Уравнение, описващо хармоничните трептения. трептящо движение

Промени във времето по синусоидален закон:

където х- стойността на променливото количество в момента T, НО- амплитуда , ω - кръгова честота, φ е началната фаза на трептенията, ( φt + φ ) е общата фаза на трептенията. В същото време ценностите НО, ω и φ - постоянен.

За механични вибрации с осцилираща стойност хса по-специално преместване и скорост, за електрически трептения - напрежение и сила на тока.

Хармоничните трептения заемат специално място сред всички видове трептения, тъй като това е единственият вид трептене, чиято форма не се изкривява при преминаване през хомогенна среда, т.е. вълните, разпространяващи се от източник на хармонични трептения, също ще бъдат хармонични. Всяка нехармонична вибрация може да бъде представена като сума (интеграл) от различни хармонични вибрации (под формата на спектър от хармонични вибрации).

Енергийни трансформации при хармонични вибрации.

В процеса на трептене има преход на потенциална енергия Wpв кинетичен W kи обратно. В положение на максимално отклонение от равновесното положение потенциалната енергия е максимална, кинетичната енергия е нула. Когато се върнем в равновесно положение, скоростта на трептящото тяло се увеличава, а с това се увеличава и кинетичната енергия, достигайки максимум в равновесното положение. Тогава потенциалната енергия пада до нула. По-нататъшното движение на врата става с намаляване на скоростта, която пада до нула, когато деформацията достигне своя втори максимум. Потенциалната енергия тук нараства до първоначалната си (максимална) стойност (при липса на триене). Така трептенията на кинетичната и потенциалната енергия протичат с двойна (в сравнение с трептенията на самото махало) честота и са в противофаза (т.е. има фазово изместване между тях, равно на π ). Обща вибрационна енергия Уостава непроменена. За тяло, трептящо под действието на еластична сила, то е равно на:

където v m- максималната скорост на тялото (в равновесно положение), x m = НО- амплитуда.

Поради наличието на триене и съпротивление на средата, свободните трептения затихват: тяхната енергия и амплитуда намаляват с времето. Следователно на практика по-често се използват не свободни, а принудени трептения.

Разгледахме няколко физически напълно различни системи и се уверихме, че уравненията на движението са приведени до една и съща форма

Разликите между физическите системи се проявяват само в различните определения на количеството и в различен физически смисъл на променливата х: това може да бъде координата, ъгъл, заряд, ток и т.н. Забележете, че в този случай, както следва от самата структура на уравнение (1.18), количеството винаги има размерността на обратното време.

Уравнение (1.18) описва т.нар хармонични вибрации.

Уравнението на хармоничните трептения (1.18) е линейно диференциално уравнение от втори ред (тъй като съдържа втората производна на променливата х). Линейността на уравнението означава, че

ако има някаква функция x(t)е решение на това уравнение, тогава функцията Cx(t)също ще бъде неговото решение ( ° Се произволна константа);

ако функции x 1 (t)и x 2 (t)са решения на това уравнение, тогава тяхната сума x 1 (t) + x 2 (t)също ще бъде решение на същото уравнение.

Доказана е и математическа теорема, според която уравнение от втори ред има две независими решения. Всички други решения, според свойствата на линейността, могат да бъдат получени като техни линейни комбинации. Лесно е да се провери чрез директно диференциране, че независимите функции и удовлетворяват уравнение (1.18). Така че общото решение на това уравнение е:

където C1,C2са произволни константи. Това решение може да бъде представено и в друга форма. Представяме количеството

и дефинирайте ъгъла като:

Тогава общото решение (1.19) се записва като

Според тригонометричните формули изразът в скоби е

Най-накрая стигаме до общо решение на уравнението на хармоничните трептениякато:

Неотрицателна стойност АНаречен амплитуда на трептене, - началната фаза на трептенето. Извиква се целият косинус аргумент - комбинацията фаза на трептене.

Изразите (1.19) и (1.23) са напълно еквивалентни, така че можем да използваме всеки от тях от съображения за простота. И двете решения са периодични функции на времето. Наистина, синусът и косинусът са периодични с период . Следователно различни състояния на система, която извършва хармонични трептения, се повтарят след определен период от време T*, за която фазата на трептене получава увеличение, което е кратно на :

Оттук следва, че

Най-малкото от тези времена

Наречен период на трептене (Фиг. 1.8), a - неговият кръгов (цикличен) честота.

Ориз. 1.8.

Те също използват честота колебание

Съответно, кръговата честота е равна на броя трептения на секунди.

Така че, ако системата по време Tсе характеризира със стойността на променливата x(t),тогава същата стойност променливата ще има след период от време (фиг. 1.9), т.е.

Същата стойност, разбира се, ще се повтори след известно време. 2T, ZTи т.н.

Ориз. 1.9. Период на трептене

Общото решение включва две произволни константи ( C 1 , C 2или А, а), стойностите на които трябва да се определят от две начални условия. Обикновено (макар и не задължително) тяхната роля се играе от началните стойности на променливата x(0)и негово производно.

Да вземем пример. Нека решението (1.19) на уравнението на хармоничните трептения описва движението на пружинно махало. Стойностите на произволни константи зависят от начина, по който сме извели махалото от равновесие. Например, изтеглихме пружината на разстояние и пусна топката без начална скорост. В такъв случай

Заместване t = 0в (1.19) намираме стойността на константата От 2

Така решението изглежда така:

Скоростта на товара се намира чрез диференциране по време

Заместване тук T = 0, намерете константата от 1:

Накрая

Сравнявайки с (1.23), намираме това е амплитудата на трептене, а началната му фаза е равна на нула: .

Сега изваждаме махалото от равновесие по друг начин. Нека ударим товара, така че да придобие начална скорост, но практически да не се движи по време на удара. Тогава имаме други начални условия:

нашето решение изглежда така

Скоростта на товара ще се промени според закона:

Нека го поставим тук:

Наричат ​​се движения, които имат известна степен на повторение флуктуации.

Ако стойностите на физическите величини, които се променят в процеса на движение, се повтарят на редовни интервали, тогава такова движение се нарича периодичен. В зависимост от физическата природа на колебателния процес се разграничават механични и електромагнитни колебания. Според метода на възбуждане вибрациите се разделят на: Безплатно(присъщи), възникващи в системата, представена на себе си близо до равновесното положение след някакъв първоначален удар; принуден- възникващи при периодично външно въздействие.

Условия за възникване на свободни трептения: а) при извеждане на тялото от равновесно положение в системата трябва да възникне сила, стремяща се да го върне в равновесно положение; б) силите на триене в системата трябва да са достатъчно малки.

НО амплитуда A е модулът на максималното отклонение на осцилиращата точка от равновесното положение.

Наричат ​​се трептения на точка, възникващи с постоянна амплитуда незаглушено, и флуктуации с постепенно намаляваща амплитуда – затихване.

Времето, необходимо за извършване на пълно трептене, се нарича месечен цикъл(T).

Честота периодични трептения е броят на пълните трептения за единица време:

Единица за честота на трептене - херц(Hz). Херц е честотата на трептенията, чийто период е равен на 1 s: 1 Hz = 1 s -1.

цикличенили кръгова честотапериодични трептения е броят на пълните трептения, които се случват за време 2p с: . \u003d rad / s.

Хармоничен- това са трептения, които се описват от периодичния закон:

или (1)

където е периодично променяща се величина (преместване, скорост, сила и т.н.), A е амплитудата.

Система, чийто закон за движение има формата (1), се нарича хармоничен осцилатор . Синус или косинус аргумент Наречен фаза на трептене.Фазата на трептенето определя преместването в момент t. Началната фаза определя изместването на тялото в момента на началото на обратното броене.

Помислете за отместването хосцилиращо тяло около равновесното положение. Уравнение на хармоничните трептения:

Първата производна на по отношение на времето дава израз за скоростта на тялото: ; (2)

Скоростта достига максималната си стойност в момента, когато =1: . Отместването на точката в този момент е рано до нула = 0 (фиг. 17.1, b).

Ускорението също се променя с времето според хармоничния закон:

където е максималната стойност на ускорението. Знакът минус означава, че ускорението е насочено в посока, обратна на преместването, т.е. ускорение и промяна на изместването в противофаза (фиг. 17.1 в). Вижда се, че скоростта достига своята максимална стойност, когато осцилиращата точка премине равновесното положение. В този момент преместването и ускорението са нула.

1.18. ХАРМОНИЧНИ ТРЕПТЕНИЯ И ТЕХНИТЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Определение за хармонични вибрации. Характеристики на хармоничните трептения: отместване от равновесното положение, амплитуда на трептенията, фаза на трептенията, честота и период на трептене. Скорост и ускорение на трептяща точка. Енергия на хармоничния осцилатор. Примери за хармонични осцилатори: математически, пружинни, торсионни и физически махала.

Акустиката, радиотехниката, оптиката и други клонове на науката и технологиите се основават на учението за трептенията и вълните. Важна роля играе теорията на трептенията в механиката, особено при изчисленията на якостта на самолети, мостове, някои видове машини и възли.

флуктуации са процеси, които се повтарят на редовни интервали (не всички повтарящи се процеси обаче са флуктуации!). В зависимост от физическата природа на повтарящия се процес се разграничават механични, електромагнитни, електромеханични и др. трептения. По време на механични вибрации позициите и координатите на телата периодично се променят.

Възстановяване на силата - силата, под действието на която възниква колебателният процес. Тази сила се стреми да върне тялото или материалната точка, отклонена от позицията на покой, в първоначалната си позиция.

В зависимост от естеството на въздействието върху трептящо тяло се разграничават свободни (или естествени) вибрации и принудителни вибрации.

В зависимост от естеството на въздействието върху трептящата система се разграничават свободни трептения, принудени трептения, собствени трептения и параметрични трептения.

Безплатно (собствен) трептения се наричат ​​такива трептения, които възникват в система, оставена сама на себе си, след като ѝ е даден тласък или е била изведена от равновесие, т.е. когато върху трептящото тяло действа само възстановяващата сила.Пример са трептенията на топка, окачена на нишка. За да предизвикате вибрации, трябва или да натиснете топката, или, като я преместите настрани, да я освободите. В случай, че няма разсейване на енергия, свободните трептения са незатихващи. Реалните осцилаторни процеси обаче са затихнали, т.к трептящо тяло се влияе от сили на съпротивление при движение (главно сили на триене).

· принудени наричат ​​се такива вибрации, по време на които осцилиращата система е изложена на външна периодично променяща се сила (например вибрации на мост, които се появяват, когато хората, които вървят на крачка, преминават по него). В много случаи системите извършват трептения, които могат да се считат за хармонични.

· Автоколебания , както и принудителните колебания, те са придружени от външни сили, действащи върху осцилиращата система, но моментите от време, когато се извършват тези ефекти, се задават от самата осцилираща система. Тоест самата система контролира външното влияние. Пример за автоколебателна система е часовник, при който махалото получава удари, дължащи се на енергията на повдигната тежест или усукана пружина, и тези удари възникват в моментите на преминаване на махалото през средно положение.

· Параметричен колебанията се извършват с периодична промяна на параметрите на осцилиращата система (човек, който се люлее на люлка, периодично повдига и понижава центъра на тежестта си, като по този начин променя параметрите на системата). При определени условия системата става нестабилна - случайно отклонение от равновесното положение води до възникване и нарастване на трептения. Това явление се нарича параметрично възбуждане на трептенията (т.е. трептенията се възбуждат чрез промяна на параметрите на системата), а самите трептения се наричат ​​параметрични.

Въпреки различната физическа природа, трептенията се характеризират с едни и същи закономерности, които се изучават по общи методи. Важна кинематична характеристика е формата на вибрациите. Определя се от формата на функцията на времето, която описва промяната на една или друга физическа величина по време на трептене. Най-важни са тези флуктуации, при които флуктуиращата стойност се променя с времето според закона на синуса или косинуса . Те се наричат хармоничен .

Хармонични вибрациисе наричат ​​трептения, при които осцилиращото физическо количество се променя по синус (или косинус) закон.

Този тип трептене е особено важно поради следните причини. Първо, трептенията в природата и техниката често имат характер, много близък до хармоничния. Второ, периодични процеси с различна форма (с различна зависимост от времето) могат да бъдат представени като наслагване или суперпозиция на хармонични трептения.

Уравнение на хармоничен осцилатор

Хармоничното трептене се описва от периодичния закон:

Ориз. 18.1. хармонично трептене

У

тук
- характеризира промяна всяко физическо количество по време на трептения (изместване на позицията на махалото от равновесното положение; напрежение върху кондензатора в колебателната верига и др.), А - амплитуда на трептене ,
- фаза на трептене , - начална фаза ,
- циклична честота ; стойност
също наричан собствен честота на трептене. Това име подчертава, че тази честота се определя от параметрите на трептящата система. Система, чийто закон за движение има формата (18.1), се нарича едномерен хармоничен осцилатор . В допълнение към горните величини се въвеждат следните понятия за характеризиране на трептенията: месечен цикъл , т.е. време на едно трептене.

(Период на колебание T нарича се най-малкият период от време, след който състоянията на трептящата система се повтарят (извършва се едно пълно трептене) и фазата на трептението получава увеличение 2p).

и честоти
, което определя броя на трептенията за единица време. Единицата за честота е честотата на такова трептене, чийто период е 1 s. Тази единица се нарича херц (Hz ).

Честота на трептенен наречен реципрочна стойност на периода на трептене - броят на пълните трептения за единица време.

Амплитуда- максималната стойност на преместването или промяната на променлива по време на колебателно или вълново движение.

Фаза на трептене- аргумент на периодична функция или описващ хармоничен колебателен процес (ω - ъглова честота, T- време, - началната фаза на трептенията, т.е. фазата на трептенията в началния момент от времето T = 0).

Първата и втората производни по време на хармонично осцилиращо количество също извършват хармонични трептения със същата честота:

В този случай за основа се взема уравнението на хармоничните трептения, написано според косинусния закон. В този случай първото от уравненията (18.2) описва закона, по който се променя скоростта на осцилираща материална точка (тяло), второто уравнение описва закона, по който се променя ускорението на осцилираща точка (тяло).

Амплитуди
и
равни съответно
и
. колебание
изпреварва
във фаза до ; и колебание
изпреварва
на . Стойности Аи може да се определи от дадени начални условия
и
:

,
. (18.3)

Осцилаторна енергия на трептене

П

Ориз. 18.2. Пружинно махало

Нека сега да видим какво ще се случи с вибрационна енергия . Като пример за хармонични трептения, помислете за едномерни трептения, извършвани от тяло с маса м Под влиянието еластична сила
(например пружинно махало, виж фиг. 18.2). Силите с различно естество от еластичните, но при които е изпълнено условието F = -kx, се наричат квазиеластичен.Под въздействието на тези сили телата извършват и хармонични трептения. Позволявам:

пристрастие:
скорост:
ускорение:

Тези. уравнението за такива трептения има формата (18.1) със собствена честота
. Квазиеластичната сила е консервативен . Следователно общата енергия на такива хармонични трептения трябва да остане постоянна. В процеса на трептене се получава трансформация на кинетичната енергия д да сев потенциал д Пи обратно, освен това в моментите на най-голямо отклонение от равновесното положение общата енергия е равна на максималната стойност на потенциалната енергия, а когато системата преминава през равновесното положение, общата енергия е равна на максималната стойност на кинетичната енергия. Нека разберем как кинетичната и потенциалната енергия се променят с времето:

Кинетична енергия:

Потенциална енергия:

(18.5)

Като се има предвид, че т.е. , последният израз може да се запише като:

Така общата енергия на хармоничното трептене се оказва постоянна. От отношения (18.4) и (18.5) също следва, че средните стойности на кинетичната и потенциалната енергия са равни една на друга и половината от общата енергия, тъй като средните стойности
и
за периода са 0.5. Използвайки тригонометрични формули, може да се получи, че кинетичната и потенциалната енергия се променят с честота
, т.е. с честота два пъти по-голяма от хармоничната честота.

Примери за хармоничен осцилатор са пружинни махала, физически махала, математически махала и усукващи махала.

1. Пружинно махало- това е товар с маса m, който е окачен на абсолютно еластична пружина и извършва хармонични трептения под действието на еластична сила F = -kx, където k е твърдостта на пружината. Уравнението на движението на махалото има формата или (18.8) От формула (18.8) следва, че пружинното махало извършва хармонични трептения по закона x \u003d Acos (ω 0 t + φ) с циклична честота

(18.9) и период

(18.10) Формула (18.10) е вярна за еластични трептения в границите, в които е изпълнен законът на Хук, т.е. ако масата на пружината е малка в сравнение с масата на тялото. Потенциалната енергия на пружинно махало, използвайки (18.9) и формулата за потенциална енергия от предишния раздел, е (вижте 18.5)

2. физическо махало- това е твърдо тяло, което се колебае под действието на гравитацията около неподвижна хоризонтална ос, която минава през точка O, която не съвпада с центъра на масата C на тялото (фиг. 1).

Фиг.18.3 Физическо махало

Ако махалото се отклони от равновесното положение с определен ъгъл α, тогава, използвайки уравнението на динамиката на въртеливото движение на твърдо тяло, моментът M на възстановяващата сила (18.11), където J е моментът на инерцията на махало около оста, която минава през точката на окачване O, l е разстоянието между оста и центъра на масата на махалото, F τ ≈ –mgsinα ≈ –mgα е възстановяващата сила (знакът минус показва, че посоките F τ и α са винаги противоположни; sinα ≈ α, тъй като трептенията на махалото се считат за малки, т.е. махалото се отклонява от равновесното положение с малки ъгли). Записваме уравнение (18.11) като

Или като вземем (18.12), получаваме уравнението

Идентичен на (18.8), чието решение намираме и записваме като:

(18.13) От формула (18.13) следва, че при малки трептения физическото махало извършва хармонични трептения с циклична честота ω 0 и период

(18.14) където стойността L=J/(m л) - . Точката O" от продължението на правата OS, която е отделена от точката O на окачването на махалото на разстояние с намалената дължина L, се нарича люлеещ се центърфизическо махало (фиг. 18.3). Прилагайки теоремата на Щайнер за инерционния момент на оста, намираме

Тоест OO "винаги е по-голямо от OS. Точката на окачване O на махалото и центърът на люлеене O" имат свойство на взаимозаменяемост: ако точката на окачване се премести към центъра на люлеене, тогава старата точка на окачване O ще бъде новият център на люлеене и периодът на трептене на физическото махало няма да се промени.

3. Математическо махалое идеализирана система, състояща се от материална точка с маса m, която е окачена на неразтеглива безтегловна нишка и която осцилира под действието на гравитацията. Добро приближение на математическото махало е малка, тежка топка, която е окачена на дълга, тънка нишка. Инерционен момент на математическо махало

(8) където ле дължината на махалото.

Тъй като математическото махало е частен случай на физическо махало, ако приемем, че цялата му маса е концентрирана в една точка - центъра на масата, тогава, замествайки (8) в (7), намираме израз за периода на малки трептения на математическо махало (18.15) Сравнявайки формулите (18.13 ) и (18.15), виждаме, че ако намалената дължина L на физическото махало е равна на дължината лматематическо махало, тогава периодите на трептене на тези махала са еднакви. означава, намалена дължина на физическо махалое дължината на такова математическо махало, при което периодът на трептене съвпада с периода на трептене на дадено физическо махало. За математическо махало (материална точка с маса мокачен на безтегловна неразтеглива нишка с дължина лв полето на гравитацията с ускорение на свободно падане равно на ж) при малки ъгли на отклонение (не повече от 5-10 ъглови градуса) от равновесното положение, собствена честота на трептене:
.

4. Тяло, окачено на еластична нишка или друг еластичен елемент, който се колебае в хоризонтална равнина, е торсионно махало.

Това е механична осцилаторна система, която използва силите на еластичните деформации. На фиг. 18.4 показва ъгловия аналог на линеен хармоничен осцилатор, който извършва торсионни вибрации. Хоризонтално разположен диск виси на еластична нишка, фиксирана в центъра на масата му. Когато дискът се завърти на ъгъл θ, възниква момент на силите Меластично усукване:

където аз = аз° Се инерционният момент на диска около оста, минаваща през центъра на масата, ε е ъгловото ускорение.

По аналогия с натоварването на пружината можете да получите.

Обща информация за вибрациите

Глава 6 Вибрационно движение

флуктуацииНаричат ​​се процеси, които се различават в различна степен на повторение.

Такова свойство на повторяемост притежават например люлеенето на махалото на часовника, вибрациите на струната или краката на камертона, напрежението между пластините на кондензатора във веригата на радиоприемника и др.

В зависимост от физическата природа на повтарящия се процес се разграничават трептения:

– механични;

– електромагнитни;

– електромеханични и др.

В зависимост от характера на въздействието върху трептящата система има:

– безплатни (или собствени);

- принуден;

– собствени трептения;

са параметрични трептения.

Безплатноили собственсе наричат ​​такива колебания, които възникват в система, оставена сама на себе си, след като й е даден тласък или е била изведена от равновесие. Пример за това е трептенето на топка, окачена на нишка (махало).

принуденинаричат ​​се такива вибрации, по време на които осцилиращата система е изложена на външна периодично променяща се сила.

Автоколебанияса придружени от въздействието на външни сили върху трептящата система, но моментите от време, когато се извършват тези влияния, се задават от самата осцилираща система - самата система контролира външното въздействие. Пример за автоколебателна система е часовник, при който махалото получава удари, дължащи се на енергията на повдигната тежест или усукана пружина, и тези удари възникват в моментите на преминаване на махалото през средно положение.

При параметриченколебания, дължащи се на външни влияния, има периодична промяна в някакъв параметър на системата, например дължината на нишката на махалото.

Най-простите са хармонични вибрации, т.е. такива трептения, при които осцилиращото количество (например отклонението на махалото) се променя с времето според закона на синуса или косинуса.

Най-важното сред трептящите движения е така нареченото просто или хармонично трептене.

Естеството на такова движение се разкрива най-добре с помощта на следния кинематичен модел. Да приемем, че геометричната точка Мсе върти равномерно около окръжност с радиус a с постоянна ъглова скорост (фиг. 6.1). Нейната проекция нна диаметър, например на ос х, ще осцилира от едно крайно положение до друго крайно положение и обратно. Такова колебание на точката ннаречено просто или хармонично трептене.

За да го опишете, трябва да намерите координатата хточки нкато функция на времето T. Да приемем, че в началния момент радиусът OM се образува с оста хъгъл . След време t този ъгъл ще се увеличи и ще стане равен на . От фиг. 6.1. това е ясно

. (6.1)

Тази формула описва аналитично хармоничното осцилаторно движение на точка нпо диаметъра.

Стойност адава максималното отклонение на осцилиращата точка от равновесното положение. Нарича се амплитудафлуктуации. Извиква се стойността 0 циклична честота. Стойността се нарича фазафлуктуации и стойността му при , т.е. стойността - първиченфаза. След като изтече времето

фазата се увеличава и осцилиращата точка се връща в първоначалното си положение, като запазва първоначалната посока на движение. време Tнаречен период на трептене.

Скоростта на осцилиращата точка може да се намери чрез диференциране на израз (6.1) по отношение на времето. Това дава

Диференцирайки втори път, получаваме ускорението

или, използвайки (6.1),

Силата, действаща върху материална точка по време на хармонично трептене, е равна на

. (6.6)

Тя е пропорционална на отклонението x и има обратна посока. Тя винаги е насочена към равновесното положение.

Помислете за хармоничните трептения на товар върху пружина, чийто един край е фиксиран, а тяло с маса е окачено от другия м(фиг. 6.2). Нека е дължината на недеформираната пружина. Ако пружината е опъната или компресирана до дължина л, тогава има сила Естремейки се да върнат тялото в равновесно положение. За малки напрежения, Закон на Хук- силата е пропорционална на разтягането на пружината: . При тези условия уравнението на движението на тялото има формата

Константа кНаречен коефициентеластичност или твърдост на пружината. Знакът минус означава, че силата Енасочена в посока, обратна на изместването х, т.е. до равновесното положение.

При извеждането на уравнение (6.7) се приемаше, че върху тялото не действат други сили. Нека покажем, че движението на тяло, окачено на пружина в еднородно гравитационно поле, се подчинява на същото уравнение. Нека означим в този случай с буквата худължение на пружината, т.е. разлика . Пружината дърпа товара нагоре със сила, силата на гравитацията - надолу. Уравнението на движението има формата

Нека означава удължаването на пружината в равновесно положение. Тогава . Премахвайки теглото, получаваме . Запазваме обозначението , тогава уравнението на движението ще приеме предишната форма (6.7). Стойността на x все още означава изместването на товара от равновесното положение. Равновесното положение обаче се измества от гравитацията. Освен това при наличието на гравитация значението на количеството се променя. Сега това означава резултатът от силите на опън на пружината и теглото на товара. Но всичко това не засяга математическата страна на процеса. Следователно може да се спори така, сякаш изобщо няма гравитация. Ето как ще го направим.

Получената сила има същата форма като силата в израз (6.6). Ако поставим , тогава уравнението (6.7) става

. (6.8)

Това уравнение съвпада с уравнение (6.5). Функцията (6.1) е решение на такова уравнение за всякакви стойности на константите аи а. Това е общото решение. От гореизложеното следва, че натоварването на пружината ще извършва хармонични трептения с кръгова честота

и точка

. (6.10)

Трептенията, описани с уравнение (6.8), са Безплатно(или собствен).

Потенциалната и кинетичната енергия на тялото са дадени с изразите

. (6.11)

Всеки от тях се променя с времето. Въпреки това тяхната сума дтрябва да остане постоянен във времето:

(6.12)

Всичко изложено тук е приложимо за хармонични вибрации на всякакви механични системи с една степен на свобода. Моментното положение на механична система с една степен на свобода може да се определи с помощта на всяко едно количество р, наречена обобщена координата, например ъгъл на завъртане, преместване по определена линия и т.н. Производната на обобщената координата по отношение на времето се нарича обобщена скорост. Когато се разглеждат вибрациите на механични системи с една степен на свобода, е по-удобно да се вземе като първоначално не уравнението на Нютон на движение, а енергийното уравнение. Да приемем, че една механична система е такава, че нейните потенциална и кинетична енергия са изразени с формули на формата

, (6.14)

където d и b са положителни константи (системни параметри). Тогава законът за запазване на енергията води до уравнението

. (6.15)

Различава се от уравнение (6.12) само по отношение на нотацията, която няма значение при математическо разглеждане. От математическата идентичност на уравненията (6.12) и (6.15) следва, че техните общи решения са еднакви. Следователно, ако енергийното уравнение се сведе до формата (6.15), тогава

, (6.16)

т.е. обобщена координата ризвършва хармонично трептене с кръгова честота