си, че по дефиниция променливите са знаци, които сами по себе си нямат значения и придобиват последното само когато имената на определени обекти са заменени с тях (индивидуални променливи) или когато са посочени специфични свойства и отношения (предикатни променливи), или накрая , в случаите на заместване на променлива със смислено твърдение (пропозиционална променлива).

Отбелязаната особеност определя естеството на изключителната абстрактност на знаците, използвани в математическото доказателство, както и твърденията, които поради включването на променливи в тяхната структура се превръщат в твърдения.

Самата процедура на доказателство, дефинирана в логиката като демонстрация, протича въз основа на правилата за извод, въз основа на които се извършва преходът от едно доказано твърдение към друго, образувайки последователна верига от изводи. Най-разпространени са двете правила (заместване и извеждане на заключения) и теоремата за дедукция.

правило за заместване. В математиката заместването се определя като заместване на всеки от елементите а даден наборнякакъв друг елемент от F ( а) от същия набор. AT математическа логикаправилото за заместване се формулира по следния начин. Ако истинската формула Мв пропозиционалното смятане съдържа буква, да речем А, след което го заменяте, където се появи с произволна буква д, получаваме формула, която също е вярна, като оригиналната. Това е възможно и допустимо именно защото в смятането на съжденията се абстрахира от значението на съжденията (формулите)... Вземат се предвид само стойностите „истина” или „лъжа”. Например във формулата М: А-->(б U А) на място Азаместете израза ( А U б), като резултат получаваме нова формула ( А U б) -->[(б U( А U б) ].

Правилото за извеждане на изводи съответства на структурата на условно категоричния силогизъм modus ponens (утвърдителен модус) в формална логика. Изглежда така:

а-->б

а .

Дадено изявление ( а->б) и все още се дава а. Следователно b.

Например: Ако вали, значи настилката е мокра, вали ( а), следователно настилката е мокра ( b). В математическата логика този силогизъм се записва по следния начин ( а->б) а->б.

Изводът се определя, като правило, чрез отделяне за подразбиране. Ако се има предвид ( а->б) и неговия предходен ( а), тогава имаме право да добавим към разсъжденията (доказателството) и следствието от това импликация ( b). Силогизмът е принудителен, съставляващ арсенал от дедуктивни средства за доказване, тоест напълно отговарящ на изискванията на математическото разсъждение.

Основна роля в математическото доказателство играе теоремата за дедукцията - често срещано имеза редица теореми, чиято процедура позволява да се установи доказуемостта на импликацията: А->Бкогато има логично извеждане на формулата бот формулата А. В най-разпространената версия на пропозиционалното смятане (в класическата, интуиционистката и други видове математика), теоремата за дедукцията гласи следното. Дадена е парцелна система G и парцел А, от който по правилата произлизаме б G, А б(- знак за изводимост), тогава следва, че само от помещенията на G може да се получи изречение А-->Б.

Разгледахме типа, което е пряко доказателство. В същото време в логиката се използват и така наречените косвени доказателства; има непреки доказателства, които се разгръщат по следната схема. Като нямат, поради редица причини (недостъпност на обекта на изследване, загуба на реалността на неговото съществуване и т.н.) възможността да проведат пряко доказателство за истинността на всяко твърдение, теза, те изграждат антитеза. Те са убедени, че антитезата води до противоречия и следователно е невярна. След това, от факта на неистинността на антитезата, те правят - въз основа на закона за изключената среда ( а v ) - извод за истинността на тезата.

В математиката широко се използва една от формите на косвено доказателство - доказателство от противоречие. Той е особено ценен и всъщност незаменим при приемането на фундаментални понятия и положения на математиката, например концепцията за действителната безкрайност, която не може да бъде въведена по друг начин.

Операцията доказателство от противно е представена в математическата логика по следния начин. Дадена е последователност от формули G и отрицание А(G, А). Ако това следва би неговото отрицание (G, A B, не-B), тогава можем да заключим, че последователността от формули G предполага истината А. С други думи, истинността на тезата следва от неистинността на антитезата.

Нека дадем пример за използването на непълна индукция при работа с деца в предучилищна възраст: използване на играта " Чудодейна торбичка» с обемни геометрични форми, излайваме задачата на детето: „Вземете фигурата и я назовете.“ След няколко опита детето прави предположение:

Топка. Топка. Топка. Тук, вероятно, всички топки.

Задача 14

Предложете допълнителни разсъждения, за да проверите истинността (или неистинността) на полученото твърдение.

Невъзможно е да се надцени значението на доказателствата в нашия живот и особено в науката. Всеки прибягва до доказателства, но не винаги се замисля какво означава да „докажеш *“. Практическите умения за доказване и интуитивните идеи за това са достатъчни за много ежедневни цели, но не и за научни.

Да се докаже твърдение означава да се покаже, че това логическо твърдение следва логически от система от верни и свързани твърдения.

Доказателството е логическа операцияобосноваване на истинността на твърдение с помощта на други верни и свързани твърдения.

Има три доказателства структурен елемент:

1) твърдението, което трябва да се докаже;

2) система от верни твърдения, с помощта на които се обосновава истинността на това, което се доказва;

3) логическа връзка между искове. 1 и 2.

Основният метод на математическо доказателство е дедуктивно заключение.

По своята форма доказателство- това е дедуктивно заключение или верига от дедуктивни заключения, водещи от истински предпоставки до доказано твърдение.

При математическото доказателство е важен редът на заключенията. Според начина на провеждане се разграничават преки и косвени доказателства.Преките доказателства включват пълна индукция, която беше обсъдена в раздел 1.6.

Пълна индукция- метод на доказване, при който истинността на едно твърдение следва от неговата истинност във всички специални случаи.

Пълна индукциячесто се използва в игри с деца в предучилищна възраст като: „Назовете го с една дума“.

Пример преки доказателстваказвайки "Сборът на ъглите във всеки четириъгълник е 360°":

„Помислете за произволен четириъгълник. Начертавайки диагонал в него, получаваме 2 триъгълника. Сборът от ъглите на четириъгълника ще бъде равен на сбора от ъглите на двата образувани триъгълника. Тъй като сумата от ъглите във всеки триъгълник е 180°, тогава като съберем 180° и 180°, получаваме сумата от ъглите в два триъгълника, тя ще бъде 360°. Следователно сборът от ъглите във всеки четириъгълник е равен на 360", което трябваше да се докаже.

В горните доказателства могат да се разграничат следните заключения:

1. Ако фигурата е четириъгълник, тогава в нея може да се начертае диагонал, който ще раздели четириъгълника на 2 триъгълника. Тази фигура е четириъгълник. Следователно той може да бъде разделен на 2 триъгълника чрез построяване на диагонал.

2. Във всеки триъгълник сумата от ъглите е равна на ISO. Тези фигури са триъгълници. Следователно сумата от ъглите на всеки от тях е 180 °.

3. Ако един четириъгълник е съставен от два триъгълника, то сборът от неговите ъгли е равен на сбора от ъглите на тези триъгълници. Този четириъгълник е съставен от два триъгълника със сбор от ъгли 180°. 180o+180o=360°. Следователно сборът от ъглите в този четириъгълник е 360°.

Всички горни изводи са направени съгласно правилото за заключение, следователно те са дедуктивни.

Пример за косвено доказателство е доказателство чрез противоречие. AT в този случай позволетече заключението е невярно, следователно неговото отрицание е вярно. След като прикрепите това изречение към съвкупността от истински предпоставки, разсъждението се извършва, докато се получи противоречие.

Нека дадем пример за доказателство чрез противоречие на теоремата: „Ако две линии а и b са успоредни на третата права c, тогава те са успоредни един на друг":

„Да приемем, че директният а и b не са успоредни, то те ще се пресичат в точка A, която не принадлежи на правата c. Тогава получаваме, че през точката A е възможно да се начертаят две прави a и b, успоредни на c. Това противоречи на аксиомата за паралелизма: „През

8. Формулирайте правилата за изрично определяне чрез род и видова разлика.

9. Какво определение се нарича:

контекстуален;

Остензивен?

10. Какво е изявление и какво е формуляр на изявление?

11. Кога изреченията от типа "А и Б", "А или Б", "Не А" са верни и кога са грешни?

12. Избройте кванторите на общото и кванторите на съществуването. Как да задам стойността на истината на изречения с различни квантори?

13. Кога между изреченията има връзка на приемственост и кога връзка на еквивалентност? Как се обозначават?

14. Какво е умозаключение? Какъв вид разсъждения се наричат дедуктивни?

15. Запишете с помощта на символи правилата на заключението, правилото за отрицание, правилото на силогизма.

16. Кои изводи се наричат непълна индукция и кои изводи по аналогия?

17. Какво означава да докажеш твърдение?

18. Какво е математическо доказателство?

19. Дайте определението за пълна индукция.

20. Какво представляват софизмите?

Така основата на математическото доказателство е дедуктивният метод. Доказателството е набор от логически методи за обосноваване на истинността на твърдение с помощта на други верни и свързани твърдения.

Математическото доказателство не е просто набор от изводи, то е изводи, подредени в определен ред.

Доказателствата разграничават преки и непреки.

Преки доказателства.

Пример. Доказваме, че вертикалните ъгли са равни. Ъглите 1 и 2 са съседни, следователно,
Ð 1 + Ð 2 \u003d 180 o. Ъгли 2 и 3 са съседни, следователно Р 2 + Р 3 = 180 o. Имаме: R 1 \u003d 180 o - R 2 R 3 \u003d 180 o - R 2 Þ R 1 \u003d R 2.

2) Метод математическа индукция. Твърдението е вярно за всяко естествено число Пако: важи за П= 1 и от валидността на твърдението за всяко произволно естествено П = кследва неговата справедливост за П = к+ 1. (Повече подробности ще бъдат обсъдени в старши курсове.)

3) Пълна индукция (виж по-рано).

косвени доказателства.

1) Метод от противоречие. Нека е необходимо да се докаже теоремата НО Þ AT. Предполага се, че неговото заключение е невярно и следователно неговото отрицание е вярно. Чрез добавяне на изречението към набора от истински предпоставки, използвани в процеса на доказване (сред които има условие НО), изградете верига от дедуктивни разсъждения, докато се получи твърдение, което противоречи на една от предпоставките. Полученото противоречие доказва теоремата.

Пример. Ако две прави са успоредни на една и съща права, тогава те са успоредни една на друга.

дадени: хúú с, приúú с. Докажи това хúú при.

2) Доказателство, основано на закона за противопоставянето: вместо теорема НО Þ ATдокажете еквивалентна на него теорема. Ако е вярно, тогава оригиналната теорема също е вярна.

Пример. Ако хТогава 2 е четно число х- четен брой.

Доказателство. Нека се преструваме, че хе нечетно число, т.е. х = 2к+ 1 х 2 = (2к + 1) 2 =
= 4к 2 + 4к + 1 = 2(2к 2 + 2к) + 1 е странно.

Какво ще правим с получения материал:

Ако този материал се оказа полезен за вас, можете да го запазите на страницата си в социалните мрежи:

Всички теми в този раздел:

Закони на пропозиционалната алгебра
1. Комутативни закони A Ù B º B Ù A A Ú B º B Ú A 2. Доц.

Понятието набор. Задайте елемент. Празен комплект
Наборът е основна концепция на математиката и следователно не се дефинира от гледна точка на други. Обикновено наборът се разбира като колекция от обекти, обединени според общо основание. Да, може да се каже

Отношения между множества. Графична илюстрация на комплекти
Определение. Ако множествата A и B имат общи елементи, т.е. елементи, които принадлежат едновременно на множества A и B, тогава казваме, че тези множества

Закони за операции върху множества
1. Комутативни закони A Ç B = B Ç A A È B = B È A 2. Асоциативни закони

Броят на елементите на обединението на две и три крайни множества
В математиката често трябва да се решават задачи, в които се изисква да се определи броят на елементите в набор или в обединение или пресичане на множества. Нека се споразумеем за броя на елементите

Поръчана двойка. Декартово произведение на две множества
Разгледайте задачата: с помощта на числата 1, 2, 3 образувайте всички възможни двуцифрени числа. Записът на всяко число се състои от две цифри, като редът на тяхната последователност е значим (h

Кореспонденция едно към едно
Определение. Преобразуване f на множество X към множество Y е такова съответствие между множествата X и Y, в което всеки елемент

Еквивалентни комплекти. Изброими и неизброими множества
Определение. Две множества X и Y са еквивалентни, ако има преобразуване едно към едно на множеството X към множеството Y. (Означено: X ~ Y).

Видове функции
1. Константна функция. Определение. Функцията се нарича константа. дадено от формулата y = b, където b е някакво число.

Обратна функция
Нека функцията y = f(x) дефинира инжективно преобразуване набор от номера X за настройка реални числа R (т.е. различни стойности

Свойства на връзката
Връзка, дефинирана върху множество, може да има редица свойства, а именно: 1. Рефлексивност Определение. Отношение R на множеството X

Отношение на поръчката. Поръчани комплекти
Определение. Отношение R върху множество X се нарича отношение на ред, ако е транзитивно и асиметрично или антисиметрично. Определение. отн

Твърдения с квантори и техните отрицания
Ако е даден предикат, тогава, за да го превърнете в изявление, е достатъчно да замените неговата стойност вместо всяка от променливите, включени в предиката. Например, ако върху множеството от естествени h

Връзката на приемственост и еквивалентност между изреченията. Необходимо и достатъчно условие
Предикатите често се появяват така, че истинността на един от тях предполага истинността на другия. Например, може да се каже, че от предиката A(x): „числото x е кратно на

Структура и видове теореми
Теоремата е твърдение, чиято истинност се установява чрез разсъждение (доказателство). От логическа гледна точка теоремата е твърдение под формата A & T

Определение на понятието. Изисквания към дефинирането на понятието
Появата в математиката на нови понятия, а оттам и на нови термини, обозначаващи тези понятия, предполага тяхното дефиниране. Определение обикновено се нарича изречение, което обяснява същността на нов

Изводи и техните видове
Изводът (разсъждението) е начин за получаване на ново знание въз основа на съществуващо. Изводът се състои от предпоставки и заключение. Парцелите са високи

Схеми на дедуктивно разсъждение
Изводът дава вярно заключение, ако предпоставките са верни и се спазват правилата за извод или, както се наричат още, схемите на дедуктивно разсъждение. Помислете за най

Проверка на правилността на изводите
В логиката има различни начинипроверка на верността на изводите. Един от тях е използването на кръгове на Ойлер. Това заключение първо е написано на теорията на множествата