Правилото за решаване на прости уравнения. От моята практика

Когато работим с различни изрази, включително числа, букви и променливи, трябва да извършим голям брой аритметични операции. Когато правим трансформация или изчисляваме стойност, е много важно да следваме правилния ред на тези действия. С други думи, аритметичните операции имат свой собствен специален ред на изпълнение.

Yandex.RTB R-A-339285-1

В тази статия ще ви кажем какви действия трябва да направите първо и кои след това. Първо, нека разгледаме няколко прости израза, които съдържат само променливи или числови стойности, както и знаци за деление, умножение, изваждане и събиране. След това ще вземем примери със скоби и ще обмислим в какъв ред трябва да бъдат оценени. В третата част ще дадем правилния ред на трансформациите и изчисленията в онези примери, които включват знаците за корени, степени и други функции.

Определение 1

В случай на изрази без скоби редът на действията се определя недвусмислено:

1. Всички действия се извършват отляво надясно.
2. На първо място извършваме деление и умножение, а на второ място изваждане и събиране.

Значението на тези правила е лесно за разбиране. Традиционният ред на писане отляво надясно определя основната последователност от изчисления, а необходимостта първо да се извърши умножение или деление се обяснява със самата същност на тези операции.

Нека вземем няколко задачи за яснота. Използвали сме само най-простите числови изрази, така че всички изчисления да могат да се правят наум. Така можете бързо да запомните желаната поръчка и бързо да проверите резултатите.

Пример 1

Състояние:изчислете колко 7 − 3 + 6 .

Решение

В нашия израз няма скоби, умножението и делението също липсват, така че извършваме всички действия в посочения ред. Първо извадете три от седем, след това добавете шест към остатъка и в резултат получаваме десет. Ето запис на цялото решение:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Отговор: 7 − 3 + 6 = 10 .

Пример 2

Състояние:в какъв ред трябва да се извършват изчисленията в израза 6:2 8:3?

Решение

За да отговорим на този въпрос, препрочитаме правилото за изрази без скоби, което формулирахме по-рано. Тук имаме само умножение и деление, което означава, че запазваме писмения ред на изчисленията и броим последователно отляво надясно.

Отговор:първо, разделяме шест на две, умножаваме резултата по осем и разделяме полученото число на три.

Пример 3

Състояние:пресметнете колко ще бъде 17 − 5 6 : 3 − 2 + 4 : 2.

Решение

Първо, нека определим правилния ред на операциите, тъй като тук имаме всички основни видове аритметични операции - събиране, изваждане, умножение, деление. Първото нещо, което трябва да направим, е да разделим и умножим. Тези действия нямат приоритет едно пред друго, затова ги извършваме в писмената последователност от дясно на ляво. Тоест 5 трябва да се умножи по 6 и да се получи 30, след това 30 да се раздели на 3 и да се получи 10. След това разделяме 4 на 2, това е 2. Заместете намерените стойности в оригиналния израз:

17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 17 - 10 - 2 + 2

Тук няма деление или умножение, така че правим останалите изчисления по ред и получаваме отговора:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Отговор:17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 7.

Докато редът на извършване на действия не бъде твърдо научен, можете да поставите числа върху знаците на аритметичните операции, посочвайки реда на изчисление. Например, за проблема по-горе, можем да го напишем така:

Ако имаме буквени изрази, тогава правим същото с тях: първо умножаваме и делим, след това събираме и изваждаме.

Какви са стъпки едно и две

Понякога в справочниците всички аритметични операции се разделят на операции от първия и втория етап. Нека формулираме исканото определение.

Операциите на първия етап включват изваждане и събиране, вторият - умножение и деление.

Познавайки тези имена, можем да напишем даденото по-рано правило относно реда на действията, както следва:

Определение 2

В израз, който не съдържа скоби, първо изпълнете действията от втората стъпка в посока отляво надясно, след това действията от първата стъпка (в същата посока).

Ред на оценяване в изрази със скоби

Самите скоби са знак, който ни казва желания ред, в който да извършваме действия. В този случай желаното правило може да бъде написано по следния начин:

Определение 3

Ако в израза има скоби, тогава първо се извършва действието в тях, след което умножаваме и делим, а след това събираме и изваждаме в посока отляво надясно.

Що се отнася до самия израз в скоби, той може да се разглежда като компонент на основния израз. Когато изчисляваме стойността на израза в скоби, запазваме същата процедура, която ни е известна. Нека илюстрираме нашата идея с пример.

Пример 4

Състояние:изчислете колко 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2.

Решение

Този израз има скоби, така че нека започнем с тях. Първо, нека изчислим колко ще бъде 7 − 2 · 3. Тук трябва да умножим 2 по 3 и да извадим резултата от 7:

7 − 2 3 = 7 − 6 = 1

Разглеждаме резултата във вторите скоби. Там имаме само едно действие: 6 − 4 = 2 .

Сега трябва да заменим получените стойности в оригиналния израз:

5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 5 + 1 2: 2

Нека започнем с умножение и деление, след това изваждаме и получаваме:

5 + 1 2:2 = 5 + 2:2 = 5 + 1 = 6

Това завършва изчисленията.

Отговор: 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 6.

Не се тревожете, ако условието съдържа израз, в който някои скоби затварят други. Трябва само да прилагаме правилото по-горе последователно към всички изрази в скоби. Да вземем тази задача.

Пример 5

Състояние:изчислете колко 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).

Решение

Имаме скоби в скоби. Започваме с 3 + 1 + 4 (2 + 3) , а именно 2 + 3 . Ще бъде 5 . Стойността ще трябва да се замести в израза и да се изчисли, че 3 + 1 + 4 5 . Помним, че първо трябва да умножим и след това да добавим: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. Замествайки намерените стойности в оригиналния израз, изчисляваме отговора: 4 + 24 = 28 .

Отговор: 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)) = 28.

С други думи, когато оценяваме стойността на израз, включващ скоби в скоби, ние започваме с вътрешните скоби и преминаваме към външните.

Да кажем, че трябва да намерим колко ще бъде (4 + (4 + (4 - 6: 2)) - 1) - 1. Започваме с израза във вътрешните скоби. Тъй като 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 , оригиналният израз може да бъде записан като (4 + (4 + 1) − 1) − 1 . Отново се обръщаме към вътрешните скоби: 4 + 1 = 5 . Стигнахме до израза (4 + 5 − 1) − 1 . Ние вярваме 4 + 5 − 1 = 8 и в резултат на това получаваме разликата 8 - 1, резултатът от която ще бъде 7.

Редът на изчисление в изрази със степени, корени, логаритми и други функции

Ако имаме израз в условието със степен, корен, логаритъм или тригонометрична функция (синус, косинус, тангенс и котангенс) или други функции, тогава първо изчисляваме стойността на функцията. След това действаме съгласно правилата, посочени в предходните параграфи. С други думи, функциите са равни по важност на израза, ограден в скоби.

Нека да разгледаме пример за такова изчисление.

Пример 6

Състояние:намерете колко ще бъде (3 + 1) 2 + 6 2: 3 - 7 .

Решение

Имаме израз със степен, чиято стойност първо трябва да се намери. Ние считаме: 6 2 \u003d 36. Сега заместваме резултата в израза, след което той ще приеме формата (3 + 1) 2 + 36: 3 − 7 .

(3 + 1) 2 + 36: 3 - 7 = 4 2 + 36: 3 - 7 = 8 + 12 - 7 = 13

Отговор: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 − 7 = 13.

В отделна статия, посветена на изчисляването на стойностите на изразите, предоставяме други, по-сложни примери за изчисления в случай на изрази с корени, степени и т.н. Препоръчваме ви да се запознаете с него.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

В този урок подробно се разглежда процедурата за извършване на аритметични действия в изрази без скоби и със скоби. Учениците имат възможност в хода на изпълнение на заданията да определят зависи ли значението на изразите от реда, в който се извършват аритметичните операции, да открият различен ли е редът на аритметичните действия в изрази без скоби и със скоби, да практикуват да прилагат наученото правило, да откриват и коригират грешки, допуснати при определяне на реда на действията.

В живота ние постоянно извършваме някакво действие: ходим, учим, четем, пишем, броим, усмихваме се, караме се и се сдобряваме. Изпълняваме тези стъпки в различен ред. Понякога могат да се разменят, понякога не. Например, отивайки на училище сутрин, можете първо да правите упражнения, след това да оправите леглото или обратното. Но не можете първо да отидете на училище и тогава да се обличате.

А в математиката необходимо ли е аритметичните действия да се извършват в определен ред?

Да проверим

Нека сравним изразите:
8-3+4 и 8-3+4

Виждаме, че и двата израза са абсолютно еднакви.

Нека изпълним действия в един израз отляво надясно, а в друг от дясно наляво. Числата могат да показват реда, в който се извършват действията (фиг. 1).

Ориз. 1. Процедура

В първия израз първо ще извършим операцията за изваждане и след това ще добавим числото 4 към резултата.

Във втория израз първо намираме стойността на сумата и след това изваждаме резултата 7 от 8.

Виждаме, че стойностите на изразите са различни.

Нека заключим: Редът, в който се извършват аритметичните операции, не може да се променя..

Нека научим правилото за извършване на аритметични операции в изрази без скоби.

Ако изразът без скоби включва само събиране и изваждане или само умножение и деление, тогава действията се извършват в реда, в който са записани.

Да се ​​упражняваме.

Помислете за израза

Този израз има само операции събиране и изваждане. Тези действия се наричат първи стъпки действия.

Извършваме действия отляво надясно по ред (фиг. 2).

Ориз. 2. Процедура

Разгледайте втория израз

В този израз има само операции на умножение и деление - Това са действията от втората стъпка.

Извършваме действия отляво надясно по ред (фиг. 3).

Ориз. 3. Процедура

В какъв ред се извършват аритметичните операции, ако изразът съдържа не само събиране и изваждане, но и умножение и деление?

Ако изразът без скоби включва не само събиране и изваждане, но и умножение и деление, или и двете от тези операции, тогава първо извършете умножение и деление в ред (отляво надясно), а след това събиране и изваждане.

Помислете за израз.

Разсъждаваме така. Този израз съдържа операциите събиране и изваждане, умножение и деление. Ние действаме според правилото. Първо извършваме по ред (отляво надясно) умножение и деление, а след това събиране и изваждане. Нека изложим процедурата.

Нека изчислим стойността на израза.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

В какъв ред се извършват аритметичните операции, ако изразът съдържа скоби?

Ако изразът съдържа скоби, първо се изчислява стойността на изразите в скобите.

Помислете за израз.

30 + 6 * (13 - 9)

Виждаме, че в този израз има действие в скоби, което означава, че първо ще извършим това действие, след това по ред умножение и събиране. Нека изложим процедурата.

30 + 6 * (13 - 9)

Нека изчислим стойността на израза.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Как трябва да се разсъждава, за да се установи правилно редът на аритметичните операции в числов израз?

Преди да продължите с изчисленията, е необходимо да разгледате израза (разберете дали съдържа скоби, какви действия има) и едва след това изпълнете действията в следния ред:

1. действия, изписани в скоби;

2. умножение и деление;

3. събиране и изваждане.

Диаграмата ще ви помогне да запомните това просто правило (фиг. 4).

Ориз. 4. Процедура

Да се ​​упражняваме.

Разгледайте изразите, установете реда на операциите и направете изчисленията.

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

Нека спазваме правилата. Изразът 43 - (20 - 7) +15 има операции в скоби, както и операции събиране и изваждане. Да определим курса на действие. Първата стъпка е да извършите действието в скоби, а след това в ред отляво надясно, изваждане и събиране.

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

Изразът 32 + 9 * (19 - 16) има операции в скоби, както и операции на умножение и събиране. Според правилото първо извършваме действието в скоби, след това умножение (числото 9 се умножава по резултата, получен чрез изваждане) и събиране.

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

В израза 2*9-18:3 няма скоби, но има операции умножение, деление и изваждане. Ние действаме според правилото. Първо извършваме умножение и деление отляво надясно, а след това от резултата, получен чрез умножение, изваждаме резултата, получен чрез деление. Тоест първото действие е умножение, второто е деление, а третото е изваждане.

2*9-18:3=18-6=12

Нека разберем дали редът на действията в следните изрази е дефиниран правилно.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

Разсъждаваме така.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

В този израз няма скоби, което означава, че първо извършваме умножение или деление отляво надясно, след това събиране или изваждане. В този израз първото действие е деление, второто е умножение. Третото действие трябва да бъде събиране, четвъртото - изваждане. Заключение: редът на действията е определен правилно.

Намерете стойността на този израз.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Продължаваме да спорим.

Вторият израз съдържа скоби, което означава, че първо извършваме действието в скоби, след това отляво надясно умножение или деление, събиране или изваждане. Проверяваме: първото действие е в скоби, второто е деление, третото е събиране. Заключение: редът на действията е определен неправилно. Поправете грешките, намерете стойността на израза.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

Този израз също съдържа скоби, което означава, че първо извършваме действието в скоби, след това отляво надясно умножение или деление, събиране или изваждане. Проверяваме: първото действие е в скоби, второто е умножение, третото е изваждане. Заключение: редът на действията е определен неправилно. Поправете грешките, намерете стойността на израза.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Да изпълним задачата.

Нека подредим реда на действията в израза с помощта на изученото правило (фиг. 5).

Ориз. 5. Процедура

Не виждаме числови стойности, така че няма да можем да намерим значението на изразите, но ще се упражняваме да прилагаме наученото правило.

Ние действаме според алгоритъма.

Първият израз има скоби, така че първото действие е в скоби. След това отляво надясно умножение и деление, след това отляво надясно изваждане и събиране.

Вторият израз също съдържа скоби, което означава, че извършваме първото действие в скоби. След това отляво надясно умножение и деление, след това изваждане.

Нека се проверим (фиг. 6).

Ориз. 6. Процедура

Днес в урока се запознахме с правилото за реда на изпълнение на действията в изрази без скоби и със скоби.

Библиография

1. M.I. Моро, М.А. Бантова и др.Математика: Учебник. 3 клас: в 2 части, част 1. - М .: "Просвещение", 2012 г.
2. M.I. Моро, М.А. Бантова и др.Математика: Учебник. 3 клас: в 2 части, част 2. - М .: "Просвещение", 2012 г.
3. M.I. Моро. Уроци по математика: Насоки за учители. 3 клас - М.: Образование, 2012.
4. Нормативен документ. Мониторинг и оценка на резултатите от обучението. - М.: "Просвещение", 2011 г.
5. "Училище на Русия": Програми за начално училище. - М.: "Просвещение", 2011 г.
6. С.И. Волков. Математика: Тестова работа. 3 клас - М.: Образование, 2012.
7. В.Н. Рудницкая. Тестове. - М.: "Изпит", 2012 г.

1. Festival.1september.ru ().
2. Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
3. Openclass.ru ().

Домашна работа

1. Определете реда на действията в тези изрази. Намерете значението на изразите.

2. Определете в кой израз се изпълнява този ред от действия:

1. умножение; 2. деление;. 3. допълнение; 4. изваждане; 5. допълнение. Намерете стойността на този израз.

3. Съставете три израза, в които се изпълнява следният ред от действия:

1. умножение; 2. допълнение; 3. изваждане

1. допълнение; 2. изваждане; 3. допълнение

1. умножение; 2. разделяне; 3. допълнение

Намерете значението на тези изрази.

И когато изчислявате стойностите на изразите, действията се извършват в определен ред, с други думи, трябва да спазвате ред на действията.

В тази статия ще разберем кои действия трябва да се извършат първо и кои след тях. Нека започнем с най-простите случаи, когато изразът съдържа само числа или променливи, свързани с плюс, минус, умножение и деление. След това ще обясним какъв ред на изпълнение на действията трябва да се спазва в изразите със скоби. И накрая, разгледайте последователността, в която се изпълняват действията в изрази, съдържащи степени, корени и други функции.

Навигация в страницата.

Първо умножение и деление, след това събиране и изваждане

Училището предоставя следното правило, което определя реда, в който се изпълняват действията в изрази без скоби:

• действията се извършват в ред отляво надясно,
• където първо се извършват умножение и деление, а след това събиране и изваждане.

Посоченото правило се възприема съвсем естествено. Извършването на действия в ред отляво надясно се обяснява с факта, че е обичайно да водим записи отляво надясно. А фактът, че умножението и делението се извършват преди събирането и изваждането, се обяснява със смисъла, който тези действия носят в себе си.

Нека да разгледаме няколко примера за прилагането на това правило. За примери ще вземем най-простите числени изрази, за да не се разсейваме от изчисления, а да се съсредоточим върху реда, в който се извършват действията.

Пример.

Следвайте стъпки 7−3+6.

Решение.

Оригиналният израз не съдържа скоби, нито умножение и деление. Следователно трябва да извършим всички действия в ред отляво надясно, тоест първо изваждаме 3 от 7, получаваме 4, след което добавяме 6 към получената разлика 4, получаваме 10.

Накратко решението може да се напише по следния начин: 7−3+6=4+6=10 .

Отговор:

7−3+6=10 .

Пример.

Посочете реда, в който се извършват действията в израза 6:2·8:3 .

Решение.

За да отговорим на въпроса за проблема, нека се обърнем към правилото, което показва реда, в който се извършват действията в изрази без скоби. Оригиналният израз съдържа само операциите умножение и деление и според правилото те трябва да се изпълняват в ред отляво надясно.

Отговор:

Първо 6 делено на 2, това частно се умножава по 8, накрая резултатът се дели на 3.

Пример.

Изчислете стойността на израза 17−5·6:3−2+4:2 .

Решение.

Първо, нека определим в какъв ред трябва да се изпълняват действията в оригиналния израз. Включва както умножение, така и деление, събиране и изваждане. Първо, отляво надясно, трябва да извършите умножение и деление. Така че умножаваме 5 по 6, получаваме 30, разделяме това число на 3, получаваме 10. Сега разделяме 4 на 2, получаваме 2. Заместваме намерената стойност 10 вместо 5 6:3 в оригиналния израз и стойността 2 вместо 4:2, имаме 17−5 6:3−2+4:2=17−10−2+2.

В получения израз няма умножение и деление, така че остава да изпълним останалите действия в ред отляво надясно: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .

Отговор:

17−5 6:3−2+4:2=7 .

Първоначално, за да не се обърка редът на извършване на действия при изчисляване на стойността на израз, е удобно да се поставят числа над знаците на действията, съответстващи на реда, в който се извършват. За предишния пример ще изглежда така: .

Същият ред на операциите - първо умножение и деление, след това събиране и изваждане - трябва да се следват при работа с буквени изрази.

Стъпки 1 и 2

В някои учебници по математика аритметичните операции се разделят на операции от първа и втора стъпка. Нека се справим с това.

Определение.

Първи стъпкисе наричат ​​събиране и изваждане, а умножение и деление действия от втора стъпка.

В тези условия правилото от предходния параграф, което определя реда, в който се извършват действията, ще бъде написано, както следва: ако изразът не съдържа скоби, тогава в ред отляво надясно, действията от втория етап ( първо се извършват умножение и деление, след това действията от първия етап (събиране и изваждане).

Ред на изпълнение на аритметични операции в изрази със скоби

Изразите често съдържат скоби, за да укажат реда, в който действията трябва да бъдат изпълнени. В такъв случай правило, което определя реда, в който се изпълняват действията в изрази със скоби, се формулира по следния начин: първо се изпълняват действията в скоби, докато умножението и делението също се извършват в ред отляво надясно, след това събиране и изваждане.

Така изразите в скоби се считат за компоненти на оригиналния израз и редът на вече известните ни действия се запазва в тях. Разгледайте решенията на примерите за по-голяма яснота.

Пример.

Изпълнете дадените стъпки 5+(7−2 3) (6−4):2 .

Решение.

Изразът съдържа скоби, така че нека първо изпълним операциите в изразите, затворени в тези скоби. Нека започнем с израза 7−2 3 . В него първо трябва да извършите умножението и едва след това изваждането, имаме 7−2 3=7−6=1 . Преминаваме към втория израз в скоби 6−4 . Тук има само едно действие - изваждане, изпълняваме го 6−4=2 .

Заместваме получените стойности в оригиналния израз: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2. В получения израз първо извършваме умножение и деление отляво надясно, след това изваждане, получаваме 5+1 2:2=5+2:2=5+1=6 . С това всички действия са завършени, придържахме се към следния ред на тяхното изпълнение: 5+(7−2 3) (6−4):2 .

Нека напишем кратко решение: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2=5+1=6.

Отговор:

5+(7−2 3)(6−4):2=6 .

Случва се израз да съдържа скоби в скоби. Не трябва да се страхувате от това, просто трябва последователно да прилагате изразеното правило за извършване на действия в изрази със скоби. Нека покажем примерно решение.

Пример.

Изпълнете действията в израза 4+(3+1+4·(2+3)) .

Решение.

Това е израз със скоби, което означава, че изпълнението на действията трябва да започне с израза в скоби, тоест с 3+1+4 (2+3) . Този израз също съдържа скоби, така че първо трябва да извършите действия в тях. Нека направим това: 2+3=5 . Като заместим намерената стойност, получаваме 3+1+4 5 . В този израз първо извършваме умножение, след това събиране, имаме 3+1+4 5=3+1+20=24 . Първоначалната стойност, след заместването на тази стойност, приема формата 4+24 , и остава само да изпълните действията: 4+24=28 .

Отговор:

4+(3+1+4 (2+3))=28 .

Като цяло, когато в израз присъстват скоби в скоби, често е удобно да започнете с вътрешните скоби и да стигнете до външните.

Например, да кажем, че трябва да извършим операции в израза (4+(4+(4−6:2))−1)−1 . Първо извършваме действия във вътрешни скоби, тъй като 4−6:2=4−3=1 , след което оригиналният израз ще приеме формата (4+(4+1)−1)−1 . Отново изпълняваме действието във вътрешните скоби, тъй като 4+1=5 , тогава стигаме до следния израз (4+5−1)−1 . Отново изпълняваме действията в скоби: 4+5−1=8 , докато стигаме до разликата 8−1 , която е равна на 7 .

Уравненията са една от най-трудните за овладяване теми, но те са достатъчно силни, за да решат повечето проблеми.

С помощта на уравнения се описват различни процеси, протичащи в природата. Уравненията се използват широко в други науки: в икономиката, физиката, биологията и химията.

В този урок ще се опитаме да разберем същността на най-простите уравнения, да научим как да изразяваме неизвестни и да решаваме няколко уравнения. Докато изучавате нови материали, уравненията ще стават по-сложни, така че разбирането на основите е много важно.

Предварителни умения Съдържание на урока

Какво е уравнение?

Уравнението е равенство, което съдържа променлива, чиято стойност искате да намерите. Тази стойност трябва да бъде такава, че когато се замести в оригиналното уравнение, да се получи правилното числено равенство.

Например изразът 2 + 2 = 4 е равенство. При изчисляване на лявата страна се получава правилното числово равенство 4 = 4 .

Но равенството 2 + х= 4 е уравнение, защото съдържа променлива х, чиято стойност може да се намери. Стойността трябва да е такава, че когато тази стойност се замести в оригиналното уравнение, да се получи правилното числово равенство.

С други думи, трябва да намерим стойност, при която знакът за равенство ще оправдае нейното местоположение - лявата страна трябва да е равна на дясната страна.

Уравнение 2+ х= 4 е елементарно. Променлива стойност хе равно на числото 2. Всяка друга стойност няма да бъде равна

Казва се, че числото 2 е коренили решение на уравнението 2 + х = 4

коренили решение на уравнениетое стойността на променливата, при която уравнението става истинско числово равенство.

Може да има няколко корена или нито един. реши уравнениетоозначава да намериш корените му или да докажеш, че няма корени.

Променливата в уравнението е известна още като неизвестен. Вие сте свободни да го наричате както искате. Това са синоними.

Забележка. Фразата „решете уравнението“ говори сама за себе си. Да решиш уравнение означава да „приравниш“ уравнение – да го направиш балансирано, така че лявата страна да е равна на дясната страна.

Изразете едното по отношение на другото

Изучаването на уравнения традиционно започва с научаването да се изразява едно число, включено в равенството, по отношение на редица други. Нека не нарушаваме тази традиция и да направим същото.

Разгледайте следния израз:

8 + 2

Този израз е сумата от числата 8 и 2. Стойността на този израз е 10

8 + 2 = 10

Имаме равенство. Сега можете да изразите всяко число от това равенство по отношение на други числа, включени в същото равенство. Например, нека изразим числото 2.

За да изразите числото 2, трябва да зададете въпроса: "какво трябва да се направи с числата 10 и 8, за да получите числото 2." Ясно е, че за да получите числото 2, трябва да извадите числото 8 от числото 10.

Така и правим. Записваме числото 2 и чрез знака за равенство казваме, че за да получим това число 2, сме извадили числото 8 от числото 10:

2 = 10 − 8

Изразихме числото 2 от уравнението 8 + 2 = 10 . Както можете да видите от примера, в това няма нищо сложно.

Когато решавате уравнения, по-специално когато изразявате едно число чрез други, е удобно да замените знака за равенство с думата " има" . Това трябва да стане мислено, а не в самото изражение.

И така, изразявайки числото 2 от равенството 8 + 2 = 10, получаваме равенството 2 = 10 − 8 . Това уравнение може да се прочете така:

2 има 10 − 8

Тоест знакът = заменена с думата "е". Освен това равенството 2 = 10 − 8 може да се преведе от математически език на пълноценен човешки език. Тогава може да се прочете така:

Номер 2 имаразлика между 10 и 8

Номер 2 имаразликата между числото 10 и числото 8.

Но ние ще се ограничим до замяна на знака за равенство с думата „е“ и тогава няма да правим това винаги. Елементарните изрази могат да бъдат разбрани без превод на математическия език на човешки език.

Нека върнем полученото равенство 2 = 10 − 8 в първоначалното му състояние:

8 + 2 = 10

Нека този път изразим числото 8. Какво трябва да се направи с останалите числа, за да се получи числото 8? Точно така, трябва да извадите числото 2 от числото 10

8 = 10 − 2

Нека върнем полученото равенство 8 = 10 − 2 в първоначалното му състояние:

8 + 2 = 10

Този път ще изразим числото 10. Но се оказва, че десетката няма нужда да се изразява, тъй като вече е изразена. Достатъчно е да разменим лявата и дясната част, след което получаваме това, от което се нуждаем:

10 = 8 + 2

Пример 2. Да разгледаме равенството 8 − 2 = 6

От това равенство изразяваме числото 8. За да изразим числото 8, трябва да добавим другите две числа:

8 = 6 + 2

Нека върнем полученото равенство 8 = 6 + 2 в първоначалното му състояние:

8 − 2 = 6

От това равенство изразяваме числото 2. За да изразим числото 2, трябва да извадим 6 от 8

2 = 8 − 6

Пример 3. Разгледайте уравнението 3 × 2 = 6

Изразете числото 3. За да изразите числото 3, трябва да разделите 6 на 2

Нека върнем полученото равенство в първоначалното му състояние:

3 х 2 = 6

Нека от това равенство изразим числото 2. За да изразим числото 2, трябва да разделим 3 на 6

Пример 4. Помислете за равенството

От това равенство изразяваме числото 15. За да изразим числото 15, трябва да умножим числата 3 и 5

15 = 3 х 5

Нека върнем полученото равенство 15 = 3 × 5 в първоначалното му състояние:

От това равенство изразяваме числото 5. За да изразим числото 5, трябва да разделим 15 на 3

Правила за намиране на неизвестни

Обмислете няколко правила за намиране на неизвестни. Може би са ви познати, но не пречи да ги повторите отново. В бъдеще те могат да бъдат забравени, тъй като ще се научим да решаваме уравнения, без да прилагаме тези правила.

Нека се върнем към първия пример, който разгледахме в предишната тема, където в уравнението 8 + 2 = 10 беше необходимо да се изрази числото 2.

В уравнението 8 + 2 = 10 числата 8 и 2 са членове, а числото 10 е сумата.

За да изразим числото 2, направихме следното:

2 = 10 − 8

Тоест извадете 8 от сбора на 10.

Сега си представете, че в уравнението 8 + 2 = 10 вместо числото 2 има променлива х

8 + х = 10

В този случай уравнението 8 + 2 = 10 става уравнение 8 + х= 10 и променливата х неизвестен термин

Нашата задача е да намерим този неизвестен член, тоест да решим уравнението 8 + х= 10. За намиране на неизвестния член е предвидено следното правило:

За да намерите неизвестния член, извадете известния член от сумата.

Което по същество направихме, когато изразихме двете в уравнението 8 + 2 = 10. За да изразим член 2, извадихме друг член 8 от сбора 10

2 = 10 − 8

А сега да намеря неизвестния член х, трябва да извадим известния член 8 от сумата 10:

х = 10 − 8

Ако изчислите дясната страна на полученото равенство, тогава можете да разберете на какво е равна променливата х

х = 2

Решихме уравнението. Променлива стойност хе равно на 2. За да проверите стойността на променлива хизпратено до първоначалното уравнение 8 + х= 10 и заместител на х.Желателно е да направите това с всяко решено уравнение, тъй като не можете да сте сигурни, че уравнението е решено правилно:

Като резултат

Същото правило ще се прилага, ако неизвестният член е първото число 8.

х + 2 = 10

В това уравнение хе неизвестният член, 2 е известният член, 10 е сумата. Да се ​​намери неизвестният член х, трябва да извадите известния член 2 от сбора 10

х = 10 − 2

х = 8

Да се ​​върнем към втория пример от предишната тема, където в уравнението 8 − 2 = 6 се изискваше да се изрази числото 8.

В уравнението 8 − 2 = 6 числото 8 е умаленото, числото 2 е изместеното, числото 6 е разликата

За да изразим числото 8, направихме следното:

8 = 6 + 2

Тоест, добавете разликата от 6 и изваденото 2.

Сега си представете, че в уравнението 8 − 2 = 6, вместо числото 8, има променлива х

х − 2 = 6

В този случай променливата хвлиза в ролята на т.нар неизвестно съкращаване

За да намерите неизвестното умаляемо, е предоставено следното правило:

За да намерите неизвестното умалявано, трябва да добавите изваждаемото към разликата.

Което направихме, когато изразихме числото 8 в уравнението 8 − 2 = 6. За да изразим умаляваното 8, добавихме изместеното 2 към разликата 6.

А сега да намеря неизвестното умалено х, трябва да добавим субтрахенда 2 към разликата 6

х = 6 + 2

Ако изчислите дясната страна, тогава можете да разберете на какво е равна променливата х

х = 8

Сега си представете, че в уравнението 8 − 2 = 6 вместо числото 2 има променлива х

8 − х = 6

В този случай променливата хпоема роля неизвестен субтрахенд

За намиране на неизвестното субтрахенд е предоставено следното правило:

За да намерите неизвестното изваждаемо, трябва да извадите разликата от умаляваното.

Това направихме, когато изразихме числото 2 в уравнението 8 − 2 = 6. За да изразим числото 2, извадихме разликата 6 от намаленото 8.

А сега да намеря неизвестния субтрахенд х, трябва отново да извадите разликата 6 от намаленото 8

х = 8 − 6

Изчислете дясната страна и намерете стойността х

х = 2

Нека се върнем към третия пример от предишната тема, където в уравнението 3 × 2 = 6 се опитахме да изразим числото 3.

В уравнението 3 × 2 = 6 числото 3 е множителят, числото 2 е множителят, числото 6 е произведението

За да изразим числото 3, направихме следното:

Тоест, разделете произведението от 6 на коефициент 2.

Сега си представете, че в уравнението 3 × 2 = 6 вместо числото 3 има променлива х

х×2=6

В този случай променливата хпоема роля неизвестен множител.

За да намерите неизвестния множител, е предоставено следното правило:

За да намерите неизвестното множимо, трябва да разделите произведението на фактора.

Което направихме, когато изразихме числото 3 от уравнението 3 × 2 = 6. Разделихме произведението от 6 на коефициент 2.

А сега да намеря неизвестния множител х, трябва да разделите произведението от 6 на коефициент 2.

Изчислението на дясната страна ни позволява да намерим стойността на променливата х

х = 3

Същото правило се прилага, ако променливата хсе намира вместо множителя, а не множителя. Представете си, че в уравнението 3 × 2 = 6 вместо числото 2 има променлива х .

В този случай променливата хпоема роля неизвестен множител. За намиране на неизвестен множител е предвидено същото като за намиране на неизвестен множител, а именно разделяне на продукта на известен множител:

За да намерите неизвестния множител, трябва да разделите произведението на множителя.

Това е, което направихме, когато изразихме числото 2 от уравнението 3 × 2 = 6. След това, за да получим числото 2, разделихме произведението от 6 на множителното 3.

А сега да намеря неизвестния множител хразделихме произведението от 6 на множителя от 3.

Изчисляването на дясната страна на уравнението ви позволява да разберете на какво е равно x

х = 2

Множителят и множителят заедно се наричат ​​множители. Тъй като правилата за намиране на множително и множител са еднакви, можем да формулираме общо правило за намиране на неизвестен множител:

За да намерите неизвестния множител, трябва да разделите продукта на известния множител.

Например, нека решим уравнението 9 × х= 18. Променлива хе неизвестен фактор. За да намерите този неизвестен множител, трябва да разделите произведението 18 на известния множител 9

Нека решим уравнението х× 3 = 27 . Променлива хе неизвестен фактор. За да намерите този неизвестен фактор, трябва да разделите произведението 27 на известния фактор 3

Да се ​​върнем на четвъртия пример от предишната тема, където в равенството се изискваше да изразим числото 15. В това равенство числото 15 е делимото, числото 5 е делителя, числото 3 е частното.

За да изразим числото 15, направихме следното:

15 = 3 х 5

Тоест, умножете частното на 3 по делителя на 5.

Сега си представете, че в равенството вместо числото 15 има променлива х

В този случай променливата хпоема роля неизвестен дивидент.

За да намерите неизвестен дивидент, е предоставено следното правило:

За да намерите неизвестния дивидент, трябва да умножите частното по делителя.

Това е, което направихме, когато изразихме числото 15 от равенството. За да изразим числото 15, умножихме частното на 3 по делителя на 5.

А сега да намеря неизвестния дивидент х, трябва да умножите частното на 3 по делителя на 5

х= 3 × 5

х .

х = 15

Сега си представете, че в равенството вместо числото 5 има променлива х .

В този случай променливата хпоема роля неизвестен делител.

За намиране на неизвестния делител е предвидено следното правило:

Това е, което направихме, когато изразихме числото 5 от равенството. За да изразим числото 5, разделихме дивидента 15 на частното 3.

А сега да намеря неизвестния делител х, трябва да разделите дивидента 15 на частното 3

Нека изчислим дясната страна на полученото равенство. Така че намираме на какво е равна променливата х .

х = 5

И така, за да намерим неизвестни, проучихме следните правила:

• За да намерите неизвестния член, трябва да извадите известния член от сумата;
• За да намерите неизвестното умалявано, трябва да добавите изваждаемото към разликата;
• За да намерите неизвестното изваждаемо, трябва да извадите разликата от умаляваното;
• За да намерите неизвестното множимо, трябва да разделите произведението на фактора;
• За да намерите неизвестния множител, трябва да разделите произведението на множителя;
• За да намерите неизвестния дивидент, трябва да умножите частното по делителя;
• За да намерите неизвестен делител, трябва да разделите дивидента на частното.

Компоненти

Компоненти ще наричаме числата и променливите, включени в равенството

И така, компонентите на събирането са условияи сума

Компонентите за изваждане са съкратено, субтрахенди разлика

Компонентите на умножението са умножено, фактори работа

Компонентите на делението са дивидент, делител и частно.

В зависимост от компонентите, с които работим, ще се прилагат съответните правила за намиране на неизвестни. Тези правила сме ги изучавали в предишната тема. При решаване на уравнения е желателно тези правила да се знаят наизуст.

Пример 1. Намерете корена на уравнението 45+ х = 60

45 - термин, хе неизвестният член, 60 е сумата. Имаме работа с допълнителни компоненти. Припомняме, че за да намерите неизвестния член, трябва да извадите известния член от сумата:

х = 60 − 45

Изчислете дясната страна, вземете стойността хравно на 15

х = 15

Така че коренът на уравнението е 45 + х= 60 е равно на 15.

Най-често непознатият термин трябва да бъде сведен до форма, в която може да бъде изразен.

Пример 2. реши уравнението

Тук, за разлика от предишния пример, неизвестният член не може да бъде изразен веднага, тъй като съдържа коефициент 2. Нашата задача е да доведем това уравнение до формата, в която можем да изразим х

В този пример имаме работа с компонентите на събирането - членовете и сумата. 2 хе първият член, 4 е вторият член, 8 е сумата.

В този случай терминът 2 хсъдържа променлива х. След намиране на стойността на променливата хсрок 2 хще приеме различна форма. Следователно терминът 2 хможе напълно да се приеме за неизвестния термин:

Сега прилагаме правилото за намиране на неизвестния член. Извадете известния член от сумата:

Нека изчислим дясната страна на полученото уравнение:

Имаме ново уравнение. Сега се занимаваме с компонентите на умножението: умножено, умножител и произведение. 2 - множител, х- множител, 4 - произведение

В същото време променливата хне е просто фактор, а неизвестен фактор

За да намерите този неизвестен фактор, трябва да разделите произведението на множителя:

Изчислете дясната страна, вземете стойността на променливата х

За да проверите намерения корен, изпратете го към оригиналното уравнение и го заместете х

Пример 3. реши уравнението 3х+ 9х+ 16х= 56

Изразете непознатото хзабранено е. Първо трябва да приведете това уравнение във формата, в която може да бъде изразено.

Представяме от лявата страна на това уравнение:

Имаме работа с компонентите на умножението. 28 - множител, х- множител, 56 - продукт. При което хе неизвестен фактор. За да намерите неизвестния множител, трябва да разделите произведението на множителя:

Оттук хе 2

Еквивалентни уравнения

В предишния пример при решаване на уравнението 3х + 9х + 16х = 56 , сме дали подобни членове от лявата страна на уравнението. Резултатът е ново уравнение 28 х= 56. старо уравнение 3х + 9х + 16х = 56 и полученото ново уравнение 28 х= 56 извикани еквивалентни уравнениязащото корените им са едни и същи.

Уравненията се наричат ​​еквивалентни, ако техните корени са еднакви.

Нека го проверим. За уравнението 3х+ 9х+ 16х= 56 намерихме корен, равен на 2. Заместете първо този корен в уравнението 3х+ 9х+ 16х= 56 и след това в Уравнение 28 х= 56 , което е резултат от намаляването на подобни членове от лявата страна на предишното уравнение. Трябва да получим правилните числени равенства

Според реда на операциите първо се извършва умножението:

Заместете корен 2 във второто уравнение 28 х= 56

Виждаме, че и двете уравнения имат едни и същи корени. Така че уравненията 3х+ 9х+ 16х= 6 и 28 х= 56 наистина са еквивалентни.

За решаване на уравнението 3х+ 9х+ 16х= 56 ние сме използвали един от — намаляване на подобни термини. Правилната трансформация на идентичността на уравнението ни позволи да получим еквивалентно уравнение 28 х= 56 , което е по-лесно за решаване.

От еднаквите трансформации в момента можем само да редуцираме дроби, да изведем подобни членове, да извадим общия множител извън скоби и също да отворим скоби. Има и други трансформации, за които трябва да сте наясно. Но за обща представа за идентични трансформации на уравнения, темите, които сме изучавали, са напълно достатъчни.

Помислете за някои трансформации, които ни позволяват да получим еквивалентно уравнение

Ако добавите едно и също число към двете страни на уравнението, ще получите уравнение, еквивалентно на даденото.

и по подобен начин:

Ако от двете страни на уравнението се извади едно и също число, тогава ще се получи уравнение, еквивалентно на даденото.

С други думи, коренът на уравнението не се променя, ако едно и също число се добави към (или извади от двете страни на) уравнението.

Пример 1. реши уравнението

Извадете числото 10 от двете страни на уравнението

Получих уравнение 5 х= 10. Имаме работа с компонентите на умножението. За намиране на неизвестния множител х, трябва да разделите произведението от 10 на известния множител 5.

и заменете вместо това хнамерена стойност 2

Получихме правилния номер. Така че уравнението е правилно.

Решаване на уравнението извадихме числото 10 от двете страни на уравнението. Резултатът е еквивалентно уравнение. Коренът на това уравнение, като уравненията също е равно на 2

Пример 2. Решете уравнение 4( х+ 3) = 16

Извадете числото 12 от двете страни на уравнението

Лявата страна ще бъде 4 х, а от дясната страна числото 4

Получих уравнение 4 х= 4 . Имаме работа с компонентите на умножението. За намиране на неизвестния множител х, трябва да разделите произведението 4 на известния множител 4

Нека се върнем към първоначалното уравнение 4( х+ 3) = 16 и заместете вместо това хнамерена стойност 1

Получихме правилния номер. Така че уравнението е правилно.

Решаване на уравнение 4( х+ 3) = 16 извадихме числото 12 от двете страни на уравнението. В резултат получихме еквивалентно уравнение 4 х= 4 . Коренът на това уравнение, както и уравнения 4( х+ 3) = 16 също е равно на 1

Пример 3. реши уравнението

Нека разширим скобите от лявата страна на уравнението:

Нека добавим числото 8 към двете страни на уравнението

Представяме подобни членове в двете части на уравнението:

Лявата страна ще бъде 2 х, а от дясната страна числото 9

В полученото уравнение 2 х= 9 изразяваме неизвестния член х

Обратно към първоначалното уравнение и заменете вместо това хнамерена стойност 4.5

Получихме правилния номер. Така че уравнението е правилно.

Решаване на уравнението добавихме към двете страни на уравнението числото 8. В резултат на това получихме еквивалентно уравнение. Коренът на това уравнение, като уравненията също е равно на 4,5

Следващото правило, което ви позволява да получите еквивалентно уравнение, е както следва

Ако в уравнението прехвърлим члена от една част в друга, променяйки знака му, тогава получаваме уравнение, еквивалентно на даденото.

Тоест, коренът на уравнението няма да се промени, ако прехвърлим члена от една част на уравнението в друга, като променим знака му. Това свойство е едно от най-важните и едно от най-често използваните при решаване на уравнения.

Разгледайте следното уравнение:

Коренът на това уравнение е 2. Заместете вместо хтози корен и проверете дали е получено правилното числено равенство

Оказва се правилното равенство. Така че числото 2 наистина е коренът на уравнението.

Сега нека се опитаме да експериментираме с членовете на това уравнение, прехвърляйки ги от една част в друга, променяйки знаците.

Например термин 3 хразположени от лявата страна на уравнението. Нека го преместим от дясната страна, променяйки знака на противоположния:

Оказа се уравнението 12 = 9х − 3х . от дясната страна на това уравнение:

хе неизвестен фактор. Нека намерим този известен фактор:

Оттук х= 2. Както можете да видите, коренът на уравнението не се е променил. Така че уравнения 12 + 3 х = 9хи 12 = 9х − 3х са еквивалентни.

Всъщност тази трансформация е опростен метод на предишната трансформация, при която едно и също число се добавя (или изважда) към двете страни на уравнението.

Казахме това в уравнението 12 + 3 х = 9хсрок 3 хбеше преместен от дясната страна чрез смяна на знака. В действителност се случи следното: членът 3 беше изваден от двете страни на уравнението х

След това подобни членове бяха дадени от лявата страна и уравнението беше получено 12 = 9х − 3х. След това отново бяха дадени подобни членове, но от дясната страна, и се получи уравнението 12 = 6 х.

Но така нареченият "трансфер" е по-удобен за такива уравнения, поради което е толкова широко разпространен. Когато решаваме уравнения, често ще използваме тази конкретна трансформация.

Уравненията 12 + 3 също са еквивалентни х= 9хи 3х - 9х= −12 . Този път в уравнението 12 + 3 х= 9хтермин 12 беше преместен от дясната страна, а термин 9 хналяво. Не трябва да се забравя, че знаците на тези термини бяха променени по време на прехвърлянето

Следващото правило, което ви позволява да получите еквивалентно уравнение, е както следва:

Ако двете части на уравнението се умножат или разделят на едно и също число, което не е равно на нула, тогава ще се получи уравнение, еквивалентно на даденото.

С други думи, корените на едно уравнение не се променят, ако двете страни се умножат или разделят на едно и също число. Това действие често се използва, когато трябва да решите уравнение, съдържащо дробни изрази.

Първо, разгледайте примери, в които и двете страни на уравнението ще бъдат умножени по едно и също число.

Пример 1. реши уравнението

Когато решавате уравнения, съдържащи дробни изрази, първо е обичайно да опростите това уравнение.

В този случай имаме работа точно с такова уравнение. За да се опрости това уравнение, двете страни могат да се умножат по 8:

Спомняме си, че за трябва да умножите числителя на дадена дроб по това число. Имаме две дроби и всяка от тях е умножена по числото 8. Нашата задача е да умножим числителите на дробите по това число 8

Сега се случва най-интересното. Числителите и знаменателите на двете дроби съдържат коефициент 8, който може да бъде намален с 8. Това ще ни позволи да се отървем от дробния израз:

В резултат на това остава най-простото уравнение

Е, лесно е да се досетите, че коренът на това уравнение е 4

хнамерена стойност 4

Оказва се правилното числово равенство. Така че уравнението е правилно.

Когато решавахме това уравнение, ние умножихме двете му части по 8. В резултат на това получихме уравнението. Коренът на това уравнение, подобно на уравненията, е 4. Така че тези уравнения са еквивалентни.

Коефициентът, с който се умножават и двете части на уравнението, обикновено се записва преди частта от уравнението, а не след нея. И така, решавайки уравнението, умножихме двете части по коефициент 8 и получихме следния запис:

От това коренът на уравнението не се е променил, но ако бяхме направили това в училище, щяхме да ни направят забележка, тъй като в алгебрата е прието множителят да се пише преди израза, с който се умножава. Следователно умножаването на двете страни на уравнението с коефициент 8 е желателно да се пренапише, както следва:

Пример 2. реши уравнението

От лявата страна факторите 15 могат да бъдат намалени с 15, а от дясната страна факторите 15 и 5 могат да бъдат намалени с 5

Нека отворим скобите от дясната страна на уравнението:

Да преместим термина хот лявата страна на уравнението в дясната страна чрез промяна на знака. И членът 15 от дясната страна на уравнението ще бъде прехвърлен в лявата страна, отново променяйки знака:

Внасяме подобни условия и в двете части, получаваме

Имаме работа с компонентите на умножението. Променлива х

Обратно към първоначалното уравнение и заменете вместо това хнамерена стойност 5

Оказва се правилното числово равенство. Така че уравнението е правилно. Когато решавахме това уравнение, ние умножихме двете страни по 15. Освен това, извършвайки идентични трансформации, получихме уравнението 10 = 2 х. Коренът на това уравнение, като уравненията е равно на 5. Така че тези уравнения са еквивалентни.

Пример 3. реши уравнението

От лявата страна две тройки могат да бъдат намалени, а дясната страна ще бъде равна на 18

Остава най-простото уравнение. Имаме работа с компонентите на умножението. Променлива хе неизвестен фактор. Нека намерим този известен фактор:

Нека се върнем към първоначалното уравнение и заместим вместо хнамерена стойност 9

Оказва се правилното числово равенство. Така че уравнението е правилно.

Пример 4. реши уравнението

Умножете двете страни на уравнението по 6

Отворете скобите от лявата страна на уравнението. От дясната страна коефициентът 6 може да бъде повдигнат до числителя:

Ние намаляваме в двете части на уравненията това, което може да бъде намалено:

Нека пренапишем това, което ни остана:

Ние използваме трансфер на термини. Термини, съдържащи неизвестното х, групираме от лявата страна на уравнението, а свободните от неизвестни членове - отдясно:

Представяме подобни термини и в двете части:

Сега нека намерим стойността на променливата х. За да направим това, разделяме продукта 28 на известния фактор 7

Оттук х= 4.

Обратно към първоначалното уравнение и заменете вместо това хнамерена стойност 4

Оказа се правилното числово равенство. Така че уравнението е правилно.

Пример 5. реши уравнението

Нека отворим скобите в двете части на уравнението, където е възможно:

Умножете двете страни на уравнението по 15

Нека отворим скобите в двете части на уравнението:

Нека намалим в двете части на уравнението това, което може да бъде намалено:

Нека пренапишем това, което ни остана:

Нека отворим скобите, където е възможно:

Ние използваме трансфер на термини. Членовете, съдържащи неизвестни, са групирани от лявата страна на уравнението, а термините без неизвестни са групирани от дясната страна. Не забравяйте, че по време на прехвърлянето условията променят знаците си на обратното:

Представяме подобни членове в двете части на уравнението:

Нека намерим стойността х

В получения отговор можете да изберете цялата част:

Нека се върнем към първоначалното уравнение и заместим вместо хнамерена стойност

Оказва се доста тромав израз. Нека използваме променливи. Поставяме лявата страна на равенството в променлива А, а дясната страна на равенството в променлива б

Нашата задача е да се уверим, че лявата страна е равна на дясната страна. С други думи, докажете равенството A = B

Намерете стойността на израза в променлива A.

Променлива стойност НОсе равнява . Сега нека намерим стойността на променливата б. Тоест стойността на дясната страна на нашето равенство. Ако е равно на , тогава уравнението ще бъде решено правилно

Виждаме, че стойността на променливата б, както и стойността на променлива A е . Това означава, че лявата страна е равна на дясната страна. От това заключаваме, че уравнението е решено правилно.

Сега нека се опитаме да не умножим двете страни на уравнението по едно и също число, а да разделим.

Помислете за уравнението 30х+ 14х+ 14 = 70х− 40х+ 42 . Решаваме го по обичайния начин: групираме членовете, съдържащи неизвестни от лявата страна на уравнението, и членовете без неизвестни от дясната. Освен това, извършвайки известните идентични трансформации, намираме стойността х

Заместете намерената стойност 2 вместо хв оригиналното уравнение:

Сега нека се опитаме да разделим всички членове на уравнението 30х+ 14х+ 14 = 70х− 40х+ 42 с някакво число Отбелязваме, че всички членове на това уравнение имат общ множител 2. Разделяме всеки член на него:

Нека намалим във всеки член:

Нека пренапишем това, което ни остана:

Решаваме това уравнение, като използваме известните идентични трансформации:

Получихме корен 2. Така че уравненията 15х+ 7х+ 7 = 35х - 20х+ 21 и 30х+ 14х+ 14 = 70х− 40х+ 42 са еквивалентни.

Разделянето на двете страни на уравнението на едно и също число ви позволява да освободите неизвестното от коефициента. В предишния пример, когато получихме уравнение 7 х= 14, трябваше да разделим произведението 14 на известния множител 7. Но ако освободим неизвестното от коефициента 7 от лявата страна, коренът ще бъде открит незабавно. За да направите това, беше достатъчно да разделите двете части на 7

Ние също ще използваме този метод често.

Умножете по минус едно

Ако двете страни на уравнението се умножат по минус едно, тогава ще се получи уравнение, еквивалентно на даденото.

Това правило следва от факта, че при умножаване (или деление) на двете части на уравнението с едно и също число, коренът на това уравнение не се променя. Това означава, че коренът няма да се промени, ако и двете му части се умножат по −1.

Това правило ви позволява да промените знаците на всички компоненти, включени в уравнението. За какво е? Отново, за да получим еквивалентно уравнение, което е по-лесно за решаване.

Помислете за уравнението. Какъв е коренът на това уравнение?

Нека добавим числото 5 към двете страни на уравнението

Ето подобни термини:

А сега нека си припомним за. Каква е лявата страна на уравнението. Това е произведението на минус едно и променливата х

Тоест минусът пред променливата хне се отнася до самата променлива х, но към единицата, която не виждаме, тъй като е обичайно да не се записва коефициентът 1. Това означава, че уравнението всъщност изглежда така:

Имаме работа с компонентите на умножението. Да намеря х, трябва да разделите произведението −5 на известния множител −1 .

или да разделите двете страни на уравнението на −1, което е още по-лесно

Така че коренът на уравнението е 5. За да проверим, го заместваме в оригиналното уравнение. Не забравяйте, че в оригиналното уравнение минусът пред променливата хсе отнася до невидима единица

Оказа се правилното числово равенство. Така че уравнението е правилно.

Сега нека се опитаме да умножим двете страни на уравнението по минус едно:

След отваряне на скобите изразът се формира от лявата страна, а дясната страна ще бъде равна на 10

Коренът на това уравнение, подобно на уравнението, е 5

Така че уравненията са еквивалентни.

Пример 2. реши уравнението

В това уравнение всички компоненти са отрицателни. По-удобно е да се работи с положителни компоненти, отколкото с отрицателни, така че нека променим знаците на всички компоненти, включени в уравнението. За да направите това, умножете двете страни на това уравнение по −1.

Ясно е, че след умножаване по −1 всяко число ще промени знака си на противоположния. Следователно самата процедура на умножаване по −1 и отваряне на скобите не се описват подробно, но веднага се записват компонентите на уравнението с противоположни знаци.

И така, умножаването на уравнение по −1 може да бъде написано подробно, както следва:

или можете просто да промените знаците на всички компоненти:

Ще се получи същото, но разликата ще бъде, че ще си спестим време.

И така, умножавайки двете страни на уравнението по −1, получаваме уравнението. Нека решим това уравнение. Извадете числото 4 от двете части и разделете двете части на 3

Когато се намери коренът, променливата обикновено се записва от лявата страна, а нейната стойност отдясно, което направихме.

Пример 3. реши уравнението

Умножете двете страни на уравнението по −1. Тогава всички компоненти ще променят знаците си на противоположни:

Извадете 2 от двете страни на полученото уравнение хи добавете подобни условия:

Добавяме единица към двете части на уравнението и даваме подобни членове:

Приравняване на нула

Наскоро научихме, че ако в едно уравнение прехвърлим член от една част в друга, като сменим знака му, получаваме уравнение, еквивалентно на даденото.

И какво ще стане, ако прехвърлим от една част в друга не един термин, а всички термини? Точно така, в частта, от която са взети всички членове, ще остане нула. С други думи, няма да остане нищо.

Да вземем уравнението като пример. Решаваме това уравнение, както обикновено - групираме членовете, съдържащи неизвестни в едната част, и оставяме числовите членове без неизвестни в другата. Освен това, извършвайки известните идентични трансформации, намираме стойността на променливата х

Сега нека се опитаме да решим същото уравнение, като приравним всичките му компоненти на нула. За да направите това, прехвърляме всички условия от дясната страна наляво, променяйки знаците:

Ето подобни термини от лявата страна:

Нека добавим 77 към двете части и да разделим двете части на 7

Алтернатива на правилата за намиране на неизвестни

Очевидно, знаейки за идентичните трансформации на уравнения, човек не може да запомни правилата за намиране на неизвестни.

Например, за да намерим неизвестното в уравнението, разделихме произведението 10 на известния фактор 2

Но ако в уравнението и двете части са разделени на 2, коренът се намира веднага. От лявата страна на уравнението факторът 2 в числителя и факторът 2 в знаменателя ще бъдат намалени с 2. А дясната страна ще бъде равна на 5

Решихме уравнения от вида, като изразихме неизвестния член:

Но можете да използвате идентичните трансформации, които изучавахме днес. В уравнението член 4 може да бъде преместен в дясната страна чрез промяна на знака:

От лявата страна на уравнението две двойки ще бъдат намалени. Дясната страна ще бъде равна на 2. Следователно .

Или можете да извадите 4 от двете страни на уравнението. Тогава ще получите следното:

В случай на уравнения на формата е по-удобно продуктът да се раздели на известен фактор. Нека сравним двете решения:

Първото решение е много по-кратко и спретнато. Второто решение може да бъде значително съкратено, ако направите разделянето в главата си.

Трябва обаче да знаете и двата метода и едва тогава да използвате този, който ви харесва най-много.

Когато има няколко корена

Едно уравнение може да има множество корени. Например уравнение х(x + 9) = 0 има два корена: 0 и −9 .

В уравнението х(x + 9) = 0 беше необходимо да се намери такава стойност хза която лявата страна би била равна на нула. Лявата страна на това уравнение съдържа изразите хи (x + 9), които са фактори. От законите за продукта знаем, че произведението е равно на нула, ако поне един от факторите е равен на нула (или първият фактор, или вторият).

Тоест в уравнението х(x + 9) = 0 ще се постигне равенство, ако хще бъде нула или (x + 9)ще бъде нула.

х= 0 или х + 9 = 0

Приравнявайки двата израза на нула, можем да намерим корените на уравнението х(x + 9) = 0 . Първият корен, както се вижда от примера, беше намерен веднага. За да намерите втория корен, трябва да решите елементарното уравнение х+ 9 = 0 . Лесно е да се досетите, че коренът на това уравнение е −9. Проверката показва, че коренът е правилен:

−9 + 9 = 0

Пример 2. реши уравнението

Това уравнение има два корена: 1 и 2. Лявата страна на уравнението е произведение на изрази ( х− 1) и ( х− 2) . И произведението е равно на нула, ако поне един от факторите е равен на нула (или факторът ( х− 1) или фактор ( х − 2) ).

Нека го намерим хпод които изразите ( х− 1) или ( х− 2) изчезват:

Ние заместваме намерените стойности на свой ред в оригиналното уравнение и се уверяваме, че с тези стойности лявата страна е равна на нула:

Когато има безкрайно много корени

Едно уравнение може да има безкрайно много корени. Тоест, като заместим произволно число в такова уравнение, получаваме правилното числено равенство.

Пример 1. реши уравнението

Коренът на това уравнение е произволно число. Ако отворите скобите от лявата страна на уравнението и донесете подобни членове, тогава ще получите равенството 14 \u003d 14. Това равенство ще бъде получено за всеки х

Пример 2. реши уравнението

Коренът на това уравнение е произволно число. Ако отворите скобите от лявата страна на уравнението, ще получите равенството 10х + 12 = 10х + 12. Това равенство ще бъде получено за всеки х

Когато няма корени

Също така се случва уравнението изобщо да няма решения, тоест да няма корени. Например, уравнението няма корени, защото за всяка стойност х, лявата страна на уравнението няма да е равна на дясната страна. Например, нека. Тогава уравнението ще приеме следния вид

Пример 2. реши уравнението

Нека разширим скобите от лявата страна на уравнението:

Ето подобни термини:

Виждаме, че лявата страна не е равна на дясната страна. И така ще бъде за всяка стойност г. Например, нека г = 3 .

Буквени уравнения

Едно уравнение може да съдържа не само числа с променливи, но и букви.

Например формулата за намиране на скоростта е буквално уравнение:

Това уравнение описва скоростта на тялото при равномерно ускорено движение.

Полезно умение е способността да се изразява всеки компонент, включен в буквено уравнение. Например, за да определите разстоянието от уравнение, трябва да изразите променливата с .

Умножете двете страни на уравнението по T

Променливи вдясно Tнамали с T

В полученото уравнение лявата и дясната част са разменени:

Получихме формулата за намиране на разстоянието, която проучихме по-рано.

Нека се опитаме да определим времето от уравнението. За да направите това, трябва да изразите променливата T .

Умножете двете страни на уравнението по T

Променливи вдясно Tнамали с Tи пренаписваме това, което ни е останало:

В полученото уравнение v × t = sразделете двете части на v

Променливи отляво vнамали с vи пренаписваме това, което ни е останало:

Получихме формулата за определяне на времето, която проучихме по-рано.

Да приемем, че скоростта на влака е 50 км/ч

v= 50 км/ч

А разстоянието е 100 км

с= 100 км

Тогава писмото ще приеме следната форма

От това уравнение можете да намерите времето. За да направите това, трябва да можете да изразите променливата T. Можете да използвате правилото за намиране на неизвестен делител, като разделите дивидента на частното и по този начин определите стойността на променливата T

или можете да използвате идентични трансформации. Първо умножете двете страни на уравнението по T

След това разделете двете части на 50

Пример 2 х

Извадете от двете страни на уравнението а

Разделете двете страни на уравнението на b

a + bx = c, тогава ще имаме готово решение. Ще бъде достатъчно да замените необходимите стойности в него. Тези стойности, които ще бъдат заменени с букви a, b, cНаречен параметри. И уравнения на формата a + bx = cНаречен уравнение с параметри. В зависимост от параметрите коренът ще се промени.

Решете уравнение 2 + 4 х= 10. Изглежда като буквално уравнение a + bx = c. Вместо да извършваме идентични трансформации, можем да използваме готово решение. Нека сравним двете решения:

Виждаме, че второто решение е много по-просто и по-кратко.

За готовото решение трябва да направите малка забележка. Параметър bне трябва да е нула (b ≠ 0), тъй като деленето на нула не е разрешено.

Пример 3. Дадено е буквално уравнение. Изразете от това уравнение х

Нека отворим скобите в двете части на уравнението

Ние използваме трансфер на термини. Параметри, съдържащи променлива х, групираме от лявата страна на уравнението, а параметрите, свободни от тази променлива - отдясно.

От лявата страна изваждаме фактора х

Разделете двете части на израз а-б

От лявата страна числителят и знаменателят могат да бъдат намалени с а-б. Така че променливата най-накрая е изразена х

Сега, ако попаднем на уравнение от формата a(x − c) = b(x + d), тогава ще имаме готово решение. Ще бъде достатъчно да замените необходимите стойности в него.

Да предположим, че ни е дадено уравнение 4(х - 3) = 2(х+ 4) . Прилича на уравнение a(x − c) = b(x + d). Решаваме го по два начина: с помощта на идентични трансформации и с помощта на готово решение:

За удобство извличаме от уравнението 4(х - 3) = 2(х+ 4) стойности на параметрите а, b, ° С, д . Това ще ни позволи да не правим грешки при заместването:

Както в предишния пример, знаменателят тук не трябва да е равен на нула ( a - b ≠ 0) . Ако попаднем на уравнение от вида a(x − c) = b(x + d)в които параметрите аи bса еднакви, можем да кажем, без да го решаваме, че това уравнение няма корени, тъй като разликата на еднакви числа е нула.

Например уравнението 2(x − 3) = 2(x + 4)е уравнение на формата a(x − c) = b(x + d). В уравнението 2(x − 3) = 2(x + 4)настроики аи bсъщото. Ако започнем да го решаваме, тогава ще стигнем до извода, че лявата страна няма да е равна на дясната страна:

Пример 4. Дадено е буквално уравнение. Изразете от това уравнение х

Привеждаме лявата страна на уравнението към общ знаменател:

Умножете двете страни по а

Отляво хизвадете го от скоби

Разделяме двете части с израза (1 − а)

Линейни уравнения с едно неизвестно

Уравненията, разгледани в този урок, се наричат линейни уравнения от първа степен с едно неизвестно.

Ако уравнението е дадено на първа степен, не съдържа деление на неизвестното и също така не съдържа корени от неизвестното, то може да се нарече линейно. Все още не сме изучавали степени и корени, така че, за да не си усложняваме живота, ще разбираме думата „линеен“ като „прост“.

Повечето от уравненията, решени в този урок, в крайна сметка бяха сведени до най-простото уравнение, в което продуктът трябваше да бъде разделен на известен фактор. Например уравнение 2( х+ 3) = 16 . Нека го решим.

Нека отворим скобите от лявата страна на уравнението, получаваме 2 х+ 6 = 16. Нека преместим члена 6 надясно, като сменим знака. Тогава получаваме 2 х= 16 − 6. Изчислете дясната страна, получаваме 2 х= 10. За намиране х, разделяме произведението 10 на известния фактор 2. Следователно х = 5.

Уравнение 2( х+ 3) = 16 е линейно. Редуцира се до уравнение 2 х= 10 , за намиране на чийто корен беше необходимо произведението да се раздели на известен фактор. Това просто уравнение се нарича линейно уравнение от първа степен с едно неизвестно в канонична форма. Думата "каноничен" е синоним на думите "прост" или "нормален".

Линейно уравнение от първа степен с едно неизвестно в каноничната форма се нарича уравнение на вида брадва = b.

Нашето уравнение 2 х= 10 е линейно уравнение от първа степен с едно неизвестно в каноничната форма. Това уравнение има първа степен, едно неизвестно, не съдържа деление на неизвестното и не съдържа корени от неизвестното и е представено в канонична форма, тоест в най-простата форма, в която е лесно да се определи стойност х. Вместо параметри аи bнашето уравнение съдържа числата 2 и 10. Но подобно уравнение може да съдържа и други числа: положителни, отрицателни или равни на нула.

Ако в линейно уравнение а= 0 и b= 0 , тогава уравнението има безкрайно много корени. Наистина, ако ае нула и bе равно на нула, тогава линейното уравнение брадва= bприема формата 0 х= 0 . За всякаква стойност хлявата страна ще бъде равна на дясната страна.

Ако в линейно уравнение а= 0 и b≠ 0, тогава уравнението няма корени. Наистина, ако ае нула и bе равно на някакво различно от нула число, да речем числото 5, след което уравнението брадва=bприема формата 0 х= 5. Лявата страна ще бъде нула, а дясната пет. А нулата не е равна на пет.

Ако в линейно уравнение а≠ 0 и bе равно на произволно число, тогава уравнението има един корен. Определя се чрез разделяне на параметъра bна параметър а

Наистина, ако ае равно на някакво различно от нула число, да речем числото 3, и bе равно на някакво число, да кажем числото 6, тогава уравнението ще приеме формата .
Оттук.

Има друга форма на запис на линейно уравнение от първа степен с едно неизвестно. Изглежда така: брадва − b= 0 . Това е същото уравнение като брадва=b

Хареса ли ви урока?
Присъединете се към нашата нова група Vkontakte и започнете да получавате известия за нови уроци