Вероятностсъбитие е съотношението на броя на елементарните резултати, които благоприятстват дадено събитие, към броя на всички еднакво възможни резултати от опит, в който това събитие може да се случи. Вероятността за събитие А се обозначава с P(A) (тук P е първата буква от френската дума probabilite - вероятност). Според дефиницията
(1.2.1)
където е броят на елементарните резултати, благоприятстващи събитие А; - броят на всички еднакво възможни елементарни резултати от опита, образуващи пълна група от събития.
Това определение на вероятността се нарича класическо. Възниква в началния етап от развитието на теорията на вероятностите.

Вероятността за събитие има следните свойства:
1. Вероятността за определено събитие е равна на единица. Нека обозначим определено събитие с буквата. За определено събитие, следователно
(1.2.2)
2. Вероятността за невъзможно събитие е нула. Означаваме невъзможното събитие с буквата . За невъзможно събитие, следователно
(1.2.3)
3. Вероятността за случайно събитие се изразява като положително число, по-малко от едно. Тъй като неравенствата , или са изпълнени за случайно събитие, тогава
(1.2.4)
4. Вероятността за всяко събитие удовлетворява неравенствата
(1.2.5)
Това следва от съотношенията (1.2.2)-(1.2.4).

Пример 1Една урна съдържа 10 топки с еднакъв размер и тегло, от които 4 са червени и 6 са сини. От урната се изтегля една топка. Каква е вероятността изтеглената топка да е синя?

Решение. Събитието „изтеглената топка се оказа синя“ ще бъде отбелязано с буквата А. Този опит има 10 еднакво възможни елементарни изхода, от които 6 благоприятстват събитие А. В съответствие с формула (1.2.1) получаваме

Пример 2Всички естествени числа от 1 до 30 са написани на еднакви карти и поставени в урна. След старателно смесване на картите, едната карта се изважда от урната. Каква е вероятността числото на изтеглената карта да е кратно на 5?

Решение.Означаваме с А събитието "числото на взетата карта е кратно на 5". В този тест има 30 еднакво възможни елементарни изхода, от които 6 изхода са в полза на събитие А (номера 5, 10, 15, 20, 25, 30). Следователно,

Пример 3Хвърлят се два зара, изчислява се сумата от точките на горните лица. Намерете вероятността за събитие B, състоящо се в това, че горните стени на кубовете ще имат общо 9 точки.

Решение.Има 6 2 = 36 еднакво възможни елементарни резултата в този опит. Събитие B е облагодетелствано от 4 резултата: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), така че

Пример 4. На случаен принцип е избрано естествено число, което не надвишава 10. Каква е вероятността това число да е просто?

Решение.Означаваме с буквата C събитието "избраното число е просто". В този случай n = 10, m = 4 (прости числа 2, 3, 5, 7). Следователно желаната вероятност

Пример 5Хвърлят се две симетрични монети. Каква е вероятността и двете монети да имат цифри от горната страна?

Решение.Нека обозначим с буквата D събитието "имаше число от горната страна на всяка монета". Има 4 еднакво възможни елементарни резултата в този тест: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Означението (G, C) означава, че на първата монета има герб, на втората - число). Събитие D се предпочита от един елементарен изход (C, C). Тъй като m = 1, n = 4, тогава

Пример 6Каква е вероятността цифрите в произволно избрано двуцифрено число да са еднакви?

Решение.Двуцифрените числа са числата от 10 до 99; такива числа са общо 90. 9 числа са с еднакви цифри (това са числата 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Тъй като в този случай m = 9, n = 90, тогава
,
където A е събитието „число с еднакви цифри“.

Пример 7От буквите на думата диференциаледна буква се избира произволно. Каква е вероятността тази буква да бъде: а) гласна б) съгласна в) буква ч?

Решение. В думата диференциал има 12 букви, от които 5 са ​​гласни и 7 са съгласни. Писма чтази дума не го прави. Нека обозначим събитията: A - "гласна", B - "съгласна", C - "буква ч". Броят на благоприятните елементарни резултати: - за събитие A, - за събитие B, - за събитие C. Тъй като n \u003d 12, тогава
, и .

Пример 8Хвърлят се два зара, като се отбелязва броят на точките на горната страна на всеки зар. Намерете вероятността двата зара да имат еднакъв брой точки.

Решение.Нека означим това събитие с буквата A. Събитие A се предпочита от 6 елементарни резултата: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6; 6). Общо има еднакво възможни елементарни резултати, които образуват пълна група от събития, в този случай n=6 2 =36. Така че желаната вероятност

Пример 9Книгата има 300 страници. Каква е вероятността произволно отворена страница да има пореден номер, кратен на 5?

Решение.От условията на задачата следва, че от всички еднакво възможни елементарни изхода, които образуват пълна група от събития, ще има n = 300. От тях m = 60 благоприятстват настъпването на определеното събитие. Наистина, число, което е кратно на 5, има формата 5k, където k е естествено число и , откъдето . Следователно,
, където A - събитието "страница" има пореден номер, който е кратен на 5".

Пример 10. Хвърлят се два зара, изчислява се сумата от точките на горните лица. Кое е по-вероятно да получи общо 7 или 8?

Решение. Нека обозначим събитията: A - "7 точки паднаха", B - "8 точки паднаха". Събитие A се благоприятства от 6 елементарни изхода: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), а събитие B - от 5 изхода: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Има n = 6 2 = 36 от всички еднакво възможни елементарни резултати. Следователно, и .

И така, P(A)>P(B), тоест получаването на общо 7 точки е по-вероятно събитие от получаването на общо 8 точки.

Задачи

1. На случаен принцип е избрано естествено число, не по-голямо от 30. Каква е вероятността това число да е кратно на 3?
2. В урната ачервено и bсини топки с еднакъв размер и тегло. Каква е вероятността произволно изтеглена топка от тази урна да е синя?
3. На случаен принцип се избира число, което не надвишава 30. Каква е вероятността това число да е делител на zo?
4. В урната асиньо и bчервени топки с еднакъв размер и тегло. Една топка се изтегля от тази урна и се оставя настрана. Тази топка е червена. След това от урната се изтегля друга топка. Намерете вероятността втората топка също да е червена.
5. На случаен принцип е избрано естествено число, което не надвишава 50. Каква е вероятността това число да е просто?
6. Хвърлят се три зара, изчислява се сумата от точките на горните лица. Кое е по-вероятно - да получите общо 9 или 10 точки?
7. Хвърлят се три зара, изчислява се сумата на падналите точки. Какво е по-вероятно да получи общо 11 (събитие A) или 12 точки (събитие B)?

Отговори

1. 1/3. 2 . b/(а+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(а+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - вероятността да получите общо 9 точки; p 2 \u003d 27/216 - вероятността да получите общо 10 точки; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Въпроси

1. Какво се нарича вероятност за събитие?
2. Каква е вероятността за определено събитие?
3. Каква е вероятността за невъзможно събитие?
4. Какви са границите на вероятността от случайно събитие?
5. Какви са границите на вероятността за всяко събитие?
6. Каква дефиниция на вероятността се нарича класическа?

Един професионалист трябва да се ориентира добре в шансовете, бързо и правилно оценете вероятността от събитие чрез коефициенти, ако е необходимо, да можете преобразувайте коефициенти от един формат в друг. В това ръководство ще говорим какви са видовете коефициенти, както и с помощта на примери ще анализираме как можете изчислете вероятността от известен коефициенти обратно.

Какви са видовете коефициенти?

Има три основни вида коефициенти, предлагани от букмейкърите: десетични коефициенти, дробни коефициенти(английски) и американски коефициенти. Най-често срещаните коефициенти в Европа са десетични. Американските коефициенти са популярни в Северна Америка. Дробните коефициенти са най-традиционният вид, те веднага отразяват информация за това колко трябва да заложите, за да получите определена сума.

Десетични коефициенти

Десетични знациили иначе се наричат европейски коефициенти- това е обичайният числов формат, представен от десетична дроб с точност до стотни, а понякога дори и до хилядни. Пример за десетичен коефициент е 1,91. Изчисляването на печалбата в случай на десетичен коефициент е много лесно, просто умножете сумата на вашия залог по този коефициент. Например в мача "Манчестър Юнайтед" - "Арсенал" победата на "МЮ" се определя с коефициент - 2.05, равенството се оценява с коефициент - 3.9, а победата на "Арсенал" е равна на - 2,95. Да кажем, че сме уверени, че Юнайтед ще спечели и ще заложим $1000 на тях. Тогава нашият възможен доход се изчислява, както следва:

2.05 * $1000 = $2050;

Не е ли наистина толкова трудно? По същия начин се изчисляват възможните приходи при залагане на равенство и победа на Арсенал.

Рисувам: 3.9 * $1000 = $3900;
Победа на Арсенал: 2.95 * $1000 = $2950;

Как да изчислим вероятността от събитие чрез десетични коефициенти?

Представете си сега, че трябва да определим вероятността за събитие чрез десетичните коефициенти, зададени от букмейкъра. Това също е много лесно да се направи. За да направим това, разделяме единицата на този коефициент.

Нека вземем данните, които вече имаме, и изчислим вероятността за всяко събитие:

Победа на Манчестър Юнайтед: 1 / 2.05 = 0,487 = 48,7%;
Рисувам: 1 / 3.9 = 0,256 = 25,6%;
Победа на Арсенал: 1 / 2.95 = 0,338 = 33,8%;

Дробни коефициенти (английски)

Както подсказва името дробен коефициентпредставена с обикновена дроб. Пример за английски коефициент е 5/2. Числителят на дробта съдържа число, което е потенциалната сума на нетните печалби, а знаменателят съдържа число, указващо сумата, която трябва да бъде заложена, за да получите тази печалба. Просто казано, трябва да заложим $2 долара, за да спечелим $5. Коефициент 3/2 означава, че за да получим $3 нетни печалби, ще трябва да заложим $2.

Как да изчислим вероятността за събитие чрез дробни коефициенти?

Също така не е трудно да се изчисли вероятността от събитие чрез дробни коефициенти, просто трябва да разделите знаменателя на сумата от числителя и знаменателя.

За дробта 5/2 изчисляваме вероятността: 2 / (5+2) = 2 / 7 = 0,28 = 28%;
За дробта 3/2 изчисляваме вероятността:

американски шансове

американски шансовенепопулярен в Европа, но много непопулярен в Северна Америка. Може би този тип коефициенти е най-трудният, но това е само на пръв поглед. Всъщност в този тип коефициенти няма нищо сложно. Сега нека да разгледаме всичко по ред.

Основната характеристика на американските коефициенти е, че те могат да бъдат и двете положителен, и отрицателен. Пример за американски коефициенти е (+150), (-120). Американският коефициент (+150) означава, че за да спечелим $150, трябва да заложим $100. С други думи, положителен американски множител отразява потенциалните нетни печалби при залог от $100. Отрицателният американски коефициент отразява размера на залога, който трябва да бъде направен, за да получите нетна печалба от $100. Например, коефициентът (- 120) ни казва, че като заложим $120, ще спечелим $100.

Как да изчислим вероятността от събитие, използвайки американски коефициенти?

Вероятността за събитие според американските коефициенти се изчислява по следните формули:

(-(M)) / ((-(M)) + 100), където M е отрицателен американски коефициент;
100/(P+100), където P е положителен американски коефициент;

Например, имаме коефициент (-120), тогава вероятността се изчислява, както следва:

(-(M)) / ((-(M)) + 100); заместваме стойността (-120) вместо "M";
(-(-120)) / ((-(-120)) + 100 = 120 / (120 + 100) = 120 / 220 = 0,545 = 54,5%;

По този начин вероятността от събитие с американски коефициент (-120) е 54,5%.

Например, имаме коефициент (+150), тогава вероятността се изчислява, както следва:

100/(P+100); заместваме стойността (+150) вместо "P";
100 / (150 + 100) = 100 / 250 = 0,4 = 40%;

По този начин вероятността от събитие с американски коефициент (+150) е 40%.

Как, знаейки процента на вероятност, да го преведем в десетичен коефициент?

За да изчислите десетичния коефициент за известен процент на вероятност, трябва да разделите 100 на вероятността за събитие в проценти. Например, ако вероятността за събитие е 55%, тогава десетичният коефициент на тази вероятност ще бъде равен на 1,81.

100 / 55% = 1,81

Как, знаейки процента на вероятност, да го преведем в дробен коефициент?

За да изчислите дробен коефициент от известен процент от вероятността, трябва да извадите единица от разделянето на 100 на вероятността за събитие в проценти. Например, имаме процент на вероятност от 40%, тогава дробният коефициент на тази вероятност ще бъде равен на 3/2.

(100 / 40%) - 1 = 2,5 - 1 = 1,5;
Дробният коефициент е 1,5/1 или 3/2.

Как, знаейки процента на вероятност, да го преведем в американски коефициент?

Ако вероятността за събитие е повече от 50%, изчислението се извършва по формулата:

- ((V) / (100 - V)) * 100, където V е вероятността;

Например, имаме 80% вероятност за събитие, тогава американският коефициент на тази вероятност ще бъде равен на (-400).

- (80 / (100 - 80)) * 100 = - (80 / 20) * 100 = - 4 * 100 = (-400);

Ако вероятността за събитие е по-малка от 50%, изчислението се извършва по формулата:

((100 - V) / V) * 100, където V е вероятността;

Например, ако имаме процент на вероятност за събитие от 20%, тогава американският коефициент на тази вероятност ще бъде равен на (+400).

((100 - 20) / 20) * 100 = (80 / 20) * 100 = 4 * 100 = 400;

Как да преобразувам коефициента в друг формат?

Има моменти, когато е необходимо да се конвертират коефициенти от един формат в друг. Например, имаме дробен коефициент 3/2 и трябва да го преобразуваме в десетичен. За да преобразуваме дробни в десетични коефициенти, първо определяме вероятността за събитие с дробни коефициенти и след това преобразуваме тази вероятност в десетични коефициенти.

Вероятността за събитие с дробен коефициент 3/2 е 40%.

2 / (3+2) = 2 / 5 = 0,4 = 40%;

Сега превеждаме вероятността за събитие в десетичен коефициент, за това разделяме 100 на вероятността за събитие като процент:

100 / 40% = 2.5;

По този начин дробен коефициент от 3/2 е равен на десетичен коефициент от 2,5. По подобен начин например американските коефициенти се преобразуват в дробни, десетичните в американски и т.н. Най-трудната част от всичко това са само изчисленията.

Първо ниво

Теория на вероятностите. Решаване на проблеми (2019)

Какво е вероятност?

Сблъсквайки се с този термин за първи път, не бих разбрал какво е това. Така че ще се опитам да обясня по разбираем начин.

Вероятността е шансът желаното събитие да се случи.

Например, решихте да посетите приятел, помнете входа и дори етажа, на който живее. Но забравих номера и местоположението на апартамента. И сега стоите на стълбището, а пред вас са вратите, от които да избирате.

Какъв е шансът (вероятността), ако позвъните на първата врата, вашият приятел да ви отвори? Цял апартамент, като само зад единия живее приятел. С равен шанс можем да изберем всяка врата.

Но какъв е този шанс?

Врати, правилната врата. Вероятност за отгатване чрез звънене на първата врата: . Тоест един път от три ще познаете със сигурност.

Искаме да знаем, като се обадим веднъж, колко често ще познаем вратата? Нека да разгледаме всички опции:

1. вие се обадихте на 1-воврата
2. вие се обадихте на 2-роврата
3. вие се обадихте на 3-товрата

А сега помислете за всички опции, където може да бъде приятел:

а. пер 1-воврата
b. пер 2-роврата
в. пер 3-товрата

Нека сравним всички опции под формата на таблица. Отметка показва опциите, когато вашият избор съвпада с местоположението на приятел, кръст - когато не съвпада.

Как виждаш всичко Може би настроикиместоположението на приятел и вашият избор на коя врата да позвъните.

НО благоприятни резултати от всички . Тоест ще познаете времената от едно позвъняване на вратата, т.е. .

Това е вероятността - съотношението на благоприятен изход (когато вашият избор съвпадна с местоположението на приятел) към броя на възможните събития.

Дефиницията е формулата. Вероятността обикновено се означава с p, така че:

Не е много удобно да се пише такава формула, така че нека вземем за - броя на благоприятните резултати и за - общия брой резултати.

Вероятността може да бъде записана като процент, за това трябва да умножите получения резултат по:

Вероятно думата „резултати“ е хванала окото ви. Тъй като математиците наричат ​​различни действия (за нас такова действие е звънец) експерименти, обичайно е резултатът от такива експерименти да се нарича резултат.

Е, резултатите са благоприятни и неблагоприятни.

Да се ​​върнем към нашия пример. Да кажем, че звъннахме на една от вратите, но непознат ни отвори. Не познахме. Каква е вероятността, ако позвъним на една от останалите врати, нашият приятел да ни я отвори?

Ако мислите така, значи това е грешка. Нека да го разберем.

Остават ни две врати. Така че имаме възможни стъпки:

1) Обадете се на 1-воврата
2) Обадете се 2-роврата

Един приятел, с всичко това, определено стои зад един от тях (в края на краищата той не стоеше зад този, който извикахме):

а) приятел 1-воврата
б) приятел за 2-роврата

Нека отново начертаем таблицата:

Както можете да видите, има всички опции, от които - благоприятни. Тоест вероятността е равна.

Защо не?

Ситуацията, която разгледахме, е пример за зависими събития.Първото събитие е първото звънене на вратата, второто събитие е второто звънене на вратата.

И те се наричат ​​зависими, защото засягат следните действия. В крайна сметка, ако приятел отвори вратата след първото позвъняване, каква би била вероятността той да е зад някой от другите двама? Правилно, .

Но ако има зависими събития, значи трябва да има независима? Вярно, има.

Пример от учебника е хвърлянето на монета.

1. Хвърляме монета. Каква е вероятността например да се появят глави? Точно така - защото опциите за всичко (било глави, или опашки, ще пренебрегнем вероятността монета да стои на ръба), но само ни подхожда.
2. Но опашките паднаха. Добре, нека го направим отново. Каква е вероятността да излезете на глави сега? Нищо не се е променило, всичко е същото. Колко опции? две. От колко сме доволни? един.

И нека опашки падат поне хиляда пъти подред. Вероятността да паднат глави наведнъж ще бъде същата. Винаги има варианти, но изгодни.

Разграничаването на зависими събития от независими събития е лесно:

1. Ако експериментът се проведе веднъж (веднъж хвърлена монета, звънецът на вратата веднъж и т.н.), тогава събитията винаги са независими.
2. Ако експериментът се провежда няколко пъти (веднъж се хвърля монета, няколко пъти се звъни на вратата), тогава първото събитие винаги е независимо. И тогава, ако броят на благоприятните или броят на всички резултати се промени, тогава събитията са зависими, а ако не, те са независими.

Нека се упражним малко, за да определим вероятността.

Пример 1

Монетата се хвърля два пъти. Каква е вероятността да получите хедс-ъп два пъти подред?

Решение:

Обмислете всички възможни опции:

1. орел орел
2. опашки орел
3. опашки-орел
4. Опашки-опашки

Както можете да видите, всички опции. От тях само ние сме доволни. Това е вероятността:

Ако условието изисква просто да се намери вероятността, тогава отговорът трябва да бъде даден като десетична дроб. Ако беше посочено, че отговорът трябва да бъде даден като процент, тогава ще умножим по.

Отговор:

Пример 2

В кутия шоколадови бонбони всички бонбони са опаковани в една и съща опаковка. От сладките обаче - с ядки, коняк, череши, карамел и нуга.

Каква е вероятността да вземете един бонбон и да получите бонбон с ядки. Дайте отговора си в проценти.

Решение:

Колко възможни изхода има? .

Тоест, като вземете един бонбон, той ще бъде един от тези в кутията.

И колко благоприятни резултати?

Защото кутията съдържа само шоколади с ядки.

Отговор:

Пример 3

В кутия с топки. от които са бели и черни.

1. Каква е вероятността да изтеглите бяла топка?
2. Добавихме още черни топки в кутията. Каква е вероятността да изтеглите бяла топка сега?

Решение:

а) В кутията има само топки. от които са бели.

Вероятността е:

б) Сега в кутията има топки. И остават точно толкова бели.

Отговор:

Пълна вероятност

Вероятността за всички възможни събития е ().

Например в кутия с червени и зелени топки. Каква е вероятността да изтеглите червена топка? Зелена топка? Червена или зелена топка?

Вероятност да изтеглите червена топка

Зелена топка:

Червена или зелена топка:

Както можете да видите, сборът от всички възможни събития е равен на (). Разбирането на тази точка ще ви помогне да разрешите много проблеми.

Пример 4

В кутията има флумастери: зелен, червен, син, жълт, черен.

Каква е вероятността да НЕ нарисувате червен маркер?

Решение:

Нека преброим броя благоприятни резултати.

НЕ е червен маркер, това означава зелен, син, жълт или черен.

Вероятност за всички събития. А вероятността от събития, които считаме за неблагоприятни (когато извадим червен флумастер) е .

По този начин вероятността да нарисувате НЕ червен флумастер е -.

Отговор:

Вероятността събитието да не се случи е минус вероятността събитието да се случи.

Правило за умножаване на вероятностите за независими събития

Вече знаете какво представляват независимите събития.

И ако трябва да намерите вероятността две (или повече) независими събития да се появят подред?

Да кажем, че искаме да знаем каква е вероятността, като хвърлим монета веднъж, да видим орел два пъти?

Вече разгледахме - .

Ами ако хвърлим монета? Каква е вероятността да видите орел два пъти подред?

Общо възможни опции:

1. Орел-орел-орел
2. Орел-глава-опашки
3. Глава-опашка-орел
4. Глава-опашка-опашка
5. опашки-орел-орел
6. Опашки-глави-опашки
7. Опашки-опашки-глави
8. Опашки-опашки-опашки

Не знам за вас, но аз направих този списък грешно веднъж. Еха! И единственият вариант (първият) ни подхожда.

За 5 хвърляния можете сами да направите списък с възможни резултати. Но математиците не са толкова трудолюбиви като вас.

Следователно те първо забелязаха и след това доказаха, че вероятността за определена последователност от независими събития намалява всеки път с вероятността за едно събитие.

С други думи,

Помислете за примера на същата, злополучна монета.

Вероятност да излезете на глави в процес? . Сега хвърляме монета.

Каква е вероятността да получите опашки подред?

Това правило не работи само ако бъдем помолени да намерим вероятността едно и също събитие да се случи няколко пъти подред.

Ако искахме да намерим последователността TAILS-EAGLE-TAILS при последователни обръщания, бихме направили същото.

Вероятността за получаване на опашки - , глави - .

Вероятността да получите последователността ОПАШКИ-ОРЕЛ-ОПАШКИ-ОПАШКИ:

Можете да проверите сами, като направите таблица.

Правилото за събиране на вероятностите за несъвместими събития.

Така че спри! Нова дефиниция.

Нека да го разберем. Нека вземем нашата износена монета и я хвърлим веднъж.
Възможни опции:

1. Орел-орел-орел
2. Орел-глава-опашки
3. Глава-опашка-орел
4. Глава-опашка-опашка
5. опашки-орел-орел
6. Опашки-глави-опашки
7. Опашки-опашки-глави
8. Опашки-опашки-опашки

Така че тук има несъвместими събития, това е определена, дадена последователност от събития. са несъвместими събития.

Ако искаме да определим каква е вероятността за две (или повече) несъвместими събития, тогава добавяме вероятностите за тези събития.

Трябва да разберете, че загубата на орел или опашка е две независими събития.

Ако искаме да определим каква е вероятността последователност) (или всяка друга) да изпадне, тогава използваме правилото за умножаване на вероятностите.
Каква е вероятността да получите глави при първото хвърляне и опашки при второто и третото?

Но ако искаме да знаем каква е вероятността да получим една от няколко последователности, например, когато главите се появят точно веднъж, т.е. опции и тогава трябва да добавим вероятностите на тези последователности.

Общите опции ни подхождат.

Можем да получим същото, като съберем вероятностите за поява на всяка последователност:

По този начин добавяме вероятности, когато искаме да определим вероятността за някои, несъвместими, последователности от събития.

Има страхотно правило, което ще ви помогне да не се объркате кога да умножавате и кога да събирате:

Нека се върнем към примера, където хвърлихме монета пъти и искаме да знаем вероятността да видим глави веднъж.
Какво ще се случи?

Трябва да падне:
(глави И опашки И опашки) ИЛИ (опашки И глави И опашки) ИЛИ (опашки И опашки И глави).
И така се оказва:

Нека да разгледаме няколко примера.

Пример 5

В кутията има моливи. червено, зелено, оранжево, жълто и черно. Каква е вероятността да нарисувате червени или зелени моливи?

Решение:

Какво ще се случи? Трябва да изтеглим (червено ИЛИ зелено).

Сега е ясно, събираме вероятностите за тези събития:

Отговор:

Пример 6

Зарът се хвърля два пъти, каква е вероятността да излязат общо 8?

Решение.

Как можем да вземем точки?

(и) или (и) или (и) или (и) или (и).

Вероятността да изпаднете от едно (всяко) лице е .

Ние изчисляваме вероятността:

Отговор:

Тренировка.

Мисля, че сега ви стана ясно кога трябва да преброите вероятностите, кога да ги добавите и кога да ги умножите. Не е ли? Нека се поупражняваме.

Задачи:

Нека вземем тесте карти, в което картите са пика, черва, 13 трефи и 13 дайрета. От до Асо от всяка боя.

1. Каква е вероятността да изтеглим купа в един ред (поставяме първата изтеглена карта обратно в тестето и разбъркваме)?
2. Каква е вероятността да изтеглите черна карта (пика или купа)?
3. Каква е вероятността да нарисувате картина (вале, дама, поп или асо)?
4. Каква е вероятността да изтеглите две картини подред (премахваме първата изтеглена карта от тестето)?
5. Каква е вероятността, вземайки две карти, да съберете комбинация - (Вале, Дама или Поп) и Асо Последователността, в която ще бъдат изтеглени картите, няма значение.

Отговори:

1. В тесте карти с всяка стойност това означава:
2. Събитията са зависими, тъй като след първата изтеглена карта, броят на картите в тестето е намалял (както и броят на „снимките“). Общ брой валета, дами, попове и аса в тестето първоначално, което означава вероятността да изтеглите „картината“ с първата карта:

   Тъй като махаме първата карта от тестето, това означава, че в тестето вече има останала карта, на която има снимки. Вероятност да нарисувате картина с втората карта:

   Тъй като се интересуваме от ситуацията, когато получим от колодата: „картина“ И „картина“, тогава трябва да умножим вероятностите:

   Отговор:

3. След като бъде изтеглена първата карта, броят на картите в тестето ще намалее, така че имаме две възможности:
   1) С първата карта изваждаме асо, втората - вале, дама или поп
   2) С първата карта вадим вале, дама или поп, втората - асо. (асо и (вале или дама или поп)) или ((вале или дама или поп) и асо). Не забравяйте да намалите броя на картите в тестето!

Ако сте успели да разрешите всички проблеми сами, значи сте страхотен човек! Сега задачи по теория на вероятностите на изпита ще цъкаш като луд!

ТЕОРИЯ НА ВЕРОЯТНОСТИТЕ. СРЕДНО НИВО

Помислете за пример. Да кажем, че хвърляме зар. Какъв вид кост е това, знаете ли? Това е името на куб с числа на лицата. Колко лица, толкова числа: от до колко? Преди.

Така че хвърляме зар и искаме да излезе с или. И ние изпадаме.

В теорията на вероятностите казват какво се е случило благоприятно събитие(да не се бърка с добро).

Ако изпадне, събитието също ще бъде благоприятно. Общо могат да се случат само две благоприятни събития.

Колко лоши? Тъй като всички възможни събития, тогава неблагоприятните от тях са събития (това е, ако изпадне или).

определение:

Вероятността е отношението на броя на благоприятните събития към броя на всички възможни събития.. Тоест вероятността показва каква част от всички възможни събития са благоприятни.

Те обозначават вероятността с латинска буква (очевидно от английската дума probability - вероятност).

Обичайно е вероятността да се измерва като процент (вижте темата). За да направите това, стойността на вероятността трябва да бъде умножена по. В примера със зарове, вероятност.

И в проценти: .

Примери (решете сами):

1. Каква е вероятността хвърлянето на монета да попадне на глави? И каква е вероятността за опашка?
2. Каква е вероятността да се появи четно число, когато се хвърли зар? И с какво - странно?
3. В чекмедже с обикновени, сини и червени моливи. На случаен принцип теглим един молив. Каква е вероятността да извадите прост?

Решения:

1. Колко опции има? Глави и опашки - само две. И колко от тях са благоприятни? Само един е орел. Така че вероятността

   Същото с опашките: .

2. Общо опции: (колко страни има куб, толкова различни опции). Благоприятни: (това са всички четни числа :).
   Вероятност. С нечетни, разбира се, същото нещо.
3. Обща сума: . Благоприятен: . Вероятност: .

Пълна вероятност

Всички моливи в чекмеджето са зелени. Каква е вероятността да нарисувате червен молив? Няма шансове: вероятност (в края на краищата благоприятни събития -).

Такова събитие се нарича невъзможно.

Каква е вероятността да нарисувате зелен молив? Има точно толкова благоприятни събития, колкото и всички събития (всички събития са благоприятни). Така че вероятността е или.

Такова събитие се нарича сигурно.

Ако в кутията има зелени и червени моливи, каква е вероятността да нарисувате зелен или червен? Още веднъж. Обърнете внимание на следното: вероятността да нарисувате зелено е равна, а червеното е .

Накратко, тези вероятности са абсолютно равни. Това е, сумата от вероятностите на всички възможни събития е равна на или.

Пример:

В кутия с моливи има сини, червени, зелени, прости, жълти, а останалите са оранжеви. Каква е вероятността да не нарисувате зелено?

Решение:

Не забравяйте, че всички вероятности се събират. И вероятността да нарисувате зелено е равна. Това означава, че вероятността да не нарисувате зелено е равна.

Запомнете този трик:Вероятността събитието да не се случи е минус вероятността събитието да се случи.

Независими събития и правилото за умножение

Хвърляте монета два пъти и искате тя да излезе с глави и двата пъти. Каква е вероятността за това?

Нека да прегледаме всички възможни опции и да определим колко са:

Орел-Орел, Опашки-Орел, Орел-Опашки, Опашки-Опашки. Какво друго?

Целият вариант. От тях само един ни подхожда: Eagle-Eagle. Така че вероятността е равна.

Добре. Сега нека хвърлим монета. Пребройте се. Се случи? (отговор).

Може би сте забелязали, че с добавянето на всяко следващо хвърляне, вероятността намалява с фактор. Общото правило се нарича правило за умножение:

Вероятностите за независими събития се променят.

Какво представляват независимите събития? Всичко е логично: това са тези, които не зависят един от друг. Например, когато хвърляме монета няколко пъти, всеки път се прави ново хвърляне, чийто резултат не зависи от всички предишни хвърляния. Със същия успех можем да хвърлим две различни монети едновременно.

Още примери:

1. Зарът се хвърля два пъти. Каква е вероятността да се появи и двата пъти?
2. Монета се хвърля пъти. Каква е вероятността да получите два пъти с главите и след това с опашките?
3. Играчът хвърля два зара. Каква е вероятността сборът на числата върху тях да е равен?

Отговори:

1. Събитията са независими, което означава, че правилото за умножение работи: .
2. Вероятността за орел е равна. Вероятност за опашки също. Ние умножаваме:
3. 12 може да се получи само ако изпаднат две -ки: .

Несъвместими събития и правилото за добавяне

Несъвместимите събития са събития, които се допълват до пълна вероятност. Както подсказва името, те не могат да се случат по едно и също време. Например, ако хвърлим монета, могат да паднат или глави, или опашки.

Пример.

В кутия с моливи има сини, червени, зелени, прости, жълти, а останалите са оранжеви. Каква е вероятността да нарисувате зелено или червено?

Решение .

Вероятността да нарисувате зелен молив е равна. Червен - .

Благоприятни събития от всички: зелено + червено. Така че вероятността да нарисувате зелено или червено е равна.

Същата вероятност може да бъде представена в следната форма: .

Това е правилото за добавяне:вероятностите за несъвместими събития се сумират.

Смесени задачи

Пример.

Монетата се хвърля два пъти. Каква е вероятността резултатът от хвърлянията да е различен?

Решение .

Това означава, че ако главите са първи, опашките трябва да са втори и обратното. Оказва се, че тук има две двойки независими събития и тези двойки са несъвместими една с друга. Как да не се объркате къде да умножите и къде да добавите.

Има просто правило за такива ситуации. Опитайте се да опишете какво трябва да се случи, като свържете събитията със съюзите "И" или "ИЛИ". Например в този случай:

Трябва да се хвърлят (глави и опашки) или (опашки и глави).

Където има обединение "и", ще има умножение, а където "или" е събиране:

Опитайте сами:

1. Каква е вероятността две хвърляния на монети да се окажат с една и съща страна и двата пъти?
2. Зарът се хвърля два пъти. Каква е вероятността сумата да падне точки?

Решения:

1. (Heads up и heads up) или (опашки горе и опашки горе): .
2. Какви са вариантите? и. Тогава:
   Навити (и) или (и) или (и): .

Друг пример:

Хвърляме монета веднъж. Каква е вероятността главите да се появят поне веднъж?

Решение:

О, как не искам да сортирам опциите ... Head-tails-tails, Eagle-heads-tails, ... Но не е нужно! Нека поговорим за пълната вероятност. Спомняте ли си? Каква е вероятността орелът никога няма да падне? Това е просто: опашки летят през цялото време, това означава.

ТЕОРИЯ НА ВЕРОЯТНОСТИТЕ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Вероятността е отношението на броя на благоприятните събития към броя на всички възможни събития.

Независими събития

Две събития са независими, ако настъпването на едното не променя вероятността другото да се случи.

Пълна вероятност

Вероятността за всички възможни събития е ().

Вероятността събитието да не се случи е минус вероятността събитието да се случи.

Правило за умножаване на вероятностите за независими събития

Вероятността за определена последователност от независими събития е равна на произведението на вероятностите за всяко от събитията

Несъвместими събития

Несъвместими събития са онези събития, които не могат да се случат едновременно в резултат на експеримент. Редица несъвместими събития образуват пълна група от събития.

Вероятностите за несъвместими събития се сумират.

След като описахме какво трябва да се случи, използвайки съюзите "И" или "ИЛИ", вместо "И" поставяме знака за умножение, а вместо "ИЛИ" - събиране.

Е, темата приключи. Щом четеш тези редове, значи си много готин.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако сте прочели до края, значи сте в 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това е ... просто е супер! Вие вече сте по-добри от огромното мнозинство от вашите връстници.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

За какво?

За успешното полагане на изпита, за прием в института на бюджета и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само ще кажа едно...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на изпита и в крайна сметка ... по-щастливи?

НАПЪЛНЕТЕ РЪКАТА СИ, РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

На изпита няма да ви питат теория.

Ще имаш нужда решавайте проблемите навреме.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да я направите навреме.

Това е като в спорта - трябва да повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекция навсякъде, където пожелаете задължително с решения, подробен анализи решавайте, решавайте, решавайте!

Можете да използвате нашите задачи (не е необходимо) и ние със сигурност ги препоръчваме.

За да получите ръка с помощта на нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.

как? Има две възможности:

1. Отключете достъпа до всички скрити задачи в тази статия - 299 търкайте.
2. Отключете достъп до всички скрити задачи във всичките 99 статии на урока - 999 търкайте.

Да, имаме 99 такива статии в учебника и веднага се отваря достъп до всички задачи и всички скрити текстове в тях.

Във втория случай ние ще ви дадемсимулатор "6000 задачи с решения и отговори, за всяка тема, за всички нива на сложност." Определено е достатъчно, за да се сдобиете с решаването на задачи по всякаква тема.

Всъщност това е много повече от симулатор - цяла програма за обучение. Ако е необходимо, можете да го използвате и БЕЗПЛАТНО.

Осигурен е достъп до всички текстове и програми за целия живот на сайта.

В заключение...

Ако не харесвате нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте с теорията.

„Разбрах“ и „Знам как да решавам“ са напълно различни умения. Трябват ви и двете.

Намерете проблеми и решете!

Вероятност за обратното събитие

Помислете за някакво случайно събитие А, и нека неговата вероятност p(A)известен. Тогава вероятността от обратното събитие се определя по формулата

. (1.8)

Доказателство.Спомнете си, че според аксиома 3 за несъвместими събития

p(A+B) = p(A) + p(B).

Поради несъвместимостта Аи

Последица., тоест вероятността за невъзможно събитие е нула.

Формула (1.8) се използва за определяне, например, на вероятността за пропуск, ако вероятността за попадение е известна (или, обратно, вероятността за попадение, ако вероятността за пропуск е известна; например, ако вероятността за попадение за a пистолет е 0,9, вероятността за пропуск за него е (1 - 0, 9 = 0,1).

1. Вероятност за сумата от две събития

Тук е редно да си го припомним за несъвместими събития тази формула изглежда така:

Пример.Заводът произвежда 85% от продуктите от първи клас и 10% от втория. Останалите елементи се считат за дефектни. Каква е вероятността, вземайки продукт на случаен принцип, да получим дефект?

Решение. P \u003d 1 - (0,85 + 0,1) \u003d 0,05.

Вероятността за сумата от произволни две произволни събитияе равно на

Доказателство.Представете си събитие А + бкато сбор от несъвместими събития

Предвид несъвместимостта Аи , получаваме съгласно аксиома 3

По същия начин намираме

Замествайки последното в предишната формула, получаваме желаното (1.10) (фиг. 2).

Пример.От 20 ученици 5 души са положили двойка на изпита по история, 4 по английски език, а 3 ученици са получили двойки и по двата предмета. Какъв е процентът на учениците в групата, които нямат двойки по тези предмети?

Решение. P = 1 - (5/20 + 4/20 - 3/20) = 0,7 (70%).

1. Условна вероятност

В някои случаи е необходимо да се определи вероятността от случайно събитие бако приемем, че е настъпило случайно събитие А, което има ненулева вероятност. Че събитието Асе случи, стеснява пространството на елементарните събития до множество Асъответстващи на това събитие. По-нататъшните разсъждения ще бъдат извършени на примера на класическа схема. Нека W се състои от n еднакво възможни елементарни събития (резултати) и събитието Ауслуги m(A), и събитието AB - m(AB)резултати. Означава условната вероятност за събитие бпри условие че Асе случи, - p(B|A).По дефиниция,

= .

Ако Асе случи, тогава един от m(A)резултати и събитие бможе да се случи само ако настъпи един от благоприятните резултати AB; такива резултати m(AB). Следователно е естествено да се постави условната вероятност на събитието бпри условие че Асе случи, равно на отношението

Обобщавайки, даваме общо определение: условна вероятност за събитие B, при условие че е настъпило събитие A с различна от нула вероятност , Наречен

. (1.11)

Лесно се проверява, че така въведеното определение удовлетворява всички аксиоми и следователно всички доказани по-рано теореми са верни.

Често условната вероятност p(B|A)може лесно да се намери от условията на задачата, в по-сложни случаи трябва да се използва дефиниция (1.11).

Пример.Една урна съдържа N топки, от които n са бели и N-n са черни. От него се изважда топка и без да се връща обратно ( проба без връщане ), вземете още един. Каква е вероятността и двете топки да са бели?

Решение.При решаването на тази задача прилагаме както класическата дефиниция на вероятността, така и правилото за произведение: нека означим с A събитието, състоящо се в това, че бялата топка е извадена първа (след това черната топка е извадена първа) и през B събитието, състоящо се във факта, че втората топка е извадена от бяла топка; тогава

.

Лесно се вижда, че вероятността три топки, извадени последователно (без подмяна) да са бели е:

и т.н.

Пример.От 30 изпитни карти ученикът е изготвил само 25. Ако откаже да отговори на първия взет билет (който не знае), тогава му се разрешава да вземе втория. Определете вероятността вторият билет да е щастлив.

Решение.Нека събитието Асе крие във факта, че първият изтеглен билет се оказа „лош“ за ученика и б- второто - ²добро². Защото след събитието Аедин от „лошите“ вече е извлечен, тогава остават само 29 билета, от които 25 ученикът знае. Следователно желаната вероятност, ако приемем, че появата на всеки билет е еднакво възможна и те не се връщат обратно, е равна на .

1. Вероятност на продукта

Съотношение (1.11), ако приемем, че p(A)или p(B)не са равни на нула, могат да бъдат записани във формата

Това съотношение се нарича теорема за вероятността от произведението на две събития , което може да се обобщи за произволен брой фактори, например за три има формата

Пример.При условията на предишния пример намерете вероятността за успешно преминаване на изпита, ако за това студентът трябва да отговори на първия билет или, без да отговаря на първия, не забравяйте да отговорите на втория.

Решение.Нека събитията Аи бса, че съответно първият и вторият билет са "добри". След това - появата на "лош" билет за първи път. Изпитът ще бъде взет, ако се случи събитие Аили в същото време и б. Тоест, желаното събитие C - успешното полагане на изпита - се изразява по следния начин: ° С = А+ .От тук

Тук се възползвахме от несъвместимостта Аи следователно несъвместимостта Аи , теореми за вероятността на сумата и произведението и класическата дефиниция на вероятността при изчисляване p(A)и .

Този проблем може да бъде решен още по-просто, ако използваме теоремата за вероятността от обратното събитие:

1. Независимост на събитията

Случайни събития А и Бда се обадимнезависима, ако

За независими събития от (1.11) следва, че ; обратното също е вярно.

Независимост на събитиятаозначава, че настъпването на събитие А не променя вероятността за настъпване на събитие Б, т.е. условната вероятност е равна на безусловната .

Пример.Нека разгледаме предишния пример с урна, съдържаща N топки, от които n са бели, но нека променим опита: след като извадим една топка, ние я поставяме обратно и едва след това изваждаме следващата ( извличане с връщане ).

A е събитието, при което бялата топка е изтеглена първа, събитието, при което черната топка е изтеглена първа, и B е събитието, при което бялата топка е изтеглена втора; тогава

тоест в този случай събитията A и B са независими.

Така при вземане на проби с връщане събитията при второто теглене на топката са независими от събитията от първото теглене, но при вземане на проби без замяна това не е така. Въпреки това, за големи N и n, тези вероятности са много близки една до друга. Това се използва, тъй като понякога се извършва вземане на проби без замяна (например при контрол на качеството, когато тестването на обект води до неговото унищожаване), а изчисленията се извършват по формули за вземане на проби със замяна, които са по-прости.

В практиката при изчисляване на вероятностите често се използва правилото, според което от физическата независимост на събитията следва тяхната независимост във вероятностен смисъл .

Пример.Вероятността човек на 60 години да не умре през следващата година е 0,91. Застрахователна компания застрахова живота на двама души на 60 години за една година.

Вероятност никой от тях да не умре: 0,91 × 0,91 = 0,8281.

Вероятност и двамата да умрат:

(1 – 0,91)×(1 – 0,91) = 0,09 × 0,09 = 0,0081.

Вероятност за смърт поне един:

1 – 0,91 × 0,91 = 1 – 0,8281 = 0,1719.

Вероятност за смърт един:

0,91 х 0,09 + 0,09 х 0,91 = 0,1638.

Система за събития A 1 , A 2 ,..., A nнаричаме независими в съвкупността, ако вероятността на продукта е равна на произведението на вероятностите за всяка комбинация от фактори от тази система. В този случай, по-специално,

Пример.Кодът на сейфа се състои от седем десетични цифри. Каква е вероятността крадецът да се оправи от първия път?

Във всяка от 7-те позиции можете да наберете всяка от 10-те цифри 0,1,2,...,9, за общо 10 7 номера, започвайки от 0000000 и завършвайки с 9999999.

Пример.Кодът на сейфа се състои от руска буква (има 33 от тях) и три цифри. Каква е вероятността крадецът да се оправи от първия път?

P = (1/33) × (1/10) 3 .

Пример.В по-общ вид, осигурителният проблем: вероятността човек на възраст ... години да не умре през следващата година е равна на p. Застрахователна компания застрахова живота на n души на тази възраст за една година.

Вероятността, че никой от тях няма да умрат: pn (не трябва да плащат застрахователна премия на никого).

Вероятност за смърт поне един: 1 - p n (предстоят плащания).

Вероятността те всичко зар: (1 – p) n (най-големи изплащания).

Вероятност за смърт един: n × (1 – p) × p n-1 (ако хората са номерирани, тогава този, който умира, може да бъде номериран с 1, 2,…,n – това са n различни събития, всяко от които има вероятност от (1 – p) × pn-1).

1. Формула за пълна вероятност

Нека събитията H 1 , H 2 , ... , H nотговарят на условията

Ако и .

Такава колекция се нарича пълна група от събития.

Да приемем, че знаем вероятностите стр(H i), стр(A/H i). В този случай приложимо формула за обща вероятност

. (1.14)

Доказателство.Да използваме какво H i(те обикновено се наричат хипотези ) са непоследователни по двойки (следователно непоследователни и H i× А), а тяхната сума е определено събитие

Тази схема има място винаги, когато можем да говорим за разделяне на цялото пространство на събитията на няколко, най-общо казано, разнородни области. В икономиката това е разделянето на държава или област на региони с различни размери и различни условия, когато делът на всеки регион е известен p(Здрасти)и вероятността (дяла) на някакъв параметър във всеки регион (например процентът на безработните - той е различен във всеки регион) - p(A/Hi). Складът може да съдържа продукти от три различни фабрики, доставящи различни количества продукти с различен процент на дефекти и др.

Пример.Леенето на прасета идва от два магазина в третия: 70% от първия и 30% от втория. В същото време продуктите на първия цех имат 10% дефекти, а вторият - 20%. Намерете вероятността един диск, взет на случаен принцип, да има дефект.

Решение:р(Н 1) = 0.7; р(Н2) = 0.3; р(А/Н1) = 0.1; р(А/Н2)=0.2;

P = 0,7 × 0,1 + 0,3 × 0,2 = 0,13 (средно 13% от заготовките в третия магазин са дефектни).

Един математически модел може да бъде например следният: има няколко урни с различен състав; в първата урна има n 1 топки, от които m 1 са бели и т.н. Формулата за общата вероятност се използва за намиране на вероятността, чрез произволно избиране на урна, да се извади бяла топка от нея.

Проблемите се решават по същия начин в общия случай.

Пример.Нека се върнем към примера с урната, съдържаща N топки, от които n са бели. Изваждаме от него (без връщане) две топки. Каква е вероятността втората топка да е бяла?

Решение. H 1 - първата топка е бяла; р(Н 1)=n/N;

H 2 - първата топка е черна; р(Н2)=(N-n)/N;

B - втората топка е бяла; p(B|H 1)=(n-1)/(N-1); p(B|H2)=n/(N-1);

Същият модел може да се приложи за решаване на следната задача: от N билета ученикът е научил само n. Кое е по-изгодно за него - да изтегли билета първия или втория? Оказва се, че във всеки случай е с вероятност n/Nще изтегли добър билет и с вероятност ( N-n)/N-лошо.

Пример.Определете вероятността пътник, който тръгва от точка А, да се озове в точка Б, ако на разклонение на пътя произволно избере който и да е път (освен този за връщане). Пътната карта е показана на фиг. 1.3.

Решение.Нека пристигането на пътника в точки H 1 , H 2 , H 3 и H 4 са съответните хипотези. Очевидно те образуват пълна група от събития и според условието на проблема

p(H 1) = p(H 2) = p(H 3) = p(H 4) = 0,25.

(Всички посоки от А са еднакво възможни за пътника). Според схемата на пътя условните вероятности за попадение в B, при условие, че пътникът е преминал през H i , са равни на:

Прилагайки формулата за пълна вероятност, получаваме

1. Формула на Бейс

Да приемем, че условията на предходния параграф са изпълнени и допълнително е известно, че събитието Асе случи. Намерете вероятността хипотезата да се реализира зк. По дефиниция на условната вероятност

. (1.15)

Полученото съотношение се нарича Формула на Бейс. Тя дава да се разбере
(преди експеримента) априорни вероятности на хипотези p(Здрасти)и условни вероятности p(A|Hi)определяне на условната вероятност p(H k |A), което се нарича a posteriori (т.е. получено при условие, че в резултат на опита, събитието Авече се случи).

Пример. 30% от пациентите, приети в болница, са от първа социална група, 20% - от втора и 50% - от трета. Вероятността за заразяване с туберкулоза за представител на всяка социална група е съответно 0,02, 0,03 и 0,01. Тестовете, направени на произволно избран пациент, показаха наличие на туберкулоза. Намерете вероятността това да е представител на третата група.

Кратка теория

За количествено сравнение на събитията според степента на възможността за тяхното възникване се въвежда числена мярка, която се нарича вероятност за събитие. Вероятността за случайно събитиесе нарича число, което е израз на мярка за обективната възможност за настъпване на събитие.

Стойностите, които определят колко значими са обективните основания за разчитане на настъпването на събитие, се характеризират с вероятността на събитието. Трябва да се подчертае, че вероятността е обективна величина, която съществува независимо от познаващия и е обусловена от съвкупността от условия, които допринасят за настъпването на дадено събитие.

Обясненията, които сме дали на концепцията за вероятност, не са математическа дефиниция, тъй като те не определят тази концепция количествено. Има няколко дефиниции на вероятността от случайно събитие, които се използват широко при решаване на конкретни проблеми (класически, аксиоматични, статистически и др.).

Класическата дефиниция на вероятността от събитиесвежда тази концепция до по-елементарна концепция за еднакво вероятни събития, която вече не подлежи на дефиниране и се приема за интуитивно ясна. Например, ако зарът е хомогенен куб, тогава падането на която и да е от страните на този куб ще бъде еднакво вероятни събития.

Нека определено събитие се раздели на еднакво вероятни случаи, сборът от които дава събитието. Тоест случаите от , на които се разпада, се наричат ​​благоприятни за събитието, тъй като появата на един от тях осигурява офанзивата.

Вероятността за събитие ще бъде обозначена със символа.

Вероятността за събитие е равна на отношението на броя на благоприятните за него случаи от общия брой уникални, еднакво възможни и несъвместими случаи към броя, т.е.

Това е класическата дефиниция на вероятността. По този начин, за да се намери вероятността за събитие, е необходимо, след разглеждане на различните резултати от теста, да се намери набор от единствените възможни, еднакво възможни и несъвместими случаи, да се изчисли общият им брой n, броят на случаите m, които предпочитайте това събитие и след това извършете изчислението съгласно горната формула.

Вероятността за събитие, равна на съотношението на броя на резултатите от опита, благоприятни за събитието, към общия брой резултати от опита, се нарича класическа вероятностслучайно събитие.

От определението следват следните свойства на вероятността:

Свойство 1. Вероятността за определено събитие е равна на единица.

Свойство 2. Вероятността за невъзможно събитие е нула.

Свойство 3. Вероятността за случайно събитие е положително число между нула и едно.

Свойство 4. Вероятността за възникване на събития, които образуват пълна група, е равна на единица.

Свойство 5. Вероятността за настъпване на противоположното събитие се определя по същия начин, както вероятността за настъпване на събитие А.

Броят на събитията, които благоприятстват появата на противоположното събитие. Следователно вероятността да се случи противоположното събитие е равна на разликата между единица и вероятността да се случи събитие А:

Важно предимство на класическата дефиниция на вероятността от събитие е, че с негова помощ вероятността от събитие може да се определи, без да се прибягва до опит, а въз основа на логически разсъждения.

Когато набор от условия е изпълнен, определено събитие определено ще се случи, а невъзможното определено няма да се случи. Сред събитията, които при създаване на комплекс от условия могат да настъпят или да не настъпят, за появата на едни може да се разчита с повече основание, за появата на други с по-малко основание. Ако, например, в урната има повече бели топки, отколкото черни, тогава има повече причини да се надяваме за появата на бяла топка, когато се извади произволно от урната, отколкото за появата на черна топка.

Пример за решение на проблем

Пример 1

Една кутия съдържа 8 бели, 4 черни и 7 червени топки. На случаен принцип се изтеглят 3 топки. Намерете вероятностите за следните събития: - изтеглена е поне 1 червена топка, - има поне 2 топки от един и същи цвят, - има поне 1 червена и 1 бяла топка.

Решението на проблема

Намираме общия брой резултати от теста като броя на комбинациите от 19 (8 + 4 + 7) елемента от по 3 всеки:

Намерете вероятността за събитие– изтеглена поне 1 червена топка (1,2 или 3 червени топки)

Изисквана вероятност:

Нека събитието- има поне 2 топки от един и същи цвят (2 или 3 бели топки, 2 или 3 черни топки и 2 или 3 червени топки)

Брой резултати, благоприятстващи събитието:

Изисквана вероятност:

Нека събитието– има поне една червена и една бяла топка

(1 червена, 1 бяла, 1 черна или 1 червена, 2 бели или 2 червени, 1 бяла)

Брой резултати, благоприятстващи събитието:

Изисквана вероятност:

Отговор: P(A)=0,773;P(C)=0,7688; P(D)=0,6068

Пример 2

Хвърлят се два зара. Намерете вероятността сумата от точките да е най-малко 5.

Решение

Нека събитието е сбор от точки не по-малко от 5

Нека използваме класическата дефиниция на вероятността:

Общ брой възможни резултати от опита

Броят опити, които благоприятстват събитието, което ни интересува

На изпуснатата страна на първия зар могат да се появят една точка, две точки ..., шест точки. по подобен начин са възможни шест изхода при второто хвърляне на зара. Всеки от резултатите от първия зар може да се комбинира с всеки от резултатите от втория. По този начин общият брой на възможните елементарни резултати от теста е равен на броя на поставянията с повторения (селекция с поставяния на 2 елемента от набор от том 6):

Намерете вероятността за обратното събитие - сборът от точки е по-малък от 5

Следните комбинации от изпуснати точки ще благоприятстват събитието:

№

1-ва кост

2-ра кост

1

1

1

2

1

2

3

2

1

4

3

1

5

1

3

Представена е геометричната дефиниция на вероятността и е дадено решението на добре известната задача за срещата.