Правила за решаване на примери с дроби. Как да решаваме примери с дроби - дробни уравнения

Съдържание на урока

Събиране на дроби с еднакви знаменатели

Добавянето на дроби е от два вида:

1. Събиране на дроби с същите знаменатели
2. Събиране на дроби с различни знаменатели

Нека започнем със събиране на дроби с еднакви знаменатели. Тук всичко е просто. За да добавите дроби с еднакви знаменатели, трябва да добавите техните числители и да оставите знаменателя непроменен. Например, нека съберем дробите и . Добавяме числителите и оставяме знаменателя непроменен:

Този пример може лесно да бъде разбран, ако си представим пица, която е разделена на четири части. Ако добавите пица към пица, получавате пица:

Пример 2Добавете дроби и .

Отговорът се оказа не правилна дроб. Ако задачата приключи, тогава неправилни дробиприето да се отървете от. За да се отървете от неправилна дроб, трябва да изберете цялата част в нея. В нашия случай цяла частсе откроява лесно - две делено на две е равно на едно:

Този пример може лесно да бъде разбран, ако си представим пица, която е разделена на две части. Ако добавите още пици към пицата, получавате една цяла пица:

Пример 3. Добавете дроби и .

Отново добавете числителите и оставете знаменателя непроменен:

Този пример може лесно да бъде разбран, ако си представим пица, която е разделена на три части. Ако добавите още пици към пица, получавате пици:

Пример 4Намерете стойността на израз

Този пример се решава точно по същия начин като предишните. Числителите трябва да се добавят, а знаменателят да се остави непроменен:

Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на картина. Ако добавите пици към една пица и добавите още пици, получавате 1 цяла пица и повече пици.

Както можете да видите, събирането на дроби с еднакви знаменатели не е трудно. Достатъчно е да разберете следните правила:

1. За да добавите дроби с еднакъв знаменател, трябва да добавите техните числители и да оставите знаменателя непроменен;

Събиране на дроби с различни знаменатели

Сега ще научим как да събираме дроби с различни знаменатели. Когато събирате дроби, знаменателите на тези дроби трябва да са еднакви. Но те не винаги са еднакви.

Например, дроби могат да се добавят, защото имат еднакви знаменатели.

Но дробите не могат да се добавят веднага, защото тези дроби имат различни знаменатели. В такива случаи дробите трябва да се сведат до един и същи (общ) знаменател.

Има няколко начина за намаляване на дроби до един и същи знаменател. Днес ще разгледаме само един от тях, тъй като останалите методи може да изглеждат сложни за начинаещ.

Същността на този метод се състои в това, че се търси първият (LCM) от знаменателите на двете дроби. Тогава LCM се разделя на знаменателя на първата дроб и се получава първият допълнителен множител. Те правят същото и с втората дроб - LCM се разделя на знаменателя на втората дроб и се получава вторият допълнителен множител.

След това числителите и знаменателите на дробите се умножават по техните допълнителни множители. В резултат на тези действия дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да събираме такива дроби.

Пример 1. Добавете дроби и

Първо, намираме най-малкото общо кратно на знаменателите на двете дроби. Знаменателят на първата дроб е числото 3, а знаменателят на втората дроб е числото 2. Най-малкото общо кратно на тези числа е 6

LCM (2 и 3) = 6

Сега обратно към дробите и . Първо, разделяме LCM на знаменателя на първата дроб и получаваме първия допълнителен фактор. LCM е числото 6, а знаменателят на първата дроб е числото 3. Разделяме 6 на 3, получаваме 2.

Полученото число 2 е първият допълнителен фактор. Записваме го до първата дроб. За да направите това, правим малка наклонена линия над фракцията и записваме намерения допълнителен фактор над нея:

Правим същото с втората фракция. Разделяме LCM на знаменателя на втората дроб и получаваме втория допълнителен множител. LCM е числото 6, а знаменателят на втората дроб е числото 2. Разделяме 6 на 2, получаваме 3.

Полученото число 3 е вторият допълнителен фактор. Записваме го във втората дроб. Отново правим малка наклонена линия над втората фракция и записваме намерения допълнителен фактор над нея:

Сега сме готови да добавим. Остава да умножим числителите и знаменателите на дробите с техните допълнителни фактори:

Погледнете внимателно до какво сме стигнали. Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да събираме такива дроби. Нека завършим този пример до края:

Така примерът завършва. За добавяне се оказва.

Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на картина. Ако добавите пици към пица, получавате една цяла пица и още една шеста от пица:

Намаляването на дроби до един и същи (общ) знаменател може също да бъде изобразено с помощта на картина. Привеждайки дробите и към общ знаменател, получаваме дробите и . Тези две фракции ще бъдат представени от едни и същи парчета пица. Единствената разлика ще бъде, че този път те ще бъдат разделени на равни части (приведени към един знаменател).

Първата рисунка показва дроб (четири части от шест), а втората снимка показва дроб (три части от шест). Събирайки тези части заедно, получаваме (седем части от шест). Тази дроб е неправилна, затова сме подчертали цялата част в нея. Резултатът беше (една цяла пица и още една шеста пица).

Обърнете внимание, че сме нарисували този пример твърде подробно. AT образователни институциине е прието да се пише толкова подробно. Трябва да можете бързо да намерите LCM на двата знаменателя и допълнителните множители към тях, както и бързо да умножите допълнителните множители, намерени от вашите числители и знаменатели. Докато сме в училище, ще трябва да напишем този пример, както следва:

Но също така има задна странамедали. Ако не се правят подробни бележки на първите етапи от изучаването на математика, тогава въпроси от този вид „Откъде идва това число?“, „Защо дробите изведнъж се превръщат в напълно различни дроби? «.

За да улесните добавянето на дроби с различни знаменатели, можете да използвате следните инструкции стъпка по стъпка:

1. Намерете LCM на знаменателите на дробите;
2. Разделете LCM на знаменателя на всяка дроб и получете допълнителен множител за всяка дроб;
3. Умножете числителите и знаменателите на дробите с техните допълнителни множители;
4. Съберете дроби с еднакви знаменатели;
5. Ако отговорът се оказа неправилна дроб, тогава изберете цялата му част;

Пример 2Намерете стойността на израз .

Нека използваме инструкциите по-горе.

Стъпка 1. Намерете LCM на знаменателите на дробите

Намерете LCM на знаменателите на двете дроби. Знаменателите на дробите са числата 2, 3 и 4

Стъпка 2. Разделете LCM на знаменателя на всяка дроб и получете допълнителен множител за всяка дроб

Разделете LCM на знаменателя на първата дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на първата дроб е числото 2. Разделяме 12 на 2, получаваме 6. Получихме първия допълнителен множител 6. Записваме го върху първата дроб:

Сега разделяме LCM на знаменателя на втората дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на втората дроб е числото 3. Разделяме 12 на 3, получаваме 4. Получихме втория допълнителен множител 4. Записваме го върху втората дроб:

Сега разделяме LCM на знаменателя на третата дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на третата дроб е числото 4. Разделяме 12 на 4, получаваме 3. Получаваме третия допълнителен множител 3. Записваме го върху третата дроб:

Стъпка 3. Умножете числителите и знаменателите на дробите по вашите допълнителни множители

Ние умножаваме числителите и знаменателите по нашите допълнителни множители:

Стъпка 4. Добавете дроби с еднакви знаменатели

Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви (общи) знаменатели. Остава да съберем тези дроби. Добавите:

Добавката не се побираше на един ред, така че преместихме оставащия израз на следващия ред. Това е позволено в математиката. Когато израз не се побира на един ред, той се прехвърля на следващия ред, като е необходимо да се постави знак за равенство (=) в края на първия ред и в началото на нов ред. Знакът за равенство на втория ред показва, че това е продължение на израза, който беше на първия ред.

Стъпка 5. Ако отговорът се оказа неправилна дроб, изберете цялата част в нея

Нашият отговор е неправилна дроб. Трябва да отделим цялата му част. Подчертаваме:

Имам отговор

Изваждане на дроби с еднакви знаменатели

Има два вида изваждане на дроби:

1. Изваждане на дроби с еднакви знаменатели
2. Изваждане на дроби с различни знаменатели

Първо, нека научим как да изваждаме дроби с еднакви знаменатели. Тук всичко е просто. За да извадите друга от една дроб, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и да оставите знаменателя същия.

Например, нека намерим стойността на израза. За да решите този пример, е необходимо да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и да оставите знаменателя непроменен. Да го направим:

Този пример може лесно да бъде разбран, ако си представим пица, която е разделена на четири части. Ако режете пици от пица, получавате пици:

Пример 2Намерете стойността на израза.

Отново от числителя на първата дроб извадете числителя на втората дроб и оставете знаменателя непроменен:

Този пример може лесно да бъде разбран, ако си представим пица, която е разделена на три части. Ако режете пици от пица, получавате пици:

Пример 3Намерете стойността на израз

Този пример се решава точно по същия начин като предишните. От числителя на първата дроб трябва да извадите числителите на останалите дроби:

Както можете да видите, няма нищо сложно в изваждането на дроби с еднакви знаменатели. Достатъчно е да разберете следните правила:

1. За да извадите друга от една дроб, трябва да извадите числителя на втората дроб от числителя на първата дроб и да оставите знаменателя непроменен;
2. Ако отговорът се оказа неправилна дроб, тогава трябва да изберете цялата част в нея.

Изваждане на дроби с различни знаменатели

Например, една дроб може да бъде извадена от дроб, тъй като тези дроби имат еднакви знаменатели. Но една дроб не може да бъде извадена от дроб, защото тези дроби имат различни знаменатели. В такива случаи дробите трябва да се сведат до един и същи (общ) знаменател.

Общият знаменател се намира по същия принцип, който използвахме при събиране на дроби с различни знаменатели. Първо, намерете LCM на знаменателите на двете дроби. След това LCM се разделя на знаменателя на първата дроб и се получава първият допълнителен множител, който се записва върху първата дроб. По подобен начин LCM се разделя на знаменателя на втората дроб и се получава втори допълнителен множител, който се записва върху втората дроб.

След това дробите се умножават по техните допълнителни множители. В резултат на тези операции дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да изваждаме такива дроби.

Пример 1Намерете стойността на израз:

Тези дроби имат различни знаменатели, така че трябва да ги приведете към един и същи (общ) знаменател.

Първо, намираме LCM на знаменателите на двете дроби. Знаменателят на първата дроб е числото 3, а знаменателят на втората дроб е числото 4. Най-малкото общо кратно на тези числа е 12

LCM (3 и 4) = 12

Сега обратно към дробите и

Нека намерим допълнителен фактор за първата дроб. За да направим това, разделяме LCM на знаменателя на първата дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на първата дроб е числото 3. Разделяме 12 на 3, получаваме 4. Записваме четирите върху първата дроб:

Правим същото с втората фракция. Разделяме LCM на знаменателя на втората дроб. LCM е числото 12, а знаменателят на втората дроб е числото 4. Разделяме 12 на 4, получаваме 3. Напишете тройка върху втората дроб:

Сега всички сме готови за изваждане. Остава да умножим дробите по техните допълнителни множители:

Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви знаменатели. И вече знаем как да изваждаме такива дроби. Нека завършим този пример до края:

Имам отговор

Нека се опитаме да изобразим нашето решение с помощта на картина. Ако режете пици от пица, получавате пици.

Това е подробната версия на решението. Тъй като сме в училище, ще трябва да решим този пример по по-кратък начин. Такова решение би изглеждало така:

Намаляването на дроби и до общ знаменател също може да бъде изобразено с помощта на картина. Привеждайки тези дроби към общ знаменател, получаваме дробите и . Тези дроби ще бъдат представени от същите парчета пица, но този път те ще бъдат разделени на същите дроби (намалени до същия знаменател):

Първата рисунка показва дроб (осем части от дванадесет), а втората картина показва дроб (три части от дванадесет). Като отрежем три парчета от осем парчета, получаваме пет парчета от дванадесет. Дробта описва тези пет части.

Пример 2Намерете стойността на израз

Тези дроби имат различни знаменатели, така че първо трябва да ги приведете към един и същи (общ) знаменател.

Намерете LCM на знаменателите на тези дроби.

Знаменателите на дробите са числата 10, 3 и 5. Най-малкото общо кратно на тези числа е 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Сега намираме допълнителни множители за всяка дроб. За да направим това, разделяме LCM на знаменателя на всяка дроб.

Нека намерим допълнителен фактор за първата дроб. LCM е числото 30, а знаменателят на първата дроб е числото 10. Разделяме 30 на 10, получаваме първия допълнителен множител 3. Записваме го върху първата дроб:

Сега намираме допълнителен фактор за втората дроб. Разделете LCM на знаменателя на втората дроб. LCM е числото 30, а знаменателят на втората дроб е числото 3. Разделяме 30 на 3, получаваме втория допълнителен множител 10. Записваме го върху втората дроб:

Сега намираме допълнителен фактор за третата дроб. Разделете LCM на знаменателя на третата дроб. LCM е числото 30, а знаменателят на третата дроб е числото 5. Разделяме 30 на 5, получаваме третия допълнителен множител 6. Записваме го върху третата дроб:

Сега всичко е готово за изваждане. Остава да умножим дробите по техните допълнителни множители:

Стигнахме до извода, че дроби с различни знаменатели се превръщат в дроби с еднакви (общи) знаменатели. И вече знаем как да изваждаме такива дроби. Нека завършим този пример.

Продължението на примера няма да се побере на един ред, затова преместваме продължението на следващия ред. Не забравяйте за знака за равенство (=) на новия ред:

Отговорът се оказа правилна дроб и изглежда, че всичко ни подхожда, но е твърде тромаво и грозно. Трябва да го направим по-лесно. Какво може да се направи? Можете да намалите тази фракция.

За да намалите дроб, трябва да разделите числителя и знаменателя на (gcd) числата 20 и 30.

И така, намираме НОД на числата 20 и 30:

Сега се връщаме към нашия пример и разделяме числителя и знаменателя на дробта на намерения НОД, тоест на 10

Имам отговор

Умножение на дроб по число

За да умножите дроб по число, трябва да умножите числителя на дадения дроб по това число и да оставите знаменателя същия.

Пример 1. Умножете дробта по числото 1.

Умножете числителя на дробта по числото 1

Въвеждането може да се разбира като вземане на половин 1 път. Например, ако вземете пица 1 път, ще получите пица

От законите на умножението знаем, че ако множителят и множителят са разменени, тогава произведението няма да се промени. Ако изразът е записан като , тогава произведението пак ще бъде равно на . Отново правилото за умножение на цяло число и дроб работи:

Това влизане може да се разбира като вземане на половината от единицата. Например, ако има 1 цяла пица и вземем половината от нея, тогава ще имаме пица:

Пример 2. Намерете стойността на израз

Умножете числителя на дробта по 4

Отговорът е неправилна дроб. Нека вземем цяла част от него:

Изразът може да се разбира като вземане на две четвърти 4 пъти. Например, ако вземете пици 4 пъти, ще получите две цели пици.

И ако разменим умножаващото и множителя на места, получаваме израза. То също ще бъде равно на 2. Този израз може да се разбира като вземане на две пици от четири цели пици:

Умножение на дроби

За да умножите дроби, трябва да умножите техните числители и знаменатели. Ако отговорът е неправилна дроб, трябва да изберете цялата част в нея.

Пример 1Намерете стойността на израза.

Имам отговор. Желателно е да се намали дадена дроб. Дробта може да се намали с 2. Тогава окончателно решениеще приеме следната форма:

Изразът може да се разбира като вземане на пица от половин пица. Да кажем, че имаме половин пица:

Как да вземем две трети от тази половина? Първо трябва да разделите тази половина на три равни части:

И вземете две от тези три части:

Ще вземем пица. Припомнете си как изглежда пицата, разделена на три части:

Едно парче от тази пица и двете парчета, които взехме, ще имат еднакви размери:

С други думи, говорим сиприблизително същия размер пица. Следователно стойността на израза е

Пример 2. Намерете стойността на израз

Умножете числителя на първата дроб по числителя на втората дроб и знаменателя на първата дроб по знаменателя на втората дроб:

Отговорът е неправилна дроб. Нека вземем цяла част от него:

Пример 3Намерете стойността на израз

Умножете числителя на първата дроб по числителя на втората дроб и знаменателя на първата дроб по знаменателя на втората дроб:

Отговорът се оказа правилна дроб, но ще е добре, ако се намали. За да намалите тази дроб, трябва да разделите числителя и знаменателя на тази дроб на най-голямата общ делител(gcd) числата 105 и 450.

И така, нека намерим НОД на числата 105 и 450:

Сега разделяме числителя и знаменателя на нашия отговор на GCD, който намерихме сега, тоест на 15

Представяне на цяло число като дроб

Всяко цяло число може да бъде представено като дроб. Например числото 5 може да бъде представено като . От това петте няма да променят значението си, тъй като изразът означава „числото пет, разделено на едно“, а това, както знаете, е равно на пет:

Обратни числа

Сега ще се запознаем с интересна темапо математика. Нарича се "обратни числа".

Определение. Обратно на номера е числото, което, когато се умножи поа дава единица.

Нека заместим в това определение вместо променлива аномер 5 и се опитайте да прочетете определението:

Обратно на номер 5 е числото, което, когато се умножи по 5 дава единица.

Възможно ли е да се намери число, което, умножено по 5, дава единица? Оказва се, че можете. Нека представим пет като дроб:

След това умножете тази дроб сама по себе си, просто разменете числителя и знаменателя. С други думи, нека умножим дробта сама по себе си, само обърната:

Какъв ще бъде резултатът от това? Ако продължим да решаваме този пример, получаваме един:

Това означава, че обратното на числото 5 е числото, тъй като когато 5 се умножи по едно, се получава едно.

Реципрочната стойност може да се намери и за всяко друго цяло число.

Можете също да намерите реципрочната стойност за всяка друга дроб. За да направите това, достатъчно е да го обърнете.

Деление на дроб с число

Да кажем, че имаме половин пица:

Нека го разделим поравно между две. Колко пици ще получи всеки?

Вижда се, че след разделянето на половината от пицата се получават две еднакви парчета, всяко от които представлява пица. Така че всеки получава пица.

Разделянето на дроби се извършва с помощта на реципрочни числа. Реципрочните ви позволяват да замените делението с умножение.

За да разделите дроб на число, трябва да умножите този дроб по реципрочната стойност на делителя.

Използвайки това правило, ще запишем разделянето на нашата половина от пица на две части.

И така, трябва да разделите дроба на числото 2. Тук дивидентът е дроб, а делителят е 2.

За да разделите дроб на числото 2, трябва да умножите тази дроб по реципрочната стойност на делителя 2. Реципрочната стойност на делителя 2 е дроб. Така че трябва да умножите по

Действия с дроби. В тази статия ще анализираме примери, всичко е подробно с обяснения. Ще разгледаме обикновените дроби. В бъдеще ще анализираме десетични числа. Препоръчвам да гледате целия и да изучавате последователно.

1. Сбор от дроби, разлика от дроби.

Правило: при събиране на дроби с еднакви знаменатели, резултатът е дроб, чийто знаменател остава същият, а числителят ще бъде е равно на суматачислители на дроби.

Правило: когато изчисляваме разликата на дроби с еднакви знаменатели, получаваме дроб - знаменателят остава същият, а числителят на втората се изважда от числителя на първата дроб.

Формално записване на сумата и разликата на дроби с равни знаменатели:

Примери (1):

Ясно е, че когато са дадени обикновени дроби, тогава всичко е просто, но ако са смесени? Нищо сложно...

Опция 1- можете да ги конвертирате в обикновени и след това да ги изчислите.

Вариант 2- можете отделно да "работите" с целите и дробните части.

Примери (2):

Още:

А ако е дадена разликата на две смесени дроби и числителят на първата дроб е по-малък от числителя на втората? Също така може да се направи по два начина.

Примери (3):

* Преведени в обикновени дроби, изчислена разликата, преобразува получената неправилна дроб в смесена.

* Разделен на цели и дробни части, получи три, след това представи 3 като сбор от 2 и 1, като единицата беше представена като 11/11, след това намери разликата между 11/11 и 7/11 и изчисли резултата. Смисълът на горните трансформации е да вземем (изберем) единицата и да я представим като дроб със знаменателя, от който се нуждаем, след което от тази дроб вече можем да извадим друга.

Друг пример:

Извод: има универсален подход - за да се изчисли сумата (разликата) на смесени дроби с равни знаменатели, те винаги могат да бъдат превърнати в неправилни, след което да се извърши необходимото действие. След това, ако в резултат получим неправилна фракция, ние я превеждаме в смесена.

По-горе разгледахме примери с дроби, които имат равни знаменатели. Ами ако знаменателите се различават? В този случай дробите се свеждат до един и същ знаменател и се извършва определеното действие. За промяна (преобразуване) на дроб се използва основното свойство на дробта.

Помислете за прости примери:

В тези примери веднага виждаме как една от дробите може да се преобразува, за да се получат равни знаменатели.

Ако посочим начини за намаляване на дроби до един знаменател, тогава този ще бъде извикан МЕТОД ПЪРВИ.

Тоест, веднага когато „оценявате“ фракцията, трябва да разберете дали такъв подход ще работи - проверяваме дали по-големият знаменател се дели на по-малкия. И ако е разделено, тогава извършваме трансформацията - умножаваме числителя и знаменателя, така че знаменателите на двете дроби да станат равни.

Сега вижте тези примери:

При тях този подход не важи. Има и други начини за свеждане на дроби до общ знаменател, разгледайте ги.

Метод ВТОРИ.

Умножете числителя и знаменателя на първата дроб по знаменателя на втората и числителя и знаменателя на втората дроб по знаменателя на първата:

*Всъщност ние привеждаме дроби във формата, когато знаменателите станат равни. След това използваме правилото за добавяне на плахи с равни знаменатели.

Пример:

*Този метод може да се нарече универсален и винаги работи. Единственият минус е, че след изчисленията може да се окаже фракция, която ще трябва да бъде допълнително намалена.

Помислете за пример:

Вижда се, че числителят и знаменателят се делят на 5:

Метод ТРЕТИ.

Намерете най-малкото общо кратно (LCM) на знаменателите. Това ще бъде общият знаменател. Какво е това число? Това е най-малкият естествено число, което се дели на всяко от числата.

Вижте, ето две числа: 3 и 4, има много числа, които се делят на тях - това са 12, 24, 36, ... Най-малкото от тях е 12. Или 6 и 15, 30, 60, 90 са делим на тях.... Най-малко 30. Въпрос - как да определим това най-малко общо кратно?

Има ясен алгоритъм, но често това може да стане веднага без изчисления. Например, според горните примери (3 и 4, 6 и 15), не е необходим алгоритъм, ние взехме големи числа (4 и 15), удвоихме ги и видяхме, че те се делят на второто число, но двойки числа могат да бъдат други, като 51 и 119.

Алгоритъм. За да определите най-малкото общо кратно на няколко числа, трябва:

- разгънете всяко от числата в ПРОСТИ умножители

- изпишете разлагането на ПО-ГОЛЕМИТЕ от тях

- умножете го по ЛИПСВАЩИТЕ множители на други числа

Помислете за примери:

50 и 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

в разлагане Повече ▼липсва една петица

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 и 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

в разширяването на по-голям брой липсват две и три

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Най-малко общо кратно на две прости числаравно на техния продукт

Въпрос! И защо е полезно да намерите най-малкото общо кратно, защото можете да използвате втория метод и просто да намалите получената дроб? Да, можете, но не винаги е удобно. Вижте какъв ще бъде знаменателят на числата 48 и 72, ако просто ги умножите 48∙72 = 3456. Съгласете се, че е по-приятно да работите с по-малки числа.

Помислете за примери:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

при разширяването на по-голямо число липсва тройка

=> LCM(51,119) = 3∙7∙17

И сега прилагаме първия метод:

* Вижте разликата в изчисленията, в първия случай има минимум от тях, а във втория трябва да работите отделно върху лист хартия и дори фракцията, която сте получили, трябва да бъде намалена. Намирането на LCM значително опростява работата.

Още примери:

* Във втория пример е ясно, че най-малкото число, което е разделено на 40 и 60 е равно на 120.

ОБЩА СУМА! ОБЩ АЛГОРИТЪМ ЗА ИЗЧИСЛЕНИЕ!

- привеждаме дроби към обикновени, ако има цяло число.

- привеждаме дробите към общ знаменател (първо гледаме дали един знаменател се дели на друг, ако се дели, тогава умножаваме числителя и знаменателя на тази друга дроб; ако не се дели, действаме през другата методи, посочени по-горе).

- като получим дроби с равни знаменатели, извършваме действия (събиране, изваждане).

- ако е необходимо, намаляваме резултата.

- ако е необходимо, изберете цялата част.

2. Произведение от дроби.

Правилото е просто. При умножаване на дроби техните числители и знаменатели се умножават:

Примери:

Задача. В базата са докарани 13 тона зеленчуци. Картофите съставляват ¾ от всички вносни зеленчуци. Колко килограма картофи бяха докарани в базата?

Да приключваме с работата.

*По-рано ви обещах да дам официално обяснение на основното свойство на дробта чрез продукта, моля:

3. Деление на дроби.

Разделянето на дроби се свежда до тяхното умножение. Тук е важно да запомните, че дробта, която е делител (тази, която е разделена на), се обръща и действието се променя на умножение:

Това действие може да се запише като така наречената четиристепенна дроб, тъй като самото деление „:“ също може да бъде записано като дроб:

Примери:

Това е всичко! Късмет!

С уважение, Александър Крутицких.

Числителят и това, на което се разделя, е знаменателят.

За да напишете дроб, първо напишете нейния числител, след това начертайте хоризонтална линия под това число и напишете знаменателя под чертата. Хоризонталната линия, разделяща числителя и знаменателя, се нарича дробна черта. Понякога се изобразява като наклонен "/" или "∕". В този случай числителят се записва отляво на реда, а знаменателят отдясно. Така например частта "две трети" ще бъде написана като 2/3. За по-голяма яснота числителят обикновено се записва в горната част на реда, а знаменателят в долната част, т.е. вместо 2/3 можете да намерите: ⅔.

За да изчислите произведението на дроби, първо умножете числителя на едно дробикъм друг числител. Запишете резултата в числителя на новия дроби. След това умножете и знаменателите. Посочете крайната стойност в новия дроби. Например 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

За да разделите една дроб на друга, първо умножете числителя на първата по знаменателя на втората. Направете същото с втората дроб (делител). Или, преди да изпълните всички стъпки, първо „обърнете“ делителя, ако ви е по-удобно: знаменателят трябва да е на мястото на числителя. След това умножете знаменателя на дивидента по новия знаменател на делителя и умножете числителите. Например 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).

източници:

• Основни задачи за дроби

Дробните числа ви позволяват да изразите точната стойност на дадено количество по различни начини. Можете да направите същото с дроби. математически операции, както при цели числа: изваждане, събиране, умножение и деление. Да се ​​научиш да решаваш дроби, е необходимо да запомните някои от техните характеристики. Те зависят от вида дроби, наличието на цяла част, общ знаменател. някои аритметични операциислед изпълнение изискват намаляване на дробната част от резултата.

Ще имаш нужда

• - калкулатор

Инструкция

Погледнете внимателно числата. Ако сред дробите има десетични и неправилни знаци, понякога е по-удобно първо да извършите действия с десетични знаци и след това да ги преобразувате в грешна форма. Можеш ли да преведеш дробив тази форма първоначално, записвайки стойността след десетичната запетая в числителя и поставяйки 10 в знаменателя. Ако е необходимо, намалете дроба, като разделите числата отгоре и отдолу на един делител. Дробите, в които цялата част се откроява, водят до грешна форма, като я умножите по знаменателя и добавите числителя към резултата. Дадени стойностище стане новият числител дроби. Да се ​​извлече цялата част от първоначално неправилното дроби, разделете числителя на знаменателя. Напишете целия резултат от дроби. И остатъкът от деленето става новият числител, знаменателят дробидокато не се променя. За дроби с цяла част е възможно да се извършват действия поотделно, първо за целите, а след това за дробните части. Например сумата от 1 2/3 и 2 ¾ може да се изчисли:
- Преобразуване на дроби в грешна форма:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Сумиране поотделно на цели и дробни части на членовете:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Препишете ги през разделителя ":" и продължете обичайното разделяне.

За да получите крайния резултат, намалете получената дроб, като разделите числителя и знаменателя на едно цяло число, възможно най-голямото в този случай. В този случай трябва да има цели числа над и под линията.

Забележка

Не правете аритметика с дроби, които имат различни знаменатели. Изберете такова число, че когато числителят и знаменателят на всяка дроб се умножат по него, в резултат на това знаменателите на двете дроби да са равни.

Полезни съвети

При запис дробни числадивидентът е изписан над линията. Това количество се нарича числител на дроб. Под чертата е изписан делителя или знаменателя на дробта. Например един и половина килограма ориз под формата на дроб ще бъде написан по следния начин: 1 ½ кг ориз. Ако знаменателят на една дроб е 10, тя се нарича десетична дроб. В този случай числителят (дивидентът) се записва вдясно от цялата част, разделена със запетая: 1,5 кг ориз. За удобство на изчисленията такава дроб винаги може да бъде записана грешен начин: 1 2/10 кг картофи. За да опростите, можете да намалите стойностите на числителя и знаменателя, като ги разделите на едно цяло число. AT този примервъзможно е деление на 2. Резултатът ще бъде 1 1/5 кг картофи. Уверете се, че числата, с които ще правите аритметика, са в една и съща форма.

За да изразите част като дроб от цялото, трябва да разделите частта на цялото.

Задача 1.В класа има 30 ученици, четирима липсват. Каква част от учениците липсват?

Решение:

Отговор:няма ученици в класа.

Намиране на дроб от число

За решаване на задачи, в които се изисква намиране на част от цяло, е вярно следното правило:

Ако част от цялото е изразена като дроб, тогава, за да намерите тази част, можете да разделите цялото на знаменателя на дробта и да умножите резултата по нейния числител.

Задача 1.Имаше 600 рубли, тази сума беше изразходвана. Колко пари сте похарчили?

Решение:за да намерите от 600 рубли, трябва да разделите тази сума на 4 части, като по този начин ще разберем колко пари са една четвърт:

600: 4 = 150 (стр.)

Отговор:похарчени 150 рубли.

Задача 2.Беше 1000 рубли, тази сума беше изразходвана. Колко пари са похарчени?

Решение:от условието на проблема знаем, че 1000 рубли се състоят от пет равни части. Първо намираме колко рубли са една пета от 1000, а след това откриваме колко рубли са две пети:

1) 1000: 5 = 200 (стр.) - една пета.

2) 200 2 \u003d 400 (p.) - две пети.

Тези две действия могат да се комбинират: 1000: 5 2 = 400 (p.).

Отговор:Бяха похарчени 400 рубли.

Вторият начин за намиране на част от цяло:

За да намерите част от цяло, можете да умножите цялото по дроб, изразяващ тази част от цялото.

Задача 3.Съгласно устава на кооперацията, за валидността на отчетното събрание трябва да присъстват най-малко членове на организацията. Кооперацията има 120 членове. В какъв състав може да се проведе отчетното събрание?

Решение:

Отговор:отчетното събрание може да се проведе, ако има 80 членове на организацията.

Намиране на число чрез неговата дроб

За решаване на задачи, в които се изисква да се намери цялото по част, е вярно следното правило:

Ако частта от желаното цяло число е изразена като дроб, тогава можете да намерите това цяло число тази частРазделете дробта на числителя и умножете резултата по знаменателя.

Задача 1.Похарчихме 50 рубли, това беше първоначалната сума. Намерете първоначалната сума пари.

Решение:от описанието на проблема виждаме, че 50 рубли е 6 пъти по-малко от първоначалната сума, т.е. първоначалната сума е 6 пъти повече от 50 рубли. За да намерите тази сума, трябва да умножите 50 по 6:

50 6 = 300 (р.)

Отговор:първоначалната сума е 300 рубли.

Задача 2.Похарчихме 600 рубли, това беше първоначалната сума пари. Намерете първоначалната сума.

Решение:ще приемем, че желаното число се състои от три трети. По условие две трети от броя са равни на 600 рубли. Първо намираме една трета от първоначалната сума и след това колко рубли са три трети (първоначална сума):

1) 600: 2 3 = 900 (стр.)

Отговор:първоначалната сума е 900 рубли.

Вторият начин за намиране на цялото по част от него:

За да намерите цяло по стойността на неговата част, можете да разделите тази стойност на дроб, който изразява тази част.

Задача 3.Линеен сегмент AB, равно на 42 cm, е дължината на отсечката CD. Намерете дължината на отсечка CD.

Решение:

Отговор:дължина на сегмента CD 70 см

Задача 4.В магазина донесоха дини. Преди обяд магазинът продаде, след обяд - донесе дини и остава да продаде 80 дини. Колко дини са донесени общо в магазина?

Решение:първо откриваме каква част от внесените дини е числото 80. За да направим това, вземаме общия брой внесени дини като единица и изваждаме от него броя дини, които успяхме да продадем (продадем):

И така, научихме, че 80 дини са от обща сумавносни дини. Сега ще разберем колко са дините от общото количество и след това колко са дините (броят на донесените дини):

2) 80: 4 15 = 300 (дини)

Отговор:общо в магазина бяха докарани 300 дини.

) и знаменателят по знаменателя (получаваме знаменателя на произведението).

Формула за умножение на дроби:

Например:

Преди да продължите с умножението на числители и знаменатели, е необходимо да проверите възможността за намаляване на дробите. Ако успеете да намалите фракцията, тогава ще ви бъде по-лесно да продължите да правите изчисления.

Деление на обикновена дроб на дроб.

Деление на дроби с естествено число.

Не е толкова страшно, колкото изглежда. Както в случая със събирането, ние преобразуваме цяло число в дроб с единица в знаменателя. Например:

Умножение на смесени дроби.

Правила за умножение на дроби (смесени):

• преобразуване на смесени дроби в неправилни;
• умножават числителите и знаменателите на дробите;
• намаляваме фракцията;
• ако получим неправилна дроб, тогава превръщаме неправилната дроб в смесена.

Забележка!Да се ​​размножава смесена фракциякъм друга смесена дроб, първо трябва да ги приведете във формата на неправилни дроби и след това да умножите според правилото за умножение за обикновени дроби.

Вторият начин за умножаване на дроб с естествено число.

По-удобно е да използвате втория метод за умножаване на обикновена дроб с число.

Забележка!За да умножите дроб по естествено число, е необходимо да разделите знаменателя на дроба на това число и да оставите числителя непроменен.

От горния пример става ясно, че тази опция е по-удобна за използване, когато знаменателят на дроб е разделен без остатък на естествено число.

Многостепенни дроби.

В гимназията често се срещат триетажни (или повече) фракции. Пример:

За да се приведе такава фракция в обичайната й форма, се използва разделяне на 2 точки:

Забележка!При разделяне на дроби редът на делене е много важен. Бъдете внимателни, тук е лесно да се объркате.

Забележка, например:

Когато разделяте едно на която и да е дроб, резултатът ще бъде същата дроб, само обърната:

Практически съвети за умножение и деление на дроби:

1. Най-важното при работата с дробни изрази е точността и вниманието. Правете всички изчисления внимателно и точно, съсредоточено и ясно. По-добре е да напишете няколко допълнителни реда в чернова, отколкото да се объркате в изчисленията в главата си.

2. В задачи със различни видоведроби - преминават към формата на обикновени дроби.

3. Намаляваме всички дроби, докато вече не е възможно да се намали.

4. Многоетажна дробни изразипривеждаме във формата на обикновени, като използваме разделяне на 2 точки.

5. Разделяме единицата на дроб в ума си, просто като обърнем дробта.