Министерство на образованието на Република Беларус

образователна институция

Гомелски държавен университет на име Ф. Скорина"

Факултет по математика

Катедра МПМ

Идентични трансформации на изрази и методи за обучение на учениците как да ги изпълняват

Изпълнител:

Студент Стародубова А.Ю.

Научен ръководител:

канд. физика и математика науки, доц. Лебедева М.Т.

Гомел 2007 г

Въведение

1 Основните видове трансформации и етапите на тяхното изследване. Етапи на овладяване прилагането на трансформации

Заключение

Литература

Въведение

Най-простите трансформации на изрази и формули, базирани на свойствата на аритметичните операции, се извършват в началното училище и в 5 и 6 клас. Формирането на умения и способности за извършване на трансформации става в курса по алгебра. Това е свързано както с рязкото увеличаване на броя и разнообразието на извършваните трансформации, така и с усложняването на дейностите за тяхното обосноваване и изясняване на условията за приложимост, с идентифицирането и изучаването на обобщени понятия за идентичност, идентична трансформация, еквивалентна трансформация.

1. Основни видове трансформации и етапи на тяхното изследване. Етапи на овладяване прилагането на трансформации

1. Началото на алгебрата

Използва се неразделена система от трансформации, представена от правилата за извършване на действия върху едната или двете части на формулата. Целта е да се постигне плавност при изпълнение на задачи за решаване на най-прости уравнения, опростяване на формулите, които дефинират функции, при рационално извършване на изчисления въз основа на свойствата на действията.

Типични примери:

Решете уравнения:

а) ; б) ; в) .

Трансформация на идентичността (а); еквивалентни и идентични (б).

2. Формиране на умения за прилагане на специфични видове трансформации

Изводи: формули за съкратено умножение; трансформации, свързани с степенуване; трансформации, свързани с различни класове елементарни функции.

Организация на холистична система от трансформации (синтез)

Целта е формирането на гъвкав и мощен апарат, подходящ за използване при решаване на различни образователни задачи.. Преходът към този етап се извършва по време на окончателното повторение на курса в хода на разбирането на вече познатия материал, научен на части, за определени видове трансформации се добавят трансформации на тригонометрични изрази към предварително изучените типове. Всички тези трансформации могат да бъдат наречени „алгебрични“, а „аналитичните“ трансформации включват тези, базирани на правилата за диференциране и интегриране и трансформации на изрази, съдържащи преминавания към границата. Разликата на този тип е в естеството на набора, през който преминават променливите в идентичности (определени набори от функции).

Изследваните самоличности са разделени на два класа:

I са съкратени идентичности на умножение, валидни в комутативен пръстен и идентичности

справедлив в полето.

II - тъждества, свързващи аритметични операции и основни елементарни функции.

2 Характеристики на организацията на системата от задачи при изучаване на идентични трансформации

Основният принцип за организиране на система от задачи е представянето им от прости към сложни.

Цикъл на упражнения- комбинацията в последователността от упражнения на няколко аспекта на изследването и методите за подреждане на материала. При изучаване на идентични трансформации цикълът от упражнения е свързан с изучаването на едно тъждество, около което се групират други тъждества, които са в естествена връзка с него.Съставът на цикъла, заедно с изпълнителските задачи, включва задачи, изискващи признаване на приложимостта на разглежданата идентичност. Изследваната идентичност се използва за извършване на изчисления в различни цифрови области. Задачите във всеки цикъл са разделени на две групи. Да се първивключват задачи, изпълнявани при първоначалното запознаване със самоличността. Те служат като учебен материал за няколко последователни урока, обединени от една тема.

Втора групаупражнението свързва изследваната идентичност с различни приложения. Тази група не образува композиционно единство - упражненията тук са разпръснати по различни теми.

Описаните структури на цикъла се отнасят до етапа на формиране на умения за прилагане на конкретни трансформации.

На етапа на синтез циклите се сменят, групи от задачи се комбинират към усложняване и сливане на цикли, свързани с различни идентичности, което повишава ролята на действията за разпознаване на приложимостта на една или друга идентичност.

Пример.

Цикъл на задачите за самоличност:

I група задачи:

а) присъства под формата на продукт:

б) Проверете правилността на равенството:

в) Разгънете скобите в израза:

.

г) Изчислете:

д) Факторизиране:

д) опростете израза:

.

Учениците току-що се запознаха с формулирането на тъждеството, записването му във вид на тъждество и доказателството.

Задача а) е свързана с фиксиране на структурата на изследваната идентичност, с установяване на връзка с числови множества (сравнение на знаковите структури на идентичността и трансформирания израз; замяна на буква с цифра в идентичността). В последния пример той все още не е редуциран до изследваната форма. В следващите примери (e и g) има усложнение, причинено от приложната роля на идентичността и усложняването на знаковата структура.

Задачите от тип b) са насочени към развиване на умения за заместване на . Ролята на задача в) е подобна.

Примери от тип d), в които се изисква да се избере една от посоките на трансформация, завършва развитието на тази идея.

Задачите на група I са насочени към овладяване на структурата на идентичността, операцията на заместване в най-простите, фундаментално важни случаи и идеята за обратимостта на трансформациите, извършвани от идентичността. Много важно е и обогатяването на езиковите средства, показващи различни аспекти на идентичността. Представа за тези аспекти дават текстовете на задачите.

II група задачи.

g) Използвайки идентичността за , факторизирайте полинома .

з) Елиминирайте ирационалността в знаменателя на дробта.

и) Докажете, че ако е нечетно число, то се дели на 4.

j) Функцията е дадена от аналитичния израз

.

Отървете се от знака модул, като разгледате два случая: , .

л) Решете уравнението .

Тези задачи са насочени към възможно най-пълното използване и отчитане на спецификата на тази конкретна идентичност, предполагат формирането на умения за използване на изследваната идентичност за разликата на квадратите. Целта е да се задълбочи разбирането на идентичността чрез разглеждане на нейните различни приложения в различни ситуации, в комбинация с използването на материали, свързани с други теми от курса по математика.

или .

Характеристики на работни цикли, свързани с идентичности за елементарни функции:

1) те се изучават на базата на функционален материал;

2) тъждествата от първата група се появяват по-късно и се изучават с помощта на вече формирани умения за извършване на идентични трансформации.

Първата група задачи от цикъла трябва да включва задачи за установяване на връзка между тези нови числови области и оригиналната област на рационални числа.

Пример.

Изчисли:

;

.

Целта на такива задачи е да се овладеят характеристиките на записите, включително символи на нови операции и функции, и да се развият математически речеви умения.

Значителна част от използването на трансформации на идентичност, свързани с елементарни функции, се пада върху решаването на ирационални и трансцендентни уравнения. Последователност от стъпки:

а) намерете функция φ, за която даденото уравнение f(x)=0 може да бъде представено като:

б) направете заместване y=φ(x) и решете уравнението

в) решаване на всяко от уравненията φ(x)=y k , където y k е множеството от корени на уравнението F(y)=0.

Когато се използва описаният метод, стъпка b) често се изпълнява имплицитно, без да се въвежда нотация за φ(x). Освен това учениците често избират измежду различните пътища, водещи до намиране на отговор, за да изберат този, който води до алгебричното уравнение по-бързо и по-лесно.

Пример. Решете уравнението 4 x -3*2=0.

2)(2 2) x -3*2 x =0 (стъпка a)

(2 x) 2 -3*2 x =0; 2x(2x-3)=0; 2 х -3=0. (стъпка b)

Пример. Решете уравнението:

а) 2 2x -3*2 x +2=0;

б) 2 2x -3*2 x -4=0;

в) 2 2x -3*2 x +1=0.

(Предложете за самостоятелно решение.)

Класификация на задачите в цикли, свързани с решаването на трансцендентни уравнения, включително експоненциална функция:

1) уравнения, които се свеждат до уравнения под формата a x \u003d y 0 и имат прост общ отговор във формата:

2) уравнения, които се свеждат до уравнения под формата a x = a k , където k е цяло число, или a x = b, където b≤0.

3) уравнения, които се свеждат до уравнения под формата a x =y 0 и изискват явен анализ на формата, в която числото y 0 е изрично записано.

От голяма полза са задачите, в които се използват идентични трансформации за начертаване на графики, докато се опростяват формули, които дефинират функции.

а) Начертайте функцията y=;

б) Решете уравнението lgx+lg(x-3)=1

в) на кое множество формулата lg(x-5)+ lg(x+5)= lg(x 2 -25) е идентичност?

Използването на идентични трансформации в изчисленията (J. Математика в училище, № 4, 1983, стр. 45)

Задача номер 1. Функцията е дадена по формулата y=0,3x 2 +4,64x-6. Намерете стойностите на функцията при x=1,2

y(1.2)=0.3*1.2 2 +4.64*1.2-6=1.2(0.3*1.2+4.64)-6=1.2(0 ,36+4.64)-6=1.2*5-6=0.

Задача номер 2. Да се ​​изчисли дължината на катета на правоъгълен триъгълник, ако дължината на хипотенузата му е 3,6 cm, а другият катет е 2,16 cm.

Задача номер 3. Каква е площта на правоъгълен участък с размери а) 0,64m и 6,25m; б) 99,8m и 2,6m?

а) 0,64 * 6,25 \u003d 0,8 2 * 2,5 2 \u003d (0,8 * 2,5) 2;

б) 99,8*2,6=(100-0,2)2,6=100*2,6-0,2*2,6=260-0,52.

Тези примери позволяват да се разкрие практическото приложение на идентични трансформации. Студентът трябва да се запознае с условията за осъществимост на трансформацията (виж диаграмите).

-

изображение на полином, където всеки полином се вписва в кръгли контури (Схема 1)

-

дадено е условието за осъществимостта на преобразуване на произведението на моном и израз, който позволява преобразуване в разликата на квадратите. (схема 2)

-

тук щриховката означава равни мономи и е даден израз, който може да се преобразува в разлика от квадрати (Схема 3).

-

израз, който позволява премахването на общ множител.

За да формирате уменията на учениците за идентифициране на условия, можете да използвате следните примери:

Кой от следните изрази може да се преобразува чрез поставяне на общия множител извън скоби:

2)

3) 0,7a 2 +0,2b 2;

5) 6,3*0,4+3,4*6,3;

6) 2x2 +3x2 +5y2;

7) 0,21+0,22+0,23.

Повечето от изчисленията на практика не отговарят на условията за осъществимост, така че студентите се нуждаят от умения, за да ги доведат до форма, която позволява изчисляване на трансформации. В този случай са подходящи следните задачи:

когато изучавате премахването на общ множител извън скоби:

този израз, ако е възможно, се трансформира в израз, който е изобразен от схема 4:

4) 2a * a 2 * a 2;

5) 2n 4 +3n 6 +n 9;

8) 15ab 2 +5a 2 b;

10) 12,4*-1,24*0,7;

11) 4,9*3,5+1,7*10,5;

12) 10,8 2 -108;

13)

14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;

15) 2*3 4 -3*2 4 +6;

18) 3,2/0,7-1,8*

При формирането на понятието „идентично преобразуване“ трябва да се помни, че това означава не само, че даденият и полученият израз в резултат на преобразуването приемат еднакви стойности за всякакви стойности на включените в него букви, но също така, че по време на идентичното преобразуване преминаваме от израза, който определя един начин за оценяване, към израз, който определя друг начин за оценяване на същата стойност.

Възможно е да се илюстрира схема 5 (правилото за преобразуване на произведението на моном и полином) с примери

0,5a(b+c) или 3,8(0,7+).

Упражнения за научаване на поставяне в скоби на общия множител:

Изчислете стойността на израза:

а) 4,59*0,25+1,27*0,25+2,3-0,25;

b) a+bc при a=0,96; b=4,8; с=9,8.

c) a(a+c)-c(a+b) с a=1,4; b=2,8; c=5,2.

Нека илюстрираме с примери формирането на умения и способности за изчисления и идентични преобразувания (Ж. Математика в училище, № 5, 1984 г., стр. 30).

1) уменията и способностите се придобиват по-бързо и се запазват по-дълго, ако тяхното формиране се извършва на съзнателна основа (дидактическият принцип на съзнанието).

1) Можете да формулирате правилото за добавяне на дроби с еднакви знаменатели или първо, като използвате конкретни примери, да разгледате същността на добавянето на равни части.

2) Когато разлагате на множители чрез изваждане на общия множител извън скоби, е важно да видите този общ множител и след това да приложите закона за разпределение. Когато изпълнявате първите упражнения, е полезно да напишете всеки член на полинома като продукт, един от факторите на който е общ за всички термини:

3a 3 -15a 2 b+5ab 2 = a3a 2 -a15ab+a5b 2 .

Особено полезно е да направите това, когато един от мономите на полинома е изваден от скобите:

II. Първи етапформиране на умение - овладяване на умението (упражненията се изпълняват с подробни обяснения и бележки)

(първо се решава въпросът със знака)

Втора фаза- етапът на автоматизиране на умението чрез елиминиране на някои междинни операции

III. Силата на уменията се постига чрез решаване на разнообразни както по съдържание, така и по форма примери.

Тема: “Поставяне на общия множител в скоби”.

1. Запишете липсващия множител вместо полинома:

2. Разложете на множители, така че пред скобите да има моном с отрицателен коефициент:

3. Факторизирайте така, че полиномът в скоби да има цели числа коефициенти:

4. Решете уравнението:

IV. Формирането на умения е най-ефективно в случай на устно изпълнение на някои междинни изчисления или трансформации.

(устно);

V. Формираните умения и способности трябва да бъдат включени в предварително формираната система от знания, умения и способности на учениците.

Например, когато се научите да разлагате полиноми на множители с помощта на формули за съкратено умножение, се предлагат следните упражнения:

Умножете:

VI. Необходимостта от рационално извършване на изчисления и трансформации.

в)опростете израза:

Рационалността се крие в отварянето на скоби, т.к

VII. Преобразуване на изрази, съдържащи степен.

№1011 (Алг.9) Опростете израза:

№1012 (Алг.9) Извадете множителя от под корена:

№1013 (Алг.9) Въведете множител под знака на корена:

№1014 (Алг.9) Опростете израза:

Във всички примери предварително извършете или разлагане на множители, или изваждане на общ фактор, или „вижте“ съответната формула за редукция.

№1015 (Алг.9) Намалете дробта:

Много ученици изпитват известна трудност при трансформирането на изрази, съдържащи корени, особено когато изследват равенството:

Следователно или опишете подробно изразите на формата, или или отидете на степен с рационален показател.

№1018 (Ал.9) Намерете стойността на израза:

№1019 (Алг.9) Опростете израза:

2.285 (Scanavi) Опростете израза

и след това начертайте графика на функцията гза

№ 2.299 (Сканави) Проверете валидността на равенството:

Преобразуването на изрази, съдържащи степен, е обобщение на придобитите умения и способности при изучаване на тъждествени преобразувания на полиноми.

№ 2.320 (Сканави) Опростете израза:

В курса по алгебра 7 са дадени следните определения.

Деф. Два израза, чиито съответни стойности са равни за стойностите на променливите, се наричат ​​идентично равни.

Деф. Равенство, вярно за всякакви стойности на извиканите променливи. идентичност.

№94(Ал.7) Тъждеството равенство ли е:

а)

° С)

д)

Дефиниция на описание: Замяната на един израз с друг, идентично равен на него, се нарича идентична трансформация или просто трансформация на израз. Идентични трансформации на изрази с променливи се извършват въз основа на свойствата на операциите с числа.

№ (Ал.7) Сред изразите

намерете тези, които са идентично равни на .

Тема: "Тъждествени преобразувания на изрази" (методика на въпросите)

Първата тема от "Алгебра-7" - "Изрази и техните преобразувания" спомага за затвърждаване на изчислителните умения, придобити в 5-6 клас, за систематизиране и обобщаване на информацията за преобразувания на изрази и решения на уравнения.

Намирането на стойностите на числови и буквени изрази дава възможност да се повторят с учениците правилата за действие с рационални числа. Умението да се извършват аритметични операции с рационални числа е в основата на целия курс по алгебра.

Когато се разглеждат формално трансформациите на изрази, оперативните умения остават на същото ниво, постигнато в 5-6 клас.

Тук обаче учениците се издигат на ново ниво в усвояването на теорията. Въвеждат се понятията „тъждествено равни изрази“, „тъждество“, „тъждествени преобразувания на изрази“, чието съдържание ще се разкрива и задълбочава непрекъснато при изучаване на преобразуванията на различни алгебрични изрази. Подчертава се, че в основата на тъждествените трансформации са свойствата на действията върху числата.

При изучаването на темата "Полиноми" се формират формално-оперативни умения за идентични трансформации на алгебрични изрази. Формулите за съкратено умножение допринасят за по-нататъшния процес на формиране на умения за извършване на идентични трансформации на цели изрази, способността да се прилагат формули както за съкратено умножение, така и за разлагане на полиноми се използва не само при трансформиране на цели изрази, но и при операции с дроби, корени, степени с рационален показател.

В 8. клас се упражняват придобитите умения за тъждествени преобразувания върху действия с алгебрични дроби, квадратни корени и изрази, съдържащи степени с цяло число.

В бъдеще методите на идентични трансформации се отразяват в изрази, съдържащи степен с рационален показател.

Специална група идентични трансформации са тригонометричните изрази и логаритмичните изрази.

Задължителните учебни резултати за курса по алгебра в 7-9 клас включват:

1) идентични трансформации на цели числа

а) отваряне и поставяне на скоби;

б) намаляване на сходните членове;

в) събиране, изваждане и умножение на полиноми;

г) разлагане на полиноми чрез изваждане на общия множител извън скоби и формули за съкратено умножение;

д) факторизиране на квадратен тричлен.

„Математиката в училище” (Б.У.М.) стр.110

2) идентични трансформации на рационални изрази: събиране, изваждане, умножение и деление на дроби, както и прилагане на изброените умения при извършване на прости комбинирани трансформации [стр. 111]

3) учениците трябва да могат да извършват трансформации на прости изрази, съдържащи степени и корени. (стр. 111-112)

Бяха разгледани основните типове задачи, способността за решаване на които позволява на ученика да получи положителна оценка.

Един от най-важните аспекти на методологията за изучаване на идентични трансформации е разработването от учениците на целите за извършване на идентични трансформации.

1) - опростяване на числената стойност на израза

2) кои от трансформациите трябва да се извършат: (1) или (2) Анализът на тези опции е мотивация (за предпочитане (1), защото в (2) областта на дефиницията е стеснена)

3) Решете уравнението:

Разлагане на множители при решаване на уравнения.

4) Изчислете:

Нека приложим формулата за съкратено умножение:

(101-1) (101+1)=100102=102000

5) Намерете стойността на израза:

За да намерите стойността, умножете всяка дроб по конюгата:

6) Начертайте графиката на функцията:

Нека изберем цялата част: .

Предотвратяването на грешки при извършване на идентични трансформации може да се получи чрез различни примери за тяхното изпълнение. В този случай се разработват „малки“ техники, които като компоненти се включват в по-обемист процес на трансформация.

Например:

В зависимост от посоките на уравнението могат да се разглеждат няколко задачи: от дясно на ляво умножение на полиноми; отляво надясно - факторизация. Лявата страна е кратно на един от факторите от дясната страна и т.н.

Освен да променяте примерите, можете да използвате апология между тъждества и числови равенства.

Следващият трик е да се обяснят самоличностите.

За повишаване на интереса на учениците може да се припише търсенето на различни начини за решаване на проблеми.

Уроците по изучаване на идентични трансформации ще станат по-интересни, ако са посветени на намиране на решение на проблем .

Например: 1) намалете фракцията:

3) докажете формулата на "комплексния радикал".

Обмисли:

Нека трансформираме дясната страна на равенството:

-

сбор от спрегнати изрази. Те могат да бъдат умножени и разделени на конюгата, но такава операция ще ни доведе до дроб, чийто знаменател е разликата на радикалите.

Обърнете внимание, че първият член в първата част на самоличността е число, по-голямо от второто, така че можете да поставите на квадрат и двете части:

Практически урок номер 3.

Тема: Тъждествени преобразувания на изрази (въпросителна техника).

Литература: „Работилница по МПМ”, с. 87-93.

Знак за висока култура на изчисления и идентични трансформации сред учениците е солидно познаване на свойствата и алгоритмите на операциите върху точни и приблизителни стойности и тяхното умело приложение; рационални методи за изчисления и трансформации и тяхната проверка; способността да се обоснове прилагането на методи и правила за изчисления и трансформации, автоматизмът на уменията за безпогрешно изпълнение на изчислителни операции.

От кой клас учениците трябва да започнат да работят за развиване на тези умения?

Линията от идентични трансформации на изрази започва с използването на методи за рационално изчисление и започва с използването на методи за рационално изчисляване на стойностите на числовите изрази. (5 клас)

Когато изучавате такива теми в училищен курс по математика, трябва да им се обърне специално внимание!

Съзнателното изпълнение на идентични трансформации от учениците се улеснява от разбирането на факта, че алгебричните изрази не съществуват сами по себе си, а са неразривно свързани с някакъв числов набор, те са обобщени записи на числови изрази. Аналогиите между алгебрични и числови изрази (и техните трансформации) са логически легитимни, използването им в обучението помага да се предпазят учениците от допускане на грешки.

Трансформациите на идентичността не са отделна тема от училищния курс по математика, те се изучават в курса по алгебра и началото на математическия анализ.

Програмата по математика за 1-5 клас е пропедевтичен материал за изучаване на тъждествени преобразувания на изрази с променлива.

В курса по алгебра 7 клетки. въвеждат се определения за идентичност и трансформации на идентичността.

Деф.Два израза, чиито съответни стойности са равни за всякакви стойности на променливите, т.нар. идентично равни.

ОПР. Равенство, което е вярно за всякакви стойности на променливите, се нарича идентичност.

Стойността на идентичността се състои в това, че тя позволява даден израз да бъде заменен с друг, идентично равен на него.

Деф.Замяната на един израз с друг, тъждествено равен на него, се нарича трансформация на идентичносттаили просто трансформацияизрази.

Идентични трансформации на изрази с променливи се извършват въз основа на свойствата на операциите с числа.

Еквивалентните трансформации могат да се разглеждат като основа на идентичните трансформации.

ОПР. Две изречения, всяко от които е логично следствие от другото, т.нар. еквивалентен.

ОПР. Изречение с променливи A извик. следствие от изречението с променливи Bако регионът на истината B е подмножество на регионът на истината A.

Може да се даде друга дефиниция на еквивалентни изречения: две изречения с променливи са еквивалентни, ако техните области на истинност са еднакви.

a) B: x-1=0 върху R; A: (x-1) 2 върху R => A~B защото регионите на истината (решенията) съвпадат (x=1)

b) A: x=2 върху R; B: x 2 \u003d 4 над R => област на истината A: x \u003d 2; регион на истината B: x=-2, x=2; защото регионът на истината A се съдържа в B, тогава: x 2 =4 е следствие от изречението x=2.

Основата на идентичните трансформации е възможността за представяне на едно и също число в различни форми. Например,

-

такова представяне ще помогне при изучаването на темата „основни свойства на фракция“.

Уменията за извършване на идентични трансформации започват да се формират при решаване на примери, подобни на следното: „Намерете числената стойност на израза 2a 3 + 3ab + b 2 с a \u003d 0,5, b = 2/3“, които се предлагат на учениците в 5 клас и позволяват пропедевтиката да се проведе концепция за функция.

При изучаването на формулите за съкратено умножение трябва да се обърне внимание на тяхното дълбоко разбиране и силно усвояване. За да направите това, можете да използвате следната графична илюстрация:

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)

Въпрос: Как да обясня на учениците същността на горните формули според тези чертежи?

Често срещана грешка е объркването на изразите „сума на квадрат“ и „сума на квадрати“. Индикацията на учителя, че тези изрази се различават в реда на действие, не изглежда значима, тъй като учениците вярват, че тези действия се извършват върху едни и същи числа и следователно резултатът не се променя от промяна на реда на действията.

Задача: Съставете устни упражнения, за да развиете уменията на учениците да използват точно горните формули. Как да обясним как тези два израза си приличат и как се различават един от друг?

Голямото разнообразие от еднакви трансформации затруднява ориентацията на учениците за целта, за която се извършват. Неясното знание за целта на извършването на трансформации (във всеки конкретен случай) се отразява негативно на тяхната осведоменост и служи като източник на масови грешки на учениците. Това предполага, че обясняването на учениците на целите на извършването на различни идентични трансформации е важна част от методологията за тяхното изучаване.

Примери за мотивация за идентични трансформации:

1. опростяване на намирането на числената стойност на израза;

2. избор на трансформация на уравнението, която не води до загуба на корена;

3. когато извършвате трансформация, можете да маркирате нейната област на изчисление;

4. използването на трансформации в изчислението, например 99 2 -1=(99-1)(99+1);

За да управлява процеса на вземане на решения, е важно учителят да има способността да даде точно описание на същността на грешката, допусната от ученика. Точното характеризиране на грешката е ключът към правилния избор на последващи действия, предприети от учителя.

Примери за грешки на учениците:

1. извършване на умножение: ученикът получи -54abx 6 (7 клетки);

2. извършвайки степенуване (3x 2) 3, ученикът получава 3x 6 (7 клетки);

3. преобразувайки (m + n) 2 в полином, ученикът получава m 2 + n 2 (7 клетки);

4. намаляване на дроба, който ученикът е получил (8 клетки);

5. извършване на изваждане: , ученикът записва (8 клетки)

6. Представяйки дроб под формата на дроби, ученикът получи: (8 клетки);

7. извличайки аритметичния корен, ученикът получава x-1 (9 клетки);

8. решаване на уравнението (9 клетки);

9. преобразувайки израза, ученикът получава: (9 клетки).

Заключение

Изучаването на тъждествените преобразувания се извършва в тясна връзка с изучаваните в един или друг клас числови множества.

Първо, студентът трябва да бъде помолен да обясни всяка стъпка от трансформацията, да формулира правилата и законите, които се прилагат.

При идентични трансформации на алгебрични изрази се използват две правила: заместване и заместване с равни. Най-често използваната замяна, т.к броенето по формула се основава на него, т.е. намерете стойността на израза a*b с a=5 и b=-3. Много често учениците пренебрегват скобите, когато извършват умножение, вярвайки, че знакът за умножение се подразбира. Например, възможен е такъв запис: 5*-3.

Литература

1. А.И. Азаров, С.А. Барвенов "Функционални и графични методи за решаване на изпитни задачи", Мн. Аверсев, 2004 г.

2. О.Н. Пирютко "Типични грешки при централизирано тестване", Мн. Аверсев, 2006 г.

3. А.И. Азаров, С.А. Барвенов "Задачи-капани на централизирано тестване", Мн. Аверсев, 2006 г.

4. А.И. Азаров, С.А. Барвенов "Методи за решаване на тригонометрични задачи", Мн. Аверсев, 2005 г.

Числени и алгебрични изрази. Преобразуване на изрази.

Какво е израз в математиката? Защо са необходими преобразувания на изрази?

Въпросът, както се казва, е интересен... Факт е, че тези понятия са в основата на цялата математика. Цялата математика се състои от изрази и техните трансформации. Не е много ясно? Нека обясня.

Да кажем, че имате зъл пример. Много голям и много сложен. Да кажем, че си добър по математика и не те е страх от нищо! Можете ли да отговорите веднага?

Ще трябва решитози пример. Последователно, стъпка по стъпка, този пример опростявам. По определени правила, разбира се. Тези. направи преобразуване на изрази. Колко успешно извършвате тези трансформации, толкова сте силни в математиката. Ако не знаете как да правите правилните трансформации, в математиката не можете да го направите Нищо...

За да избегнете такова неудобно бъдеще (или настояще ...), не пречи да разберете тази тема.)

Като начало, нека разберем какво е израз в математиката. Какво числов изрази какво е алгебричен израз.

Какво е израз в математиката?

Изразяване в математикатае много широко понятие. Почти всичко, с което се занимаваме в математиката, е набор от математически изрази. Всякакви примери, формули, дроби, уравнения и така нататък - всичко се състои от математически изрази.

3+2 е математически израз. c 2 - d 2също е математически израз. И здрава дроб, и дори едно число - всичко това са математически изрази. Уравнението например е:

5x + 2 = 12

се състои от два математически израза, свързани със знак за равенство. Единият израз е отляво, другият отдясно.

В общи линии терминът математически израз" се използва най-често, за да не мърморите. Ще ви попитат какво е обикновена дроб, например? И как да отговорите ?!

Отговор 1: „Това е... Мммм... такова нещо ... в което ... Мога ли да напиша дроб по-добре? Кое искаш?"

Вторият вариант на отговор: „Обикновена дроб е (весело и радостно!) математически израз , който се състои от числител и знаменател!"

Вторият вариант е някак по-впечатляващ, нали?)

За тази цел фразата " математически израз "много добре. И правилно, и солидно. Но за практическо приложение трябва да сте добре запознати с него специфични видове изрази в математиката .

Конкретният тип е друг въпрос. то съвсем друго нещо!Всеки вид математически израз има моятанабор от правила и техники, които трябва да се използват при вземането на решение. За работа с дроби - един комплект. За работа с тригонометрични изрази - вторият. За работа с логаритми - третият. И така нататък. Някъде тези правила съвпадат, някъде рязко се различават. Но не се плашете от тези ужасни думи. Логаритми, тригонометрия и други мистериозни неща ще усвоим в съответните раздели.

Тук ще овладеем (или - повторете, както искате...) два основни вида математически изрази. Числови изрази и алгебрични изрази.

Числови изрази.

Какво числов израз? Това е много проста концепция. Самото име подсказва, че това е израз с числа. Така е. Математически израз, съставен от числа, скоби и знаци на аритметични операции, се нарича числов израз.

7-3 е числов израз.

(8+3,2) 5,4 също е числов израз.

И това чудовище:

също числов израз, да...

Обикновено число, дроб, всеки пример за изчисление без х и други букви - всичко това са числови изрази.

основна характеристика числовиизрази в него няма букви. Нито един. Само числа и математически икони (ако е необходимо). Просто е, нали?

И какво може да се направи с числови изрази? Числовите изрази обикновено могат да бъдат преброени. За да направите това, понякога трябва да отваряте скоби, да променяте знаци, да съкращавате, да разменяте термини - т.е. направи преобразувания на изрази. Но повече за това по-долу.

Тук ще се занимаем с такъв забавен случай, когато с числен израз не трябва да правите нищо.Е, съвсем нищо! Тази хубава операция да не правя нищо)- се изпълнява, когато изразът няма смисъл.

Кога числовият израз няма смисъл?

Разбира се, ако видим пред себе си някаква абракадабра, като напр

тогава нищо няма да направим. Тъй като не е ясно какво да се прави с него. Някакви глупости. Освен ако не преброите броя на плюсовете ...

Но има външно доста прилични изрази. Например това:

(2+3) : (16 - 2 8)

Въпреки това, този израз също е няма смисъл! По простата причина, че във вторите скоби - ако броиш - получаваш нула. Не можеш да делиш на нула! Това е забранена операция в математиката. Следователно не е необходимо да правите нищо и с този израз. За всяка задача с такъв израз отговорът винаги ще бъде един и същ: — Изразът няма смисъл!

За да дам такъв отговор, разбира се, трябваше да изчисля какво ще бъде в скоби. И понякога в скоби такъв обрат ... Е, няма какво да се направи по въпроса.

В математиката няма толкова много забранени операции. Има само един в тази тема. Деление на нула. Допълнителни забрани, възникващи при корени и логаритми, се обсъждат в съответните теми.

И така, представа за това какво е числов израз- има. концепция числовият израз няма смисъл- осъзнах. Да отидем по-нататък.

Алгебрични изрази.

Ако в числов израз се появят букви, този израз става... Изразът става... Да! Става алгебричен израз. Например:

5а 2; 3x-2y; 3(z-2); 3.4m/n; x 2 +4x-4; (a + b) 2; ...

Такива изрази също се наричат буквални изрази.Или изрази с променливи.На практика е същото. Изразяване 5а +в, например - както буквални, така и алгебрични, и изрази с променливи.

концепция алгебричен израз -по-широк от числения. То включваи всички числови изрази. Тези. числовият израз също е алгебричен израз, само без буквите. Всяка херинга е риба, но не всяка риба е херинга...)

Защо буквален- ясно. Е, тъй като има букви ... Фраза израз с променливисъщо не е много объркващо. Ако разбирате, че цифрите са скрити под буквите. Под буквите могат да се скрият всякакви цифри ... И 5, и -18, и каквото искате. Тоест едно писмо може замениза различни номера. Затова се наричат ​​буквите променливи.

В израза у+5, например, при- променлива. Или просто кажете " променлива", без думата "стойност". За разлика от петицата, която е постоянна стойност. Или просто - постоянен.

Срок алгебричен изразозначава, че за да работите с този израз, трябва да използвате законите и правилата алгебра. Ако аритметикатогава работи с конкретни числа алгебра- с всички числа наведнъж. Прост пример за пояснение.

В аритметиката може да се напише това

Но ако напишем подобно равенство чрез алгебрични изрази:

a + b = b + a

веднага ще решим всичковъпроси. За всички числаудар. За безкрайно много неща. Защото под буквите аи bподразбира се всичкочисла. И не само числата, но дори и други математически изрази. Ето как работи алгебрата.

Кога един алгебричен израз няма смисъл?

За числовия израз всичко е ясно. Не можеш да делиш на нула. А с буквите може ли да разберем на какво делим?!

Нека вземем следния променлив израз като пример:

2: (а - 5)

Има ли смисъл? Но кой го познава? а- всяко число...

Всякакви, всякакви... Но има едно значение а, за които този израз точноняма смисъл! И какво е това число? да 5 е! Ако променливата азаменете (казват - "заместване") с числото 5, в скоби ще се окаже нула. които не могат да бъдат разделени. Така се оказва, че нашият израз няма смисъл, ако а = 5. Но за други стойности аима ли смисъл? Можете ли да замените други числа?

Разбира се. В такива случаи просто се казва, че изразът

2: (а - 5)

има смисъл за всяка стойност а, с изключение на a = 5 .

Целият набор от числа могазаместител в дадения израз се извиква валиден диапазонтози израз.

Както можете да видите, няма нищо сложно. Разглеждаме израза с променливи и мислим: при каква стойност на променливата се получава забранената операция (деление на нула)?

И тогава не забравяйте да погледнете въпроса за задачата. Какво питат?

няма смисъл, нашата забранена стойност ще бъде отговорът.

Ако попитат при каква стойност на променливата е изразът има значението(почувствайте разликата!), отговорът ще бъде всички останали числас изключение на забраненото.

Защо се нуждаем от значението на израза? Има го, няма го... Каква е разликата?! Факт е, че тази концепция става много важна в гимназията. Изключително важно! Това е основата за такива солидни концепции като диапазона от валидни стойности или обхвата на функция. Без това изобщо няма да можете да решавате сериозни уравнения или неравенства. Като този.

Преобразуване на изрази. Трансформации на идентичността.

Запознахме се с числови и алгебрични изрази. Разберете какво означава фразата "изразът няма смисъл". Сега трябва да разберем какво преобразуване на изрази.Отговорът е прост, възмутително.) Това е всяко действие с израз. И това е. Вие правите тези трансформации от първи клас.

Вземете готиния числов израз 3+5. Как може да се преобразува? Да, много лесно! Изчисли:

Това изчисление ще бъде трансформацията на израза. Можете да напишете същия израз по различен начин:

Тук не сме броили нищо. Просто запишете израза в различна форма.Това също ще бъде трансформация на израза. Може да се напише така:

И това също е трансформация на израз. Можете да направите колкото искате от тези трансформации.

Всякаквидействие върху израз всякаквизаписването му в различна форма се нарича трансформация на израз. И всички неща. Всичко е много просто. Но тук има едно нещо много важно правило.Толкова важно, че спокойно може да се нарече основно правилоцялата математика. Нарушаването на това правило неизбежноводи до грешки. разбираме ли?)

Да кажем, че сме трансформирали нашия израз произволно, така:

Трансформация? Разбира се. Написахме израза в различна форма, какво не е наред тук?

Не е така.) Факт е, че трансформациите "както и да е"математиката изобщо не се интересува.) Цялата математика е изградена върху трансформации, при които външният вид се променя, но същността на израза не се променя.Три плюс пет може да се напише във всякаква форма, но трябва да е осем.

трансформации, изрази, които не променят същносттаНаречен идентичен.

Точно идентични трансформациии ни позволяват, стъпка по стъпка, да превърнем сложен пример в прост израз, запазвайки същността на примера.Ако направим грешка във веригата от трансформации, ще направим НЕ идентична трансформация, тогава ще решим другпример. С други отговори, които не са свързани с правилните.)

Тук е основното правило за решаване на всякакви задачи: спазване на идентичността на трансформациите.

Дадох пример с цифров израз 3 + 5 за яснота. В алгебричните изрази идентичните трансформации се дават чрез формули и правила. Да кажем, че има формула в алгебрата:

a(b+c) = ab + ac

Така че във всеки пример можем вместо израза a(b+c)не се колебайте да напишете израз ab+ac. И обратно. то идентична трансформация.Математиката ни дава избор между тези два израза. А кой да напише зависи от конкретния пример.

Друг пример. Едно от най-важните и необходими трансформации е основното свойство на дроб. Повече подробности можете да видите на линка, но тук само напомням правилото: ако числителят и знаменателят на дроб се умножат (разделят) на едно и също число или израз, който не е равен на нула, дробта няма да се промени.Ето пример за идентични трансформации за това свойство:

Както вероятно се досещате, тази верига може да бъде продължена безкрайно...) Много важно свойство. Именно то ви позволява да превърнете всякакви примерни чудовища в бели и пухкави.)

Има много формули, дефиниращи идентични трансформации. Но най-важното - доста разумна сума. Една от основните трансформации е факторизацията. Използва се във всякаква математика – от начална до напреднала. Да започнем с него. в следващия урок.)

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

Важни бележки!
1. Ако вместо формули видите абракадабра, изчистете кеша. Как да го направите във вашия браузър е написано тук:
2. Преди да започнете да четете статията, обърнете внимание на нашия навигатор за най-полезния ресурс за

Често чуваме тази неприятна фраза: "опростете израза."Обикновено в този случай имаме някакъв вид чудовище като това:

„Да, много по-лесно“, казваме ние, но такъв отговор обикновено не работи.

Сега ще ви науча да не се страхувате от подобни задачи.

Освен това в края на урока вие сами ще опростите този пример до (само!) обикновено число (да, по дяволите с тези букви).

Но преди да започнете този урок, трябва да можете боравят с дробии факторизиране на полиноми.

Ето защо, ако не сте правили това преди, не забравяйте да овладеете темите "" и "".

Прочети? Ако да, значи сте готови.

Да вървим! (Да вървим!)

Основни операции за опростяване на изрази

Сега ще анализираме основните техники, които се използват за опростяване на изрази.

Най-простият от тях е

1. Привеждане на подобни

Кои са подобни? Преминали сте през това в 7 клас, когато за първи път в математиката се появиха букви вместо числа.

Подобенса термини (мономи) с една и съща буквена част.

Например, в сумата подобни членове са и.

Спомняте ли си?

Донесете подобни- означава да добавите няколко подобни термина един с друг и да получите един термин.

Но как можем да сглобим буквите? - ти питаш.

Това е много лесно за разбиране, ако си представите, че буквите са някакви предмети.

Например буквата е стол. Тогава какъв е изразът?

Два стола плюс три стола, колко ще бъде? Точно така, столове: .

Сега опитайте този израз:

За да не се объркате, нека различни букви означават различни предмети.

Например, - това е (както обикновено) стол, и - това е маса.

столове маси столове маси столове столове маси

Наричат ​​се числата, с които се умножават буквите в такива термини коефициенти.

Например в монома коефициентът е равен. И той е равен.

И така, правилото за привеждане на подобни:

Примери:

Донесете подобни:

Отговори:

2. (и са подобни, тъй като, следователно, тези термини имат една и съща буквена част).

2. Разлагане на множители

Това обикновено е най-важната част от опростяването на изрази.

След като сте дали подобни, най-често е необходим полученият израз факторизирам, т.е. представя като продукт.

Особено това важно в дроби:защото за да се намали фракцията, числителят и знаменателят трябва да бъдат изразени като произведение.

Вие преминахте през подробните методи за разлагане на изрази в темата "", така че тук просто трябва да запомните какво сте научили.

За да направите това, решете няколко примера (трябва да разложите на множители)

Примери:

Решения:

3. Намаляване на фракцията.

Е, какво по-хубаво от това да зачеркнеш част от числителя и знаменателя и да ги изхвърлиш от живота си?

Това е красотата на съкращението.

Просто е:

Ако числителят и знаменателят съдържат едни и същи множители, те могат да бъдат намалени, тоест премахнати от дробта.

Това правило следва от основното свойство на дробта:

Тоест, същността на операцията по редукция е тази Делим числителя и знаменателя на една дроб на едно и също число (или на един и същи израз).

За да намалите дроб, трябва:

1) числител и знаменател факторизирам

2) ако числителят и знаменателят съдържат общи фактори, те могат да бъдат изтрити.

Примери:

Принципът, мисля, е ясен?

Бих искал да обърна внимание на една типична грешка в съкращението. Въпреки че тази тема е проста, но много хора правят всичко погрешно, без да осъзнават това разрез- това означава разделямчислител и знаменател с едно и също число.

Без съкращения, ако числителят или знаменателят е сумата.

Например: трябва да опростите.

Някои правят това: което е абсолютно погрешно.

Друг пример: намали.

"Най-умните" ще направят това:

Кажи ми какво не е наред тук? Изглежда: - това е множител, така че можете да намалите.

Но не: - това е множител само на един член в числителя, но самият числител като цяло не се разлага на множители.

Ето още един пример: .

Този израз се разлага на множители, което означава, че можете да намалите, тоест да разделите числителя и знаменателя на и след това на:

Можете веднага да разделите на:

За да избегнете подобни грешки, запомнете един лесен начин да определите дали даден израз е разложен на множители:

Аритметичната операция, която се извършва последна при изчисляване на стойността на израза, е "основната".

Тоест, ако замените някои (произволни) числа вместо букви и се опитате да изчислите стойността на израза, тогава ако последното действие е умножение, тогава имаме продукт (изразът се разлага на множители).

Ако последното действие е събиране или изваждане, това означава, че изразът не е разложен на множители (и следователно не може да бъде намален).

За да го поправите сами, няколко примера:

Примери:

Решения:

4. Събиране и изваждане на дроби. Привеждане на дроби към общ знаменател.

Добавянето и изваждането на обикновени дроби е добре позната операция: търсим общ знаменател, умножаваме всяка дроб по липсващия фактор и събираме/изваждаме числителите.

Да си припомним:

Отговори:

1. Знаменателите и са взаимно прости, т.е. нямат общи множители. Следователно LCM на тези числа е равен на техния продукт. Това ще бъде общият знаменател:

2. Тук общият знаменател е:

3. Тук, на първо място, превръщаме смесените дроби в неправилни, а след това - според обичайната схема:

Съвсем друг въпрос е, ако дробите съдържат букви, например:

Да започнем просто:

а) Знаменателите не съдържат букви

Тук всичко е същото като при обикновените числови дроби: намираме общ знаменател, умножаваме всяка дроб по липсващия фактор и добавяме / изваждаме числителите:

сега в числителя можете да донесете подобни, ако има такива, и да ги факторизирате:

Опитайте сами:

Отговори:

б) Знаменателите съдържат букви

Нека си припомним принципа за намиране на общ знаменател без букви:

На първо място, ние определяме общите фактори;

След това изписваме всички общи множители веднъж;

и ги умножете по всички други фактори, а не по обичайните.

За да определим общите множители на знаменателите, първо ги разлагаме на прости множители:

Подчертаваме общите фактори:

Сега изписваме общите фактори веднъж и добавяме към тях всички необичайни (неподчертани) фактори:

Това е общият знаменател.

Да се ​​върнем на писмата. Знаменателите са дадени по абсолютно същия начин:

Разлагаме знаменателите на множители;

определяне на общи (еднакви) множители;

изпишете всички общи множители веднъж;

Ние ги умножаваме по всички други фактори, а не по обичайните.

И така, по ред:

1) разложете знаменателите на фактори:

2) определят общите (идентични) фактори:

3) напишете всички общи множители веднъж и ги умножете по всички останали (неподчертани) множители:

Така че общият знаменател е тук. Първата дроб трябва да се умножи по, втората - по:

Между другото, има един трик:

Например: .

Виждаме същите фактори в знаменателите, само всички с различни показатели. Общият знаменател ще бъде:

до степента

до степента

до степента

в степен.

Нека усложним задачата:

Как да накарам дробите да имат еднакъв знаменател?

Нека си припомним основното свойство на дробта:

Никъде не се казва, че едно и също число може да се извади (или добави) от числителя и знаменателя на дроб. Защото не е истина!

Вижте сами: вземете произволна дроб, например, и добавете някакво число към числителя и знаменателя, например, . Какво е научено?

И така, още едно непоклатимо правило:

Когато привеждате дроби към общ знаменател, използвайте само операцията умножение!

Но какво трябва да умножите, за да получите?

Тук и умножете. И умножете по:

Изрази, които не могат да бъдат факторизирани, ще се наричат ​​"елементарни множители".

Например, е елементарен фактор. - също. Но – не: разлага се на фактори.

Какво ще кажете за изразяването? Елементарно ли е?

Не, защото може да се разложи на фактори:

(вече прочетохте за факторизацията в темата "").

И така, елементарните множители, на които разлагате израз с букви, са аналог на простите множители, на които разлагате числата. И ние ще направим същото с тях.

Виждаме, че и двата знаменателя имат множител. Ще отиде до общия знаменател във властта (помнете защо?).

Множителят е елементарен и те нямат общо, което означава, че първата дроб просто ще трябва да бъде умножена по него:

Друг пример:

Решение:

Преди да умножите тези знаменатели в паника, трябва да помислите как да ги разделите? И двете представляват:

Отлично! Тогава:

Друг пример:

Решение:

Както обикновено, разлагаме знаменателите на множители. В първия знаменател просто го поставяме извън скоби; във втория - разликата на квадратите:

Изглежда, че няма общи фактори. Но ако се вгледате внимателно, те вече са толкова сходни ... И истината е:

Така че нека напишем:

Тоест, получи се така: вътре в скобата сменихме условията и в същото време знакът пред дробта се промени на противоположния. Обърнете внимание, ще трябва да правите това често.

Сега привеждаме към общ знаменател:

Схванах го? Сега да проверим.

Задачи за самостоятелно решаване:

Отговори:

5. Умножение и деление на дроби.

Е, най-трудната част вече свърши. И пред нас е най-простото, но в същото време и най-важното:

Процедура

Каква е процедурата за изчисляване на числов израз? Запомнете, имайки предвид стойността на такъв израз:

броихте ли

Би трябвало да работи.

И така, напомням ви.

Първата стъпка е да се изчисли степента.

Второто е умножение и деление. Ако има няколко умножения и деления едновременно, можете да ги правите в произволен ред.

И накрая, извършваме събиране и изваждане. Отново в произволен ред.

Но: изразът в скоби се изчислява неправилно!

Ако няколко скоби се умножат или разделят една на друга, първо оценяваме израза във всяка от скобите и след това ги умножаваме или разделяме.

Ами ако има други скоби вътре в скобите? Добре, нека помислим: в скобите е записан някакъв израз. Какво е първото нещо, което трябва да направите, когато оценявате израз? Точно така, изчислете скоби. Е, разбрахме го: първо изчисляваме вътрешните скоби, след това всичко останало.

И така, редът на действията за израза по-горе е както следва (текущото действие е маркирано в червено, т.е. действието, което изпълнявам в момента):

Добре, всичко е просто.

Но това не е същото като израз с букви, нали?

Не, същото е! Само вместо аритметични операции е необходимо да се извършват алгебрични операции, т.е. операциите, описани в предишния раздел: привеждане на подобни, събиране на дроби, съкращаване на дроби и т.н. Единствената разлика ще бъде действието на факторизиране на полиномите (често го използваме, когато работим с дроби). Най-често за факторизиране трябва да използвате i или просто да извадите общия множител извън скоби.

Обикновено нашата цел е да представим израз като произведение или частно.

Например:

Нека опростим израза.

1) Първо опростяваме израза в скоби. Там имаме разликата на дробите и нашата цел е да я представим като произведение или частно. И така, привеждаме дробите към общ знаменател и добавяме:

Невъзможно е да се опрости този израз допълнително, всички фактори тук са елементарни (все още помните ли какво означава това?).

2) Получаваме:

Умножение на дроби: какво може да бъде по-лесно.

3) Сега можете да съкратите:

Добре, всичко свърши. Нищо сложно, нали?

Друг пример:

Опростете израза.

Първо се опитайте да го решите сами и едва след това погледнете решението.

Решение:

Първо, нека дефинираме процедурата.

Първо, нека добавим дробите в скоби, вместо две дроби ще се получи една.

След това ще направим разделяне на дроби. Добре, събираме резултата с последната дроб.

Ще номерирам схематично стъпките:

Накрая ще ви дам два полезни съвета:

1. Ако има подобни, трябва да се донесат веднага. В който и момент да имаме подобни е препоръчително да ги донесем веднага.

2. Същото важи и за намаляването на дроби: веднага щом възникне възможност за намаляване, тя трябва да се използва. Изключение правят дробите, които добавяте или изваждате: ако те сега имат еднакви знаменатели, тогава намаляването трябва да се остави за по-късно.

Ето някои задачи, които можете да решите сами:

И обеща в самото начало:

Отговори:

Решения (накратко):

Ако сте се справили поне с първите три примера, тогава смятайте, че сте усвоили темата.

Сега към ученето!

ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ИЗРАЗ. ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНА ФОРМУЛА

Основни операции за опростяване:

• Привеждане на подобни: за да добавите (намалите) подобни термини, трябва да добавите техните коефициенти и да зададете буквената част.
• Факторизация:изваждане на общия множител извън скоби, прилагане и т.н.
• Намаляване на фракцията: числителят и знаменателят на дроб могат да бъдат умножени или разделени на едно и също ненулево число, от което стойността на дробта не се променя.
  1) числител и знаменател факторизирам
  2) ако има общи множители в числителя и знаменателя, те могат да бъдат задраскани.

  ВАЖНО: могат да се намаляват само множителите!

• Събиране и изваждане на дроби:
  ;
• Умножение и деление на дроби:
  ;

Е, темата приключи. Щом четеш тези редове, значи си много готин.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако сте прочели до края, значи сте в 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това е ... просто е супер! Вие вече сте по-добри от огромното мнозинство от вашите връстници.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

За какво?

За успешното полагане на изпита, за прием в института на бюджета и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само ще кажа едно...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на изпита и в крайна сметка ... по-щастливи?

НАПЪЛНЕТЕ РЪКАТА СИ, РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

На изпита няма да ви питат теория.

Ще имаш нужда решавайте проблемите навреме.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да я направите навреме.

Това е като в спорта - трябва да повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекция навсякъде, където пожелаете задължително с решения, подробен анализи решавайте, решавайте, решавайте!

Можете да използвате нашите задачи (не е необходимо) и ние със сигурност ги препоръчваме.

За да получите ръка с помощта на нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.

как? Има две възможности:

1. Отключете достъпа до всички скрити задачи в тази статия -
2. Отключете достъп до всички скрити задачи във всичките 99 статии на урока - Купете учебник - 499 рубли

Да, имаме 99 такива статии в учебника и веднага се отваря достъп до всички задачи и всички скрити текстове в тях.

Достъпът до всички скрити задачи е осигурен за целия живот на сайта.

В заключение...

Ако не харесвате нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте с теорията.

„Разбрах“ и „Знам как да решавам“ са напълно различни умения. Трябват ви и двете.

Намерете проблеми и решете!

Числата и изразите, съставляващи оригиналния израз, могат да бъдат заменени с изрази, които са идентично равни на тях. Такава трансформация на оригиналния израз води до израз, който е идентично равен на него.

Например в израза 3+x числото 3 може да бъде заменено със сумата 1+2, което води до израза (1+2)+x, който е идентично равен на оригиналния израз. Друг пример: в израза 1+a 5 степента на a 5 може да бъде заменена с идентично равен на нея продукт, например във формата a·a 4 . Това ще ни даде израза 1+a·a 4 .

Тази трансформация несъмнено е изкуствена и обикновено е подготовка за някаква по-нататъшна трансформация. Например, в сумата 4·x 3 +2·x 2 , като се вземат предвид свойствата на степента, членът 4·x 3 може да бъде представен като произведение 2·x 2 ·2·x . След такава трансформация оригиналният израз ще приеме формата 2·x 2 ·2·x+2·x 2 . Очевидно членовете в резултантната сума имат общ множител 2 х 2, така че можем да извършим следната трансформация - скоби. След него ще стигнем до израза: 2 x 2 (2 x+1) .

Събиране и изваждане на едно и също число

Друга изкуствена трансформация на израз е добавянето и изваждането на едно и също число или израз едновременно. Такава трансформация е идентична, тъй като всъщност е еквивалентна на добавяне на нула, а добавянето на нула не променя стойността.

Помислете за пример. Нека вземем израза x 2 +2 x . Ако добавите едно към него и извадите едно, тогава това ще ви позволи да извършите друга идентична трансформация в бъдеще - изберете квадрата на бинома: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

Библиография.

• Алгебра:учебник за 7 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 17-то изд. - М. : Образование, 2008. - 240 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра:учебник за 8 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г.Алгебра. 7 клас. В 14 ч. Част 1. Учебник за ученици от образователни институции / А. Г. Мордкович. - 17-то изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.

Основни свойства на събирането и умножението на числата.

Комутативно свойство на събирането: когато членовете се пренаредят, стойността на сумата не се променя. За всякакви числа a и b равенството е вярно

Асоциативното свойство на събирането: за да добавите трето число към сумата от две числа, можете да добавите сумата от второто и третото към първото число. За всякакви числа a, b и c равенството е вярно

Комутативно свойство на умножението: пермутацията на множителите не променя стойността на произведението. За всякакви числа a, b и c равенството е вярно

Асоциативното свойство на умножението: за да умножите произведението на две числа по трето число, можете да умножите първото число по произведението на второто и третото.

За всякакви числа a, b и c равенството е вярно

Разпределително свойство: За да умножите число по сума, можете да умножите това число по всеки член и да добавите резултатите. За всякакви числа a, b и c равенството е вярно

От комутативните и асоциативните свойства на събирането следва, че във всяка сума можете да пренаредите членовете както желаете и да ги комбинирате в групи по произволен начин.

Пример 1 Нека изчислим сумата 1,23+13,5+4,27.

За да направите това, е удобно да комбинирате първия термин с третия. Получаваме:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Това следва от комутативните и асоциативни свойства на умножението: във всеки продукт можете да пренаредите факторите по всякакъв начин и произволно да ги комбинирате в групи.

Пример 2 Нека намерим стойността на продукта 1,8 0,25 64 0,5.

Комбинирайки първия фактор с четвъртия и втория с третия, ще имаме:

1,8 0,25 64 0,5 \u003d (1,8 0,5) (0,25 64) = 0,9 16 \u003d 14,4.

Свойството за разпределение е валидно и когато числото се умножи по сумата от три или повече члена.

Например за всякакви числа a, b, c и d равенството е вярно

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Знаем, че изваждането може да бъде заменено със събиране чрез добавяне към умаляваното число, противоположно на изважданото:

Това позволява числов израз от формата a-b да се счита за сбор от числата a и -b, числов израз от формата a + b-c-d да се счита за сбор от числа a, b, -c, -d и т.н. разглежданите свойства на действията са валидни и за такива суми.

Пример 3 Нека намерим стойността на израза 3,27-6,5-2,5+1,73.

Този израз е сумата от числата 3,27, -6,5, -2,5 и 1,73. Прилагайки свойствата на добавяне, получаваме: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -четири.

Пример 4 Нека изчислим произведението 36·().

Множителят може да се разглежда като сбор от числата и -. Използвайки разпределителното свойство на умножението, получаваме:

36()=36-36=9-10=-1.

Идентичности

Определение. Два израза, чиито съответни стойности са равни за всякакви стойности на променливите, се наричат ​​идентично равни.

Определение. Равенство, което е вярно за всякакви стойности на променливите, се нарича идентичност.

Нека намерим стойностите на изразите 3(x+y) и 3x+3y за x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

Получихме същия резултат. От разпределителното свойство следва, че като цяло за всякакви стойности на променливите, съответните стойности на изразите 3(x+y) и 3x+3y са равни.

Помислете сега за изразите 2x+y и 2xy. За x=1, y=2 те приемат равни стойности:

Можете обаче да зададете стойности x и y, така че стойностите на тези изрази да не са равни. Например, ако x=3, y=4, тогава

Изразите 3(x+y) и 3x+3y са идентично равни, но изразите 2x+y и 2xy не са идентично равни.

Равенството 3(x+y)=x+3y, вярно за всякакви стойности на x и y, е идентичност.

Истинските числени равенства също се считат за идентичности.

И така, идентичностите са равенства, изразяващи основните свойства на действията върху числата:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Могат да се дадат и други примери за идентичности:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Тъждествени трансформации на изрази

Замяната на един израз с друг, тъждествено равен на него, се нарича тъждествено преобразуване или просто преобразуване на израз.

Идентични трансформации на изрази с променливи се извършват въз основа на свойствата на операциите с числа.

За да намерите стойността на израза xy-xz, дадени стойностите x, y, z, трябва да изпълните три стъпки. Например с x=2.3, y=0.8, z=0.2 получаваме:

xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.

Този резултат може да бъде получен само в две стъпки, като се използва изразът x(y-z), който е идентично равен на израза xy-xz:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3 0,6=1,38.

Опростихме изчисленията, като заменихме израза xy-xz с идентично равен израз x(y-z).

Трансформациите на идентичност на изрази се използват широко при изчисляване на стойностите на изрази и решаване на други проблеми. Някои идентични трансформации вече са извършени, например редуциране на подобни членове, отваряне на скоби. Припомнете си правилата за извършване на тези трансформации:

за да донесете подобни термини, трябва да съберете техните коефициенти и да умножите резултата по общата буквена част;

ако има знак плюс пред скобите, тогава скобите могат да бъдат пропуснати, като се запази знакът на всеки термин, заграден в скоби;

ако има знак минус преди скобите, тогава скобите могат да бъдат пропуснати чрез промяна на знака на всеки термин, заграден в скоби.

Пример 1 Нека съберем подобни членове в сумата 5x+2x-3x.

Използваме правилото за намаляване на сходни термини:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Тази трансформация се основава на разпределителното свойство на умножението.

Пример 2 Нека разгънем скобите в израза 2a+(b-3c).

Прилагане на правилото за отваряне на скоби, предшествани от знак плюс:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Извършената трансформация се основава на асоциативното свойство на събирането.

Пример 3 Нека разгънем скобите в израза a-(4b-c).

Нека използваме правилото за разширяване на скоби, предшествани от знак минус:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Извършената трансформация се основава на разпределителното свойство на умножението и асоциативното свойство на събирането. Нека го покажем. Нека представим втория член -(4b-c) в този израз като произведение (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Прилагайки тези свойства на действията, получаваме:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.