Преминаването на частица през област, в която според законите на класическата механика тя не може да проникне, може да се обясни със съотношението на неопределеността. Несигурност на импулса Арна сегмента Ах =е Ar > -.Свързано с това разпространение в стойностите на импулса, кинет

302

Чешката енергия може да бъде

достатъчно за завършване

енергията на частицата се оказа по-голяма от потенциалната енергия.

Основите на теорията на тунелните кръстовища са положени в трудовете на L.I.

Тунелирането през потенциална бариера е в основата на много явления във физиката на твърдото тяло (например явления в контактен слой на границата между два полупроводника), атомна и ядрена физика (например разпад, термоядрени реакции).

§ 222. Линеен хармоничен осцилатор

В квантовата механика

Линеен хармоничен осцилатор- система, която извършва едномерно движение под действието на квазиеластична сила, е модел, използван в много проблеми на класическата и квантовата теория (виж § 142). Пружинното, физическото и математическото махало са примери за класически хармонични осцилатори.

Потенциална енергия на хармоничен осцилатор [вж. (141.5)] е

Къде е собствената честота на осцилатора; T -маса на частиците.

Зависимостта (222.1) има формата на парабола (фиг. 303), т.е. „Потенциалната яма“ в този случай е параболична.

Амплитудата на малките трептения на класическия осцилатор се определя от неговата обща енергия д(вижте фиг. 17).

Dinger, като се вземе предвид изразът (222.1) за потенциалната енергия. Тогава стационарните състояния на квантовия осцилатор се определят от уравнението на Шрьодингер във формата

= 0, (222.2)

където Е -общата енергия на осцилатора. В теорията на диференциалните уравнения

Доказано е, че уравнението (222.2) се решава само за собствените стойности на енергията

(222.3)

Формула (222.3) показва, че енергията на квантовия осцилатор може

имат само дискретни стойности,т.е. се квантува.Енергията е ограничена отдолу с ненулева стойност, както за правоъгълна „яма“ с безкрайно високи „стени“ (вижте § 220), с минимална енергийна стойност = су-

наличието на минимум енергия – т.нар енергия на нулева точка - е типично за квантовите системи и е пряко следствие от връзката на неопределеността.

Наличието на нулеви трептения означава, че частицата не може да бъде на дъното на „потенциалния кладенец“ (независимо от формата на кладенеца). Наистина, "падането на дъното на ямата" се свързва с изчезването на импулса на частицата и в същото време с нейната несигурност. Тогава неопределеността на координатата става произволно голяма, което от своя страна противоречи на присъствието на частицата в

"потенциална дупка".

Изводът за наличието на енергия на нулеви трептения на квантовия осцилатор противоречи на заключенията на класическата теория, според която най-малката енергия, която може да има един осцилатор, е нула (съответстваща на частица в покой в ​​равновесно положение) . Например, според заключенията на класическата физика при T= 0, енергията на вибрационното движение на атомите на кристала трябва да е изчезнала. Следователно, разсейването на светлината, дължащо се на вибрациите на атомите, също трябва да изчезне. Експериментът обаче показва, че интензитетът на разсейване на светлината с намаляване на температурата не е равен на нула, а клони към определена гранична стойност, което показва, че при T 0 вибрациите на атомите в кристала не спират. Това е потвърждение за наличието на нулеви колебания.

От формула (222.3) също следва, че енергийните нива на линеен хармоничен осцилатор са разположени на равни разстояния едно от друго (виж фиг. 303), а именно разстоянието между съседните енергийни нива е равно на и минималната енергийна стойност =

Строгото решение на проблема с квантовия осцилатор води до друга съществена разлика от класическата.

Формата на вълновото уравнение на физическата система се определя от нейния хамилтониан, който поради това придобива фундаментално значение в целия математически апарат на квантовата механика.

Формата на хамилтониана на свободна частица вече е установена от общите изисквания, свързани с хомогенността и изотропността на пространството и принципа на относителността на Галилей. В класическата механика тези изисквания водят до квадратична зависимост на енергията на частица от нейния импулс: където константата се нарича маса на частицата (виж I, § 4). В квантовата механика същите изисквания водят до същата връзка за собствените стойности на енергията и импулса - едновременно измерими запазени (за свободна частица) количества.

Но за да се запази връзката за всички собствени стойности на енергия и импулс, тя трябва да е валидна и за техните оператори:

Замествайки (15.2) тук, получаваме хамилтониан на свободно движеща се частица във формата

където е операторът на Лаплас.

Хамилтонианът на система от невзаимодействащи частици е равен на сумата от хамилтонианите на всяка от тях:

където индексът a номерира частиците; е операторът на Лаплас, при който се извършва диференциране по координатите на частицата.

В класическата (нерелативистка) механика взаимодействието на частиците се описва с адитивен член във функцията на Хамилтон - потенциалната енергия на взаимодействие, която е функция на координатите на частиците.

Чрез добавяне на същата функция към хамилтониана на системата се описва и взаимодействието на частиците в квантовата механика:

първият член може да се разглежда като оператор на кинетична енергия, а вторият като оператор на потенциална енергия. По-специално, хамилтонианът за една частица във външно поле е

където U(x, y, z) е потенциалната енергия на частица във външно поле.

Заместването на изрази (17.2)-(17.5) в общото уравнение (8.1) дава вълновите уравнения за съответните системи. Тук записваме вълновото уравнение за частица във външно поле

Уравнение (10.2), което определя стационарните състояния, има формата

Уравнения (17.6) и (17.7) са създадени от Шрьодингер през 1926 г. и се наричат ​​уравнения на Шрьодингер.

За свободна частица уравнението (17.7) има формата

Това уравнение има крайни решения в цялото пространство за всяка положителна стойност на енергията E. За състояния с определени посоки на движение тези решения са собствени функции на оператора на импулса и . Общите (зависими от времето) вълнови функции на такива стационарни състояния имат формата

(17,9)

Всяка такава функция - плоска вълна - описва състояние, в което частицата има определена енергия E и импулс. Честотата на тази вълна е и нейният вълнов вектор, съответстващ на дължината на вълната, се нарича дължина на вълната на де Бройл на частицата.

Енергийният спектър на свободно движеща се частица по този начин се оказва непрекъснат, простиращ се от нула до всяка от тези собствени стойности (с изключение само на стойността, която е изродена, а израждането е с безкрайна множественост. Наистина, за всяка ненулева стойност на E съответства безкраен набор от собствени функции (17, 9), които се различават по векторни посоки за една и съща абсолютна стойност.

Нека проследим как се осъществява граничният преход към класическата механика в уравнението на Шрьодингер, като за простота разглеждаме само една частица във външно поле. Замествайки в уравнението на Шрьодингер (17.6) граничния израз (6.1) на вълновата функция, получаваме след диференциране

Това уравнение има чисто реални и чисто въображаеми членове (припомнете си, че S и a са реални); приравнявайки двете поотделно на нула, получаваме две уравнения:

Пренебрегвайки члена, съдържащ се в първото от тези уравнения, получаваме

(17,10)

т.е., както трябва да бъде, класическото уравнение на Хамилтън-Якоби за действието на S частицата. Между другото, виждаме, че за , класическата механика е валидна до стойности от първи (а не нулев) ред до и включително.

Второто от уравненията, получени след умножение по 2а, може да бъде пренаписано във формата

Това уравнение има ясен физически смисъл: има плътност на вероятността за намиране на частица в едно или друго място в пространството, има класическа скорост v на частицата. Следователно уравнение (17.11) не е нищо друго освен уравнение за непрекъснатост, показващо, че плътността на вероятността се „движи“ според законите на класическата механика с класическата скорост v във всяка точка.

Задача

Намерете закона за трансформация на вълновата функция при трансформацията на Галилей.

Решение. Нека извършим трансформация върху вълновата функция на свободното движение на частица (плоска вълна). Тъй като всяка функция може да бъде разширена по отношение на равнинни вълни, законът за трансформация ще бъде намерен и за произволна вълнова функция.

Равнинни вълни в референтни системи K и K" (K" се движи спрямо K със скорост V):

а импулсите и енергиите на частицата в двете системи са свързани помежду си с формулите

(вижте I, § 8), замествайки тези изрази в получаваме

В тази форма тази формула вече не съдържа величини, характеризиращи свободното движение на частица, и установява желания общ закон за трансформация на вълновата функция на произволно състояние на частицата. За система от частици показателят в (1) трябва да включва сумата върху частиците.

Общо уравнение на Шрьодингер. Уравнение на Шрьодингер за стационарни състояния

Статистическата интерпретация на вълните на де Бройл (виж § 216) и съотношението на Хайзенберг на несигурност (виж 5 215) доведе до заключението, че уравнението на движението в квантовата механика, описващо движението на микрочастиците в различни силови полета, трябва да бъде уравнение от върху които наблюдаемите преживяват вълновите свойства на частиците. Основното уравнение трябва да бъде уравнение за вълновата функция Ψ (x, y, z, t), тъй като именно тя, или по-точно, величината |Ψ| 2, определя вероятността частицата да остане в момент t в обема dV, т.е. в областта с координати x и x+dx, y и y+dy, z и z+dz. Тъй като желаното уравнение трябва да отчита вълновите свойства на частиците, то трябва да бъде вълново уравнение, подобно на уравнението, описващо електромагнитните вълни.

Основното уравнение на нерелативистката квантова механика е формулирано през 1926 г. от Е. Шрьодингер. Уравнението на Шрьодингер, подобно на всички основни уравнения на физиката (например уравненията на Нютон в класическата механика и уравненията на Максуел за електромагнитното поле), не е изведено, а постулирано. Правилността на това уравнение се потвърждава от съответствието с опита на получените с него резултати, което от своя страна му придава характер на природен закон. Уравнението на Шрьодингер има формата

където h=h/(2π), m е масата на частицата, ∆ е операторът на Лаплас ( ),

i - въображаема единица, U (x, y, z, t) - потенциална функция на частица в силовото поле, в което се движи, Ψ (x, y, z, t ) - желаната вълнова функция на частицата.

Уравнение (217.1) е валидно за всяка частица (със спин, равен на 0; виж § 225), движеща се с малка (в сравнение със скоростта на светлината) скорост, т.е. със скорост υ<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные

трябва да бъде непрекъснато; 3) функцията |Ψ| 2 трябва да бъде интегрируем; това условие в най-простите случаи се свежда до условието за нормализиране на вероятностите (216.3).

За да стигнем до уравнението на Шрьодингер, нека разгледаме свободно движеща се частица, която според идеята на де Бройл е свързана с плоска вълна. За простота разглеждаме едномерния случай. Уравнението за плоска вълна, разпространяваща се по оста x е (вижте § 154)

Или в сложна нотация . Следователно плоската вълна на де Бройл има формата

(217.2)

(като се има предвид, че ω = E/h, k=p/h). В квантовата механика експонентата се взема със знак минус, но тъй като само |Ψ| 2, тогава това (виж (217.2)) е несъществено. Тогава

,

; (217.3)

Използвайки връзката между енергията E и импулса p (E = p 2 /(2m)) и замествайки изразите (217.3), получаваме диференциалното уравнение

което съвпада с уравнение (217.1) за случая U = 0 (разглеждахме свободна частица).

Ако една частица се движи в силово поле, характеризиращо се с потенциална енергия U, тогава общата енергия E е сумата от кинетичната и потенциалната енергия. Извършвайки подобно разсъждение, използвайки връзката между E и p (за този случай, p 2 / (2m) = E - U), се въртим до диференциално уравнение, съвпадащо с (217.1).

Горното разсъждение не трябва да се приема като извод на уравнението на Шрьодингер. Те само обясняват как може да се стигне до това уравнение. Доказателството за правилността на уравнението на Шрьодингер е съгласуването с опита на заключенията, до които то води.

Уравнение (217.1) е общото уравнение на Шрьодингер. Нарича се още времезависимо уравнение на Шрьодингер. За много физически явления, случващи се в микрокосмоса, уравнение (217.1) може да бъде опростено чрез елиминиране на зависимостта на Ψ от времето, с други думи, да се намери уравнението на Шрьодингер за стационарни състояния - състояние с фиксирани енергийни стойности. Това е възможно, ако силовото поле, в което се движи частицата, е неподвижно, т.е. функцията U = U(x, y, z ) не зависи изрично от времето и има значението на потенциална енергия. В този случай решението на уравнението на Шрьодингер може да се представи като произведение на две функции, едната от които е функция само на координатите, другата е функция само на времето, а зависимостта от времето се изразява с фактора

,

където Е - общата енергия на частицата, която е постоянна в случай на стационарно поле. Замествайки (217.4) в (217.1), получаваме

откъдето след разделяне на общия множител e – i (E/ h) t и съответните трансформации стигаме до уравнението, което определя функцията ψ:

(217.5)

Уравнение (217.5) се нарича уравнение на Шрьодингер за стационарни състояния.

Това уравнение включва общата енергия E на частицата като параметър. В теорията на диференциалните уравнения се доказва, че такива уравнения имат безкраен брой решения, от които чрез налагане на гранични условия се избират решения, които имат физически смисъл. За уравнението на Шрьодингер такива условия са условията за редовност на вълновите функции: вълновите функции трябва да бъдат крайни, еднозначни и непрекъснати заедно с техните първи производни. Следователно само решения, които са изразени чрез регулярни функции ψ . Но регулярни решения не се извършват за никакви стойности на параметъра E, а само за определен набор от тях, който е характерен за дадения проблем. Тези енергийни стойности се наричат ​​присъщи. Решенията, които съответстват на собствените стойности на енергията, се наричат ​​собствени функции. Собствените стойности E могат да образуват непрекъсната или дискретна серия. В първия случай се говори за непрекъснат или непрекъснат спектър, във втория - за дискретен спектър.

1. Въведение

Квантовата теория се ражда през 1900 г., когато Макс Планк предлага теоретично заключение за връзката между температурата на тялото и радиацията, излъчвана от това тяло - заключение, което дълго време убягва на други учени.Както своите предшественици, Планк предполага, че атомните осцилаторите излъчват радиация, но в същото време той вярва, че енергията на осцилаторите (и следователно излъчваната от тях радиация) съществува под формата на малки дискретни части, които Айнщайн нарича кванти. Енергията на всеки квант е пропорционална на честотата на излъчване. Въпреки че формулата на Планк беше широко възхитена, предположенията, които той направи, останаха неразбираеми, тъй като противоречат на класическата физика.

През 1905 г. Айнщайн използва квантовата теория, за да обясни някои аспекти на фотоелектричния ефект - излъчването на електрони от метална повърхност, която е изложена на ултравиолетово лъчение. По пътя Айнщайн отбелязва привиден парадокс: светлината, за която от два века е известно, че се движи в непрекъснати вълни, може при определени обстоятелства да се държи като поток от частици.

Около осем години по-късно Нилс Бор разшири квантовата теория до атома и обясни честотите на вълните, излъчвани от атоми, възбудени в пламък или в електрически заряд. Ърнест Ръдърфорд показа, че масата на атома е почти изцяло концентрирана в централното ядро, което носи положителен електрически заряд и е заобиколено на относително големи разстояния от електрони, които носят отрицателен заряд, в резултат на което атомът като цяло е електрически неутрален. Бор предполага, че електроните могат да бъдат само в определени дискретни орбити, съответстващи на различни енергийни нива, и че "скокът" на електрона от една орбита в друга, с по-ниска енергия, е придружен от излъчване на фотон, чиято енергия е равна към енергийната разлика между двете орбити. Честотата, според теорията на Планк, е пропорционална на енергията на фотона. По този начин моделът на атома на Бор установява връзка между различните спектрални линии, характерни за вещество, излъчващо радиация, и атомната структура. Въпреки първоначалния успех, моделът на атома на Бор скоро изисква модификации, за да се премахнат несъответствията между теорията и експеримента. В допълнение, квантовата теория на този етап все още не е предоставила систематична процедура за решаване на много квантови проблеми.

Нова съществена характеристика на квантовата теория се появява през 1924 г., когато де Бройл излага радикална хипотеза за вълновата природа на материята: ако електромагнитните вълни, като светлината, понякога се държат като частици (както показа Айнщайн), тогава частиците, като например електронът при определени обстоятелства може да се държи като вълна. Във формулировката на де Бройл честотата, съответстваща на дадена частица, е свързана с нейната енергия, както в случая на фотон (частица светлина), но математическият израз на де Бройл е еквивалентна връзка между дължината на вълната, масата на частицата и нейната скорост (импулс). Съществуването на електронните вълни е експериментално доказано през 1927 г. от Клинтън Дейвисън и Лестър Гермър в САЩ и от Джон Паджет Томсън в Англия.

Впечатлен от коментарите на Айнщайн върху идеите на де Бройл, Шрьодингер се опитва да приложи вълновото описание на електроните към изграждането на последователна квантова теория, несвързана с неадекватния модел на атома на Бор. В известен смисъл той възнамеряваше да доближи квантовата теория до класическата физика, която е натрупала много примери за математическо описание на вълните. Първият опит, направен от Шрьодингер през 1925 г., завършва с неуспех.

Скоростите на електроните в теорията II на Шрьодингер бяха близки до скоростта на светлината, което изискваше включването на специалната теория на относителността на Айнщайн в нея и отчитане на значителното увеличение на масата на електрона, предвидено от нея при много високи скорости.

Една от причините за провала на Шрьодингер е, че той не е взел предвид наличието на специфично свойство на електрона, сега известно като спин (въртенето на електрона около собствената му ос, като връх), което по това време е малко известни.

Следващият опит е направен от Шрьодингер през 1926 г. Този път скоростите на електроните са избрани от него да бъдат толкова малки, че необходимостта от включването на теорията на относителността изчезва от само себе си.

Вторият опит беше увенчан с извеждането на вълновото уравнение на Шрьодингер, което дава математическо описание на материята от гледна точка на вълновата функция. Шрьодингер нарича своята теория вълнова механика. Решенията на вълновото уравнение бяха в съгласие с експерименталните наблюдения и имаха дълбок ефект върху последващото развитие на квантовата теория.

Малко преди това Вернер Хайзенберг, Макс Борн и Паскуал Джордан публикуват друга версия на квантовата теория, наречена матрична механика, която описва квантовите явления с помощта на таблици с наблюдаеми. Тези таблици са подредени по определен начин математически набори, наречени матрици, върху които по известни правила могат да се извършват различни математически операции. Матричната механика също направи възможно постигането на съгласие с наблюдаваните експериментални данни, но за разлика от вълновата механика, тя не съдържа никакви конкретни препратки към пространствени координати или време. Хайзенберг специално настояваше да се изоставят всякакви прости визуални представяния или модели в полза само на онези свойства, които могат да бъдат определени чрез експеримент.

Шрьодингер показа, че вълновата механика и матричната механика са математически еквивалентни. Сега общо известни като квантова механика, тези две теории предоставиха дългоочакваната обща основа за описание на квантовите явления. Много физици предпочитаха вълновата механика, защото нейният математически апарат им беше по-познат и концепциите й изглеждаха по-"физически"; операциите с матрици са по-тромави.

Функция Ψ. Нормализация на вероятността.

Откриването на вълновите свойства на микрочастиците показва, че класическата механика не може да даде правилно описание на поведението на такива частици. Имаше нужда да се създаде механиката на микрочастиците, която също да вземе предвид техните вълнови свойства. Новата механика, създадена от Шрьодингер, Хайзенберг, Дирак и други, се нарича вълнова или квантова механика.

Плоска вълна на Де Бройл

е много специална вълнова формация, съответстваща на свободното равномерно движение на частица в определена посока и с определен импулс. Но една частица, дори в свободно пространство и особено в силови полета, може да извършва други движения, описани от по-сложни вълнови функции. В тези случаи пълно описание на състоянието на частица в квантовата механика се дава не от плоска вълна на Бройл, а от някаква по-сложна комплексна функция

Чрез вълновата функция се определя относителната вероятност за откриване на частица на различни места в пространството. На този етап, когато се обсъждат само вероятностни съотношения, вълновата функция е фундаментално дефинирана до произволен постоянен фактор. Ако във всички точки на пространството вълновата функция се умножи по едно и също постоянно (най-общо казано комплексно) число, което е различно от нула, тогава ще се получи нова вълнова функция, която описва точно същото състояние. Няма смисъл да се казва, че Ψ е нула във всички точки в пространството, тъй като такава "вълнова функция" никога не позволява да се направи заключение за относителната вероятност за намиране на частица на различни места в пространството. Но несигурността в дефиницията на Ψ може да бъде значително стеснена чрез преминаване от относителна към абсолютна вероятност. Нека управляваме неопределения фактор във функцията Ψ, така че стойността |Ψ|2dV да дава абсолютната вероятност за намиране на частица в елемента на пространствения обем dV. Тогава |Ψ|2 = Ψ*Ψ (Ψ* е комплексно спрегнатото на Ψ) ще има значението на плътността на вероятността, която трябва да се очаква, когато се опитваме да открием частица в пространството. В този случай Ψ все още ще бъде определено до произволен постоянен комплексен фактор, чийто модул обаче е равен на единица. С тази дефиниция условието за нормализиране трябва да бъде изпълнено:

където интегралът се взема върху цялото безкрайно пространство. Това означава, че в цялото пространство частицата ще бъде открита със сигурност. Ако интегралът от |Ψ|2 се вземе върху определен обем V1, ние изчисляваме вероятността да намерим частица в пространството на обем V1.

Нормализацията (2) може да е невъзможна, ако интеграл (2) се разминава. Такъв ще бъде случаят например в случай на плоска вълна на де Бройл, когато вероятността за откриване на частица е една и съща във всички точки на пространството. Но такива случаи трябва да се разглеждат като идеализация на реална ситуация, в която частицата не отива в безкрайността, а е принудена да остане в ограничена област от пространството. Тогава нормализацията не е трудна.

Така че непосредственият физически смисъл се свързва не със самата функция Ψ, а с нейния модул Ψ*Ψ. Защо тогава в квантовата теория те оперират с вълновите функции Ψ, а не директно с експериментално наблюдаваните величини Ψ*Ψ? Това е необходимо за тълкуването на вълновите свойства на материята - интерференция и дифракция. Тук ситуацията е абсолютно същата като във всяка вълнова теория. Той (поне в линейно приближение) приема валидността на принципа на суперпозиция на самите вълнови полета, а не на техните интензитети, и по този начин постига включване в теорията на явленията вълнова интерференция и дифракция. Така че в квантовата механика принципът на суперпозицията на вълновите функции се приема като един от основните постулати, който се състои в следното.