Сервизно задание. Услугата е предназначена за намиране на корените на уравнения f(x) в онлайн режимакордов метод.

Инструкция. Въведете израза F(x), щракнете върху Напред. Полученото решение се записва във файл на Word. Създава се и шаблон за решение в Excel. По-долу има видео инструкция.

F(x) =

Търсете в диапазона от преди
Точност ξ =
Брой интервали на разделяне, n =
Метод на решение нелинейни уравнения Метод на дихотомията Метод на Нютон (метод на допирателната) модифициран методНютонов метод на акордите Комбиниран методметод на златното сечение, итерационен метод, секущ метод

Правила за въвеждане на функция

Примери
≡ x^2/(x+2)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3)

Помислете повече бърз начиннамиране на корена на интервала, като се приеме, че f(a)f(b)<0.
f''(x)>0 f''(x)<0
f(b)f’’(b)>0 f(a)f’’(a)>0


Фиг.1а 1б

Разгледайте фиг.1а. Начертайте хорда през точки A и B. Хордово уравнение
.
В точката x=x 1 , y=0, в резултат на това получаваме първото приближение на корена
. (3.8)
Проверка на условията
(a) f(x 1)f(b)<0,
(b) f(x 1)f(a)<0.
Ако условие (a) е изпълнено, тогава във формула (3.8) заместваме точката a с x 1 , получаваме

.

Продължавайки този процес, получаваме за n-то приближение
. (3.9)
Тук краят a е подвижен, т.е. f(x i)f(b)<0. Аналогичная ситуация на рис 2а.
Разгледайте случая, когато краят a е фиксиран.
f''(x)<0 f’’(x)>0
f(b)f''(b)<0 f(a)f’’(a)<0


Фиг.2a Фиг.2b

На фиг. 1b, 2b, f(x i)f(a)<0. Записав уравнение хорды, мы на первом шаге итерационного процесса получим x 1 (см. (3.8)). Здесь выполняется f(x 1)f(a)<0. Затем вводим b 1 =x 1 (в формуле (3.8) точку b заменяем на x 1), получим
.

Продължавайки процеса, стигаме до формулата
. (3.10)
Спиране на процеса

|x n – x n-1 |<ε; ξ≈x n

Ориз. 3
На фиг. 3 f''(x) променя знака, така че и двата края ще бъдат подвижни.
Преди да се обърнем към въпроса за сходимостта на итеративния процес на метода на акордите, въвеждаме понятието изпъкнала функция.

Определение.Непрекъсната функция се нарича изпъкнала (вдлъбната), ако за всеки две точки x 1 ,x 2, удовлетворяващи a≤x 1 f(αx 1 + (1-α)x 2) ≤ αf(x 1) + (1-α)f(x 2) е изпъкнал.
f(αx 1 + (1-α)x 2) ≥ αf(x 1) + (1-α)f(x 2) - вдлъбнат
За изпъкнала функция f''(x)≥0.
За вдлъбната функция f''(x)≤0

Теорема 3.Ако функцията f(x) е изпъкнала (вдлъбната) на сегмента , то на всеки сегмент графиката на функцията f(x) не лежи над (не под) хордата, минаваща през точките на графиката с абсцисите x 1 и x 2 .

Доказателство:

Да разгледаме изпъкнала функция. Уравнението на хордата: преминаваща през x 1 и x 2 има формата:
.
Да разгледаме точка c= αx 1 + (1-α)x 2 , където aн

От друга страна, по дефиницията на изпъкнала функция, имаме f(αx 1 + (1-α)x 2) ≤ αf 1 + (1-α)f 2 ; така че f(c) ≤ g(c) q.e.d.

За вдлъбната функция доказателството е подобно.
Нека разгледаме доказателството за сходимостта на итеративния процес за случай на изпъкнала (вдлъбната) функция.

Теорема 4.Нека непрекъсната: два пъти диференцируема функция f(x) и нека f(a)f(b)<0, а f’(x) и f’’(x) сохраняют свои знаки на (см. рис 1а,1б и рис 2а,2б). Тогда итерационный процесс метода хорд сходится к корню ξ с любой наперед заданной точностью ε.
Доказателство:Да разгледаме например случая f(a)f''(a)<0 (см рис 1а и 2а). Из формулы (9) следует, что x n >x n -1 тъй като (b-x n -1)>0, и f n -1 /(f b -f n -1)<0. Это справедливо для любого n, то есть получаем возрастающую последовательность чисел
a≤x0 Нека сега докажем, че всички приближения x n< ξ, где ξ - корень. Пусть x n -1 < ξ. Покажем, что x n тоже меньше ξ. Введем
. (3.11)
Ние имаме
(3.12)
(тоест стойността на функцията y(x) в точката x n на хордата съвпада с f(ξ)).
Тъй като , то от (3.12) следва
или
. (3.13)
За фиг. 1а, следователно
или
означава, че и т.н. (виж (3.11)).
За фиг. 2а. Следователно от (3.12) получаваме
означава
защото h.t.d.
Подобно доказателство за Фиг.1b и Фиг.2b. Така доказахме, че редицата от числа е сходна.
a≤x0 a≤ ξ Това означава, че за всяко ε може да се посочи n, така че |x n - ξ |<ε. Теорема доказана.
Сходимостта на метода на хордите е линейна с коефициента .
, (3.14)
където m 1 = min|f'(x)|, M 1 =max|f'(x)|.
Това следва от следните формули. Разгледайте случая на фиксиран край b и f(b)>0.
Имаме от (3.9) . Оттук
. Имайки предвид това, можем да пишем или
.
Замяна на знаменателя на дясната страна (ξ-x n -1) с (b-x n -1) и като се вземе предвид, че (ξ-x n -1)< (b-x n -1), получим , което трябваше да се докаже (виж неравенство (3.14)).
Доказателство за конвергенция за случая от фиг. 3 (f''(x) променя знака; в общ случайкакто f', така и f'' могат да променят знаците) е по-сложно и не е дадено тук.

В задачите определете броя на реалните корени на уравнението f(x) = 0, отделете тези корени и, като използвате метода на хордите и допирателните, намерете техните приблизителни стойности с точност до 0,001.

Числени методи 1

Решаване на нелинейни уравнения 1

Постановка на проблема 1

Локализация на корена 2

Коренно усъвършенстване 4

Методи за усъвършенстване на корена 4

Метод половин деление 4

Метод на акордите 5

Метод на Нютон (тангентен метод) 6

Числено интегриране 7

Постановка на проблема 7

Правоъгълен метод 8

Трапецовиден метод 9

Метод на парабола (формула на Симпсън) 10

Числени методи

На практика в повечето случаи не е възможно да се намери точно решение на възникналия математически проблем. Това е така, защото желаното решение обикновено не се изразява в елементарни или други известни функции. Следователно числените методи са придобили голямо значение.

Числените методи са методи за решаване на задачи, които се свеждат до аритметика и някои логически операции с числа. В зависимост от сложността на задачата, зададената точност, използвания метод може да са необходими огромен брой действия и тук високоскоростният компютър е незаменим.

Решението, получено чрез числения метод, обикновено е приблизително, т.е. съдържа известна грешка. Източниците на грешки при приблизителното решение на задачата са:

грешка на метода на решение;

грешки при закръгляване при операции с числа.

Грешката на метода е причиненаот факта, че друга, по-проста задача, апроксимираща (апроксимираща) първоначалната задача, обикновено се решава чрез числения метод. В някои случаи численият метод е безкраен процес, което на в границитеводи до желаното решение. Процесът, прекъснат на някаква стъпка, дава приблизително решение.

Грешка при закръгляванезависи от броя на аритметичните операции, извършени в процеса на решаване на задачата. Могат да се използват различни числени методи за решаване на една и съща задача. Чувствителността към грешки при закръгляване значително зависи от избрания метод.

Решаване на нелинейни уравнения Постановка на задача

Решаването на нелинейни уравнения с едно неизвестно е един от важните математически проблеми, които възникват в различни клонове на физиката, химията, биологията и други области на науката и технологиите.

В общия случай може да се напише нелинейно уравнение с едно неизвестно:

f(х) = 0 ,

където f(х) е някаква непрекъсната функция на аргумента х.

Всеки номер х 0 , при което f(х 0 ) ≡ 0 се нарича корен на уравнението f(х) = 0.

Методите за решаване на нелинейни уравнения се делят на прав(аналитичен, точен) и итеративен. Директните методи позволяват да се напише решението под формата на някаква връзка (формула). В този случай стойностите на корените могат да бъдат изчислени с помощта на тази формула в краен брой аритметични операции. Подобни методи са разработени за решаване на тригонометрични, логаритмични, експоненциални, както и най-простите алгебрични уравнения.

Въпреки това, по-голямата част от нелинейните уравнения, срещани в практиката, не могат да бъдат решени с директни методи. Дори за алгебрично уравнение, по-високо от четвърта степен, не е възможно да се получи аналитично решение под формата на формула с краен брой аритметични операции. Във всички такива случаи трябва да се обърнете към числени методи, които позволяват да се получат приблизителни стойности на корените с всякаква точност.

При числения подход проблемът за решаване на нелинейни уравнения е разделен на два етапа: локализация(отделяне на) корени, т.е. намиране на такива сегменти на оста х, в който има един единствен корен, и избистряне на корените, т.е. изчисляване на приблизителните стойности на корените с определена точност.

Коренна локализация

За разделяне на корените на уравнението f(х) = 0, необходимо е да има критерий, който позволява да се гарантира, че първо на разглеждания сегмент [ а,b] има корен и, второ, че този корен е уникален на посочения сегмент.

Ако функцията f(х) е непрекъснат на отсечката [ а,b], а в краищата на сегмента стойностите му имат различни знаци, т.е.

f(а)  f(b) < 0 ,

тогава има поне един корен на този сегмент.

Фиг. 1. Разделяне на корените. функция f(х) не е монотонен на интервала [ а,b].

Това условие, както се вижда от фигура (1), не гарантира уникалността на корена. Достатъчно допълнително условие, осигуряващо уникалността на корена на интервала [ а,b] е изискването за монотонност на функцията върху този сегмент. Като знак за монотонност на функция може да се използва условието за постоянство на знака на първата производна f′( х) .

Така, ако на интервала [ а,b] функцията е непрекъсната и монотонна и нейните стойности в краищата на сегмента имат различни знаци, тогава има един и само един корен на разглеждания сегмент.

Използвайки този критерий, можете да отделите корените аналитиченначин, намиране на интервали на монотонност на функцията.

Може да се направи отделяне на корените графичноако е възможно да се начертае графика на функцията г=f(х) . Например, графиката на функцията на фигура (1) показва, че тази функция може да бъде разделена на три интервала на монотонност в интервал и има три корена в този интервал.

Може да се направи и отделяне на корените табличенначин. Да приемем, че всички интересни за нас корени на уравнение (2.1) са на сегмента [ А, Б]. Изборът на този сегмент (интервалът за търсене на корени) може да бъде направен например на базата на анализ на конкретен физически или друг проблем.

Ориз. 2. Табличен метод за локализация на корена.

Ние ще изчислим стойностите f(х), започвайки от точката х=А, движейки се надясно с известна стъпка ч(фиг. 2). Веднага щом се намери двойка съседни стойности f(х), които имат различни знаци, така че съответните стойности на аргумента хмогат да се разглеждат като граници на сегмента, съдържащ корена.

Надеждността на табличния метод за разделяне на корените на уравненията зависи както от естеството на функцията f(х) и на избрания размер на стъпката ч. Наистина, ако за достатъчно малка стойност ч(ч<<|б−А|) на границите на текущия сегмент [ х, х+ч] функция f(х) приема стойности с еднакъв знак, естествено е да се очаква, че уравнението f(х) = 0 няма корени в този сегмент. Това обаче не винаги е така: ако условието за монотонност на функцията не е изпълнено f(х) на сегмента [ х, х+ч] могат да бъдат корените на уравнението (фиг. 3а).

Фигура 3a Фигура 3b

Също така няколко корена на сегмента [ х, х+ч] също може да се появи под условието f(х)  f(х+ ч) < 0 (фиг. 3b). Предвиждайки такива ситуации, трябва да изберете достатъчно малки стойности ч.

Разделяйки корените по този начин, ние всъщност получаваме техните приблизителни стойности до избраната стъпка. Така например, ако вземем средата на сегмента за локализация като приблизителна стойност на корена, тогава абсолютната грешка на тази стойност няма да надвишава половината от стъпката на търсене ( ч/2). Чрез намаляване на стъпката в близост до всеки корен, по принцип може да се увеличи точността на разделянето на корена до всяка предварително определена стойност. Този метод обаче изисква голямо количество изчисления. Следователно, когато се провеждат числени експерименти с различни параметри на проблема, когато е необходимо многократно търсене на корени, такъв метод не е подходящ за прецизиране на корени и се използва само за разделяне (локализиране) на корени, т.е. определяне на начални приближения към тях. Усъвършенстването на корените се извършва с други, по-икономични методи.

акордов метод (Методът е известен още като Методът на секущата ) е един от методите за решаване на нелинейни уравнения и се основава на последователно стесняване на интервала, съдържащ единичен корен на уравнението. Итеративният процес се извършва до достигане на определената точност..

За разлика от метода на половин разделяне, методът на акордите предполага, че разделянето на разглеждания интервал ще се извърши не в средата му, а в точката на пресичане на хордата с абсцисната ос (ос X). Трябва да се отбележи, че хордата е сегмент, който се изтегля през точките на разглежданата функция в краищата на разглеждания интервал. Разглежданият метод осигурява по-бързо намиране на корена от метода на разделяне на половината, при условие че разглежданият интервал е същият.

Геометрично методът на хордата е еквивалентен на замяна на кривата с хорда, минаваща през точките и (виж Фиг. 1.).

Фиг. 1. Построяване на отсечка (хорда) към функцията .

Уравнението на права линия (хорда), която минава през точки A и B, има следния вид:

Това уравнение е типично уравнение за описване на права линия в декартова координатна система. Наклонът на кривата се дава от ординатата и абсцисата, като се използват съответно стойностите в знаменателя и .

За точката на пресичане на правата с абсцисната ос уравнението, написано по-горе, ще бъде пренаписано в следната форма:

Като нов интервал за преминаване на итеративния процес избираме един от двата или , в края на които функцията приема стойности с различни знаци. Обратното на знаците на стойностите на функцията в краищата на сегмента може да се определи по много начини. Един от многото от тези начини е да се умножат стойностите на функцията в краищата на сегмента и да се определи знакът на продукта чрез сравняване на резултата от умножението с нула:

или .

Итеративният процес на прецизиране на корена завършва, когато условието за близостта на две последователни приближения стане по-малко от зададената точност, т.е.

Фиг.2. Обяснение към дефиницията на изчислителната грешка.

Трябва да се отбележи, че конвергенцията на метода на хордата е линейна, но по-бърза от конвергенцията на метода на бисекция.

Алгоритъм за намиране на корена на нелинейно уравнение по метода на хордите

1. Намерете началния интервал на несигурност, като използвате един от методите за разделяне на корена. Удайте грешката в изчислението (малко положително число) и начална стъпка на итерация () .

2. Намерете пресечната точка на хордата с абсцисната ос:

3. Необходимо е да се намери стойността на функцията в точките , и . След това трябва да проверите две условия:

Ако условието е изпълнено , тогава желаният корен е вътре в левия сегмент, поставен, ;

Ако условието е изпълнено , тогава желаният корен е вътре в десния сегмент, вземете , .

В резултат на това се намира нов интервал на неопределеност, на който се намира желаният корен на уравнението:

4. Проверяваме приблизителната стойност на корена на уравнението за дадена точност, в случай на:

Ако разликата между две последователни приближения стане по-малка от определената точност, тогава итеративният процес приключва. Приблизителната стойност на корена се определя по формулата:

Ако разликата от две последователни приближения не достигне необходимата точност, тогава е необходимо да продължите итеративния процес и да преминете към стъпка 2 от разглеждания алгоритъм.

Пример за решаване на уравнения по метода на акордите

Като пример, разгледайте решаването на нелинейно уравнение с помощта на метода на акордите. Коренът трябва да бъде намерен в разглеждания диапазон с точност до .

Вариант на решаване на нелинейно уравнение в софтуерен пакетMathCAD.

Резултатите от изчислението, а именно динамиката на изменението на приблизителната стойност на корена, както и грешките на изчислението от стъпката на итерация, са представени в графичен вид (виж фиг. 1).

Фиг. 1. Резултати от изчислението по метода на акордите

За да се осигури зададената точност при търсене на уравнение в диапазона, е необходимо да се извършат 6 итерации. На последната стъпка на итерация приблизителната стойност на корена на нелинейното уравнение ще бъде определена от стойността: .

Забележка:

Модификация на този метод е метод на фалшива позиция(False Position Method), който се различава от метода на секущата само по това, че всеки път не се вземат последните 2 точки, а тези точки, които са около корена.

Трябва да се отбележи, че ако втората производна може да бъде взета от нелинейна функция, алгоритъмът за търсене може да бъде опростен. Да приемем, че втората производна запазва постоянен знак и да разгледаме два случая:

Случай #1:

От първото условие се оказва, че фиксираната страна на сегмента е - странатаа.

Случай #2:

3. Метод на акордите

Нека е дадено уравнението f(x) = 0, където f(x) е непрекъсната функция, която има производни от първи и втори ред в интервала (a, b). Коренът се счита за отделен и е на сегмента.

Идеята на метода на хордата е, че на достатъчно малък интервал дъгата на кривата y = f(x) може да бъде заменена с хорда и пресечната точка с абсцисната ос може да се приеме като приблизителна стойност на коренът. Нека разгледаме случая (фиг. 1), когато първата и втората производна имат еднакви знаци, т.е. f "(x)f ²(x) > 0. Тогава уравнението на хордата, минаваща през точките A0 и B, има формата

Коренното приближение x = x1, за което y = 0, се определя като

.

По подобен начин за хорда, минаваща през точки A1 и B, се изчислява следващото приближение на корена

.

В общия случай формулата на метода на акордите има формата:

. (2)

Ако първата и втората производни имат различни знаци, т.е.

f"(x)f"(x)< 0,

тогава всички приближения към корена x* се извършват от страната на дясната граница на сегмента, както е показано на фиг. 2, и се изчисляват по формулата:

. (3)

Изборът на формулата във всеки отделен случай зависи от формата на функцията f(x) и се извършва съгласно правилото: фиксирана е границата на сегмента на изолация на корена, за който знакът на функцията съвпада с знак на втората производна. Формула (2) се използва, когато f(b)f "(b) > 0. Ако неравенството f(a)f "(a) > 0 е вярно, тогава е препоръчително да се приложи формула (3).

Ориз. 1 Фиг. 2

Ориз. 3 Фиг. четири

Итеративният процес на хордовия метод продължава, докато се получи приблизителен корен с дадена степен на точност. Когато оценявате грешката на приближението, можете да използвате връзката:

.

Тогава условието за завършване на изчисленията се записва като:

където e е дадената грешка при изчисление. Трябва да се отбележи, че при намиране на корена методът на акордите често осигурява по-бърза конвергенция от метода на разполовяването.

4. Метод на Нютон (тангенси)

Нека уравнение (1) има корен в сегмента и f "(x) и f "(x) са непрекъснати и запазват постоянни знаци през целия интервал.

геометричен смисълМетодът на Нютон е, че дъгата на кривата y = f(x) се заменя с допирателна. За да направите това, се избира някакво първоначално приближение на корена x0 върху интервала и се начертава допирателна в точката C0(x0, f(x0)) към кривата y = f(x), докато се пресече с абсцисната ос ( Фиг. 3). Уравнението на допирателната в точка C0 има формата

След това се прекарва допирателна нова точка C1(x1, f(x1)) и се определя точката x2 на нейното пресичане с оста 0x и т.н. В общия случай формулата за метода на допирателната има формата:

В резултат на изчисленията се получава поредица от приблизителни стойности x1, x2, ..., xi, ..., чийто всеки следващ член е по-близо до корена x* от предишния. Итеративният процес обикновено приключва, когато условие (4) е изпълнено.

Първоначалното приближение x0 трябва да отговаря на условието:

f(x0) f ¢¢(x0) > 0. (6)

В противен случай конвергенцията на метода на Нютон не е гарантирана, тъй като допирателната ще пресече оста x в точка, която не принадлежи на сегмента. На практика за начално приближение на корена x0 обикновено се избира една от границите на интервала, т.е. x0 = a или x0 = b, при които знакът на функцията съвпада със знака на втората производна.

Методът на Нютон осигурява висока степен на сходимост при решаване на уравнения, за които модулът на производната ½f ¢(x)½ близо до корена е достатъчно голям, т.е. графиката на функцията y = f(x) в околността на корена има голяма стръмност. Ако кривата y = f(x) в интервала е почти хоризонтална, тогава не се препоръчва използването на метода на допирателната.

Съществен недостатък на разглеждания метод е необходимостта от изчисляване на производните на функцията за организиране на итеративния процес. Ако стойността на f ¢(x) се променя малко през интервала, тогава за опростяване на изчисленията можете да използвате формулата

, (7)

тези. стойността на производната трябва да се изчисли само веднъж в началната точка. Геометрично това означава, че допирателните в точките Ci(xi, f(xi)), където i = 1, 2, ..., се заменят с прави, успоредни на допирателната, начертана към кривата y = f(x) при началната точка C0(x0, f(x0)), както е показано на фиг. четири.

В заключение трябва да се отбележи, че всичко по-горе е вярно в случая, когато първоначалното приближение x0 е избрано достатъчно близо до истински корен x* уравнения. Това обаче не винаги е лесно да се направи. Следователно методът на Нютон често се използва в последния етап от решаването на уравнения след работата на някакъв надеждно конвергентен алгоритъм, например методът на разполовяване.

5. Метод на проста итерация

За да се приложи този метод за решаване на уравнение (1), е необходимо то да се преобразува във формата . След това се избира първоначално приближение и се изчислява x1, след това x2 и т.н.:

x1 = j(x0); x2 = j(x1); …; xk = j(xk-1); ...

нелинейни алгебрично уравнениекорен

Получената последователност се сближава към корена при изпълнение следните условия:

1) функцията j(x) е диференцируема на интервала .

2) във всички точки от този интервал j¢(x) удовлетворява неравенството:

0 £ q £ 1. (8)

При такива условия скоростта на конвергенция е линейна и трябва да се извършват итерации, докато условието стане вярно:

.

Критерий за изглед

може да се използва само за 0 £ q £ 1. В противен случай итерациите приключват преждевременно, без да осигуряват определената точност. Ако е трудно да се изчисли q, тогава можем да използваме критерий за прекратяване на формата

; .

Възможен различни начинипреобразуване на уравнение (1) във формата . Трябва да се избере такъв, който отговаря на условие (8), което генерира конвергентен итеративен процес, както е показано например на фиг. 5, 6. В противен случай, по-специално, за ½j¢(x)1>1, итеративният процес се разминава и не позволява получаването на решение (фиг. 7).

Ориз. 5

Ориз. 6

Ориз. 7

Заключение

Проблемът с подобряването на качеството на изчисленията на нелинейни уравнения с помощта на различни методи, тъй като несъответствието между желаното и действителното, съществува и ще продължи да съществува и в бъдеще. Неговото решение ще бъде улеснено от развитието информационни технологии, което се състои както в подобряване на методите за организиране информационни процеси, и реализирането им с помощта на специфични инструменти – среди и езици за програмиране.

Списък на използваните източници

1. Алексеев В. Е., Ваулин А. С., Петрова Г. Б. - Компютър и програмиране. Семинар по програмиране: Prakt.posobie / -M .: Vyssh. училище , 1991. - 400 с.

2. Абрамов С.А., Зима Е.В. - Започвам да програмирам на Pascal. - М.: Наука, 1987. -112 с.

3. Компютър и програмиране: учеб. за тех. университети / A.V. Петров, В.Е. Алексеев, A.S. Ваулин и други - М .: Висш. училище, 1990 г. - 479 с.

4. Гусев В.А., Мордкович А.Г. - Математика: Справ. материали: Кн. за студенти. - 2-ро изд. - М.: Просвещение, 1990. - 416 с.

Точката на приблизителното решение, т.е. последователни приближения(4) се изграждат по формулите: , (9) където е началното приближение до точното решение. 4.5 Метод на Seidel, базиран на линеаризирано уравнение Итеративна формулаза конструиране на приблизително решение на нелинейното уравнение (2) въз основа на линеаризираното уравнение (7) има формата: 4.6 Метод най-стръмно спусканеМетоди...