Решение на прости линейни уравнения. По-сложни примери за уравнения

Уравнението е математически израз, който е уравнение, съдържащо неизвестно. Ако равенството е вярно за всякакви допустими стойности на неизвестните, включени в него, то се нарича идентичност; например: отношение като (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1) е в сила за всички стойности на x.

Ако уравнение, включващо неизвестно x, е валидно само за определени стойности на x, а не за всички стойности на x, както в случая на идентичност, тогава може да е полезно да се определят тези стойности на x, за които уравнението е валидно. Такива стойности на x се наричат ​​корени или решения на уравнението. Например числото 5 е коренът на уравнението 2x + 7= 17.

В клона на математиката, наречен теория на уравненията, основният предмет на изследване са методите за решаване на уравнения. AT училищен курсна уравненията в алгебрата се обръща голямо внимание.

Историята на изучаването на уравненията датира от много векове. Най-известните математици, допринесли за развитието на теорията на уравненията, са:

Архимед (около 287-212 г. пр. н. е.) - древногръцки учен, математик и механик. При изследването на един проблем, който се свежда до кубично уравнение, Архимед открива ролята на характеристиката, която по-късно става известна като дискриминант.

Франсоа Виет е живял през 16 век. Той има голям принос в изследването различни проблемиматематика. По-специално, той въвежда буквалното обозначение за коефициентите на уравнение и установява връзка между корените на квадратно уравнение.

Леонхард Ойлер (1707 - 1783) - математик, механик, физик и астроном. Авторът на Св. 800 статии по математически анализ, диференциални уравнения, геометрия, теория на числата, приблизителни изчисления, небесна механика, математика, оптика, балистика, корабостроене, теория на музиката и др. Той оказва значително влияние върху развитието на науката. Той извежда формули (формули на Ойлер), изразяващи тригонометрични функциипроменлива x чрез експоненциална функция.

Лагранж Жозеф Луи (1736 - 1813), френски математики механик. Той притежава изключителни изследвания, сред които изследвания по алгебра (симетрична функция на корените на уравнение, върху диференциални уравнения (теория на сингулярните решения, метод на вариация на константи).

Ж. Лагранж и А. Вандермонд - френски математици. През 1771 г. за първи път е използван методът за решаване на системи от уравнения (методът на заместването).

Гаус Карл Фридрих (1777 -1855) - немски математик. Написа книга, която очертава теорията на уравненията за разделяне на кръгове (т.е. уравнения xn - 1 = 0), която в много отношения е прототип на теорията на Галоа. Освен от общи методирешавайки тези уравнения, установи връзка между тях и изграждането на правилни многоъгълници. Той, за първи път след древногръцките учени, направи значителна крачка напред по този въпрос, а именно: той намери всички онези стойности на n, за които правилен n-ъгълникможе да се построи с пергел и линийка. Научих как да добавям. Той заключи, че системите от уравнения могат да се събират, разделят и умножават помежду си.

О. И. Сомов - обогати различни части на математиката с важни и многобройни трудове, сред които теорията на някои алгебрични уравнения по-високи степени.

Галоа Еварист (1811-1832), френски математик. Основната му заслуга е формулирането на набор от идеи, до които той стигна във връзка с продължаването на изследванията върху разрешимостта на алгебричните уравнения, започнати от Ж. Лагранж, Н. Абел и други, създадоха теорията на алгебричните уравнения на висшите градуса с едно неизвестно.

А. В. Погорелов (1919 - 1981) - В работата си геометричните методи са свързани с аналитични методитеория на диференциалните уравнения с частни производни. Неговите трудове също имаха значително влияние върху теорията на нелинейните диференциални уравнения.

П. Руфини – италиански математик. Той посвети редица трудове на доказателството за неразрешимостта на уравнението от 5-та степен, систематично използва затвореността на набора от замествания.

Въпреки факта, че учените изучават уравнения от дълго време, науката не знае как и кога хората са имали нужда да използват уравнения. Известно е само, че проблемите, водещи до решаването на най-простите уравнения, са били решавани от хората от момента, в който са станали хора. Още 3 - 4 хиляди години пр.н.е. д. египтяните и вавилонците са знаели как да решават уравнения. Правилото за решаване на тези уравнения съвпада със съвременното, но не се знае как се е стигнало дотук.

AT Древен Египети Вавилон е използван методът на фалшивата позиция. Уравнение от първа степен с едно неизвестно винаги може да се сведе до формата ax + b = c, в който a, b, c са цели числа. Според правилата аритметични операциибрадва \u003d c - b,

Ако b > c, тогава c b е отрицателно число. Отрицателни числаса били непознати за египтяните и много други по-късни народи (наравно с положителни числате започват да се използват в математиката едва през седемнадесети век). За решаване на проблемите, които сега решаваме с уравнения от първа степен, беше изобретен методът на фалшивата позиция. В папируса на Амес 15 задачи са решени по този метод. Египтяните са имали специален знак за обозначаване неизвестна дата, което доскоро се четеше „как“ и се превеждаше с думата „купчина“ („купчина“ или „неизвестен брой“ единици). Сега те четат малко по-малко неточно: "аха". Методът на решение, използван от Ahmes, се нарича метод на една фалшива позиция. С помощта на този метод се решават уравнения от вида ax = b. Този метод се състои в разделянето на всяка страна на уравнението на a. Използван е както от египтяните, така и от вавилонците. При различни народиизползван е методът на две фалшиви позиции. Арабите механизирали този метод и получили формата, в която той преминал в учебниците на европейските народи, включително в Аритметиката на Магнитски. Магнитски нарича метода за решаване на "фалшивото правило" и пише в частта от книгата си, която излага този метод:

Zelo bo хитър е тази част, Като че ли можеш да сложиш всичко с нея. Не само това, което е в гражданството, Но и висшите науки в космоса, Дори са изброени в сферата на небето, Като мъдрите има нужда.

Съдържанието на стиховете на Магнитски може да се обобщи по следния начин: тази част от аритметиката е много сложна. С негова помощ можете да изчислите не само това, което е необходимо в ежедневната практика, но и решава „по-висшите“ въпроси, които стоят пред „мъдрите“. Магнитски използва „фалшиво правило“ във формата, дадена му от арабите, наричайки го „аритметика на две грешки“ или „метод на теглата“. Индийските математици често дават задачи в стихове. Lotus предизвикателство:

Над тихото езеро, на половин мярка над водата, се виждаше цвят на лотос. Той израсна сам и вятърът на вълна го огъна настрани и вече не

Цветя над водата. Намери рибарското си око. Две мерки от мястото, където е израснал. Колко езера тук са дълбоки? Ще ви предложа въпрос.

Видове уравнения

Линейни уравнения

Линейните уравнения са уравнения от вида: ax + b = 0, където a и b са някои константи. Ако a не е равно на нула, тогава уравнението има един единствен корен: x \u003d - b: a (ax + b; ax \u003d - b; x \u003d - b: a.).

Например: решете линейно уравнение: 4x + 12 = 0.

Решение: T. до a \u003d 4 и b = 12, след това x = - 12: 4; x = - 3.

Проверка: 4 (- 3) + 12 = 0; 0 = 0.

Тъй като k 0 = 0, тогава -3 е коренът на първоначалното уравнение.

Отговор. х = -3

Ако a е нула и b е нула, тогава коренът на уравнението ax + b = 0 е произволно число.

Например:

0 = 0. Тъй като 0 е 0, тогава коренът на уравнението 0x + 0 = 0 е произволно число.

Ако a е нула и b не е нула, тогава уравнението ax + b = 0 няма корени.

Например:

0 \u003d 6. Тъй като 0 не е равно на 6, тогава 0x - 6 \u003d 0 няма корени.

Системи линейни уравнения.

Система от линейни уравнения е система, в която всички уравнения са линейни.

Да се ​​реши една система означава да се намерят всички нейни решения.

Преди да решите система от линейни уравнения, можете да определите броя на нейните решения.

Нека е дадена системата от уравнения: (а1х + b1y = с1, (а2х + b2y = c2.

Ако a1 делено на a2 не е равно на b1 делено на b2, тогава системата има едно уникално решение.

Ако a1 делено на a2 е равно на b1 делено на b2, но равно на c1 делено на c2, тогава системата няма решения.

Ако a1 делено на a2 е равно на b1 делено на b2 и равно на c1 делено на c2, тогава системата има безкрайно много решения.

Система от уравнения, която има поне едно решение, се нарича последователна.

Ставната система се нарича определена, ако има крайно числорешения и неопределен, ако множеството от неговите решения е безкрайно.

Система, която няма едно единствено решение, се нарича непоследователна или непоследователна.

Начини за решаване на линейни уравнения

Има няколко начина за решаване на линейни уравнения:

1) Метод на подбор. Това е най най-простият начин. Състои се в това, че избират всички позволени стойностинеизвестен чрез изброяване.

Например:

Решете уравнението.

Нека x = 1. Тогава

4 = 6. Тъй като 4 не е равно на 6, тогава предположението ни, че x = 1, е неправилно.

Нека x = 2.

6 = 6. Тъй като 6 е равно на 6, тогава предположението ни, че x = 2, е правилно.

Отговор: x = 2.

2) Начин за опростяване

Този метод се състои във факта, че всички членове, съдържащи неизвестното, се прехвърлят от лявата страна, а известните отдясно с противоположен знак, дайте подобни и разделете двете страни на уравнението на коефициента на неизвестното.

Например:

Решете уравнението.

5x - 4 \u003d 11 + 2x;

5x - 2x \u003d 11 + 4;

3x = 15; : (3) x = 5.

Отговор. х = 5.

3) Графичен начин.

Състои се в това, че се изгражда графика на функциите дадено уравнение. Тъй като в линейното уравнение y \u003d 0, тогава графиката ще бъде успоредна на оста y. Точката на пресичане на графиката с оста x ще бъде решението на това уравнение.

Например:

Решете уравнението.

Нека y = 7. Тогава y = 2x + 3.

Нека изградим графика на функциите на двете уравнения:

Начини за решаване на системи от линейни уравнения

В седми клас се изучават три начина за решаване на системи от уравнения:

1) Метод на заместване.

Този метод се състои в това, че в едно от уравненията едно неизвестно се изразява чрез друго. Полученият израз се замества в друго уравнение, което след това се превръща в уравнение с едно неизвестно, след което се решава. Получената стойност на това неизвестно се замества във всяко уравнение на оригиналната система и се намира стойността на второто неизвестно.

Например.

Решете системата от уравнения.

5x - 2y - 2 = 1.

3x + y = 4; y \u003d 4 - 3x.

Заместете получения израз в друго уравнение:

5x - 2 (4 - 3x) -2 \u003d 1;

5x - 8 + 6x \u003d 1 + 2;

11x = 11; : (11) x = 1.

Заместете получената стойност в уравнението 3x + y \u003d 4.

3 1 + y = 4;

3 + y = 4; y \u003d 4 - 3; y = 1.

Преглед.

/3 1 + 1 = 4,

\5 1 - 2 1 - 2 = 1;

Отговор: x = 1; y = 1.

2) Метод на добавяне.

Този метод е, че ако тази системасе състои от уравнения, които, когато се добавят член по член, образуват уравнение с едно неизвестно, след което чрез решаване на това уравнение получаваме стойността на едно от неизвестните. Получената стойност на това неизвестно се замества във всяко уравнение на оригиналната система и се намира стойността на второто неизвестно.

Например:

Решете системата от уравнения.

/ 3г - 2x \u003d 5,

\5x - 3y \u003d 4.

Нека решим полученото уравнение.

3x = 9; : (3) x = 3.

Нека заместим получената стойност в уравнението 3y - 2x = 5.

3y - 2 3 = 5;

3y = 11; : (3) y = 11/3; y = 3 2/3.

Така че x = 3; y = 3 2/3.

Преглед.

/3 11/3 - 2 3 = 5,

\5 3 - 3 11/ 3 = 4;

Отговор. х = 3; y = 3 2/3

3) Графичен начин.

Този метод се основава на факта, че графиките на уравненията се начертават в една координатна система. Ако графиките на уравнението се пресичат, то координатите на пресечната точка са решението на тази система. Ако графиките на едно уравнение са успоредни прави, то дадената система няма решения. Ако графиките на уравненията се слеят в една права линия, тогава системата има безкрайно много решения.

Например.

Решете системата от уравнения.

18x + 3y - 1 = 8.

2x - y \u003d 5; 18x + 3y - 1 = 8;

Y \u003d 5 - 2x; 3y \u003d 9 - 18x; : (3) y = 2x - 5. y = 3 - 6x.

Изграждаме графики на функции y \u003d 2x - 5 и y \u003d 3 - 6x в една и съща координатна система.

Графиките на функциите y \u003d 2x - 5 и y \u003d 3 - 6x се пресичат в точка A (1; -3).

Следователно решението на тази система от уравнения ще бъде x = 1 и y = -3.

Преглед.

2 1 - (- 3) = 5,

18 1 + 3 (-3) - 1 = 8.

18 - 9 – 1 = 8;

Отговор. х = 1; y = -3.

Заключение

Въз основа на всичко по-горе можем да заключим, че уравненията са необходими в модерен святне само за решаване на практически проблеми, но и като научен инструмент. Ето защо толкова много учени са проучили този въпрос и продължават да учат.

Уравнението, което представлява квадратен тричлен, обикновено се нарича квадратно уравнение. От гледна точка на алгебрата се описва с формулата a*x^2+b*x+c=0. В тази формула x е неизвестното, което трябва да се намери (нарича се свободна променлива); a, b и c са числени коефициенти. По отношение на компонентите на това има редица ограничения: например коефициентът a не трябва да бъде равен на 0.

Решаване на уравнението: понятието дискриминант

Стойността на неизвестното x, при което квадратно уравнениесе превръща в истинско равенство, се нарича корен на такова уравнение. За да решите квадратно уравнение, първо трябва да намерите стойността на специален коефициент - дискриминанта, който ще покаже броя на корените на разглежданото равенство. Дискриминантът се изчислява по формулата D=b^2-4ac. В този случай резултатът от изчислението може да бъде положителен, отрицателен или равен на нула.

В този случай трябва да се има предвид, че концепцията изисква само коефициентът a да бъде строго различен от 0. Следователно коефициентът b може да бъде равен на 0, а самото уравнение в този случай е a * x ^ 2 + c \u003d 0. В такава ситуация стойността на коефициента, равна на 0, трябва да се използва във формулите за изчисляване на дискриминанта и корените. Така че дискриминантът в този случай ще бъде изчислен като D=-4ac.

Решение на уравнението с положителен дискриминант

Ако дискриминантът на квадратното уравнение се оказа положителен, от това можем да заключим, че това равенство има два корена. Тези корени могат да бъдат изчислени по следната формула: x=(-b±√(b^2-4ac))/2a=(-b±√D)/2a. По този начин, за да се изчисли стойността на корените на квадратното уравнение за положителна стойностизползван дискриминант известни стойностиналични коефициенти в . Благодарение на използването на сумата и разликата във формулата за изчисляване на корените, резултатът от изчисленията ще бъдат две стойности, които превръщат въпросното равенство в правилно.

Решение на уравнението с нула и отрицателен дискриминант

Ако дискриминантът на квадратното уравнение се оказа равен на 0, можем да заключим, че казаното уравнениеима един корен. Строго погледнато, в тази ситуация уравнението все още има два корена, но поради нулевия дискриминант те ще бъдат равни един на друг. В този случай x=-b/2a. Ако в хода на изчисленията стойността на дискриминанта се окаже отрицателна, трябва да се заключи, че разглежданото квадратно уравнение няма корени, т.е. такива стойности на x, при които се превръща в истинско равенство.

И така нататък, логично е да се запознаете с уравнения от други видове. Следващите по ред са линейни уравнения, чието целенасочено изучаване започва в часовете по алгебра в 7 клас.

Ясно е, че първо трябва да обясните какво е линейно уравнение, да дадете дефиниция на линейно уравнение, неговите коефициенти, да го покажете обща форма. След това можете да разберете колко решения има едно линейно уравнение в зависимост от стойностите на коефициентите и как се намират корените. Това ще ви позволи да преминете към решаване на примери и по този начин да консолидирате изучаваната теория. В тази статия ще направим това: ще се спрем подробно на всички теоретични и практически точки относно линейните уравнения и тяхното решение.

Да кажем веднага, че тук ще разгледаме само линейни уравнения с една променлива, а в отделна статия ще проучим принципите на решаване линейни уравнения с две променливи.

Навигация в страницата.

Какво е линейно уравнение?

Дефиницията на линейно уравнение се дава от формата на неговия запис. Освен това в различни учебници по математика и алгебра формулировките на дефинициите на линейните уравнения имат някои разлики, които не засягат същността на въпроса.

Например в учебник по алгебра за 7 клас от Ю. Н. Макаричева и др. линейното уравнение се дефинира по следния начин:

Определение.

Типово уравнение брадва=b, където x е променлива, a и b са някои числа, се извиква линейно уравнение с една променлива.

Нека дадем примери за линейни уравнения, съответстващи на изразената дефиниция. Например 5 x=10 е линейно уравнение с една променлива x, тук коефициентът a е 5, а числото b е 10. Друг пример: −2,3 y=0 също е линейно уравнение, но с променливата y , където a=−2,3 и b=0 . А в линейните уравнения x=−2 и −x=3.33 a не присъстват явно и са равни съответно на 1 и −1, докато в първото уравнение b=−2, а във второто - b=3.33 .

Година по-рано, в учебника по математика на Н. Я. Виленкин, линейните уравнения с едно неизвестно, в допълнение към уравненията под формата a x = b, също се считат за уравнения, които могат да бъдат приведени до тази форма чрез прехвърляне на членове от една част на уравнението към друго с противоположен знак, както и чрез редуциране на подобни членове. Според тази дефиниция уравнения от вида 5 x=2 x+6 и т.н. също са линейни.

На свой ред в учебника по алгебра за 7 клас от А. Г. Мордкович е дадено следното определение:

Определение.

Линейно уравнение с една променлива xе уравнение от вида a x+b=0 , където a и b са някои числа, наречени коефициенти на линейното уравнение.

Например линейни уравнения от този вид са 2 x−12=0, тук коефициентът a е равен на 2, а b е равен на −12 и 0,2 y+4,6=0 с коефициенти a=0,2 и b =4,6. Но в същото време има примери за линейни уравнения, които имат формата не x+b=0, а x=b, например 3 x=12.

Нека, за да нямаме несъответствия в бъдеще, под линейно уравнение с една променлива x и коефициенти a и b ще разбираме уравнение от вида a x+b=0 . Този тип линейно уравнение изглежда най-оправдано, тъй като линейните уравнения са алгебрични уравнения първа степен. И всички други уравнения по-горе, както и уравнения, които, използвайки еквивалентни трансформациисе свеждат до формата a x+b=0 , ще наречем уравнения, свеждащи се до линейни уравнения. С този подход уравнението 2 x+6=0 е линейно уравнение и 2 x=−6 , 4+25 y=6+24 y , 4 (x+5)=12 и т.н. са линейни уравнения.

Как се решават линейни уравнения?

Сега е време да разберем как се решават линейните уравнения a x+b=0. С други думи, време е да разберете дали линейното уравнение има корени и ако има, колко и как да ги намерите.

Наличието на корени на линейно уравнение зависи от стойностите на коефициентите a и b. В този случай линейното уравнение a x+b=0 има

• единственият корен при a≠0,
• няма корени за a=0 и b≠0,
• има безкрайно много корени за a=0 и b=0, в който случай всяко число е корен на линейно уравнение.

Нека обясним как са получени тези резултати.

Знаем, че за да се решат уравнения, е възможно да се премине от оригиналното уравнение към еквивалентни уравнения, тоест към уравнения с еднакви корени или, като оригиналното, без корени. За да направите това, можете да използвате следните еквивалентни трансформации:

• прехвърляне на член от една част на уравнението в друга с противоположен знак,
• и също умножаване или деление на двете страни на уравнението на едно и също ненулево число.

И така, в линейно уравнение с едно тип променлива a x+b=0 можем да преместим члена b от лявата страна към правилната странас обратен знак. В този случай уравнението ще приеме формата a x=−b.

И тогава разделянето на двете части на уравнението на числото a се подсказва. Но има едно нещо: числото a може да бъде равно на нула, в който случай такова деление е невъзможно. За да се справим с този проблем, първо ще приемем, че числото a е различно от нула, и ще разгледаме случая на нула a отделно малко по-късно.

Така че, когато a не е равно на нула, тогава можем да разделим и двете части на уравнението a x=−b на a , след което то се преобразува във формата x=(−b):a , този резултат може да бъде записан с a плътна линия като .

Така, за a≠0, линейното уравнение a·x+b=0 е еквивалентно на уравнението , от което се вижда коренът му.

Лесно е да се покаже, че този корен е единствен, т.е. линейното уравнение няма други корени. Това ви позволява да направите обратния метод.

Нека означим корена като x 1 . Да предположим, че има друг корен на линейното уравнение, което означаваме x 2 и x 2 ≠ x 1, което поради определения равни числачрез разликатае еквивалентно на условието x 1 − x 2 ≠0 . Тъй като x 1 и x 2 са корените на линейното уравнение a x+b=0, то са изпълнени числените равенства a x 1 +b=0 и a x 2 +b=0. Можем да извадим съответните части от тези равенства, което свойствата на числовите равенства ни позволяват да направим, имаме a x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , откъдето a (x 1 −x 2)+( b−b)=0 и след това a (x 1 − x 2)=0 . И това равенство е невъзможно, тъй като както a≠0, така и x 1 − x 2 ≠0. Така че стигнахме до противоречие, което доказва уникалността на корена на линейното уравнение a·x+b=0 за a≠0 .

Така че решихме линейното уравнение a x+b=0 с a≠0. Първият резултат, даден в началото на този подраздел, е обоснован. Има още две, които отговарят на условието a=0 .

За a=0 линейното уравнение a·x+b=0 става 0·x+b=0. От това уравнение и свойството за умножаване на числата по нула следва, че без значение какво число приемаме за x, когато го заместим в уравнението 0 x+b=0, получаваме численото равенство b=0. Това равенство е вярно, когато b=0, а в други случаи, когато b≠0 това равенство е невярно.

Следователно, за a=0 и b=0, всяко число е корен на линейното уравнение a x+b=0, тъй като при тези условия заместването на произволно число вместо x дава правилното числено равенство 0=0. А за a=0 и b≠0 линейното уравнение a x+b=0 няма корени, тъй като при тези условия заместването на произволно число вместо x води до неправилно числено равенство b=0.

Горните обосновки позволяват да се формира последователност от действия, която позволява решаването на всяко линейно уравнение. Така, алгоритъм за решаване на линейно уравнениее:

• Първо, като напишем линейно уравнение, намираме стойностите на коефициентите a и b.
• Ако a=0 и b=0, тогава това уравнение има безкрайно много корени, а именно всяко число е корен на това линейно уравнение.
• Ако a е различно от нула, тогава
• коефициентът b се прехвърля в дясната страна с обратен знак, докато линейното уравнение се трансформира във формата a x=−b ,
• след което двете части на полученото уравнение се разделят на ненулево число a, което дава желания корен на първоначалното линейно уравнение.

Написаният алгоритъм е изчерпателен отговор на въпроса как се решават линейни уравнения.

В заключение на този параграф си струва да кажем, че подобен алгоритъм се използва за решаване на уравнения от формата a x=b. Разликата му се състои в това, че когато a≠0, двете части на уравнението веднага се разделят на това число, тук b вече е в желаната част от уравнението и не е необходимо да се прехвърля.

За решаване на уравнения от вида a x=b се използва следният алгоритъм:

• Ако a=0 и b=0, тогава уравнението има безкрайно много корени, които са произволни числа.
• Ако a=0 и b≠0, тогава оригиналното уравнение няма корени.
• Ако a е различно от нула, тогава двете страни на уравнението се разделят на различно от нула число a, от което се намира единственият корен на уравнението, равен на b / a.

Примери за решаване на линейни уравнения

Да преминем към практиката. Нека анализираме как се прилага алгоритъмът за решаване на линейни уравнения. Нека представим решения на типични примери, съответстващи на различни значениякоефициенти на линейни уравнения.

Пример.

Решете линейното уравнение 0 x−0=0 .

Решение.

В това линейно уравнение a=0 и b=−0 , което е същото като b=0 . Следователно това уравнение има безкрайно много корени, всяко число е корен на това уравнение.

Отговор:

x е произволно число.

Пример.

Има ли решения линейното уравнение 0 x+2,7=0?

Решение.

AT този случайкоефициентът a е равен на нула, а коефициентът b на това линейно уравнение е равен на 2,7, тоест той е различен от нула. Следователно линейното уравнение няма корени.

Линейни уравнения. Решение, примери.

внимание!
Има допълнителни
материал в специален раздел 555.
За тези, които силно "не много..."
И за тези, които "много...")

Линейни уравнения.

Линейните уравнения не са най-добрите трудна тема училищна математика. Но има някои трикове, които могат да озадачат дори обучен ученик. Ще го разберем ли?)

Линейното уравнение обикновено се определя като уравнение от формата:

брадва + b = 0 където а и б- всякакви числа.

2x + 7 = 0. Ето а=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Тук а=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Тук а=12, b=1/2

Нищо сложно, нали? Особено ако не забелязвате думите: "където a и b са произволни числа"... И ако забележите, но небрежно мислите за това?) В крайна сметка, ако а=0, b=0(възможни ли са всякакви числа?), тогава получаваме смешен израз:

Но това не е всичко! ако, кажи, а=0,а b=5,излиза нещо доста абсурдно:

Какво напряга и подкопава доверието в математиката, да ...) Особено на изпитите. Но от тези странни изрази трябва да намерите и X! Която изобщо не съществува. И, изненадващо, този X се намира много лесно. Ще научим как да го направим. В този урок.

Как да разпознаем линейно уравнение по външен вид? Зависи какво външен вид.) Номерът е, че линейните уравнения се наричат ​​не само уравнения на формата брадва + b = 0 , но също и всички уравнения, които са сведени до тази форма чрез трансформации и опростявания. И кой знае дали е намален или не?)

В някои случаи линейното уравнение може да бъде ясно разпознато. Да речем, ако имаме уравнение, в което има само неизвестни на първа степен, да числа. И уравнението не го прави дроби, разделени на неизвестен , важно е! И деление по номер,или числова дроб - това е! Например:

Това е линейно уравнение. Тук има дроби, но няма х в квадрата, в куба и т.н., както и няма х в знаменателите, т.е. Не деление на х. И ето уравнението

не може да се нарече линеен. Тук всички х са на първа степен, но има деление с израз с x. След опростявания и трансформации можете да получите линейно уравнение, квадратно уравнение и каквото искате.

Оказва се, че е невъзможно да откриете линейно уравнение в някакъв сложен пример, докато почти не го решите. Това е разстройващо. Но в задачите, като правило, те не питат за формата на уравнението, нали? В задачите уравненията са подредени реши.Това ме радва.)

Решение на линейни уравнения. Примери.

Цялото решение на линейните уравнения се състои от идентични трансформации на уравнения. Между другото, тези трансформации (до две!) са в основата на решенията всички уравнения на математиката.С други думи, решението всякаквиУравнението започва със същите тези трансформации. При линейните уравнения то (решението) върху тези трансформации завършва с пълноценен отговор. Има смисъл да следвате връзката, нали?) Освен това има и примери за решаване на линейни уравнения.

Да започнем с най-простия пример. Без никакви подводни камъни. Да кажем, че трябва да решим следното уравнение.

x - 3 = 2 - 4x

Това е линейно уравнение. Всички X са на първа степен, няма деление на X. Но всъщност не ни интересува какво е уравнението. Трябва да го разрешим. Схемата тук е проста. Съберете всичко с x от лявата страна на уравнението, всичко без x (числа) от дясната.

За да направите това, трябва да прехвърлите - 4x вляво, със смяна на знака, разбира се, но - 3 - надясно. Между другото, това е първо идентично преобразуване на уравнения.изненадан? И така, те не последваха връзката, но напразно ...) Получаваме:

x + 4x = 2 + 3

Даваме подобни, считаме:

Какво ни липсва пълно щастие? Да, така че да има чист Х отляво! Петима пречи. Отървете се от петте с второ идентично преобразуване на уравнения.А именно, разделяме двете части на уравнението на 5. Получаваме готов отговор:

Елементарен пример, разбира се. Това е за загрявка.) Не е много ясно защо припомних идентични трансформации тук? ДОБРЕ. Хващаме бика за рогата.) Да решим нещо по-впечатляващо.

Например, ето това уравнение:

Откъде да започнем? С Х - наляво, без Х - надясно? Може и така да е. С малки стъпки дълъг път. И можете веднага, по универсален и мощен начин. Освен ако, разбира се, във вашия арсенал има идентични трансформации на уравнения.

Питам те ключов въпрос: Какво не харесвате най-много в това уравнение?

95 души от 100 ще отговорят: дроби ! Отговорът е правилен. Така че нека се отървем от тях. Така че започваме веднага с второ идентично преобразуване. По какво трябва да умножите дробта отляво, така че знаменателят да е напълно намален? Точно така, 3. А отдясно? С 4. Но математиката ни позволява да умножим двете страни по същото число. Как да се измъкнем? Нека умножим двете страни по 12! Тези. на общ знаменател. След това трите ще бъдат намалени и четирите. Не забравяйте, че трябва да умножите всяка част изцяло. Ето как изглежда първата стъпка:

Разширяване на скобите:

Забележка! Числител (x+2)Взех в скоби! Това е така, защото при умножаване на дроби числителят се умножава по цялото, изцяло! И сега можете да намалите дробите и да намалите:

Отваряне на останалите скоби:

Не пример, а чисто удоволствие!) Сега си припомняме заклинанието от по-ниски оценки: с х - наляво, без х - надясно!И приложете тази трансформация:

Ето някои като:

И разделяме двете части на 25, т.е. приложете отново втората трансформация:

Това е всичко. Отговор: х=0,16

Обърнете внимание: за да приведем оригиналното объркващо уравнение в приятна форма, използвахме две (само две!) идентични трансформации- превод наляво-надясно със смяна на знака и умножение-деление на уравнението с едно и също число. то универсален начин! Ние ще работим по този начин всякакви уравнения! Абсолютно всякакви. Ето защо непрекъснато повтарям тези идентични трансформации.)

Както можете да видите, принципът за решаване на линейни уравнения е прост. Взимаме уравнението и го опростяваме с идентични трансформациипреди да получите отговор. Основните проблеми тук са в изчисленията, а не в принципа на решението.

Но ... Има такива изненади в процеса на решаване на най-елементарните линейни уравнения, които могат да вкарат в силен ступор ...) За щастие може да има само две такива изненади. Нека ги наречем специални случаи.

Специални случаи при решаване на линейни уравнения.

Първо изненада.

Да предположим, че имате елементарно уравнение, нещо като:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Леко отегчени, прехвърляме с X наляво, без X - надясно ... С промяна на знака всичко е чин-чинар ... Получаваме:

2x-5x+3x=5-2-3

Ние вярваме и ... о, боже! Получаваме:

Само по себе си това равенство не е оспоримо. Нулата наистина е нула. Но X го няма! И трябва да напишем в отговора, на какво е равно x.Иначе решението не се брои, да...) Задънена улица?

Спокоен! В такива съмнителни случаи спасяват най-общите правила. Как се решават уравнения? Какво означава да решиш уравнение? Това означава, намери всички стойности на x, които, когато бъдат заменени в оригиналното уравнение, ще ни дадат правилното равенство.

Но имаме правилното равенство вечесе случи! 0=0, къде наистина?! Остава да разберем при какви x се получава това. В какви стойности на x могат да бъдат заменени оригиналенуравнение, ако тези x все още се свиват до нула?Хайде?)

Да!!! Xs могат да бъдат заменени всякакви!Какво искаш. Най-малко 5, поне 0,05, най-малко -220. Те тепърва ще се свиват. Ако не ми вярвате, можете да го проверите.) Заменете всички x стойности в оригиналенуравнение и изчислете. През цялото време ще се получава чистата истина: 0=0, 2=2, -7.1=-7.1 и т.н.

Ето вашия отговор: x е произволно число.

Отговорът може да бъде написан с различни математически символи, същността не се променя. Това е напълно правилен и пълен отговор.

Изненада втора.

Нека вземем същото елементарно линейно уравнение и променим само едно число в него. Ето какво ще решим:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

След същите идентични трансформации получаваме нещо интригуващо:

Като този. Реших линейно уравнение, получих странно равенство. говорене математически език, имаме грешно равенство.И говорене обикновен език, това не е вярно. Рейв. Но въпреки това тази глупост е доста добра причина за правилно решениеуравнения.)

Отново мислим от Общи правила. Какво ще ни даде x, когато бъде заменено в оригиналното уравнение правилноравенство? Да, никакви! Няма такива иксове. Каквото и да замените, всичко ще се намали, ще останат глупости.)

Ето вашия отговор: няма решения.

Това също е напълно валиден отговор. В математиката подобни отговори често се срещат.

Като този. Сега, надявам се, загубата на X в процеса на решаване на всяко (не само линейно) уравнение изобщо няма да ви притеснява. Въпросът е познат.)

Сега, след като се справихме с всички капани в линейните уравнения, има смисъл да ги разрешим.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

В това видео ще анализираме цял набор от линейни уравнения, които се решават с помощта на един и същ алгоритъм - затова се наричат ​​най-простите.

Като начало, нека дефинираме: какво е линейно уравнение и кое от тях трябва да се нарече най-простото?

Линейно уравнение е това, в което има само една променлива и то само на първа степен.

Най-простото уравнение означава конструкцията:

Всички останали линейни уравнения се свеждат до най-простите с помощта на алгоритъма:

1. Отворени скоби, ако има такива;
2. Преместете термини, съдържащи променлива от едната страна на знака за равенство, и термини без променлива от другата;
3. Водя като терминиотляво и отдясно на знака за равенство;
4. Разделете полученото уравнение на коефициента на променливата $x$.

Разбира се, този алгоритъм не винаги помага. Факт е, че понякога след всички тези машинации коефициентът на променливата $x$ се оказва равен на нула. В този случай са възможни два варианта:

1. Уравнението изобщо няма решения. Например, когато получите нещо като $0\cdot x=8$, т.е. отляво е нула, а отдясно е различно от нула число. Във видеото по-долу ще разгледаме няколко причини, поради които тази ситуация е възможна.
2. Решението е всички числа. Единственият случай, когато това е възможно, е когато уравнението е сведено до конструкцията $0\cdot x=0$. Съвсем логично е, че каквито и $x$ да заместим, пак ще се получи „нула е равна на нула“, т.е. правилно числово равенство.

А сега нека да видим как всичко работи на примера на реални проблеми.

Примери за решаване на уравнения

Днес се занимаваме с линейни уравнения и то само с най-простите. Най-общо линейно уравнение означава всяко равенство, което съдържа точно една променлива и то само на първа степен.

Такива конструкции се решават приблизително по същия начин:

1. На първо място, трябва да отворите скобите, ако има такива (както в нашия последен пример);
2. След това донесете подобни
3. Накрая изолирайте променливата, т.е. всичко, което е свързано с променливата - термините, в които се съдържа - се прехвърля от едната страна, а всичко, което остава без нея, се прехвърля от другата страна.

След това, като правило, трябва да донесете подобни от всяка страна на полученото равенство и след това остава само да се раздели на коефициента при "x" и ще получим окончателния отговор.

На теория това изглежда хубаво и просто, но на практика дори опитни гимназисти могат да направят обидни грешки в доста прости линейни уравнения. Обикновено се допускат грешки или при отваряне на скоби, или при броене на "плюсове" и "минуси".

Освен това се случва линейното уравнение изобщо да няма решения или така че решението да е цялата числова линия, т.е. произволен брой. Ще анализираме тези тънкости в днешния урок. Но ще започнем, както вече разбрахте, с най-много прости задачи.

Схема за решаване на прости линейни уравнения

Като начало нека отново напиша цялата схема за решаване на най-простите линейни уравнения:

1. Разгънете скобите, ако има такива.
2. Отделете променливите, т.е. всичко, което съдържа "х" се прехвърля на едната страна, а без "х" - на другата.
3. Представяме подобни условия.
4. Разделяме всичко на коефициента при "х".

Разбира се, тази схема не винаги работи, има някои тънкости и трикове и сега ще се запознаем с тях.

Решаване на реални примери на прости линейни уравнения

Задача №1

В първата стъпка се изисква да отворим скобите. Но те не са в този пример, така че пропускаме този етап. Във втората стъпка трябва да изолираме променливите. Забележка: говорим сисамо за отделни термини. нека напишем:

Даваме подобни термини отляво и отдясно, но това вече е направено тук. Затова преминаваме към четвъртата стъпка: разделяне на коефициент:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Тук получихме отговора.

Задача №2

В тази задача можем да наблюдаваме скобите, така че нека ги разширим:

И отляво, и отдясно виждаме приблизително една и съща конструкция, но нека действаме според алгоритъма, т.е. секвестр променливи:

Ето някои като:

В какви корени работи това? Отговор: за всякакви. Следователно можем да напишем, че $x$ е произволно число.

Задача №3

Третото линейно уравнение вече е по-интересно:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тук има няколко скоби, но те не се умножават по нищо, просто стоят пред тях различни знаци. Нека ги разделим:

Извършваме втората стъпка, която вече ни е известна:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Нека изчислим:

Извършваме последната стъпка - разделяме всичко на коефициента при "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Неща, които трябва да запомните, когато решавате линейни уравнения

Ако пренебрегнем твърде простите задачи, бих искал да кажа следното:

• Както казах по-горе, не всяко линейно уравнение има решение - понякога просто няма корени;
• Дори да има корени, между тях може да влезе нула - в това няма нищо лошо.

Нулата е същото число като останалите, не трябва по някакъв начин да го дискриминирате или да предполагате, че ако получите нула, значи сте направили нещо нередно.

Друга особеност е свързана с разширяването на скобите. Моля, обърнете внимание: когато има „минус“ пред тях, ние го премахваме, но в скоби променяме знаците на противоположност. И тогава можем да го отворим според стандартните алгоритми: ще получим това, което видяхме в изчисленията по-горе.

Разбирайки това прост фактще ви предпази от допускане на глупави и болезнени грешки в гимназията, когато правенето на такива неща се приема за даденост.

Решаване на сложни линейни уравнения

Нека да преминем към повече сложни уравнения. Сега конструкциите ще станат по-сложни и ще се появи квадратична функция при извършване на различни трансформации. Но не трябва да се страхувате от това, защото ако, според намерението на автора, решим линейно уравнение, тогава в процеса на трансформация всички мономи, съдържащи квадратична функция, задължително ще бъдат намалени.

Пример #1

Очевидно първата стъпка е отварянето на скобите. Нека направим това много внимателно:

Сега да вземем поверителността:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Ето някои като:

Очевидно това уравнение няма решения, така че в отговора пишем следното:

\[\сорт \]

или без корени.

Пример #2

Изпълняваме същите стъпки. Първа стъпка:

Нека преместим всичко с променлива наляво, а без нея - надясно:

Ето някои като:

Очевидно това линейно уравнение няма решение, така че го записваме така:

\[\varnothing\],

или без корени.

Нюанси на решението

И двете уравнения са напълно решени. На примера на тези два израза отново се уверихме, че дори в най-простите линейни уравнения всичко може да не е толкова просто: може да има или едно, или нито едно, или безкрайно много. В нашия случай разгледахме две уравнения, и в двете просто няма корени.

Но бих искал да обърна внимание на друг факт: как да работите със скоби и как да ги разгънете, ако пред тях има знак минус. Помислете за този израз:

Преди да отворите, трябва да умножите всичко по "x". Моля, обърнете внимание: умножете всеки отделен термин. Вътре има два термина - съответно два термина и се умножава.

И едва след като тези на пръв поглед елементарни, но много важни и опасни трансформации са завършени, може да се отвори скобата от гледна точка на това, че след нея има знак минус. Да, да: едва сега, когато трансформациите са направени, ние си спомняме, че има знак минус пред скобите, което означава, че всичко отдолу просто променя знаците. В същото време самите скоби изчезват и, най-важното, предният „минус“ също изчезва.

Правим същото с второто уравнение:

Неслучайно обръщам внимание на тези дребни, на пръв поглед незначителни факти. Защото решаването на уравнения винаги е последователност елементарни трансформациикъдето невъзможността за ясно и компетентно изпълнение прости стъпкиводи до факта, че учениците от гимназията идват при мен и се учат отново да решават такива прости уравнения.

Разбира се, ще дойде ден, когато ще усъвършенствате тези умения до автоматизм. Вече не е нужно да извършвате толкова много трансформации всеки път, ще пишете всичко на един ред. Но докато просто учите, трябва да напишете всяко действие отделно.

Решаване на още по-сложни линейни уравнения

Това, което ще решим сега, трудно може да се нарече най-простата задача, но смисълът остава същият.

Задача №1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Нека умножим всички елементи от първата част:

Да направим отстъпление:

Ето някои като:

Нека направим последната стъпка:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ето нашия окончателен отговор. И въпреки факта, че в процеса на решаване имахме коефициенти с квадратична функция, обаче, те взаимно се компенсират, което прави уравнението точно линейно, а не квадратно.

Задача №2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Нека направим първата стъпка внимателно: умножете всеки елемент в първата скоба по всеки елемент във втората. Общо четири нови члена трябва да бъдат получени след трансформации:

А сега внимателно изпълнете умножението във всеки член:

Нека преместим членовете с "x" наляво, а без - надясно:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Ето подобни термини:

Получихме категоричен отговор.

Нюанси на решението

Най-важната забележка за тези две уравнения е следната: веднага щом започнем да умножаваме скоби, в които има повече от член, тогава това се прави по следното правило: вземаме първия член от първия и умножаваме с всеки елемент от втория; след това вземаме втория елемент от първия и по подобен начин умножаваме с всеки елемент от втория. В резултат на това получаваме четири термина.

На алгебричната сума

В последния пример бих искал да напомня на учениците какво е алгебрична сума. В класическата математика под $1-7$ имаме предвид проста конструкция: изваждаме седем от едно. В алгебрата под това разбираме следното: към числото „едно“ добавяме друго число, а именно „минус седем“. Тази алгебрична сума се различава от обичайната аритметична сума.

Веднага щом при извършване на всички трансформации, всяко добавяне и умножение започнете да виждате конструкции, подобни на описаните по-горе, просто няма да имате проблеми в алгебрата, когато работите с полиноми и уравнения.

В заключение, нека да разгледаме още няколко примера, които ще бъдат още по-сложни от тези, които току-що разгледахме, и за да ги решим, ще трябва леко да разширим нашия стандартен алгоритъм.

Решаване на уравнения с дроб

За решаването на такива задачи ще трябва да добавим още една стъпка към нашия алгоритъм. Но първо ще напомня нашия алгоритъм:

1. отворени скоби.
2. Отделни променливи.
3. Донесете подобни.
4. Разделете на коефициент.

Уви, този прекрасен алгоритъм, въпреки цялата му ефективност, не е напълно подходящ, когато имаме дроби пред нас. И в това, което ще видим по-долу, имаме дроб отляво и отдясно и в двете уравнения.

Как да работим в този случай? Да, много е просто! За да направите това, трябва да добавите още една стъпка към алгоритъма, която може да се извърши както преди първото действие, така и след него, а именно да се отървете от дроби. Така алгоритъмът ще бъде както следва:

1. Отървете се от дробите.
2. отворени скоби.
3. Отделни променливи.
4. Донесете подобни.
5. Разделете на коефициент.

Какво означава „да се отървем от дробите“? И защо е възможно това да се прави както след, така и преди първата стандартна стъпка? Всъщност в нашия случай всички дроби са числови по отношение на знаменателя, т.е. навсякъде знаменателят е просто число. Следователно, ако умножим и двете части на уравнението по това число, тогава ще се отървем от дроби.

Пример #1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Нека се отървем от дробите в това уравнение:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot четири\]

Моля, обърнете внимание: всичко се умножава по „четири“ веднъж, т.е. това, че имате две скоби, не означава, че трябва да умножите всяка от тях по "четири". нека напишем:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Сега нека го отворим:

Извършваме изолиране на променлива:

Ние извършваме намаляване на подобни условия:

\[-4x=-1\наляво| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Имаме окончателно решение, преминаваме към второто уравнение.

Пример #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Тук извършваме всички същите действия:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Проблема решен.

Това всъщност е всичко, което исках да кажа днес.

Ключови точки

Основните констатации са следните:

• Познаване на алгоритъма за решаване на линейни уравнения.
• Възможност за отваряне на скоби.
• Не се притеснявайте, ако някъде имате квадратични функции, най-вероятно в процеса на по-нататъшни трансформации те ще бъдат намалени.
• Корените в линейните уравнения, дори и най-простите, са три вида: един единствен корен, цялата числова линия е корен, корени изобщо няма.

Надявам се, че този урок ще ви помогне да овладеете проста, но много важна тема за по-нататъшно разбиране на цялата математика. Ако нещо не е ясно, отидете на сайта, решете представените там примери. Очаквайте още много интересни неща!