Триъгълен изглед на матрицата. Свойства на горната триъгълна матрица

Горна триъгълна матрица

триъгълна матрицае квадратна матрица, в която всички елементи под или над главния диагонал са равни на нула.

Пример за горна триъгълна матрица

Горна триъгълна матрицае квадратна матрица, в която всички елементи под главния диагонал са нула.

Долна триъгълна матрицае квадратна матрица, в която всички елементи над главния диагонал са равни на нула.

Унитрианска матрица(горна или долна) - триъгълна матрица, в която всички елементи на главния диагонал са равни на единица.

Триъгълните матрици се използват предимно при решаване на линейни системи от уравнения, когато матрицата на системата се редуцира до триъгълна форма, като се използва следната теорема:

Системно решение линейни уравненияс триъгълна матрица ( обратен ход) не е трудно.

Имоти

Детерминанта на триъгълна матрица е равно на произведениетоелементи по главния му диагонал.
Детерминантата на унитриъгълна матрица е равна на единица.
Множеството от неизродени горни триъгълни матрици от ред нчрез умножение с елементи от полето кобразува група, която се обозначава UT(н, к) или UT н (к).
Множеството от неизродени долни триъгълни матрици от ред нчрез умножение с елементи от полето кобразува група, която се означ LT(н, к) или LT н (к).
Набор от горни еднотриъгълни матрици с елементи от полето кобразува подгрупа UT н (к) чрез умножение, което се обозначава СУТ(н, к) или СУТ н (к). Означена е аналогична подгрупа от долни унитриъгълни матрици SLT(н, к) или SLT н (к).
Множеството от всички горни триъгълни матрици с елементи от пръстена k образува алгебра по отношение на операциите събиране, умножение по пръстенови елементи и умножение на матрици. Подобно твърдение е вярно за долните триъгълни матрици.
Група UT nе разрешима и нейната унитриъгълна подгрупа SUT nнилпотентен.

Вижте също

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво е "горната триъгълна матрица" в други речници:

Триъгълната матрица е квадратна матрица, в която всички записи под или над главния диагонал са нула. Пример за горна триъгълна матрица Горна триъгълна матрица ... Wikipedia

Триъгълната матрица е квадратна матрица, в която всички записи под или над главния диагонал са нула. Пример за горна триъгълна матрица Горната триъгълна матрица е квадратна матрица, в която всички елементи под главния диагонал са нула. ... ... Wikipedia

Искате ли да подобрите тази статия?: Намерете и предоставете бележки под линия за препратки към авторитетни източници, които потвърждават написаното. Поставяйки бележки под линия, направете по-точни указания за източниците. Добавете илюстрации ... Wikipedia

Представяне на симетрична положително определена матрица във формата, където долната триъгълна матрица със строго положителни елементи по диагонала. Понякога разширението се записва в еквивалентна форма: къде е горната триъгълна матрица. ... ... Wikipedia

SFLASH е асиметричен алгоритъм за цифров подпис, препоръчан от европейския проект NESSIE през 2003 г. SFLASH се основава на схемата Matsumoto Imai(MI), наричана още C*. Алгоритъмът принадлежи към семейството на схемите с многомерен публичен ключ, тогава ... ... Wikipedia

Процес на ортогонализиране, алгоритъм за конструиране на даден линеар независима системавектори на евклидовото или ермитово пространство V на ортогонална система от ненулеви вектори, генериращи същото подпространство във V. Най-известният е ... ... Математическа енциклопедия

Коефициент на корелация- (Коефициент на корелация) Коефициентът на корелация е статистиказависимост от две случайни променливиОпределение на коефициента на корелация, видове коефициенти на корелация, свойства на коефициента на корелация, изчисляване и приложение ... ... Енциклопедия на инвеститора

Метод на отслабване, метод итеративно решениелинейни алгебрични системи. уравнения Ax = b, елементарна стъпка към rho се състои в промяна само на един компонент на вектора на неизвестните, а номерата на променливите компоненти се избират в някои циклични ... Математическа енциклопедия

В който всички елементи под главния диагонал са равни на нула.

Долна триъгълна матрицае квадратна матрица, в която всички елементи над главния диагонал са равни на нула.

Решаването на системи от линейни уравнения с триъгълна матрица (обратно движение) не е трудно.

Имоти

Детерминантата на триъгълна матрица е равна на произведението на елементите на нейния главен диагонал.
Детерминантата на унитриъгълна матрица е равна на единица.
Множеството от неизродени горни триъгълни матрици от ред нчрез умножение с елементи от полето кобразува група, която се обозначава UT(н, к) или UT н (к).
Множеството от неизродени долни триъгълни матрици от ред нчрез умножение с елементи от полето кобразува група, която се означ LT(н, к) или LT н (к).
Набор от горни еднотриъгълни матрици с елементи от полето кобразува подгрупа UT н (к) чрез умножение, което се обозначава СУТ(н, к) или СУТ н (к). Означена е аналогична подгрупа от долни унитриъгълни матрици SLT(н, к) или SLT н (к).
Множеството от всички горни триъгълни матрици с елементи от пръстена k образува алгебра по отношение на операциите събиране, умножение по пръстенови елементи и умножение на матрици. Подобно твърдение е вярно за долните триъгълни матрици.
Група UT nе разрешима и нейната унитриъгълна подгрупа SUT nнилпотентен.

Вижте също

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво е "триъгълната матрица" в други речници:

триъгълна матрица- — триъгълна матрица Квадратна матрица, в която всички елементи под или над главния диагонал са равни на нула (вж. Диагонална матрица). В първия случай имаме...

триъгълна матрица- квадратна матрица, в която всички елементи под или над главния диагонал са равни на нула (срв. Диагонална матрица). В първия случай имаме горната Т.м. във втория долен...

Квадратна матрица, в която всички елементи под (или над) главния диагонал са равни на нула. В първия случай се извиква матрицата горната триъгълна матрица, във втората долна триъгълна матрица. Детерминантата на T. m. е равна на произведението на всичките му ... Математическа енциклопедия

Триъгълна матрица MOB- матрица на междусекторните коефициенти на баланс (IRB), съответстващи на такива производствена система, в който всеки продукт може да бъде изразходван в собственото си производство и в производството на всяко следващо ... ... Икономически и математически речник

триъгълна матрица MOB- Матрицата на входно-изходния баланс (IRB), съответстваща на такава производствена система, в която всеки продукт може да бъде изразходван в собственото си производство и в производството на всеки следващ го продукт, но не ... ... Наръчник за технически преводач

Блокова триъгълна матрица- е матрица, която може да бъде разделена на подматрици по такъв начин, че да има нули от едната страна на нейния „главен диагонал“, съставен от подматрици. Примери за блокови триъгълни матрици са ... ... Икономически и математически речник

блокова триъгълна матрица- Матрица, която може да бъде разделена на подматрици по такъв начин, че нулите да са от едната страна на нейния „главен диагонал“, съставен от подматрици. Примери за блокови триъгълни матрици са триъгълната матрица и блоковата диагонална матрица... Наръчник за технически преводач

Матрица- система от елементи (числа, функции и други величини), подредени под формата на правоъгълна маса, върху която можете да извършвате определени действия. Масата има следващ изглед: Матричен елемент в общ изгледозначен като aij е ...... Икономически и математически речник

матрица- Логическа мрежа, конфигурирана като правоъгълен масив от пресичания на входно/изходни канали. матрица Система от елементи (числа, функции и други величини), подредени под формата на правоъгълник ... ... Наръчник за технически преводач

Матрицата е специален обект в математиката. Изобразява се под формата на правоъгълна или квадратна таблица, съставена от определен брой редове и колони. В математиката има голямо разнообразие от видове матрици, които се различават по размер или съдържание. Номерата на неговите редове и колони се наричат поръчки. Тези обекти се използват в математиката за организиране на писането на системи от линейни уравнения и удобно търсене на техните резултати. Уравнения, използващи матрица, се решават с помощта на метода на Карл Гаус, Габриел Крамер, минори и алгебрични добавки и много други начини. Основно умениепри работа с матрици е намаляването до стандартен изглед. Първо обаче нека да разберем какви видове матрици се разграничават от математиците.

Нулев тип

Всички компоненти на този вид матрица са нули. Междувременно броят на неговите редове и колони е абсолютно различен.

квадратен тип

Броят на колоните и редовете на този тип матрица е еднакъв. С други думи, това е маса с "квадратна" форма. Броят на неговите колони (или редове) се нарича ред. Специални случаи са наличието на матрица от втори ред (матрица 2x2), четвърти ред (4x4), десети (10x10), седемнадесети (17x17) и т.н.

Колона вектор

Това е един от най-простите видове матрици, съдържащ само една колона, която включва три числови стойности. Той представлява редица свободни членове (числа, независими от променливи) в системи от линейни уравнения.

Изглед, подобен на предишния. Състои се от три числови елемента, организирани на свой ред в един ред.

Диагонален тип

Числените стойности в диагоналната форма на матрицата вземат само компонентите на главния диагонал (маркирани в зелено). Главният диагонал започва с елемента отдясно горен ъгъл, и завършва с число в третата колона на третия ред. Останалите компоненти са нула. Диагоналният тип е само квадратна матрица от някакъв ред. Сред матриците с диагонална форма може да се отдели скаларна. Всички негови компоненти приемат еднакви стойности.

Подвид на диагоналната матрица. Цялата тя числови стойностиса единици. С помощта на един тип матрични таблици се извършват неговите основни трансформации или се намира матрица, която е обратна на оригиналната.

Каноничен тип

Каноничната форма на матрицата се счита за една от основните; кастингът към него често е необходим, за да работи. Броят на редовете и колоните в каноничната матрица е различен, не е задължително да принадлежи на квадратен тип. Тя донякъде прилича на матрица на идентичността, но в неговия случай не всички компоненти на главния диагонал приемат стойността равно на едно. Може да има две или четири основни диагонални единици (всичко зависи от дължината и ширината на матрицата). Или може изобщо да няма единици (тогава се счита за нула). Останалите компоненти от каноничния тип, както и елементите от диагоналния и единичния тип са равни на нула.

триъгълен тип

Един от най-важните видовематрица, използвана при търсене на нейната детерминанта и при извършване на прости операции. Триъгълният тип идва от диагоналния тип, така че матрицата също е квадратна. Триъгълният изглед на матрицата е разделен на горен триъгълен и долен триъгълен.

В горната триъгълна матрица (фиг. 1) само елементите, които са над главния диагонал, приемат стойност равна на нула. Компонентите на самия диагонал и частта от матрицата под него съдържат числени стойности.

В долната триъгълна матрица (фиг. 2), напротив, елементите, разположени в долната част на матрицата, са равни на нула.

Формата е необходима за намиране на ранга на матрица, както и за елементарни операции върху тях (заедно с триъгълния тип). Матрицата на стъпките е наречена така, защото съдържа характерни "стъпки" от нули (както е показано на фигурата). В стъпаловиден тип се формира диагонал от нули (не непременно основният) и всички елементи под този диагонал също имат стойности, равни на нула. Предпоставката е следната: ако стъпаловидна матрицаима нулев низ, тогава другите низове под него също не съдържат числови стойности.

По този начин сме помислили най-важните видовематрици, необходими за работа с тях. Сега нека се заемем със задачата да преобразуваме матрица в необходимата форма.

Намаляване до триъгълна форма

Как да доведем матрицата до триъгълна форма? Най-често в задачите трябва да преобразувате матрица в триъгълна форма, за да намерите нейната детерминанта, иначе наричана детерминанта. При извършване на тази процедура е изключително важно да се "запази" главният диагонал на матрицата, тъй като детерминантата на триъгълна матрица е точно произведението на компонентите на нейния главен диагонал. Нека ви напомня и за алтернативни методи за намиране на определителя. Квадратният детерминант се намира с помощта на специални формули. Например, можете да използвате метода на триъгълника. За други матрици се използва методът на разлагане по ред, колона или техни елементи. Можете също така да приложите метода на минорите и алгебричните допълнения на матрицата.

Нека анализираме подробно процеса на привеждане на матрица в триъгълна форма, като използваме примери за някои задачи.

Упражнение 1

Необходимо е да се намери детерминантата на представената матрица, като се използва методът за привеждането й в триъгълна форма.

Матрицата, която ни е дадена, е квадратна матрица от трети ред. Следователно, за да го трансформираме в триъгълна форма, трябва да премахнем два компонента от първата колона и един компонент от втората.

За да го доведем до триъгълна форма, започваме трансформацията от долния ляв ъгъл на матрицата - от числото 6. За да го превърнем в нула, умножаваме първия ред по три и го изваждаме от последния ред.

важно! Горният ред не се променя, но остава същият като в оригиналната матрица. Не е необходимо да пишете низ четири пъти повече от оригиналния. Но стойностите на редовете, чиито компоненти трябва да бъдат зададени на нула, постоянно се променят.

Остава само последна стойност- елемент от третия ред на втората колона. Това е числото (-1). За да го превърнете в нула, извадете втория от първия ред.

Да проверим:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

Следователно отговорът на задачата: -22.

Задача 2

Необходимо е да се намери детерминантата на матрицата, като се приведе в триъгълна форма.

Представената матрица принадлежи към квадратния тип и е матрица от четвърти ред. Това означава, че е необходимо да се премахнат три компонента от първата колона, два компонента от втората колона и един компонент от третата.

Нека започнем да го привеждаме от елемента, разположен в долния ляв ъгъл - от числото 4. Трябва да обърнем дадено числодо нула. Най-лесният начин да направите това е да умножите горния ред по четири и след това да го извадите от четвъртия ред. Нека запишем резултата от първия етап на трансформацията.

И така, компонентът на четвъртия ред е настроен на нула. Нека да преминем към първия елемент на третия ред, към числото 3. Извършваме подобна операция. Умножете по три първия ред, извадете го от третия ред и запишете резултата.

Успяхме да занулим всички компоненти на първата колона на тази квадратна матрица, с изключение на числото 1, елемент от главния диагонал, който не изисква трансформация. Сега е важно да запазим получените нули, така че ще извършим трансформации с редове, а не с колони. Нека да преминем към втората колона на представената матрица.

Да започнем отново отдолу - от елемента на втората колона на последния ред. Това е числото (-7). Въпреки това, в този случайпо-удобно е да започнете с числото (-1) - елементът от втората колона на третия ред. За да го превърнете в нула, извадете втория ред от третия ред. След това умножаваме втория ред по седем и го изваждаме от четвъртия. Получихме нула вместо елемента, разположен в четвъртия ред на втората колона. Сега да преминем към третата колона.

В тази колона трябва да превърнем в нула само едно число - 4. Това е лесно да се направи: просто добавете третото към последния ред и вижте нулата, от която се нуждаем.

След всички трансформации доведохме предложената матрица до триъгълна форма. Сега, за да намерите неговата детерминанта, трябва само да умножите получените елементи на главния диагонал. Получаваме: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160.Следователно решението е числото 160.

И така, сега въпросът за привеждането на матрицата в триъгълна форма няма да ви затрудни.

Намаляване до стъпаловидна форма

За елементарни операции върху матрици стъпаловидна форма е по-малко "търсена" от триъгълната. Най-често се използва за намиране на ранга на матрица (т.е. броя на нейните ненулеви редове) или за определяне на линейно зависими и независими редове. Въпреки това, стъпаловиден изглед на матрицата е по-гъвкав, тъй като е подходящ не само за квадратния тип, но и за всички останали.

За да доведете матрицата до стъпаловиден изглед, първо трябва да намерите неговата детерминанта. За това са подходящи горните методи. Целта на намирането на детерминантата е да се установи дали тя може да бъде преобразувана в стъпкова матрица. Ако детерминантата е по-голяма или по-малка от нула, тогава можете спокойно да продължите към задачата. Ако е равно на нула, няма да работи за намаляване на матрицата до стъпаловидна форма. В този случай трябва да проверите дали има грешки в записа или в матричните трансформации. Ако няма такива неточности, задачата не може да бъде решена.

Нека да разгледаме как да доведем матрицата до стъпаловидна форма, като използваме примери за няколко задачи.

Упражнение 1.Намерете ранга на дадената матрична таблица.

Пред нас е квадратна матрица от трети ред (3x3). Знаем, че за да намерим ранга, е необходимо да го сведем до стъпаловидна форма. Следователно, първо трябва да намерим детерминантата на матрицата. Нека използваме метода на триъгълника: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

Детерминанта = 12. Тя е по-голяма от нула, което означава, че матрицата може да се редуцира до стъпаловидна форма. Нека започнем да го трансформираме.

Нека започнем с елемента от лявата колона на третия ред - числото 2. Умножаваме горния ред по две и го изваждаме от третия. Благодарение на тази операция както елементът, от който се нуждаем, така и числото 4 - елементът от втората колона на третия ред - се превърна в нула.

Виждаме, че в резултат на редукцията се е образувала триъгълна матрица. В нашия случай трансформацията не може да бъде продължена, тъй като останалите компоненти не могат да бъдат обърнати на нула.

И така, заключаваме, че броят на редовете, съдържащи числови стойности в тази матрица (или нейния ранг) е 3. Отговор на задачата: 3.

Задача 2.Определете броя на линейно независимите редове на дадената матрица.

Трябва да намерим такива низове, които не могат да бъдат преобразувани в нула чрез никакви трансформации. Всъщност трябва да намерим броя на ненулевите редове или ранга на представената матрица. За да направите това, нека го опростим.

Виждаме матрица, която не принадлежи към квадратния тип. Има размери 3х4. Нека започнем отливката и от елемента на долния ляв ъгъл - числото (-1).

По-нататъшни трансформации не са възможни. И така, заключаваме, че броят на линейно независимите редове в него и отговорът на задачата са 3.

Сега привеждането на матрицата в стъпаловидна форма не е невъзможна задача за вас.

На примерите на тези задачи анализирахме редуцирането на матрица до триъгълна форма и стъпаловидна форма. Да анулирам желани стойностиматрични таблици, отделни случаитрябва да покажете въображение и правилно да трансформирате техните колони или редове. Успех в математиката и в работата с матрици!

Страница 2

Триъгълна матрица е матрица, в която всички елементи от едната страна на главния или вторичния диагонал са равни на нула. Каква е детерминантата на триъгълна матрица.

Операциите за извършване на движение напред на метода на Гаус в съответствие с теоремите на линейната алгебра не променят стойността на детерминантата. Очевидно детерминантата на триъгълна матрица е равна на произведението на нейните диагонални елементи.

Това интуитивно представяне намира в някои случаи точен количествен израз. Например знаем (виж (6) от § 1), че детерминантата на триъгълна матрица (горна или долна) е равна на произведението на елементите по главния диагонал.

Триъгълните матрици имат много забележителни свойства, поради които намират широко приложение при изграждането на повечето различни методирешаване на задачи по алгебра. Така, например, за квадратни матрицисумата и произведението на триъгълни матрици със същото име е триъгълна матрица със същото име, детерминантата на триъгълна матрица е равна на произведението на диагоналните елементи, собствени стойностина триъгълна матрица съвпадат с нейните диагонални елементи, триъгълна матрица лесно се обръща и нейната обратна страна също ще бъде триъгълна.

Вече беше отбелязано по-рано, че директното определяне на детерминантата изисква голямо количество изчисления. В същото време детерминантата на триъгълна матрица се изчислява лесно: тя е равна на произведението на нейните диагонални елементи.

как повече нулисред елементите на матрицата A и колкото по-добре са разположени, толкова по-лесно е да се изчисли детерминантата det A. Това интуитивно представяне намира в някои случаи точен количествен израз. Например знаем (виж (6) от § 1), че детерминантата на триъгълна матрица (горна или долна) е равна на произведението на елементите по главния диагонал.

Например, умножаването на детерминанта по скалар е еквивалентно на умножаване на елементите на който и да е ред или колона на матрица по този скалар. От уравнение (40) и от факта, че разширението е приложимо към алгебрично събиранеточно както за детерминантата, следва, че детерминантата на триъгълна матрица е равна на произведението на нейните диагонални елементи.

Тази възможност произтича от три основни свойствадетерминанти. Добавянето на кратно на един низ към друг не променя детерминантата. Размяната на два низа променя знака на детерминантата. Детерминантата на триъгълна матрица е просто произведението на нейните диагонални елементи. DECOMP използва последния компонент на осния вектор, за да постави там стойността 1, ако има такава четен бройпермутации и стойността е 1, ако е нечетно. За да получите детерминантата, тази стойност трябва да се умножи по произведението на диагоналните елементи на изходната матрица.