Свойства на умножението на естествените числа. Умножение на сбор с естествено число и обратно

§ 1 Умножение естествени числа

В този урок ще научите за различните свойства на умножението и понятия като продукт и множители.

Нека разгледаме следния проблем: бисквитките бяха донесени в магазина в три кутии по 15 пакета всяка. Колко опаковки бисквитки общо донесе магазинът?

Решение: да се намери обща сумаопаковки бисквити в три кутии, добавете 15 към 15 и добавете отново 15, 15 + 15 + 15 = 45. Отговор: Общо 45 опаковки бисквити бяха донесени в магазина.

Сборът, в който всички членове са равни помежду си, може да бъде написан по-кратко: вместо 15 + 15 + 15 те пишат 15 по 3, което означава 15 * 3 = 45. Числото 45 се нарича произведение на числата 15 и 3, а числата 15 и 3 се наричат ​​множители.

Така получаваме: умножаването на числото M по естествено число N означава намиране на сумата от N члена, всеки от които е равен на M.

Самият израз M, умножен по N, се нарича произведение, а стойността на този израз също се нарича произведение на числата M и N.

Числата M и N се наричат ​​множители.

Произведенията се четат, като всеки фактор се назовава в родителен падеж.

Например произведението на 12 и 10 е 120, 12 е първият фактор, 10 е вторият фактор, 120 е продуктът.

§ 2 Свойства на умножението на естествените числа

Както при събирането и изваждането, умножението на естествените числа също има някои свойства.

Първото свойство е, че продуктът не се променя от пермутация на фактори. Това свойство на умножението се нарича комутативно и с помощта на букви се записва по следния начин:

Например, 7 по 8 е 56 и 8 по 7 също е 56, така че 7 x 8 = 8 x 7.

Второто свойство е асоциативното свойство на умножението. За да умножите число по произведението на две числа, можете първо да го умножите по първия фактор и след това да умножите получения продукт по втория фактор.

Използвайки букви, това свойство се записва така:

Например, произведението от 7 и 5 трябва да се умножи по 2, получаваме 7x5 \u003d 35, след това 35 по 2, ще бъде 70.

Или можете да извършите умножение, като използвате асоциативното свойство, а именно, първо умножете 5 и 2, ще бъде 10, след това умножете 10 по 7, ще получите 70.

Следното свойство: ако дадено число се умножи по 1, то няма да се промени, тоест N, умножено по едно, е равно на N. Тъй като сборът от N члена, всеки от които е единица, е равен на N.

Между другото, сборът от N члена, всеки от които е нула, е равен на нула, така че равенството е вярно: N x 0 = 0. Тоест, Друго свойство на умножението, произведението е равно на нула, ако поне един от множителите е равен на нула.

Понякога, когато пишете конкретно произведение, е обичайно да пропускате знака за умножение - точката. Знакът за умножение обикновено не се записва пред буквални множители и пред скоби. Например, 10 пъти по x просто се записва 10x или 5 пъти сумата (y + 8) се записва по следния начин:

Така в този урок се запознахте с различните свойства на умножението, като комутативност и асоциативност, както и свойствата на нула и единица.

Списък на използваната литература:

1. Математика 5 клас. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др., 31-во изд., стер. - М: 2013.
2. Дидактически материалипо математика 5 клас. Автор - Попов М.А. - 2013 година
3. Изчисляваме без грешки. Работа със самопроверка по математика 5-6 клас. Автор - Минаева С.С. - 2014 година
4. Дидактически материали по математика 5 клас. Автори: Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В. - 2010 г
5. Контрол и самостоятелна работапо математика 5 клас. Автори - Попов М.А. - 2012 година
6. Математика. 5 клас: учебник. за общообразователни ученици. институции / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. - 9-то изд., Sr. - М.: Мнемозина, 2009

Образователни цели на урока:

1. подобряват умението за умножаване на естествени числа;
2. научете се да използвате свойствата на умножението в изчисленията;
3. продължете да работите върху текстови задачи.

Цели за развитие:

1. развиват се логично мислене;
2. активирате умствена дейностс помощта на информационните технологии.

Образователни цели:

1. развиват памет, внимание, умения за самостоятелна и творческа дейност;
2. да внуши интерес към темата, използвайки ИКТ в урока.

Оборудване:

• интерактивна дъска,
• компютри,
• презентация на урока,
• Раздавателен материал(кръстословица)
• карти" растителен свят”,
• сигнални карти.

По време на часовете

I. Организационен момент.Отражение. ( Приложение 1 . слайд 1.)

Съобщение за темата и целта на урока. (Слайд 2.)

Встъпително слово на учителя:

„Днес няма да бъдем просто ученици от 5 клас, а членове на отворено акционерно дружество. А кой от вас знае какво е отворено акционерно дружество? Информация за OJSC . (Слайд 3.)

Учителят формулира своето разбиране за този термин заедно с учениците. Отворено акционерно дружество (OJSC) е организация, създадена с цел печалба. Членовете на тази организация обединяват средствата си, за да придобият определено предприятие, а в замяна получават акции - ценни книжа, които показват, че техните притежатели имат право на част от имуществото на предприятието. Когато компанията започне да реализира печалба, собственикът може да получи част от тази печалба (дивиденти). Всяко АД има свое име. Как ще се нарича акционерното дружество учениците ще научат, като изпълнят следната задача.

II. Фронтално устно проучване с помощта на интерактивна дъска.

Учениците намират устно значението на изразите и попълват таблицата с отговори. Научете името на акционерното дружество, което те ще създадат днес в урока. (Слайд 4.)

На следващия етап от урока се оказва кой може да стане акционер. Всеки, който закупи дял от нашата компания, може да се присъедини към нея. Попълнените кръстословици се приемат като заплащане. На учениците се дават кръстословици. (Приложение 3.)

III. Индивидуална работа.Учениците попълват кръстословицата. Взаимна проверка. (Слайд 5.)

IV. История справка.Учителят прави доклад за създаването на първите акционерни дружества. (Слайд 6.)

На следващия етап от урока студентите, за да отворят акционерно дружество, първо трябва да закупят стая. Пред тях има две къщи. Единият е явно зает, а вторият е под въпрос. Необходимо е внимателно да се обмисли първата къща, за да се реши въпросът за придобиване на втора къща.

V. Решение на примери.(Слайд 7.)

Втората къща разкри тайната на издаването си, което ви позволява да започнете своя бизнес в тази къща. Какво трябва да направим за това?

Учениците предлагат план за действие:

На студентите се предлагат задачи, пред които се изправя всеки, който ще прави ремонт.

VI. Решаване на задачи на дъската. (Слайд 8-9.)

Проблемът с ремонта е решен и дори с покупката на мебели. В нашето кафене ще бъде уютно, ако в него звучи музика.

VII. Музикална пауза.Учениците изпълняват песнички. (Слайд 10.)

1. Искате ли да строите сгради или да създавате машини,
   Опитайте се да научите математика по-добре в училище.
2. Ако в училище в уроците прекарвате загубено време,
   Никога не можеш да станеш сериозен бизнесмен.
3. За да станете предприемач, трябва да знаете
   Трябва да сте много прилежни в уроците.
4. За да тече печалбата към вас в непрекъснат поток
   Трябва да внимавате в класната стая.
5. Ние сме приятелки - смеем се сбогом с теб.
   Каним ви в кафенето там и се срещаме.

С музикалното оформление въпросът е решен и сега трябва да помислите какво ще има в менюто. Кафенето се нарича „Sweet Tooth“, тогава трябва да има сладки храни. Направата им изисква много изобретателност. Учениците упражняват изобретателност върху следния математически проблем.

VIII. Работа с учебника. (Слайд 11.)

№ 416 (с. 69): повторение и консолидиране на свойствата на умножението.
a ∙ b = b ∙ a
a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c

IX. Физкултминутка.(Слайд 12.)

X. Тест.Работа на компютри. (Слайд 13.)Учениците решават тестове на компютри. (Приложение 2.)

Резултатите от теста се сумират и се поставят оценки в дневниците.

XI. Допълнителна задача.Намерете грешката и я поправете:

1. 76 + 24 = 90;
2. 190 – 67 = 123;
3. 2005 + 15 = 2020;
4. 1313: 13 = 11;
5. 50 6 13 = 390;
6. 72 11 = 792;
7. 8 8 125 = 800;
8. (200 + 67) – 100 = 167.

XII. Ученици от набор от думи съставят реклама за своето кафене.(Слайд 14.)

XIII. Обобщение на урока.

Как се наричат ​​числата, когато се умножават?
Какви свойства на умножението се използват за удобство на изчисленията?

XIV. Творческа домашна работа. (Слайд 15.)

Карти "От света на растенията."

XV. Отражение. (Слайд 16.)

Разгледайте пример, който потвърждава валидността на комутативното свойство на умножение на две естествени числа. Въз основа на значението на умножението на две естествени числа, ние изчисляваме произведението на числата 2 и 6, както и произведението на числата 6 и 2, и проверяваме равенството на резултатите от умножението. Произведението на числата 6 и 2 е равно на сбора 6+6, от таблицата за събиране намираме 6+6=12. И произведението на числата 2 и 6 е равно на сбора от 2+2+2+2+2+2, което е равно на 12 (ако е необходимо, вижте материала на статията добавяне на три или повече числа). Следователно 6 2=2 6 .

Ето картина, илюстрираща комутативното свойство при умножаване на две естествени числа.

Асоциативно свойство на умножението на естествените числа.

Нека изразим асоциативното свойство на умножението на естествени числа: умножете дадено число по тази работадве числа е същото като да умножите даденото число по първия фактор и да умножите резултата по втория фактор. Това е, a (b c)=(a b) c, където a , b и c могат да бъдат всякакви естествени числа (скобите ограждат изрази, чиито стойности се оценяват първи).

Нека дадем пример, за да потвърдим асоциативното свойство на умножението на естествени числа. Изчислете произведението 4·(3·2) . По смисъла на умножението имаме 3 2=3+3=6 , тогава 4 (3 2)=4 6=4+4+4+4+4+4=24 . Сега нека направим умножението (4 3) 2 . Тъй като 4 3=4+4+4=12 , тогава (4 3) 2=12 2=12+12=24 . Така равенството 4·(3·2)=(4·3)·2 е вярно, което потвърждава валидността на разглежданото свойство.

Нека покажем картинка, илюстрираща асоциативното свойство на умножението на естествените числа.

В заключение на този параграф отбелязваме, че асоциативното свойство на умножението ни позволява еднозначно да определим умножението на три или повече естествени числа.

Разпределително свойство на умножението по отношение на събирането.

Следващото свойство се отнася за събиране и умножение. Формулира се по следния начин: умножаване тази сумадве числа по дадено число е същото като добавяне на произведението на първия член и дадено числос произведението на втория член и даденото число. Това е така нареченото разпределително свойство на умножението по отношение на събирането.

Използвайки букви, разпределителното свойство на умножението по отношение на събирането се записва като (a+b) c=a c+b c(в израза a c + b c първо се извършва умножение, след което се извършва добавяне, повече за това е написано в статията), където a, b и c са произволни естествени числа. Обърнете внимание, че силата на комутативното свойство на умножението, разпределителното свойство на умножението може да бъде записана в следната форма: a (b+c)=a b+a c.

Нека дадем пример, потвърждаващ разпределителното свойство на умножението на естествени числа. Нека проверим равенството (3+4) 2=3 2+4 2 . Имаме (3+4) 2=7 2=7+7=14 и 3 2+4 2=(3+3)+(4+4)=6+8=14, откъдето следва равенството ( 3+4 ) 2=3 2+4 2 е правилно.

Нека покажем картина, съответстваща на разпределителното свойство на умножението по отношение на събирането.

Разпределителното свойство на умножението по отношение на изваждането.

Ако се придържаме към значението на умножението, тогава произведението 0 n, където n е произволно естествено число, по-голямо от единица, е сумата от n члена, всеки от които е равен на нула. По този начин, . Свойствата на събирането ни позволяват да твърдим, че последната сума е нула.

Така за всяко естествено число n е в сила равенството 0 n=0.

За да остане валидно комутативното свойство на умножението, приемаме и валидността на равенството n·0=0 за всяко естествено число n.

Така, произведението на нула и естествено число е нула, това е 0 n=0и n 0=0, където n е произволно естествено число. Последното твърдение е формулировка на свойството умножение на естествено число и нула.

В заключение даваме няколко примера, свързани със свойството умножение, разгледано в този подраздел. Произведението на числата 45 и 0 е нула. Ако умножим 0 по 45970, тогава също получаваме нула.

Сега можете спокойно да започнете да изучавате правилата, по които се извършва умножението на естествените числа.

Библиография.

• Математика. Всякакви учебници за 1,2,3,4 клас на учебните заведения.
• Математика. Всякакви учебници за 5 класа на учебни заведения.

В които всички членове са равни помежду си, те пишат по-кратко: вместо 25 + 25 + 25 те пишат 25 3.
Така че 25 3 = 75. Числото 75 се нарича произведение на числата 25 и 3, а числата 25 и 3 се наричат ​​множители.

415. Извършвайте действия, като прилагате асоциативното свойство на умножението:

а) 50 (2764); в) 125 (4 80);
б) (111 2) 35; г) (402 125) 8.

416. Изчислете, като изберете удобна процедура:

а) 483 2 5; в) 25 86 4;
б) 4 5 333; г) 250 3 40.

417. В магазина са донесени 5 кутии с бои. Всяка кутия съдържа 144 кутии и всяка кутия съдържа 12 туби с боя. Колко туби донесоха в магазина? Решете проблема по два начина.

а) Построихме 5 вили от 80 m2 жилищна площ и 2 вили от 140 m2. Какво е жилищно пространствовсички тези вили?

б) Масата на контейнера с четири библиотеки е 3 c. Какво е теглото на празния контейнер, ако теглото на един шкаф е 58 kg?

421. Донесли 12 касетки ябълки по 30 кг и 8 касетки круши по 40 кг. Какво е значението на следните изрази:

а) 30 12; в) 40 8; д) 30 12 + 40 8;
б) 12 - 8; г) 40 - 30; д) 30 12 - 40 8?

422. Направете следното:

а) (527 - 393) 8; г) 54 23 35;
б) 38 65 - 36 63; д) (247 - 189) (69 + 127);
в) 127 15 + 138 32; е) (1203 + 2837 - 1981) 21.

423. Запишете работата:

а) 8 и х; б) 12 + а и 16; в) 25 -m и 28 + n г) a + b и m.

424. Посочете множителите в произведението:

а) Zt; в) 4ab; e) (m + n) (k - 3);
b) 6(x + p); d) (x - y) 14; е) 5k(m + a).

а) произведението на m и n;
б) утроете сумата от a и b;
в) сумата от произведенията на числата 6 и х и числата 8 и у;
г) произведението на разликата между числата a и b и числото c.

426. Прочетете израза:

а) a (c + d); в) 3(m + n); д) ab + c;
б) (4 - а) 8; d) 2(m - n); д) m - cd.

427. Намерете стойността на израза:

а) 8a + 250 с a = 12; петнадесет;

b) 14(6 + 12) за b = 13; осемнадесет.

428. Велосипедист е карал 1 час със скорост 12 km/h и 2 часа със скорост 8 km/h. Колко километра е изминал велосипедистът за това време? Съставете израз за решаване на задачата и намерете стойността му при a = 1; 2; четири.

429. Съставете израз според условието на задачата:

а) От 6 рафтове за книгивграден гардероб. Височината на всеки рафт е x см. Намерете височината на шкафа. Намерете стойността на израза при x = 28; 33.
б) За едно пътуване автомобилът МАЗ-25 превозва 25 тона товар. Колко товар ще носи тя за k полета? Намерете стойността на израза, когато k = 10; 5; 0.

430. Цената на една волейболна топка е x p., а цената на една баскетболна топка е y p. Какво означават изразите: Зх; 4г; bx + 2y; 15x - 2y; 4(x + y)?

431. Направете задача според израза:

а) (80 + 60) -7; в) 28 4 + 35 5;
б) (65 - 40) -4; г) 96 5 - 82 3.

432. Пет пътеки водят до върха на хълма. Колко начина има за изкачване и слизане по хълм, ако се качвате и слизате по различни пътеки?

433. Кое от произведенията е по-голямо: 67 2 или 67 3? Обяснете защо това е така. Обяснете защо 190 8< 195 12. Сделайте вывод.

434. Подредете, без да извършвате умножение, във възходящ ред на произведението: 56 24; 56 49; 13 24; 13 11; 74 49; 7 11.

435. Докажете, че:

а) 20 30< 23 35 < 30 40;
б) 600 800< 645 871 < 700 900;
в) 1200< 36 42 < 2000;
г) 45 000< 94 563 < 60 000.

436. Пресметнете устно:

437. Кое число липсва?

438. Възстановете веригата от изчисления:

439. Познайте корените на уравнението:

а) x + x = 64; б) 58 + y + y + y = 58; в) а + 2 = а - 1.

440. Помислете за проблем, който ще бъде решен с помощта на уравнението:

а) х + 15 = 45;

б) y - 12 = 18.

441. Колко четирицифрени числа могат да бъдат съставени от нечетни цифри, ако цифрите в записа на числото не се повтарят?

442. Сред числата 1, 0, 5, 11.9 намерете корените на уравнението:

а) х + 19 = 30; в) 30 + x = 32 - x
б) 27 - х = 27 + х; г) 10 + x + 2 = 15 + x - 3.

443. Назовете няколко свойства на греда. Кое от тези свойства притежава правата линия?

444. Помислете за начин за бързо и лесно изчисляване на стойността на израз:

39 - 37 + 35 - 33 + 31 - 29 + 27 - 25 + ... + 11 - 9 + 7 - 5 + 3 - 1.

445. Решете уравнението:

а) 127 + y \u003d 357 - 85; в) 144 - у - 54 = 37;
б) 125 + y - 85 = 65; Ж). 52 + y + 87 = 159.

446. При каква стойност на буквата е вярно равенството:

а) 34 + а = 34; г) 58 - d = 0; g) k - k = 0;
б) b + 18 = 18; д) m + 0 = 0; з) l + I = 0?
в) 75 - с = 75; е) 0 - n = 0;

447. Решете проблема:

а) В кошницата има няколко гъби. След като от него бяха извадени 10 гъби и след това бяха поставени 14 гъби, в него имаше 85 гъби. Колко гъби имаше първоначално в кошницата?

б) Момчето имаше 16 пощенски марки. Купи още няколко марки, след което даде по-малък брат 23 марки и му остават 19 марки. Колко марки е купило момчето?

448. Опростете израза:

1) (138 + m) - 95; 3) (x - 39) + 65;
2) (198 + n) - 36; 4) (у - 56) + 114.

449. Намерете стойността на израза:

1) 7480 - 6480: 120 + 80;

2) 1110 + 6890: 130 - 130.

450. Намерете стойността на израза:

а) 704 + 704 + 704 + 704;

б) 542 + 542 + 542 + 618 + 618.

451. Изразете като сума произведението:

а) 24-4; б) k 8; в) (x + y) 4: d) (2a - b) 5.

452. В магазина бяха донесени 250 кутии, всяка кутия съдържа 54 опаковки бисквити. Колко е масата на цялата бисквита, ако масата на една опаковка е 150 g?

453. В триъгълник ABC страната AB е 27 cm и е 3 пъти по-голяма от страната BC. Намерете дължината на страната AC, ако периметърът е равен триъгълник ABCравно на 61 см.

454. Едната автоматична машина произвежда 12 части в минута, а другата - 15 от същите части. Колко части ще бъдат произведени за 20 минути от първата машина и 15 минути от втората машина?

455. Умножете:

а) 56 24; в) 235 48; д) 203 504; ж) 2103 7214;
б) 37 85; г) 37 129; е) 210 3500; з) 5008 3020.

456. Два влака са тръгнали едновременно от една и съща гара в противоположни посоки. Скоростта на единия влак е 50 км/ч, а на другия 85 км/ч. Какво е разстоянието между влаковете след 3 часа?

457. От селото до града велосипедист е карал 4 часа със скорост 12 км/ч. Колко време ще отдели за Обратно пътуванена същия път, ако увеличи скоростта си с 4 км/ч?

458. Помислете за проблем според израза:

а) 120 + 65-2; б) 168 -43-2; в) 15 4 + 12 4.

459. Сравнете, без да пресмятате, продукти (запишете отговора, като използвате знака<):

а) 245 611 и 391 782;

б) 8976 1240 и 6394 906.

460. Запишете във възходящ ред продукта:

172 191; 85 91; 85 104; 36 91; 36 75; 172 104.

461. Изчислете:

а) (18 384 4- 19 847) (384 - 201 - 183);
б) (2839 - 939) (577: 577).

462. Решете уравнението:

а) (x + 27) - 12 = 42; в) d - 35 - 64 = 16;
б) 115 - (35 + y) = 39; г) 28 - t + 35 = 53.

463. Пребройте колко четворки и колко петици на фигура 48, но само според специално правило - трябва да броите и четворки, и петици подред: "Първата четворка, първата петица, втората четирима, третата четирима , втората петица и т.н." Ако не можете да броите веднага, връщайте се към тази задача отново и отново.

Н.Я. ВИЛЕНКИН, В. И. ЖОХОВ, А. С. ЧЕСНОКОВ, С. И. ШВАРЦБУРД, Математика 5 клас, Учебник за учебни заведения

Колекция от конспекти на уроци по математика Изтегли, календарно-тематично планиране, учебници по всички предмети