Има ли обратна матрица. висша математика

Продължаваме да говорим за действия с матрици. А именно, в хода на изучаването на тази лекция ще научите как да намерите обратната матрица. Уча. Дори ако математиката е тясна.

Какво е обратна матрица? Тук можем да направим аналогия с реципрочните числа: разгледайте например оптимистичното число 5 и неговата реципрочна стойност. Произведението на тези числа е равно на едно: . Същото е и с матриците! Произведението на матрица и нейната обратна е - матрица на идентичността, което е матричният аналог на числовата единица. Въпреки това, първо ще решим един важен практически проблем, а именно ще се научим как да намираме тази много обратна матрица.

Какво трябва да знаете и да можете да намерите обратната матрица? Трябва да можеш да решаваш детерминанти. Трябва да разберете какво е матрицаи да можете да извършвате някои действия с тях.

Има два основни метода за намиране на обратната матрица:
като се използва алгебрични добавкии с помощта на елементарни трансформации.

Днес ще изучаваме първия, по-лесен начин.

Да започнем с най-ужасното и неразбираемо. Обмисли квадратматрица . Обратната матрица може да се намери с помощта на следната формула:

Където е детерминантата на матрицата, е транспонираната матрица от алгебрични допълнения на съответните елементи на матрицата.

Концепцията за обратна матрица съществува само за квадратни матрици, матрици "две по две", "три по три" и др.

Нотация: Както вероятно вече сте забелязали, обратната на матрица се обозначава с горен индекс

Да започнем с най-простия случай - матрица две на две. Най-често, разбира се, се изисква "три по три", но въпреки това силно препоръчвам да изучавате по-проста задача, за да научите общия принцип на решението.

Пример:

Намерете обратното на матрица

Ние решаваме. Последователността от действия е удобно разложена на точки.

1) Първо намираме детерминантата на матрицата.

Ако разбирането на това действие не е добро, прочетете материала Как да изчислим детерминантата?

важно!Ако детерминантата на матрицата е НУЛА– обратна матрица НЕ СЪЩЕСТВУВА.

В разглеждания пример, както се оказа, , което означава, че всичко е наред.

2) Намерете матрицата на минорите.

За да разрешим нашия проблем, не е необходимо да знаем какво е непълнолетно лице, но е препоръчително да прочетете статията Как да изчислим детерминантата.

Матрицата на минорите има същите размери като матрицата , т.е. в този случай .
Случаят е малък, остава да намерите четири числа и да ги поставите вместо звездички.

Обратно към нашата матрица
Нека първо разгледаме горния ляв елемент:

Как да го намерите незначителен?
И това се прави по следния начин: УМСТВЕНО зачеркнете реда и колоната, в които се намира този елемент:

Останалият брой е минор на дадения елемент, което записваме в нашата матрица от второстепенни:

Разгледайте следния матричен елемент:

Мислено задраскайте реда и колоната, в които се намира този елемент:

Това, което остава, е минорът на този елемент, който записваме в нашата матрица:

По същия начин разглеждаме елементите на втория ред и намираме техните второстепенни:

Готов.

Просто е. В матрицата на непълнолетните се нуждаете ПРОМЯНА НА ЗНАЦИза две числа:

Точно тези цифри съм оградил!

е матрицата на алгебричните допълнения на съответните елементи на матрицата .

И само нещо…

4) Намерете транспонираната матрица на алгебрични добавки.

е транспонираната матрица от алгебрични добавки на съответните елементи на матрицата.

5) Отговор.

Запомнете нашата формула
Всички намерени!

Така че обратната матрица е:

Най-добре е да оставите отговора такъв, какъвто е. НЯМА НУЖДАразделете всеки елемент от матрицата на 2, като ще се получат дробни числа. Този нюанс е разгледан по-подробно в същата статия. Действия с матрици.

Как да проверите решението?

Трябва да се извърши и матрично умножение

Преглед:

вече споменах матрица на идентичносттае матрица с включени единици главен диагонали нули другаде.

По този начин обратната матрица се намира правилно.

Ако извършите действие, тогава резултатът също ще бъде матрица за идентичност. Това е един от малкото случаи, когато умножението на матрицата е пермутабилно, повече информация можете да намерите в статията Свойства на операциите върху матрици. Матрични изрази. Също така имайте предвид, че по време на проверката константата (дробта) се изнася напред и се обработва в самия край - след умножението на матрицата. Това е стандартен прием.

Нека да преминем към по-често срещан случай в практиката - матрицата три по три:

Пример:

Намерете обратното на матрица

Алгоритъмът е абсолютно същият като в случая две по две.

Намираме обратната матрица по формулата: , където е транспонираната матрица от алгебрични допълнения на съответните елементи на матрицата .

1) Намерете детерминанта на матрицата.

Тук се разкрива детерминантата на първия ред.

Освен това не забравяйте това, което означава, че всичко е наред - съществува обратна матрица.

2) Намерете матрицата на минорите.

Матрицата на минорите има размерността "три по три" и трябва да намерим девет числа.

Ще разгледам подробно няколко непълнолетни:

Разгледайте следния матричен елемент:

УМСТВЕНО задраскайте реда и колоната, в които се намира този елемент:

Останалите четири числа са записани в определителя "две по две"

Тази детерминанта две по две и е минор на дадения елемент. Необходимо е да се изчисли:

Всичко, минорът е намерен, ние го записваме в нашата матрица от минори:

Както може би се досещате, има девет детерминанти две по две за изчисляване. Процесът, разбира се, е досаден, но случаят не е най-трудният, може да бъде и по-лош.

Е, за консолидиране - намиране на друг непълнолетен в снимките:

Опитайте сами да изчислите останалите непълнолетни.

Краен резултат:
е матрицата на минорите на съответните елементи на матрицата .

Това, че всички непълнолетни се оказаха отрицателни, е чиста случайност.

3) Намерете матрицата на алгебричните добавки.

В матрицата на непълнолетните е необходимо ПРОМЯНА НА ЗНАЦИстрого за следните елементи:

В такъв случай:

Намирането на обратната матрица за матрицата „четири по четири“ не се разглежда, тъй като само садистичен учител може да даде такава задача (за ученика да изчисли една детерминанта „четири по четири“ и 16 детерминанти „три по три“) . В моята практика имаше само един такъв случай и клиентът на теста плати за мъките ми доста скъпо =).

В редица учебници, ръководства можете да намерите малко по-различен подход за намиране на обратната матрица, но препоръчвам да използвате горния алгоритъм за решение. Защо? Тъй като вероятността да се объркате в изчисленията и знаците е много по-малка.

Намиране на обратната матрица.

В тази статия ще разгледаме концепцията за обратна матрица, нейните свойства и начините за намирането й. Нека се спрем подробно на решаването на примери, в които се изисква да се изгради обратна матрица за дадена.

Навигация в страницата.

Обратна матрица - определение.

Намиране на обратната матрица с помощта на матрица от алгебрични добавки.

Свойства на обратната матрица.

Намиране на обратната матрица по метода на Гаус-Жордан.

Намиране на елементи от обратната матрица чрез решаване на съответните системи от линейни алгебрични уравнения.

Обратна матрица - определение.

Концепцията за обратна матрица се въвежда само за квадратни матрици, чиято детерминанта е различна от нула, т.е. за неособени квадратни матрици.

Определение.

Матрицасе нарича обратна на матрицата, чийто детерминант е различен от нула, ако равенствата са верни , където де идентичната матрица на реда нна н.

Намиране на обратната матрица с помощта на матрица от алгебрични добавки.

Как да намерим обратната матрица за дадена?

Първо, имаме нужда от концепциите транспонирана матрица, матричният минор и алгебричното допълнение на матричния елемент.

Определение.

Незначителенк-то поръчкаматрици Апоръчка мна не детерминантата на матрицата на поръчката кна к, който се получава от елементите на матрицата НОразположени в избрания клинии и кколони. ( кне надвишава най-малкото число мили н).

Незначителен (n-1)-торед, който се състои от елементите на всички редове, с изключение на i-тои всички колони с изключение на j-ти, квадратна матрица НОпоръчка нна ннека го обозначим като.

С други думи, минорът се получава от квадратната матрица НОпоръчка нна нзачеркване на елементи i-толинии и j-тиколона.

Например, нека напишем, минор 2-роред, който се получава от матрицата избор на елементи от неговия втори, трети ред и първа, трета колона . Показваме и минора, който се получава от матрицата изтриване на втория ред и третата колона . Нека илюстрираме конструкцията на тези второстепенни: и .

Определение.

Алгебрично събиранеелемент на квадратна матрица се нарича второстепенен (n-1)-торед, който се получава от матрицата НО, изтривайки елементи от него i-толинии и j-тиколона, умножена по .

Алгебричното допълнение на елемент се означава като . По този начин, .

Например за матрица алгебричното допълнение на елемента е .

Второ, ще ни трябват две свойства на детерминантата, които обсъдихме в раздела изчисляване на матрична детерминанта:

Въз основа на тези свойства на детерминантата дефинициите операции за умножение на матрица по числои концепцията за обратна матрица, имаме равенството , където е транспонирана матрица, чиито елементи са алгебрични добавки.

Матрица наистина е обратната на матрицата НО, тъй като равенствата . Нека го покажем

Да композираме алгоритъм с обратна матрицаизползвайки равенство .

Нека анализираме алгоритъма за намиране на обратната матрица с помощта на пример.

Пример.

Дадена е матрица . Намерете обратната матрица.

Решение.

Изчислете матричната детерминанта НО, разширявайки го с елементите на третата колона:

Детерминантата е различна от нула, така че матрицата НОобратими.

Нека намерим матрица от алгебрични добавки:

Ето защо

Нека извършим транспонирането на матрицата от алгебрични добавки:

Сега намираме обратната матрица като :

Да проверим резултата:

Равенство се изпълняват, следователно обратната матрица е намерена правилно.

Свойства на обратната матрица.

Понятие за обратна матрица, равенство , дефинициите на операциите върху матрици и свойствата на детерминанта на матрица позволяват да се обоснове следното свойства на обратната матрица:

Помислете за друг начин за намиране на обратната матрица за квадратна матрица НОпоръчка нна н.

Този метод се основава на решението нсистеми от линейни нееднородни алгебрични уравнения с ннеизвестен. Неизвестните променливи в тези системи от уравнения са елементите на обратната матрица.

Идеята е много проста. Обозначаваме обратната матрица като х, това е, . Тъй като по дефиниция на обратната матрица , тогава

Приравнявайки съответните елементи по колони, получаваме нсистеми от линейни уравнения

Решаваме ги по произволен начин и формираме обратна матрица от намерените стойности.

Нека анализираме този метод с пример.

Пример.

Дадена е матрица . Намерете обратната матрица.

Решение.

Приеми . Равенството ни дава три системи от линейни нехомогенни алгебрични уравнения:

Няма да описваме решението на тези системи, ако е необходимо, вижте раздела решение на системи от линейни алгебрични уравнения.

От първата система от уравнения имаме , от втората - , от третата - . Следователно желаната обратна матрица има формата . Препоръчваме да проверите, за да се уверите, че резултатът е правилен.

Обобщете.

Разгледахме концепцията за обратна матрица, нейните свойства и три метода за намирането й.

Пример за решения на обратна матрица

Упражнение 1.Решете SLAE, като използвате метода на обратната матрица. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x4 = 4

Начало на формуляра

Край на формата

Решение. Нека запишем матрицата във формата: Вектор B: B T = (1,2,3,4) Голяма детерминанта Малка за (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 Малък за (2,1): = 3 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 Малък за (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 Малък за (4,1): = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Второстепенна детерминанта ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Транспонирана матрицаАлгебрични допълнения ∆ 1.1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1.2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1,3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1,4 = -3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2,1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4 )+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2,2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2,3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2,4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5)+1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3,1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3,2 = -2 (7 1-2 4 )-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3,3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4-5 4) = 1 ∆ 3,4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4,1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4,2 = 2 ( 7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -3 ∆ 4,3 \u003d -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4,4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6- 3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 обратна матрица Резултат вектор X X = A -1 ∙ B X T = (2,-1,-0,33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0,33 x 4 = 1

Вижте също Решения на SLAE по метода на обратната матрицаонлайн. За да направите това, въведете вашите данни и вземете решение с подробни коментари.

Задача 2. Напишете системата от уравнения в матрична форма и я решете с помощта на обратната матрица. Проверете полученото решение. Решение:xml:xls

Пример 2. Напишете системата от уравнения в матрична форма и решете с помощта на обратната матрица. Решение:xml:xls

Пример. Дадена е система от три линейни уравнения с три неизвестни. Задължително: 1) намерете решението му, като използвате Формули на Крамер; 2) напишете системата в матрична форма и я решете с помощта на матрично смятане. Насоки. След решаване по метода на Cramer намерете бутона "Решение на обратна матрица за първоначални данни". Ще получите подходящо решение. Така данните няма да се налага да се попълват отново. Решение. Означаваме с A - матрицата на коефициентите за неизвестни; X - колонна матрица на неизвестните; B - матрица-колона на безплатните членове:

Вектор B: B T =(4,-3,-3) Като се имат предвид тези обозначения, тази система от уравнения приема следната матрична форма: А*Х = B. Ако матрицата А е неособена (нейният детерминант е различен от нула, тогава тя има обратна матрица А -1 , Умножавайки двете страни на уравнението с A -1, получаваме: A -1 * A * X \u003d A -1 * B, A -1 * A \u003d E. Това равенство се нарича матрична нотация на решението на системата от линейни уравнения. За да се намери решение на системата от уравнения, е необходимо да се изчисли обратната матрица A -1 . Системата ще има решение, ако детерминантата на матрицата A е различна от нула. Нека намерим основната детерминанта. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 И така, детерминантата е 14 ≠ 0, така че ние продължаваме решението. За да направим това, намираме обратната матрица чрез алгебрични добавки. Нека имаме неособена матрица A:

Изчисляваме алгебрични добавки.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 = -1 x 2 = 14 / 14 =1 x 3 = 28 / 14 =2 Преглед. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 док:xml:xls Отговор: -1,1,2.

За да намерите обратната матрица онлайн, трябва да посочите размера на самата матрица. За да направите това, щракнете върху иконите "+" или "-", докато стойността на броя колони и редове ви подхожда. След това въведете необходимите елементи в полетата. Отдолу е бутонът "Изчисли" - като го натиснете, на екрана ще получите отговор с подробно решение.

В линейната алгебра често се среща процесът на изчисляване на обратното на матрица. Съществува само за неизразени матрици и за квадратни матрици, при условие че детерминантата е различна от нула. По принцип не е особено трудно да се изчисли, особено ако имате работа с малка матрица. Но ако имате нужда от по-сложни изчисления или задълбочена двойна проверка на вашето решение, по-добре е да използвате този онлайн калкулатор. С него можете бързо и точно да решите обратната матрица.

С този онлайн калкулатор можете значително да опростите задачата си по отношение на изчисленията. Освен това помага за консолидиране на материала, получен на теория - това е един вид симулатор за мозъка. Не трябва да се разглежда като заместител на ръчните изчисления, той може да ви даде много повече, улеснявайки разбирането на самия алгоритъм. Освен това никога не боли да проверите отново себе си.

Матрицата $A^(-1)$ се нарича обратна на квадратната матрица $A$, ако $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, където $E $ е единичната матрица, чийто ред е равен на реда на матрицата $A$.

Неособена матрица е матрица, чийто детерминант не е равен на нула. Съответно, изродена матрица е тази, чиято детерминанта е равна на нула.

Обратната матрица $A^(-1)$ съществува тогава и само ако матрицата $A$ е неособена. Ако обратната матрица $A^(-1)$ съществува, тогава тя е уникална.

Има няколко начина да намерите обратното на матрица и ще разгледаме два от тях. Тази страница ще обсъди метода на свързаната матрица, който се счита за стандарт в повечето курсове по висша математика. Вторият начин за намиране на обратната матрица (метод на елементарни трансформации), който включва използването на метода на Гаус или метода на Гаус-Джордан, е разгледан във втората част.

Метод на съединена (обединена) матрица

Нека е дадена матрицата $A_(n\times n)$. За да се намери обратната матрица $A^(-1)$, са необходими три стъпки:

Намерете детерминантата на матрицата $A$ и се уверете, че $\Delta A\neq 0$, т.е. че матрицата A е неизродена.
Съставете алгебрични допълнения $A_(ij)$ на всеки елемент от матрицата $A$ и запишете матрицата $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ от намереното алгебрични допълнения.
Напишете обратната матрица, като вземете предвид формулата $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Матрицата $(A^(*))^T$ често се нарича присъединена (взаимна, съюзна) матрица на $A$.

Ако решението се взема ръчно, тогава първият метод е добър само за матрици с относително малки поръчки: втори (), трети (), четвърти (). За намиране на обратната матрица за матрица от по-висок ред се използват други методи. Например методът на Гаус, който е разгледан във втората част.

Пример #1

Намерете матрица, обратна на матрица $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Тъй като всички елементи от четвъртата колона са равни на нула, тогава $\Delta A=0$ (т.е. матрицата $A$ е изродена). Тъй като $\Delta A=0$, няма матрица, обратна на $A$.

Пример #2

Намерете матрицата, обратна на матрицата $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.

Използваме метода на свързаната матрица. Първо, нека намерим детерминантата на дадената матрица $A$:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Тъй като $\Delta A \neq 0$, тогава обратната матрица съществува, така че ние продължаваме решението. Намиране на алгебрични допълнения

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(подравнено)

Съставете матрица от алгебрични допълнения: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Транспонирайте получената матрица: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (резултантната матрицата често се нарича присъединена или обединена матрица към матрицата $A$). Използвайки формулата $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, имаме:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

Така се намира обратната матрица: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array) \вдясно) $. За да проверите истинността на резултата, е достатъчно да проверите истинността на едно от равенствата: $A^(-1)\cdot A=E$ или $A\cdot A^(-1)=E$. Нека проверим равенството $A^(-1)\cdot A=E$. За да работим по-малко с дроби, ще заместим матрицата $A^(-1)$ не във формата $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ но като $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ край (масив)\десен)$:

Отговор: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

Пример #3

Намерете обратната на матрицата $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$.

Нека започнем с изчисляване на детерминантата на матрицата $A$. И така, детерминантата на матрицата $A$ е:

$$ \Delta A=\left| \begin(масив) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(масив) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Тъй като $\Delta A\neq 0$, тогава обратната матрица съществува, така че продължаваме решението. Намираме алгебричните допълнения на всеки елемент от дадената матрица:

Съставяме матрица от алгебрични добавки и я транспонираме:

$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$

Използвайки формулата $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, получаваме:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(масив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$

Така че $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. За да проверите истинността на резултата, е достатъчно да проверите истинността на едно от равенствата: $A^(-1)\cdot A=E$ или $A\cdot A^(-1)=E$. Нека проверим равенството $A\cdot A^(-1)=E$. За да работим по-малко с дроби, ще заместим матрицата $A^(-1)$ не във формата $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, но като $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

Проверката е преминала успешно, обратната матрица $A^(-1)$ е намерена правилно.

Отговор: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

Пример #4

Намерете матрица, обратна на $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

За матрица от четвърти ред, намирането на обратната матрица с помощта на алгебрични добавки е малко трудно. Такива примери обаче се срещат в контролните работи.

За да намерите обратната матрица, първо трябва да изчислите детерминантата на матрицата $A$. Най-добрият начин да направите това в тази ситуация е да разширите детерминантата в ред (колона). Избираме всеки ред или колона и намираме алгебричното допълнение на всеки елемент от избрания ред или колона.

Подобно на обратните в много свойства.

Енциклопедичен YouTube

1 / 5

✪ Как да намерите обратна матрица - bezbotvy

✪ Обратна матрица (2 начина за намиране)

✪ Обратна матрица №1

✪ 2015-01-28. Обратна матрица 3x3

✪ 2015-01-27. Обратна матрица 2x2

субтитри

Свойства на обратната матрица

det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), където det (\displaystyle \ \det )обозначава детерминанта.
(A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1))за две квадратни обратими матрици A (\displaystyle A)и B (\displaystyle B).
(A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), където (. . .) T (\displaystyle (...)^(T))обозначава транспонираната матрица.
(k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))за всеки коефициент k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
E − 1 = E (\displaystyle \ E^(-1)=E).
Ако е необходимо да се реши система от линейни уравнения , (b е ненулев вектор), където x (\displaystyle x)е желаният вектор и ако A − 1 (\displaystyle A^(-1))съществува, тогава x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). В противен случай или размерността на пространството на решенията е по-голяма от нула, или изобщо няма такива.

Начини за намиране на обратната матрица

Ако матрицата е обратима, тогава за да намерите обратната на матрицата, можете да използвате един от следните методи:

Точни (директни) методи

Метод на Гаус-Джордан

Нека вземем две матрици: себе си Аи единични д. Да донесем матрицата Акъм матрицата на идентичност по метода на Гаус-Джордан, прилагайки трансформации в редове (можете също да прилагате трансформации в колони, но не и в смес). След като приложите всяка операция към първата матрица, приложете същата операция към втората. Когато редуцирането на първата матрица до идентичността е завършено, втората матрица ще бъде равна на А -1.

Когато използвате метода на Гаус, първата матрица ще бъде умножена отляво по една от елементарните матрици Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(трансвекция или диагонална матрица с такива на главния диагонал, с изключение на една позиция):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Стрелка надясно \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\точки &&&\\0&\точки &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\точки &0\\0&\точки &0&1/a_(mm)&0&\точки &0\\0&\точки &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\точки &0\\&&&\точки &&&\\0&\точки &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\точки &1\край (bmatrix))).

Втората матрица след прилагане на всички операции ще бъде равна на Λ (\displaystyle \Lambda ), тоест ще бъде желаната. Сложността на алгоритъма - O(n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Използване на матрицата на алгебричните допълнения

Матрична обратна матрица A (\displaystyle A), представят във формата

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

където adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- прикрепена матрица;

Сложността на алгоритъма зависи от сложността на алгоритъма за изчисляване на детерминантата O det и е равна на O(n²) O det .

Използване на LU/LUP разлагане

Матрично уравнение A X = I n (\displaystyle AX=I_(n))за обратна матрица X (\displaystyle X)може да се разглежда като колекция n (\displaystyle n)системи на формата A x = b (\displaystyle Ax=b). Обозначете i (\displaystyle i)-та колона на матрицата X (\displaystyle X)през X i (\displaystyle X_(i)); тогава A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n), тъй като i (\displaystyle i)-та колона на матрицата I n (\displaystyle I_(n))е единичният вектор e i (\displaystyle e_(i)). с други думи, намирането на обратната матрица се свежда до решаване на n уравнения с една и съща матрица и различни десни части. След изпълнение на разширението на LUP (време O(n³)) всяко от n уравнения отнема O(n²) време за решаване, така че тази част от работата също отнема O(n³) време.

Ако матрицата A е неособена, тогава можем да изчислим LUP разлагането за нея PA = L U (\displaystyle PA=LU). Позволявам P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Тогава, от свойствата на обратната матрица, можем да запишем: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Ако умножим това равенство по U и L, тогава можем да получим две равенства от формата U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))и D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Първото от тези равенства е система от n² линейни уравнения за n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))на които десните части са известни (от свойствата на триъгълните матрици). Втората също е система от n² линейни уравнения за n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))на които десните части са известни (също от свойствата на триъгълните матрици). Заедно те образуват система от n² равенства. Използвайки тези равенства, можем рекурсивно да определим всички n² елементи на матрицата D. Тогава от равенството (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. получаваме равенството A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

В случай на използване на LU декомпозиция не се изисква пермутация на колоните на матрицата D, но решението може да се разминава дори ако матрицата A е неособена.

Сложността на алгоритъма е O(n³).

Итеративни методи

Методи на Шулц

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))

Оценка на грешката

Избор на начално приближение

Проблемът с избора на първоначалното приближение в процесите на итеративна инверсия на матрицата, разгледани тук, не ни позволява да ги третираме като независими универсални методи, които се конкурират с методите на директна инверсия, базирани например на LU декомпозиция на матрици. Има някои препоръки за избор U 0 (\displaystyle U_(0)), гарантиращи изпълнението на условието ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (спектралният радиус на матрицата е по-малък от единица), което е необходимо и достатъчно за конвергенцията на процеса. В този случай обаче първо се изисква да се знае отгоре оценката за спектъра на обратимата матрица A или матрицата A A T (\displaystyle AA^(T))(а именно, ако A е симетрична положително определена матрица и ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), тогава можете да вземете U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), където ; ако A е произволна неособена матрица и ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), тогава да предположим U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), където също α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); Разбира се, ситуацията може да бъде опростена и, като се използва фактът, че ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), слагам U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Второ, при такава спецификация на първоначалната матрица няма гаранция, че ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)ще бъде малък (може би дори ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), и висок порядък на степен на конвергенция няма да бъде веднага очевиден.

Примери

Матрица 2х2

A − 1 = [ a b c d ] − 1 = 1 det (A) [ d − b − c a ] = 1 a d − b c [ d − b − c a ] . (\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf (A))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- bc))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix)).)

Обръщането на матрица 2x2 е възможно само при условие, че a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).