Средна стойност между две числа. Среднопретеглена стойност - какво е това и как да го изчислим? Изчисляване на средната стойност по условие

Този термин има и други значения, вижте средното значение.

Средно аритметично(в математиката и статистиката) набори от числа - сборът от всички числа, разделен на техния брой. Това е една от най-често срещаните мерки за централна тенденция.

Той е предложен (заедно със средното геометрично и средното хармонично) от питагорейците.

Специални случаи на средноаритметичната стойност са средната стойност (на генералната съвкупност) и средната стойност на извадката (на извадките).

Въведение

Обозначете набора от данни х = (х 1 , х 2 , …, х н), тогава средната стойност на извадката обикновено се обозначава с хоризонтална лента над променливата (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) , произнася се " хс тире“).

Гръцката буква μ се използва за означаване на средноаритметичното на цялата съвкупност. За случайна променлива, за която е определена средна стойност, μ е средна вероятностили математическото очакване на случайна променлива. Ако наборът хе колекция от произволни числа със средна вероятност μ, тогава за всяка извадка х азот тази колекция μ = E( х аз) е очакването на тази проба.

На практика разликата между μ и x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) е, че μ е типична променлива, защото можете да видите извадката, а не цялата популация. Следователно, ако извадката е представена произволно (от гледна точка на теорията на вероятностите), тогава x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (но не μ) може да се третира като случайна променлива, имаща вероятностно разпределение в извадката ( вероятностно разпределение на средната стойност).

И двете количества се изчисляват по същия начин:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

Ако хе случайна променлива, тогава математическото очакване хможе да се разглежда като средноаритметично на стойностите при многократни измервания на количеството х. Това е проява на закона за големите числа. Следователно средната стойност на извадката се използва за оценка на неизвестното математическо очакване.

В елементарната алгебра се доказва, че средната н+ 1 число над средното нчисла, ако и само ако новото число е по-голямо от старото средно, по-малко, ако и само ако новото число е по-малко от средното, и не се променя, ако и само ако новото число е равно на средното. Колкото повече н, толкова по-малка е разликата между новата и старата средна стойност.

Обърнете внимание, че има няколко други налични „средни“, включително средно по степенен закон, средно по Колмогоров, средно хармонично, средно аритметично-геометрично и различни претеглени средни (напр. средно аритметично претеглено, средно геометрично претеглено, средно претеглено хармонично) .

Примери

За три числа трябва да ги съберете и разделите на 3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

За четири числа трябва да ги съберете и разделите на 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

Или по-лесно 5+5=10, 10:2. Тъй като добавихме 2 числа, което означава, че колкото числа добавим, на толкова разделяме.

Непрекъсната случайна променлива

За непрекъснато разпределена стойност f (x) (\displaystyle f(x)) средното аритметично в интервала [ a ; b ] (\displaystyle ) се дефинира чрез определен интеграл:

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Някои проблеми при използването на средната стойност

Липса на здравина

Основна статия: Устойчивост в статистиката

Въпреки че средната аритметична стойност често се използва като средна стойност или централни тенденции, тази концепция не се прилага за стабилна статистика, което означава, че средната аритметична стойност е силно повлияна от „големи отклонения“. Трябва да се отбележи, че за разпределения с голяма асиметрия средноаритметичната стойност може да не съответства на концепцията за „средно“, а стойностите на средната стойност от стабилна статистика (например медианата) могат по-добре да опишат централната тенденция.

Класическият пример е изчисляването на средния доход. Средната аритметична стойност може да бъде погрешно изтълкувана като медиана, което може да доведе до извода, че има повече хора с повече доходи, отколкото има в действителност. „Средният“ доход се тълкува по такъв начин, че доходите на повечето хора са близки до това число. Този "среден" (в смисъла на средноаритметичния) доход е по-висок от дохода на повечето хора, тъй като високият доход с голямо отклонение от средния прави средноаритметичното силно изкривено (за разлика от това, средният доход "се съпротивлява" такова изкривяване). Въпреки това, този „среден“ доход не казва нищо за броя на хората близо до средния доход (и не казва нищо за броя на хората близо до модалния доход). Ако обаче понятията „среден“ и „мнозинство“ се приемат несериозно, тогава може да се заключи неправилно, че повечето хора имат доходи, по-високи от реалните. Например, доклад за "средния" нетен доход в Медина, Вашингтон, изчислен като средната аритметична стойност на всички годишни нетни доходи на жителите, ще даде изненадващо високо число, което се дължи на Бил Гейтс. Разгледайте извадката (1, 2, 2, 2, 3, 9). Средната аритметична стойност е 3,17, но пет от шестте стойности са под тази средна стойност.

Сложна лихва

Основна статия: ROI

Ако числата умножават се, но не гънка, трябва да използвате средното геометрично, а не средното аритметично. Най-често този инцидент се случва при изчисляване на възвръщаемостта на инвестициите във финансите.

Например, ако акциите паднаха с 10% през първата година и се повишиха с 30% през втората година, тогава е неправилно да се изчисли „средното“ увеличение през тези две години като средно аритметично (−10% + 30%) / 2 = 10%; правилната средна стойност в този случай се дава от комбинирания годишен темп на растеж, от който годишният растеж е само около 8,16653826392% ≈ 8,2%.

Причината за това е, че процентите имат нова начална точка всеки път: 30% са 30% от число, по-малко от цената в началото на първата година:ако акцията е започнала от $30 и е паднала с 10%, тя струва $27 в началото на втората година. Ако акциите се покачат с 30%, те струват $35,1 в края на втората година. Средната аритметична стойност на този растеж е 10%, но тъй като акциите са нараснали само с $5,1 за 2 години, средно увеличение от 8,2% дава краен резултат от $35,1:

[$30 (1 - 0,1) (1 + 0,3) = $30 (1 + 0,082) (1 + 0,082) = $35,1]. Ако използваме средноаритметичната стойност от 10% по същия начин, няма да получим действителната стойност: [$30 (1 + 0,1) (1 + 0,1) = $36,3].

Сложна лихва в края на година 2: 90% * 130% = 117%, т.е. общо увеличение от 17%, а средната годишна сложна лихва е 117% ≈ 108,2% (\displaystyle (\sqrt (117\%)) \приблизително 108,2\%) , тоест средногодишно увеличение от 8,2%.

Упътвания

Основна статия: Статистика на дестинацията

При изчисляване на средната аритметична стойност на някаква променлива, която се променя циклично (например фаза или ъгъл), трябва да се обърне специално внимание. Например средната стойност от 1° и 359° би била 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Този номер е неправилен по две причини.

Първо, ъгловите мерки са определени само за диапазона от 0° до 360° (или от 0 до 2π, когато се измерват в радиани). Така една и съща двойка числа може да бъде записана като (1° и −1°) или като (1° и 719°). Средните стойности на всяка двойка ще бъдат различни: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2))= 0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
Второ, в този случай стойност от 0° (еквивалентна на 360°) би била геометрично най-добрата средна стойност, тъй като числата се отклоняват по-малко от 0°, отколкото от всяка друга стойност (стойността 0° има най-малката дисперсия). Сравнете:
- числото 1° се отклонява от 0° само с 1°;
- числото 1° се отклонява от изчислената средна стойност от 180° със 179°.

Средната стойност за циклична променлива, изчислена съгласно горната формула, ще бъде изкуствено изместена спрямо реалната средна стойност към средата на числения диапазон. Поради това средната стойност се изчислява по различен начин, а именно числото с най-малка дисперсия (централна точка) се избира като средна стойност. Също така, вместо изваждане, се използва модулно разстояние (т.е. периферно разстояние). Например, модулното разстояние между 1° и 359° е 2°, а не 358° (върху окръжност между 359° и 360°==0° - един градус, между 0° и 1° - също 1°, общо - 2 °).

Видове средни стойности и методи за тяхното изчисляване

На етапа на статистическа обработка могат да се поставят различни изследователски задачи, за чието решаване е необходимо да се избере подходящата средна стойност. В този случай е необходимо да се ръководите от следното правило: стойностите, които представляват числителя и знаменателя на средната стойност, трябва да бъдат логически свързани помежду си.

средни мощности;
структурни средни.

Нека въведем следната нотация:

Стойностите, за които се изчислява средната стойност;

Средно, където редът по-горе показва, че се извършва осредняване на отделните стойности;

Честота (повторяемост на стойностите на индивидуалните черти).

От общата формула за средна мощност се извличат различни средства:

(5.1)

за k = 1 - средно аритметично; k = -1 - средна хармонична; k = 0 - средно геометрично; k = -2 - средноквадратичен корен.

Средните стойности са или прости, или претеглени. претеглени средни стойностисе наричат количества, които отчитат, че някои варианти на стойностите на атрибута могат да имат различни числа и следователно всеки вариант трябва да бъде умножен по това число. С други думи, „теглата“ са броят на единиците на съвкупността в различни групи, т.е. всяка опция е "претеглена" по своята честота. Честотата f се нарича статистическо теглоили средно тегло.

Средноаритметично- най-често срещаният тип среда. Използва се, когато изчислението се извършва върху негрупирани статистически данни, където искате да получите средното сборено. Средно аритметичното е такава средна стойност на признак, при получаването на която общият обем на признака в популацията остава непроменен.

Формулата за средно аритметично ( просто) има формата

където n е размерът на популацията.

Например, средната заплата на служителите на предприятието се изчислява като средно аритметично:

Определящи показатели тук са заплатите на всеки служител и броят на служителите в предприятието. При изчисляване на средната общата сума на заплатите остава същата, но разпределена, така да се каже, поравно между всички работници. Например, необходимо е да се изчисли средната заплата на служителите на малка компания, в която работят 8 души:

При изчисляване на средните стойности отделните стойности на атрибута, който се осреднява, могат да се повтарят, така че средната стойност се изчислява с помощта на групирани данни. В този случай говорим за използване средноаритметично претеглено, което изглежда като

(5.3)

И така, трябва да изчислим средната цена на акциите на едно акционерно дружество на борсата. Известно е, че транзакциите са извършени в рамките на 5 дни (5 транзакции), броят на продадените акции по курса на продажба е разпределен, както следва:

1 - 800 ак. - 1010 рубли

2 - 650 ак. - 990 рубли.

3 - 700 ак. - 1015 рубли.

4 - 550 ак. - 900 рубли.

5 - 850 ак. - 1150 рубли.

Първоначалното съотношение за определяне на средната цена на акциите е съотношението на общата сума на транзакциите (TCA) към броя на продадените акции (KPA):

OSS = 1010 800+990 650+1015 700+900 550+1150 850= 3 634 500;

CPA = 800+650+700+550+850=3550.

В този случай средната цена на акциите беше равна на

Необходимо е да се познават свойствата на средноаритметичната стойност, което е много важно както за нейното използване, така и за нейното изчисляване. Има три основни свойства, които най-вече доведоха до широкото използване на средноаритметичното в статистическите и икономически изчисления.

Имот едно (нула): сумата от положителните отклонения на отделните стойности на черта от нейната средна стойност е равна на сумата от отрицателните отклонения. Това е много важно свойство, тъй като показва, че всички отклонения (както с +, така и с -) поради случайни причини ще бъдат взаимно отменени.

Доказателство:

Имот две (минимум): сумата от квадратните отклонения на отделните стойности на признака от средната аритметична е по-малка, отколкото от всяко друго число (а), т.е. е минималният брой.

Доказателство.

Съставете сумата от квадратите на отклоненията от променливата a:

(5.4)

За да се намери екстремумът на тази функция, е необходимо нейната производна по отношение на a да се приравни на нула:

От тук получаваме:

(5.5)

Следователно, екстремумът на сумата от квадратите на отклоненията се достига при . Този екстремум е минимумът, тъй като функцията не може да има максимум.

Имот три: средноаритметичната стойност на константа е равна на тази константа: at a = const.

Освен тези три най-важни свойства на средноаритметичното съществуват и т.нар дизайнерски свойства, които постепенно губят своето значение поради използването на електронни компютри:

ако индивидуалната стойност на атрибута на всяка единица се умножи или раздели на постоянно число, тогава средноаритметичното ще се увеличи или намали със същото количество;
средноаритметичната стойност няма да се промени, ако теглото (честотата) на всяка стойност на характеристиката се раздели на постоянно число;
ако отделните стойности на атрибута на всяка единица се намалят или увеличат с една и съща сума, тогава средноаритметичната стойност ще намалее или се увеличи със същата сума.

Средно хармонично. Тази средна стойност се нарича реципрочна средна аритметична, тъй като тази стойност се използва, когато k = -1.

Проста хармонична средна стойностсе използва, когато теглата на характерните стойности са еднакви. Неговата формула може да бъде получена от основната формула чрез заместване на k = -1:

Например, трябва да изчислим средната скорост на две коли, които са изминали един и същи път, но с различни скорости: първата със 100 км/ч, втората с 90 км/ч. Използвайки метода на средната хармонична стойност, изчисляваме средната скорост:

В статистическата практика по-често се използва хармонично претеглено, чиято формула има формата

Тази формула се използва в случаите, когато теглата (или обемите на явленията) за всеки атрибут не са равни. В първоначалното съотношение е известно, че числителят изчислява средната стойност, но знаменателят е неизвестен.

Например, когато изчисляваме средната цена, трябва да използваме съотношението на продаденото количество към броя на продадените единици. Ние не знаем броя на продадените единици (говорим за различни стоки), но знаем сумите на продажбите на тези различни стоки. Да предположим, че искате да разберете средната цена на продадените стоки:

Получаваме

Средна геометрична. Най-често средната геометрична стойност намира своето приложение при определяне на средния темп на растеж (средни темпове на растеж), когато отделните стойности на признака се представят като относителни стойности. Използва се и ако е необходимо да се намери средната стойност между минималните и максималните стойности на дадена характеристика (например между 100 и 1000000). Има формули за проста и среднопретеглена геометрична стойност.

За проста геометрична средна

За средното геометрично претеглено

RMS. Основната област на неговото приложение е измерването на вариацията на даден признак в популацията (изчисляване на стандартното отклонение).

Проста формула за среден квадрат

Формула за средноквадратичен корен

(5.11)

В резултат на това можем да кажем, че успешното решаване на проблемите на статистическите изследвания зависи от правилния избор на вида на средната стойност във всеки конкретен случай. Изборът на средната стойност предполага следната последователност:

а) установяване на обобщаващ показател за населението;

б) определяне на математическо съотношение на стойностите за даден обобщаващ показател;

в) замяна на индивидуални стойности със средни стойности;

г) изчисляване на средната стойност с помощта на съответното уравнение.

Средни стойности и вариация

средна стойност- това е обобщаващ показател, който характеризира качествено хомогенна съвкупност по определен количествен признак. Например средната възраст на лицата, осъдени за кражби.

В съдебната статистика средните стойности се използват за характеризиране на:

Средни срокове за разглеждане на дела от тази категория;

Искова молба със среден размер;

Средният брой обвиняеми по дело;

Среден размер на щетите;

Средна натовареност на съдиите и др.

Средната стойност винаги е наименувана и има същото измерение като атрибута на отделна единица от съвкупността. Всяка средна стойност характеризира изследваната популация според всеки един променлив признак, следователно зад всяка средна стойност има поредица от разпределение на единици от тази популация според изследвания признак. Изборът на вида на средната се определя от съдържанието на показателя и изходните данни за изчисляване на средната.

Всички видове средни стойности, използвани в статистическите изследвания, попадат в две категории:

1) средни мощности;

2) структурни средни.

Първата категория средни стойности включва: средно аритметично, средно хармонично, средно геометрично и корен квадратен . Втората категория е модаи Медиана. Освен това всеки от изброените типове средни мощности може да има две форми: просто и претеглени . Простата форма на средната стойност се използва за получаване на средната стойност на изследваната характеристика, когато изчислението се основава на негрупирана статистика или когато всеки вариант се среща само веднъж в популацията. Среднопретеглените стойности се наричат стойности, които вземат предвид, че опциите за стойностите на дадена характеристика могат да имат различни числа и следователно всяка опция трябва да бъде умножена по съответната честота. С други думи, всяка опция е "претеглена" по своята честота. Честотата се нарича статистическо тегло.

просто аритметично средно- най-често срещаният тип среда. Тя е равна на сумата от индивидуалните характерни стойности, разделена на общия брой на тези стойности:

където x 1 ,x 2 , … ,x Nса индивидуалните стойности на променливата характеристика (опции), а N е броят на единиците на популацията.

Средно аритметично претегленоизползва се, когато данните са представени под формата на серии на разпределение или групи. Изчислява се като сумата от произведенията на опциите и съответните им честоти, разделена на сумата от честотите на всички опции:

където x i- значение аз–ти варианти на признака; фи- честота аз-та опция.

По този начин всяка стойност на варианта се претегля по своята честота, поради което честотите понякога се наричат статистически тегла.

Коментирайте.Когато става дума за средно аритметично без да се уточнява вида му, се има предвид средното аритметично число.

Таблица 12

Решение.За изчислението използваме формулата на среднопретеглената аритметична стойност:

Така на едно наказателно дело има средно по двама обвиняеми.

Ако изчисляването на средната стойност се извършва според данни, групирани под формата на серии на интервално разпределение, тогава първо трябва да определите средните стойности на всеки интервал x "i, след което изчислете средната стойност, като използвате претеглената формула за средна аритметична стойност, в която вместо x i се замества x" i.

Пример.Данните за възрастта на престъпниците, осъдени за кражби, са представени в таблицата:

Таблица 13

Определете средната възраст на престъпниците, осъдени за кражба.

Решение.За да определите средната възраст на престъпниците въз основа на серията от интервални вариации, първо трябва да намерите средните стойности на интервалите. Тъй като е дадена серия от интервали с отворен първи и последен интервал, стойностите на тези интервали се приемат равни на стойностите на съседни затворени интервали. В нашия случай стойността на първия и последния интервал е 10.

Сега намираме средната възраст на престъпниците, използвайки формулата за средноаритметично претеглено:

По този начин средната възраст на нарушителите, осъдени за кражба, е приблизително 27 години.

Средно хармонично просто е реципрочната стойност на средното аритметично на реципрочните стойности на атрибута:

където 1/ x iса реципрочните стойности на вариантите, а N е броят на единиците съвкупност.

Пример.За определяне на средногодишната натовареност на съдиите от районен съд при разглеждане на наказателни дела е проведено проучване на натовареността на 5 съдии от този съд. Средното време, прекарано по едно наказателно дело за всеки от анкетираните съдии се оказа равно (в дни): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Намерете средните разходи за един наказателно дело и средногодишната натовареност на съдиите от този районен съд при разглеждане на наказателни дела.

Решение.За да определим средното време, прекарано в едно наказателно дело, използваме хармоничната проста формула:

За да опростим изчисленията в примера, нека вземем броя на дните в годината, равен на 365, включително почивните дни (това не засяга метода на изчисление и при изчисляване на подобен показател на практика е необходимо да се замени броят на работещите дни в определена година вместо 365 дни). Тогава средната годишна натовареност на съдиите от този районен съд при разглеждане на наказателни дела ще бъде: 365 (дни): 5,56 ≈ 65,6 (дела).

Ако използваме простата средноаритметична формула, за да определим средното време, прекарано в едно наказателно дело, ще получим:

365 (дни): 5,64 ≈ 64,7 (случаи), т.е. средната натовареност на съдиите е по-малка.

Нека проверим валидността на този подход. За целта използваме данни за времето, прекарано по едно наказателно дело за всеки съдия, и изчисляваме броя на наказателните дела, разгледани от всеки от тях на година.

Получаваме съответно:

365 (дни) : 6 ≈ 61 (случай), 365 (дни) : 5,6 ≈ 65,2 (случай), 365 (дни) : 6,3 ≈ 58 (случай),

365 (дни) : 4,9 ≈ 74,5 (случаи), 365 (дни) : 5,4 ≈ 68 (случаи).

Сега изчисляваме средната годишна натовареност на съдиите от този районен съд при разглеждане на наказателни дела:

Тези. средногодишното натоварване е същото като при използване на средната хармонична стойност.

Следователно използването на средноаритметичното в този случай е незаконно.

В случаите, когато са известни вариантите на дадена характеристика, техните обемни стойности (произведението на вариантите по честотата), но самите честоти са неизвестни, се прилага формулата за хармонична среднопретеглена стойност:

където x iса стойностите на вариантите на признака, а w i са обемните стойности на вариантите ( w i = x i f i).

Пример.Данните за цената на една единица от един и същ вид стока, произведена от различни институции на пенитенциарната система, и за обема на нейната реализация са дадени в таблица 14.

Таблица 14

Намерете средната продажна цена на продукта.

Решение.Когато изчисляваме средната цена, трябва да използваме отношението на продаденото количество към броя на продадените единици. Не знаем броя на продадените единици, но знаем сумата на продажбите на стоки. Следователно, за да намерим средната цена на продадените стоки, използваме формулата за хармонична среднопретеглена стойност. Получаваме

Ако използвате формулата за средно аритметично тук, можете да получите средна цена, която ще бъде нереалистична:

Средна геометричнасе изчислява чрез извличане на корена на степен N от произведението на всички стойности на опциите на функцията:

където x 1 ,x 2 , … ,x Nса индивидуалните стойности на променливата черта (опции) и

не броят на единиците от съвкупността.

Този тип средна стойност се използва за изчисляване на средните темпове на растеж на динамичните редове.

корен квадратенсе използва за изчисляване на стандартното отклонение, което е индикатор за вариация и ще бъде обсъдено по-долу.

За определяне структурата на популацията се използват специални средни стойности, които включват Медиана и мода , или така наречените структурни средни. Ако средноаритметичната стойност се изчислява въз основа на използването на всички варианти на стойностите на атрибута, тогава медианата и модата характеризират стойността на варианта, който заема определена средна позиция в класираната (подредена) серия. Подреждането на единиците от статистическата съвкупност може да се извърши във възходящ или низходящ ред на вариантите на изследвания признак.

Медиана (аз)е стойността, която съответства на варианта в средата на класираната серия. Така медианата е този вариант на класираната серия, от двете страни на която в тази серия трябва да има равен брой единици от съвкупността.

За да намерите медианата, първо трябва да определите нейния пореден номер в класираната серия, като използвате формулата:

където N е обемът на серията (броят единици на съвкупността).

Ако серията се състои от нечетен брой членове, тогава медианата е равна на варианта с число N Me . Ако серията се състои от четен брой членове, тогава медианата се определя като средноаритметично от две съседни опции, разположени в средата.

Пример.Дадена е класирана серия 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Обемът на серията е N = 9, което означава N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Следователно, Me = 6, т.е. пети вариант. Ако на ред е дадено 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, т.е. серия с четен брой членове (N = 8), тогава N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Така че медианата е равна на половината от сбора на четвъртата и петата опция, т.е. Аз = (9 + 11) / 2 = 10.

В серия от дискретни вариации медианата се определя от натрупаните честоти. Вариантните честоти, започвайки с първата, се сумират до надвишаване на средното число. Стойността на последните сумирани опции ще бъде медианата.

Пример.Намерете средния брой обвиняеми по наказателно дело, като използвате данните в таблица 12.

Решение.В този случай обемът на вариационната серия е N = 154, следователно N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. Обобщавайки честотите на първата и втората опция, получаваме: 75 + 43 = 118, т.е. надхвърлихме средното число. Значи аз = 2.

В интервалните вариационни серии на разпределението първо посочете интервала, в който ще се намира медианата. Наричат го Медиана . Това е първият интервал, чиято кумулативна честота надвишава половината от обема на интервалната вариационна серия. Тогава числовата стойност на медианата се определя по формулата:

където x Азе долната граница на средния интервал; i е стойността на средния интервал; S Me-1е кумулативната честота на интервала, който предхожда медианата; е азе честотата на средния интервал.

Пример.Намерете средната възраст на нарушителите, осъдени за кражба, въз основа на статистическите данни, представени в таблица 13.

Решение.Статистическите данни са представени чрез серия от интервални вариации, което означава, че първо определяме средния интервал. Обемът на популацията N = 162, следователно средният интервал е интервалът 18-28, т.к. това е първият интервал, чиято натрупана честота (15 + 90 = 105) надвишава половината от обема (162: 2 = 81) на серията интервални вариации. Сега числената стойност на медианата се определя от горната формула:

Така половината от осъдените за кражби са под 25 години.

Мода (Mo)назовете стойността на атрибута, който най-често се среща в единици от съвкупността. Модата се използва за идентифициране на стойността на чертата, която има най-голямо разпространение. За дискретна серия режимът ще бъде вариантът с най-висока честота. Например за дискретна серия, представена в таблица 3 мо= 1, тъй като тази стойност на опциите съответства на най-високата честота - 75. За да определите режима на интервалната серия, първо определете модален интервал (интервал с най-висока честота). След това в рамките на този интервал се намира стойността на характеристиката, която може да бъде режим.

Стойността му се намира по формулата:

където x Moе долната граница на модалния интервал; i е стойността на модалния интервал; f Moе честотата на модалния интервал; f Mo-1е честотата на интервала, предхождащ модала; f Mo+1е честотата на интервала след модала.

Пример.Намерете възрастовия режим на престъпниците, осъдени за кражба, данните за които са представени в таблица 13.

Решение.Най-високата честота съответства на интервала 18-28, следователно режимът трябва да бъде в този интервал. Стойността му се определя по горната формула:

Така най-много осъдени за кражби престъпници са на 24 години.

Средната стойност дава обобщаваща характеристика на съвкупността от изследваното явление. Въпреки това, две популации с еднакви средни стойности могат да се различават значително една от друга по отношение на степента на флуктуация (вариация) в стойността на изследвания признак. Например в един съд са определени следните срокове лишаване от свобода: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 години, а в друг - 5, 5, 6, 6, 7, 7 години. , 7 , 8, 8, 8 години. И в двата случая средноаритметичното е 6,7 години. Въпреки това, тези агрегати се различават значително един от друг в разпространението на индивидуалните стойности на определения срок на лишаване от свобода спрямо средната стойност.

А за първия съд, където тази вариация е доста голяма, средният срок на лишаване от свобода не отразява добре цялото население. По този начин, ако отделните стойности на атрибута се различават малко една от друга, тогава средноаритметичната стойност ще бъде доста показателна характеристика на свойствата на тази популация. В противен случай средноаритметичното ще бъде ненадеждна характеристика на тази съвкупност и прилагането му на практика е неефективно. Следователно е необходимо да се вземе предвид вариацията в стойностите на изследвания признак.

Вариация- това са разлики в стойностите на даден признак в различни единици от дадена популация в един и същи период или момент от време. Терминът "вариация" е от латински произход - variatio, което означава разлика, промяна, колебание. Възниква в резултат на факта, че отделните стойности на атрибута се формират под комбинирано влияние на различни фактори (условия), които се комбинират по различни начини във всеки отделен случай. За измерване на вариацията на даден признак се използват различни абсолютни и относителни показатели.

Основните показатели за вариация включват следното:

1) диапазон на вариация;

2) средно линейно отклонение;

3) дисперсия;

4) стандартно отклонение;

5) коефициент на вариация.

Нека се спрем накратко на всеки от тях.

Вариация на обхвата R е най-достъпният абсолютен индикатор по отношение на лекотата на изчисление, който се определя като разликата между най-голямата и най-малката стойност на атрибута за единиците от тази съвкупност:

Диапазонът на вариация (диапазон на колебания) е важен индикатор за променливостта на характеристика, но позволява да се видят само екстремни отклонения, което ограничава неговия обхват. За по-точно характеризиране на вариациите на даден признак въз основа на неговото колебание се използват други показатели.

Средно линейно отклонениепредставлява средноаритметичното на абсолютните стойности на отклоненията на отделните стойности на признака от средната и се определя по формулите:

1) за негрупирани данни

2) за вариационна серия

Въпреки това, най-широко използваната мярка за вариация е дисперсия . Той характеризира мярката за разпространение на стойностите на изследваната черта спрямо нейната средна стойност. Дисперсията се определя като средната стойност на отклоненията на квадрат.

проста вариацияза негрупирани данни:

Претеглена дисперсияза вариационната серия:

Коментирайте.На практика е по-добре да използвате следните формули за изчисляване на дисперсията:

За проста вариация

За претеглена дисперсия

Стандартно отклонениее корен квадратен от дисперсията:

Стандартното отклонение е мярка за надеждността на средната стойност. Колкото по-малко е стандартното отклонение, толкова по-хомогенна е популацията и толкова по-добре средното аритметично отразява цялата популация.

Разгледаните по-горе дисперсионни мерки (обхват на вариация, дисперсия, стандартно отклонение) са абсолютни показатели, по които не винаги е възможно да се прецени степента на флуктуация на даден признак. В някои задачи е необходимо да се използват относителни индекси на разсейване, един от които е коефициентът на вариация.

Коефициентът на вариация- изразено като процент от отношението на стандартното отклонение към средната аритметична стойност:

Коефициентът на вариация се използва не само за сравнителна оценка на вариациите на различни признаци или един и същи признак в различни популации, но и за характеризиране на хомогенността на популацията. Статистическата съвкупност се счита за количествено хомогенна, ако коефициентът на вариация не надвишава 33% (за разпределения, близки до нормалното разпределение).

Пример.Има следните данни за сроковете на лишаване от свобода на 50 осъдени, доставени за изтърпяване на наложеното от съда наказание в поправителна институция на пенитенциарната система: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 бр. , 5, 6, 4, 3 , 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1 , 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Изградете серия за разпределение по условия на лишаване от свобода.

2. Намерете средната стойност, дисперсията и стандартното отклонение.

3. Изчислете коефициента на вариация и направете заключение за хомогенността или хетерогенността на изследваната популация.

Решение.За да се построи дискретна серия на разпределение, е необходимо да се определят вариантите и честотите. Вариантът в тази задача е срокът на лишаване от свобода, а честотата е броят на отделните варианти. След като изчислим честотите, получаваме следната дискретна серия на разпределение:

Намерете средната стойност и дисперсията. Тъй като статистическите данни са представени от дискретна вариационна серия, ние ще използваме формулите на средното аритметично претеглено и дисперсията, за да ги изчислим. Получаваме:

= = 4,1;

= 5,21.

Сега изчисляваме стандартното отклонение:

Намираме коефициента на вариация:

Следователно статистическата съвкупност е количествено хетерогенна.

просто аритметично средно

Средни стойности

Средните стойности се използват широко в статистиката.

средна стойност- това е обобщаващ показател, в който се намира изразът на действието на общи условия, модели на развитие на изследваното явление.

Средните статистически стойности се изчисляват на базата на масови данни от правилно статистически организирано наблюдение (непрекъснато и извадково). Статистическата средна стойност обаче ще бъде обективна и типична, ако се изчислява от масови данни за качествено хомогенна популация (масови явления). Например, ако изчислим средната работна заплата в акционерни дружества и държавни предприятия и разширим резултата до цялата съвкупност, тогава средната стойност е фиктивна, тъй като се изчислява върху разнородна съвкупност и такава средна губи всички значение.

С помощта на средната стойност има, така да се каже, изглаждане на разликите в големината на характеристиката, които възникват по една или друга причина в отделните единици на наблюдение.

Например средната производителност на отделен продавач зависи от много фактори: квалификация, трудов стаж, възраст, форма на обслужване, здраве и т.н. Средната продукция отразява общите характеристики на цялата популация.

Средната стойност се измерва в същите единици като самата характеристика.

Всяка средна стойност характеризира изследваната популация по всеки един признак. За да се получи пълна и изчерпателна картина на изследваната популация по отношение на редица съществени характеристики, е необходимо да има система от средни стойности, които могат да опишат явлението от различни ъгли.

Има различни видове средни стойности:

средноаритметично;

среден хармоник;

средно геометрично;

корен квадратен;

среден куб.

Средните стойности на всички видове, изброени по-горе, от своя страна се разделят на прости (непретеглени) и претеглени.

Помислете за видовете средни стойности, които се използват в статистиката.

Простата средна аритметична (непретеглена) е равна на сумата от отделните стойности на характеристиката, разделена на броя на тези стойности.

Отделни стойности на признак се наричат варианти и се означават с х i (
); броят на единиците съвкупност се означава с n, средната стойност на признака - с . Следователно простата средна аритметична е:

или

Пример 1маса 1

Данни за производството на продукти А от работници на смяна

В този пример променливият атрибут е освобождаването на продукти на смяна.

Числените стойности на атрибута (16, 17 и т.н.) се наричат опции. Нека определим средното производство на продукти от работниците от тази група:

PCS.

Простата средна аритметична стойност се използва в случаите, когато има индивидуални стойности на характеристика, т.е. данните не са групирани. Ако данните са представени под формата на серии на разпределение или групи, тогава средната стойност се изчислява по различен начин.

Средно аритметично претеглено

Среднопретеглената аритметична стойност е равна на сумата от произведенията на всяка отделна стойност на атрибута (опцията) по съответната честота, разделена на сумата от всички честоти.

Броят на идентичните стойности на характеристиките в серията на разпределение се нарича честота или тегло и се обозначава с f i .

В съответствие с това среднопретеглената аритметична стойност изглежда така:

или

От формулата се вижда, че средната зависи не само от стойностите на атрибута, но и от техните честоти, т.е. върху състава на населението, върху неговата структура.

Пример 2таблица 2

Данни за заплатите на работниците

Според данните от серията с дискретно разпределение се вижда, че едни и същи стойности на атрибута (опции) се повтарят няколко пъти. И така, вариант x 1 се среща в съвкупността 2 пъти, а вариант x 2 - 6 пъти и т.н.

Изчислете средната заплата на работник:

Фондът за работна заплата за всяка група работници е равен на произведението на опциите и честотата (
), а сумата от тези продукти дава общия фонд работна заплата на всички работници (
).

Ако изчислението се извърши по простата формула за средна аритметична стойност, средната печалба ще бъде 3000 рубли. (). Сравнявайки получения резултат с първоначалните данни, е очевидно, че средната заплата трябва да бъде значително по-висока (повече от половината работници получават заплати над 3000 рубли). Следователно изчисляването на простата средна аритметична стойност в такива случаи ще бъде погрешно.

Статистическият материал в резултат на обработка може да бъде представен не само под формата на дискретни разпределителни серии, но и под формата на интервални вариационни серии със затворени или отворени интервали.

Помислете за изчисляването на средната аритметична стойност за такива серии.

Средната стойност е:

Означава

Означава- числова характеристика на набор от числа или функции; - някакво число, затворено между най-малката и най-голямата от техните стойности.

1 Основна информация
2 Йерархия на средствата в математиката
3 В теорията на вероятностите и статистиката
4 Вижте също
5 бележки

Основна информация

Отправната точка за формирането на теорията за средните стойности беше изследването на пропорциите от училището на Питагор. В същото време не е направено строго разграничение между понятията средно и пропорционално. Значителен тласък в развитието на теорията за пропорциите от аритметична гледна точка е даден от гръцките математици - Никомах от Герас (края на I - началото на II век от н.е.) и Пап от Александрия (III в. от н.е.). Първият етап от развитието на концепцията за средна стойност е етапът, когато средната стойност започва да се счита за централен член на непрекъсната пропорция. Но концепцията за средната стойност като централна стойност на прогресията не дава възможност да се изведе концепцията за средната стойност по отношение на последователност от n члена, независимо от реда, в който те следват един след друг. За тази цел е необходимо да се прибегне до формално обобщение на средните стойности. Следващият етап е преходът от непрекъснати пропорции към прогресии - аритметични, геометрични и хармонични.

В историята на статистиката за първи път широкото използване на средните стойности се свързва с името на английския учен У. Пети. У. Пети е един от първите, които се опитват да придадат на средната стойност статистическо значение, свързвайки я с икономически категории. Но Пети не дава описание на концепцията за средната стойност, нейното разпределение. A. Quetelet се счита за основател на теорията за средните стойности. Той е един от първите, които последователно развиват теорията на средните величини, опитвайки се да й донесат математическа основа. A. Quetelet отделя два вида средни стойности - действителни средни и средни аритметични. Правилно средните стойности представляват нещо, число, което наистина съществува. Всъщност средните стойности или статистическите средни трябва да бъдат получени от явления с едно и също качество, идентични по своята вътрешна значимост. Средните аритметични са числа, които дават най-близката възможна представа за много числа, различни, макар и хомогенни.

Всеки тип средна стойност може да бъде или проста средна, или среднопретеглена. Правилността на избора на средната форма следва от материалната природа на обекта на изследване. Използват се прости средни формули, ако отделните стойности на осреднената характеристика не се повтарят. Когато в практическите изследвания отделните стойности на изследваната черта се срещат няколко пъти в единици от изследваната популация, тогава честотата на повторение на стойностите на отделните черти присъства във формулите за изчисление на средните мощности. В този случай те се наричат среднопретеглени формули.

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Средната стойност е най-ценната от аналитична гледна точка и универсална форма за изразяване на статистически показатели. Най-разпространената средна - средната аритметична - има редица математически свойства, които могат да бъдат използвани при нейното изчисляване. В същото време, когато се изчислява конкретна средна стойност, винаги е препоръчително да се разчита на нейната логическа формула, която е съотношението на обема на атрибута към обема на популацията. За всяка средна стойност има само едно истинско референтно съотношение, което в зависимост от наличните данни може да изисква различни форми на средни стойности. Във всички случаи обаче, когато естеството на осреднената стойност предполага наличието на тегла, е невъзможно да се използват техните непретеглени формули вместо формулите за среднопретеглената стойност.

Средната стойност е най-характерната стойност на признака за съвкупността и размерът на признака на съвкупността, разпределен в равни части между единиците на съвкупността.

Характеристиката, за която се изчислява средната стойност, се нарича осреднено .

Средната стойност е показател, изчислен чрез сравняване на абсолютни или относителни стойности. Средната стойност е

Средната стойност отразява влиянието на всички фактори, влияещи върху изследваното явление, и е резултатна за тях. С други думи, компенсирайки индивидуалните отклонения и елиминирайки влиянието на случаите, средната стойност, отразяваща общата мярка на резултатите от това действие, действа като общ модел на изследваното явление.

Условия за използване на средни стойности:

Ø хомогенност на изследваната популация. Ако някои елементи от популацията, подложени на влиянието на случаен фактор, имат значително различни стойности на изследваната черта от останалите, тогава тези елементи ще повлияят на размера на средната стойност за тази популация. В този случай средната стойност няма да изрази най-типичната стойност на признака за популацията. Ако изследваното явление е разнородно, то е необходимо да се раздели на групи, съдържащи еднородни елементи. В този случай се изчисляват групови средни - групови средни, изразяващи най-характерната стойност на явлението във всяка група, а след това се изчислява общата средна стойност за всички елементи, характеризираща явлението като цяло. Изчислява се като средна стойност на груповите средни стойности, претеглени от броя на елементите на съвкупността, включени във всяка група;

Ø достатъчен брой единици в съвкупността;

Ø максималните и минималните стойности на признака в изследваната популация.

Средна стойност (индикатор)- това е обобщена количествена характеристика на признак в систематична популация при определени условия на място и време.

В статистиката се използват следните форми (типове) средни стойности, наречени мощностни и структурни:

Ø средноаритметично(прости и претеглени);

просто

В математиката средноаритметичната стойност на числата (или просто средната стойност) е сумата от всички числа в даден набор, разделена на техния брой. Това е най-обобщеното и разпространено понятие за средна стойност. Както вече разбрахте, за да намерите средната стойност, трябва да сумирате всички дадени числа и да разделите резултата на броя термини.

Какво е средно аритметично?

Нека разгледаме един пример.

Пример 1. Дадени са числа: 6, 7, 11. Трябва да намерите средната им стойност.

Решение.

Първо, нека намерим сбора на всички дадени числа.

Сега разделяме получената сума на броя на членовете. Тъй като имаме съответно три члена, ще разделим на три.

Следователно средната стойност на числата 6, 7 и 11 е 8. Защо 8? Да, защото сборът от 6, 7 и 11 ще бъде същият като три осмици. Това ясно се вижда на илюстрацията.

Средната стойност донякъде напомня на "подравняването" на поредица от числа. Както можете да видите, купчините моливи са станали на едно ниво.

Помислете за друг пример, за да консолидирате получените знания.

Пример 2Дадени са числата: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Трябва да намерите средното им аритметично.

Решение.

Намираме сумата.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Разделете на броя термини (в този случай 15).

Следователно средната стойност на тази поредица от числа е 22.

Сега разгледайте отрицателните числа. Нека си припомним как да ги обобщим. Например, имате две числа 1 и -4. Нека намерим тяхната сума.

1 + (-4) = 1 – 4 = -3

Като знаете това, разгледайте друг пример.

Пример 3Намерете средната стойност на поредица от числа: 3, -7, 5, 13, -2.

Решение.

Намиране на сбора на числата.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Тъй като има 5 члена, разделяме получената сума на 5.

Следователно средноаритметичното на числата 3, -7, 5, 13, -2 е 2,4.

В нашето време на технологичен прогрес е много по-удобно да се използват компютърни програми, за да се намери средната стойност. Microsoft Office Excel е един от тях. Намирането на средната стойност в Excel е бързо и лесно. Освен това тази програма е включена в софтуерния пакет от Microsoft Office. Помислете за кратка инструкция как да намерите средната аритметична стойност с помощта на тази програма.

За да изчислите средната стойност на поредица от числа, трябва да използвате функцията AVERAGE. Синтаксисът за тази функция е:
=Средно(аргумент1, аргумент2, ... аргумент255)
където аргумент1, аргумент2, ... аргумент255 са или числа, или препратки към клетки (клетките означават диапазони и масиви).

За да стане по-ясно, нека проверим получените знания.

Въведете числата 11, 12, 13, 14, 15, 16 в клетки C1 - C6.
Изберете клетка C7, като щракнете върху нея. В тази клетка ще покажем средната стойност.
Кликнете върху раздела "Формули".
Изберете Още функции > Статистически, за да отворите падащия списък.
Изберете СРЕДНО. След това трябва да се отвори диалогов прозорец.
Изберете и плъзнете клетки C1-C6 там, за да зададете диапазона в диалоговия прозорец.
Потвърдете действията си с бутона "OK".
Ако сте направили всичко правилно, в клетка C7 трябва да имате отговора - 13.7. Когато щракнете върху клетка C7, функцията (=Средно(C1:C6)) ще се покаже в лентата за формули.

Много е полезно да използвате тази функция за счетоводство, фактури или когато просто трябва да намерите средната стойност на много дълъг диапазон от числа. Поради това често се използва в офиси и големи компании. Това ви позволява да поддържате записите в ред и дава възможност бързо да изчислите нещо (например средния доход на месец). Можете също да използвате Excel, за да намерите средната стойност на функция.

Средно аритметично

Този термин има и други значения, вижте средното значение.

Той е предложен (заедно със средното геометрично и средното хармонично) от питагорейците.

Въведение

И двете количества се изчисляват по същия начин:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

Примери

За три числа трябва да ги съберете и разделите на 3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

За четири числа трябва да ги съберете и разделите на 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

Непрекъсната случайна променлива

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Някои проблеми при използването на средната стойност

Липса на здравина

Основна статия: Устойчивост в статистиката

Сложна лихва

Основна статия: ROI

Упътвания

Основна статия: Статистика на дестинацията

Първо, ъгловите мерки са определени само за диапазона от 0° до 360° (или от 0 до 2π, когато се измерват в радиани). Така една и съща двойка числа може да бъде записана като (1° и −1°) или като (1° и 719°). Средните стойности на всяка двойка ще бъдат различни: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2))= 0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
Второ, в този случай стойност от 0° (еквивалентна на 360°) би била геометрично най-добрата средна стойност, тъй като числата се отклоняват по-малко от 0°, отколкото от всяка друга стойност (стойността 0° има най-малката дисперсия). Сравнете:
- числото 1° се отклонява от 0° само с 1°;
- числото 1° се отклонява от изчислената средна стойност от 180° със 179°.

Среднопретеглена стойност - какво е това и как да го изчислим?

В процеса на изучаване на математиката учениците се запознават с понятието средно аритметично. В бъдеще в статистиката и някои други науки учениците ще се сблъскат и с изчисляването на други средни стойности. Какви могат да бъдат те и как се различават един от друг?

Средни стойности: значение и разлики

Не винаги точните показатели дават представа за ситуацията. За да се оцени тази или онази ситуация, понякога е необходимо да се анализират огромен брой цифри. И тогава на помощ идват средните стойности. Те ви позволяват да оцените ситуацията като цяло.

От училищните дни много възрастни помнят съществуването на средната аритметична стойност. Изчислява се много лесно - сумата от поредица от n члена се дели на n. Тоест, ако трябва да изчислите средната аритметична стойност в последователността от стойности 27, 22, 34 и 37, тогава трябва да решите израза (27 + 22 + 34 + 37) / 4, тъй като 4 стойности се използват в изчисленията. В този случай желаната стойност ще бъде равна на 30.

Често като част от училищния курс се изучава и средното геометрично. Изчисляването на тази стойност се основава на извличане на корен от n-та степен от произведението на n члена. Ако вземем едни и същи числа: 27, 22, 34 и 37, тогава резултатът от изчисленията ще бъде 29,4.

Хармоничната средна в общообразователното училище обикновено не е обект на изучаване. Въпреки това се използва доста често. Тази стойност е реципрочна на средната аритметична и се изчислява като частно от n - броя на стойностите и сумата 1/a 1 +1/a 2 +...+1/a n . Ако отново вземем същата серия от числа за изчисление, тогава хармоникът ще бъде 29,6.

Среднопретеглена стойност: характеристики

Въпреки това, всички горепосочени стойности може да не се използват навсякъде. Например в статистиката, когато се изчисляват някои средни стойности, важна роля играе "тежестта" на всяко число, използвано в изчислението. Резултатите са по-показателни и правилни, защото вземат предвид повече информация. Тази група стойности се наричат общо "среднопретеглена стойност". Те не се предават в училище, така че си струва да се спрем на тях по-подробно.

На първо място, струва си да се обясни какво се разбира под "тежестта" на определена стойност. Най-лесно това може да се обясни с конкретен пример. Телесната температура на всеки пациент се измерва два пъти дневно в болницата. От 100 пациенти в различни отделения на болницата 44 ще бъдат с нормална температура - 36,6 градуса. Други 30 ще са с повишена стойност – 37,2, 14 – 38, 7 – 38,5, 3 – 39, а останалите две – 40. И ако вземем средно аритметично, то тази стойност общо за болницата ще е над 38 градуса ! Но почти половината от пациентите имат напълно нормална температура. И тук би било по-правилно да се използва среднопретеглената стойност, а "тежестта" на всяка стойност ще бъде броят на хората. В този случай резултатът от изчислението ще бъде 37,25 градуса. Разликата е очевидна.

В случай на среднопретеглени изчисления, „теглото“ може да се приеме като брой пратки, брой хора, работещи в даден ден, изобщо всичко, което може да бъде измерено и да повлияе на крайния резултат.

Разновидности

Среднопретеглената стойност съответства на средната аритметична стойност, разгледана в началото на статията. Въпреки това, първата стойност, както вече беше споменато, също взема предвид теглото на всяко число, използвано в изчисленията. Освен това има и претеглени геометрични и хармонични стойности.

Има още една интересна разновидност, използвана в серии от числа. Това е претеглена пълзяща средна. Именно на негова база се изчисляват тенденциите. В допълнение към самите стойности и тяхната тежест, там се използва и периодичност. И когато се изчислява средната стойност в даден момент от времето, се вземат предвид и стойностите за предишни периоди от време.

Изчисляването на всички тези стойности не е толкова трудно, но на практика обикновено се използва само обичайната среднопретеглена стойност.

Методи за изчисление

В ерата на компютъризацията не е необходимо ръчно да се изчислява среднопретеглената стойност. Въпреки това би било полезно да знаете формулата за изчисление, за да можете да проверите и, ако е необходимо, да коригирате получените резултати.

Най-лесно ще бъде да разгледаме изчислението на конкретен пример.

Необходимо е да се установи каква е средната работна заплата в това предприятие, като се вземе предвид броят на работниците, получаващи определена заплата.

И така, изчисляването на среднопретеглената стойност се извършва по следната формула:

x = (a 1 *w 1 +a 2 *w 2 +...+a n *w n)/(w 1 +w 2 +...+w n)

Например изчислението би било:

x = (32*20+33*35+34*14+40*6)/(20+35+14+6) = (640+1155+476+240)/75 = 33,48

Очевидно няма особена трудност при ръчното изчисляване на среднопретеглената стойност. Формулата за изчисляване на тази стойност в едно от най-популярните приложения с формули - Excel - изглежда като функцията SUMPRODUCT (серия от числа; серия от тегла) / SUM (серия от тегла).

Как да намеря средна стойност в Excel?

как да намеря средно аритметично в excel?

Владимир09854

Лесна работа. За да намерите средната стойност в Excel, ви трябват само 3 клетки. В първия записваме едно число, във втория - друго. И в третата клетка ще отбележим формула, която ще ни даде средната стойност между тези две числа от първата и втората клетка. Ако клетка № 1 се нарича A1, клетка № 2 се нарича B1, тогава в клетката с формулата трябва да напишете така:

Тази формула изчислява средноаритметичната стойност на две числа.

За красотата на нашите изчисления можем да подчертаем клетките с линии, под формата на плоча.

В самия Excel също има функция за определяне на средната стойност, но аз използвам стария метод и въвеждам формулата, която ми трябва. Така съм сигурен, че Excel ще изчисли точно както ми трябва и няма да измисли някакво собствено закръгляване.

М3сергей

Това е много лесно, ако данните вече са въведени в клетките. Ако се интересувате само от число, просто изберете желания диапазон/диапазони и стойността на сумата от тези числа, тяхната средна аритметична стойност и техният брой ще се появят в лентата на състоянието долу вдясно.

Можете да изберете празна клетка, да кликнете върху триъгълника (падащ списък) "Автосума" и да изберете там "Средно", след което ще се съгласите с предложения диапазон за изчисление или изберете свой собствен.

И накрая, можете да използвате формулите директно - щракнете върху „Вмъкване на функция“ до лентата с формули и адреса на клетката. Функцията AVERAGE е в категорията "Статистически" и приема като аргументи както числа, така и препратки към клетки и т.н. Там можете да изберете и по-сложни опции, например AVERAGEIF - изчисляване на средната стойност по условие.

Намерете средно в екселе доста проста задача. Тук трябва да разберете дали искате да използвате тази средна стойност в някои формули или не.

Ако трябва да получите само стойността, тогава е достатъчно да изберете необходимия диапазон от числа, след което excel автоматично ще изчисли средната стойност - тя ще се покаже в лентата на състоянието, заглавието "Средно".

В случай, че искате да използвате резултата във формули, можете да направите следното:

1) Сумирайте клетките с помощта на функцията SUM и ги разделете на броя на числата.

2) По-правилен вариант е да използвате специална функция, наречена AVERAGE. Аргументите на тази функция могат да бъдат числа, дадени последователно, или диапазон от числа.

Владимир Тихонов

оградете стойностите, които ще бъдат включени в изчислението, щракнете върху раздела „Формули“, там ще видите „Автосумиране“ вляво и до него триъгълник, сочещ надолу. кликнете върху този триъгълник и изберете "Средно". Voila, готово) в долната част на колоната ще видите средната стойност :)

Екатерина Муталапова

Да започнем отначало и по ред. Какво означава средно?

Средната стойност е стойността, която е средно аритметично, т.е. се изчислява чрез добавяне на набор от числа и след това разделяне на общата сума на числата на техния брой. Например за числата 2, 3, 6, 7, 2 ще бъде 4 (сумата от числата 20 се дели на техния номер 5)

В електронна таблица на Excel за мен лично най-лесният начин беше да използвам формулата =СРЕДНО. За да изчислите средната стойност, трябва да въведете данни в таблицата, да напишете функцията =AVERAGE() под колоната с данни и в скоби да посочите диапазона от числа в клетките, като маркирате колоната с данните. След това натиснете ENTER или просто щракнете с левия бутон върху произволна клетка. Резултатът ще се покаже в клетката под колоната. На пръв поглед описанието е неразбираемо, но всъщност става въпрос за минути.

Авантюрист 2000

Програмата Excel е многостранна, така че има няколко опции, които ще ви позволят да намерите средната стойност:

Първи вариант. Просто сумирате всички клетки и ги разделяте на техния брой;

Втори вариант. Използвайте специална команда, напишете в необходимата клетка формулата "= СРЕДНО (и тук посочете диапазона от клетки)";

Трети вариант. Ако изберете необходимия диапазон, обърнете внимание, че на страницата по-долу се показва и средната стойност в тези клетки.

По този начин има много начини да намерите средната стойност, просто трябва да изберете най-добрия за вас и да го използвате постоянно.

В Excel, като използвате функцията AVERAGE, можете да изчислите простата средна аритметична стойност. За да направите това, трябва да въведете няколко стойности. Натиснете равно и изберете в категорията Статистически, сред които изберете функцията СРЕДНО

Също така, като използвате статистически формули, можете да изчислите среднопретеглената аритметична стойност, която се счита за по-точна. За да го изчислим, се нуждаем от стойностите на индикатора и честотата.

Как да намеря средната стойност в Excel?

Ситуацията е следната. Има следната таблица:

Защрихованите в червено колони съдържат числените стойности на оценките по предметите. В колоната "Средно" трябва да изчислите средната им стойност.
Проблемът е следният: има общо 60-70 обекта и някои от тях са на друг лист.
Погледнах в друг документ, средната стойност вече е изчислена, а в клетката има формула като
="име на лист"!|E12
но това беше направено от някакъв програмист, който беше уволнен.
Кажете ми, моля, кой разбира това.

Хектор

В реда с функции вмъквате "СРЕДНО" от предложените функции и избирате откъде да се изчислят (B6: N6) за Иванов например. Не знам със сигурност за съседните листове, но със сигурност това се съдържа в стандартната помощ на Windows

Кажете ми как да изчисля средната стойност в Word

Моля, кажете ми как да изчисля средната стойност в Word. А именно средната стойност на оценките, а не броят на хората, получили оценки.

Юлия павлова

Word може да направи много с макроси. Натиснете ALT+F11 и напишете макро програма.
Освен това Insert-Object... ще ви позволи да използвате други програми, дори Excel, за да създадете лист с таблица в документ на Word.
Но в този случай трябва да запишете числата си в колоната на таблицата и да поставите средната стойност в долната клетка на същата колона, нали?
За да направите това, вмъкнете поле в долната клетка.
Вмъкване на поле...-Формула
Съдържание на полето
[=СРЕДНО(ГОРЕ)]
връща средната стойност на сумата от клетките по-горе.
Ако полето е избрано и е натиснат десния бутон на мишката, то може да се актуализира, ако числата са се променили,
вижте кода или стойността на полето, променете кода директно в полето.
Ако нещо се обърка, изтрийте цялото поле в клетката и го създайте отново.
AVERAGE означава средно, ABOVE - около, тоест ред клетки отгоре.
Аз самият не знаех всичко това, но лесно го намерих в HELP, разбира се, като помислих малко.

Предмет: Статистика

Вариант номер 2

Средни стойности, използвани в статистиката

Въведение……………………………………………………………………………….3

Теоретична задача

Средната стойност в статистиката, нейната същност и условия за прилагане.

1.1. Същността на средната стойност и условията на използване………….4

1.2. Видове средни стойности………………………………………………8

Практическа задача

Задача 1,2,3…………………………………………………………………………14

Заключение…………………………………………………………………………….21

Списък на използваната литература………………………………………………...23

Въведение

Този тест се състои от две части – теоретична и практическа. В теоретичната част ще бъде разгледана подробно такава важна статистическа категория като средната стойност, за да се идентифицират нейната същност и условия на приложение, както и да се идентифицират видовете средни стойности и методите за тяхното изчисляване.

Статистиката, както знаете, изучава масови социално-икономически явления. Всяко от тези явления може да има различно количествено изражение на една и съща характеристика. Например заплатите на една и съща професия на работниците или цените на пазара за същия продукт и др. Средните стойности характеризират качествените показатели на търговската дейност: разходи за дистрибуция, печалба, рентабилност и др.

За да изследва всяка популация според различни (количествено променящи се) характеристики, статистиката използва средни стойности.

Средна есенция

Средната стойност е обобщаваща количествена характеристика на съвкупността от еднотипни явления по един вариращ признак. В икономическата практика се използват широк набор от показатели, изчислени като средни величини.

Най-важното свойство на средната стойност е, че тя представя стойността на определен признак в цялата съвкупност като едно число, въпреки количествените му различия в отделните единици на съвкупността, и изразява общото, което е присъщо на всички единици на съвкупността. изследваната популация. По този начин, чрез характеристиката на единица от съвкупността, тя характеризира цялата съвкупност като цяло.

Средните стойности са свързани със закона за големите числа. Същността на тази връзка се състои в това, че при осредняване на случайни отклонения на отделни стойности, поради действието на закона за големите числа, те взаимно се компенсират и в средната стойност се разкрива основната тенденция на развитие, необходимост, закономерност. Средните стойности позволяват сравнение на показатели, свързани с популации с различен брой единици.

В съвременните условия на развитие на пазарните отношения в икономиката средните стойности служат като инструмент за изследване на обективните закономерности на социално-икономическите явления. Икономическият анализ обаче не трябва да се ограничава само до средни показатели, тъй като общите благоприятни средни могат да скрият както големи и сериозни недостатъци в дейността на отделните икономически субекти, така и кълновете на нови, прогресивни. Например, разпределението на населението по доходи позволява да се идентифицира формирането на нови социални групи. Следователно, наред със средните статистически данни, е необходимо да се вземат предвид характеристиките на отделните единици от съвкупността.

Средната стойност е резултат от всички фактори, влияещи върху изследваното явление. Тоест, когато се изчисляват средните стойности, влиянието на случайни (пертурбативни, индивидуални) фактори взаимно се компенсират и по този начин е възможно да се определи моделът, присъщ на изследваното явление. Адолф Кетле подчертава, че значението на метода на средните стойности се състои във възможността за преход от единично към общо, от случайно към закономерно, а съществуването на средни е категория на обективната реалност.

Статистиката изучава масови явления и процеси. Всяко от тези явления има както общи за цялата съвкупност, така и специални, индивидуални свойства. Разликата между отделните явления се нарича вариация. Друго свойство на масовите явления е присъщата им близост на характеристиките на отделните явления. Така че взаимодействието на елементите на множеството води до ограничаване на вариацията на поне част от техните свойства. Тази тенденция обективно съществува. Именно в неговата обективност се крие причината за най-широкото приложение на средните стойности на практика и на теория.

Средната стойност в статистиката е обобщаващ показател, който характеризира типичното ниво на явление в конкретни условия на място и време, отразявайки величината на променлив признак на единица от качествено хомогенна съвкупност.

В икономическата практика се използва широк набор от показатели, изчислени като средни стойности.

С помощта на метода на средните стойности статистиката решава много проблеми.

Основната стойност на средните стойности е тяхната обобщаваща функция, тоест замяната на много различни индивидуални стойности на характеристика със средна стойност, която характеризира целия набор от явления.

Ако средната стойност обобщава качествено хомогенни стойности на черта, тогава тя е типична характеристика на черта в дадена популация.

Въпреки това е погрешно да се намали ролята на средните стойности само до характеризиране на типичните стойности на характеристиките в популациите, които са хомогенни по отношение на тази характеристика. На практика много по-често съвременната статистика използва средни величини, които обобщават ясно еднородни явления.

Средната стойност на националния доход на глава от населението, средният добив на зърнени култури в цялата страна, средното потребление на различни хранителни продукти са характеристиките на държавата като единна икономическа система, това са така наречените системни средни стойности.

Системните средни стойности могат да характеризират както пространствени или обектни системи, които съществуват едновременно (държава, индустрия, регион, планета Земя и т.н.), така и динамични системи, разширени във времето (година, десетилетие, сезон и т.н.).

Най-важното свойство на средната стойност е, че тя отразява общото, което е присъщо на всички единици от изследваната съвкупност. Стойностите на атрибута на отделните единици от съвкупността се колебаят в една или друга посока под влияние на много фактори, сред които могат да бъдат както основни, така и случайни. Например цената на акциите на една корпорация като цяло се определя от нейното финансово състояние. В същото време, в определени дни и на определени фондови борси, поради преобладаващите обстоятелства, тези акции могат да бъдат продадени на по-висок или по-нисък курс. Същността на средната се състои в това, че тя анулира отклоненията на стойностите на признака на отделни единици от съвкупността, дължащи се на действието на случайни фактори, и отчита промените, причинени от действието на основни фактори. Това позволява на средната стойност да отразява типичното ниво на атрибута и да се абстрахира от индивидуалните характеристики, присъщи на отделните единици.

Изчисляването на средната стойност е една обща техника за обобщение; средният показател отразява общото, характерно (характерно) за всички единици от изследваната съвкупност, като в същото време пренебрегва различията между отделните единици. Във всяко явление и неговото развитие има комбинация от случайност и необходимост.

Средната е обобщена характеристика на закономерностите на процеса в условията, в които протича.

Всяка средна стойност характеризира изследваната съвкупност според всяка една характеристика, но за да се характеризира всяка популация, да се опишат нейните типични характеристики и качествени характеристики, е необходима система от средни показатели. Следователно в практиката на вътрешната статистика за изследване на социално-икономическите явления като правило се изчислява система от средни показатели. Така например показателят за средната работна заплата се оценява заедно с показателите за средната производителност, съотношението капитал/тегло и съотношение мощност/тегло на труда, степента на механизация и автоматизация на труда и др.

Средната стойност трябва да се изчисли, като се вземе предвид икономическото съдържание на изследвания показател. Следователно за конкретен показател, използван в социално-икономическия анализ, може да се изчисли само една истинска средна стойност въз основа на научния метод на изчисление.

Средната стойност е един от най-важните обобщаващи статистически показатели, характеризиращ съвкупността от еднотипни явления по някакъв количествено различен признак. Средните стойности в статистиката са обобщаващи показатели, числа, изразяващи типичните характерни измерения на социалните явления по един количествено вариращ признак.

Видове средни стойности

Видовете средни стойности се различават предимно по това какво свойство, какъв параметър от първоначалната варираща маса от отделни стойности на чертата трябва да се запази непроменен.

Средноаритметично

Средно аритметичното е такава средна стойност на характеристика, при изчисляването на която общият обем на характеристиката в съвкупността остава непроменен. В противен случай можем да кажем, че средното аритметично е средното сборено. Когато се изчислява, общият обем на атрибута се разпределя мислено поравно между всички единици на съвкупността.

Средната аритметична стойност се използва, ако са известни стойностите на осреднения признак (x) и броя на единиците от съвкупността с определена стойност на признака (f).

Средната аритметична стойност може да бъде проста и претеглена.

просто аритметично средно

Използва се прост, ако всяка стойност на характеристика x се среща веднъж, т.е. за всяко x стойността на характеристиката е f=1 или ако оригиналните данни не са подредени и не е известно колко единици имат определени стойности на характеристика.

Формулата за средната аритметична е проста.

Средните стойности се отнасят до обобщаващи статистически показатели, които дават обобщена (окончателна) характеристика на масовите социални явления, тъй като те са изградени на базата на голям брой индивидуални стойности на различен атрибут. За да се изясни същността на средната стойност, е необходимо да се разгледат особеностите на формирането на стойностите на знаците на тези явления, според които се изчислява средната стойност.

Известно е, че единиците на всяко масово явление имат множество характеристики. Който и от тези знаци да вземем, неговите стойности за отделните единици ще бъдат различни, те се променят или, както се казва в статистиката, варират от една единица към друга. Така например заплатата на служителя се определя от неговата квалификация, естеството на работата, трудовия стаж и редица други фактори и следователно варира в много широк диапазон. Кумулативното влияние на всички фактори определя размера на доходите на всеки служител, но можем да говорим за средните месечни заплати на работниците в различни сектори на икономиката. Тук оперираме с типична, характерна стойност на променлив атрибут, отнасящ се до единица от голяма популация.

Средната стойност отразява това общ,което е характерно за всички единици от изследваната съвкупност. В същото време той балансира влиянието на всички фактори, действащи върху величината на атрибута на отделните единици от съвкупността, като че ли взаимно ги отменя. Нивото (или размерът) на всяко социално явление се определя от действието на две групи фактори. Някои от тях са общи и основни, постоянно действащи, тясно свързани с естеството на изучаваното явление или процес и формират, че типиченза всички единици от изследваната съвкупност, което се отразява в средната стойност. Други са индивидуален,тяхното действие е по-слабо изразено и е епизодично, случайно. Те действат в обратна посока, предизвикват различия в количествените характеристики на отделните единици от съвкупността, като се стремят да променят постоянната стойност на изследваните характеристики. Действието на отделните признаци се погасява в средната стойност. В кумулативното влияние на типични и индивидуални фактори, което се балансира и взаимно неутрализира в обобщаващи характеристики, фундаменталното закон на големите числа.

В съвкупност отделните стойности на знаците се сливат в обща маса и, така да се каже, се разтварят. Следователно и средна стойностдейства като "безлично", което може да се отклони от индивидуалните стойности на характеристиките, количествено не съвпадащи с нито една от тях. Средната стойност отразява общото, характерно и типично за цялата съвкупност поради взаимното премахване в нея на случайни, нетипични разлики между знаците на отделните й единици, тъй като нейната стойност се определя, така да се каже, от общия резултат на всички причини.

Въпреки това, за да може средната стойност да отразява най-типичната стойност на даден признак, тя не трябва да се определя за каквито и да е популации, а само за популации, състоящи се от качествено хомогенни единици. Това изискване е основното условие за научно обосновано прилагане на средните величини и предполага тясна връзка между метода на средните величини и метода на групировките при анализа на социално-икономическите явления. Следователно средната стойност е обобщаващ показател, който характеризира типичното ниво на променлив признак на единица от хомогенна популация в конкретни условия на място и време.

Определяйки по този начин същността на средните стойности, трябва да се подчертае, че правилното изчисляване на всяка средна стойност предполага изпълнението на следните изисквания:

качествена хомогенност на популацията, върху която се изчислява средната стойност. Това означава, че изчисляването на средните стойности трябва да се основава на метода на групиране, който осигурява избор на хомогенни, еднотипни явления;
изключване на влиянието върху изчисляването на средната стойност на случайни, чисто индивидуални причини и фактори. Това се постига, когато изчисляването на средната стойност се основава на достатъчно масивен материал, в който се проявява действието на закона за големите числа и всички инциденти взаимно се компенсират;
при изчисляване на средната стойност е важно да се установи целта на нейното изчисляване и т.нар определящ показател-тел(имот), към който следва да бъде ориентиран.

Определящият индикатор може да действа като сума от стойностите на осреднения атрибут, сумата от неговите реципрочни стойности, произведението на неговите стойности и т.н. Връзката между определящия индикатор и средната стойност се изразява, както следва: ако всички стойностите на осреднения атрибут се заменят със средната стойност, тогава тяхната сума или продукт в този случай няма да промени определящия индикатор. На базата на тази връзка на определящия показател със средната стойност се изгражда изходно количествено съотношение за директно изчисляване на средната стойност. Способността на средните стойности да запазват свойствата на статистическите съвкупности се нарича определящ имот.

Средната стойност, изчислена за съвкупността като цяло, се нарича обща авария;средни стойности, изчислени за всяка група - групови средни стойности.Общата средна стойност отразява общите черти на изследваното явление, средната групова дава описание на явлението, което се развива при специфичните условия на тази група.

Методите за изчисление могат да бъдат различни, следователно в статистиката се разграничават няколко вида средна стойност, основните от които са средната аритметична, средната хармонична и средната геометрична.

В икономическия анализ използването на средни стойности е основният инструмент за оценка на резултатите от научно-техническия прогрес, социалните мерки и търсенето на резерви за икономическо развитие. В същото време трябва да се помни, че прекомерното съсредоточаване върху средните стойности може да доведе до пристрастни заключения при извършване на икономически и статистически анализ. Това се дължи на факта, че средните стойности, като обобщаващи показатели, отменят и игнорират онези различия в количествените характеристики на отделните единици от съвкупността, които реално съществуват и могат да представляват независим интерес.

Видове средни стойности

В статистиката се използват различни видове средни стойности, които са разделени на два големи класа:

средни мощности (средно хармонично, средно геометрично, средно аритметично, средно квадратично, средно кубично);
структурни средни (мода, медиана).

Да изчисля мощни средстватрябва да се използват всички налични характерни стойности. Модаи Медианасе определят само от структурата на разпространение, поради което се наричат структурни, позиционни средни. Медианата и модата често се използват като средна характеристика в тези популации, където изчисляването на средната експоненциална стойност е невъзможно или непрактично.

Най-често срещаният тип средна стойност е средната аритметична. Под средноаритметичносе разбира като такава стойност на характеристика, която всяка единица от съвкупността би имала, ако сборът от всички стойности на характеристиката беше разпределен равномерно между всички единици на съвкупността. Изчисляването на тази стойност се свежда до сумирането на всички стойности на променливия атрибут и разделянето на получената сума на общия брой единици на съвкупността. Например петима работници са изпълнили поръчка за производство на части, докато първият е произвел 5 части, вторият - 7, третият - 4, четвъртият - 10, петият - 12. Тъй като в първоначалните данни стойността на всеки вариант се появи само веднъж, за да се определи средната производителност на един работник, трябва да се приложи простата формула за средно аритметично:

т.е. в нашия пример средната продукция на един работник е равна на

Наред с простото средно аритметично те учат средноаритметично претеглено.Например, нека изчислим средната възраст на студентите в група от 20 души, чиято възраст варира от 18 до 22 години, където xi- варианти на осреднената характеристика, фи- честота, която показва колко пъти се среща i-тостойност в съвкупността (Таблица 5.1).

Таблица 5.1

Средна възраст на учениците

Прилагайки формулата за средноаритметично претеглено, получаваме:

Има определено правило за избор на среднопретеглена аритметична стойност: ако има поредица от данни за два показателя, за един от които е необходимо да се изчисли

средната стойност и в същото време числените стойности на знаменателя на неговата логическа формула са известни, а стойностите на числителя са неизвестни, но могат да бъдат намерени като продукт на тези показатели, тогава средната стойност трябва да се изчисли с помощта на формулата за среднопретеглена аритметична стойност.

В някои случаи естеството на първоначалните статистически данни е такова, че изчисляването на средноаритметичното губи смисъл и единственият обобщаващ показател може да бъде само друг вид средна стойност - среден хармоник.Понастоящем изчислителните свойства на средната аритметична стойност са загубили своето значение при изчисляването на обобщаващи статистически показатели поради широкото въвеждане на електронни компютри. Средната хармонична стойност, която също е проста и претеглена, придоби голямо практическо значение. Ако числените стойности на числителя на логическата формула са известни, а стойностите на знаменателя са неизвестни, но могат да бъдат намерени като частно деление на един показател с друг, тогава средната стойност се изчислява чрез претеглената хармонична средна формула.

Например нека се знае, че първите 210 км колата е изминала със скорост 70 км/ч, а останалите 150 км със скорост 75 км/ч. Невъзможно е да се определи средната скорост на автомобила през цялото пътуване от 360 км, като се използва средноаритметичната формула. Тъй като опциите са скоростите в отделните участъци xj= 70 км/ч и x2= 75 км/ч, а теглата (fi) са съответните сегменти от пътя, тогава продуктите на опциите по тегла няма да имат нито физически, нито икономически смисъл. В този случай има смисъл сегментите от пътя да се разделят на съответните скорости (опции xi), т.е. времето, прекарано за преминаване на отделни участъци от пътя (fi / xi). Ако сегментите от пътя са означени с fi, тогава целият път се изразява като Σfi, а времето, прекарано по целия път, се изразява като Σ fi / xi , Тогава средната скорост може да се намери като частното от общото разстояние, разделено на общото прекарано време:

В нашия пример получаваме:

Ако при използване на средното хармонично тегло на всички опции (f) са равни, тогава вместо претегленото можете да използвате просто (непретеглено) хармонично средно:

където xi - индивидуални опции; н- броят на вариантите на осреднения признак. В примера със скорост може да се приложи проста хармонична средна стойност, ако сегментите от пътя, изминат с различни скорости, са равни.

Всяка средна стойност трябва да се изчислява така, че когато замества всеки вариант на осреднения признак, стойността на някакъв краен, обобщаващ показател, който е свързан с осреднения показател, да не се променя. Така че, когато се заменят действителните скорости на отделни участъци от пътя с тяхната средна стойност (средна скорост), общото разстояние не трябва да се променя.

Формата (формулата) на средната стойност се определя от естеството (механизма) на връзката на този краен показател с осреднения, следователно крайният показател, чиято стойност не трябва да се променя, когато опциите се заменят с тяхната средна стойност , е наречен определящ индикатор.За да изведете средната формула, трябва да съставите и решите уравнение, като използвате връзката на осреднения показател с определящия. Това уравнение се съставя чрез замяна на вариантите на осреднения признак (показател) с тяхната средна стойност.

Освен средната аритметична и средната хармонична в статистиката се използват и други видове (форми) на средната стойност. Всички те са специални случаи. средна степен.Ако изчислим всички видове степенни средни стойности за едни и същи данни, тогава стойностите

те ще бъдат еднакви, тук важи правилото майорствосреден. С нарастването на показателя на средната стойност нараства и самата средна стойност. Най-често използваните формули в практическите изследвания за изчисляване на различни видове средни стойности на мощността са представени в таблица. 5.2.

Таблица 5.2

Прилага се средната геометрична стойност, когато е налична. нфактори на растежа, докато индивидуалните стойности на признака като правило са относителни стойности на динамиката, изградени под формата на верижни стойности, като съотношение към предишното ниво на всяко ниво в динамичната серия. Така средната стойност характеризира средния темп на растеж. средно геометрично простоизчислено по формулата

Формула средногеометрично претегленоима следната форма:

Горните формули са идентични, но едната се прилага при текущи коефициенти или темпове на растеж, а втората - при абсолютни стойности на нивата на серията.

корен квадратенизползва се при изчисляване със стойностите на квадратни функции, използва се за измерване на степента на флуктуация на отделните стойности на атрибута около средноаритметичното в реда на разпределение и се изчислява по формулата

Средно квадратно претегленоизчислено по друга формула:

Среден кубсе използва при изчисляване със стойностите на кубични функции и се изчислява по формулата

среднопретеглен кубичен:

Всички горепосочени средни стойности могат да бъдат представени като обща формула:

къде е средната стойност; - индивидуална стойност; н- броя на единиците от изследваната съвкупност; к- експонента, която определя вида на средната стойност.

Когато използвате едни и същи изходни данни, толкова повече кв общата формула за средна мощност, толкова по-голяма е средната стойност. От това следва, че има редовна връзка между стойностите на средствата за мощност:

Описаните по-горе средни стойности дават обобщена представа за изследваната популация и от тази гледна точка тяхното теоретично, приложно и когнитивно значение е безспорно. Но се случва стойността на средната стойност да не съвпада с нито една от реално съществуващите опции, следователно, в допълнение към разглежданите средни стойности, в статистическия анализ е препоръчително да се използват стойностите на конкретни опции, които заемат доста определена позиция в подредена (класирана) поредица от стойности на атрибути. Сред тези количества най-често използваните са структурен,или описателен, среден- режим (Mo) и медиана (Me).

Мода- стойността на признака, който най-често се среща в тази популация. По отношение на вариационната серия, модата е най-често срещаната стойност на класираната серия, т.е. вариантът с най-висока честота. Модата може да се използва за определяне на най-посещаваните магазини, най-често срещаната цена за всеки продукт. Той показва размера на признака, характерен за значителна част от населението, и се определя по формулата

където x0 е долната граница на интервала; ч- интервална стойност; FM- интервална честота; fm_ 1 - честота на предишния интервал; fm+ 1 - честота на следващия интервал.

Медианаизвиква се вариантът, разположен в центъра на класирания ред. Медианата разделя серията на две равни части по такъв начин, че от двете й страни да има еднакъв брой единици съвкупност. В същото време в половината от единиците на съвкупността стойността на променливия атрибут е по-малка от медианата, а в другата половина е по-голяма от нея. Медианата се използва, когато се изследва елемент, чиято стойност е по-голяма или равна на или едновременно по-малка или равна на половината от елементите на серията на разпределение. Медианата дава обща представа за това къде са концентрирани стойностите на характеристиката, с други думи къде е техният център.

Описателният характер на медианата се проявява във факта, че тя характеризира количествената граница на стойностите на променливия атрибут, които се притежават от половината единици на съвкупността. Проблемът с намирането на медианата за дискретна вариационна серия се решава просто. Ако на всички единици от серията са дадени серийни номера, тогава серийният номер на медианния вариант се определя като (n + 1) / 2 с нечетен брой членове n. Ако броят на членовете на серията е четно число, тогава медианата ще бъде средната стойност на два варианта със серийни номера н/ 2 и н / 2 + 1.

При определяне на медианата в интервални вариационни серии първо се определя интервалът, в който тя се намира (средният интервал). Този интервал се характеризира с факта, че неговата натрупана сума от честоти е равна или надвишава половината от сумата от всички честоти на серията. Изчисляването на медианата на интервалната вариационна серия се извършва по формулата

където X0- долната граница на интервала; ч- интервална стойност; FM- интервална честота; f- броя на членовете на серията;

∫m-1 - сумата от натрупаните членове на серията, предхождаща тази.

Наред с медианата, за по-пълно характеризиране на структурата на изследваната популация, се използват и други стойности на опциите, които заемат доста определена позиция в класираната серия. Те включват квартилии децили.Квартилите разделят серията от сумата на честотите на 4 равни части, а децилите - на 10 равни части. Има три квартила и девет децила.

Медианата и режимът, за разлика от средната аритметична стойност, не гасят индивидуалните различия в стойностите на променлив атрибут и следователно са допълнителни и много важни характеристики на статистическата популация. В практиката те често се използват вместо средно или заедно с него. Изчисляването на медианата и модата е особено целесъобразно в случаите, когато изследваната съвкупност съдържа определен брой единици с много голяма или много малка стойност на променливия атрибут. Тези стойности на опциите, които не са много характерни за съвкупността, макар и да влияят на стойността на средноаритметичната стойност, не влияят на стойностите на медианата и модата, което прави последните много ценни показатели за икономически и статистически анализи .

Вариационни индикатори

Целта на статистическото изследване е да се идентифицират основните свойства и модели на изследваната статистическа съвкупност. В процеса на обобщена обработка на данните от статистическите наблюдения изграждаме разпределителни линии.Различават се два вида редове на разпределение - атрибутивни и вариационни, в зависимост от това дали признакът, който е в основата на групирането, е качествен или количествен.

вариационеннаречена серия на разпределение, изградена на количествена основа. Стойностите на количествените характеристики за отделните единици от съвкупността не са постоянни, повече или по-малко се различават една от друга. Тази разлика в стойността на една черта се нарича вариации.Наричат се отделни числени стойности на признака, срещащи се в изследваната популация опции за стойност.Наличието на вариация в отделните единици на популацията се дължи на влиянието на голям брой фактори върху формирането на нивото на признака. Изследването на характера и степента на вариация на признаците в отделните единици от съвкупността е най-важният въпрос на всяко статистическо изследване. Индикаторите за вариация се използват за описание на мярката за вариабилност на признака.

Друга важна задача на статистическите изследвания е да се определи ролята на отделните фактори или техните групи в изменението на определени характеристики на съвкупността. За решаването на такъв проблем в статистиката се използват специални методи за изследване на вариацията, базирани на използването на система от показатели, които измерват вариацията. На практика изследователят се сблъсква с достатъчно голям брой опции за стойностите на атрибута, което не дава представа за разпределението на единиците според стойността на атрибута в съвкупността. За да направите това, всички варианти на стойностите на атрибута са подредени във възходящ или низходящ ред. Този процес се нарича ред класиране.Класираната поредица веднага дава обща представа за стойностите, които функцията приема в съвкупността.

Недостатъчността на средната стойност за изчерпателна характеристика на популацията налага допълването на средните стойности с показатели, които позволяват да се оцени типичността на тези средни стойности чрез измерване на флуктуацията (вариацията) на изследваната черта. Използването на тези показатели за вариация дава възможност статистическият анализ да бъде по-пълен и съдържателен и по този начин да се разбере по-добре същността на изследваните социални явления.

Най-простите признаци на вариация са минимуми максимум -това е най-малката и най-голямата стойност на характеристиката в популацията. Извиква се броят на повторенията на отделните варианти на стойностите на характеристиките честота на повторение.Нека обозначим честотата на повторение на стойността на признака фи,сумата от честотите, равна на обема на изследваната популация, ще бъде:

където к- брой варианти на стойностите на атрибутите. Удобно е да замените честотите с честоти - w.i. Честота- индикатор за относителна честота - може да се изрази в части от единица или процент и ви позволява да сравнявате вариационни серии с различен брой наблюдения. Формално имаме:

За измерване на вариацията на даден признак се използват различни абсолютни и относителни показатели. Абсолютните показатели за вариация включват средно линейно отклонение, диапазон на вариация, дисперсия, стандартно отклонение.

Вариация на обхвата(R) е разликата между максималните и минималните стойности на признака в изследваната популация: Р= Xmax - Xmin. Този индикатор дава само най-обща представа за колебанията на изследваната черта, тъй като показва разликата само между граничните стойности на вариантите. Той е напълно несвързан с честотите във вариационните серии, т.е. с характера на разпределението, и неговата зависимост може да му придаде нестабилен, случаен характер само от екстремните стойности на атрибута. Диапазонът на вариация не дава информация за особеностите на изследваните популации и не ни позволява да оценим степента на типичност на получените средни стойности. Обхватът на този показател е ограничен до сравнително хомогенни популации, по-точно, той характеризира вариацията на черта, индикатор, основан на отчитане на променливостта на всички стойности на чертата.

За да се характеризира вариацията на черта, е необходимо да се обобщят отклоненията на всички стойности от всяка стойност, типична за изследваната популация. Такива показатели

вариациите, като средното линейно отклонение, дисперсията и стандартното отклонение, се основават на отчитането на отклоненията на стойностите на атрибута на отделните единици от съвкупността от средната аритметична стойност.

Средно линейно отклонениее средноаритметичната стойност на абсолютните стойности на отклоненията на отделните опции от тяхната средна аритметична стойност:

Абсолютната стойност (модул) на вариантното отклонение от средноаритметичното; е-честота.

Първата формула се прилага, ако всяка от опциите се среща съвкупно само веднъж, а втората - в серии с неравномерни честоти.

Има и друг начин за осредняване на отклоненията на опциите от средната аритметична стойност. Този метод, който е много разпространен в статистиката, се свежда до изчисляване на квадратните отклонения на опциите от средната стойност и след това тяхното осредняване. В този случай получаваме нов индикатор за вариация - дисперсията.

дисперсия(σ 2) - средната стойност на квадратните отклонения на вариантите на стойностите на характеристиките от тяхната средна стойност:

Втората формула се използва, ако вариантите имат собствени тегла (или честоти на вариационните серии).

В икономическия и статистически анализ е обичайно да се оценява вариацията на даден атрибут най-често с помощта на стандартното отклонение. Стандартно отклонение(σ) е корен квадратен от дисперсията:

Средните линейни и средни квадратни отклонения показват доколко стойността на атрибута варира средно за единиците от изследваната популация и се изразяват в същите единици като вариантите.

В статистическата практика често се налага да се сравняват вариациите на различни характеристики. Например, от голям интерес е да се сравнят вариациите във възрастта на персонала и неговата квалификация, трудов стаж и заплати и т.н. За такива сравнения показателите за абсолютната променливост на знаците - средното линейно и стандартното отклонение - не са подходящи. . Всъщност е невъзможно да се сравни колебанието на трудовия стаж, изразено в години, с колебанието на заплатите, изразено в рубли и копейки.

Когато се сравнява променливостта на различни признаци в съвкупността, е удобно да се използват относителни показатели за вариация. Тези показатели се изчисляват като съотношение на абсолютните показатели към средноаритметичното (или медианата). Като се използва като абсолютен индикатор за вариация обхвата на вариация, средното линейно отклонение, стандартното отклонение, се получават относителните показатели на флуктуацията:

Най-често използваният показател за относителна волатилност, характеризиращ хомогенността на съвкупността. Наборът се счита за хомогенен, ако коефициентът на вариация не надвишава 33% за разпределения, близки до нормалните.