Сили на инерция в механична система. Формула за инерционна сила

При изучаването на въпроса какво е силата на инерцията (SI) често възникват недоразумения, водещи до псевдонаучни открития и парадокси. Нека разгледаме този въпрос, прилагайки научен подход и обосновавайки всичко казано с подкрепящи формули.

Силата на инерцията ни заобикаля навсякъде. Хората са забелязали неговите прояви още в древността, но не са могли да го обяснят. Галилей сериозно го изучаваше, а след това и прословутото.Именно поради неговата дълга интерпретация станаха възможни погрешни хипотези. Това е съвсем естествено, защото ученият направи предположение и багажът от знания, натрупан от науката в тази област, все още не съществуваше.

Нютон твърди, че естественото свойство на всички материални обекти е способността да бъдат в състояние на права линия или в покой, при условие че няма външно влияние.

Нека "разширим" това предположение на базата на съвременните познания. Още Галилео Галилей обърна внимание на факта, че силата на инерцията е пряко свързана с гравитацията (привличането). А естествените привличащи обекти, чието въздействие е очевидно, са планетите и звездите (поради масата си). И тъй като имат формата на топка, това е посочил Галилей. Но Нютон напълно игнорира тази точка.

Вече е известно, че цялата Вселена е пронизана от гравитационни линии с различна интензивност. Косвено потвърдено, макар и не математически доказано, съществуването на гравитационно излъчване. Следователно силата на инерцията винаги възниква с участието на гравитацията. Нютон, в допускането си за "естествено свойство", също не е взел това предвид.

По-правилно е да се изхожда от друго определение - посочената сила е стойността, която е произведение от масата (m) на движещото се тяло и неговото ускорение (a). Векторът е насочен срещу ускорението, т.е.

където F, a са стойностите на векторите на силата и полученото ускорение; m е масата на движещото се тяло (или математическа

Физиката и механиката предлагат две имена за такъв ефект: Кориолис и преносима инерционна сила (PSI). И двата термина са еквивалентни. Разликата е, че първата опция е общопризната и се използва в курса по механика. С други думи, равенството е вярно:

F kor \u003d F per \u003d m * (-a kor) \u003d m * (-a per),

където F е силата на Кориолис; F per - преносима инерционна сила; a kor и a per са съответните вектори на ускорението.

PSI включва три компонента: инерция, транслационен SI и ротационен. Ако с първото обикновено няма затруднения, тогава другите две изискват обяснение. Транслационната сила на инерцията се определя от ускорението на цялата система като цяло спрямо всяка инерционна система в транслационния тип движение. Съответно, третият компонент възниква поради ускорението, което се появява по време на въртенето на тялото. В същото време тези три сили могат да съществуват самостоятелно, без да са част от PSI. Всички те са представени с една и съща основна формула F = m * a, а разликите са само във вида на ускорението, което от своя страна зависи от вида на движението. Следователно те са частен случай на инерция. Всеки от тях участва в изчисляването на теоретичното абсолютно ускорение на материално тяло (точка) във фиксирана отправна система (невидима за наблюдение от неинерциална система).

PSI е необходимо при изучаване на въпроса за относителното движение, тъй като за да се създадат формули за движение на тяло в неинерционна система, е необходимо да се вземат предвид не само други известни сили, но и него (F kor или F на).

AT класическа механикаидеи за силии техните свойства се основават на Законите на Нютони са неразривно свързани с понятието инерционна отправна система.

Наистина, физичната величина, наречена сила, е въведена под внимание от втория закон на Нютон, докато самият закон е формулиран само за инерционни референтни системи. Съответно понятието сила първоначално се оказва дефинирано само за такива референтни системи.

Уравнението на втория закон на Нютон, свързано ускорениеи маса материална точкасъс силата, действаща върху него, се записва във формата

От уравнението пряко следва, че само силите са причина за ускорението на телата и обратното: действието на некомпенсирани сили върху тялото непременно предизвиква неговото ускорение.

Третият закон на Нютон допълва и развива казаното за силите във втория закон.

силата е мярка за механичното въздействие върху дадено материално тяло на други тела

в съответствие с третия закон на Нютон, силите могат да съществуват само по двойки и природата на силите във всяка такава двойка е една и съща.

всяка сила, действаща върху тяло, има източник на произход под формата на друго тяло. С други думи, силите непременно са резултат взаимодействиятел.

Никакви други сили в механиката не се вземат под внимание или се използват. Възможността за съществуване на сили, възникнали независимо, без взаимодействащи тела, не се допуска от механиката.

Въпреки че имената на инерционните сили на Ойлер и Д'Аламбер съдържат думата сила, тези физически величини не са сили в смисъла, приет в механиката.

34. Концепцията за плоскопаралелно движение на твърдо тяло

Движението на твърдо тяло се нарича плоскопаралелно, ако всички точки на тялото се движат в равнини, успоредни на някаква фиксирана равнина (основната равнина). Нека някакво тяло V извършва равнинно движение, π - основната равнина. от определенияплоскопаралелно движение и свойствата на абсолютно твърдо тяло, следва, че всяка отсечка от правата AB, перпендикулярна на равнината π, ще извършва постъпателно движение. Тоест траекториите, скоростите и ускоренията на всички точки от сегмента AB ще бъдат еднакви. По този начин движението на всяка точка от сечението s, успоредно на равнината π, определя движението на всички точки на тялото V, лежащи на сегмента, перпендикулярен на сечението в тази точка. Примери за равнинно-паралелно движение са: търкаляне на колело по прав сегмент, тъй като всички негови точки се движат в равнини, успоредни на равнината, перпендикулярна на оста на колелото; частен случай на такова движение е въртене на твърдо тяло около фиксирана ос, всъщност всички точки на въртящото се тяло се движат в равнини, успоредни на някаква фиксирана равнина, перпендикулярна на оста на въртене.

35. Инерционни сили при праволинейно и криволинейно движение на материална точка

Силата, с която една точка се съпротивлява на промяна в движението, се нарича инерционна сила на материална точка. Инерционната сила е насочена обратно на ускорението на точката и е равна на масата, умножена по ускорението.

По права линияпосоката на ускорението съвпада с траекторията. Силата на инерцията е насочена в посока, обратна на ускорението, а числената й стойност се определя по формулата:

При ускорено движение посоките на ускорението и скоростта съвпадат и силата на инерцията е насочена в посока, обратна на движението. При забавено движение, когато ускорението е насочено в посока, обратна на скоростта, силата на инерцията действа по посока на движението.

Прикриволинейни и неравномернидвижениеускорението може да се разложи на нормално ани допирателна прикомпоненти. По същия начин силата на инерцията на точка също се състои от два компонента: нормален и тангенциален.

нормалнокомпонентът на инерционната сила е равен на произведението на масата на точката и нормалното ускорение и е насочен срещу това ускорение:

Допирателнакомпонентът на инерционната сила е равен на произведението на масата на точката и тангенциалното ускорение и е насочен противоположно на това ускорение:

Очевидно общата инерционна сила на точката Ме равна на геометричната сума на нормалните и допирателните компоненти, т.е.

Като се има предвид, че допирателната и нормалната компоненти са взаимно перпендикулярни, общата инерционна сила.

СИЛА НА ИНЕРЦИЯ

СИЛА НА ИНЕРЦИЯ

Векторна величина, числено равна на произведението на масата m на материална точка и нейното w и насочена обратно на ускорението. При криволинейно движение на С. и. може да се разложи на допирателна или тангенциална компонента Jt, насочена противоположно на допирателната. ускорение wt , и върху нормалната компонента Jn, насочена по нормалата към траекторията от центъра на кривината; числено Jt=mwt, Jn=mv2/r, където v - точки, r - радиус на кривината на траекторията. При изучаване на движението по отношение на инерционната референтна система, С. и. въведени, за да имат формална възможност да съставят уравнения на динамиката под формата на по-прости уравнения на статиката (вижте). Концепцията на С. и. се въвежда и в изследването на относителното движение. В този случай добавянето на сили на взаимодействие с други тела, действащи върху материална точка S. и. - преносими Jper и кориолисови сили Jcor - ви позволява да съставите уравнения на движение на тази точка в движеща се (неинерционна) рамка на справка по същия начин, както при инерционна.

Физически енциклопедичен речник. - М.: Съветска енциклопедия. . 1983 .

СИЛА НА ИНЕРЦИЯ

Векторна величина, числено равна на произведението на масата Tматериална точка върху неговото ускорение wи насочен обратно на ускорението. При криволинейно движение на С. и. може да се разложи на допирателна или тангенциална компонента, насочена противоположно на допирателната. ускорение и върху нормалния или центробежен компонент, насочен по Ch. нормали на траекторията от центъра на кривината; числено , , където v-скоростта на точката е радиусът на кривината на траекторията. При изучаване на движението във връзка с инерционна отправна система S. i. въведен, за да има официална възможност за съставяне на динамични уравнения под формата на по-прости статични уравнения (вж. D „Принцип на Аламбер, Кинетостатика).

Концепцията на С. и. също въведени в изследването относително движение.В този случай чрез добавяне на силата на прехвърляне J nep към силите на взаимодействие с други тела, действащи върху материалната точка и Кориолисова силаинерция, Targ.

Физическа енциклопедия. В 5 тома. - М.: Съветска енциклопедия. Главен редактор А. М. Прохоров. 1988 .

Вижте какво е "СИЛА НА ИНЕРЦИЯ" в други речници:

- (също инерционна сила) термин, широко използван в различни значения в точните науки, а също и като метафора във философията, историята, журналистиката и художествената литература. В точните науки силата на инерцията обикновено е понятие ... Wikipedia

Съвременна енциклопедия

Векторна величина, числено равна на произведението на масата m на материална точка и модула на нейното ускорение? и насочено обратно на ускорението... Голям енциклопедичен речник

инерционна сила- Векторна величина, чийто модул е ​​равен на произведението на масата на материална точка и модула на нейното ускорение и е насочен срещу това ускорение. [Сборник с препоръчителни термини. Брой 102. Теоретична механика. Академия на науките на СССР. комисия…… Наръчник за технически преводач

инерционна сила- ИНЕРЦИОННА СИЛА, векторна величина, числено равна на произведението на масата m на материална точка и нейното ускорение u и насочена обратно на ускорението. Възниква поради неинерционността на отправната система (въртене или праволинейно движение с ... ... Илюстрован енциклопедичен речник

инерционна сила- inercijos jėga statusas T sritis Стандартизация и метрология apibrėžtis Vektorinis dydis, lygus materialiojo taško arba kūno masės ir pagreičio sandaugai; kryptis priešinga pagreičiui. атитикменис: англ. инерционна сила vok. Tragheitskraft, f;… … Penkiakalbis aiskinamasis metrologijos terminų žodynas

Векторна величина, числено равна на произведението на масата m на материална точка и модула на нейното ускорение w и насочена обратно на ускорението. * * * СИЛА НА ИНЕРЦИЯ СИЛА НА ИНЕРЦИЯ, векторна величина, числено равна на произведението на масата m на материала ... ... енциклопедичен речник

инерционна сила- inercijos jėga statusas T sritis automatika atitikmenys: англ. инерционна сила vok. Tragheitskraft, ф рус. инерционна сила, fпранц. сила d инерция, f … Automatikos terminų žodynas

инерционна сила- inercijos jėga statusas T sritis fizika atitikmenys: англ. инерционна сила vok. Tragheitskraft, ф рус. инерционна сила, fпранц. сила на инерцията, f … Fizikos terminų žodynas

инерционна сила- стойност, числено равна на произведението на масата на тялото и неговото ускорение и насочена противоположно на ускорението; Вижте също: сила сила на триене сила на светлина сила на съпротивление сила на вътрешно триене ... Енциклопедичен речник по металургия

След като установихме, че отделните точки в Нютоновото абсолютно пространство не са физическа реалност, сега трябва да се запитаме какво остава в

тази концепция изобщо? Остава следното: съпротивлението на всички тела на ускорение трябва да се тълкува в Нютонов смисъл като действие на абсолютното пространство. Локомотивът, който привежда влака в движение, преодолява съпротивлението на инерцията. Снаряд, който събаря стена, черпи разрушителната си сила от инерцията. Действието на инерцията се проявява винаги, когато има ускорения, а последните не са нищо повече от промени в скоростта в абсолютното пространство (можем да използваме последния израз, тъй като промяната в скоростта има еднаква величина във всички инерционни системи). По този начин референтните системи, които сами се движат с ускорение спрямо инерционните системи, не са еквивалентни на последните или една на друга. Възможно е, разбира се, да се определят законите на механиката в такива системи, но те ще придобият по-сложна форма. Дори траекторията на свободно тяло вече не се оказва равномерна и праволинейна в ускорена система (виж гл. стр. 59). Последното може да се изрази под формата на твърдение, че в ускорена система, в допълнение към реалните сили, има привидни или инерционни сили. Тялото, върху което не действат реални сили, все още е под действието на тези инерционни сили, поради което движението му в общия случай се оказва неравномерно и неправолинейно. Например кола, която започва да се движи или забавя, е такава ускорена система. Всеки знае бутането на движещ се или спиращ влак; не е нищо друго освен действието на инерционната сила, за която говорим.

Нека разгледаме подробно това явление, като използваме примера на система, която се движи праволинейно с ускорение.Ако измерим ускорението на тяло спрямо такава движеща се система, тогава неговото ускорение спрямо абсолютното пространство очевидно ще бъде по-голямо с. Следователно фундаменталното законът на механиката в това пространство има формата

Ако го запишем във формата

тогава можем да кажем, че законът за движение в Нютонова форма е изпълнен в ускорената система, а именно

освен че сега силата трябва да бъде зададена на K, което е равно на

където K е реалната сила и е привидната сила или силата на инерцията.

И така, тази сила действа върху свободно тяло. Неговото действие може да се илюстрира със следното разсъждение: знаем, че гравитацията на Земята - силата на гравитацията - се определя от формулата G = mg, където е постоянно ускорение, дължащо се на гравитацията. Силата на инерцията действа в този случай като гравитацията; знакът минус означава, че силата на инерцията е насочена обратно на ускорението на референтната система, която се използва като основа. Големината на видимото гравитационно ускорение y съвпада с ускорението на отправната система.Така че движението на свободно тяло в системата е просто движение от вида, който познаваме като падане или движение на хвърлено тяло.

Тази връзка между инерционните сили в ускорените системи и силата на гравитацията тук все още изглежда донякъде изкуствена. Всъщност това остава незабелязано двеста години. Но още на този етап трябва да отбележим, че той формира основата на общата теория на относителността на Айнщайн.

Сили на инерцията и основен закон на механиката

Берников Василий Русланович,

инженер.

Предговор

Вътрешните сили в някои случаи са причина за появата на външни сили, приложени към системата , , , . Силите на инерцията винаги са външни по отношение на всяка движеща се система от материални тела , , , . Силите на инерцията действат по същия начин като силите на взаимодействие, те са съвсем реални, могат да извършват работа, да придават ускорение , , , . С голям брой теоретични предпоставки в механиката, възможността за използване на инерционните сили като транслационна сила при създаването на конструкции не доведе до положителен резултат. Могат да се отбележат само някои добре известни конструкции с ниска ефективност на използване на инерционните сили: инерцоидът на Толчин, вихровият течен двигател на Фролов, задвижването на Торнсън. Бавното развитие на инерционното задвижване се обяснява с липсата на фундаментална теоретична обосновка на наблюдавания ефект. Въз основа на обичайните класически концепции на физическата механика, в тази работа е създадена теоретична основа за използването на инерционните сили като транслационна сила.

§едно. Основен закон на механиката и последствията от него.

Нека разгледаме законите за трансформация на силите и ускоренията в различни референтни системи. Нека изберем произволно неподвижна инерционна отправна система и се съгласим движението спрямо нея да се счита за абсолютно. В такава отправна система основното уравнение на движението на материална точка е уравнението, изразяващо втория закон на Нютон.

м wабс = Е, (1.1)

където Е- силата на взаимодействие на телата.

Тяло в покой в ​​подвижна отправна система се увлича от последната при движението си спрямо неподвижната отправна система. Това движение се нарича преносимо. Движението на тялото спрямо отправната система се нарича относително. Абсолютното движение на тялото се състои от неговите относителни и фигуративни движения. В неинерциалните отправни системи (отправни системи, движещи се с ускорение), законът за трансформация на ускоренията за транслационно движение има следния вид

wабс = wотн +wпер. (1.2)

Като вземем предвид (1.1) за силите, записваме уравнението на относителното движение за материална точка в референтна система, движеща се с транслационно ускорение

mwотн = F - mwплатно, (1.3)

където mw per е транслационната сила на инерцията, която възниква не поради взаимодействието на телата, а поради ускореното движение на референтната рамка. Движението на телата под действието на инерционните сили е подобно на движението във външните силови полета [ 2, стр.359]. Импулсът на центъра на масата на системата [3, стр.198] може да се промени чрез промяна на вътрешния ротационен импулс или вътрешния транслационен импулс. Силите на инерцията винаги са външни [2, стр.359] по отношение на всяка движеща се система от материални тела.

Нека сега приемем, че отправната система се движи доста произволно спрямо фиксираната отправна система. Това движение може да се раздели на две: постъпателно движение със скорост v o, равна на скоростта на движение на началото, и ротационното движение около моментната ос, минаваща през това начало. Означаваме ъгловата скорост на това въртене w, и разстоянието от началото на координатите на подвижната отправна система до движещата се точка в нея през r. Освен това движещата се точка има скорост спрямо подвижната отправна система vотн. Тогава за абсолютното ускорение [2, стр.362] знаем връзката

wабс = wотн - 2[ vотн w] + (d v o /dt) - w 2 r ^ + [ (d с/ dt) r] ,. (1.4)

където r ^ - компонент на радиус-вектора r, перпендикулярна на моментната ос на въртене. Прехвърляме относителното ускорение в лявата страна, а абсолютното ускорение в дясната страна и умножаваме всичко по масата на тялото, получаваме основното уравнение на силите на относителното движение [ 2, стр. 364] на материална точка в произволно движеща се референтна система

mw rel = mwкоремни мускули + 2 м [ vотн w] - m(d v o /dt) + mw 2 r ^ – m[ (d с/ dt) r] . (1.5)

Или съответно

mw rel = Е + Едо + Е n+ Е c + Еφ, (1.6)

където: Е- сила на взаимодействие на телата; Е k е инерционната сила на Кориолис; Е p е транслационната сила на инерцията; Е c - центробежна сила на инерция; Е f е фазовата сила на инерцията.

Посоката на силата на взаимодействие на телата Есъвпада с посоката на ускорение на тялото. Инерционна сила на Кориолис Е k е насочено според векторния продукт на радиалната и ъгловата скорост, тоест перпендикулярно на двата вектора. Транслационна инерционна сила Е n е насочено обратно на ускорението на тялото. Центробежна сила на инерция Е q е насочен по радиуса от центъра на въртене на тялото. Фазова сила на инерцията Еφ е насочен срещуположно на векторния продукт на ъгловото ускорение и радиуса от центъра на въртене, перпендикулярен на тези вектори.

По този начин е достатъчно да се знае величината и посоката на силите на инерция и взаимодействие, за да се определи траекторията на тялото спрямо всяка референтна система.

В допълнение към силите на инерцията и взаимодействието на телата съществуват сили с променлива маса, които са резултат от действието на инерционните сили. Разгледайте втория закон на Нютон в диференциална форма [2, стр.77]

д П/dt = ∑ Е, (1.7)

където: Пе импулсът на системата от тела; ∑ Ее сумата от външните сили.

Известно е, че импулсът на система от тела в общия случай зависи от времето и съответно е равен на

П(t) = m(t) v(t), (1.8)

където: m(t) е масата на системата от тела; v(t) е скоростта на системата от тела.

Тъй като скоростта е производната по време на координатите на системата, тогава

v(t) = d r(t)/dt, (1.9)

където rе радиус вектор.

В бъдеще ще имаме предвид зависимостта от времето: маса, скорост и радиус вектор. Замествайки (1.9) и (1.8) в (1.7) получаваме

d(m (d r/dt))/dt = ∑ Е. (1.10)

Въвеждаме масата m под знака на диференциала [ 1, стр.295] , тогава

д[ (d(m r)/dt) – r(dm/dt)]/dt = ∑ Е.

Производната на разликата е равна на разликата на производните

d [ (d(m r)/dt) ] dt – d [ r(dm/dt)] /dt =∑ Е.

Нека направим детайлна диференциация на всеки термин според правилата за диференциране на продуктите

m(d2 r/dt 2) + (dm/dt)(d r/dt) + (dm/dt)(d r/dt) +

+ r(d 2 m/dt 2) – r(d 2 m/dt 2)- (dm/dt)(d r/dt) = ∑ Е. (1.11)

Представяме подобни членове и записваме уравнение (1.11) в следната форма

m(d2 r/dt 2) = ∑ Е- (dm/dt)(d r/dt). (1.12)

От дясната страна на уравнение (1.12) е сумата от всички външни сили. Последният член се нарича сила на променлива маса, т.е

Е pm = - (dm/dt)(d r/dt). (1.13)

Така към външните сили се добавя още една външна сила - силата на променлива маса. Изразът в първата скоба от дясната страна на уравнение (1.13) е скоростта на промяна на масата, а изразът във втората скоба е скоростта на разделяне (закрепване) на частиците. По този начин тази сила действа, когато масата (реактивната сила) [2, стр. 120] на система от тела се променя с отделянето (закрепването) на частици със съответната скорост спрямо тази система от тела. Уравнение (1.12) е уравнението на Мещерски [2, стр.120], знакът минус показва, че уравнението е получено при допускане на действието на вътрешни сили (отделяне на частици). Тъй като уравнение (1.12) е получено при предположението за промяна на импулса на системата от тела под въздействието на вътрешни сили, които генерират външни, чрез точен математически метод, следователно, когато е получено в израз (1.11), се появиха още две сили, които не участват в промяната на импулса на системата от тела, тъй като те се отменят при намаляване на подобни членове. Нека пренапишем уравнение (1.11), като вземем предвид уравнение (1.13), без да отменяме подобни членове, както следва

m(d2 r/dt 2) + r(d 2 m/dt 2) +(dm/dt)(d r/dt) = ∑ Е + Еследобед + r(d 2 m/dt 2) +(dm/dt)(d r/dt). (1,14)

Нека означим предпоследния член на израз (1.14) с Ем, а последният през Е d, тогава

m(d2 r/dt 2) + r(d 2 m/dt 2) + (dm/dt)(d r/dt) = ∑ Е + Еследобед + Е m + Ег. (1,15)

Тъй като силата Е m не участва в промяната на импулса, тогава може да се напише като отделно уравнение

Е m = r(d 2 m/dt 2). (1,16)

Разгледайте физическия смисъл на уравнение (1.16), за това го пренаписваме в следната форма

r = Е m /(d 2 m/dt 2). (1,17)

Съотношението на силата към ускореното нарастване на масата в определен обем е постоянна величина или пространството, заето от определено количество от даден вид вещество, се характеризира с минимален обем. Сила Е m е статичен и изпълнява функцията на натиск.

Сила Е q също не участва в промяната на импулса на системата от тела, така че го записваме като отделно уравнение и разглеждаме неговия физически смисъл

Е d = (dm/dt)(d r/dt). (1,18)

Сила Е d е силата на натиск, упражняван от вещество в течно или газообразно състояние върху околното пространство. Характеризира се с броя, масата и скоростта на частиците, които осигуряват налягане в определена посока. Трябва да се отбележи, че налягането Е q съвпада със силата на променливата маса Е pm и тяхното разграничение се прави само за определяне на характера на действието при различни условия. Така уравнение (1.15) напълно описва състоянието на материята. Тоест, разглеждайки уравнение (1.15), можем да заключим, че веществото се характеризира с масата като мярка за инерция, минималното пространство, което дадено количество вещество може да заеме, без да променя свойствата си, и налягането, упражнявано от веществото в течно и газообразно състояние върху околното пространство.

§2. Характеристики на действието на инерционните сили и променливата маса.

Постъпателното ускорено движение на тялото възниква под действието на сила съгласно втория закон на Нютон. Тоест, промяна в големината на скоростта на тялото възниква при наличие на ускорение и силата, която е причинила това ускорение.

Използването на центробежната сила на инерцията за транслационно движение е възможно само с увеличаване на линейната скорост на източниците на тези сили, тъй като при ускорено движение на системата инерционните сили на източниците в посока на увеличаване на скоростта на системата намаляват, докато изчезнат напълно. Освен това полето на инерционните сили трябва да бъде неравномерно и да има максимална стойност в частта на системата в посока на транслационно движение.

Да разгледаме движението на тяло (фиг. 2.1) с маса m по окръжност с радиус R.

Ориз. 2.1.

Центробежна сила Е c, с която тялото натиска кръга, се определя по формулата

Е c \u003d m ω 2 Р. (2.1)

Използвайки добре познатата връзка ω = v /R, където v е линейната скорост на тялото, перпендикулярна на радиуса R, записваме формула (2.1) в следния вид

Е c \u003d m v 2 / Р. (2.2)

Центробежната сила действа по посока на радиуса Р. Сега нека незабавно прекъснем кръга, по който се движи тялото. Опитът показва, че тялото ще лети тангенциално по посока на линейната скорост vа не по посока на центробежната сила. Тоест при липса на опора центробежната сила мигновено изчезва.

Нека тяло с маса m се движи по елемент от полукръг (фиг. 2.2) с радиус R, а полукръгът се движи с ускорение w P перпендикулярно на диаметъра.

Ориз. 2.2.

При равномерно движение на тялото (линейната скорост не се променя по големина) и ускорен полукръг опората под формата на полукръг моментално изчезва и центробежната сила ще бъде равна на нула. Ако тялото се движи с положително линейно ускорение, тогава то ще настигне полукръга и ще действа центробежната сила. Да намерим линейното ускорение w на тялото, при което действа центробежната сила, тоест притиска полуокръжността. За да направите това, времето, прекарано от тялото по тангенциален път до пресечната точка с пунктирана линия, успоредна на диаметъра и прекарана през точка В (фиг. 2.2), трябва да бъде по-малко или равно на времето, което полукръгът ще прекара в посоката, перпендикулярна на диаметъра. Нека началните скорости на тялото и полуокръжността са равни на нула и изминалото време е еднакво, тогава пътят S AC, изминат от тялото

S AC = w t 2 /2, (2.3)

и пътят, изминат от полуокръжността S AB ще бъде

S AB \u003d w P t 2 / 2. (2.4)

Разделяме уравнение (2.3) на (2.4) и получаваме

S AC / S AB \u003d w / w P.

Тогава ускорението на тялото w, като се вземе предвид очевидната връзка S AC / S AB = 1/ cosΨ

w = w П /cosΨ, (2.5)

където 0 £ Ψ £ π/2.

По този начин проекцията на ускорението на тяло в кръгов елемент в дадена посока (фиг. 2.2) трябва винаги да бъде по-голяма или равна на ускорението на системата в същата посока, за да се поддържа центробежната сила в действие. Тоест центробежната сила действа като транслационна движеща сила само при наличие на положително ускорение, което променя стойността на линейната скорост на тялото в системата

По същия начин се получава отношението за втората четвърт на полукръга (фиг. 2.3).

Ориз. 2.3.

Само пътят, изминат от тялото по допирателната, ще започне от точка на полуокръжността, движеща се с ускорение, докато се пресече с пунктирана линия, успоредна на диаметъра и минаваща през точка А от началната позиция на полуокръжността. Ъгълът в този случай се определя от интервала π/2 ³ Ψ ³ 0.

За система, в която тялото се движи равномерно или със забавяне в кръг, центробежната сила няма да предизвика постъпателно ускорено движение на системата, тъй като линейното ускорение на тялото ще бъде нула или тялото ще изостава от ускореното движение на системата.

Ако тялото се върти с ъглова скорост ω и едновременно с това се приближава със скорост до центъра на кръга v, тогава има сила на Кориолис

Е k = 2m [ v ω]. (2.6)

Типичен елемент от траекторията е показан на фигура 2.4.

Ориз. 2.4.

Всички формули (2.3), (2.4), (2.5) и изводи за поддържане на центробежната сила на циркулиращата среда в действие ще бъдат верни и за силата на Кориолис, тъй като по време на ускореното движение на системата тялото, движещо се с положителна линейна ускорението ще се справи с ускорението на системата и съответно ще се движи по крива, а не по допирателна права линия, когато няма сила на Кориолис. Кривата трябва да бъде разделена на две половини. В първата половина на кривата (фиг. 4) ъгълът се променя от началната точка към долната в интервала -π/2 £ Ψ £ π/2, а във втората половина от долната точка към центъра на окръжността π/2 ³ Ψ ³ 0. По същия начин, за въртене на тялото и едновременното му отстраняване (фиг. 2.5) от центъра, силата на Кориолис действа като транслационна сила с положително ускорение на линейната скорост на тялото .

Ориз. 2.5.

Интервалът от ъгли в първата половина от центъра на окръжността до долната точка 0 £ Ψ £ π/2, а във втората половина от долната точка до крайната точка π/2 ³ Ψ ³ -π/2.

Помислете за транслационната сила на инерцията Е n (фиг. 2.6), което се определя по формулата

Е n = -m w,(2.7)

където wе ускорението на тялото.

Ориз. 2.6.

При положително ускорение на тялото то действа срещу движението, а при отрицателно ускорение (децелерация) действа по посока на движението на тялото. Когато елемент на ускорение или забавяне (фиг. 2.6) действа върху системата, с която са свързани елементите, ускорението на тялото на елемента по абсолютна стойност, очевидно, трябва да бъде по-голямо от модула на ускорението на системата, причинено от транслационния силата на инерцията на тялото. Тоест транслационната сила на инерцията действа като движеща сила при наличие на положително или отрицателно ускорение.

Фазова сила на инерцията Е f (силата на инерцията, причинена от неравномерно въртене) се определя по формулата

Е f = -m [(d ω /dt) Р]. (2.8)

Нека радиусът Рперпендикулярно на вектора на ъгловата скорост ω , то формула (2.8) в скаларна форма приема формата

F f \u003d -m (dω / dt) R. (2,9)

При положително ъглово ускорение на тялото (фиг. 1.7) то действа срещу движението, а при отрицателно ъглово ускорение (децелерация) действа по посока на движението на тялото.

Ориз. 2.7.

Използвайки добре познатата връзка ω = v /R, където v е линейната скорост на тялото, перпендикулярна на радиуса R, записваме формулата (2.9) в следния вид

F f \u003d -m (dv / dt). (2.10)

Тъй като dv/dt = w, където w е линейното ускорение на тялото, уравнението (2.10) приема формата

F f = -m w (2.11)

Така формула (2.11) е подобна на формула (2.7) за транслационната инерционна сила, само ускорението w трябва да се разложи на успоредни α II и перпендикулярни α ┴ компоненти (фиг. 2.8) по отношение на диаметъра на елемента на полукръга.

Ориз. 2.8.

Очевидно перпендикулярният компонент на ускорението w ┴ създава въртящ момент, тъй като в горната част на полукръга той е насочен наляво, а в долната част надясно. Паралелният компонент на ускорението w II създава транслационна инерционна сила F f II , тъй като е насочена в горната и долната част на полукръга в една посока, съвпадаща с посоката w II .

F fII \u003d -m w II. (2.12)

Използвайки връзката w II = w cosΨ, получаваме

F ФII = -m w cosΨ, (2.13)

където ъгълът Ψ е в интервала -π/2 £ Ψ £ π/2.

Така се получава формула (2.13) за изчисляване на елемента на фазовата инерционна сила за транслационно движение. Тоест фазовата сила на инерцията действа като движеща сила при наличие на положително или отрицателно линейно ускорение.

Така се разграничават четири елемента на транслационната инерционна сила: центробежна, Кориолисова, транслационна, фазова. Чрез свързване на отделни елементи по определен начин е възможно да се създадат системи от транслационна инерционна движеща сила.

Помислете за силата на променлива маса, определена от формулата

Е pm = - (dm/dt)(d r/dt). (2.14)

Тъй като скоростта на отделяне (закрепване) на частиците спрямо системата от тела е равна на

u=d r/dt, (2.15)

тогава уравнение (2.14) може да бъде написано като

Еследобед = - u(dm/dt). (2.16)

В уравнение (2.16) силата на променливата маса е стойността на силата, произведена от разделящата частица по време на промяната на нейната скорост от нула до uили стойността, произведена от приближаващата се частица по време на промяната на нейната скорост от uдо нула. По този начин силата на променливата маса действа в момента на ускоряване или забавяне на частиците, т.е. тя е транслационна инерционна сила, но изчислена по други параметри. С оглед на горното става необходимо да се изясни извеждането на формулата на Циолковски. Пренаписваме уравнение (1.12) в скаларна форма и задаваме ∑ Е= 0, тогава

m(d 2 r/dt 2) = - (dm/dt)(dr/dt). (2.17)

Тъй като ускорението на системата

d 2 r / dt 2 \u003d dv / dt,

където v е скоростта на системата, тогава уравнение (2.17), като се вземе предвид уравнение (2.15), ще бъде

m(dv/dt) = - (dm/dt)u. (2.18)

Умножавайки уравнение (2.17) по dt получаваме

mdv = -udm, (2.19)

тоест, знаейки максималната скорост u = u O на разделяне на частиците, която считаме за постоянна, е възможно да се определи крайната скорост на системата v чрез съотношението на първоначалната m O и крайната маса m

v = -u O ∫ dm /m = u O ln(m O /m). (2.20)

m O / m \u003d e v / uo. (2,21)

Уравнение (2.21) е уравнението на Циолковски.

§3. Контурът на циркулиращата среда на центробежната сила на инерцията.

Помислете за циркулацията на среда по протежение на тор (фиг. 3.1) със среден радиус R, движещ се с ъглова скорост ω спрямо центъра O . Модулът на центробежната сила, действащ върху точков елемент от потока с маса ∆m, ще бъде равен на

∆ F= ∆m ω 2 R.

Във всяка секция на пръстена за идентични елементи центробежната сила ще бъде еднаква по големина и насочена по радиуса от центъра, разтягайки пръстена. Центробежната сила не зависи от посоката на въртене.

Ориз. 3.1.

Сега нека изчислим общата центробежна сила, действаща перпендикулярно на диаметъра на горния полукръг (фиг. 3.2). Очевидно в посока от средата на диаметъра перпендикулярната проекция на силата ще бъде максимална, като постепенно ще намалява към краищата на полукръга, поради симетрията на кривата спрямо средната линия. В допълнение, резултатът от проекциите на центробежните сили, действащи успоредно на диаметъра, ще бъде равен на нула, тъй като те са равни и противоположно насочени.

Ориз. 3.2.

Записваме елементарната функция на центробежната сила, действаща върху точкова отсечка с маса ∆ м и дължина ∆ ℓ:

∆ F= ∆ m ω 2 R. (3.1)

Масата на точков елемент е равна на плътността на потока, умножена по неговия обем

∆ m=ρ ∆ т. (3.2)

Дължина на половин тор по средната линия

където π е числото pi.

Обем на половин тор

V = π 2 Rr 2 = πR π r 2 = l π r 2,

където r е радиусът на торовата тръба.

За елементарен обем пишем

∆ V = ∆ ℓ r 2 .

Известно е, че за кръг

∆ ℓ=R ∆ Ψ,

∆ V = π r 2 R ∆ Ψ. (3.3)

Замествайки израз (3.3) в (3.2), получаваме:

∆ m=ρ π r 2 R ∆ Ψ. (3.4)

Сега заместваме (3.4) в (3.1), тогава

∆ F= ρ π r 2 ω 2 R 2 ∆ Ψ.

Центробежна сила, действаща в перпендикулярна посока (фиг. 2)

∆ F┴ = ∆ Fcos((π/2)-Ψ).

Известно е, че cos((π/2)- Ψ)=sin Ψ, тогава

∆ F┴ = ∆ F sin Ψ.

Заменете стойността за ∆ F получаваме

∆ F┴ = ρ π r 2 ω 2 R 2 sin Ψ ∆ Ψ.

Намерете общата центробежна сила, действаща в перпендикулярна посока в диапазона от 0 до Ψ

F ┴ = ∫ ρ π r 2 ω 2 R 2 sin ΨdΨ.

Интегрираме този израз, след което получаваме

F ┴ = - ρ π r 2 ω 2 R 2 cosΨ│. (3,5)

Да приемем, че ускорението w на циркулиращата среда е десет пъти по-голямо от ускорението на системата w c, т.е.

В този случай, съгласно формула (2.5), получаваме

Изчислете ъгъла на действие на инерционните сили в радиани

Ψ ≈ 0,467 π,

което съответства на ъгъл от 84 градуса.

По този начин ъгловият интервал на действие на инерционните сили е

0 £ Ψ £ 84° в лявата половина на контура и симетрично 96° £ Ψ £ 180° в дясната половина на контура. Тоест интервалът на отсъствие на активни инерционни сили в цялата верига е около 6,7% (в действителност ускорението на циркулиращата среда е много по-голямо от ускорението на системата, така че интервалът на отсъствие на активни инерционни сили ще бъде по-малко от 1% и може да се пренебрегне). За да се определи общата центробежна сила, в тези интервали от ъгли е достатъчно да се замени първият интервал във формула (3.5) и поради симетрия, умножете по 2, получаваме

F ┴ = - 2ρ π r 2 ω 2 R 2 cosΨ│. (3.6)

След прости изчисления получаваме

F ┴ \u003d 1,8 ρ π r 2 ω 2 R 2.

Известно е, че ъгловата скорост

F ┴ \u003d 1,8 ρ π r 2 v 2.

Тъй като циркулиращата среда трябва да се движи с ускорение, за да действа инерционната сила, следователно изразяваме линейната скорост по отношение на ускорението, като приемем, че началната скорост е нула

F ┴ \u003d 1,8 ρ π r 2 (w t) 2. (3,8)

Средната стойност за продължителността на положителното ускорение, която считаме за постоянна, ще бъде

F ┴CP \u003d ((1,8ρ π r 2 w 2) / t) ∫t 2 dt.

След изчисления получаваме

F ┴CP \u003d 0,6ρ π r 2 w 2 t 2. (3.9).

Така беше идентифициран контурът на циркулиращата среда, от който е възможно да се направи затворена верига и да се сумират центробежните им сили.

Нека съставим затворена верига от четири контура с различни сечения (фиг.3.3): два горни контура с радиус R. със сечение S и два долни контура с радиус R 1 със сечение S 1, пренебрегвайки ръбовите ефекти, когато циркулиращата среда преминава от една секция в друга. Нека да< S 1 и радиус

R1< R. Плотность циркулирующей среды одинакова. Тогда согласно уравнению неразрывности отношение скоростей потока в разных сечениях обратно пропорционально их сечениям, то есть

v/v 1 = S 1 /S = r 1 2 /r 2 , (3.10)

където r 1 и r са радиусите на потока на циркулиращата среда на съответната секция.

Освен това записваме очевидната връзка за скоростите и ускоренията

v/v 1 = w/w 1. (3.11)

Нека намерим ускорението на средата на долния контур, като използваме уравнения (3.10) и (3.11) за изчисления

w 1 = w r 2 / r 1 2 . (3.12)

Сега, съгласно уравнение (3.9), определяме центробежната сила за долната верига, като вземаме предвид уравнение (3.12) и след изчисления получаваме

F ┴СР1 = 0,6 ρ π r 1 2 w 1 2 = 0,6ρ π r 2 w 2 t 2 (r 2 / r 1 2) = F ┴СР (r 2 / r 1 2) (3.13)

При сравняване на израза за центробежната сила на горния контур (3.9) и долния контур (3.13) следва, че те се различават по стойност (r 2 / r 1 2).

Тоест за r< r 1 центробежная сила верхнего контура больше, чем нижнего.

Ориз. 3.3.

Резултатът от центробежните сили, действащи върху два контура в горната полуравнина (границата на горната и долната полуравнина е показана с тънка линия) е противоположно насочен към резултата от центробежните сили, действащи върху два контура в долната половина -самолет. Очевидно общата F C центробежна сила ще действа в посоката, както е показано на фигура 3.3, нека приемем тази посока за положителна. Изчислете общата F C центробежна сила

F C \u003d 2 F ┴SR - 2F ┴SR1 \u003d 1.2ρ π r 2 w 2 t 2 (1- (r 2 / r 1 2)) (3.14)

Както можете да видите, общата центробежна сила зависи от плътността на потока, сеченията на противоположните контури и ускорението на потока. Общата центробежна сила не зависи от радиуса на контурите. За система, в която циркулиращата среда се движи равномерно или със забавяне в кръг, центробежната сила няма да предизвика постъпателно ускорено движение на системата.

По този начин беше отделен основният контур на циркулиращата среда, възможността за използване на контурите на циркулиращата среда на различни сечения за сумиране на центробежната сила в определена посока и промяна на общия импулс на затворена система от тела под въздействието на бяха показани външни сили на инерция, причинени от вътрешни сили.

Нека r = 0,025m; r 1 \u003d 0,05 m; ρ \u003d 1000 kg / m 3; w \u003d 5m / s 2, t = 1s, тогава по време на положителното ускорение средната стойностобща центробежна сила F C.≈ 44N.

§ четири. Контурът на циркулиращата среда на инерционната сила на Кориолис.

Известно е, че инерционната сила на Кориолис възниква, когато тяло с маса m се върти около окръжност и едновременно с това се движи радиално и е перпендикулярно на ъгловата скорост ω и скорост на радиално движение v. Посока на силата на Кориолис Есъвпада с посоката на векторното произведение във формулата Е= 2m[ vw].

Ориз. 4.1.

Фигура 4.1 показва посоката на силата на Кориолис, когато тялото се върти в кръг обратно на часовниковата стрелка и го премества радиално към центъра на кръга през първия полуцикъл. и Фиг.4.2 показва посоката на силата на Кориолис, когато тялото се върти около окръжността също обратно на часовниковата стрелка и го премества радиално от центъра на окръжността във втория полуцикъл.

Ориз. 4.2.

Нека комбинираме лявата част от движението на тялото на фиг.4.1 и дясната част на фиг.4.2. тогава получаваме на фиг. 4.3 вариант на траекторията на движение на тялото за периода.

Ориз. 4.3.

Помислете за движението на циркулираща среда (течност) през тръби, извити според траекторията. Силите на Кориолис на лявата и дясната крива действат в сектор от 180 градуса в радиална посока, когато се движат от точка B към точка O съответно наляво и надясно спрямо оста X. Компонентите на силата на Кориолис на лява и дясна крива F| | AC, успоредни на правата, се компенсират взаимно, тъй като те са еднакви, противоположно насочени и симетрични спрямо оста X. Симетричните компоненти на силата на Кориолис на лявата и дясната F^ криви, перпендикулярни на правата AC, се сумират, тъй като те са насочени в една посока.

Нека изчислим стойността на силата на Кориолис, действаща по оста X в лявата половина на траекторията. Тъй като съставянето на уравнението на траекторията е трудна задача, ние търсим решение за намиране на силата на Кориолис с помощта на приблизителен метод. Нека v е постоянната скорост на течността по цялата траектория. Радиалната скорост v p и линейната скорост на въртене v l, съгласно теоремата за успоредника на скоростите, изразяваме (фиг. 3) чрез скоростта v и ъгъла α

v p \u003d v cosα, v l \u003d v sinα.

Траекторията на движение (фиг. 4.3) се изгражда, като се вземе предвид фактът, че в точка B радиалната скорост v p е равна на нула, а линейната скорост v l е равна на v. В центъра на окръжността O, с радиус Ro, радиалната скорост v p е равна на v, а линейната скорост v l е равна на нула, а тангентата на траекторията в центъра на окръжността е перпендикулярна на тангентата на траектория в началото (точка B). Радиусът намалява монотонно от Ro до нула. Ъгълът α се променя от 90° в точка B до 0° в центъра на окръжността. След това от графични конструкции избираме дължината на траекторията 1/4 от обиколката на окръжността с радиус R 0 . Сега можете да изчислите масата на течност, като използвате формулата за обема на тор. Тоест масата на циркулиращата среда ще бъде равна на 1/4 от масата на тора със среден радиус R 0 и вътрешен радиус на тръбата r

m = ρπ 2 r 2 R 0 /2, (4.1)

където ρ е плътността на течността.

Модулът на проекцията на силата на Кориолис във всяка точка от траекторията върху оста X се намира по формулата

F^ = 2m v р ср ω ср cos b , (4.2)

където v p cf е средната стойност на радиалната скорост; ω cf е средната стойност на ъгловата скорост; b е ъгълът между силата на Кориолис F и оста X (-90° £ b £ 90° ).

За технически изчисления е възможно да не се взема предвид интервалът на отсъствие на действието на инерционните сили, тъй като ускорението на циркулиращата среда е много по-голямо от ускорението на системата. Тоест избираме ъгловия интервал между Кориолисовата сила F и оста X (-90° £ b £ 90°). Ъгълът α се променя от 90° в точка B до 0° в центъра на окръжността, след което средната стойност на радиалната скорост

v p cf = 1 / (0 - π/2) ∫ v cos α dα = 2 v / π. (4.3)

Средната стойност на ъгловата скорост ще бъде равна на

ω cf = (1/ ((v π /2Rо) - v Rо))) ∫ ω dω = (v /2Rо) ((π /2.) +1). (4.4)

Долната граница на ъгловата скорост на интеграла във формула (4.4) се определя в началната точка B. Тя очевидно е равна на v / Rо. Горната стойност на интеграла се определя като граница на отношението

lim (v l /R) = lim (v sinα /R), (4.5)

v l ® 0 α ® 0

R ® 0 R ® 0

където R е текущият радиус.

Нека използваме добре познатия метод [7, p.410] за намиране на граници за функции на няколко променливи: функцията vsinα /R в точката (R= 0, α = 0) на всяка права R = kα, минаваща през началото има ограничение. В този случай ограничението не съществува, но има ограничение за определен ред. Нека намерим коефициента k в уравнението на права линия, минаваща през началото.

При α = 0 ® R= 0, при α = π /2 ® R= Rо (фиг. 3), следователно k = 2Rо/π , тогава формула (5) се трансформира до вид, който включва първата забележителна граница

ℓim (v π sinα /2Rо α) = (v π/2Rо) ℓim sinα/α = v π/2Rо. (4.6)

α ® 0 α ® 0

Сега заместваме стойността, получена от формули (4.1), (4.3) и (4.4) в (4.2) и получаваме

F^ = ρ π r 2 v 2 ((π /2.) +1) cos b .

Нека намерим сумата от проекциите на силата на Кориолис в интервала (-90° £ b £ 90° ) за лявата крива.

90°

F^ = ρ π r 2 v 2 ((π /2.) +1) ∫ cos b db = 2 ρ π r 2 v 2 ((π /2.) +1).

90°

И накрая, сумата от проекциите на силата на Кориолис за лявата и дясната крива

∑F^ = 4ρ r 2 v 2 ((π /2.) +1). (4,7)

Съгласно връзка (3.7), пренаписваме уравнение (4.7) във формата

∑F^ = 4ρ r 2 (w t) 2 ((π /2.) +1). (4,8)

Нека изчислим средната стойност на силата на Кориолис във времето, като приемем, че ускорението е постоянно

Fc = ∑F^ cp = 4ρ r 2 w 2 ((π /2.) +1) / t) ∫t 2 dt.

След изчисления получаваме

Fc ≈ 1,3ρ r 2 w 2 ((π /2.) +1)t 2 . (4,9)

Нека r = 0,02m; w \u003d 5m / s 2; ρ \u003d 1000 kg / m 3; t = 1c, тогава общата средна инерционна сила на Кориолис по време на действието на положителното ускорение на циркулиращата среда ще бъде Fk ≈ 33N.

В центъра на окръжността в траекторията има инфлексия (фиг. 4.3), която може да се тълкува за опростяване на изчисленията като полукръг с малък радиус. За по-голяма яснота разделяме траекторията на две половини и вмъкваме полукръг в долната част и права линия в горната част, както е показано на фиг. 4.4, и насочваме циркулиращата среда по тръба с радиус r, извита в формата на траекторията.

Ориз. 4.4.

Във формула (3.5) задаваме ъгъла Ψ = 180°, след това общата центробежна сила Fc, действаща в перпендикулярна посока за веригата на циркулиращата среда

Fc = 2 ρπ r 2 v 2 . (4.10)

По този начин центробежната сила не зависи от радиуса R, а зависи само от ъгъла на интегриране (виж формула (3.5)) при постоянна плътност на потока ρ, радиус r и скорост на циркулиращата среда v ​​във всяка точка на траекторията. Тъй като радиусът R може да бъде всякакъв, може да се заключи, че за всяка изпъкнала крива с ръбове, перпендикулярни на правата AOB (фиг. 3.2), центробежната сила ще се определя от израза (4.10). Следва да се отбележи, като следствие, че всеки ръб на изпъкнала крива може да бъде перпендикулярен на собствената си линия, които са успоредни и не лежат на една и съща линия.

Сумата от проекциите на центробежните сили (фиг. 4), действащи срещу посоката на оста X, възникващи в полукръг и две половини на изпъкнала крива (правата линия не допринася за центробежната сила) над начупена линия и проекциите, действащи по оста X, възникващи в две изпъкнали криви под прекъснати линии, се компенсират, тъй като са еднакви и насочени в противоположни посоки. По този начин. центробежната сила не допринася за постъпателното движение.

§5. Твърдотелни ротационни системи. Центробежни инерционни сили.

1. Векторът на собствената ъглова скорост на прътите е перпендикулярен на вектора на ъгловата скорост на центъра на масата на пръта и радиуса на общата ос на въртене на прътите.

Енергията на постъпателното движение може да се преобразува в енергия на въртеливото движение и обратно. Помислете за двойка противоположни пръти с дължина ℓ с точкови тежести с еднаква маса в краищата, равномерно въртящи се около собствения си център на масата и около общ център O с радиус R с ъглова скорост ω (Фиг. 5.1): половин оборот на пръта при един оборот около обща ос. Нека R³ℓ/2. За пълно описание на процеса е достатъчно да се разгледа въртенето в диапазона от ъгли 0£ α £ π/2. Подреждаме силите, действащи успоредно на оста X, минаваща през общия център O и позицията на прътите под ъгълα = 45 градуса, в равнината на оста X и общата ос на въртене, както е показано на фигура 5.1.

Ориз. 5.1.

Ъгълът α е свързан с честотата ω и времето t чрез

α = ωt/2, (5.1.1)

тъй като полузавъртане на пръта става при едно завъртане около обща ос. Ясно е, че центробежната силаинерция ще има повече далечни товари от центъра, отколкото близките. Проекции на центробежни силиинерцията по оста X ще бъде

Fц1 = mω 2 (R - (l/2) cos α) sin 2α (5.1.2)

Fц2 = mω 2 (R + (l/2) cos α) sin 2α (5.1.3)

Fц3 = - mω 2 (R + (l/2) sin α) sin 2α (5.1.4)

Fц4 = - mω 2 (R - (l/2) sin α) sin 2α (5.1.5)

Записваме разликата центробежна силаинерция действащи върху отдалечени товари. Разлика центробежна силаинерция при втория товар

Fц2-1 = mω 2 ℓ cosα sin2α. (5.1.6)

Разлика центробежна силаинерция при третото натоварване

Fц3-4 = - mω 2 ℓ sinα sin2α. (5.1.7)

Средна стойност на диференциалните центробежни силиинерция за половин оборот

Fav c2-1 = (1/(π/2))∫mω 2 l cosα sin2αdα = 4mω 2 l/3 π » 0.4mω 2 l, (5.1.8)

Fav c3-4 = (1/(π/2))∫mω 2 l sinα sin2αdα = -4mω 2 l/3 π "-0,4mω 2 l. (5.1.9)

Получават се две противоположни и равни по абсолютна стойност центробежни силиинерция, която е външна. Следователно те могат да бъдат представени като две идентични безкрайно отдалечени тела (невключени в системата), едновременно взаимодействащи със системата: вторият товар дърпа системата към първото тяло, а третият товар отблъсква системата от второто тяло.

Средната стойност на силата на принудително действие върху системата на половин оборот по оста X е равна на сумата от силите на издърпване Fav c2-1 и отблъскване Fav c3-4 от външни тела

Fp = | Fcp c2-1 | + | Любим ts3-4 | = 0,8 mω 2 l. (5.1.10)

За да се елиминира въртящият момент на системата от два пръта във вертикалната равнина (фиг. 5.2), е необходимо да се приложи друга двойка противоположни пръти, въртящи се синхронно в същата равнина в обратна посока.

Ориз. 5.2.

За да елиминираме въртящия момент на системата по обща ос с център O, използваме същата двойка от четири пръта, но въртящи се в обратна посока спрямо общата ос (фиг. 5.3).

Ориз. 5.3.

И накрая, за система от четири чифта въртящи се пръти (фиг. 5.3), теглителната сила ще бъде

Ft \u003d 4Fp \u003d 3,2mω 2 l. (5.1.11)

Нека m = 0,1 kg; ω =2 πf, където f = 10r/s; ℓ = 0,5 m, тогава Ft ≈ 632N.

2. Векторът на собствената ъглова скорост на прътите е перпендикулярен на вектора на ъгловата скорост на центъра на масата на пръта и е успореден на радиуса на общата ос на въртене на прътите.

Да разгледаме двойка пръти с дължина ℓ срещуположно перпендикулярни една на друга с точкови тежести с еднаква маса в краищата, равномерно въртящи се около собствения си център на масата и около общ център O с радиус R с ъглова скорост ω (фиг. 5.4): половин оборот на пръта при един оборот около обща ос.

Ориз. 5.4.

За изчислението избираме само m1 и m2, тъй като решението е подобно за m3 и m4. Нека определим ъгловите скорости на товарите спрямо общия център O. Модулите на проекциите на линейната скорост на товарите спрямо техния собствен център на масата, успореден на равнината на въртене спрямо общия център O, ще бъдат ( Фиг. 5.5)

v1 = v2 = (ωℓ/4) sin (Ψ/2), (5.2.1)

където Ψ = ωt.

Отделяме проекциите на тангентата на тези скорости, перпендикулярни на радиусите r1 и r2 съответноспрямо центъра O получаваме

v1R = v2R = (ωℓ/4) грях ( Ψ /2) cosb, (5.2.2)

cosb= R /r1 = R /r2 =R/Ö (R 2 +(l 2 /4) cos 2 (Ψ /2)), (5.2.3)

R е разстоянието от центъра O до центъра на масата на товара, r1, r2 са разстоянието от товара до центъра O и r1 = r2.

Ориз. 5.5.

Модулите на линейната скорост на товарите спрямо общия център O, без да се отчита тяхната линейна скорост спрямо техния собствен център на масата, ще бъдат

vR1 = ω r1, (5.2.4)

vR2 = ω r2. (5.2.5)

Нека намерим общата ъглова скорост на всеки товар спрямо общата ос на въртене, като се има предвид, че линейните скорости са противоположно насочени за първия товар и еднакви за втория, тогава

ω 1 = (vR1 - v1R)/r1 = ω [ 1– (ℓR sin (Ψ / 2)) / 4 (R 2 + (l 2 / 4) cos 2 (Ψ / 2)) ] , (5.2.6)

ω 2 = (vR2 + v2R)/r2 = ω [ 1+ (ℓR] . (5.2.7)

Съответно центробежните сили ще бъдат

F 1 = mω 1 2 r1

F 2 \u003d mω 2 2 r2

Или в детайли

F 1 \u003d mω 2 [ (1– (ℓR sin(Ψ/2))/4(R 2 +(l 2 /4)cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (R 2 + (l 2 / 4) cos 2 (Ψ/2)), (5.2.8)

F 2 \u003d mω 2 [ (1+ (ℓR sin(Ψ/2))/4(R 2 +(l 2 /4)cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (R 2 + (l 2 / 4) cos 2 (Ψ/2)). (5.2.9)

Разгледайте случая, когато ℓ=4R. В този случай приΨ=180° ъглова честота на първата тежест ω 1 = 0 и не променя посоката, вторият товар има ω 2 = 2ω (фиг.5.6).

Ориз. 5.6.

Нека да преминем към дефиницията на центробежните сили в посоката на оста X при ℓ= 4R

F 1 \u003d mω 2 R [ (1+ 4cos 2 (Ψ/2)–sin(Ψ/2))/(1+4cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (1 + 4cos 2 (Ψ/2)), (5.2.10)

F 2 \u003d mω 2 R [ (1+ 4cos 2 (Ψ/2)+ sin(Ψ/2))/(1+4cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (1 + 4cos 2 (Ψ/2)). (5.2.11)

Трябва да се отбележи, че с увеличаване на ъгълаΨ от 0 до 180 ° в точкаΨ = b= 60 ° проекция на центробежната сила F 2 променя знака от отрицателен на положителен.

Първо добавяме средните стойности на проекцията върху оста X на центробежната сила на първия товар и средната стойност на проекцията на втория в ъгловия интервал

0 £ Ψ £60° , като се вземат предвид знаците, тъй като те са противоположно насочени

F СР 1-2 = (1/(π /3))∫ (F 1 sin( b+Ψ) - F 2 sin( б-Ψ))dΨ ≈ 0,6mω 2 R, (5.2.12)

където b= arccos(1/ Ö (1 +4 cos 2 (Ψ /2))) се определя от формула (5.2.3).

Центробежна сила F СР 1-2 във формулата (5.2.12) е положителен, т.е. е насочен по оста X. Сега добавяме еднакво насочената средна стойност на проекцията върху оста X на центробежната сила на първия товар и средната стойност на проекцията на втория в ъгловия интервал 60° £ Ψ £180°

F СР 1+2 = (1/(π-(π/3)))∫(F 1 sin(Ψ + b)+ F 2 sin(Ψ- b))dΨ ≈ 1,8mω 2 R, (5.2.13)

Средна стойност в интервала 0° £ Ψ £180° очевидно ще бъде

F СР = (F СР 1-2 + 2F СР 1+2)/3 ≈ 1,4 mω 2 R. (5.2.14)

За m3 и m4 средната стойност на проекцията върху оста X на центробежната сила ще бъде същата, но действаща в обратна посока.

F T \u003d 4 F СР \u003d 5.6mω 2 R. (5.2.15)

Нека m = 0,1 kg; ω =2 πf, където f = 10r/s; ℓ= 4R, където R = 0,1m, тогава F T ≈ 220N.

3. Векторът на собствената ъглова скорост на прътите е успореден и еднакво насочен с вектора на ъгловата скорост на центъра на масата на пръта, въртящ се около обща ос.

Нека разгледаме двойка противоположни, разположени на водната равнина, пръчки с дължина ℓ с точкови тежести с еднаква маса в краищата, равномерно въртящи се около собствения си център на масата и около общ център O с радиус R с ъглова скорост ω (фиг. 5.7): половин оборот на пръта при един оборот около обща ос.

Ориз. 5.7.

Подобно на предишния случай, избираме само m1 и m2 за изчисление, тъй като решението за m3 и m4 е подобно. Ще направим приблизителна оценка на действащите инерционни сили при ℓ = 2R, като използваме средните стойности на ъгловата скорост спрямо центъра O, както и средните стойности на разстоянието от товарите до центъра O , Очевидно ъгловата скорост на първия товар в началото ще бъде 1,5ω на втория товар 0,5ω и през половин оборот за двата ω. Разстоянието от първата тежест до центъра O в началото на 2R от втората тежест е 0, а след половин оборот от всяко RÖ 2.

Ориз. 5.8.

И в интервала 0° £ Ψ £36° (фиг. 5.8) центробежните сили се сумират по посока на оста X, в интервала 36° £ Ψ £72° (фиг. 5.8, фиг. 5.9) силата на второто тяло се изважда от силата на първото тяло и тяхната разлика действа по оста X, в интервала 72° £ Ψ £90° (фиг. 5.9) силите се сумират и действат противоположно на оста X.

Ориз. 5.9.

Нека определим средните стойности на ъгловата скорост и радиусите на товарите на половин оборот.

Средна ъглова скорост на първия товар

ω СР 1 = (ω + 0,5ω + ω)/2 = 1,25ω. (5.3.1)

Средна ъглова скорост на втория товар

ω СР 2 = (ω - 0,5ω + ω)/2 = 0,75ω. (5.3.2)

Среден радиус на първия товар

R SR 1 = (2R + R Ö 2)/2 = R(2 + Ö 2)/2.(5.3.3)

Среден радиус на втория товар

R СР 2 =(0 + R Ö 2)/2 = (RÖ 2)/2.(5.3.4)

Проекцията на центробежната сила, действаща върху първата тежест по посока на оста X, ще бъде

F 1 = mω 2 СР 1 R СР 1 cos(Ψ /2)sin2Ψ » 2,67mω 2 R cos(Ψ /2)sin2Ψ. (5.3.5)

Проекцията на центробежната сила, действаща върху втората тежест по посока на оста X, ще бъде

F 2 = mω 2 СР 2 R СР 2 sin(Ψ /2)sin2Ψ » 0,4mω 2 R sin(Ψ /2)sin2Ψ. (5.3.6)

° £ Ψ £36° ще бъде

0.2p

F СР 1 + 2 = (1/0,2 π) ∫ (F 1 + F 2)dΨ » 1,47mω 2 R. (5.3.7)

Средната стойност на разликата между проекциите на центробежните сили на първия и втория товар в интервала 36° £ Ψ £72° ще бъде

0,4p

F СР 1 - 2 = (1/0,2 π) ∫ (F 1 - F 2) dΨ » 1,95mω 2 R. (5.3.8)

0.2p

Средната стойност на сумата от проекциите на центробежните сили на първия и втория товар в интервала 72° £ Ψ £90° ще бъде

0,5p

F СР- (1 + 2) \u003d - (1 / 0.1 π) ∫ (F 1 + F 2)dΨ "-3.72mω 2 R. (5.3.9)

0,4p

Средната стойност на сумата от проекциите на центробежните сили на първия и втория товар в интервала 0° £ Ψ £90° ще бъде

F СР = (2F СР 1 + 2 + 2F СР 1 – 2 + F СР- (1 + 2))/5 » 0,62mω 2 R. (5.3.10)

По същия начин се изчислява сумата от проекциите на центробежните сили за третия и четвъртия товар.

За да се елиминира въртящият момент, е необходимо да се приложи друга двойка пръти, но въртящи се в обратна посока спрямо собствения им център на масата и спрямо общата ос на въртене, тогава крайната сила на натиск ще бъде

F T \u003d 4F СР \u003d 2.48mω 2 R. (5.3.11)

Нека m = 0,1 kg; ω =2 πf, където f = 10r/s; R = 0,25m, тогава F T ≈ 245N.

§6. Фазова сила на инерцията.

За прилагане на фазовата инерционна сила, ние използваме шарнирна четиризвенна връзка с две манивели като транслационна сила за преобразуване на равномерното въртене на двигателя в неравномерно въртене на товарите според определен режим с оптимизиране на естеството на движение на стоки за ефективното използване на инерционните сили и чрез подходящ избор на относителната позиция на товарите, компенсиране на обратния импулс

Шарнирната връзка с четири пръта ще бъде двуколовилна, ако централното разстояние на AG (фиг.6.1) ще бъде по-малка от дължината на която и да е подвижна връзка, а сумата от разстоянието от център до център и дължината на най-голямата от подвижните връзки ще бъде по-малка от сумата от дължините на другите две връзки.

Ориз. 6.1.

Връзка VG (лост), върху която е фиксиран товар с маса m, е задвижвана манивела на неподвижен вал G, а връзка AB е водеща. Link A е валът на двигателя. Връзката BV е мотовилка. Съотношението на дължините на свързващия прът и задвижващата манивела е избрано така, че когато натоварването достигне крайната точка D, да има прав ъгъл между свързващия прът и задвижващата манивела, което осигурява максимална ефективност. След това, при равномерно въртене на вала на двигателя A с задвижващата манивела AB с ъглова скорост w, мотовилката BV предава движението на задвижваната манивела VG, като го забавя. Така товарът се забавя от точка E до точка D по горния полукръг. В този случай силата на инерцията действа в посоката на движение на товара. Помислете за движението на товара в противоположния полукръг (фиг. 6.2), където свързващият прът, изправяйки се, ускорява товара.

Ориз. 6.2.

В този случай инерционната сила действа срещу посоката на движение на товара, съвпадаща с посоката на инерционната сила в първия полукръг. Интегрираната схема на задвижване е показана на фигура 6.3.

Ориз. 6.3.

Задвижващите колянове AB и A¢ B¢ са здраво свързани по права линия на вала на двигателя, а задвижваните колянове (лостове) независимо се въртят на неподвижен вал. Добавят се надлъжните компоненти на инерционните сили в посока от точка E към точка D на горния и долния товар, осигуряващи транслационно движение. Няма обратен импулс, тъй като тежестите се въртят в една и съща посока и средно са симетрично противоположни.

Нека оценим действащата фазова сила на инерцията.

Нека AB = BV = r, GV = R.

Да предположим, че в крайна дясна позиция ъгълът Ψ между радиуса R и средната линия DE е 0° (фиг.6.4) и

r + r - AG = R, (6.1)

а също и в крайно ляво положение при Ψ =180° (фиг.6.5) ъгълът

Ð ABV = 90° . (6.2)

След това, въз основа на тези условия, е лесно да се определи, че предположенията са изпълнени за следните стойности

r = 2R/(2+r 2), (6.3)

AG = (3 - 2Ö 2)R. (6.4)

Сега нека определим ъгловите скорости в крайната дясна и лява позиция. Очевидно в правилната позиция ъгловите скорости на AG и GV съвпадат и са равни на w .

Ориз. 6.4.

В ляво положение ъгловата скорост w на GW очевидно ще бъде равна на

w HW = (180° /225° )w . (6,5)

Увеличението на ъгловата скорост ∆w за времето ∆t = 225° /w = 5π/4w ще бъде

∆w = w GW - w = - 0,2w . (6.6)

Тогава нека ъгловото ускорение е еднакво бавно

dω / dt \u003d ∆w / ∆t \u003d - 0,16w 2 / π. (6,7)

Нека използваме формулата на фазовата инерционна сила (2.8) в скаларна форма

F f \u003d -m [(dω / dt) R] \u003d 0,16mw 2 R / π. (6,8)

Ориз. 6.5.

Проекцията на фазовата сила на инерцията по посока на ED ще бъде

F FED \u003d 0,16 mw 2 RsinΨ / π. (6,9)

Средната стойност на проекцията на фазовата сила на инерцията за половин цикъл

F СР = 0,16mω 2 R/ π 2) ∫ sinΨdΨ = 0,32mω 2 R/ π 2 . (6.10)

При две натоварвания (фиг. 6.3) силата се удвоява. За да се премахне въртящият момент, е необходимо да се приложи друга двойка тежести, но въртящи се в обратна посока. И накрая, теглителната сила за четири товара ще бъде

F T \u003d 4F СР \u003d 1,28mω 2 R / π 2. (6.11)

Нека m = 0,1 kg; ω =2 πf, където f = 10r/s; R = 0,5 m, тогава F T = 25,6 N.

§7. Жироскоп. Кориолис и центробежна инерционна сила.

Помислете за осцилаторно движение на товар с маса m по протежение на полукръг (фиг. 7.1) с радиус R с линейна скорост v. Центробежната инерционна сила Fc, действаща върху товар с маса m, ще бъде равна на m v 2 / R, насочена по радиуса от центъра O. Проекцията на центробежната сила върху оста X ще бъде равна на

F c׀׀ \u003d (m v 2 / R) sin α. (7.1)

Товарът трябва да се движи с ускорение w около обиколката, така че центробежната сила да е ефективна за транслационното движение на системата, и тъй като v = wt, тогава

F c׀׀ = (m w 2 t 2 /R) sin α, (7.2)

където t е времето.

Ориз. 7.1.

Поради инерцията на товара в краищата на полукръга се появява обратен импулс, който предотвратява движението на системата напред по посока на оста X.

Известно е, че под въздействието на сила, която променя посоката на оста на жироскопа, той прецезира под въздействието на силата на Кориолис и това движение е безинерционно. Тоест, при мигновено прилагане на сила, която променя посоката на оста на въртене, жироскопът моментално започва да прецесира и също толкова моментално спира, когато тази сила изчезне. Вместо товар използваме жироскоп, въртящ се с ъглова скорост ω. Сега прилагаме сила F перпендикулярно на оста на въртене на жироскопа (фиг. 7.2) и действаме върху оста, така че държачът с жироскопа да извършва инерционно колебателно движение (прецесии) в определен сектор (в оптималния случай с крайната стойност на α = 180 °). Моменталното спиране на прецесията на държача с жироскопа и възобновяването му в обратна посока става, когато посоката на силата F се промени на противоположната. По този начин има осцилаторно безинерционно движение на държача с жироскопа, което елиминира обратния импулс, който предотвратява транслационното движение по оста X.

Ориз. 7.2.

Ъглова скорост на прецесия

dα /dt = M / I Z ω, (7.3)

където: M - момент на сила; I Z е инерционният момент на жироскопа; ω е ъгловата скорост на жироскопа.

Момент на сила (приемайки, че ℓ е перпендикулярна на F)

M = ℓ F, (7.4)

където: ℓ е разстоянието от точката на прилагане на силата F до центъра на инерцията на жироскопа; F е силата, приложена към оста на жироскопа.

Замествайки (7.4) в (7.3), получаваме

dα /dt = ℓ F / I Z ω, (7.5)

От дясната страна на формула (7.5) компонентите ℓ , I Z , ω се считат за постоянни, а силата F, в зависимост от времето t, нека се променя според частично линеен закон (фиг. 7.3).

Ориз. 7.3.

Известно е, че линейната скорост е свързана с ъгловата скорост чрез следната връзка

v = R (dα /dt). (7,6)

Диференцирайки формулата (7.6) по отношение на времето, получаваме ускорението

w = R (d 2 α /dt 2). (7,7)

Заместваме формула (7.5) във формула (7.7) и получаваме

w = (R ℓ/I Zω ) (dF/dt). (7.8)

По този начин ускорението зависи от скоростта на промяна на силата F, което прави центробежната сила, действаща за постъпателното движение на системата.

Трябва да се отбележи, че при висока ъглова скорост ω и dα /dt<< ω , возникающий гироскопический момент уравновешивает момент силы F, поэтому движения в направлении воздействия этой силы не происходит .

За да компенсираме перпендикулярната проекция на центробежната сила Fц ┴, използваме втория същия жироскоп, който осцилира синхронно в противофаза с първия жироскоп (фиг. 7.4). Проекцията на центробежната сила Fc ┴ на втория жироскоп ще бъде насочена противоположно на проекцията на първия. Очевидно е, че перпендикулярните компоненти Fц ┴ ще бъдат компенсирани, а паралелните Fц׀׀ ще се сумират.

Ориз. 7.4.

Ако секторът на трептене на жироскопите е не повече от полукръг, тогава противоположната центробежна сила няма да възникне, намалявайки центробежната сила по посока на оста X.

За да се елиминира въртящият момент на устройството, който възниква поради принудителното въртене на оста на жироскопите, е необходимо да се инсталира друга двойка същите жироскопи, чиито оси се въртят в обратна посока. Секторите на осцилаторно движение на държачи с жироскопи в двойка, чиито оси на жироскопа се въртят в една посока, трябва да бъдат симетрично насочени в една посока със сектори на държачи с жироскопи, чиито оси на жироскопа се въртят в обратна посока (фиг. 7.5). ).

Ориз. 7.5.

Нека изчислим средната стойност на проекцията на центробежната сила Fц׀׀ за един жироскоп (фиг. 7.2) върху държача, осцилиращ в сектора на полукръга от 0 до π и означим тази стойност с Fп

Fп = (1/ π) ∫ (m w 2 t 2 / R) sin α dα = 2m w 2 t 2 / Rπ. (7,9)

За четири жироскопа на държачи средната стойност на транслационната сила Fp за всеки полуцикъл ще бъде:

Fп = 8m w 2 t 2 / Rπ. (7.10)

Нека масата на държача е много по-малка от масата на жироскопа и масата на жироскопа m = 1 kg. Ускорение w = 5 m/s 2, а ускорението на жироскопа е с порядък по-голямо от ускорението на системата, тогава можем да пренебрегнем малкия интервал на отсъствие на центробежната сила в центъра. Време за ускорение t = 1s. Радиус (дължина) на държача R = 0,5 m. Тогава, съгласно формула (7.10), транслационната сила ще бъде Fп = 8∙ 1∙ 5 2 ∙1 2 /0,5 π ≈ 127N.

Литература

1. Vygodsky M. Ya. Наръчник по висша математика, 14-то изд., - M .: LLC "Big Bear", APP "Dzhangar", 2001, 864s.

2. Сивухин ДВ Общ курс по физика. Т.1. Механика. 5-то издание, стерео. - М .: FIZMATLIT., 2010, 560s.

3. Шипов Г.И. Теория на физическия вакуум. Теоретични експерименти и технологии. 2-ро изд., - М.: Наука, 1996, 456s.

4.Олховски И.И. Курс по теоретична механика за физици: Учебник. 4-то изд., ст. - Санкт Петербург: Издателство "Лан", 2009, 576s.

5. Ръководство по физика за инженери и студенти / Б. М. Яворски, А. А. Детлаф, А. К. Лебедев. - 8-мо изд., преработено. и правилно. - М .: Издателска къща Оникс LLC, Издателство Мир и образование, 2008, 1056s.

6. Khaikin S.E. Физически основи на механиката, 2-ро издание, коригирано. и допълнителни Урок. Основното издание на физико-математическата литература. М.: Наука, 1971, 752 с.

7. Зорич V.A. Математически анализ. Част 1. Изд. 2-ро, рев. и допълнителни М.: FAZIS, 1997, 554s.

8. Александров Н.В. и Яшкин А.Я. Курс по обща физика. Механика. Proc. помощ за задочници физ.-мат. фак. пед. по-другар. М., "Просвещение", 1978, 416s.

9. Героним Я. Л. Теоретична механика (есета за основните положения): Основното издание на физико-математическата литература на издателство "Наука", 1973 г., 512 с.

10. Курс по теоретична механика: учебник / А. А. Яблонски, В. М. Никифорова. - 15-то изд., изтрито. – М.: KNORUS, 2010, 608s.

11. Туришев M.V., За движението на затворени системи или при какви условия не се изпълнява законът за запазване на импулса, „Естествени и технически науки”, № 3 (29), 2007, ISSN 1684-2626.

12. Айзерман М.А. Класическа механика: Учебник. - 2-ро изд., преработено. – М.: Наука. Основно издание на физико-математическата литература, 1980, 368s.

13. Яворски В.М., Пински А.А. Основи на физиката: Учебник. В 2 т. Т.1. Механика, Молекулярна физика. Електродинамика / Изд. Ю.И.Дика. - 5-то изд., стерео. – М.: ФИЗМАТЛИТ. 2003. - 576s.

14. Kittel Ch., Knight V., Ruderman M. Механика: Учебник: Per. от английски / Ред. А. И. Шальникова и А. С. Ахматова. - 3-то издание, Рев. – М.: Наука. Основното издание на физико-математическата литература. 1983. - (Курс по физика в Бъркли, том 1). - 448s.

15. Толчин VN, Inertsoid, Силите на инерцията като източник на транслационно движение. пермски. Пермско книгоиздателство, 1977 г., 99-те.

16. Фролов А.В. Вихров двигател, Нова енергия, № 3 (18), 2004, ISSN 1684-7288.

17. Берников В.Р. Някои следствия от основния закон на механиката, „Списание за научни публикации на специализанти и докторанти”, № 5 (71), 2012, ISSN 1991-3087.

18. Берников В.Р. Инерционни сили и ускорение, Научна перспектива, брой 4, 2012, ISSN 2077-3153.

19. Берников В.Р. Сили на инерцията и тяхното приложение, "Списание за научни публикации на специализанти и докторанти", № 11 (65), 2011, ISSN 1991-3087.