При затихнали трептения коефициентът на затихване. Фактор на затихване

В действителност свободните трептения възникват под действието на съпротивителни сили. Дисипативните сили водят до намаляване на амплитудата на трептенията. Трептенията, чиято амплитуда намалява с течение на времето в резултат на загуби на енергия, се наричат ​​затихващи.

Затихващи механични трептения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Физическото количество, което характеризира скоростта на затихване на трептенията, се нарича фактор на затихване. Коефициентът на затихване може да се обозначи по различни начини: т.н. При условие, че силите на триене са пропорционални на скоростта на тялото:

където - е обобщеният коефициент на триене, коефициентът на затихване се счита за равен на:

където е масата на тялото, което се колебае.

Диференциалното уравнение на трептенията при наличие на затихване ще има формата:

е цикличната честота на свободните трептения на системата при липса на триене.

Уравнение на затихналите трептения:

където е честотата на затихналите трептения, е амплитудата на затихналите трептения. е постоянна стойност, която зависи от избора на референтната времева точка.

Коефициентът на затихване може да се дефинира като реципрочната стойност на времето (), за което амплитудите (A) намаляват с e пъти:

къде е времето за релакс. Тоест можете да напишете:

Периодът на затихналите трептения е равен на:

с незначително съпротивление на средата, ако неравенството е изпълнено: периодът на трептене може да се изчисли по формулата:

С увеличаване на коефициента на затихване периодът на трептене се увеличава. Трябва да се отбележи, че концепцията за периода на затихнали трептения не съвпада с концепцията за незатихнали трептения, тъй като системата при наличие на затихване никога не се връща в първоначалното си състояние. Периодът на затихнали трептения е минималният период от време, през който системата преминава през равновесното положение два пъти в една и съща посока.

С увеличаване на коефициента на затихване на трептенията, честотата на трептенията намалява. Ако , тогава честотата на затихналите трептения ще стане равна на нула, докато периодът се увеличава до безкрайност. Такива колебания губят своята периодичност и се наричат ​​апериодични. Когато коефициентът на затихване е равен на собствената честота на трептенията, параметрите на системата се наричат ​​критични.

Коефициентът на затихване на трептенията е свързан с логаритмичния декремент на затихване () чрез израза:

Затихнали електрически трептения

Всяка електрическа верига, която съществува в действителност, има активно съпротивление, следователно енергията, съхранявана в нея с течение на времето, се изразходва за това съпротивление, тъй като се нагрява.

В този случай коефициентът на затихване за електрическата верига се изчислява като:

където R е съпротивлението, L е индуктивността на веригата.

Честотата в електромагнитната верига се представя по формулата:

За RLC верига критичното съпротивление (), при което трептенията стават апериодични, е съпротивлението, равно на:

се намират при

Единици за коефициент на затихване

Основната единица за измерване на коефициента на затихване в системата SI е:

Примери за решаване на проблеми

ПРИМЕР 1

Упражнение	Какъв е коефициентът на затихване, ако амплитудата на трептенията на махалото се извършва за време t=10 s. намалява 4 пъти?
Решение	Нека запишем уравнението на затихналите трептения на махалото: Според едно от определенията на коефициента на затихване: Нека направим изчисленията:
Отговор

ПРИМЕР 2

Упражнение	Осцилаторната верига се състои от индуктор L, кондензатор C и съпротивление R (фиг. 1). След какъв брой пълни трептения (N) амплитудата на тока във веригата ще намалее с коефициент e?
Решение	Въвеждаме следната нотация: - началната стойност на амплитудата на силата на тока, - амплитудата на силата на тока чрез N трептения, тогава можем да запишем:

1.21. ЗАТИХВАЩИ, ПРИНУДЕНИ ТРЕБТИЯ

Диференциалното уравнение на затихващите трептения и неговото решение. Коефициент на затихване. логаритмично декамортисьорна лента.Q факторсистема на тялото.апериодичен процес. Диференциалното уравнение на принудените трептения и неговото решение.Амплитуда и фаза на принудени трептения. Процесът на установяване на трептения. Резонансен случай.Автоколебания.

Затихването на трептенията е постепенното намаляване на амплитудата на трептенията с течение на времето, дължащо се на загуба на енергия от трептящата система.

Естествените вибрации без затихване са идеализация. Причините за избледняване могат да бъдат различни. В една механична система вибрациите се гасят от наличието на триене. Когато цялата енергия, съхранявана в осцилиращата система, се изразходва, трептенията спират. Следователно амплитудата затихващи трептения намалява, докато стане нула.

Затихващите трептения, както и естествените, в системи, които са различни по природа, могат да се разглеждат от една единствена гледна точка - общи черти. Въпреки това, такива характеристики като амплитуда и период изискват предефиниране, докато други изискват допълнения и пояснения в сравнение със същите характеристики за естествени незатихващи трептения. Общите признаци и концепции за затихнали трептения са следните:

Диференциалното уравнение трябва да се получи, като се вземе предвид намаляването на вибрационната енергия в процеса на трептене.

Уравнението на трептенията е решение на диференциално уравнение.

Амплитудата на затихващите трептения зависи от времето.

Честотата и периодът зависят от степента на затихване на трептенията.

Фазата и началната фаза имат същото значение като за незатихващи трептения.

Механични затихващи трептения.

механична система : пружинно махало, подложено на сили на триене.

Сили, действащи върху махалото :

Еластична сила., където k е коефициентът на твърдост на пружината, х е изместването на махалото от равновесното положение.

Съпротивителна сила. Помислете за съпротивителната сила, пропорционална на скоростта v на движение (такава зависимост е типична за голям клас съпротивителни сили): . Знакът минус показва, че посоката на съпротивителната сила е противоположна на посоката на скоростта на тялото. Коефициентът на съпротивление r е числено равен на силата на съпротивление, която възниква при единица скорост на тялото:

Закон за движението пружинното махало е вторият закон на Нютон:

м а = Епр. + Епротивопоставям се.

Като се има предвид, че и , записваме втория закон на Нютон във формата:

. (21.1)

Разделяйки всички членове на уравнението на m, премествайки ги всички в дясната страна, получаваме диференциално уравнение затихнали трептения:

Нека обозначим къде β – фактор на затихване , , където ω 0 е честотата на незатихващи свободни трептения при липса на загуби на енергия в трептящата система.

В новата нотация диференциалното уравнение на затихналите трептения има формата:

. (21.2)

Това е линейно диференциално уравнение от втори ред.

Това линейно диференциално уравнение се решава чрез промяна на променливи. Представяме функцията x, в зависимост от времето t, във формата:

.

Нека намерим първата и втората производни по време на тази функция, като се има предвид, че функцията z също е функция на времето:

, .

Заместете изразите в диференциалното уравнение:

Внасяме подобни членове в уравнението и намаляваме всеки член с , получаваме уравнението:

.

Нека обозначим количеството .

Решение на уравнението са функциите , .

Връщайки се към променливата x, получаваме формулите за уравненията на затихналите трептения:

По този начин , уравнение на затихнали трептенияе решение на диференциалното уравнение (21.2):

Затихваща честота на трептене :

(следователно само истинският корен има физическо значение).

Период на затихнали трептения :

(21.5)

Значението, което беше вложено в концепцията за период за незатихнали трептения, не е подходящо за затихнали трептения, тъй като осцилаторната система никога не се връща в първоначалното си състояние поради загуба на осцилаторна енергия. При наличие на триене трептенията са по-бавни: .

Периодът на затихнали трептения наречен минимален интервал от време, за който системата преминава два пъти равновесното положение в една и съща посока.

За механичната система на пружинното махало имаме:

, .

Амплитуда на затихващите трептения :

За пружинно махало.

Амплитудата на затихващите трептения не е постоянна стойност, а се променя с времето толкова по-бързо, колкото по-голям е коефициентът β. Следователно определението за амплитудата, дадено по-рано за незатихващи свободни трептения, трябва да бъде променено за затихнали трептения.

За малко затихване амплитуда на затихнали трептения нарича най-голямото отклонение от равновесното положение за периода.

Графики кривите на отместването спрямо времето и амплитудата спрямо времето са показани на фигури 21.1 и 21.2.

Фигура 21.1 - Зависимостта на преместването от времето за затихнали трептения.

Фигура 21.2 - Зависимости на амплитудата от времето за затихнали трептения

Характеристики на затихващите трептения.

1. Коефициент на затихване β .

Промяната в амплитудата на затихналите трептения се извършва съгласно експоненциалния закон:

Нека амплитудата на трептенията намалее с "e" пъти във времето τ ("e" е основата на естествения логаритъм, e ≈ 2,718). Тогава, от една страна, , а от друга страна, рисувайки амплитудите A zat. (t) и A at. (t+τ), имаме . Тези отношения предполагат βτ = 1, следователно .

Времеви интервал τ , за което амплитудата намалява с “e” пъти, се нарича време на релаксация.

Коефициент на затихване β е стойност, обратно пропорционална на времето за релаксация.

2. Логаритмичен декремент на затихване δ - физическа величина, числено равна на натурален логаритъм от отношението на две последователни амплитуди, разделени във времето с период.

Ако затихването е малко, т.е. стойността на β е малка, тогава амплитудата се променя леко през периода и логаритмичният декремент може да се дефинира, както следва:

,

където A при. (t) и A at. (t + NT) - амплитудите на трептене във време e и след N периода, т.е. във време (t + NT).

3. Качествен фактор Q осцилаторна система е безразмерна физическа величина, равна на произведението на стойността (2π) νa отношението на енергията W(t) на системата в произволен момент от време към загубата на енергия за един период на затихнали трептения:

.

Тъй като енергията е пропорционална на квадрата на амплитудата, тогава

За малки стойности на логаритмичния декремент δ, качественият фактор на осцилаторната система е равен на

,

където N e е броят на трептенията, по време на които амплитудата намалява с "e" пъти.

И така, коефициентът на качество на пружинно махало е. Колкото по-голям е коефициентът на качество на една осцилаторна система, толкова по-малко е затихването, толкова по-дълго ще продължи периодичният процес в такава система. Качествен фактор на осцилаторната система -безразмерна величина, която характеризира разсейването на енергия във времето.

4. С увеличаване на коефициента β честотата на затихналите трептения намалява и периодът се увеличава. При ω 0 = β честотата на затихналите трептения става равна на нула ω zat. = 0 и Т зат. = ∞. В този случай трептенията губят своя периодичен характер и се наричат апериодичен.

При ω 0 = β системните параметри, отговорни за намаляването на вибрационната енергия, приемат стойности, наречени критичен . За пружинно махало условието ω 0 = β ще бъде записано като:, откъдето намираме стойността критичен коефициент на съпротивление:

.

Ориз. 21.3. Зависимостта на амплитудата на апериодичните трептения от времето

Принудителни вибрации.

Всички реални трептения са затихващи. За да възникнат реални трептения за достатъчно дълго време, е необходимо периодично да се попълва енергията на трептящата система чрез въздействие върху нея с външна периодично променяща се сила

Разгледайте явлението трептения, ако външното (форсиране) силата се променя с времето според хармоничния закон. В този случай в системите ще възникнат трептения, чиято природа в една или друга степен ще повтаря природата на движещата сила. Такива колебания се наричат принуден .

Общи признаци на принудителни механични вибрации.

1. Нека разгледаме принудените механични трептения на пружинно махало, което се въздейства от външен (завладяващ ) периодична сила . Силите, които действат върху махалото, веднъж извадено от равновесие, се развиват в самата трептителна система. Това са еластичната сила и съпротивителната сила.

Закон за движението (вторият закон на Нютон) се записва по следния начин:

(21.6)

Разделете двете страни на уравнението на m, вземете предвид това и получете диференциално уравнение принудителни вибрации:

Означаваме ( β – фактор на затихване ), (ω 0 е честотата на незатихналите свободни трептения), силата, действаща на единица маса. В тези означения диференциално уравнение принудените трептения ще приемат формата:

(21.7)

Това е диференциално уравнение от втори ред с ненулева дясна страна. Решението на такова уравнение е сумата от две решения

.

е общото решение на хомогенно диференциално уравнение, т.е. диференциално уравнение без дясната страна, когато тя е равна на нула. Ние знаем такова решение - това е уравнението на затихналите трептения, записани с точност до константа, чиято стойност се определя от началните условия на трептящата система:

По-рано обсъдихме, че решението може да бъде написано чрез синусови функции.

Ако разгледаме процеса на колебания на махалото след достатъчно дълъг период от време Δt след включване на движещата сила (Фигура 21.2), тогава затихналите колебания в системата практически ще спрат. И тогава решението на диференциалното уравнение с дясната страна ще бъде решението.

Решението е конкретно решение на нехомогенно диференциално уравнение, т.е. уравнения с дясната страна. От теорията на диференциалните уравнения е известно, че когато дясната страна се променя според хармоничния закон, решението ще бъде хармонична функция (sin или cos) с честота на промяна, съответстваща на честотата на промяна Ω на дясната страна:

където A ампл. – амплитуда на принудени трептения, φ 0 – фазово изместване , тези. фазова разлика между фазата на движещата сила и фазата на принудените трептения. И амплитуда А ампл. , и фазовото отместване φ 0 зависят от параметрите на системата (β, ω 0) и от честотата на движещата сила Ω.

Период на принудително колебание се равнява (21.9)

График на принудените трептения на фигура 4.1.

Фиг.21.3. График на принудени трептения

Равномерните принудени трептения също са хармонични.

Зависимости на амплитудата на принудените трептения и фазовото изместване от честотата на външното въздействие. Резонанс.

1. Да се ​​върнем към механичната система на пружинно махало, върху която действа външна сила, която се променя по хармоничен закон. За такава система диференциалното уравнение и съответно неговото решение имат формата:

, .

Нека анализираме зависимостта на амплитудата на трептенията и фазовото изместване от честотата на външната движеща сила, за това намираме първата и втората производни на x и ги заместваме в диференциалното уравнение.

Нека използваме метода на векторната диаграма. От уравнението може да се види, че сумата от трите колебания от лявата страна на уравнението (Фигура 4.1) трябва да бъде равна на колебанията от дясната страна. Векторната диаграма се прави за произволно време t. От него може да се определи.

Фигура 21.4.

, (21.10)

. (21.11)

Отчитайки стойността , ,, получаваме формули за φ 0 и A ampl. механична система:

,

.

2. Изследваме зависимостта на амплитудата на принудените трептения от честотата на движещата сила и големината на съпротивителната сила в осцилираща механична система, като използваме тези данни, изграждаме графика . Резултатите от изследването са показани на фигура 21.5, те показват, че при определена честота на движещата сила амплитудата на трептенията рязко се увеличава. И това увеличение е толкова по-голямо, колкото по-нисък е коефициентът на затихване β. При амплитудата на трептенията става безкрайно голяма.

Феноменът на рязко увеличаване на амплитудата принудени трептения при честота на движещата сила, равна на се нарича резонанс.

(21.12)

Кривите на фигура 21.5 отразяват връзката и се наричат амплитудни резонансни криви .

Фигура 21.5 - Графики на зависимостта на амплитудата на принудените трептения от честотата на движещата сила.

Амплитудата на резонансните трептения ще приеме формата:

Принудителните вибрации са неамортизиранфлуктуации. Неизбежните загуби на енергия поради триене се компенсират чрез доставка на енергия от външен източник на периодично действаща сила. Има системи, в които незатихващите трептения възникват не поради периодично външно влияние, а в резултат на способността на такива системи да регулират потока на енергия от постоянен източник. Такива системи се наричат самоосцилиращ, и процесът на незатихващи трептения в такива системи е собствени трептения.

В една автоколебателна система могат да се разграничат три характерни елемента - трептителна система, източник на енергия и устройство за обратна връзка между трептящата система и източника. Като осцилаторна система може да се използва всяка механична система, способна да извършва собствени затихващи трептения (например махало на стенен часовник).

Източникът на енергия може да бъде енергията на деформация на пружината или потенциалната енергия на товара в гравитационното поле. Устройството за обратна връзка е механизъм, чрез който автоколебателната система регулира потока на енергия от източника. На фиг. 21.6 показва диаграма на взаимодействието на различни елементи на самоосцилираща система.

Пример за механична самоосцилираща система е часовников механизъм с котваход (фиг. 21.7.). Работно колело с наклонени зъби е здраво закрепено към зъбен барабан, през който се хвърля верига с тежест. В горния край на махалото е фиксирана котва (котва) с две пластини от твърд материал, огънати по дъга от окръжност, центрирана върху оста на махалото. В ръчния часовник тежестта е заменена от пружина, а махалото е заменено от балансьор - ръчно колело, закрепено към спирална пружина.

Фигура 21.7. Часовников механизъм с махало.

Балансьорът извършва усукващи вибрации около оста си. Осцилаторната система в часовника е махало или балансьор. Източникът на енергия е вдигната тежест или навита пружина. Устройството за обратна връзка е анкер, който позволява на ходовото колело да завърти един зъб за един половин цикъл.

Обратната връзка се осигурява от взаимодействието на котвата с движещото се колело. При всяко колебание на махалото зъбът на ходовото колело избутва вилицата на котвата по посока на движението на махалото, като му предава определена част от енергията, която компенсира загубите на енергия от триене. Така потенциалната енергия на тежестта (или усуканата пружина) постепенно, на отделни порции, се предава на махалото.

Механичните автоколебателни системи са широко разпространени в живота около нас и в техниката. Самоколебанията се извършват от парни машини, двигатели с вътрешно горене, електрически звънци, струни на лъкови музикални инструменти, въздушни колони в тръбите на духови инструменти, гласни струни при говор или пеене и др.

Когато четете този раздел, имайте предвид това флуктуацииот различно физическо естество се описват от единна математическа гледна точка. Тук е необходимо ясно да се разберат такива понятия като хармонично трептене, фаза, фазова разлика, амплитуда, честота, период на трептене.

Трябва да се има предвид, че във всяка реална трептителна система има съпротивления на средата, т.е. трептенията ще бъдат затихвани. За характеризиране на затихването на трептенията се въвеждат коефициентът на затихване и логаритмичният декремент на затихване.

Ако вибрациите се извършват под действието на външна, периодично променяща се сила, тогава такива вибрации се наричат ​​принудителни. Те ще бъдат неудържими. Амплитудата на принудените трептения зависи от честотата на движещата сила. Когато честотата на принудителните трептения се доближи до честотата на собствените трептения, амплитудата на принудителните трептения рязко нараства. Това явление се нарича резонанс.

Обръщайки се към изучаването на електромагнитните вълни, трябва ясно да разберете товаелектромагнитна вълнае електромагнитно поле, разпространяващо се в пространството. Най-простата система, която излъчва електромагнитни вълни, е електрически дипол. Ако диполът извършва хармонични трептения, тогава той излъчва монохроматична вълна.

Таблица с формули: Трептения и вълни

Физически закони, формули, променливи	Трептене и вълнови формули
Уравнение на хармоничните вибрации: където x е изместването (отклонението) на осцилиращата стойност от равновесното положение; А - амплитуда; ω - кръгова (циклична) честота; α - начална фаза; (ωt+α) - фаза.
Връзка между период и кръгова честота:
Честота:
Отношение на кръговата честота към честотата:
Периоди на собствени трептения 1) пружинно махало: където k е твърдостта на пружината; 2) математическо махало: където l е дължината на махалото, g - ускорение на свободно падане; 3) колебателна верига: където L е индуктивността на веригата, C е капацитетът на кондензатора.
Честота на естествените вибрации:
Събиране на трептения със същата честота и посока: 1) амплитудата на полученото трептене където A 1 и A 2 са амплитудите на компонентните колебания, α 1 и α 2 - началната фаза на компонентите на трептенията; 2) началната фаза на полученото трептене
Уравнение на затихналите трептения: e \u003d 2,71 ... - основата на естествените логаритми.
Амплитуда на затихналите трептения: където A 0 - амплитуда в началния момент; β - фактор на затихване;
Фактор на затихване: трептящо тяло където r е коефициентът на съпротивление на средата, m - телесно тегло; колебателна верига където R е активно съпротивление, L е индуктивността на веригата.
Честота на затихналите трептения ω:
Период на затихнали трептения T:
Логаритмичен декремент на затихване:
Връзка между логаритмичен декремент χ и фактор на затихване β:

ГЛАВНА ИНФОРМАЦИЯ

флуктуациинаричат ​​движения или процеси, които се характеризират с определено повторение във времето. Флуктуациите се наричат Безплатно, ако се извършват за сметка на първоначално предадената енергия с последващо отсъствие на външни въздействия върху колебателната система. Най-простият вид вибрации са хармонични вибрации- колебания, при които осцилиращата стойност се променя във времето според закона на синуса или косинуса.

Диференциалното уравнение на хармоничните трептения има формата

където е осцилиращата стойност, е цикличната честота.

е решението на това уравнение. Тук - амплитуда, - начална фаза.

Фаза на трептене.

Амплитуда - максималната стойност на флуктуираща величина.

Периодът на трептене е периодът от време, след който движението на тялото се повтаря. Фазата на трептене за периода получава нарастване. . , е броят на вибрациите.

Честотата на трептене е броят на пълните трептения за единица време. . . Измерва се в херци (Hz).

Цикличната честота е броят на трептенията в секунда. . Мерна единица .

Фазата на трептене е стойност под знака на косинуса и характеризираща състоянието на трептящата система във всеки момент.

Начална фаза - фазата на трептенията в началния момент от времето. Фазата и началната фаза се измерват в радиани ().

Безплатни гасени вибрации– трептения, чиято амплитуда, поради загуби на енергия от реална трептителна система, намалява с времето. Най-простият механизъм за намаляване на енергията на вибрациите е нейното превръщане в топлина поради триене в механични осцилаторни системи, както и омични загуби и излъчване на електромагнитна енергия в електрическите осцилаторни системи.

Диференциалното уравнение на свободните затихнали трептения има формата

, (1)

Решението на уравнение (1) в случай на ниско затихване (d 2<< ) имеет вид

Интервалът от време, през който амплитудата намалява дпъти, се нарича време за релаксация.

Затихването нарушава периодичността на трептенията, така че затихналите трептения не са периодични. Въпреки това, ако затихването е малко, тогава може условно да се използва концепцията за период като интервал от време между два последователни максимума (или минимума) на осцилиращо количество. След това периодът на затихналите трептения се изчислява по формулата

.

Ако А(T) и А(t+T) са амплитудите на две последователни трептения, съответстващи на времена, които се различават с период, тогава отношението

Наречен декремент на затихване, и неговия логаритъм

– логаритмичен декремент на затихване.

Стойност N eе броят на трептенията, направени по време на намаляване на амплитудата в дведнъж. Логаритмичният декремент на затихване е постоянна стойност за дадена осцилаторна система.

За характеризиране на осцилаторна система се използва понятието качествен фактор Q, което за малки стойности на логаритмичния декремент е равно на

.

Всички реални хармонични трептения възникват под въздействието на съпротивителни сили, за преодоляване на които тялото изразходва част от енергията си, в резултат на което амплитудата на трептенията намалява с времето, т.е. трептенията се затихват.

Нека си представим графика на затихнало трептене:

Извеждане на диференциалното уравнение на затихнало трептене.Върху тялото, в допълнение към силата на еластичната сила, действа съпротивителната сила:

където r е коефициентът на съпротивление.

Според втория закон на Нютон можем да напишем:

.

Разделяме на масата m, получаваме:

.

Въвеждаме обозначението: ,

където β е коефициентът на затихване.

Получихме диференциалното уравнение на затихващото трептене:

.

Решението на уравнението по същество зависи от знака на разликата,

където ω - кръгова честота на затихнали трептения, ω 0 - кръгова честота на собствените трептения на системата (без затихване).

За ω>0 решението на диференциалното уравнение ще бъде както следва:

.

Амплитуда на затихващото трептене във всеки момент от времето T се определя от равенството:

където А 0 е началната амплитуда, посочена на графиката (виж Фиг. 3).

месечен цикъл T затихналите трептения се определят по формулата:

.

Скоростта на затихване (скоростта на намаляване на амплитудата) се определя от стойността на коефициента на затихване β : колкото повече β , толкова по-бързо намалява амплитудата.

За да се характеризира степента на затихване, беше въведена концепцията намаляване затихване.

Намаляване на затихването е отношението на две съседни амплитуди, разделени с период:

На практика степента на затихване се характеризира с логаритмичен декремент затихване λ , равна на:

Нека изведем формула, свързваща логаритмичния декремент на затихване λ с фактор на затихване β и период на трептене T .

Следователно:

Нека изведем размерността на коефициента на затихване

.

Принудителни вибрации. Принудителни вибрациинаречени вибрации, които възникват в системата, когато са изложени на външна сила, която се променя според периодичен закон.

Нека върху системата действа сила:

където F0 – максимална стойност,

ω - кръгова честота на колебанията на външната сила.

Силата, действаща върху системата, е съпротивителната сила и еластичната сила.

Като вземем предвид и четирите сили, на базата на втория закон на Нютон, пишем:

.

Разделете двете страни на уравнението на м , получаваме:

.

Нека въведем обозначението:

Получихме диференциалното уравнение на принудителното трептене:

.

Представете си графика на принудени трептения:

В началото амплитудата на трептенията се увеличава, а след това става постоянна. НО .

За постоянни принудителни трептения:

(виж фиг. 4)

Резонанс.Ако ω 0 и β са дадени за системата, след това амплитудата НО принудени трептения има максимална стойност при някаква определена честота на движещата сила, т.нар резонансен . Постигане на максимална амплитуда на принудените трептения за даденост ω 0 и β Наречен резонанс .

Резонансната кръгова честота се дава от:

и резонансната амплитуда:

.

Ако няма съпротива (β=0) , тогава амплитудата нараства неограничено.

Нека представим на графиките зависимостта на амплитудата на принудените трептения от кръговата честота на движещата сила ω при различни стойности на коефициента на затихване:

Според формата на резонансната крива, резонансът може да бъде остър при β→0 , глупав - при β→1 . (Вижте фиг. 5).

Според механизма на възбуждане резонансът се класифицира на:

Механични; акустичен; електромагнитни; парамагнитни; ядрено-магнитни.

Появата на резонансни явления в тялото може да бъде както полезна, така и вредна. Например, възприемането на звука се основава на акустичен резонанс, инфразвукът може да причини разкъсване на тъканите на вътрешните органи.

Автоколебания.При затихнали трептения енергията на системата се изразходва за преодоляване на съпротивлението на средата. Ако тази загуба на енергия се попълни, тогава трептенията ще станат незатихващи. Тази загубена от системата енергия може да бъде попълнена за сметка на източник на енергия отвън или може да се направи по такъв начин, че самата осцилираща система да контролира външното въздействие.

Устойчивите трептения, които възникват в системата поради източник на енергия, който няма осцилационни свойства, се наричат собствени трептения , докато самите системи самоосцилиращ .

Класически пример за собствени трептения са часовниците: навита пружина; повдигнатото тегло е източник на енергия; котва - регулатор на захранването с енергия от източника; махало или баланс – трептяща система.

Амплитудата и честотата на автоколебанията зависят от свойствата на самата автоколебателна система.