Урната съдържа черни и бели. Проблеми с топките

Задача 174тв

а) 3 бели топки;
б) по-малко от 3 бели топки;
в) поне една бяла топка.

Задача 176тв

Една урна съдържа 6 черни и 5 бели топки. На случаен принцип се теглят 5 топки. Намерете вероятността сред тях да има:
а) 3 бели топки;
б) по-малко от 3 бели топки;
в) поне една бяла топка.

Задача 178тв

Една урна съдържа 4 черни и 5 бели топки. На случаен принцип се теглят 4 топки. Намерете вероятността сред тях да има:
а) 2 бели топки;
б) по-малко от 2 бели топки;
в) поне една бяла топка.

Задача 180тв

Една урна съдържа 6 черни и 7 бели топки. На случаен принцип се теглят 4 топки. Намерете вероятността сред тях да има:
а) 4 бели топки;
б) по-малко от 4 бели топки;
в) поне една бяла топка.

Задача 184тв

Една урна съдържа 8 черни и 6 бели топки. На случаен принцип се теглят 4 топки. Намерете вероятността сред тях да има:
а) 3 бели топки;
б) по-малко от 3 бели топки;
в) поне една бяла топка.

Задача 186тв

Една урна съдържа 4 черни и 6 бели топки. На случаен принцип се теглят 4 топки. Намерете вероятността сред тях да има:
а) 3 бели топки;
б) по-малко от 3 бели топки;
в) поне една бяла топка.

Задача 188тв

Една урна съдържа 5 черни и 6 бели топки. На случаен принцип се теглят 5 топки. Намерете вероятността сред тях да има:
а) 4 бели топки;
б) по-малко от 4 бели топки;
в) поне една бяла топка.

Работа #1

случайни събития

6 вариант.

Задача 1.1.Хвърли три монети. Намерете вероятността "гербът" да се появи само на две монети.

Разследвано събитие A - само две монети от три ще имат герб. Една монета има две страни, което означава, че при хвърляне на три монети ще има 8 събития.В три случая само две монети ще имат герб. Вероятността за събитие А се изчислява по формулата:

P(A) = m/n = 3/8.

Отговор: вероятност 3/8.

Задача 1.2.Думата СЪБИТИЕ е съставена от карти, на всяка от които е написана по една буква. След това картите се смесват и се изваждат, без да се връщат една по една. Намерете вероятността буквите да бъдат извадени в реда на дадената дума.

Тестът се състои в изваждане на карти с букви в произволен ред без връщане. Елементарното събитие е получената последователност от букви. Събитие А трябва да получи точната думаСЪБИТИЕ . Елементарните събития са пермутации от 7 букви, което означава, че според формулата имаме n= 7!

Буквите в думата СЪБИТИЕ не се повтарят, така че не са възможни пермутации, при които думата не се променя. Техният брой е 1.

По този начин,

P(A) = 1/7! = 1/5040.

Отговор: P(A) = 1/5040.

Задача 1.3.Както и в предишната задача, намерете съответната вероятност на случая, когато дадената дума е думата АНТОНОВ ИЛЯ.

Този проблем се решава подобно на предишния.

n=11!; М = 2!*2! = 4.

P(A) = 4/11 = 4/39916800 = 1/9979200

Отговор: P(A)=1/9979200.

Задача 1.4.Една урна съдържа 8 черни и 6 бели топки. На случаен принцип се теглят 5 топки. Намерете вероятността сред тях да има:

а) 3 бели топки;

б) по-малко от 3 бели топки;

в) поне една бяла топка.

8 часа Тестът ще бъде произволно теглене на 5 топки. Елементарно

6 b събития са всички възможни комбинации от 5 от 14 топки. Техният брой е

а) A 1 - сред изтеглените топки 3 са бели. И така, сред изтеглените топки 3 са бели и 2 са черни. Използвайки правилото за умножение, получаваме

P (A 1) \u003d 560/2002 \u003d 280/1001.

b) A 2 - сред изтеглените топки има по-малко от 3 бели. Това събитие се състои от три несъвместими събития:

В 1 - сред изтеглените топки има само 2 бели и 3 черни топки,

B 2 - сред изтеглените топки само една бяла и 4 черни топки

В 3 - сред изтеглените топки няма нито една бяла топка, всичките 5 топки са черни:

A 2 \u003d B 1 B 2 B 3.

Тъй като събития B 1 , B 2 и B 3 са несъвместими, можете да използвате формулата:

P (A 2) \u003d P (B 1) + P (B 2) + P (B 3);

P (A 2) \u003d 840/2002 + 70/2002 + 56/2002 \u003d 483/1001.

в) - сред изтеглените топки няма нито една бяла. В такъв случай:

P (A 3) \u003d 1 - P () \u003d 1 - 28/1001 \u003d 973/1001.

Отговор: P (A 1) = 280/1001, P (A 2) = 483/1001, P (A 3) = 973/1001.

Задача 1.6.Първата урна съдържа 5 бели и 7 черни топки, а втората урна съдържа 6 бели и 4 черни топки. 2 топки се теглят на случаен принцип от първата урна и 2 топки от втората урна. Намерете вероятността сред изтеглените топки:

а) всички топки от един и същи цвят;

б) само три бели топки;

в) поне една бяла топка.

Урна 1 Урна 2 Топки бяха изтеглени от двете урни независимо. Изпитания

5 b 6 b теглят две топки от първата урна и две топки

7h 4h от втората урна. Елементарните събития ще бъдат комбинации

2 или 2 от 12 или съответно 10 топки.

2 2 a) A 1 - всички изтеглени топки от един и същи цвят, т.е. всички са бели

или изцяло черно.

Ние дефинираме за всяка урна всички възможни събития:

След 1 - 2 се изваждат бели топки от първата урна;

B 2 - 1 бяла и 1 черна топка се изтеглят от първата урна;

След 3 - 2 черни топки се изтеглят от първата урна;

C 1 - 2 бели топки се изтеглят от втората урна;

C 2 - 1 бяла и 1 черна топка се изтеглят от втората урна;

C 3 - 2 черни топки се изтеглят от втората урна.

Така че A 1 = , откъдето, като вземем предвид независимостта и несъвместимостта на събитията, получаваме

P (A 1) \u003d P (B 1) * P (C 1) + P (B 3) * P (C 3).

Да намерим количеството елементарни събития n 1 и n 2 съответно за първата и втората урна. Ние имаме:

Намерете броя на всеки елемент от събития, които определят следните събития:

B 1: m 11 = C 1: m 21 =

B 2: m 12 \u003d C 2: m 22 \u003d

B 3: m 13 \u003d C 3: m 23 \u003d

Следователно,

P (A 1) \u003d 10/66 * 15/45 + 21 * 6/45 \u003d 5/99 + 7/165 \u003d 46/495.

б) A 2 - сред изтеглените топки само 3 са бели. В такъв случай

A 2 \u003d (B 1 C 2 (B 2 C 1);

P (A 2) \u003d P (B 1) * P (C 1) + P (B 2) * P (C 2)

P (A 2) \u003d 10/66 * 6/45 + 35/66 * 24/45 \u003d 33/99 \u003d 1/3.

в) A 3 - сред изтеглените топки има поне една бяла.

Сред изтеглените топки няма бели топки. Тогава

P() = P(B 3) * P(C 3) = 21/66 * 6/45 = 7/165;

P (A 3) \u003d 1 - P () \u003d 1 - 7/165 \u003d 158/165.

Отговор: P (A 1) \u003d 46/495, P (A 2) = 1/3, P (A 3) = 158/165.

Задача 1.7.Една урна съдържа 5 черни и бели топки, към тях се добавят 4 бели топки. След това 3 топки се изтеглят на случаен принцип от урната. Намерете вероятността всички изтеглени топки да са бели, като приемем, че всички възможни изречения за оригиналното съдържание на урната са еднакво вероятни.

Тук има два вида тестове: първо се дава първоначалното съдържание на урната и след това 3-тата топка се тегли на случаен принцип, а резултатът от втория тест зависи от резултата от първия. Следователно се използва формулата за общата вероятност.

събитие А - 3 бели топки се изтеглят на случаен принцип. Вероятността за това събитие зависи от това как оригинална композициятопки в урната.

Помислете за събитията:

В 1 - в урната имаше 5 бели топки;

Във 2 - в урната имаше 4 бели и 1 черна топки;

В 3 - в урната имаше 3 бели и 2 черни топки;

В 4 - в урната имаше 2 бели и 3 черни топки;

На 5 - в урната имаше 1 бяла и 4 черни топки.

На 6 - в урната имаше 5 черни топки;

Общ брой елементарни резултати

Да намерим условни вероятностисъбития А при различни условия.

P (A / B 1) \u003d 1.

P (A / B 2) \u003d 56/84 \u003d 2/3.

P (A / B 3) \u003d 35/84 \u003d 5/12.

P (A / B 4) \u003d 5/21.

P (A / B 5) \u003d 5/42.

P (A / B 6) \u003d 1/21.

P(A) = 1 * 1/6 + 2/3 * 1/6 + 5/12 * 1/6 + 5/21 * 1/6 + 5/42 * 1/6 + 1/21 * 1/6 = 209/504.

Отговор: P(A) = 209/504.

Задача 1.9.В пирамидата има 11 пушки, 3 от които с оптически мерник. Стрелецът, стрелящ от пушка с телескопичен мерник, може да уцели целта с вероятност 87/100, а стрелящ от пушка без оптичен мерник с вероятност 52/100. Намерете вероятността стрелецът да уцели целта, като стреля от произволно избрана пушка.

Като се има предвид, че пушките се избират една по една, получаваме и съответно (за B 1) и (за B 2); по този начин P (B 1) \u003d 3/11, P (B 2) \u003d 8/11.

Условните вероятности са посочени в изложението на проблема:

P(A / B 1) = 0,87 и P (A.B 2) = 0,52.

Следователно,

P(A) = 0,87 * 3/11 + 0,52 * 8/11 = 0,615.

Отговор: P(A)=0,615.

Задача 1.10.В монтажния цех към устройството е свързан електрически мотор. Електрическите двигатели се доставят от три производителя. В склада има електродвигатели на тези заводи съответно в количество M 1 =13, M 2 =12 и M 3 = 17 броя, които могат да работят безотказно до края на гаранционния срок с вероятности 0,91 , 0,82 и 0,77, съответно. Работникът произволно взема един електродвигател и го монтира към устройството. Намерете вероятността електродвигател, монтиран и работещ без повреда до края на гаранционния период, да е доставен съответно от първия, втория или третия производител.

Условните вероятности са дадени в условието на проблема: P (A / B 1) \u003d 0,91, P (A / B 2) \u003d 0,82, P (A / B 3) = 0,77.

Подобно на предишния проблем, намираме вероятностите:

P (B 1) \u003d 13/42 \u003d 0,3095; P (B 2) \u003d 12/42 \u003d 0,2857; P (B 3) \u003d 17/42 \u003d 0,4048;

P(A) = 0,91 * 0,3095 + 0,82 * 0,2857 + 0,77 * 0,4048 = 0,8276.

Съгласно формулата на Bayes (1.8.), изчисляваме условните вероятности на събития (хипотези) B 1:

P (B 1 / A) \u003d

P (B 2 / A) \u003d

P (B 3 / A) \u003d

Отговор: P (B 1 / A) \u003d 0,3403, P (B 2 / A) \u003d 0,2831, P (B 3 / A) = 0,3766

Работа #2

случайни променливи.

6 - опция.

Задача 2.1.Във всеки от n независими тестовесъбитие А се случва с постоянна вероятност от 0,36. Изчислете всички вероятности p k , k = 0, 1, 2, ..., 11, където k е честотата на събитие A. Начертайте вероятностите p k . Намерете най-вероятната честота.

дадени: n=11, p=0.36, q=1 - p=0.64.

Намирам: p 0 , p 1 , p 2 , ..., p 11 и k.

Използване на формулата на Бернули. Стойността на p 0 се изчислява по първата от формулите, а останалите вероятности p k - по втората.

За формулата изчисляваме постоянния фактор

p / q = 0,36 / 0,64 = 0,5625, p 0 = * 0,36 0 * 0,64 11 = 0,0073787.

Записваме резултатите от изчисленията в таблица 1. Ако изчисленията са правилни, тогава равенството

Въз основа на намерените вероятности изграждаме тяхната графика (фиг. 1).

Нека намерим най-вероятната честота според дадените условия:

np - q = 11 * 0,36 - 0,64 = 3,32.np + k = 4,32

Следователно най-вероятната честота е k = 4 и, както беше получено по-рано, стойността на p 3 е максималната.

маса 1

к	(n-k-1)/k	p k	к	(n-k-1)/k	p k
	-	0,9926213

Фигура 1 Графика на вероятността p k

Задача 2.2.Във всеки от n независими опита събитие А се случва с постоянна вероятност от 0,47. Намерете вероятността събитие А да се случи:

а) точно 330 пъти;

б) по-малко от 330 и повече от 284 пъти;

в) повече от 330 пъти.

а) дадени: n = 760, p = 0.47, M = 330.

Намирам: P 760 (330).

Ние използваме локална теоремаМоавър - Лаплас. Намираме:

Намираме стойността на функцията j(x) от таблицата:

j(1,98) = 0,0562, Р 760 (330) = 0,0562/13,76 = 0,00408.

б) Намирам: R 760 (284

Използваме интегралната теорема на Moivre - Laplace.

Намираме:

Стойността на функцията Ф(х) намираме от таблицата:

R 760 (284

в) Намирам: R 760 (330

Имаме: x 1 \u003d -1,98,

R 760 (330

Задача 2.4.На телефонната централа възниква неправилна връзка с вероятност 1/800. Намерете вероятността сред 5600 връзки да има:

а) точно 2 неправилни връзки;

б) по-малко от 3 неправилни връзки;

в) повече от 8 неправилни връзки.

даденост: n=5600, p=1/800, k=2.

Намирам: P 800 (2).

Получаваме:

l \u003d 5600 * 1/800 \u003d 7.

P 800 (2) = .

б) даденик<3.

Намирам: P 200 (к<3).

P 800 (к<3) = Р 800 (0) + Р 800 (1) + Р 800 (2) = 0,0223 + 0,0009 + 0,0064 = 0,0296.

в) дадени k > 8.

Намирам:Р 800 (k > 8).

Този проблем може да бъде решен по-просто, за да се намери вероятността от обратното събитие, тъй като в този случай трябва да изчислите по-малко условия. Като вземем предвид предишния случай, имаме

P 800 (k>8) = 1 - P 800 (k8) = 1 - P 800 (k<9) = 1 - 0,7291 = 0,2709.

Задача 2.6.Случайната променлива X е дадена от поредица от разпределения.

х	8 12 16 24
Р	0,11 0,14 0,50 0,25

Намерете функцията на разпределение F(x) на случайната променлива X и изградете нейната графика. Изчислете за X неговата средна стойност EX, дисперсия DX и режим Mo.

Нека начертаем функцията на разпределение F(x) . Средната стойност на EX се изчислява по формулата:

EX \u003d 8 * 0,11 + 12 * 0,14 + 16 * 0,5 + 24 * 0,25 \u003d 16,56.

Дисперсия: E (X 2) \u003d 8 2 * 0,11 + 12 2 * 0,14 + 16 2 * 0,5 + 24 2 * 0,25 \u003d 299,2

DX = 299,2 - 16,52 2 = 26,2896.

График на функцията на разпределение

Задача 2.7.Случайната променлива X се дава от функцията за плътност на вероятността

f(x) =

Намерете функцията на разпределение F(x) на случайната променлива X. Начертайте функцията f(x) и F(x). Изчислете за X неговата средна стойност EX, дисперсия DX, режим Mo и медиана Me. K = 8, R = 12.

Функцията на разпределение F(x) на непрекъсната случайна променлива се намира по формулата:

Построете графики на функции f(x) и F(x). Средната стойност на X се изчислява по формулата:

EX =

За да намерим дисперсията X, използваме формулите:

E (X 2) \u003d

DX = 40,5 - (4,5) 2 .

Графиката показва, че f (x) достига максимум в точката x \u003d 1/2 и следователно Mo \u003d 12. За да намерите медианата Me, трябва да решите уравнението x 2 / 256 \u003d 1/2 , или x 2 \u003d 128. Имаме x = ± 11,31, Me = 11,31.

Графика на функцията на разпределение F(x).

Работа номер 3.

Задача 3.1

За проби А и Б

Направете вариационна серия;

Изчисляване на относителни честоти (честоти) и натрупани честоти;

Изграждане на графики на вариационни серии (многоъгълник и хистограма);

Съставете емпирична функция на разпределение и изградете нейната графика;

Изчислете числените характеристики на вариационната серия:

средно аритметично ,

дисперсия,

стандартно отклонение ,

медиана Аз.

Задача 3.2.

Изчислете безпристрастни оценки на параметрите на популацията ,S 2 , S според

проби A и B (като се използват резултатите, получени в задача 3.1.), както и първата колона на проба B.

Образец А6

4	10	7	6	3	7	8	7	4	7	10	7	3	9	3
1	5	8	10	11	6	5	7	6	3	8	4	3	8	4
10	6	8	7	8	7	7	7	4	6	7	10	4	4	0
5	4	4	8	5	5	10	7	3	8	5	6	6	6	3
5	7	8	5	7	10	9	10	8	2	3	6	9

N = 73 Първо начало на интервал: 0 Дължина на интервал: 1

Проба B6

324	296	313	323	312	321	322	301	337	322	329	307
301	328	312	318	327	315	319	317	309	334	323	340
326	322	314	335	313	322	319	325	312	300	323	335
339	326	298	298	337	322	303	314	315	310	316	321
312	315	331	322	321	336	328	315	338	318	327	323
325	314	297	303	322	314	317	330	318	320	312	333
332	319	325	319	307	305	316	330	318	335	327	321
332	288	322	334	295	318	329	305	310	304	326	319
317	316	316	307	309	309	328	317	317	322	316	304
303	350	309	327	345	329	338	311	316	324	310	306
308	302	315	314	343	320	304	310	345	312	330	324
308	326	313	320	328	309	306	306	308	324	312	309
324	321	313	330	330	315	320	313	302	295	337	346
327	320	307	305	323	331	345	315	318	331	322	315
304	324	317	322	312	314	308	303	333	321	312	323
317	288	317	327	292	316	322	319	313	328	313	309
329	313	334	314	320	301	329	319	332	316	300	300
304	306	314	323	318	337	325	321	322	288	313	314
307	329	302	300	316	321	315	323	331	318	334	316
328	294	288	312	312	315	321	332	319

N = 237 Първо начало на интервал: 285 Дължина на интервал: 7

Разрешаване на проблем.

Задача 3.1.

Първо решаваме проблема за проба A. Намираме: x min = 0 и x max = 11. Диапазонът (11 - 0 + 1 = 12) е доста малък, така че ще направим вариационна серия по стойности (Таблица 1).

маса 1

Всички относителни честоти се изчисляват с еднаква точност. Когато чертаем, изобразяваме стойности от 0 до 11 на оста x и стойности от 0 до 0,25 на оста n i / n (фиг. 1 и 2).

Ориз. 1. Многоъгълник на вариационната серия на проба А

Ориз. 2. Хистограма на вариационната серия на проба А.

Емпиричната функция на разпределение F * (x) се намира с помощта на формулата и натрупаните честоти от табл. 1. Имаме:

Когато начертаваме F * (x), заделяме стойностите на функцията в диапазона от 0 до 1,2 (фиг. 3).

Фиг.3. Графика на емпиричната функция на разпределение на извадка А.

Изчисляването на сумите за средно аритметично и дисперсия по формулите и по вариационните серии (виж таблица 1) е съставено в табл. 2. Въз основа на максималната честота определяме c = 7, а стъпката на таблицата е k = 1.

11 1 4 4 16 16 73 -58 470

Стандартно отклонение Режимът Mo е стойността с максимална честота, т.е. Mo = 7. Медианата Me е 37-ата стойност на вариационната серия: Me = 7.

Сега, използвайки проба B, намираме x min = 288 и x max = 350. Диапазонът (350 - 288 + 1 = 63) е доста голям, така че ще съставим вариационна серия по интервали от стойности, като използваме даденото начало на първият интервал и дължината на интервала при вземане на проби (Таблица 3).

Таблица 3

Ориз. 4. Многоъгълник на вариационната серия на проба Б.

Ориз. 5. Хистограма на вариационната серия на проба Б.

Когато конструираме графики, начертаваме стойности от 285 до 355 по оста x и стойности от 0 до 0,3 по оста n i / n (фиг. 4 и 5).

Освен това вземаме предвид, че неговият край се приема като представител на всеки интервал. Вземайки за координати на точките краищата на интервалите и съответните натрупани честоти (виж таблица 3) и свързвайки тези точки с прави линии, построяваме графика на емпиричната функция на разпределение (фиг. 6).

Ориз. 6. Графика на емпиричната функция на разпределение на извадка B.

Да се ​​изчисли средноаритметичната стойност и дисперсията по формулите и съгласно табл. 3, дефинираме c = 316 и k = 7. Изчисляваме сумите с помощта на таблицата. 4 (Таблица 4).

Използвайки формулите, изчисляваме средноаритметичното и дисперсия 227.8

å - 237 2637,9 - 28508,3

Медианата се намира по формулата: Me =.

Задача 3.2.

Използвайки формулата, намираме безпристрастните оценки на дисперсията и стандартното отклонение:

n=73, S-2=5.8143, S2=73/72×5.8143=5.8951, S==2.43.

За проба Б имаме

393.92, = 177.47, n = 237, S 2 = 237/236 × 177.47 = 178.222, S = 13.35.

Безпристрастните оценки за първата колона на проба Б се получават по подобен начин (ако тази извадка съдържа малко повтарящи се елементи, вариационните серии могат да бъдат пропуснати).

От урната, където са топки, включително черно бяло, случайно извадено топки. Каква е вероятността сред тях да има черни бели топки?

Пример 1. В първата урна: три червени, една бяла топка. Във втората урна: една червена, три бели топки. Монета се хвърля на случаен принцип: ако гербът е избран от първата урна, в противен случай от втората.
Решение:
а) вероятността да изтеглите червена топка
A - получи червена топка
P 1 - герб изпадна, P 2 - иначе

б) Избира се червена топка. Намерете вероятността да бъде взето от първата урна, от втората урна.
B 1 - от първата урна, B 2 - от втората урна
,

Пример 2. В кутия има 4 топки. Може да бъде: само бяло, само черно или бяло и черно. (Неизвестен състав).
Решение:
А е вероятността да се появи бяла топка
а) Всички бели:
(вероятност една от трите опции, където има бяло, да бъде уловена)
(вероятност бяла топка да се появи там, където всички са бели)

б) Изваден там, където всички са черни



в) извади вариант, при който всички са бели и/или черни

- поне един от тях е бял

P a + P b + P c =

Пример 3 . Една урна съдържа 5 бели и 4 черни топки. От него се изваждат последователно 2 топки. Намерете вероятността и двете топки да са бели.
Решение:
5 бели, 4 черни топки
P(A 1) - изтеглена бяла топка

P(A 2) е вероятността втората топка също да е бяла

P(A) – бели топки, избрани в редица

Пример 3а. В пакет има 2 фалшиви и 8 истински банкноти. От пакета са извадени последователно 2 банкноти. Намерете вероятността и двете да са неверни.
Решение:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0,022

Пример 4. Има 10 урни. 9 урни съдържат 2 черни и 2 бели топки. Има 5 бели и 1 черно в 1 урна. От произволно взета урна се тегли топка.
Решение:
P(A)-? бяла топка се взема от урна, съдържаща 5 бели
B - вероятността да бъде изваден от урната, където 5 са ​​бели
, - извадени от др
C 1 - вероятността за появата на бяла топка в lvl 9.

C 2 - вероятността да се появи бяла топка, където има 5 от тях

P(A 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)

Пример 5. 20 цилиндрични ролки и 15 конични. Берачът взема 1 валяк и след това още един.
Решение:
а) двете ролки са цилиндрични
P(C 1)=; P(C 2)=
C 1 - първият цилиндър, C 2 - вторият цилиндър
P(A)=P(C 1)P(C 2) =
б) Поне един цилиндър
K 1 - първият конус.
K 2 - вторият конус.
P(B)=P(C 1)P(K 2)+P(C 2)P(K 1)+P(C 1)P(C 2)
;

в) първият цилиндър, а вторият не е
P(C)=P(C 1)P(K 2)

д) Нито един цилиндър.
P(D)=P(K 1)P(K 2)

д) Точно 1 цилиндър
P(E)=P(C 1)P(K 2)+P(K 1)P(K 2)

Пример 6. В кутия има 10 стандартни части и 5 дефектни части.
На случаен принцип се изтеглят три части.
а) Един от тях е дефектен
P n (K)=C n k p k q n-k,
P е вероятността за дефектни продукти

q е вероятността за стандартни части

n=3, три части


б) две от трите части са дефектни P(2)
в) поне един стандарт
P(0) - няма дефект

P=P(0)+ P(1)+ P(2) - вероятност поне една част да е стандартна

Пример 7 . Първата урна съдържа 3 бели и 3 черни топки, а 2-рата урна съдържа 3 бели и 4 черни. 2 топки се прехвърлят от 1-вата урна във 2-рата урна, без да се гледа, след което се изтеглят 2 топки от 2-рата урна. Каква е вероятността да са различни цветове?
Решение:
При прехвърляне на топки от първата урна са възможни следните опции:
а) Изтеглени са 2 бели топки подред
P WB 1 =
Винаги ще има една топка по-малко във втората стъпка, тъй като една топка вече е извадена в първата стъпка.
б) изтеглени са една бяла и една черна топка
Ситуацията, когато бялата топка е изтеглена първо, а след това черната
P BC =
Ситуацията, когато първо е изтеглена черната топка, а след това бялата
P BW =
Общо: P CU 1 =
в) Изтеглени са 2 черни топки подред
P HH 1 =
Тъй като 2 топки бяха прехвърлени от първата урна във втората урна, общият брой на топките във втората урна ще бъде 9 (7 + 2). Съответно ще търсим всички възможни опции:
а) Първо бяла, а след това черна топка се изтегля от втората урна

P BC 2 P BB 1 - означава вероятността първо да бъде изтеглена бяла топка, след това черна топка, при условие че 2 бели топки са изтеглени от първата урна в редица. Ето защо броят на белите топки в този случай е 5 (3+2).
P BC 2 P BC 1 - означава вероятността първо да бъде изтеглена бяла топка, след това черна топка, при условие че бялата и черната топка са изтеглени от първата урна. Ето защо броят на белите топки в този случай е 4 (3+1), а броят на черните топки е пет (4+1).
P BC 2 P BC 1 - означава вероятността първо да бъде извадена бяла топка, а след това черна топка, при условие че и двете черни топки са били извадени от първата урна подред. Ето защо броят на черните топки в този случай е 6 (4+2).

Вероятността изтеглените 2 топки да бъдат с различни цветове е равна на:

Отговор: P = 0,54

Пример 7а. От 1-вата урна, съдържаща 5 бели и 3 черни топки, 2 топки се прехвърлят на случаен принцип във 2-рата урна, съдържаща 2 бели и 6 черни топки. След това 1 топка се тегли на случаен принцип от 2-рата урна.
1) Каква е вероятността топката, изтеглена от урна 2, да е бяла?
2) Топката, изтеглена от втората урна, се оказа бяла. Изчислете вероятността топки с различни цветове да бъдат прехвърлени от урна 1 към урна 2.
Решение.
1) Събитие А - топката, изтеглена от 2-ра урна, се оказа бяла. Обмислете следните опции за възникване на това събитие.
а) Две бели топки се поставят от първата урна във втората: P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56.
Във втората урна има 4 бели топки. Тогава вероятността да изтеглите бяла топка от втората урна е P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
b) Бели и черни топки се поставят от първата урна във втората: P1(bc) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
Във втората урна има 3 бели топки. Тогава вероятността да изтеглите бяла топка от втората урна е P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
в) Две черни топки се поставят от първата урна във втората: P1(hh) = 3/8*2/7 = 6/56.
Във втората урна има 2 бели топки. Тогава вероятността да изтеглите бяла топка от втората урна е P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
Тогава вероятността изтеглената топка от 2-ра урна да се окаже бяла е равна на:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32

2) Топката, изтеглена от 2-ра урна, се оказа бяла, т.е. общата вероятност е P(A)=13/32.
Вероятността топки с различни цветове (черни и бели) да бъдат прехвърлени във втората урна и бяла е избрана: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91

Пример 7b. Първата урна съдържа 8 бели и 3 черни топки, втората урна съдържа 5 бели и 3 черни. На случаен принцип се избира една топка от първата и две топки от втората. След това една топка се взема на случаен принцип от избраните три топки. Тази последна топка се оказа черна. Намерете вероятността бяла топка да бъде избрана от първата урна.
Решение.
Да разгледаме всички варианти на събитие А - от три топки изтеглената топка се оказа черна. Как можеше да се случи така, че сред трите топки имаше черна?
а) Черна топка се изтегля от първата урна и две бели топки се изтеглят от втората урна.
P1 = (3/11)(5/8*4/7) = 15/154
б) Черна топка се изтегля от първата урна, а две черни топки се изтеглят от втората урна.
P2 = (3/11)(3/8*2/7) = 9/308
в) Черна топка се изтегля от първата урна, а една бяла и една черна топка се изтеглят от втората урна.
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
г) Бяла топка се изтегля от първата урна и две черни топки се вземат от втората урна.
P4 = (8/11)(3/8*2/7) = 6/77
д) Бяла топка беше извадена от първата урна, а една бяла и една черна топка бяха извадени от втората урна.
P5 = (8/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Общата вероятност е: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Вероятността бяла топка да бъде избрана от бяла урна е:
Pb(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
Тогава вероятността бяла топка да бъде избрана от първата урна, при условие че черна е избрана от три топки, е равна на:
Pch \u003d Pb (1) / P \u003d 36/77 / 57/77 \u003d 36/57

Пример 7c. Първата урна съдържа 12 бели и 16 черни топки, втората урна съдържа 8 бели и 10 черни. В същото време се изтегля топка от 1-ва и 2-ра урна, смесват се и се връщат една по една във всяка урна. След това от всяка урна се изтегля топка. Оказаха се еднакви на цвят. Определете вероятността в първата урна да останат толкова бели топки, колкото са били в началото.

Решение.
Събитие A - в същото време се изтегля топка от 1-ва и 2-ра урна.
Вероятност за изтегляне на бяла топка от първата урна: P1(B) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
Вероятност за изтегляне на черна топка от първата урна: P1(H) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
Вероятност за изтегляне на бяла топка от втората урна: P2(B) = 8/18 = 4/9
Вероятност за изтегляне на черна топка от втората урна: P2(H) = 10/18 = 5/9

Събитие А се случи. Събитие B - от всяка урна се тегли топка. След разбъркване вероятността да върнете топката в урната на бяла или черна топка е ½.
Разгледайте вариантите на събитие B - те се оказаха с един и същи цвят.

За първата урна
1) бяла топка е поставена в първата урна и е изтеглена бяла, при условие че преди това е изтеглена бяла топка, P1(BB/A=B) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) бяла топка беше поставена в първата урна и беше изтеглена бяла топка, при условие че черна топка беше изтеглена по-рано, P1(BB/A=W) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/98
3) бяла топка е поставена в първата урна и е изтеглена черна, при условие че преди това е изтеглена бяла топка, P1(BC/A=B) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/49
4) бяла топка е поставена в първата урна и е изтеглена черна, при условие че черна топка е била изтеглена по-рано, P1(BC/A=Ch) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/98
5) черна топка беше поставена в първата урна и беше изтеглена бяла топка, при условие че преди това беше изтеглена бяла топка, P1(BW/A=B) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) в първата урна е поставена черна топка и е изтеглена бяла, при условие че преди това е била изтеглена черна топка, P1(BW/A=W) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/49
7) черна топка беше поставена в първата урна и беше изтеглена черна, при условие че преди това беше изтеглена бяла топка, P1(HH/A=B) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/392
8) черна топка беше поставена в първата урна и беше изтеглена черна, при условие че черна топка беше изтеглена по-рано, P1(HH/A=H) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49

За втората урна
1) бяла топка е поставена в първата урна и е изтеглена бяла, при условие че преди това е изтеглена бяла топка, P1(BB/A=B) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) бяла топка беше поставена в първата урна и беше изтеглена бяла топка, при условие че черна топка беше изтеглена по-рано, P1(BB/A=W) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
3) бяла топка е поставена в първата урна и е изтеглена черна, при условие че бяла топка е била изтеглена по-рано, P1(BC/A=B) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/42
4) бяла топка е поставена в първата урна и е изтеглена черна, при условие че черна топка е била изтеглена по-рано, P1(BC/A=Ch) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
5) черна топка беше поставена в първата урна и беше изтеглена бяла топка, при условие че преди това беше изтеглена бяла топка, P1(BW/A=B) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/12
6) черна топка е поставена в първата урна и е изтеглена бяла, при условие че преди това е изтеглена черна топка, P1(BW/A=W) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/63
7) черна топка беше поставена в първата урна и беше изтеглена черна, при условие че преди това беше изтеглена бяла топка, P1(HH/A=B) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/84
8) черна топка беше поставена в първата урна и беше изтеглена черна, при условие че черна топка беше изтеглена по-рано, P1(HH/A=H) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63

Топките се оказаха с един и същи цвят:
а) бяло
P1(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 9/98 + 13/98 + 33 /392 + 6/49 = 169/392
P2(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 2/21+1/7+1 /12+8/63 = 113/252
б) черен
P1(H) = P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) = 6/49 + 15/98 + 51 /392 + 8/49 = 223/392
P2(H) = P1(WB/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) + P1(BH/A=B) =5/42+1/7+11 /84+10/63 = 139/252

P = P1(B)* P2(B) + P1(H)* P2(H) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42

Пример 7g. Първата кутия съдържа 5 бели и 4 сини топки, втората 3 и 1, а третата съответно 4 и 5. На случаен принцип се избира кутия и изтеглена топка от нея се оказва синя. Каква е вероятността тази топка да е от втората кутия?

Решение.
A - събитие за изваждане на син балон. Обмислете всички варианти за изхода от такова събитие.
H1 - изтеглена топка от първото поле,
H2 - изтеглена топка от второто поле,
H3 - изтеглената топка от третото поле.
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
Според условието на задачата условните вероятности за събитие А са:
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1 /3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Вероятността тази топка да е от втората кутия е:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0,2

Пример 8 . Пет кутии с по 30 топки съдържат 5 червени топки (това е кутията за композиция H1), други шест кутии с по 20 топки съдържат 4 червени топки (това е кутията за композиция H2). Намерете вероятността произволно изтеглена червена топка да се съдържа в една от първите пет кутии.
Решение: Задачата за прилагане на формулата за пълна вероятност.

Вероятността, че всякаквивзетата топка се съдържа в една от първите пет кутии:
P(H 1) = 5/11
Вероятността, че всякаквиВзетата топка се съдържа в една от шестте кутии:
P(H2) = 6/11
Събитието се случи - изтегли се червена топка. Следователно това може да се случи в два случая:
а) изваден от първите пет кутии.
P 5 = 5 червени топки * 5 кутии / (30 топки * 5 кутии) = 1/6
P(P 5 / H 1) \u003d 1/6 * 5/11 \u003d 5/66
б) изваден от шест други кутии.
P 6 = 4 червени топки * 6 кутии / (20 топки * 6 кутии) = 1/5
P (P 6 / H 2) \u003d 1/5 * 6/11 \u003d 6/55
Общо: P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2) = 5/66 + 6/55 = 61/330
Следователно вероятността произволно изтеглена червена топка да се съдържа в една от първите пет кутии е:
П к.ш. (H1) = P(P 5 /H 1) / (P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2)) = 5/66 / 61/330 = 25/61

Пример 9 . Една урна съдържа 2 бели, 3 черни и 4 червени топки. На случаен принцип се изтеглят три топки. Каква е вероятността поне две топки да са от един и същи цвят?
Решение. Има три възможни изхода от събитията:
а) сред трите изтеглени топки поне две са бели.
P b (2) = P 2b
Общият брой възможни елементарни резултати за тези опити е равен на броя начини, по които 3 топки могат да бъдат изтеглени от 9:

Намерете вероятността 2 от 3-те топки да са бели.

Брой опции за избор от 2 бели топки:

Брой опции за избор от 7 други топки трета топка:

б) сред трите изтеглени топки поне две са черни (т.е. 2 черни или 3 черни).
Намерете вероятността 2 от 3-те топки да са черни.

Брой опции за избор от 3 черни топки:

Брой опции за избор от 6 други топки от една топка:


P 2h = 0,214
Намерете вероятността всички избрани топки да са черни.

P h (2) = 0,214+0,0119 = 0,2259

в) сред трите изтеглени топки поне две са червени (т.е. 2 червени или 3 червени).
Нека намерим вероятността сред избраните 3 топки 2 да са червени.

Брой опции за избор от 4 черни топки:

Брой опции за избор от 5 бели топки, оставащи 1 бяла:


Намерете вероятността всички избрани топки да са червени.

P до (2) = 0,357 + 0,0476 = 0,4046
Тогава вероятността поне две топки да бъдат от един и същи цвят е: P = P b (2) + P h (2) + P c (2) = 0,0833 + 0,2259 + 0,4046 = 0,7138

Пример 10 . Първата урна съдържа 10 топки, от които 7 са бели; Втората урна съдържа 20 топки, 5 от които са бели. Една топка се тегли на случаен принцип от всяка урна, а след това една топка се тегли на случаен принцип от тези две топки. Намерете вероятността да бъде взета бяла топка.
Решение. Вероятността бяла топка да бъде изтеглена от първата урна е P(b)1 = 7/10. Съответно, вероятността да изтеглите черна топка е P(h)1 = 3/10.
Вероятността бяла топка да бъде изтеглена от втората урна е P(b)2 = 5/20 = 1/4. Съответно, вероятността да изтеглите черна топка е P(h)2 = 15/20 = 3/4.
Събитие А - бяла топка се взема от две топки
Помислете за резултата от събитие А.

1. От първата урна се изтегля бяла топка, а от втората урна – бяла топка. След това от тези две топки беше изтеглена бяла топка. P1=7/10*1/4=7/40
2. От първата урна се тегли бяла топка, а от втората урна - черна топка. След това от тези две топки беше изтеглена бяла топка. P2 = 7/10*3/4 = 21/40
3. От първата урна се изтегля черна топка, а от втората урна - бяла топка. След това от тези две топки беше изтеглена бяла топка. P3=3/10*1/4=3/40

Така че вероятността може да се намери като сбор от горните вероятности.
P = P1 + P2 + P3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40

Пример 11 . В кутия има n топки за тенис. От тях играе m . За първата игра те взеха две топки на случаен принцип и ги върнаха обратно след играта. За втората игра те също взеха две топки на случаен принцип. Каква е вероятността втората игра да се играе с нови топки?
Решение. Да разгледаме събитие А - играта се играе за втори път с нови топки. Нека да видим какви събития могат да доведат до това.
Означаваме с g = n-m броя на новите топки преди изваждането.
а) Две нови топки са изтеглени за първата игра.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
б) за първата игра са извадили една нова топка и една вече играна.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2 mg/(n(n-1))
в) за първата игра бяха извадени две изиграни топки.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))

Помислете за събитията от втората игра.
а) Бяха изтеглени две нови топки, при условие P1: тъй като нови топки вече бяха изтеглени за първата игра, тогава за втората игра броят им намаля с 2, g-2.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n- 1)*g(g-1)/(n(n-1))
b) Бяха изтеглени две нови топки, предмет на P2: тъй като една нова топка вече беше изтеглена за първата игра, тогава за втората игра техният брой намалява с 1, g-1.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg /(n(n-1))
c) Те извадиха две нови топки, при условие P3: тъй като не бяха използвани нови топки за първата игра, броят им не се промени за втората игра g.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n (n-1))

Обща вероятност P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)* g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1)) + g/n *(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/(( n-1)^2*n^2)
Отговор: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)

Пример 12 . Първата, втората и третата кутия съдържат по 2 бели и 3 черни топки, четвъртата и петата кутия съдържат по 1 бяла и 1 черна топка. На случаен принцип се избира кутия и от нея се тегли топка. Каква е условната вероятност четвъртото или петото поле да бъде избрано, ако изтеглената топка е бяла?
Решение.
Вероятността да изберете всяка кутия е P(H) = 1/5.
Помислете за условните вероятности на събитие А - теглене на бяла топка.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Обща вероятност да изтеглите бяла топка:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0,44
Условна вероятност четвъртата кутия да бъде избрана
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Условна вероятност да бъде избрана петата кутия
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
И така, условната вероятност да бъде избрана четвъртата или петата кутия е
P(H=4, H=5|A) = 0,2273 + 0,2273 = 0,4546

Пример 13 . Една урна съдържа 7 бели и 4 червени топки. След това друга бяла, червена или черна топка се поставя в урната и след смесване една топка се изважда. Той се оказа червен. Каква е вероятността а) да е поставена червена топка? б) черна топка?
Решение.
а) червена топка
Събитие А - изтеглена е червена топка. Събитие H - поставете червена топка. Вероятност червена топка да бъде поставена в урната P(H=K) = 1/3
Тогава P(A|H=K)= 1 / 3 * 5 / 12 = 5 / 36 = 0,139
б) черна топка
Събитие А - изтеглена е червена топка. Събитие H - поставете черна топка.
Вероятността черна топка да бъде поставена в урната е P(H=H) = 1/3
Тогава P(A|H=H)= 1 / 3 * 4 / 12 = 1 / 9 = 0,111

Пример 14 . Има две урни с топки. Единият има 10 червени и 5 сини топки, другият има 5 червени и 7 сини топки. Каква е вероятността червена топка да бъде изтеглена произволно от първата урна и синя от втората?
Решение.Нека събитието A1 - червена топка е изтеглена от първата урна; A2 - синя топка се изтегля от втората урна:
,
Събития A1 и A2 са независими. Вероятността за съвместна поява на събития A1 и A2 е равна на

Пример 15 . Има тесте карти (36 броя). Две карти се теглят на случаен принцип. Каква е вероятността и двете изтеглени карти да са червени?
Решение.Нека събитието A 1 е първата изтеглена карта от червения цвят. Събитие A 2 - втората изтеглена карта от червения цвят. B - двете изтеглени карти от червен цвят. Тъй като и събитието A 1, и събитието A 2 трябва да се случат, тогава B = A 1 · A 2 . Събития A 1 и A 2 са зависими, следователно P(B) :
,
Оттук

Пример 16 . Две урни съдържат топки, които се различават само по цвят, като в първата урна има 5 бели топки, 11 черни и 8 червени, а във втората съответно 10, 8, 6 топки. Една топка се тегли на случаен принцип от двете урни. Каква е вероятността двете топки да са с един и същи цвят?
Решение.Нека индекс 1 означава бяло, индекс 2 черно; 3 - червен цвят. Нека събитието A i - топка от i-тия цвят е изтеглена от първата урна; събитие B j - от втората урна е взета топка от j -ти цвят; събитие A - и двете топки са от един и същи цвят.
A \u003d A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3. Събитията A i и B j са независими, докато A i · B i и A j · B j са несъвместими за i ≠ j . Следователно,
P(A)=P(A 1) P(B 1)+P(A 2) P(B 2)+P(A 3) P(B 3) =

Пример 17 . От урна с 3 бели и 2 черни топки се теглят една по една, докато се появи черно. Каква е вероятността 3 топки да бъдат изтеглени от урната? 5 топки?
Решение.
1) вероятността 3 топки да бъдат изтеглени от урната (т.е. третата топка ще бъде черна, а първите две ще бъдат бели).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) вероятността 5 топки да бъдат изтеглени от урната
такава ситуация не е възможна, т.к само 3 бели топки.
P=0

Класическата дефиниция на вероятността свежда концепцията за вероятност до концепцията за равновероятност (равна възможност) на събитията, която се счита за основна и не подлежи на формална дефиниция. Това определение е приложимо в случаите, когато е възможно да се отдели пълна група от несъвместими и еднакво вероятни събития - елементарни резултати. Например, помислете за урна с топки.

Нека една урна съдържа 7 еднакви, внимателно смесени топки, 2 от които червени, 1 синя и 4 бели. Тестът ще се състои във факта, че една топка се взема на случаен принцип от урната. Всяко събитие, което може да се случи в текущия процес, е елементарен резултат. В този пример седем елементарни изхода, които ще обозначим д 1 , д 2 ,..., д 7. резултати д 1 , д 2 - появата на червена топка, д 3 - появата на синя топка, д 4 , д 5 , д 6 , д 7 - появата на бяла топка. В нашия пример събитията д 1 , д 2 ,... д 7 - несъвместими по двойки. В допълнение, те също са еднакво вероятни в този тест. Нека събитието НОе, че топка, взета на случаен принцип от урната, се оказа оцветена (червена или синя).

Тези елементарни резултати, в които събитието, което ни интересува НОидва, нарича се благоприятни резултати събитие НО. В нашия пример резултатите са в полза на събитието НО, са резултати д 1 , д 2 и д 3 . Разумно като мярка за възможността за настъпване на събитие НО, тоест вероятностите Р(НО), приемете число, равно на съотношението на резултатите, които благоприятстват настъпването на събитието НО,към всички възможни резултати. В нашия пример

РГорният пример ни доведе до определението за вероятност, което обикновено се нарича класически .

Вероятност за събитие НОнаречено отношение на числото мрезултати, благоприятни за това събитие към общия брой нвсичко елементарни резултати:

Р(НО) = . (1.4.4)

Класическата дефиниция на вероятността служи като добър математически модел на онези случайни експерименти, чийто брой резултати е краен, а самите резултати са еднакво вероятни.

ПРИМЕР 2. Хвърля се зар. Намерете вероятността да получите не повече от четири точки.

Решение. Общ брой елементарни резултати н= 6 (може да хвърли 1, 2, 3, 4, 5, 6). Сред тези резултати са в полза на събитието НО(ще паднат не повече от четири точки) само четири резултата м= 4. Следователно желаната вероятност

ПРИМЕР 3. Каква е вероятността да познаете 4 числа, като попълните картата за спортно лото "6" от "49"?

Решение. Общият брой на елементарните резултати от опита е равен на броя на начините, по които 6 числа от 49 могат да бъдат зачеркнати, т.е. н = ° С. Намерете броя на резултатите, които благоприятстват събитието, което ни интересува
НО= (4 познати числа), 4 числа от 6 печеливши могат да бъдат задраскани ° Сначини, докато останалите две числа не трябва да са печеливши. Можете да задраскате 2 грешни числа от 43 непечеливши числа ° Сначини. Следователно броят на благоприятните резултати м = ° С× ° С. Като вземем предвид, че всички резултати от експеримента са несъвместими и еднакво възможни, намираме желаната вероятност, като използваме класическата вероятностна формула:

P(A) =

ПРИМЕР 4.Произволно избран телефонен номер се състои от 5 цифри. Колко голяма е вероятността в него: 1) всички числа да са различни; 2) всички числа нечетни ли са?

Решение. 1. Тъй като всяко от петте места в петцифрено число може да съдържа всяко едно от числата: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, тогава всички различни петцифрени числа ще бъдат 10 5 (00000 - 1-то, 00001 - 2-ро, 00002 -3-то, ..., 99998 - 99999-то и накрая 99999 - 100 000-то). Числата, в които всички числа са различни, са разположения на 10 елемента от 5.

Формулаза номер разположенияот нелементи от к:

К! == n (n - 1) ... (n - k + 1).

Следователно броят на благоприятните случаи м= = 10× 9× 8× 7× 6 и желаната вероятност

P(A) = = 0,3024.

2. От 5 нечетни числа (1, 3, 5, 7, 9) можете да съставите 5 5 различни петцифрени числа. 5 5 е броят на благоприятните резултати м . Тъй като всички еднакво възможни случаи n= 10 5 , тогава желаната вероятност

P(A) ====0,03125.

ПРИМЕР 5. Пълно тесте карти (52 листа) се разделя на случаен принцип на два равни пакета от 26 листа. Намерете вероятностите за следните събития:

НО- във всяка от пакетите ще има по два аса;

AT- в един от пакетите няма да има аса, а в другия - и четирите;

ОТ- в един от пакетите ще има едно асо, а в другия - три.

Решение. Общият брой възможни елементарни резултати от теста е равен на броя начини, по които могат да бъдат изтеглени 26 карти от 52, тоест броят на комбинациите от 52 до 26, н= . Брой благоприятни събития НОслучаи
м= (според основното правило на комбинаториката), където първият фактор показва, че две аса от четири могат да бъдат взети по начини, вторият фактор показва, че останалите 24 карти са взети от 48 карти, които не съдържат аса по начини. Желаната вероятност е равна на съотношението на броя резултати, които благоприятстват събитието НО, към общия брой на всички резултати:

Събитие ATможе да се реализира по два еднакво възможни начина: или в първия пакет ще има и четирите аса, а във втория - нито един, или обратното:

По същия начин:

Обърнете внимание, че класическата дефиниция на вероятността е въведена за случая, когато пространството на елементарните събития е ограничено и всички резултати и изпитания са еднакво възможни и несъвместими.