Решете системата от уравнения с калкулатора на матричния метод. Матричен метод онлайн

Система от m линейни уравнения с n неизвестнинаречена система на формата

където aijи b i (аз=1,…,м; b=1,…,н) са някои известни числа и x 1 ,…,x n- неизвестен. В означенията на коефициентите aijпърви индекс азобозначава номера на уравнението, а второто йе числото на неизвестното, на което стои този коефициент.

Коефициентите за неизвестните ще бъдат записани под формата на матрица , който ще наречем системна матрица.

Числата от дясната страна на уравненията b 1 ,…,b mНаречен безплатни членове.

Агрегат нчисла c 1 ,…,c nНаречен решениена тази система, ако всяко уравнение на системата стане равенство след заместване на числа в него c 1 ,…,c nвместо съответните неизвестни x 1 ,…,x n.

Нашата задача ще бъде да намерим решения на системата. В този случай могат да възникнат три ситуации:

Нарича се система от линейни уравнения, която има поне едно решение става. В противен случай, т.е. ако системата няма решения, тогава тя се извиква несъвместими.

Обмислете начини за намиране на решения на системата.

МАТРИЧЕН МЕТОД ЗА РЕШАВАНЕ НА СИСТЕМИ ОТ ЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ

Матриците позволяват накратко да се напише система от линейни уравнения. Нека е дадена система от 3 уравнения с три неизвестни:

Помислете за матрицата на системата и матрични колони от неизвестни и свободни членове

Да намерим продукта

тези. в резултат на произведението получаваме лявата страна на уравненията на тази система. След това, използвайки дефиницията за равенство на матрицата, тази система може да бъде записана като

или по-кратко А∙X=B.

Ето матрици Аи бса известни, а матрицата хнеизвестен. Тя трябва да бъде намерена, защото. нейните елементи са решението на тази система. Това уравнение се нарича матрично уравнение.

Нека детерминантата на матрицата е различна от нула | А| ≠ 0. Тогава матричното уравнение се решава по следния начин. Умножете двете страни на уравнението отляво по матрицата А-1, обратната на матрицата А: . Тъй като A -1 A = Eи д∙X=X, тогава получаваме решението на матричното уравнение във формата X = A -1 B .

Имайте предвид, че тъй като обратната матрица може да бъде намерена само за квадратни матрици, матричният метод може да реши само онези системи, в които броят на уравненията е същият като броя на неизвестните. Но матричната нотация на системата е възможна и в случай, че броят на уравненията не е равен на броя на неизвестните, тогава матрицата Ане е квадрат и следователно е невъзможно да се намери решение на системата във формата X = A -1 B.

Примери.Решаване на системи от уравнения.

ПРАВИЛОТО НА КРЕЙМЪР

Да разгледаме система от 3 линейни уравнения с три неизвестни:

Детерминант от трети ред, съответстващ на матрицата на системата, т.е. съставен от коефициенти при неизвестни,

Наречен системна детерминанта.

Съставяме още три детерминанти, както следва: заместваме последователно 1, 2 и 3 колони в детерминанта D с колона от свободни членове

Тогава можем да докажем следния резултат.

Теорема (правило на Крамер).Ако детерминантата на системата е Δ ≠ 0, тогава разглежданата система има едно и само едно решение и

Доказателство. И така, разгледайте система от 3 уравнения с три неизвестни. Умножете първото уравнение на системата по алгебричното допълнение А 11елемент а 11, 2-ро уравнение - на А21и 3-ти - на А 31:

Нека добавим тези уравнения:

Разгледайте всяка от скобите и дясната страна на това уравнение. По теоремата за разширяването на детерминантата по елементите на 1-ва колона

По същия начин може да се покаже, че и .

И накрая, лесно е да се види това

Така получаваме равенството: .

Следователно,.

Равенствата и се извеждат аналогично, откъдето следва твърдението на теоремата.

По този начин отбелязваме, че ако детерминантата на системата е Δ ≠ 0, тогава системата има уникално решение и обратно. Ако детерминантата на системата е равна на нула, тогава системата или има безкраен набор от решения, или няма решения, т.е. несъвместими.

Примери.Решете система от уравнения

МЕТОД НА ГАУС

Разгледаните по-рано методи могат да се използват за решаване само на онези системи, в които броят на уравненията съвпада с броя на неизвестните, а детерминантата на системата трябва да е различна от нула. Методът на Гаус е по-универсален и е подходящ за системи с произволен брой уравнения. Състои се в последователно елиминиране на неизвестни от уравненията на системата.

Разгледайте отново система от три уравнения с три неизвестни:

Оставяме първото уравнение непроменено, а от 2-ро и 3-то изключваме членовете, съдържащи х 1. За да направим това, разделяме второто уравнение на а 21 и умножете по - а 11 и след това съберете с първото уравнение. По същия начин разделяме третото уравнение на а 31 и умножете по - а 11 и след това го добавете към първия. В резултат на това оригиналната система ще приеме формата:

Сега от последното уравнение елиминираме члена, съдържащ x2. За да направите това, разделете третото уравнение на , умножете по и го добавете към второто. Тогава ще имаме система от уравнения:

Следователно от последното уравнение е лесно да се намери х 3, след това от 2-ро уравнение x2и накрая от 1-ви - х 1.

Когато се използва методът на Гаус, уравненията могат да се сменят, ако е необходимо.

Често, вместо да напишат нова система от уравнения, те се ограничават до написването на разширената матрица на системата:

и след това го приведете в триъгълна или диагонална форма с помощта на елементарни трансформации.

Да се елементарни трансформацииматриците включват следните трансформации:

пермутация на редове или колони;
умножаване на низ с различно от нула число;
добавяне към един ред други редове.

Примери:Решаване на системи от уравнения по метода на Гаус.

Така системата има безкраен брой решения.

Това е концепция, която обобщава всички възможни операции, извършвани с матрици. Математическа матрица - таблица с елементи. За маса, където млинии и нколони, те казват, че тази матрица има измерението мна н.

Общ изглед на матрицата:

За матрични решениятрябва да разберете какво е матрица и да знаете основните й параметри. Основните елементи на матрицата:

Главен диагонал, състоящ се от елементи а 11, а 22 ..... а мн.
Страничен диагонал, състоящ се от елементи а 1n ,а 2n-1 …..а m1.

Основните видове матрици:

Квадрат - такава матрица, където броят на редовете = броят на колоните ( m=n).
Нула - където всички елементи на матрицата са = 0.
Транспонирана матрица - матрица AT, който е получен от оригиналната матрица Ачрез замяна на редове с колони.
Единичен - всички елементи на главния диагонал = 1, всички останали = 0.
Обратната матрица е матрица, която, когато се умножи по оригиналната матрица, води до матрицата на идентичността.

Матрицата може да бъде симетрична по отношение на главния и второстепенния диагонал. Тоест, ако a 12 = a 21, a 13 \u003d a 31, .... a 23 \u003d a 32 .... a m-1n =a mn-1, тогава матрицата е симетрична по отношение на главния диагонал. Само квадратните матрици могат да бъдат симетрични.

Методи за решаване на матрици.

Почти всички матрични методи за решаванетрябва да се намери неговата детерминанта нред и повечето от тях са доста тромави. За да намерите детерминанта от 2-ри и 3-ти ред, има други, по-рационални начини.

Намиране на детерминанти от 2-ри ред.

За изчисляване на детерминанта на матрицата НО 2-ри ред е необходимо да се извади произведението на елементите на вторичния диагонал от произведението на елементите на главния диагонал:

Методи за намиране на детерминанти от 3-ти ред.

По-долу са правилата за намиране на детерминанта от 3-ти ред.

Опростено правилото на триъгълника като едно от матрични методи за решаване, може да се представи по следния начин:

С други думи, произведението на елементите в първата детерминанта, които са свързани с линии, се взема със знак "+"; също така за 2-ра детерминанта - съответните продукти се вземат със знака "-", т.е. по следната схема:

При решаване на матрици по правилото на Сарус, вдясно от определителя се добавят първите 2 колони и произведенията на съответните елементи по главния диагонал и по успоредните му диагонали се вземат със знак "+"; и продуктите на съответните елементи на вторичния диагонал и диагоналите, които са успоредни на него, със знака "-":

Разширяване на ред или колона на детерминанта при решаване на матрици.

Детерминантата е равна на сумата от произведенията на елементите от реда на детерминантата и техните алгебрични допълнения. Обикновено изберете реда/колоната, в която/та има нули. Редът или колоната, върху които се извършва разлагането, ще бъдат обозначени със стрелка.

Редуциране на детерминантата до триъгълна форма при решаване на матрици.

При решаване на матрицикато редуцират детерминантата до триъгълна форма, те работят по следния начин: използвайки най-простите трансформации на редове или колони, детерминантата става триъгълна и тогава нейната стойност, в съответствие със свойствата на детерминантата, ще бъде равна на произведението на елементите които стоят на главния диагонал.

Теорема на Лаплас за решаване на матрици.

При решаване на матрици с помощта на теоремата на Лаплас е необходимо да се знае директно самата теорема. Теорема на Лаплас: Нека Δ е определящо н-та поръчка. Ние избираме всякакви кпредоставени редове (или колони). к≤ n - 1. В този случай сумата от продуктите на всички непълнолетни кред, съдържащ се в избрания кредове (колони), техните алгебрични добавки ще бъдат равни на детерминантата.

Решение на обратната матрица.

Последователност от действия за обратни матрични решения:

Разберете дали дадената матрица е квадратна. При отрицателен отговор става ясно, че за него не може да има обратна матрица.
Изчисляваме алгебрични добавки.
Съставяме съюзната (взаимна, свързана) матрица ° С.
Съставяме обратна матрица от алгебрични добавки: всички елементи на присъединената матрица ° Сразделете на детерминантата на началната матрица. Получената матрица ще бъде желаната обратна матрица по отношение на дадената.
Проверяваме свършената работа: умножаваме матрицата на първоначалната и получената матрици, резултатът трябва да бъде матрицата на идентичността.

Решение на матрични системи.

За решения на матрични системинай-често използваният е методът на Гаус.

Методът на Гаус е стандартен метод за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE) и се състои в това, че променливите се елиминират последователно, т.е. с помощта на елементарни промени системата от уравнения се довежда до еквивалентна система от триъгълна форма и от нея последователно, започвайки от последния (по номер), намерете всеки елемент от системата.

Метод на Гаусе най-универсалният и най-добър инструмент за намиране на матрични решения. Ако системата има безкраен брой решения или системата е несъвместима, тогава тя не може да бъде решена с помощта на правилото на Крамър и матричния метод.

Методът на Гаус също предполага директни (намаляване на разширената матрица до стъпаловидна форма, т.е. получаване на нули под главния диагонал) и обратни (получаване на нули над главния диагонал на разширената матрица) движения. Движението напред е методът на Гаус, обратното е методът на Гаус-Джордан. Методът на Гаус-Джордан се различава от метода на Гаус само по последователността на елиминиране на променливите.

Уравненията като цяло, линейните алгебрични уравнения и техните системи, както и методите за тяхното решаване, заемат специално място в математиката, както теоретична, така и приложна.

Това се дължи на факта, че огромното мнозинство от физически, икономически, технически и дори педагогически проблеми могат да бъдат описани и решени с помощта на различни уравнения и техните системи. Напоследък математическото моделиране придоби особена популярност сред изследователи, учени и практици в почти всички предметни области, което се обяснява с неговите очевидни предимства пред други добре познати и доказани методи за изследване на обекти от различно естество, по-специално така наречените сложни системи. Съществува голямо разнообразие от различни дефиниции на математически модел, дадени от учени по различно време, но според нас най-успешното е следното твърдение. Математическият модел е идея, изразена чрез уравнение. По този начин способността за съставяне и решаване на уравнения и техните системи е неразделна характеристика на съвременния специалист.

За решаване на системи от линейни алгебрични уравнения най-често използваните методи са: Крамер, Йордан-Гаус и матричният метод.

Метод на матрично решение - метод за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения с ненулев детерминант с помощта на обратна матрица.

Ако изпишем коефициентите за неизвестни стойности xi в матрицата A, съберем неизвестните стойности във вектора колона X и свободните членове във вектора колона B, тогава системата от линейни алгебрични уравнения може да бъде записана в формата на следното матрично уравнение A X = B, което има единствено решение само когато детерминантата на матрицата A не е равна на нула. В този случай решението на системата от уравнения може да се намери по следния начин х = А-един · б, където А-1 - обратна матрица.

Методът на матрично решение е както следва.

Нека е дадена система от линейни уравнения с ннеизвестен:

Може да се пренапише в матрична форма: БРАВИЛА = б, където А- основната матрица на системата, би х- колони с безплатни членове и съответно решения на системата:

Умножете това матрично уравнение отляво по А-1 - матрица, обратна на матрицата А: А -1 (БРАВИЛА) = А -1 б

защото А -1 А = д, получаваме х= А -1 б. Дясната страна на това уравнение ще даде колона от решения на оригиналната система. Условието за приложимостта на този метод (както и общото съществуване на решение на нехомогенна система от линейни уравнения с брой уравнения, равен на броя на неизвестните) е неизродеността на матрицата А. Необходимо и достатъчно условие за това е детерминантата на матрицата А: дет А≠ 0.

За хомогенна система от линейни уравнения, т.е. когато векторът б = 0 , всъщност обратното правило: системата БРАВИЛА = 0 има нетривиално (т.е. ненулево) решение само ако det А= 0. Такава връзка между решенията на еднородни и нехомогенни системи от линейни уравнения се нарича алтернатива на Фредхолм.

Пример решения на нехомогенна система от линейни алгебрични уравнения.

Нека се уверим, че детерминантата на матрицата, съставена от коефициентите на неизвестните на системата от линейни алгебрични уравнения, не е равна на нула.

Следващата стъпка е да се изчислят алгебричните допълнения за елементите на матрицата, състояща се от коефициентите на неизвестните. Те ще са необходими за намиране на обратната матрица.

Използването на уравнения е широко разпространено в живота ни. Те се използват в много изчисления, изграждане на конструкции и дори спорт. Уравненията са били използвани от човека от древни времена и оттогава употребата им само се е увеличила. Матричният метод позволява намирането на решения на SLAE (система от линейни алгебрични уравнения) с всякаква сложност. Целият процес на решаване на SLAE се свежда до две основни стъпки:

Определяне на обратната матрица въз основа на основната матрица:

Умножение на получената обратна матрица по колонния вектор на решенията.

Да предположим, че ни е даден SLAE от следната форма:

\[\left\(\begin(matrix) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(matrix)\right.\]

Нека започнем да решаваме това уравнение, като напишем матрицата на системата:

Матрица от дясната страна:

Нека дефинираме обратна матрица. Можете да намерите матрица от 2-ри ред, както следва: 1 - самата матрица трябва да е неособена; 2 - неговите елементи, които са на главния диагонал, се разменят, а за елементите на вторичния диагонал извършваме промяна на знака към противоположния, след което разделяме получените елементи на детерминанта на матрицата. Получаваме:

\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ начало (pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix) \]

2 матрици се считат за равни, ако съответните им елементи са равни. В резултат на това имаме следния отговор на SLAE решението:

Къде мога да реша онлайн система от уравнения, използвайки матричния метод?

Можете да решите системата от уравнения на нашия уебсайт. Безплатният онлайн решаващ инструмент ще ви позволи да решите онлайн уравнение с всякаква сложност за секунди. Всичко, което трябва да направите, е просто да въведете данните си в решаващия инструмент. Можете също да научите как да решите уравнението на нашия уебсайт. И ако имате въпроси, можете да ги зададете в нашата група Vkontakte.

Този онлайн калкулатор решава система от линейни уравнения с помощта на матричния метод. Дадено е много подробно решение. За да решите система от линейни уравнения, изберете броя на променливите. Изберете метод за изчисляване на обратната матрица. След това въведете данните в клетките и кликнете върху бутона "Изчисли".

Внимание

Изчистване на всички клетки?

Затвори Изчисти

Инструкция за въвеждане на данни.Числата се въвеждат като цели числа (примери: 487, 5, -7623 и т.н.), десетични числа (напр. 67., 102,54 и т.н.) или дроби. Дробта трябва да бъде въведена като a/b, където a и b са цели или десетични числа. Примери 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.н.

Матричен метод за решаване на системи от линейни уравнения

Разгледайте следната система от линейни уравнения:

Като вземем предвид дефиницията на обратната матрица, имаме А −1 А=д, където де матрицата на идентичността. Следователно (4) може да се запише по следния начин:

По този начин, за да се реши системата от линейни уравнения (1) (или (2)), е достатъчно да се умножи обратното на Аматрица за вектор на ограничаване b.

Примери за решаване на система от линейни уравнения по матричния метод

Пример 1. Решете следната система от линейни уравнения, като използвате матричния метод:

Нека намерим обратното на матрицата A по метода на Йордан-Гаус. От дясната страна на матрицата Анапишете матрицата на идентичността:

Нека изключим елементите от 1-вата колона на матрицата под главния диагонал. За да направите това, добавете редове 2,3 с ред 1, умножени съответно по -1/3, -1/3:

Нека изключим елементите от 2-ра колона на матрицата под главния диагонал. За да направите това, добавете ред 3 с ред 2, умножен по -24/51:

Нека изключим елементите от 2-ра колона на матрицата над главния диагонал. За да направите това, добавете ред 1 с ред 2, умножено по -3/17:

Отделете дясната страна на матрицата. Получената матрица е обратната на А :

Матрична форма на запис на система от линейни уравнения: брадва=b, където

Изчислете всички алгебрични допълнения на матрицата А: