Методи за решаване на матрици. Матричен метод за решаване на система от линейни алгебрични уравнения
- изчислява се детерминантата на матрицата А;
- чрез алгебрични добавки се намира обратна матрицаА -1;
- създава се шаблон за решение в Excel;
Инструкция. За да се получи решение по метода на обратната матрица, е необходимо да се посочи размерността на матрицата. След това в новия диалогов прозорец попълнете матрицата A и резултатния вектор B .
Вижте също Решение на матрични уравнения.Алгоритъм за решение
- Изчислява се детерминантата на матрицата А. Ако детерминантата е нула, тогава краят на решението. Системата има безкрайно множестворешения.
- Когато детерминантата е различна от нула, обратната матрица A -1 се намира чрез алгебрични събирания.
- Решаващият вектор X =(x 1 , x 2 , ..., x n ) се получава чрез умножаване на обратната матрица по вектора на резултата B .
Алгебрични допълнения.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Преглед:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
Уравненията като цяло, линейните алгебрични уравнения и техните системи, както и методите за тяхното решаване, заемат специално място в математиката, както теоретична, така и приложна.
Това се дължи на факта, че по-голямата част от физически, икономически, технически и дори педагогически задачимогат да бъдат описани и решени с помощта на различни уравнения и техните системи. AT последно времепридоби особена популярност сред изследователи, учени и практици математическо моделиранев почти всички предметни области, което се обяснява с очевидните му предимства пред други добре познати и доказани методи за изследване на обекти различно естество, по-специално т.нар сложни системи. Има голямо разнообразие различни определенияматематически модел, даден от учени в различни времена, но според нас най-удачно е следното твърдение. Математически моделе идея изразено с уравнението. По този начин способността за съставяне и решаване на уравнения и техните системи е неразделна характеристика на съвременния специалист.
За решаване на линейни системи алгебрични уравнениянай-често използваните методи са: Cramer, Jordan-Gauss и матричният метод.
Метод на матрично решение - метод за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения с ненулев детерминант с помощта на обратна матрица.
Ако изпишем коефициентите за неизвестни стойности xi в матрицата A, съберем неизвестните стойности във вектора колона X и свободните членове във вектора колона B, тогава системата от линейни алгебрични уравнения може да бъде записана в формата на следното матрично уравнение A X = B, което има единствено решение само когато детерминантата на матрицата A не е равна на нула. В този случай може да се намери решението на системата от уравнения по следния начин х = А-един · б, където А-1 - обратна матрица.
Методът на матрично решение е както следва.
Нека системата линейни уравненияс ннеизвестен:
Може да се пренапише в матрична форма: БРАВИЛА = б, където А- основната матрица на системата, би х- колони с безплатни членове и съответно решения на системата:
Нека го умножим матрично уравнениеоставен на А-1 - матрица, обратна на матрицата А: А -1 (БРАВИЛА) = А -1 б
защото А -1 А = д, получаваме х= А -1 б. Дясна частна това уравнение ще даде колона от решения на оригиналната система. Условие за приложимост този метод(както и като цяло наличието на решение не е хомогенна системалинейни уравнения с брой уравнения, равен на броя на неизвестните) е неизродеността на матрицата А. Необходими и достатъчно условиетова е неравенството нула на детерминантата на матрицата А: дет А≠ 0.
За хомогенна система от линейни уравнения, т.е. когато векторът б = 0 , наистина ли обратно правило: система БРАВИЛА = 0 има нетривиално (т.е. ненулево) решение само ако det А= 0. Такава връзка между решенията на еднородни и нехомогенни системи от линейни уравнения се нарича алтернатива на Фредхолм.
Пример решения разнородна системалинейни алгебрични уравнения.
Нека се уверим, че детерминантата на матрицата, съставена от коефициентите при непознати системилинейни алгебрични уравнения не е равно на нула.
Следващата стъпка е да се изчисли алгебрични добавкиза елементите на матрицата, състояща се от коефициентите на неизвестните. Те ще са необходими за намиране на обратната матрица.
(понякога този метод се нарича също матричен метод или метод на обратната матрица) изисква предварително запознаване с такава концепция като матричната форма на писане на SLAE. Методът на обратната матрица е предназначен за решаване на онези системи от линейни алгебрични уравнения, за които матричната детерминанта на системата е различна от нула. Естествено, това означава, че матрицата на системата е квадратна (концепцията за детерминанта съществува само за квадратни матрици). Същността на метода на обратната матрица може да се изрази в три точки:
- Запишете три матрици: системната матрица $A$, матрицата на неизвестните $X$, матрицата на свободните членове $B$.
- Намерете обратната матрица $A^(-1)$.
- Използвайки равенството $X=A^(-1)\cdot B$ вземете решението на дадения SLAE.
Всяка SLAE може да бъде записана в матрична форма като $A\cdot X=B$, където $A$ е матрицата на системата, $B$ е матрицата на свободните членове, $X$ е матрицата на неизвестните. Нека матрицата $A^(-1)$ съществува. Умножете двете страни на равенството $A\cdot X=B$ по матрицата $A^(-1)$ отляво:
$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
Тъй като $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ - матрица на идентичността), тогава уравнението, написано по-горе, става:
$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
Тъй като $E\cdot X=X$, тогава:
$$X=A^(-1)\cdot B.$$
Пример #1
Решете SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ с помощта на обратната матрица.
$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right). $$
Да намерим обратната матрица към матрицата на системата, т.е. изчислете $A^(-1)$. В пример #2
$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$
Сега нека заместим и трите матрици ($X$, $A^(-1)$, $B$) в уравнението $X=A^(-1)\cdot B$. След това извършваме матрично умножение
$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(масив) (c) -3\\ 2\end(масив)\right). $$
Така че имаме $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end(array )\ надясно)$. От това равенство имаме: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Отговор: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Пример #2
Решаване на SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ по метода на обратната матрица.
Нека запишем матрицата на системата $A$, матрицата на свободните членове $B$ и матрицата на неизвестните $X$.
$$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\x_2 \\ x_3 \end(array)\right). $$
Сега е време да намерим обратната матрица на системната матрица, т.е. намерете $A^(-1)$. В пример #3 на страницата, посветена на намирането на обратни матрици, обратната матрица вече е намерена. Нека използваме крайния резултат и напишем $A^(-1)$:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(масив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\край (масив)\вдясно). $$
Сега заместваме и трите матрици ($X$, $A^(-1)$, $B$) в равенството $X=A^(-1)\cdot B$, след което извършваме умножение на матрици вдясно страна на това равенство.
$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(масив) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\right) $$
Така че имаме $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4\ \9 \end(array)\right)$. От това равенство имаме: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.
Помислете за система от линейни уравнения с много променливи:
където aij - коефициенти при неизвестни хi; би безплатни членове;
индекси: i = 1,2,3…m- определят номера на уравнението и j = 1,2,3...n- номерът на неизвестното.
Определение: Решението на системата от уравнения (5) е набор от n числа (x10, x20, .... xn0), при заместването им в системата всички уравнения се превръщат в истински числови идентичности.
Определение: Система от уравнения се нарича последователна, ако има поне едно решение. ставна системасе нарича определено, ако има уникално решение (x10, x20,….xn0), и неопределено, ако има няколко такива решения.
Определение: Системата се нарича непоследователна, ако няма решение.
Определение: Таблиците, съставени от числови коефициенти (aij) и свободни членове (bi) на системата от уравнения (5), се наричат системна матрица (A) и разширена матрица (A1), които се означават като:
Определение: Матрицата на система А, която има различен брой редове и колони (n?m), се нарича правоъгълна. Ако броят на редовете и колоните е еднакъв (n=m), тогава матрицата се нарича квадратна.
Ако броят на неизвестните в системата е равен на броя на уравненията (n=m), тогава системата има квадратна матрица n-ти ред.
Нека отделим k-произволни редове и k-произволни колони (km, kn) в матрицата A.
Дефиниция: Детерминантата от k-порядък, съставен от елементите на матрицата A, разположени в пресечната точка на избраните редове и колони, се нарича минор от k-порядък на матрицата A.
Разгледайте всички възможни минори на матрицата A. Ако всички минори от (k + 1) ред са равни на нула и поне един от минорите от k-порядък не е равен на нула, тогава се казва, че матрицата има ранг равно на k.
Определение: Рангът на матрица A се нарича най-голям редненулев минор на тази матрица. Рангът на матрицата се обозначава с r(A).
Определение: Всеки ненулев матричен минор, чийто ред е равен на рангматрици се нарича основна.
Определение: Ако за две матрици A и B ранговете им съвпадат r(A) = r(B), то тези матрици се наричат еквивалентни и се означават с A B.
Рангът на матрицата няма да се промени от елементарни, еквивалентни трансформации, които включват:
- 1. Замяна на редове с колони и колони със съответните редове;
- 2. Разместване на редове или колони по места;
- 3. Задраскване на редове или колони, в които всички елементи са равни на нула;
- 4. Умножение или деление на ред или колона с различно от нула число;
- 5. Добавяне или изваждане на елементи от един ред или колона от друг, умножени по произволно число.
Когато определяте ранга на матрица, използвайте еквивалентни трансформации, с помощта на които оригиналната матрица се редуцира до стъпкова (триъгълна) матрица.
AT стъпаловидна матрицанулевите елементи са разположени под главния диагонал, а първият ненулев елемент на всеки негов ред, започвайки от втория, е разположен вдясно от първия ненулев елемент на предходния ред.
Обърнете внимание, че рангът на матрицата е равно на числотоненулеви редове на стъпаловидна матрица.
Например матрица A= - стъпаловиден типи неговият ранг е равен на броя на ненулевите редове на матрицата r(A)=3. Наистина, всички минори от 4-ти ред с нулеви елементи на 4-ти ред са равни на нула, а минори от 3-ти ред са различни от нула. За да проверим, изчисляваме детерминантата на минора на първите 3 реда и 3 колони:
Всяка матрица може да бъде намалена до стъпкова матрица чрез нулиране на матричните елементи под главния диагонал с помощта на елементарни операции.
Нека се върнем към изследването и решаването на системата от линейни уравнения (5).
Важна роля в изучаването на системи от линейни уравнения играе теоремата на Кронекер-Капели. Нека формулираме тази теорема.
Теорема на Кронекер-Капели: Система от линейни уравнения е последователна тогава и само ако рангът на системната матрица A е равен на ранга на разширената матрица A1, т.е. r(A)=r(A1). В случай на съвместимост системата е определена, ако рангът на системната матрица е равен на броя на неизвестните, т.е. r(A)=r(A1)=n и недефиниран, ако този ранг по-малко от числонеизвестен, т.е. r(A)= r(A1) Пример. Разгледайте системата от линейни уравнения: Нека определим ранговете на системната матрица A и разширената матрица A1. За да направим това, съставяме разширената матрица A1 и я редуцираме до стъпаловидна форма. Когато конвертирате матрица, направете следното: В резултат на извършените действия получихме стъпаловидна матрица с три ненулеви реда както в системната матрица (до реда), така и в разширената матрица. Откъдето се вижда, че рангът на матрицата на системата е равен на ранга на разширената матрица и е равен на 3, но по-малък от броя на неизвестните (n=4). Отговор: защото r(A)=r(A1)=3 Поради факта, че е удобно да се определи ранга на матриците, като се редуцират до поетапна форма, ще разгледаме метод за решаване на система от линейни уравнения, използвайки метода на Гаус. Метод на Гаус Същността на метода на Гаус се състои в последователното елиминиране на неизвестни.
t чрез редуциране до стъпаловидна форма на разширената матрица A1, която включва системната матрица A до реда.В този случай ранговете на матриците A, A1 се определят едновременно и системата се изследва според Кронекер-Капели теорема. На последния етап се решава система от уравнения от поетапен тип, като се правят замествания отдолу нагоре на намерените стойности на неизвестните. Нека разгледаме приложението на метода на Гаус и теоремата на Кронекер-Капели, използвайки пример. Пример. Решете системата по метода на Гаус: Нека определим ранговете на системната матрица A и разширената матрица A1. За да направим това, съставяме разширената матрица A1 и я редуцираме до стъпаловидна форма. При кастинг направете следното: Получихме стъпкова матрица, в която броят на редовете е равен на 3, а матрицата на системата (преди реда) също няма нулеви потъвания. Следователно ранговете на системната матрица и разширената матрица са 3 и са равни на броя на неизвестните, т.е. r(A)=r(A1)=n=3.. Съгласно теоремата на Кронекер-Капели системата е последователна и дефинирана, има единствено решение. В резултат на преобразуването на матрицата A1, нулиране на коефициентите за неизвестните, те бяха последователно изключени от уравненията и се получи стъпална (триъгълна) система от уравнения: Придвижвайки се последователно отдолу нагоре, замествайки решението (x3=1) от третото уравнение във второто и решенията (x2=1, x3=1) от второто и третото уравнение в първото, получаваме решението на системата от уравнения: x1=1,x2=1, x3=1. Проверка: -(!) Отговор: (x1=1,x2=1,x3=1). Метод на Джордан-Гаус Тази система може да бъде решена чрез подобрения метод на Йордан-Гаус, който се състои в това, че матрицата на системата A в разширената матрица (до реда) се редуцира до матрицата на идентичност: E =с единичен диагонал и нула извъндиагонални елементи и незабавно получаване на решението на системата без допълнителни замествания. Нека решим горната система по метода на Йордан-Гаус. За да направим това, трансформираме получената стъпкова матрица в една, като правим следното: Първоначалната система от уравнения беше сведена до системата:, която определя решението. основни операции с матрици Нека са дадени две матрици: A=
B=. При сумиране (изваждане) на матрици се събират (изваждат) техните едноименни елементи. 3. Произведението на числото k от матрицата A е матрицата, определена от равенството: Когато една матрица се умножи по число, всички елементи на матрицата се умножават по това число. 4. Произведението на матриците AB е матрицата, определена от равенството: При умножаване на матрици елементите на редовете на първата матрица се умножават по елементите на колоните на втората матрица и се сумират, а елементът на матрицата на произведението в i-тия ред и j-тата колона е равен на сумата от произведенията на съответните елементи на i-тия ред на първата матрица и j-тата колона на втората матрица. При умножение на матрици в общия случай не важи комутативният закон, т.е. AB? VA. 5. Транспонирането на матрица A е действие, което води до замяна на редове с колони и колони със съответните редове. Матрицата AT= се нарича транспонирана матрица за матрицата A=. Ако детерминантата на матрицата A не е равна на нула (D?0), тогава такава матрица се нарича неособена. За всяка неособена матрица A съществува обратна матрица A-1, за която е в сила равенството: A-1 A= A A-1=E, където E=- единична матрица. 6. Обръщането на матрицата A е такива действия, при които се получава обратната матрица A-1 При обръщане на матрица А се извършват следните действия.
Сюжетът на чичо ваня. „Чичо Иван. Отношение към професора на др
Малкият Цахес, по прякор Цинобър
Майков, Аполон Николаевич - кратка биография