Решение: За да разрешим този проблем, използваме формулата N=2 - Решение. Принцип на математическата индукция

Ако изречението A(n), в зависимост от естествено число n е вярно за n=1 и тъй като е вярно за n=k (където k е всяко естествено число), следва, че е вярно за следващото число n=k+1, тогава предположението A(n) е вярно за всяко естествено число n.

В редица случаи може да се наложи да се докаже валидността на определено твърдение не за всички естествени числа, а само за n>p, където p е фиксирано естествено число. В този случай принципът математическа индукциясе формулира по следния начин.

Ако твърдението A(n) е вярно за n=p и ако A(k) X A(k+1) за всяко k>p, тогава предложението A(n) е вярно за всяко n>p.

Доказателството по метода на математическата индукция се извършва по следния начин. Първо, твърдението, което трябва да се докаже, се проверява за n=1, т.е. истинността на твърдението A(1) е установена. Тази част от доказателството се нарича индукционна база. Това е последвано от част от доказателството, наречена стъпка на индукция. В тази част се доказва валидността на твърдението за n=k+1 при предположението, че твърдението е вярно за n=k (индуктивното предположение), т.е. докажете, че A(k) ~ A(k+1)

Докажете, че 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 .

1) Имаме n=1=1 2 . Следователно твърдението е вярно за n=1, т.е. A(1) вярно
2) Нека докажем, че A(k) ~ A(k+1)

Нека k е произволно естествено число и нека твърдението е вярно за n=k, т.е.

1+3+5+...+(2k-1)=k 2

Нека докажем, че тогава твърдението е вярно и за следващото естествено число n=k+1, т.е. Какво

1+3+5+...+(2k+1)=(k+1) 2 Наистина,
1+3+5+...+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2

И така, A(k) X A(k+1). Въз основа на принципа на математическата индукция заключаваме, че предположението A(n) е вярно за всяко n О N

Докажи това

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x n \u003d (x n + 1 -1) / (x-1), където x № 1

1) За n=1 получаваме
1+x=(x 2 -1)/(x-1)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1

следователно за n=1 формулата е вярна; A(1) вярно

2) Нека k е произволно естествено число и нека формулата е вярна за n=k,
1+x+x 2 +x 3 +…+x k =(x k+1 -1)/(x-1)

Нека докажем, че тогава равенството

1+x+x 2 +x 3 +…+x k +x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1) Наистина
1+х+х 2 +x 3 +…+х k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)

Така че A(k) ⋅ A(k+1). Въз основа на принципа на математическата индукция заключаваме, че формулата е вярна за всяко естествено число n

Докажете, че броят на диагоналите на изпъкнал n-ъгълник е n(n-3)/2

Решение: 1) За n=3 твърдението е вярно, тъй като в триъгълника

A 3 \u003d 3 (3-3) / 2 \u003d 0 диагонали; A 2 A(3) вярно

2) Да предположим, че във всеки изпъкнал k-ъгъл има A 1 sya A k \u003d k (k-3) / 2 диагонала. A k Нека докажем, че тогава в изпъкнал A k+1 (k+1)-ъгъл броят на диагоналите A k+1 =(k+1)(k-2)/2.

Нека А 1 А 2 А 3 …A k A k+1 -изпъкнал (k+1)-ъгълник. Нека начертаем диагонал A 1 A k в него. Да брои общ бройдиагонали на този (k + 1)-ъгъл, трябва да преброите броя на диагоналите в k-ъгъла A 1 A 2 ...A k , добавете k-2 към полученото число, т.е. броя на диагоналите на (k+1)-ъгълника, излизащи от върха A k+1 , и в допълнение трябва да се вземе предвид диагоналът A 1 A k

По този начин,

G k+1 =G k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2

Така че A(k) ⋅ A(k+1). Поради принципа на математическата индукция, твърдението е вярно за всеки изпъкнал n-ъгълник.

Докажете, че за всяко n твърдението е вярно:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6

Решение: 1) Нека тогава n=1

X 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1

2) Да приемем, че n=k

X k \u003d k 2 \u003d k (k + 1) (2k + 1) / 6

3) Разгледайте това твърдение за n=k+1

Xk+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2

=(k(k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6

Доказахме валидността на равенството за n=k+1, следователно по силата на метода на математическата индукция твърдението е вярно за всяко естествено n

Докажете, че за всяко естествено n е вярно равенството:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4

Решение: 1) Нека n=1

Тогава X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1. Виждаме, че за n=1 твърдението е вярно.

2) Да приемем, че равенството е вярно за n=k

X k \u003d k 2 (k + 1) 2 / 4

3) Нека докажем истинността на това твърдение за n=k+1, т.е.

X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2 /4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4

Може да се види от горното доказателство, че твърдението е вярно за n=k+1, следователно равенството е вярно за всяко естествено n

Докажи това

((2 3 +1)/(2 3 -1)) ґ ((3 3 +1)/(3 3 -1)) ґ … ґ ((n 3 +1)/(n 3 -1))= 3n(n+1)/2(n 2 +n+1), където n>2

Решение: 1) За n=2, идентичността изглежда така:

(2 3 +1)/(2 3 -1)=(3 ґ 2 ґ 3)/2(2 2 +2+1), т.е. вярно е
2) Да приемем, че изразът е верен за n=k
(2 3 +1) / (2 3 -1) ґ ... ґ (k 3 +1) / (k 3 -1) \u003d 3k (k + 1) / 2 (k 2 + k + 1)
3) Ще докажем правилността на израза за n=k+1
(((2 3 +1)/(2 3 -1)) ґ … ґ ((k 3 +1)/(k 3 -1))) ґ (((k+1) 3 +

1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1)) ґ ((k+2)((k+

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2 ґ

ґ ((k+1) 2 +(k+1)+1)

Доказахме валидността на равенството за n=k+1, следователно по силата на метода на математическата индукция твърдението е вярно за всяко n>2

Докажи това

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3) за всяко естествено n

Решение: 1) Нека тогава n=1

1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7
2) Да приемем, че n=k, тогава
1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3)
3) Ще докажем истинността на това твърдение за n=k+1
(1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3)

Доказана е и валидността на равенството за n=k+1, следователно твърдението е вярно за всяко естествено n.

Докажете валидността на самоличността

(1 2 /1 ґ 3)+(2 2 /3 ґ 5)+…+(n 2 /(2n-1) ґ (2n+1))=n(n+1)/2(2n+1) за всяко естествено n

1) За n=1 тъждеството е вярно 1 2 /1 ґ 3=1(1+1)/2(2+1)
2) Да приемем, че за n=k
(1 2 /1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1) ґ (2k+1))=k(k+1)/2(2k+1)
3) Доказваме, че тъждеството е вярно за n=k+1
(1 2 /1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+ 1) )/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1)) ґ ((k/2 ) +((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2) ґ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1 ) (k+2)/2(2(k+1)+1)

Може да се види от горното доказателство, че твърдението е вярно за всяко положително цяло число n.

Докажете, че (11 n+2 +12 2n+1) се дели на 133 без остатък

Решение: 1) Нека тогава n=1

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23 ґ 133

Но (23 ґ 133) се дели на 133 без остатък, така че за n=1 твърдението е вярно; A(1) е вярно.

2) Да приемем, че (11 k+2 +12 2k+1) се дели на 133 без остатък
3) Нека докажем, че в този случай (11 k+3 +12 2k+3) се дели на 133 без остатък. Наистина
11 k+3 +12 2k+3 =11 ґ 11 k+2 +12 2 ґ 12 2k+1 =11 ґ 11 k+2 +

+(11+133) ґ 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133 ґ 12 2k+1

Получената сума се дели на 133 без остатък, тъй като първият й член се дели на 133 без остатък по предположение, а във втория един от множителите е 133. И така, A (k) Yu A (k + 1). По силата на метода на математическата индукция твърдението е доказано

Докажете, че за всяко n 7 n -1 се дели на 6 без остатък

1) Нека n=1, тогава X 1 \u003d 7 1 -1 \u003d 6 се дели на 6 без остатък. Така че за n=1 твърдението е вярно
2) Да предположим, че за n \u003d k 7 k -1 се дели на 6 без остатък
3) Нека докажем, че твърдението е вярно за n=k+1

X k+1 \u003d 7 k + 1 -1 \u003d 7 ґ 7 k -7 + 6 \u003d 7 (7 k -1) + 6

Първият член се дели на 6, тъй като 7 k -1 се дели на 6 по предположение, а вторият член е 6. Така че 7 n -1 е кратно на 6 за всяко естествено n. По силата на метода на математическата индукция твърдението е доказано.

Докажете, че 3 3n-1 +2 4n-3 за произволно цяло положително число n се дели на 11.

1) Нека тогава n=1

X 1 \u003d 3 3-1 +2 4-3 \u003d 3 2 +2 1 \u003d 11 се дели на 11 без остатък.

Така че за n=1 твърдението е вярно

2) Да предположим, че за n=k X k =3 3k-1 +2 4k-3 се дели на 11 без остатък
3) Доказваме, че твърдението е вярно за n=k+1

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 3 3k-1 +2 4 2 4k-3 =

27 3 3k-1 +16 2 4k-3 =(16+11) 3 3k-1 +16 2 4k-3 =16 3 3k-1 +

11 3 3k-1 +16 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11 3 3k-1

Първият член се дели на 11 без остатък, тъй като 3 3k-1 +2 4k-3 се дели на 11 по предположение, вторият се дели на 11, защото един от неговите множители е числото 11. Следователно сумата е също се дели на 11 без остатък за всяко естествено n. По силата на метода на математическата индукция твърдението е доказано.

Докажете, че 11 2n -1 за произволно цяло положително число n се дели на 6 без остатък

1) Нека n=1, тогава 11 2 -1=120 се дели на 6 без остатък. Така че за n=1 твърдението е вярно
2) Да предположим, че за n=k 1 2k -1 се дели на 6 без остатък
11 2(k+1) -1=121 ґ 11 2k -1=120 ґ 11 2k +(11 2k -1)

И двата члена се делят на 6 без остатък: първият съдържа кратно на 6 число 120, а вторият се дели на 6 без остатък по предположение. Така че сумата се дели на 6 без остатък. По силата на метода на математическата индукция твърдението е доказано.

Докажете, че 3 3n+3 -26n-27 за произволно цяло положително число n се дели на 26 2 (676) без остатък

Нека първо докажем, че 3 3n+3 -1 се дели на 26 без остатък

1. Когато n=0
3 3 -1=26 се дели на 26
2. Да предположим, че за n=k
3 3k+3 -1 се дели на 26
3. Нека докажем, че твърдението е вярно за n=k+1
3 3k+6 -1=27 ґ 3 3k+3 -1=26 ґ 3 3k+3 +(3 3k+3 -1) - се дели на 26

Нека сега докажем твърдението, формулирано в условието на задачата

1) Очевидно е, че за n=1 твърдението е вярно
3 3+3 -26-27=676
2) Да предположим, че за n=k изразът 3 3k+3 -26k-27 се дели на 26 2 без остатък
3) Нека докажем, че твърдението е вярно за n=k+1
3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27)

И двата члена се делят на 26 2 ; първият се дели на 26 2, защото доказахме, че изразът в скобите се дели на 26, а вторият се дели на индуктивната хипотеза. По силата на метода на математическата индукция твърдението е доказано

Докажете, че ако n>2 и х>0, то неравенството (1+х) n >1+n ґ х

1) За n=2 неравенството е вярно, тъй като
(1+x) 2 =1+2x+x 2 >1+2x

Така че A(2) е вярно

2) Нека докажем, че A(k) ⋅ A(k+1), ако k> 2. Да приемем, че A(k) е вярно, т.е. че неравенството
(1+х) k >1+k ґ x. (3)

Нека докажем, че тогава A(k+1) също е вярно, т.е. че неравенството

(1+x) k+1 >1+(k+1) x

Наистина, умножавайки двете страни на неравенството (3) по положително число 1+x, получаваме

(1+x) k+1 >(1+k ґ x)(1+x)

Обмисли правилната странапоследно неравенство; ние имаме

(1+k ґ x)(1+x)=1+(k+1) ґ x+k ґ x 2 >1+(k+1) ґ x

В резултат на това получаваме, че (1+х) k+1 >1+(k+1) ґ x

Така че A(k) ⋅ A(k+1). Въз основа на принципа на математическата индукция може да се твърди, че неравенството на Бернули е валидно за всяко n> 2

Докажете, че неравенството (1+a+a 2) m > 1+m ґ a+(m(m+1)/2) ґ a 2 е вярно за a> 0

Решение: 1) За m=1

(1+a+a 2) 1 > 1+a+(2/2) ґ a 2 двете части са равни
2) Да приемем, че за m=k
(1+a+a 2) k >1+k ґ a+(k(k+1)/2) ґ a 2
3) Нека докажем, че за m=k+1 неравенството е вярно
(1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k ґ a+

+(k(k+1)/2) ґ a 2)=1+(k+1) ґ a+((k(k+1)/2)+k+1) ґ a 2 +

+((k(k+1)/2)+k) ґ a 3 +(k(k+1)/2) ґ a 4 > 1+(k+1) ґ a+

+((k+1)(k+2)/2) ґ a 2

Доказахме валидността на неравенството за m=k+1, следователно, поради метода на математическата индукция, неравенството е валидно за всяко естествено m

Докажете, че при n>6 неравенството 3 n >n ґ 2 n+1

Нека пренапишем неравенството във вида (3/2) n >2n

1. За n=7 имаме 3 7 /2 7 =2187/128>14=2 ґ 7 неравенството е вярно
2. Да предположим, че за n=k (3/2) k >2k
3) Нека докажем валидността на неравенството за n=k+1
3k+1 /2k+1 =(3k /2k) ґ (3/2)>2k ґ (3/2)=3k>2(k+1)

Тъй като k>7, последното неравенство е очевидно.

Поради метода на математическата индукция неравенството е валидно за всяко естествено n

Докажете, че за n>2 неравенството

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/n 2)<1,7-(1/n)

1) За n=3 неравенството е вярно
1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180
2. Да предположим, че за n=k
1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k 2)=1,7-(1/k)
3) Нека докажем валидността на неравенството за n=k+1
(1+(1/2 2)+...+(1/k 2))+(1/(k+1) 2)

Нека докажем, че 1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1) Ы

S (1/(k+1) 2)+(1/k+1)<1/k Ы (k+2)/(k+1) 2 <1/k Ы

s k(k+2)<(k+1) 2 Ы k 2 +2k

Последното е очевидно и следователно

1+(1/2 2)+(1/3 2)+...+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1)

По силата на метода на математическата индукция неравенството е доказано.

Размер: px

Начална импресия от страница:

препис

Решение По дефиниция числото е границата на числова последователност n n n N, ако има естествено число N, такова че за всички n n n N неравенството е изпълнено Решете последното неравенство n по отношение на n: n n n n n n (n) като N можем да вземете N Ако тогава N ако тогава N Така за всяко n n (n)) Отговор n n Проблем Изчислете li n n Решение n n n li li n n n n Нека направим промяна на променливите: n (n) ако n тогава и

2 li Отговор e li li li e e Задача Определете реда на безкрайно малката функция y sin по отношение на безкрайно малката y if Отговор Безкрайно малка функция y sin има втори ред по отношение на безкрайно малка y при sin Задача Изчислете li Решение Нека направете промяна на променливи: t ; ако тогава t ; t t sin t t sin cost t li li li li t t t t t t Отговор Проблем Изследване на функцията f () за непрекъснатост Решение Функцията f () не е дефинирана в точката Изчисляване на едностранни граници: li li вид

3 Отговор Точка - точка на прекъсване от втори род Задача Извършете пълно изследване на функцията y и изградете нейната графика Решение Домейн на функцията Функцията е дефинирана на цялата числова ос О Четност на функцията Тъй като y () y тогава функция е четна Пресечна точка на графиката на функцията с координатните оси Ако тогава y Следователно графиката на функцията пресича оста OY и оста OX в точка O ; Интервалите с постоянен знак на функцията Функцията е положителна за всяка асимптота Тъй като функцията няма точки на прекъсване от втори род, няма вертикални асимптоти Нека разберем наличието на наклонена асимптота y k b y li li k li b li y k li Следователно има хоризонтална асимптота y Интервали на нарастване Изчислете първата производна: y () " " Очевидно е, че y при; за y, следователно, функцията намалява за " ; и за y, тогава функцията нараства за Следователно, за функцията има минимум и y Изпъкнали интервали "" Изчислете втората производна: y в

4 "" Тъй като y ако това за; ; функцията е изпъкнала нагоре "" По-нататък y if означава if; тогава функцията е изпъкнала надолу "" И накрая y ако Следователно точките на инфлексия са точки Графика на функцията y() Задача Намерете матрицата ако Решение Изчислете детерминантата на матрицата: det Намерете алгебричните допълнения на съответните елементи на матрица: Съставете обединителната матрица * След това * дет

5 Отговор Проблем Използване на елементарни трансформации за намиране на ранга на матрицата Решение Извършвайки последователни елементарни трансформации, ние трансформираме оригиналната матрица в стъпаловидна форма: Рангът на последната матрица е две Следователно, същият ранг на оригиналната матрица Отговор на задача Решете системата от уравнения, като използвате метода на Крамер: Решение Матрицата е неизродена, тъй като det Изчислете: Тогава : тези Отговор

6 Задача Изследване на системата от уравнения за съвместимост Ако системата е съвместима, намерете общо решение и едно конкретно решение Разгледайте основната и разширената матрици на системата: получаваме системата по отношение на: Означавайки свободните променливи, съответно получаваме общото решение където R Частично решение, например настройка: Отговор Общо решение където R Частично решение Проблем

7 Рангът на матрицата на коефициентите е< Поэтому система имеет ненулевые решения Выбрав в качестве базисного минора минор M преобразуем исходную систему к виду: Решив данную систему относительно получим Обозначив свободные переменные соответственно через получим общее решение где R Ответ Общее решение где R Задача Решить систему методом Гаусса: Решение В результате элементарных преобразований над расширенной матрицей системы имеем Этой матрице соответствует система

8 След завършване на обратния ход на метода на Гаус намираме c и от тук получаваме общото решение: c където c R c Отговор Общото решение: c където c R Задача Изчислете площта S на успоредник, изграден върху вектори a b и Решение a b, ако a b и ъгълът между векторите a и b е равен Според дефиницията и свойствата на векторното произведение имаме a Отговор b a b a a a b b a (a b) (a b) Тъй като a a b a a b) тогава S a b a b sin b Задача Намерете обем V на триъгълник пирамида с върхове;; Б ;; ° С ;; и Д;; Решение Обемът на пирамидата е равен на обема на паралелепипеда, построен върху вектори b B C D Нека намерим координатите на тези вектори: B вектори B ;; ° С ;; D C Следователно D V ;; a a a b a b (b b) Намерете смесеното произведение на тези () () Отговор

9 Задачи за писмен изпит по висша математика в зимна сесия - учебна година Вариант Намерете точките на прекъсване на функцията y и посочете свойствата им Изчислете детерминантата Намерете сумата от екстремумите на функцията y този интервал? Дадена е ненулева матрица n. Известно е, че ang()= На какво е равно ang(T)? С какъв процент ще се промени стойността на функцията y, ако стойността на аргумента се увеличи от = с %? Дадени вектори a (;) b (;) c (;) d (;) Намерете основата на този набор от вектори и представете векторите, които не са включени в основата, като линейна комбинация от базисни вектори Съставете уравнения на допирателните към кривата y при точки с абциса Уравнение на равнина, минаваща през три дадени точки Теорема на Кронекер-Капели Приложение на теоремата за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения

10 Задачи от писмен изпит по висша математика през зимната сесия - учебна година Условие на задачата Теорема на Кронекер-Капели Приложение на теоремата за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения sin Докажете, че li Основите на трапеца лежат на прави y y Изчислете дължина на височината на трапеца За матрицата намерете обратната Изследвайте системата и в случая я решете Отговор Общо решение Частно решение Функцията е непрекъсната на Изследвайте непрекъснатостта на функцията y в множеството (;) (;) ( ;) - точка на отстранимо прекъсване - точка на безкрайно прекъсване = с %? % Намерете сумата от екстремумите на функцията y y () y() Съставете уравнения на допирателните към кривата y в точки с абциса y Изчислете площта на успоредника, изграден върху векторите a и b, където a и b ()

11 Задачи от писмен изпит по висша математика през зимната сесия - учебна година Задача Детерминанти на свойствата на детерминантите Теорема на Лагранж Изчислете границата tg sin li sin Извършете цялостно изследване на функцията, начертайте нейната графика y и Намерете приращението и диференциала на функцията y в точка, ако нарастването на аргумента Посочете как диференциалът се прилага за приблизителни изчисления Изчислете производната от ред n на функцията y sin Обемът на продукцията, произведена от екипа за всеки час от смяната, се дава от функцията f (t) t t t където t t е времето в часове Определете времето t, при което производителността на труда намалява Намерете пресечната точка на правата и равнината: y z y z Успоредни ли са правата и равнината? Дадена е система от уравнения b b b Определете набора от вектори b (b bb), за които системата е съвместима Опишете геометрично получения набор и го изградете в R Дайте теоретична обосновка за решението Намерете областта на успоредник, изграден върху вектори a b където и ъгълът между Отговор y a y() y в y() ; графика на функцията на следващата страница y dy (y n) sin(n) n при t производителността на труда намалява N пресечна точка - M (;;) ; насочващият вектор на правата линия може да бъде избран като такъв l (; ;) b b b вектори, равни на

12 Графиката на функцията y има вертикална асимптота и наклонена y y() as() като

13 Задачи от писмения изпит по висша математика през зимната сесия - учебна година Задача Отговор Скаларно произведение на вектори Първата забележителна граница (Извеждане на формулата) Дайте пример за изчисляване на границата Изследвайте функцията t за непрекъснатост Извършете цялостно изследване на функцията начертава своята графика f (t) t t ако y и Съставете уравнение на нормалата към графиката на функцията y в точка (;) Уравнението има ли корени в отсечката [;]? има точки - точки на прекъсване от -ти вид -подвижна точка на прекъсване y a y() y в y() графика на функцията на следващата страница y В триъгълник с върхове (; ;) B(; ;) C(;;) намерете h височина h BD Съставете уравнение на равнината, минаваща през точката (;;) перпендикулярно на равнините y z и y z y z Изследвайте съвместимостта на системата от уравнения и я решете дали е съвместима на R Напишете разширението на вектора (; ;) във вектори a (; ;) a (;;) a (;;) a a a

14 Графиката на функцията y има вертикална асимптота и наклонена y y() as() като

15 Писмен изпит по висша математика през зимната сесия - обучение в кореспондентския отдел n n Намерете границите li li n n n n Намерете сумата от най-голямата и най-малката стойност на функцията y върху сегмента [ ;] y z u v Изследвайте системата от уравнения за y z u v съвместимост и я решете, ако е съвместима Намерете производната на функцията f () sin() cos() Изследвайте функцията y и начертайте нейната графика tg Намерете границите li li Напишете уравненията на допирателните към графиката на функцията y в точките на пресичане на графиката на функцията с оста x Изследвайте функцията f () y за непрекъснатост Решете системата от уравнения y, използвайки метода на Cramer Намерете сумата от екстремуми на функцията y

16 Писмен изпит по висша математика в зимна сесия - обучение в задочно отделение на Стопански факултет Метод на Гаус Правило на L'Hopital за разкриване на неопределености Изчислете границата на числовата редица, зададена от общата (n) (n) (n) член n (n) (n) Изчислете li Определете безкрайно малък ред по отношение на at На кривата y намерете точката, в която допирателната е успоредна на хордата на свързващата точка (-;-) и B(;) Изчислете острия ъгъл между равнината y z и правата y z y z Изчислете производните на функциите: а) y () ; б) ytg () ; c) y) (Изследвайте системата от уравнения за съвместимост и я решете дали е съвместима Изчислете еластичността на функцията за дадена стойност на аргумента s

Програмата на писмения изпит по "Висша математика" през зимната сесия - учебна година за студентите от 1-ва година на Стопанския факултет от редовното отделение (специалности "Икономика" и "Икономическа теория") задочно

Матрици на билети, действия върху тях Числова редица, свойства на безкрайно малки редица Изчислете разстоянието от точката M(; ;) до равнината, минаваща през точките A(; ; 0), B(; ; ;

Въпроси за подготовка за изпита Тема. Линейна алгебра 1. Какво е детерминанта? При какви трансформации стойността на детерминантата не се променя? 2. В какви случаи детерминантата е равна на нула? Какво следва

Програмата на писмения изпит по „Висша математика” за 1-ви курс на задочните отделения на Стопанския факултет през зимната сесия Писменият изпит се провежда в рамките на два часа. На изпита за всеки студент

Министерство на образованието на Република Беларус БЕЛОРУСКИ НАЦИОНАЛЕН ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ Катедра „Висша математика“ ПРОГРАМНИ ВЪПРОСИ И КОНТРОЛНИ ЗАДАЧИ за курса „Математика. семестър“ за

Указания за решаване на тест 1 по дисциплината "Математика" за студенти първа година от строителни специалности Катедра по висша математика AV Kapusto Минск 016 016 Катедра по висша

КОНТРОЛНИ ВЪПРОСИ КЪМ ЛЕКЦИИ. Раздел 1. Векторна и линейна алгебра. Лекция 1. Матрици, операции върху тях. Детерминанти. 1. Дефиниции на матрица и транспонирана матрица. Какво се нарича ред на матрица?

КОНТРОЛНИ ВЪПРОСИ КЪМ ЛЕКЦИИ. Раздел 1. Векторна и линейна алгебра. Лекция 1. Матрици, операции върху тях. Детерминанти. 1. Дефиниции на матрица и транспонирана матрица .. Какво се нарича ред

Направление: "Конструкция" Въпроси и задачи за изпитния семестър. Матрици: определение, видове. Действия с матрици: транспониране, събиране, умножение с число, умножение на матрици. 2. Елементарни трансформации

ВЪПРОСИ ЗА ПОДГОТОВКА ЗА ИЗПИТА Векторна алгебра и аналитична геометрия. Определение на вектор. Векторно равенство. Линейни операции върху вектори. Линейна зависимост на векторите. Основа и координати.

СЪДЪРЖАНИЕ ЧАСТ I Лекции 1 2 Детерминанти и матрици Лекция 1 1.1. Концепцията за матрица. Видове матрици... 19 1.1.1. Основни определения... 19 1.1.2. Видове матрици... 19 1.2.* Пермутации и замествания... 21 1.3.*

Предговор Глава I. ЕЛЕМЕНТИ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА 1. Матрици 1.1. Основни понятия 1.2. Действия върху матрици 2. Детерминанти 2.1. Основни понятия 2.2. Свойства на детерминантите 3. Неизродени матрици 3.1.

ИЗПИТЕН БИЛЕТ 1 1. Матрици, операции с матрици. 2. Горни и долни граници на числови множества. Поле от реални числа. ИЗПИТЕН БИЛЕТ 2 1. Детерминанти. Определящи свойства, методи

Катедра "Математика и информатика" Математически анализ Учебно-методически комплекс за студенти от НВО, обучаващи се с използване на дистанционни технологии Модул 4 Приложения на производната Съставител: доц.

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСИЯ Федерална държавна бюджетна образователна институция за висше професионално образование "РУСКИ ДЪРЖАВЕН ХУМАНИТАРЕН УНИВЕРСИТЕТ" (RSUH) Филиал в Домодедово

Министерство на образованието и науката на Руската федерация Северен (Арктически) федерален университет на името на МЛомоносов Катедра по математика Примерни задачи за изпита по математика (част) за студенти от група 9 направление IEIT

ФЕДЕРАЛНА АГЕНЦИЯ ПО ОБРАЗОВАНИЕТО Московски държавен технически университет "МАМИ" Катедра "Висша математика" проф. д-р Кадимов В. А. доц. д-р.

Катедра Математика и информатика Елементи на висшата математика Учебно-методически комплекс за ученици от средното професионално образование, обучаващи се с дистанционни технологии Модул Диференциално смятане Съставител:

Насоки за студентите за усвояване на дисциплината (модул) Планове на практически занятия Матрици и детерминанти, системи от линейни уравнения Матрици Операции с матрици Обратна матрица Елементарни

Вариант 5 Намерете домейна на функцията: y arcsin + Домейнът на дадената функция се определя от две неравенства: и или Умножете първото неравенство по и се отървете от знака на модула: Отляво

Министерство на образованието и науката на Руската федерация Северен арктически федерален университет. М. В. Ломоносов Московски държавен университет Факултет по математика Въпроси по математика за задочници по специалността 000. "Топлоенергетика"

Лекция 9. Производни и диференциали от по-високи редове, техните свойства. Екстремни точки на функцията. Теоремите на Ферма и Рол. Нека функцията y е диференцируема на някакъв интервал [b]. В този случай нейната производна

Дадена е матрица Проверка A 0 T= Задача [, p ] Определете нейната размерност Запишете характеристиките на тази матрица: правоъгълна, квадратна, симетрична, единица, нула, триъгълна, диагонална,

Изпитен билет 1 Факултет: 101-152, 125-126 1. Матрично умножение. 2. Векторно произведение в координатна форма 3. Едностранни граници. Изпитен билет 2 1. Детерминант от 3-ти ред. 2.

Въпроси и задачи към теста Линейна алгебра Матрици и детерминанти Пресметнете детерминантите: а), б), в), г) Решете уравнението 9 9 Намерете детерминантата на матрицата B A C: A, B Намерете произведението на матриците

Вариант Намерете домейна на функцията: + + + Неравенството + е винаги изпълнено Следователно домейнът на дадената функция се определя от следните неравенства:, тези и, тези Решаване на системата от тези неравенства

Московски държавен технически университет на името на N.E. Бауман

Намерете общ член на редицата,) Намерете b) lim () c) 9 7 7) 8 7 b) 7 c) 7 d) 7 Намерете ()!! lim ()!) b) c) Намерете 6 si lim si d)) b) c) d) d) () Намерете lim [ (l() l)]) b) c) e d) l 6 Намерете

Математика [Електронен ресурс]: електронен учебно-методически комплекс. Част 1 / E.A. Левина, В.И. Зимин, И.В. Касимова [и др.]; сиб. състояние индустрия un-t. - Новокузнецк: SibGIU, 2010. - 1 електронен оптичен диск

Министерство на образованието и науката на Руската федерация Федерална държавна бюджетна образователна институция за висше професионално образование "СИБИРСКА ДЪРЖАВНА ГЕОДЕЗИЧЕСКА АКАДЕМИЯ"

Билет 1 1 Детерминанти от ти и ти ред, техните свойства и методи за изчисляване Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Крамер Решаване на система от уравнения с помощта на методите на Гаус и матрично смятане: Намерете координати

Изпити по дисциплина "Математика" за студенти от направление 676 (9) "Технология и дизайн на производството на опаковки" Тематичен списък Линейна алгебра Векторна алгебра Аналитична геометрия

Съдържание Въведение Задачи в класната стая по линейна алгебра Примерни решения Задачи за самостоятелно обучение Аналитична геометрия и векторна алгебра Задачи в класната стая Примерни решения

Диференциално смятане Основни понятия и формули Определение 1 Производната на функция в точка се нарича границата на отношението на нарастването на функцията към нарастването на аргумента, при условие че увеличението на аргумента

ЗАДАЧИ ЗА САМОСТОЯТЕЛНА РАБОТА НА СТУДЕНТИ-ЗАОДЧИЦИ ПРЕЗ МЕЖДУСЕСИЙНИЯ ПЕРИОД ПО УЧЕБНАТА ДИСЦИПЛИНА „МЕТОДИ ЗА ОПТИМАЛНИ РЕШЕНИЯ“ В НАПРАВЛЕНИЕ НА ПОДГОТОВКА 37.00.01 ПСИХОЛОГИЯ Тема 1. Матрици

ДЪРЖАВНА ОБРАЗОВАТЕЛНА ИНСТИТУЦИЯ ЗА ВИСШЕ ПРОФЕСИОНАЛНО ОБРАЗОВАНИЕ "ВОРОНЕЖКИ ДЪРЖАВЕН ПЕДАГОГИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ" ВЪВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФЕРЕНЦИАЛНО ИЗЧИСЛЯВАНЕ НА ФУНКЦИИ НА ЕДНА ПРОМЕНЛИВА

АНОТАЦИЯ към работната програма на дисциплината "Математика" Направление на обучение (специалност) 38.03.04 Държавна и общинска администрация 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ НА УЧЕБНАТА ДИСЦИПЛИНА 1.1. Цели на дисциплината: развитие

Тестова работа Тема Граници и производни на функции Намерете границите на следните функции на една променлива (без правилото на L'Hopital) a) b) c) d) Пример a) Решение Определете вида на несигурността При формален

СРЕДСТВА ЗА ОЦЕНЯВАНЕ ЗА ТЕКУЩ КОНТРОЛ НА ИЗПЪЛНЕНИЕТО, МЕЖДИННО СЕРТИФИЦИРАНЕ НА РЕЗУЛТАТИТЕ ОТ ОВЛАДЯВАНЕТО НА ДИСЦИПЛИНАТА Учебна дисциплина B.2.1 - Математика Профил на обучение: Производствен мениджмънт Предмет

1 Московски държавен технически университет на името на N.E. Бауман Специализиран образователен и научен център GOU Lyceum 1580

1 Московски държавен технически университет на името на N.E. Бауман Специализиран образователен и научен център GOU Lyceum 1580. Въпроси за трансферния изпит по математика. 10 клас, 2014-2015 уч

Вариант 9 Намерете домейна на функцията: y + lg Домейнът на дадената функция се определя от следното неравенство: >, те > Освен това, знаменателят не трябва да се равнява на нула: или ± Комбиниране на резултатите,

Примерни основни магистърски задачи и въпроси за ограничението на последователността на семестъра Просто изчисляване на ограничението на последователността l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Изчисляване на ограничението на последователността

Поток: TVGT -I ИЗПИТЕН БИЛЕТ 1 Детерминанти от 1-ви и -ти ред Правила за изчисление Общ алгоритъм за изучаване на графиката на функции с помощта на производни Намиране на най-големите и най-малките стойности

Опция Намерете областта на функцията Областта на дадената функция се определя от неравенството > Корените на уравнението са числа Тъй като клоновете на параболата са насочени нагоре, неравенството > е изпълнено

01 1. Намерете общото и основно решение на системата от уравнения: 16x 10x + 2x = 8, 40x + 25x 5x = 20. Отговор: Ако x е избрано като основна променлива, тогава общото решение е: x = 1 2 + 5 8 x 1 8 x , x, xR; основен

ФОНД ОТ СРЕДСТВА ЗА ОЦЕНЯВАНЕ ЗА МЕЖДИННО АТЕСТИРАНЕ НА СТУДЕНТИ ПО ДИСЦИПЛИНАТА (МОДУЛ). Общи сведения 1. Катедра „Информатика, компютърна техника и информационна сигурност“ 2. Направление

Опция Намерете домейна на функцията: y arcsi + Домейнът на дадената функция се определя от две неравенства и Умножете първото неравенство по и се отървете от знака на модула: От лявото неравенство

Опция Намерете домейна на функцията: y + Домейнът на дадената функция се определя от неравенството Освен това знаменателят не трябва да се нулира Намерете корените на знаменателя: Комбиниране на резултатите

Опция + Намерете домейна на функцията: y lg Домейнът на дадената функция се определя от неравенството + me Освен това знаменателят не трябва да се равнява на нула: lg или ± Освен това аргументът на логаритъма

Утвърден на заседание на катедра "Математика и информатика" Протокол 2 (25) "8" септември 2015 г. глава Катедра докторска степен Тимшина Д.В. Въпроси към теста по дисциплината "ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА И МАТЕМАТИЧЕСКИ АНАЛИЗ"

Билет.. Дефиниция на матрица (с примери за квадратни и правоъгълни матрици).. Геометричният смисъл на полинома на Тейлър от първи ред (формулировка, пример, фигура). (x)ctg(x). 4. Метод на графичните акорди

ДЪРЖАВНА ИНСТИТУЦИЯ ЗА ВИСШЕ ПРОФЕСИОНАЛНО ОБРАЗОВАНИЕ "БЕЛОРУСКО-РУСКИ УНИВЕРСИТЕТ" Катедра "Висша математика" ВИСША МАТЕМАТИКА Методически указания и варианти на задачи за контрол

4 Насоки за изпълнение на теста "Производна и нейните приложения Приложения на диференциалното смятане" Производна Приложения на диференциалното смятане Производна функция f (

Вариант 7 Намерете домейна на функцията: y + / lg Домейнът на дадената функция се определя от следните условия:, >, тези > / Освен това знаменателят не трябва да изчезва: или Комбиниране на резултатите,

Лекции 7-9 Глава 7 Изследване на функция 7 Увеличаване и намаляване на функция Теорема за монотонността на функция Ако f (на интервала (a; b, тогава на този интервал функцията f (увеличава) Ако f (на интервала

Изпитна програма по математика за студенти от специалност "Финанси и кредит" (задочна дисциплина) 1 Раздел 2. Основи на математическия анализ ФУНКЦИИ И ГРАНИЦИ Понятието функция Дефиницията на функция,

Московски държавен технически университет на името на Н. Е. Бауман

Вариант 5 Намерете домейна на функцията lg5 Областта на тази функция се определя от неравенството

Задача 2.1.Намерете дали
,
,
.

Решение.а). За
ние имаме

б). За
.

в). За
.

Задача 2.2.намирам
, ако

б). Диференциране на уравнението за
, ние имаме

Разграничаването на последното отношение дава

Въвеждане на израз за , намираме

в). Първата производна на дадена параметрична функция се изчислява по формулата

Изчисляваме втората производна по формулата

Задача 2.3.Изчислете границата, като използвате правилото на L'Hopital:

Решение.а). Желаният лимит е от неопределен тип

Според правилото на L'Hopital

б). Границата е несигурност на формата
Следователно, първо трябва да се преобразува във формата или :

До последно (като
) можете да приложите правилото на L'Hopital:

Получената граница отново е несигурността
така че прилагането на правилото отново дава

в). Границата е несигурност на формата към които е удобно да се приложи следният метод. Обозначете

. (1)

Нека изчислим спомагателната граница

Желаната граница съгласно (1) е равна на

Задача 2.4.Разгледайте функцията
и го начертайте.

Решение.Областта на дефиниция е цялата реална ос
. За да намерим области на монотонност, намираме

Тогава
при
(възходящ интервал),
при
(намаляващ интервал). Точка
е неподвижен, защото
При преминаване през
производната променя знака от плюс на минус, така че кога
функцията има локален максимум.

За намиране на области на изпъкналост се използва втората производна

При
или
ще бъде
и функцията е вдлъбната; при

и функцията е изпъкнала.

Функцията няма вертикални асимптоти. За намиране на наклонени асимптоти
изчисли

Следователно, когато
функцията има асимптота

Резултатите от изследването, като се вземе предвид паритетът на функцията
показано на графиката

4.3. Решение на типичен тестов вариант n 3

Задача 3.1.Намерете градиента и уравненията на допирателната равнина и нормалата към дадена повърхност в точката
.

Решение.Обозначете

Стойност на градиента

Уравнението на допирателна равнина с нормален вектор (7,-4,-19) и минаваща през
, ще бъдат записани

Нормалната линия има насочен вектор (7,-4,-19) и минава през
, така че неговите уравнения

Задача 3.2.Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция
в област D, ограничена от дадени линии:

Решение.Област D е показана на фигурата (триъгълник OAB).

Стационарните точки са решения на системата от уравнения

къде намираме точката
, който, както се вижда от фигурата, принадлежи към обл
. В този момент
. (2)

Изследваме функцията на границата на областта D.

Раздел OA.Тук
и
Стационарните точки се определят от уравнението
където
В този момент

. (3)

В краищата на сегмента

,

. (4)

Отсечка AB.Тук
и

От уравнението
намирам
и

. (5)

При
ние имаме

. (6)

Отсечка OV.Тук
Тъй като
при
функцията няма фиксирани точки. Стойностите му при

бяха изчислени в (4), (6).

От резултатите (2)-(6) заключаваме, че

освен това най-голямата стойност се достига в точка А(3,0), най-малката - в точка С(2,1).

Задача 3.3.Намерете пълния диференциал на функция

Решение.Частичните производни са равни

Задача 3.4.Намерете частични производни от втори ред на функция

Решение.Първо намираме частичните производни от първи ред:

След това, диференцирайки намерените частни производни, получаваме частните

производни от втори ред на тази функция:

Задача 3.5.Изчислете стойността на производната на сложна функция

при
с точност до два знака след десетичната запетая.

Решение.Тъй като сложната функция зависи от една променлива чрез междинни променливи и , които от своя страна зависят от една променлива тогава изчисляваме общата производна на тази функция по формулата

Изчислете и при
:

Заменете стойностите
в производен израз. Вземете

4.4. Решението на типичен вариант на контролна работа № 4

Задача 4.1.Използвайки интегриране по части, изчислете неопределения интеграл на функция от формата

Решение. Тъй като

желаният интеграл е равен на

Задача 4.2.Изчислете неопределения интеграл чрез разширяване на интегранта в прости дроби

Решение.Тъй като степента на полинома в числителя не е по-малка от степента на знаменателя, трябва да се извърши разделяне:

Разлагаме правилната дроб на прости дроби

Използвайки метода на неопределените коефициенти, намираме

Решавайки тази система от уравнения, имаме

Желаният интеграл е равен на

Задача 4.3.
.

Решение. Нека извършим замяната
Решаване на уравнението по отношение на , намираме:

.

Тогава желаният интеграл може да бъде записан:

Разгъване на интегранта в прости дроби

и отваряне на скоби при равенство

стигаме до отношението

Система от уравнения за
Регистрирай се

Решавайки го по метода на Гаус, намираме

Желаният интеграл е равен на:

Задача 4.4.Изчислете неопределения интеграл на функция чрез заместване
.

Решение. Универсалното заместване е
за които лесно се проверяват равенствата

Следователно желаният интеграл се свежда до случая на интегриране на рационалната дроб

. (7)

В някои случаи обаче заместванията са по-удобни:

(1)
Тогава

;

(2)
Тогава

;

(3)
Тогава

.

Заместванията 1,2 водят до интегранти, съдържащи радикал и следователно са неподходящи. За заместване 3 стигаме до интеграл, който е по-прост от (7) и лесно се свежда до табличен:

Задача 4.5.Изчислете площта на фигура, ограничена от линии:

а)

б)

Решение. а). Да разгледаме спомагателна функция на интервала
Площта се изчислява по формулата

Изследване
Очевидно е, че
Тъй като

това е лесно да се провери
достига точката
местен минимум, освен това,
Следователно най-малката стойност
на , равно на
, положително и, следователно,
Ние имаме

Изчислявайки интеграла по части, намираме

б). Тук
на
Ние имаме

, и следователно
сменя знака. Намерете интервалите, където е положителен или отрицателен. Намиране на корените на уравнението
намери стойност
Ето защо
при
и
при
Необходимата площ е:

Изчисляваме неопределения интеграл

Задача 4.6.Изчислете площта, ограничена от крива в полярни координати.

Решение. Кривата е дефинирана за тези стойности от интервал
(или
), при което условието
Неравенство
има решения
или

. (8)

Области (8) принадлежат на интервала
при стойности
тези.

Площта се изчислява по формулата

Изчисляване на неопределен интеграл

Задача 4.7.Изчислете неправилен интеграл
или докажете неговата дивергенция.

Решение. Според дефиницията на неправилен интеграл с безкрайна граница имаме

Тъй като корените на тричлена в знаменателя ще бъдат

тогава

Използвайки метода на неопределените коефициенти, намираме

, където

Ето защо

Стойността на неправилния интеграл е

Задача 4.8.Изчислете масата на нехомогенна плоча, ограничена от дадени линии и имаща повърхностна плътност

Д:

Решение. Изгледът на района е показан на фигурата.

Тегло на плочата
може да се запише с помощта на двойния интеграл

Редуцираме двойния интеграл до итерирания интеграл

Задача 4.9.Използвайте тройния интеграл, за да изчислите обема на областта V, ограничена от посочените повърхности: V: y=8-2x 2 , z=0, y=0, x=0, z=2x+y.

Решение. Регион V е показан на фигурата, където числата 1, 2 означават съответно параболичния цилиндър y=8-2x 2 и равнината z=2x+y; останалите уравнения съответстват на координатните равнини.

1 4 -

Сила на звука област с помощта на троен интеграл се записва

Привеждаме интеграла към итерирания

През
етикетирани точки за апликация
(виж Фиг.), изчислени от уравненията на равнината
и самолет
, т.е.
,
. През зоната на самолета е маркирана
върху който е проектирана площта . Следователно, при намаляване на двойния интеграл върху региона да преординирам
точки
изчислено от уравнението
и уравнението на права, която е пресечна точка на цилиндрична повърхност
и самолет
тези. уравнения
Желаният обем е равен на

Задача 4.10.Изчислете: а) заряда на проводника, разположен по кривата , с плътност
използване на криволинеен интеграл от първи род; b) работата на силата
по траекторията Лот т. Акъм t. бс помощта на криволинеен интеграл от втори род.

четвърт кръг
между A(3,-3), B(5,-1). (2) - дъга на парабола
от НО(0,1) до AT(1,-1).

Решение.а). Зареждане рпроводник с плътност на заряда
изчислено по формулата

(един). Удобно е да зададете кръга в параметрична форма:

парцел Лсъответства на стойността на параметъра
където

откъдето криволинейният интеграл се изразява чрез определено

където се избира горният знак, когато
и по-ниско - при

В тази задача

(2). За дъгата на параболата L е по-удобно да се използва частен случай на формулата за

За
ние имаме

Използване на заместване

b). Работа със силово поле с компоненти
по траекторията ще се напише AB

(един). За четвърт окръжност редуцираме интеграла до дефинирания от формулата

(2). За дъгата на парабола

Задача 4.11.Изчислете скоростта на потока на течност с поле на скорост, протичаща за единица време през част равнина, лежаща в първия октант. единица нормална насочени извън произхода.

Решение.Желаният дебит се дава по формулата

Единицата, нормална към равнината, има компоненти

Повърхностният интеграл може да се изрази чрез двойния интеграл

където е уравнението на повърхността изрично написано:

Регион
е проекция до самолета
и ограничени с линии

Въвеждайки дадените функции в двойния интеграл, намираме

Последното може да се запише чрез итерирания интеграл

Съдържание


	Типови програми на дисциплината "Висша математика". Препоръчителна литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		Програмата на курса "Висша математика" за инженерни науки
		Програмата на курса "Висша математика" за икономически специалности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Тестови работи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		Правила за проектиране на контролна работа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		Избор на тестова опция. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		Задачи на контролни работи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Контролна работа No1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Контролна работа No 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Контролна работа No3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Контролна работа No4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Примери за решаване на задачи от контролна работа. . . . . . . . . . .
		Решението на типичен вариант на контролна работа №1. . . . . . . . . . . . .
		Решение на типичен вариант на контролна работа № 2. . . . . . . . . . . . .
		Решението на типичен вариант на контролна работа №3. . . . . . . . . . . . .
		Решение на типичен вариант на контролна работа № 4. . . . . . . . . . . . .

Текстът на творбата е поместен без изображения и формули.
Пълната версия на работата е достъпна в раздела "Файлове за работа" в PDF формат

Въведение

Тази тема е уместна, тъй като всеки ден хората решават различни проблеми, в които използват различни методи за решаване, но има задачи, при които методът на математическата индукция не може да бъде изоставен и в такива случаи знанията в тази област ще бъдат много полезни.

Избрах тази тема за изследване, тъй като в училищната програма на метода на математическата индукция се отделя малко време, ученикът научава повърхностна информация, която ще му помогне да получи само обща представа за този метод, но саморазвитието ще трябва да изучавате тази теория в дълбочина. Наистина ще бъде полезно да научите повече за тази тема, тъй като разширява хоризонтите на човек и помага при решаването на сложни проблеми.

Обективен:

Запознайте се с метода на математическата индукция, систематизирайте знанията по тази тема и ги прилагайте при решаване на математически задачи и доказване на теореми, обосновете и ясно покажете практическото значение на метода на математическата индукция като необходим фактор за решаване на проблеми.

Работни задачи:

Анализирайте литературата и обобщете знанията по темата.

Разберете принципите на математическата индукция.

Разгледайте приложението на метода на математическата индукция за решаване на проблеми.

Формулирайте изводи и заключения за свършената работа.

Основно изследване

История на произхода:

Едва към края на 19 век се развива стандартът на изискванията за логическа строгост, който и до днес остава доминиращ в практическата работа на математиците по разработването на отделни математически теории.

Индукцията е когнитивна процедура, чрез която изявление, което ги обобщава, се извежда от сравнение на налични факти.

В математиката ролята на индукцията до голяма степен е, че тя е в основата на избраната аксиоматика. След като дългата практика показа, че правият път винаги е по-къс от извития или прекъснат, беше естествено да се формулира аксиома: за всеки три точки A, B и C неравенството е изпълнено.

Осъзнаването на метода на математическата индукция като отделен важен метод датира от Блез Паскал и Герсонид, въпреки че някои случаи на приложение са открити дори в древни времена от Прокъл и Евклид. Съвременното име на метода е въведено от де Морган през 1838 г.

Методът на математическата индукция може да се сравни с прогреса: започваме от най-ниското, в резултат на логическо мислене стигаме до най-високото. Човекът винаги се е стремял към прогрес, към умение логично да развива мисълта си, което означава, че самата природа го е предначертала да мисли индуктивно.

Индукция и дедукция

Известно е, че има както частни, така и общи твърдения, като двата дадени термина се основават на прехода от единия към другия.

Дедукция (от лат. deductio - извличане) - преходът в процеса на познание от общзнания за частени единичен. При дедукцията общото познание служи като отправна точка на разсъждението и това общо познание се приема за „готово“, съществуващо. Особеността на дедукцията е, че истинността на нейните предпоставки гарантира истинността на заключението. Следователно дедукцията има голяма сила на убеждаване и се използва широко не само за доказване на теореми в математиката, но и навсякъде, където са необходими надеждни знания.

Индукцията (от латински inductio - насочване) е преход в процеса на познание от частензнания за общС други думи, това е метод на изследване, познание, свързано с обобщаване на резултатите от наблюдения и експерименти.Особеност на индукцията е нейният вероятностен характер, т.е. предвид истинността на първоначалните предпоставки, заключението на индукцията е само вероятно вярно и в крайния резултат може да се окаже едновременно вярно и невярно.

Пълна и непълна индукция

Индуктивното разсъждение е форма на абстрактно мислене, при което мисълта се развива от знание с по-малка степен на обобщеност до знание с по-висока степен на общост, а заключението, което следва от предпоставките, е предимно вероятностно.

В хода на изследването разбрах, че индукцията е разделена на два вида: пълна и непълна.

Пълна индукция се нарича заключение, в което се прави общо заключение за клас обекти въз основа на изследването на всички обекти от този клас.

Например, нека се изисква да се установи, че всяко естествено четно число n в рамките на 6≤ n≤ 18 може да бъде представено като сбор от две прости числа. За да направим това, вземаме всички такива числа и изписваме съответните разширения:

6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;14=7+7; 16=11+5; 18=13+5;

Тези равенства показват, че всяко от числата, които ни интересуват, наистина е представено като сбор от два прости члена.

Разгледайте следния пример: последователността yn= n 2 +n+17; Нека изпишем първите четири члена: y 1 =19; y2=23; y3=29; y4=37; Тогава можем да приемем, че цялата последователност се състои от прости числа. Но това не е така, нека вземем y 16 = 16 2 +16+17=16(16+1)+17=17*17. Това е съставно число, което означава, че предположението ни е грешно, следователно непълната индукция не води до напълно надеждни заключения, но ни позволява да формулираме хипотеза, която по-късно изисква математическо доказателство или опровержение.

Метод на математическата индукция

Пълната индукция има само ограничени приложения в математиката. Много интересни математически твърдения обхващат безкраен брой специални случаи и не можем да тестваме всички тези ситуации. Но как да тестваме безкраен брой случаи? Този метод е предложен от Б. Паскал и Дж. Бернули, това е метод на математическа индукция, който се основава на принцип на математическата индукция.

Ако изречението A(n), което зависи от естествено число n, е вярно за n=1 и от факта, че е вярно за n=k (където k е всяко естествено число), следва, че то също е вярно за следващото число n=k +1, тогава допускането A(n) е вярно за всяко естествено число n.

В редица случаи може да се наложи да се докаже валидността на определено твърдение не за всички естествени числа, а само за n>p, където p е фиксирано естествено число. В този случай принципът на математическата индукция се формулира, както следва:

Ако изречението A(n) е вярно за n=p и ако A(k)  A(k+1) за всяко k>p, тогава изречението A(n) е вярно за всяко n>p.

Алгоритъм (състои се от четири етапа):

1.база(показваме, че доказаното твърдение е вярно за някои най-прости специални случаи ( П = 1));

2.предполагам(приемаме, че за първото твърдението е доказано да се случаи); 3 .стъпка(при това предположение ние доказваме твърдението за случая П = да се + 1); 4.изход (yтвърдението е вярно за всички случаи, тоест за всички П) .

Имайте предвид, че не всички проблеми могат да бъдат решени чрез метода на математическата индукция, а само проблеми, параметризирани от някаква променлива. Тази променлива се нарича индукционна променлива.

Приложение на метода на математическата индукция

Нека приложим цялата тази теория на практика и да разберем при какви проблеми се използва този метод.

Задачи за доказателство на неравенства.

Пример 1Докажете неравенството на Бернули (1+x)n≥1+n x, x>-1, n ∈ N.

1) При n=1 неравенството е вярно, тъй като 1+х≥1+х

2) Да приемем, че неравенството е вярно за някои n=k, т.е.

(1+x) k ≥1+k x.

Умножавайки двете страни на неравенството по положително число 1+x, получаваме

(1+x) k+1 ≥(1+kx)(1+ x) =1+(k+1) x + kx 2

Като се има предвид, че kx 2 ≥0, стигаме до неравенството

(1+x) k+1 ≥1+(k+1) x.

По този начин предположението, че неравенството на Бернули е вярно за n=k предполага, че е вярно за n=k+1. Въз основа на метода на математическата индукция може да се твърди, че неравенството на Бернули е валидно за всяко n ∈ N.

Пример 2Докажете, че за всяко естествено число n>1, .

Нека докажем с помощта на метода на математическата индукция.

Означим лявата страна на неравенството с.

1), следователно за n=2 неравенството е вярно.

2) Нека за някои k. Нека докажем това тогава и Ние имаме .

Сравнявайки и, имаме, т.е. .

За всяко положително цяло число k дясната страна на последното равенство е положителна. Ето защо. Но, следователно, и. Доказахме валидността на неравенството за n=k+1, следователно, по силата на метода на математическата индукция, неравенството е вярно за всяко естествено n>1.

Проблеми при доказване на самоличност.

Пример 1Докажете, че за всяко естествено n е вярно равенството:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4.

Нека n=1, тогава X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.

Виждаме, че за n=1 твърдението е вярно.

2) Да предположим, че равенството е вярно за n=kX k =k 2 (k+1) 2 /4.

3) Нека докажем истинността на това твърдение за n=k+1, т.е. X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2 /4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k+1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4.

От горното доказателство е ясно, че твърдението е вярно за n=k+1, следователно равенството е вярно за всяко естествено n.

Пример 2Докажете, че за всяко естествено n равенството

1) Проверете дали тази идентичност е вярна за n = 1.; - правилно.

2) Нека тъждеството е вярно и за n = k, т.е.

3) Нека докажем, че това тъждество е вярно и за n = k + 1, т.е.;

защото равенството е вярно за n=k и n=k+1, тогава е вярно за всяко естествено n.

Задачи за сумиране.

Пример 1Докажете, че 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 .

Решение: 1) Имаме n=1=1 2 . Следователно твърдението е вярно за n=1, т.е. A(1) е вярно.

2) Нека докажем, че А(k) A(k+1).

Нека k е произволно естествено число и твърдението е вярно за n=k, т.е. 1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .

Нека докажем, че тогава твърдението е вярно и за следващото естествено число n=k+1, т.е. Какво

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

Наистина, 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

И така, A(k) A(k+1). Въз основа на принципа на математическата индукция заключаваме, че предположението A(n) е вярно за всяко n N.

Пример 2Докажете формулата, n е естествено число.

Решение: Когато n=1, двете части на равенството се превръщат в една и следователно първото условие на принципа на математическата индукция е изпълнено.

Да приемем, че формулата е вярна за n=k, т.е. .

Нека добавим към двете страни на това равенство и да трансформираме дясната страна. Тогава получаваме

По този начин, от факта, че формулата е вярна за n=k, следва, че е вярна за n=k+1, тогава това твърдение е вярно за всяко естествено n.

проблеми с делимостта.

Пример 1Докажете, че (11 n+2 +12 2n+1) се дели на 133 без остатък.

Решение: 1) Нека тогава n=1

11 3 +12 3 \u003d (11 + 12) (11 2 -132 + 12 2) \u003d 23 × 133.

(23 × 133) се дели на 133 без остатък, така че за n=1 твърдението е вярно;

2) Да предположим, че (11 k+2 +12 2k+1) се дели на 133 без остатък.

3) Нека докажем това в този случай

(11 k+3 +12 2k+3) се дели на 133 без остатък. Наистина, 11 k+3 +12 2n+3 =11×11 k+2 +

12 2 ×12 2k+1 =11× 11 k+2 +(11+133)× 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133× 12 2k+1 .

Получената сума се дели на 133 без остатък, тъй като първият й член се дели на 133 без остатък по предположение, а във втория един от множителите е 133.

И така, A(k) → A(k+1), тогава въз основа на метода на математическата индукция, твърдението е вярно за всяко естествено n.

Пример 2Докажете, че 3 3n-1 +2 4n-3 за произволно цяло положително число n се дели на 11.

Решение: 1) Нека n=1, тогава X 1 =3 3-1 +2 4-3 =3 2 +2 1 =11 се дели на 11 без остатък. Следователно, за n=1 твърдението е вярно.

2) Да приемем, че за n=k

X k \u003d 3 3k-1 +2 4k-3 се дели на 11 без остатък.

3) Нека докажем, че твърдението е вярно за n=k+1.

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 *3 3k-1 +2 4 *2 4k-3 =

27 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =(16+11)* 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =16* 3 3k-1 +

11* 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11* 3 3k-1 .

Задачи от реалния живот.

Пример 1Докажете, че сумата Sn от вътрешните ъгли на всеки изпъкнал многоъгълник е ( П- 2)π, където Пе броят на страните на този многоъгълник: Sn = ( П- 2)π (1).

Това твърдение няма смисъл за всички естествени П, но само за П > 3, тъй като минималният брой ъгли в триъгълника е 3.

1) Кога П= 3 нашето твърдение приема формата: S 3 = π. Но сборът от вътрешните ъгли на всеки триъгълник наистина е π. Следователно, когато П= 3 формула (1) е вярна.

2) Нека тази формула е вярна за n =k, тоест С к = (к- 2)π, където к > 3. Нека докажем, че и в този случай е валидна формулата: S k+ 1 = (к- 1) π.

Нека A 1 A 2 ... A к А k+ 1 - произволен изпъкнал ( к+ 1) -гон (фиг. 338).

Чрез свързване на точки A 1 и A к , получаваме изпъкнали к-gon A 1 A 2 ... A к — 1А к . Очевидно сумата от ъглите ( к+ 1) -ъгълник A 1 A 2 ... A к А k+ 1 е равно на сбора от ъглите к-gon A 1 A 2 ... A к плюс сумата от ъглите на триъгълник A 1 A к А k+ един . Но сумата от ъглите к-gon A 1 A 2 ... A к се приема, че е ( к- 2)π, а сборът от ъглите на триъгълника A 1 A к А k+ 1 е равно на пи. Ето защо

С k+ 1=S к + π = ( к- 2)π + π = ( к- 1) π.

И така, и двете условия на принципа на математическата индукция са изпълнени и следователно формула (1) е вярна за всяко естествено П > 3.

Пример 2Има стълбище, чиито стъпала са еднакви. Изисква се да се посочи минималният брой позиции, които да гарантират възможността за "изкачване" на всяко стъпало по номер.

Всички са съгласни, че трябва да има условие. Трябва да можем да изкачим първото стъпало. След това те трябва да могат да се изкачат от първото стъпало до второто. След това във втория - на третия и т.н. до n-та стъпка. Разбира се, като цяло, "n" изявления гарантират nm, че ще можем да стигнем до n-тата стъпка.

Нека сега да разгледаме 2, 3,…., n позиции и да ги сравним една с друга. Лесно е да се види, че всички те имат една и съща структура: ако сме стигнали до стъпката k, тогава можем да изкачим стъпката (k + 1). От тук такава аксиома за валидността на твърдения, които зависят от "n", става естествена: ако изречението A (n), в което n е естествено число, е изпълнено с n=1 и от факта, че е изпълнено с n=k (където k е всяко естествено число), следва, че е валидно и за n=k+1, тогава предположението A(n) е валидно за всяко естествено число n.

Приложение

Задачи по метода на математическата индукция при постъпване във ВУЗ.

Имайте предвид, че при влизане във висши учебни заведения има и задачи, които се решават по този метод. Нека ги разгледаме на конкретни примери.

Пример 1Докажете, че всеки естествен Псправедливо равенство

1) Кога n=1получаваме правилното равенство Sin.

2) След като направихме индуктивното предположение, че за n= кравенството е вярно, помислете за сумата от лявата страна на равенството, за n =k+1;

3) Използвайки формулите за редукция, трансформираме израза:

Тогава, по силата на метода на математическата индукция, равенството е вярно за всяко естествено n.

Пример 2Докажете, че за всяко естествено n стойността на израза 4n +15n-1 е кратна на 9.

1) С n=1: 2 2 +15-1=18 - кратно на 9 (защото 18:9=2)

2) Нека важи равенството за n=k: 4k +15k-1 е кратно на 9.

3) Нека докажем, че равенството е в сила за следващото число n=k+1

4k+1 +15(k+1)-1=4k+1 +15k+15-1=4.4k +60k-4-45k+18=4(4k +15k-1)-9(5k- 2)

4(4k +15k-1) - кратно на 9;

9(5k-2) - кратно на 9;

Следователно целият израз 4(4 k +15k-1)-9(5k-2) е кратен на 9, което трябваше да се докаже.

Пример 3Докажете това за всяко естествено число Пусловието е изпълнено: 1∙2∙3+2∙3∙4+…+ n(n+1)(n+2)=.

1) Проверете дали тази формула е вярна за n=1:Лява страна = 1∙2∙3=6.

Дясна част = . 6 = 6; вярно при n=1.

2) Да приемем, че тази формула е вярна за n =k:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+k(k+1)(k+2)=.С к =.

3) Нека докажем, че тази формула е вярна за n =k+1:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+(k+1)(k+2)(k+3)=.

С k+1 =.

Доказателство:

И така, това условие е вярно в два случая и доказа, че е вярно за n =k+1,следователно е вярно за всяко естествено число П.

Заключение

Обобщавайки, в процеса на изследване разбрах какво е индукция, коя е пълна или непълна, се запознах с метода на математическата индукция, основан на принципа на математическата индукция, разгледах много проблеми с помощта на този метод.

Научих и много нова информация, различна от това, което е включено в училищната програма.При изучаването на метода на математическата индукция използвах различна литература, интернет ресурси, а също така се консултирах с учител.

Заключение: След като обобщих и систематизирах знанията по математическата индукция, се убедих в необходимостта от знания по тази тема в действителност. Положително качество на метода на математическата индукция е широкото му приложение при решаване на задачи: в областта на алгебрата, геометрията и реалната математика. Освен това това знание повишава интереса към математиката като наука.

Сигурен съм, че уменията, придобити по време на работата, ще ми помогнат в бъдеще.

Библиография

Сомински И.С. Метод на математическата индукция. Популярни лекции по математика, бр.3-М.: Наука, 1974г.

Л. И. Головина, И. М. Яглом. Индукция в геометрията. - Физматгиз, 1961. - Т. 21. - 100 с. — (Популярни лекции по математика).

Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Ръководство по математика за кандидати за университети (Избрани въпроси на елементарната математика) - Изд. 5-то, преработено, 1976 - 638s.

А. Шен. Математическа индукция. - МЦНМО, 2004. - 36 с.

М. Л. Галицки, А. М. Голдман, Л. И. Звавич Сборник задачи по алгебра: учебник за 8-9 клетки. с дълбока изучаването на математиката 7 изд. - М .: Образование, 2001. - 271 с.

Ю.Н. - М .: Pro-sve-shche-nie, 2002.

Уикипедия е безплатната енциклопедия.