Решаване на линейни уравнения по матричен метод. Матричен метод за решаване на Slough: Пример за решаване с помощта на обратна матрица

Матричен метод SLAU решенияизползва се за решаване на системи от уравнения, в които броят на уравненията съответства на броя на неизвестните. Методът се използва най-добре за решаване на системи от нисък ред. Матричният метод за решаване на системи от линейни уравнения се основава на прилагането на свойствата на матричното умножение.

По този начин, с други думи метод на обратната матрица,наречен така, тъй като решението се свежда до обичайното матрично уравнение, за решението на което трябва да намерите обратната матрица.

Матричен метод на решение SLAE с детерминанта по-голяма или по-малка от нула е както следва:

Да предположим, че има SLE (система от линейни уравнения) с ннеизвестно (над произволно поле):

Така че е лесно да го преведете в матрична форма:

AX=B, където Ае основната матрица на системата, би х- колони с безплатни членове и съответно решения на системата:

Умножете това матрично уравнение отляво по А -1- обратна матрица към матрица A: A −1 (AX)=A −1 B.

защото A −1 A=E, означава, X=A −1 B. Дясната страна на уравнението дава колона от решения на първоначалната система. Условието за приложимост на матричния метод е неизродеността на матрицата А. Необходимо и достатъчно условие за това е детерминантата на матрицата А:

detA≠0.

За хомогенна система от линейни уравнения, т.е. ако вектор B=0, важи обратното правило: системата AX=0е нетривиално (т.е. не е равно на нула) решение само когато detA=0. Тази връзка между решенията на еднородни и нехомогенни системи от линейни уравнения се нарича алтернатива на Фредхолм.

Така решението на SLAE по матричния метод се прави по формулата . Или решението на SLAE се намира с помощта на обратна матрица А -1.

Известно е, че квадратна матрица НОпоръчка нна нима обратна матрица А -1само ако неговата детерминанта е различна от нула. Така системата нлинейни алгебрични уравнения с ннеизвестните се решават по матричния метод само ако детерминантата на основната матрица на системата не е равна на нула.

Въпреки факта, че съществуват ограничения за възможността за използване на такъв метод и има изчислителни трудности за големи стойности на коефициентите и системи от висок ред, методът може лесно да се приложи на компютър.

Пример за решаване на нехомогенен SLAE.

Първо, нека проверим дали детерминантата на матрицата на коефициентите за неизвестни SLAE не е равна на нула.

Сега намираме матрица на съюза, транспонирайте го и го заместете във формулата за определяне на обратната матрица.

Заменяме променливите във формулата:

Сега намираме неизвестните чрез умножаване на обратната матрица и колоната от свободни членове.

Така, х=2; y=1; z=4.

Когато преминавате от обичайната форма на SLAE към матричната форма, внимавайте с реда на неизвестните променливи в уравненията на системата. Например:

НЕ пишете като:

Необходимо е първо да се подредят неизвестните променливи във всяко уравнение на системата и едва след това да се премине към матричната нотация:

Освен това трябва да внимавате с обозначаването на неизвестни променливи, вместо х 1, x 2 , …, x nможе да има и други букви. Например:

в матрична форма, ние пишем:

С помощта на матричния метод е по-добре да се решават системи от линейни уравнения, в които броят на уравненията съвпада с броя на неизвестните променливи и детерминантата на основната матрица на системата не е равна на нула. Когато има повече от 3 уравнения в системата, ще са необходими повече изчислителни усилия за намиране на обратната матрица, следователно в този случай е препоръчително да използвате метода на Гаус за решаване.

Уравненията като цяло, линейните алгебрични уравнения и техните системи, както и методите за тяхното решаване, заемат специално място в математиката, както теоретична, така и приложна.

Това се дължи на факта, че огромното мнозинство от физически, икономически, технически и дори педагогически проблеми могат да бъдат описани и решени с помощта на различни уравнения и техните системи. Напоследък математическото моделиране придоби особена популярност сред изследователи, учени и практици в почти всички предметни области, което се обяснява с неговите очевидни предимства пред други добре познати и доказани методи за изследване на обекти от различно естество, по-специално така наречените сложни системи. Съществува голямо разнообразие от различни дефиниции на математически модел, дадени от учени по различно време, но според нас най-успешното е следното твърдение. Математическият модел е идея, изразена чрез уравнение. По този начин способността за съставяне и решаване на уравнения и техните системи е неразделна характеристика на съвременния специалист.

За решаване на системи от линейни алгебрични уравнения най-често използваните методи са: Крамер, Йордан-Гаус и матричният метод.

Метод на матрично решение - метод за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения с ненулев детерминант с помощта на обратна матрица.

Ако изпишем коефициентите за неизвестни стойности xi в матрицата A, съберем неизвестните стойности във вектора колона X и свободните членове във вектора колона B, тогава системата от линейни алгебрични уравнения може да бъде записана в формата на следното матрично уравнение A X = B, което има единствено решение само когато детерминантата на матрицата A не е равна на нула. В този случай решението на системата от уравнения може да се намери по следния начин х = А-един · б, където А-1 - обратна матрица.

Методът на матрично решение е както следва.

Нека е дадена система от линейни уравнения с ннеизвестен:

Може да се пренапише в матрична форма: БРАВИЛА = б, където А- основната матрица на системата, би х- колони с безплатни членове и съответно решения на системата:

Умножете това матрично уравнение отляво по А-1 - матрица, обратна на матрицата А: А -1 (БРАВИЛА) = А -1 б

защото А -1 А = д, получаваме х= А -1 б. Дясната страна на това уравнение ще даде колона от решения на оригиналната система. Условието за приложимостта на този метод (както и общото съществуване на решение на нехомогенна система от линейни уравнения с брой уравнения, равен на броя на неизвестните) е неизродеността на матрицата А. Необходимо и достатъчно условие за това е детерминантата на матрицата А: дет А≠ 0.

За хомогенна система от линейни уравнения, т.е. когато векторът б = 0 , всъщност обратното правило: системата БРАВИЛА = 0 има нетривиално (т.е. ненулево) решение само ако det А= 0. Такава връзка между решенията на еднородни и нехомогенни системи от линейни уравнения се нарича алтернатива на Фредхолм.

Пример решения на нехомогенна система от линейни алгебрични уравнения.

Нека се уверим, че детерминантата на матрицата, съставена от коефициентите на неизвестните на системата от линейни алгебрични уравнения, не е равна на нула.

Следващата стъпка е да се изчислят алгебричните допълнения за елементите на матрицата, състояща се от коефициентите на неизвестните. Те ще са необходими за намиране на обратната матрица.

Нека има квадратна матрица от n-ти ред

Извиква се матрица A -1 обратна матрицапо отношение на матрицата A, ако A * A -1 = E, където E е матрицата на идентичност от n-ти ред.

Идентификационна матрица- такава квадратна матрица, в която всички елементи по главния диагонал, минаващ от горния ляв ъгъл до долния десен ъгъл, са единици, а останалите са нули, например:

обратна матрицаможе да съществува само за квадратни матрицитези. за тези матрици, които имат еднакъв брой редове и колони.

Теорема за условието за съществуване на обратната матрица

За да има една матрица обратна матрица, е необходимо и достатъчно тя да не е изродена.

Извиква се матрицата A = (A1, A2,...A n). неизродениако колонните вектори са линейно независими. Броят на линейно независимите колонни вектори на матрица се нарича ранг на матрицата. Следователно можем да кажем, че за да съществува обратна матрица, е необходимо и достатъчно рангът на матрицата да е равен на нейната размерност, т.е. r = n.

Алгоритъм за намиране на обратната матрица

Запишете матрицата A в таблицата за решаване на системи уравнения по метода на Гаус и отдясно (на мястото на десните части на уравненията) й задайте матрица E.
Използвайки трансформациите на Джордан, приведете матрица А към матрица, състояща се от единични колони; в този случай е необходимо едновременно да се трансформира матрицата E.
Ако е необходимо, пренаредете редовете (уравненията) на последната таблица, така че матрицата на идентичност E да се получи под матрицата A на оригиналната таблица.
Напишете обратната матрица A -1, която е в последната таблица под матрицата E на оригиналната таблица.

Пример 1

За матрица A намерете обратната матрица A -1

Решение: Записваме матрицата A и отдясно задаваме матрицата на идентичност E. Използвайки трансформациите на Йордан, редуцираме матрицата A до матрицата на идентичност E. Изчисленията са показани в таблица 31.1.

Нека проверим правилността на изчисленията, като умножим оригиналната матрица A и обратната матрица A -1.

В резултат на умножението на матрицата се получава матрицата на идентичността. Следователно изчисленията са верни.

Отговор:

Решение на матрични уравнения

Матричните уравнения могат да изглеждат така:

AX = B, XA = B, AXB = C,

където A, B, C са дадени матрици, X е желаната матрица.

Матричните уравнения се решават чрез умножаване на уравнението по обратни матрици.

Например, за да намерите матрицата от уравнение, трябва да умножите това уравнение по отляво.

Следователно, за да намерите решение на уравнението, трябва да намерите обратната матрица и да я умножите по матрицата от дясната страна на уравнението.

Други уравнения се решават по подобен начин.

Пример 2

Решете уравнението AX = B, ако

Решение: Тъй като обратното на матрицата е равно (вижте пример 1)

Матричен метод в икономическия анализ

Наред с други, те също намират приложение матрични методи. Тези методи се основават на линейна и векторно-матрична алгебра. Такива методи се използват за целите на анализа на сложни и многоизмерни икономически явления. Най-често тези методи се използват, когато е необходимо да се сравни функционирането на организациите и техните структурни подразделения.

В процеса на прилагане на матрични методи за анализ могат да се разграничат няколко етапа.

На първия етапсе извършва формирането на система от икономически показатели и на нейна основа се съставя матрица от изходни данни, която представлява таблица, в която номерата на системата са показани в отделните й редове (i = 1,2,....,n), а по вертикалните графики - номера на показателите (j = 1,2,....,m).

На втория етапза всяка вертикална колона се разкрива най-голямата от наличните стойности на индикаторите, която се приема като единица.

След това всички суми, отразени в тази колона, се разделят на най-голямата стойност и се формира матрица от стандартизирани коефициенти.

На третия етапвсички компоненти на матрицата са повдигнати на квадрат. Ако те имат различно значение, тогава на всеки показател от матрицата се присвоява определен коефициент на тежест к. Стойността на последния се определя от вещо лице.

На последния четвърти етапнамерени стойности на оценките Rjгрупирани в ред на нарастване или намаляване.

Горепосочените матрични методи трябва да се използват например при сравнителен анализ на различни инвестиционни проекти, както и при оценка на други икономически показатели на организацията.

Обмисли система от линейни алгебрични уравнения(БАВНО) относно ннеизвестен х 1 , х 2 , ..., х н :

Тази система в "сгъната" форма може да бъде написана по следния начин:

С н i=1 а ij х й = б аз , i=1,2, ..., n.

В съответствие с правилото за умножение на матрицата разглежданата система от линейни уравнения може да бъде записана матрична форма брадва=b, където

Матрица А, чиито колони са коефициентите за съответните неизвестни, а редовете са коефициентите за неизвестните в съответното уравнение, се нарича системна матрица. колонна матрица b, чиито елементи са десните части на уравненията на системата, се нарича матрица на дясната част или просто дясната страна на системата. колонна матрица х , чиито елементи са неизвестни неизвестни, се нарича системно решение.

Системата от линейни алгебрични уравнения, записана като брадва=b, е матрично уравнение.

Ако матрицата на системата неизродени, тогава има обратна матрица и след това решението на системата брадва=bсе дава по формулата:

х=А -1 b.

ПримерРешете системата матричен метод.

Решениенамерете обратната матрица за матрицата на коефициента на системата

Изчислете детерминантата, като разширите първия ред:

Тъй като Δ ≠ 0 , тогава А -1 съществува.

Обратната матрица е намерена правилно.

Нека намерим решение на системата

Следователно, х 1 = 1, х 2 = 2, х 3 = 3 .

Преглед:

7. Теоремата на Кронекер-Капели за съвместимостта на система от линейни алгебрични уравнения.

Система от линейни уравненияизглежда като:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m .

Тук са дадени a i j и b i (i = ; j = ), а x j са неизвестни реални числа. Използвайки концепцията за произведение на матрици, можем да пренапишем системата (5.1) във формата:

където A = (a i j) е матрицата, състояща се от коефициентите на неизвестните на системата (5.1), която се нарича системна матрица, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - колонни вектори, съставени съответно от неизвестни x j и свободни членове b i .

Поръчана колекция нреални числа (c 1 , c 2 ,..., c n) се нарича системно решение(5.1) ако в резултат на заместване на тези числа вместо съответните променливи x 1 , x 2 ,..., x n всяко уравнение на системата се превръща в аритметично тъждество; с други думи, ако съществува вектор C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T такъв, че AC  B.

Извиква се система (5.1). става,или разрешимиако има поне едно решение. Системата се нарича несъвместим,или неразтворимако няма решения.

образувана чрез присвояване на колона от свободни членове на матрицата A отдясно, се нарича разширена матрична система.

Въпросът за съвместимостта на системата (5.1) се решава със следната теорема.

Теорема на Кронекер-Капели . Системата от линейни уравнения е непротиворечива тогава и само тогава, когато ранговете на матриците A и A съвпадат, т.е. r(A) = r(A) = r.

За множеството M от решения на система (5.1) има три възможности:

1) M =  (в този случай системата е непоследователна);

2) M се състои от един елемент, т.е. системата има уникално решение (в този случай системата се нарича определени);

3) M се състои от повече от един елемент (тогава системата се нарича несигурен). В третия случай системата (5.1) има безкраен брой решения.

Системата има единствено решение само ако r(A) = n. В този случай броят на уравненията не е по-малък от броя на неизвестните (mn); ако m>n, тогава m-n уравнения са следствия от останалите. Ако 0

За да се реши произволна система от линейни уравнения, трябва да могат да се решават системи, в които броят на уравненията е равен на броя на неизвестните, т.нар. Системи тип Крамер:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

Системите (5.3) се решават по един от следните начини: 1) по метода на Гаус или по метода на елиминиране на неизвестни; 2) по формулите на Крамер; 3) по матричния метод.

Пример 2.12. Проучете системата от уравнения и я решете дали е съвместима:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Решение.Изписваме разширената матрица на системата:

 .

Нека изчислим ранга на основната матрица на системата. Очевидно е, че например минорът от втори ред в горния ляв ъгъл = 7  0; съдържащите го минори от трети ред са равни на нула:

Следователно рангът на основната матрица на системата е 2, т.е. r(A) = 2. За да изчислите ранга на разширената матрица A, помислете за граничния минор

следователно рангът на разширената матрица е r(A) = 3. Тъй като r(A)  r(A), системата е непоследователна.

Методът на матрично решение е както следва.

Нека е дадена система от линейни уравнения с ннеизвестен:

Умножете това матрично уравнение отляво по А-1 - матрица, обратна на матрицата А: А -1 (БРАВИЛА) = А -1 б

Пример решения на нехомогенна система от линейни алгебрични уравнения.