Производната на функцията y x lnx е равна. Производна на натурален логаритъм и логаритъм по основа а

Доказателство и извеждане на формули за производната на натурален логаритъм и логаритъм по основа а. Примери за изчисляване на производни на ln 2x, ln 3x и ln nx. Доказателство на формулата за производната на логаритъм от n-ти ред по метода на математическата индукция.

Извеждане на формули за производни на натурален логаритъм и логаритъм по основа а

Производната на натурален логаритъм от x е равна на единица, разделена на x:
(1) (lnx)′ =.

Производната на логаритъма при основа a е равна на единица, разделена на променливата x, умножена по натурален логаритъм от a:
(2) (log x)′ =.

Доказателство

Нека има някакво положително число, което не е равно на единица. Да разгледаме функция, която зависи от променливата x, която е основен логаритъм:
.
Тази функция е дефинирана с . Нека намерим неговата производна по отношение на x. По дефиниция производната е следната граница:
(3) .

Нека трансформираме този израз, за ​​да го редуцираме до известни математически свойства и правила. За да направим това, трябва да знаем следните факти:
НО)Свойства на логаритъма. Имаме нужда от следните формули:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
б)Непрекъснатост на логаритъма и свойство на границите за непрекъсната функция:
(7) .
Тук има функция, която има граница и тази граница е положителна.
AT)Значението на втората прекрасна граница:
(8) .

Ние прилагаме тези факти до нашите граници. Първо трансформираме алгебричния израз
.
За целта прилагаме свойства (4) и (5).

.

Използваме свойство (7) и втората забележителна граница (8):
.

И накрая, приложете свойство (6):
.
основен логаритъм дНаречен натурален логаритъм. Маркира се така:
.
Тогава ;
.

Така получихме формула (2) за производната на логаритъма.

Производна на натурален логаритъм

Още веднъж записваме формулата за производната на логаритъма по основа a:
.
Тази формула има най-простата форма за натурален логаритъм, за който , . Тогава
(1) .

Поради тази простота натуралният логаритъм се използва много широко в смятането и други области на математиката, свързани с диференциалното смятане. Логаритмичните функции с други основи могат да бъдат изразени чрез натурален логаритъм, като се използва свойство (6):
.

Основната производна на логаритъма може да се намери от формула (1), ако константата се извади от знака за диференциация:
.

Други начини за доказване на производната на логаритъма

Тук приемаме, че знаем формулата за производната на експонентата:
(9) .
След това можем да изведем формулата за производната на натуралния логаритъм, като се има предвид, че логаритъмът е обратен на експонентата.

Нека докажем формулата за производната на естествения логаритъм, прилагане на формулата за производната на обратната функция:
.
В нашия случай. Обратният на естествения логаритъм е експонентата:
.
Неговата производна се определя по формула (9). Променливите могат да бъдат обозначени с произволна буква. Във формула (9) заменяме променливата x с y:
.
От тогава
.
Тогава
.
Формулата е доказана.

Сега доказваме формулата за производната на натуралния логаритъм, използвайки правила за диференциране на сложна функция. Тъй като функциите и са обратни една на друга, тогава
.
Диференцирайте това уравнение по отношение на променливата x:
(10) .
Производната на x е равна на едно:
.
Прилагаме правилото за диференциране на сложна функция:
.
Тук . Заместете в (10):
.
Оттук
.

Пример

Намерете производни на В 2 пъти, В 3 пътии в nx.

Решение

Оригиналните функции имат подобна форма. Следователно ще намерим производната на функцията y = log nx. След това заместваме n = 2 и n = 3 . И по този начин получаваме формули за производни на В 2 пътии В 3 пъти .

И така, търсим производната на функцията
y = log nx .
Нека представим тази функция като сложна функция, състояща се от две функции:
1) Функции, зависими от променливи: ;
2) Функции, зависими от променливи: .
Тогава оригиналната функция е съставена от функциите и :
.

Нека намерим производната на функцията по отношение на променливата x:
.
Нека намерим производната на функцията по отношение на променливата:
.
Прилагаме формулата за производна на сложна функция.
.
Тук сме заменили.

Така открихме:
(11) .
Виждаме, че производната не зависи от n. Този резултат е съвсем естествен, ако преобразуваме оригиналната функция, използвайки формулата на логаритъма на продукта:
.
- е константа. Производната му е нула. Тогава, съгласно правилото за диференциране на сумата, имаме:
.

Отговор

; ; .

Производна на логаритъм по модул x

Нека намерим производната на друга много важна функция - натурален логаритъм на модула x:
(12) .

Да разгледаме случая. Тогава функцията изглежда така:
.
Неговата производна се определя по формула (1):
.

Сега разгледайте случая. Тогава функцията изглежда така:
,
където .
Но също така намерихме производната на тази функция в горния пример. Не зависи от n и е равно на
.
Тогава
.

Ние комбинираме тези два случая в една формула:
.

Съответно, за логаритъм при основа a, имаме:
.

Производни от по-висок порядък на естествения логаритъм

Помислете за функцията
.
Открихме неговата производна от първи ред:
(13) .

Нека намерим производната от втори ред:
.
Нека намерим производната от трети ред:
.
Нека намерим производната от четвърти ред:
.

Вижда се, че производната от n-ти ред има формата:
(14) .
Нека докажем това чрез математическа индукция.

Доказателство

Нека заместим стойността n = 1 във формула (14):
.
Тъй като , тогава за n = 1 , формула (14) е валидна.

Да приемем, че формула (14) е изпълнена за n = k. Нека докажем, че от това следва, че формулата е валидна за n = k + 1 .

Наистина, за n = k имаме:
.
Разграничете по отношение на x:

.
Така че имаме:
.
Тази формула съвпада с формула (14) за n = k + 1 . Така от предположението, че формула (14) е валидна за n = k, следва, че формула (14) е валидна за n = k + 1 .

Следователно формула (14) за производна от n-ти ред е валидна за всяко n.

Производни от по-висок порядък на логаритъма по основа а

За да намерите n-тата производна на основния логаритъм a, трябва да го изразите чрез натурален логаритъм:
.
Прилагайки формула (14), намираме n-тата производна:
.

Определение.Нека функцията \(y = f(x) \) е дефинирана в някакъв интервал, съдържащ точката \(x_0 \) вътре. Нека увеличим \(\Delta x \) към аргумента, за да не напускаме този интервал. Намерете съответното нарастване на функцията \(\Delta y \) (при преминаване от точка \(x_0 \) към точка \(x_0 + \Delta x \)) и съставете отношението \(\frac(\Delta y )(\Делта x) \). Ако има граница на тази връзка при \(\Delta x \rightarrow 0 \), тогава определената граница се извиква производна функция\(y=f(x) \) в точката \(x_0 \) и означете \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Символът y често се използва за обозначаване на производната. Имайте предвид, че y" = f(x) е нова функция, но естествено свързана с функцията y = f(x), дефинирана във всички точки x, в които съществува горната граница. Тази функция се нарича така: производна на функцията y \u003d f (x).

Геометричният смисъл на производнатасе състои в следното. Ако допирателна, която не е успоредна на оста y, може да бъде начертана към графиката на функцията y \u003d f (x) в точка с абсцисата x \u003d a, тогава f (a) изразява наклона на допирателната:
\(k = f"(a)\)

Тъй като \(k = tg(a) \), равенството \(f"(a) = tg(a) \) е вярно.

И сега тълкуваме дефиницията на производната от гледна точка на приблизителни равенства. Нека функцията \(y = f(x) \) има производна в определена точка \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Това означава, че близо до точката x, приблизителното равенство \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), т.е. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Делтакс\). Смисловият смисъл на полученото приближено равенство е следният: нарастването на функцията е „почти пропорционално” на увеличението на аргумента, а коефициентът на пропорционалност е стойността на производната в дадена точка x. Например за функцията \(y = x^2 \) е вярно приблизителното равенство \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Ако анализираме внимателно дефиницията на производната, ще открием, че тя съдържа алгоритъм за намирането й.

Нека го формулираме.

Как да намерим производната на функцията y \u003d f (x)?

1. Фиксирайте стойност \(x \), намерете \(f(x) \)
2. Увеличете \(x \) аргумент \(\Delta x \), преместете се в нова точка \(x+ \Delta x \), намерете \(f(x+ \Delta x) \)
3. Намерете нарастването на функцията: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Съставете релацията \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Изчислете $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Тази граница е производната на функцията при x.

Ако функцията y = f(x) има производна в точката x, тогава тя се нарича диференцируема в точката x. Извиква се процедурата за намиране на производната на функцията y \u003d f (x). диференциацияфункции y = f(x).

Нека обсъдим следния въпрос: как са свързани непрекъснатостта и диференцируемостта на функция в точка?

Нека функцията y = f(x) е диференцируема в точката x. Тогава може да се начертае допирателна към графиката на функцията в точката M (x; f (x)) и, припомнете си, наклонът на допирателната е равен на f "(x). Такава графика не може да се "счупи" в точката M, т.е. функцията трябва да е непрекъсната в x.

Беше разсъждение "на пръсти". Нека представим по-строг аргумент. Ако функцията y = f(x) е диференцируема в точката x, тогава е валидно приблизителното равенство \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). нула, тогава \(\Delta y \ ) също ще клони към нула и това е условието за непрекъснатост на функцията в точка.

Така, ако една функция е диференцируема в точка x, тогава тя също е непрекъсната в тази точка.

Обратното не е вярно. Например: функция y = |x| е непрекъсната навсякъде, по-специално в точката x = 0, но допирателната към графиката на функцията в „точката на свързване“ (0; 0) не съществува. Ако в даден момент е невъзможно да се начертае допирателна към графиката на функцията, тогава в тази точка няма производна.

Още един пример. Функцията \(y=\sqrt(x) \) е непрекъсната на цялата числова ос, включително в точката x = 0. И допирателната към графиката на функцията съществува във всяка точка, включително в точката x = 0 , Но в тази точка допирателната съвпада с оста y, тоест тя е перпендикулярна на оста на абсцисата, нейното уравнение има формата x \u003d 0. Няма наклон за такава права линия, което означава, че \ ( f "(0) \) също не съществува

И така, ние се запознахме с ново свойство на функция - диференцируемост. Как можете да разберете дали дадена функция е диференцируема от графиката на функция?

Отговорът всъщност е даден по-горе. Ако в дадена точка може да се начертае допирателна към графиката на функция, която не е перпендикулярна на оста x, тогава в тази точка функцията е диференцируема. Ако в дадена точка допирателната към графиката на функцията не съществува или е перпендикулярна на оста x, тогава в тази точка функцията не е диференцируема.

Правила за диференциране

Операцията за намиране на производната се нарича диференциация. Когато извършвате тази операция, често трябва да работите с частни, суми, произведения на функции, както и с „функции на функции“, тоест сложни функции. Въз основа на дефиницията на производната, можем да извлечем правила за диференциране, които улесняват тази работа. Ако C е постоянно число и f=f(x), g=g(x) са някои диференцируеми функции, тогава следните са верни правила за диференциране:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Производна на съставна функция:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Таблица с производни на някои функции

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Операцията за намиране на производна се нарича диференциране.

В резултат на решаването на задачи за намиране на производни на най-простите (и не много прости) функции по дефиниция на производнатакато граница на съотношението на нарастване към нарастване на аргумента се появява таблица с производни и точно определени правила за диференциране. Исак Нютон (1643-1727) и Готфрид Вилхелм Лайбниц (1646-1716) са първите, които работят в областта на намирането на производни.

Следователно, в наше време, за да се намери производната на която и да е функция, не е необходимо да се изчислява горепосочената граница на съотношението на увеличението на функцията към увеличението на аргумента, а само трябва да се използва таблицата на производните и правилата за диференциране. Следният алгоритъм е подходящ за намиране на производната.

За намиране на производната, имате нужда от израз под знака щрих разбийте прости функциии определя какви действия (продукт, сбор, частно)тези функции са свързани. Освен това намираме производните на елементарни функции в таблицата на производните, а формулите за производните на произведението, сумата и частното - в правилата за диференциране. Таблицата с производните и правилата за диференциране са дадени след първите два примера.

Пример 1Намерете производната на функция

Решение. От правилата за диференциране откриваме, че производната на сумата от функции е сумата от производните на функциите, т.е.

От таблицата на производните откриваме, че производната на "X" е равна на единица, а производната на синуса е косинус. Ние заместваме тези стойности в сумата на производните и намираме производната, изисквана от условието на проблема:

Пример 2Намерете производната на функция

Решение. Диференцирайте като производна на сумата, в която вторият член с постоянен множител, той може да бъде изваден от знака на производната:

Ако все още има въпроси за това откъде идва нещо, те, като правило, стават ясни, след като прочетете таблицата на производните и най-простите правила за диференциация. Точно сега отиваме при тях.

Таблица с производни на прости функции

1. Производна на константа (число). Всяко число (1, 2, 5, 200...), което е в израза на функцията. Винаги нула. Това е много важно да запомните, тъй като се изисква много често
2. Производна на независимата променлива. Най-често "х". Винаги равно на едно. Това също е важно да запомните
3. Производна на степен. Когато решавате задачи, трябва да преобразувате неквадратни корени в степен.
4. Производна на променлива на степен -1
5. Производна на корен квадратен
6. Производна по синус
7. Производна по косинус
8. Тангенсна производна
9. Производна на котангенс
10. Производна на арксинуса
11. Производна на аркосинус
12. Производна на аркутангенс
13. Производна на обратната допирателна
14. Производна на натурален логаритъм
15. Производна на логаритмична функция
16. Производна на показателя
17. Производна на експоненциална функция

Правила за диференциране

1. Производна на сбора или разликата
2. Производно на продукт
2а. Производна на израз, умножен по постоянен множител
3. производна на частното
4. Производна на сложна функция

Правило 1Ако функции

са диференцируеми в дадена точка, тогава в същата точка функциите

и

тези. производната на алгебричната сума на функциите е равна на алгебричната сума на производните на тези функции.

Последица. Ако две диференцируеми функции се различават с константа, тогава техните производни са, т.е.

Правило 2Ако функции

са диференцируеми в дадена точка, тогава техният продукт също е диференцируем в същата точка

и

тези. производната на произведението на две функции е равна на сумата от произведенията на всяка от тези функции и производната на другата.

Следствие 1. Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на производната:

Следствие 2. Производната на произведението на няколко диференцируеми функции е равна на сумата от произведенията на производната на всеки от факторите и всички останали.

Например за три множителя:

Правило 3Ако функции

диференцируеми в даден момент и , тогава в този момент тяхното частно също е диференцируемо.u/v и

тези. производната на частно от две функции е равна на дроб, чийто числител е разликата между произведенията на знаменателя и производната на числителя и числителя и производната на знаменателя, а знаменателят е квадрат на предишния числител .

Къде да търсите на други страници

При намиране на производната на произведението и частното в реални задачи винаги е необходимо да се прилагат няколко правила за диференциране наведнъж, така че повече примери за тези производни има в статията."Производна на произведение и частно " .

Коментирайте.Не трябва да бъркате константа (т.е. число) като член в сумата и като постоянен фактор! При член производната му е равна на нула, а при постоянен множител се изважда от знака на производните. Това е типична грешка, която се случва в началния етап на изучаване на производни, но когато средният ученик решава няколко едно-двукомпонентни примера, средният ученик вече не допуска тази грешка.

И ако, когато диференцирате продукт или частно, имате член u"v, при което u- число, например 2 или 5, тоест константа, тогава производната на това число ще бъде равна на нула и следователно целият термин ще бъде равен на нула (такъв случай е анализиран в пример 10) .

Друга често срещана грешка е механичното решение на производната на сложна функция като производна на проста функция. Ето защо производна на сложна функцияпосветен на отделна статия. Но първо ще се научим да намираме производни на прости функции.

По пътя не можете без трансформации на изрази. За да направите това, може да се наложи да отворите ръководствата за нов Windows Действия със сили и корении Действия с дроби.

Ако търсите решения за производни със степени и корени, т.е. как изглежда функцията след това следвайте урока" Производна на сумата от дроби със степени и корени ".

Ако имате задача като , значи имаш работа „Производни на прости тригонометрични функции“.

Примери стъпка по стъпка - как да намерим производната

Пример 3Намерете производната на функция

Решение. Определяме частите на израза на функцията: целият израз представлява произведението, а неговите множители са суми, във втория от които един от членовете съдържа постоянен множител. Прилагаме правилото за диференциране на продукта: производната на произведението на две функции е равна на сумата от произведенията на всяка от тези функции и производната на другата:

След това прилагаме правилото за диференциране на сумата: производната на алгебричната сума от функции е равна на алгебричната сума на производните на тези функции. В нашия случай, във всеки сбор, вторият член със знак минус. Във всяка сума виждаме както независима променлива, чиято производна е равна на единица, така и константа (число), чиято производна е равна на нула. И така, "х" се превръща в едно, а минус 5 - в нула. Във втория израз "x" се умножава по 2, така че умножаваме две по същата единица като производната на "x". Получаваме следните стойности на производните:

Заместваме намерените производни в сумата от продуктите и получаваме производната на цялата функция, изисквана от условието на проблема:

Пример 4Намерете производната на функция

Решение. От нас се изисква да намерим производната на частното. Прилагаме формулата за диференциране на частно: производната на частно на две функции е равна на дроб, чийто числител е разликата между произведенията на знаменателя и производната на числителя и числителя и производната на знаменателя, и знаменателят е квадрат на предишния числител. Получаваме:

Вече намерихме производната на множителите в числителя в пример 2. Нека също така не забравяме, че произведението, което е вторият множител в числителя в настоящия пример, се взема със знак минус:

Ако търсите решения на такива задачи, в които трябва да намерите производната на функция, където има непрекъсната купчина корени и степени, като например тогава добре дошли в класа "Производна на сумата от дроби със степени и корени".

Ако трябва да научите повече за производните на синусите, косинусите, тангенсите и други тригонометрични функции, т.е. когато функцията изглежда като , тогава имате урок "Производни на прости тригонометрични функции".

Пример 5Намерете производната на функция

Решение. В тази функция виждаме продукт, един от множителите на който е корен квадратен от независимата променлива, с чиято производна се запознахме в таблицата с производни. Съгласно правилото за диференциране на продукта и табличната стойност на производната на корен квадратен, получаваме:

Пример 6Намерете производната на функция

Решение. В тази функция виждаме частното, чийто дивидент е корен квадратен от независимата променлива. Според правилото за диференциране на частното, което повторихме и приложихме в пример 4, и табличната стойност на производната на корен квадратен, получаваме:

За да се отървете от дробта в числителя, умножете числителя и знаменателя по .