Видове матрици. Поетапен матричен изглед

ОПР. Правоъгълна маса с Tлинии и Пколони от реални числа се нарича матрицаразмер t×n. Матриците се означават с главни латински букви: A, B, ..., а масивът от числа се отличава с кръгли или квадратни скоби.

Числата, включени в таблицата, се наричат ​​матрични елементи и се означават с малки латински букви с двоен индекс, където аз- номер на ред й– номер на колоната, в пресечната точка на която се намира елементът. Като цяло матрицата се записва по следния начин:

Разглеждат се две матрици равенако съответните им елементи са равни.

Ако броят на редовете на матрицата Tравен на броя на неговите колони П, тогава се извиква матрицата квадрат(в противен случай правоъгълен).

Матрица на размера
се нарича редова матрица. Матрица на размера

се нарича колонна матрица.

Матрични елементи с еднакви индекси (
и т.н.), форма главен диагоналматрици. Другият диагонал се нарича страничен диагонал.

Квадратната матрица се нарича диагоналако всички негови елементи, разположени извън главния диагонал, са равни на нула.

Извиква се диагонална матрица, чиито диагонални елементи са равни на единица единиченматрица и има стандартната нотация E:

Ако всички елементи на матрица, разположени над (или под) главния диагонал, са равни на нула, се казва, че матрицата има триъгълна форма:

§2. Матрични операции

1. Транспониране на матрица - трансформация, при която редовете на матрицата се записват като колони, като се запазва редът им. За квадратна матрица тази трансформация е еквивалентна на симетрично картографиране по отношение на главния диагонал:

.

2. Матрици с една и съща размерност могат да бъдат сумирани (извадени). Сумата (разликата) на матриците е матрица с една и съща размерност, всеки елемент от която е равен на сумата (разликата) на съответните елементи на оригиналните матрици:

3. Всяка матрица може да бъде умножена по число. Произведението на матрица по число е матрица от същия ред, всеки елемент от която е равен на произведението на съответния елемент на оригиналната матрица по това число:

.

4. Ако броят на колоните на една матрица е равен на броя на редовете на друга, тогава можете да умножите първата матрица по втората. Продуктът на такива матрици е матрица, всеки елемент от която е равен на сумата от произведенията по двойки на елементите на съответния ред на първата матрица и елементите на съответната колона на втората матрица.

Последица. Матрично степенуване да се>1 е произведението на матрицата A да севеднъж. Дефинирано само за квадратни матрици.

Пример.

Свойства на операциите върху матрици.

1. (A+B)+C=A+(B+C);

   k(A+B)=kA+kV;

   A(B+C)=AB+AC;

   (A+B)C=AC+BC;

   k(AB)=(kA)B=A(kV);

   A(BC)=(AB)C;

2. (kA) T =kA T;

   (A + B) T \u003d A T + B T;

   (AB) T = B T A T;

Свойствата, изброени по-горе, са подобни на свойствата на операциите с числа. Има и специфични свойства на матриците. Те включват, например, отличителното свойство на матричното умножение. Ако продуктът AB съществува, то продуктът BA

Може и да не съществува

Може да се различава от AB.

Пример. Фирмата произвежда продукти от два вида А и В и използва три вида суровини S 1 , S 2 и S 3 . Разходните норми на суровините се дават с матрицата N=
, където н ij- количество суровини йизразходвани за производството на единица продукция аз. Производственият план е даден с матрицата C = (100 200), а единичната себестойност на всеки вид суровина е дадена с матрицата . Определете разходите за суровини, необходими за планираната продукция и общите разходи за суровини.

Решение. Цената на суровините се определя като произведение на матрици C и N:

Изчисляваме общата цена на суровините като произведение на S и P.

Матрицата е правоъгълна таблица с числа, състояща се от м струни с еднаква дължина или н колони с еднаква дължина.

aij- елемент от матрицата, който е в аз -ти ред и й -та колона.

За краткост матрицата може да се обозначи с една главна буква, напр. НОили AT.

Като цяло, матрица на размера м× нпиши така

Примери:

Ако броят на редовете в една матрица е равен на броя на колоните, тогава матрицата се нарича квадрат, и се извиква броят на неговите редове или колони в редматрици. В примерите по-горе втората матрица е квадратна - редът й е 3, а четвъртата матрица - редът й е 1.

Извиква се матрица, в която броят на редовете не е равен на броя на колоните правоъгълен. В примерите това е първата матрица и третата.

главен диагоналКвадратната матрица е диагоналът, преминаващ от горния ляв до долния десен ъгъл.

Нарича се квадратна матрица, в която всички елементи под главния диагонал са равни на нула триъгълнаматрица.

.

Квадратна матрица, в която всички елементи, с изключение може би тези на главния диагонал, са равни на нула, се нарича диагоналматрица. Например, или.

Извиква се диагонална матрица, в която всички диагонални записи са равни на единица единиченматрица и се обозначава с буквата E. Например матрицата за идентичност от 3-ти ред има формата .

обратно към съдържанието

(36)85 Какво представляват линейните операции върху матрици? Примери.

Във всички случаи, когато се въвеждат нови математически обекти, е необходимо да се съгласуват правилата за действие върху тях, както и да се определи кои обекти се считат за равни един на друг.

Естеството на обектите е без значение. Това могат да бъдат реални или комплексни числа, вектори, матрици, низове или нещо друго.

Стандартните операции включват линейни операции, а именно: умножение с число и събиране; в конкретния случай - умножение на матрици по число и събиране на матрици.

При умножаване на матрица по число, всеки матричен елемент се умножава по това число, а матричното събиране предполага добавяне по двойки на елементи, разположени в еквивалентни позиции.

Терминологичен израз „линейна комбинация<" (векторов, матриц, строк, столбцов и так далее) всегда означает одно и тоже: алгебраическая сумма этих векторов (или матриц, строк, столбцов и так далее), предварительно умноженных на числовые коэффициенты.

матрици А = || а аз дж|| и б = || а аз дж|| се считат за равни, ако имат еднакви размери и съответните им матрични елементи са равни по двойки:

Събиране на матрицаОперацията за събиране е дефинирана само за матрици с еднакъв размер. Резултатът от събирането на матрици А = || а аз дж|| и B = || b аз дж|| е матрицата C = || ° С аз дж|| , чиито елементи са равни на сумата от съответните матрични елементи.

Матрицата се обозначава с главни латински букви ( НО, AT, ОТ,...).

Определение 1. Правоъгълна маса от формата,

състояща се от млинии и нколони се нарича матрица.

Матричен елемент, i – номер на ред, j – номер на колона.

Видове матрици:

елементи на главния диагонал:

trA=a 11 +a 22 +a 33 +…+a nn .

§2. Детерминанти от 2-ри, 3-ти и n-ти ред

Нека са дадени две квадратни матрици:

Определение 1. Детерминанта от втори ред на матрица НО 1 е числото, означено с ∆ и равно на , където

Пример. Изчислете детерминанта от 2-ри ред:

Определение 2. Детерминант от 3-ти ред на квадратна матрица НО 2 наречено число от вида:

Това е един от начините за изчисляване на детерминантата.

Пример. Изчисли

Определение 3. Ако детерминанта се състои от n-редове и n-колони, тогава тя се нарича детерминанта от n-ти ред.

Свойства на детерминантите:

Детерминантата не се променя по време на транспониране (т.е. ако редовете и колоните в нея се разменят, като се запазва редът).

Ако всеки два реда или две колони са разменени в детерминантата, тогава детерминантата променя само знака.

Общият множител на всеки ред (колона) може да бъде изваден от знака на детерминантата.

Ако всички елементи на който и да е ред (колона) на детерминантата са равни на нула, то детерминантата е равна на нула.

Детерминантата е нула, ако елементите на всеки два реда са равни или пропорционални.

Детерминантата не се променя, ако съответните елементи на друг ред (колона), умножени по същото число, се добавят към елементите на който и да е ред (колона).

Пример.

Определение 4.Извиква се детерминантата, получена от дадена чрез изтриване на колона и ред незначителенсъответния елемент. M ij елемент a ij.

Определение 5. Алгебрично събиранеелемент a ij , се нарича израз

§3. Матрични действия

Линейни операции

1) При добавяне на матрици се добавят техните едноименни елементи.

При изваждане на матрици се изваждат техните едноименни елементи.

При умножаване на матрица по число, всеки елемент от матрицата се умножава по това число:

3.2 Матрично умножение.

работаматрици НОда се матрица ATе нова матрица, чиито елементи са равни на сумата от произведенията на елементите на i-тия ред на матрицата НОкъм съответните елементи на j-тата колона на матрицата AT. Матричен продукт НОда се матрица ATможе да се намери само ако броят на колоните на матрицата НОе равен на броя редове на матрицата AT.В противен случай работата е невъзможна.

коментар:

(не подлежи на свойството комутативност)

§ 4. Обратна матрица

Обратната матрица съществува само за квадратна матрица и матрицата трябва да е неособена.

Определение 1. Матрица НОНаречен неизродениако детерминантата на тази матрица не е равна на нула

Определение 2. НО-1 се обади обратна матрицаза дадена неособена квадратна матрица НО, ако при умножаване на тази матрица по дадената както отдясно, така и отляво, се получава матрицата за идентичност.

Алгоритъм за изчисляване на обратната матрица

1 начин (използвайки алгебрични добавки)

Пример 1:

Матрици. Видове матрици. Операции с матрици и техните свойства.

Детерминанта на матрицата от n-ти ред. N, Z, Q, R, C,

Матрица от порядък m*n е правоъгълна таблица с числа, съдържаща m-редове и n-колони.

Матрично равенство:

Две матрици се наричат ​​равни, ако броят на редовете и колоните на едната от тях е равен съответно на броя на редовете и колоните на другата и съответно. елементите на тези матрици са равни.

Забележка: Елементи с еднакви индекси се съпоставят.

Видове матрици:

Квадратна матрица: За една матрица се казва, че е квадратна, ако броят на редовете е равен на броя на колоните.

Правоъгълна: Матрицата се нарича правоъгълна, ако броят на редовете не е равен на броя на колоните.

Редова матрица: матрица от ред 1*n (m=1) има формата a11,a12,a13 и се нарича редова матрица.

Матрица колона:………….

Диагонал: диагоналът на квадратна матрица, преминаващ от горния ляв ъгъл до долния десен ъгъл, т.е. състоящ се от елементи a11, a22 ...... - се нарича главен диагонал. (дефиниция: квадратна матрица, всички елементи на която са равни на нула, с изключение на тези, разположени на главния диагонал, се нарича диагонална матрица.

Идентичност: Диагоналната матрица се нарича идентичност, ако всички елементи са разположени на главния диагонал и са равни на 1.

Горен триъгълник: A=||aij|| се нарича горна триъгълна матрица, ако aij=0. При условие i>j.

Долен триъгълник: aij=0. аз

Нула: Това е матрица, чиито Els са 0.

Операции с матрици.

1. Транспониране.

2. Умножение на матрица с число.

3. Матрично събиране.

4. Матрично умножение.

Основно действие на св-ва върху матрици.

1.A+B=B+A (комутативност)

2.A+(B+C)=(A+B)+C (асоциативност)

3.a(A+B)=aA+aB (разпределение)

4.(a+b)A=aA+bA (разпределителен)

5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (asoots.)

6.AB≠BA (без комуник.)

7.A(BC)=(AB)C (асоциативно) – изпълнява се, ако деф. Извършват се матрични продукти.

8.A(B+C)=AB+AC (разпределителен)

(B+C)A=BA+CA (разпределителен)

9.a(AB)=(aA)B=(aB)A

Детерминанта на квадратна матрица - определение и нейните свойства. Разлагане на детерминантата по редове и колони. Методи за изчисляване на детерминанти.

Ако матрицата A има ред m>1, тогава детерминантата на тази матрица е число.

Алгебричното допълнение Aij на елемента aij от матрица A е второстепенното Mij, умножено по числото

ТЕОРЕМА1: Детерминантата на матрицата А е равна на сумата от произведенията на всички елементи на произволен ред (колона) и техните алгебрични допълнения.

Основни свойства на детерминантите.

1. Детерминантата на матрица няма да се промени, когато се транспонира.

2. При пермутиране на два реда (колони) детерминантата променя знака, но абсолютната му стойност не се променя.

3. Детерминантата на матрица, която има два еднакви реда (колони) е 0.

4. При умножаване на ред (колона) на матрица с число нейният детерминант се умножава по това число.

5. Ако един от редовете (колоните) на матрицата се състои от 0, тогава детерминантата на тази матрица е 0.

6. Ако всички елементи на i-тия ред (колона) на матрица са представени като сума от два члена, то нейният детерминант може да бъде представен като сума от детерминанти на две матрици.

7. Детерминантата няма да се промени, ако съответно елементите на една колона (ред) се добавят към елементите на друга колона (ред) чрез предварително умножение. за същия номер.

8. Сумата от произволни елементи на всяка колона (ред) от детерминанта към съответното алгебрично допълнение на елементи от друга колона (ред) е 0.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27">

Методи за изчисляване на детерминантата:

1. По дефиниция или теорема 1.

2. Намаляване до триъгълна форма.

Определение и свойства на обратната матрица. Изчисляване на обратната матрица. Матрични уравнения.

Определение: Квадратна матрица от ред n се нарича обратна на матрица А от същия ред и се означава

За да има матрица A обратна матрица, е необходимо и достатъчно детерминантата на матрицата A да е различна от 0.

Свойства на обратната матрица:

1. Уникалност: за дадена матрица A нейната обратна е уникална.

2. матрична детерминанта

3. Операцията на вземане на транспониране и вземане на обратната матрица.

Матрични уравнения:

Нека A и B са две квадратни матрици от един и същи ред.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src=">

Концепцията за линейна зависимост и независимост на колоните на матрицата. Свойства на линейна зависимост и линейна независимост на колонната система.

Колони А1,А2…An се наричат ​​линейно зависими, ако има нетривиална линейна комбинация от тях, равна на 0-та колона.

Колони А1,А2…An се наричат ​​линейно независими, ако има нетривиална линейна комбинация от тях, равна на 0-та колона.

Линейна комбинация се нарича тривиална, ако всички коефициенти С(l) са равни на 0 и нетривиална в противен случай.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24">

2. За да бъдат колоните линейно зависими е необходимо и достатъчно дадена колона да е линейна комбинация от други колони.

Нека 1 от колоните https://pandia.ru/text/78/365/images/image014_42.gif" width="13" height="23 src="> е линейна комбинация от други колони.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" height="24"> са линейно зависими, тогава всички колони са линейно зависими.

4. Ако една система от колони е линейно независима, то всяка нейна подсистема също е линейно независима.

(Всичко, което се казва за колоните, е вярно и за редовете).

Matrix minors. Основни второстепенни. Ранг на матрицата. Методът на периферни второстепенни за изчисляване на ранга на матрица.

Малкият ред на матрица A е детерминантата, чиито елементи са разположени в пресечната точка на k-редове и k-редове на матрица A.

Ако всички минори от порядък k на матрицата A = 0, тогава всеки минор от порядък k + 1 също е равен на 0.

Основен минор.

Рангът на матрица A е порядъкът на нейния базисен минор.

Методът на граничещи второстепенни: - Избираме ненулев елемент от матрицата A (Ако такъв елемент не съществува, тогава рангът на A = 0)

Ограждаме предишния минор от 1-ви ред с минор от 2-ри ред. (Ако този минор не е равен на 0, тогава рангът >=2) Ако рангът на този минор е =0, тогава граничим избрания минор от 1-ви ред с други минори от 2-ри ред. (Ако всички второстепенни от 2-ри ред = 0, тогава рангът на матрицата = 1).

Ранг на матрицата. Методи за намиране на ранг на матрица.

Рангът на матрица A е порядъкът на нейния базисен минор.

Методи за изчисление:

1) Методът за ограждане на минори: -Изберете ненулев елемент от матрицата A (ако няма такъв елемент, тогава ранг = 0) - Ограничете предишния минор от 1-ви ред с минор от 2-ри ред..gif" width= "40" височина="22" >r+1 Mr+1=0.

2) Привеждане на матрица в стъпаловидна форма: този метод се основава на елементарни трансформации. При елементарни трансформации рангът на матрицата не се променя.

Следните трансформации се наричат ​​елементарни трансформации:

Пермутация на два реда (колони).

Умножение на всички елементи на дадена колона (ред) с число, различно от 0.

Добавяне към всички елементи на дадена колона (ред) на елементи от друга колона (ред), предварително умножени по същото число.

Основна малка теорема. Необходимо и достатъчно условие детерминантата да е равна на нула.

Базисният минор на матрицата A е минорът от най-големия k-ти ред, различен от 0.

Основна малка теорема:

Основните редове (колони) са линейно независими. Всеки ред (колона) на матрица A е линейна комбинация от основни редове (колони).

Бележки: Редове и колони, в пресечната точка на които има основен минор, се наричат ​​съответно основни редове и колони.

a11 a12… a1r a1j

a21 a22….a2r a2j

a31 a32….a3r a3j

ar1 ar2 ….arr arj

ak1 ak2…..akr akj

Необходими и достатъчни условия детерминантата да е равна на нула:

За да е детерминантата от n-ти ред = 0, е необходимо и достатъчно нейните редове (колони) да са линейно зависими.

Системи линейни уравнения, тяхната класификация и форми на запис. Правилото на Крамър.

Да разгледаме система от 3 линейни уравнения с три неизвестни:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="(!LANG:l14image048" width="64" height="38 id=">!}

се нарича детерминанта на системата.

Съставяме още три детерминанти, както следва: заместваме последователно 1, 2 и 3 колони в детерминанта D с колона от свободни членове

https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="(!LANG:l14image052" width="93" height="22 id=">!}

Доказателство. И така, разгледайте система от 3 уравнения с три неизвестни. Умножаваме първото уравнение на системата по алгебричното допълнение A11 на елемента a11, второто уравнение по A21 и 3-тото по A31:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="(!LANG:l14image056" width="247" height="31 id=">!}

Разгледайте всяка от скобите и дясната страна на това уравнение. По теоремата за разширяването на детерминантата по елементите на 1-ва колона

https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="(!LANG:l14image060" width="324" height="42 id=">!}

По същия начин може да се покаже, че и .

И накрая, лесно е да се види това

Така получаваме равенството: .

Следователно,.

Равенствата и се извеждат аналогично, откъдето следва твърдението на теоремата.

Системи линейни уравнения. Условие за съвместимост на линейни уравнения. Теоремата на Кронекер-Капели.

Решението на система от алгебрични уравнения е такъв набор от n числа C1,C2,C3……Cn, който, когато се замести в оригиналната система на мястото на x1,x2,x3…..xn, превръща всички уравнения на системата в идентичности.

Система от линейни алгебрични уравнения се нарича последователна, ако има поне едно решение.

Съвместната система се нарича определена, ако има единствено решение, и неопределена, ако има безкрайно много решения.

Условия за съвместимост на системи от линейни алгебрични уравнения.

a11 a12 ……a1n x1 b1

a21 a22 ……a2n x2 b2

……………….. .. = ..

am1 am2…..amn xn bn

ТЕОРЕМА: За да бъде последователна система от m линейни уравнения с n неизвестни, е необходимо и достатъчно рангът на разширената матрица да бъде равен на ранга на матрица A.

Забележка: Тази теорема дава само критерии за съществуване на решение, но не посочва начин за намиране на решение.

10 въпрос.

Системи линейни уравнения. Базисният минорен метод е общ метод за намиране на всички решения на системи от линейни уравнения.

A=a21 a22…..a2n

Основен второстепенен метод:

Нека системата е съвместима и RgA=RgA’=r. Нека основният минор е нарисуван в горния ляв ъгъл на матрицата A.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="23" height="23 src= ">…...gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="46" height="23 src=">-…..-a

d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n)

… = …………..

Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n)

https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src=">

Забележки: Ако рангът на главната и разглежданата матрица е равен на r=n, то в този случай dj=bj и системата има уникално решение.

Хомогенни системи линейни уравнения.

Система от линейни алгебрични уравнения се нарича хомогенна, ако всички нейни свободни членове са равни на нула.

AX=0 е хомогенна система.

AX = B е нехомогенна система.

Хомогенните системи винаги са последователни.

X1 =x2 =..=xn =0

Теорема 1.

Хомогенните системи имат нехомогенни решения, когато рангът на системната матрица е по-малък от броя на неизвестните.

Теорема 2.

Хомогенна система от n-линейни уравнения с n-неизвестни има ненулево решение, когато детерминантата на матрицата A е равна на нула. (detA=0)

Свойства на разтворите на хомогенни системи.

Всяка линейна комбинация от решение на хомогенна система сама по себе си е решение на тази система.

α1C1 +α2C2; α1 и α2 са някои числа.

A(α1C1 + α2C2) = A(α1C1) + A(α2C2) = α1(A C1) + α2(AC2) = 0, т.е. k (A C1) = 0; (AC2) = 0

За нехомогенна система това свойство не е валидно.

Фундаментална система за вземане на решения.

Теорема 3.

Ако рангът на матрична система на уравнение с n-неизвестни е r, тогава тази система има n-r линейно независими решения.

Нека базисният минор е в горния ляв ъгъл. Ако r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr

C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1.0..0)

C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы.

……………………..

Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1)

Система от n-r линейно независими решения на хомогенна система от линейни уравнения с n-неизвестни от ранг r се нарича фундаментална система от решения.

Теорема 4.

Всяко решение на система от линейни уравнения е линейна комбинация от решение на фундаменталната система.

С = α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r

Ако r

12 въпрос.

Общо решение на нееднородна система.

Сън (ген. неравномерен) \u003d COO + SCH (частен)

AX=B (хетерогенна система); AX=0

(ASoo) + ASch = ASch = B, защото (ASoo) = 0

Сън \u003d α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r + Mid

Метод на Гаус.

Това е метод за последователно елиминиране на неизвестни (променливи) - той се състои в това, че с помощта на елементарни трансформации първоначалната система от уравнения се редуцира до еквивалентна система от поетапна форма, от която всички останали променливи се намират последователно , започвайки от последните променливи.

Нека a≠0 (ако това не е така, тогава това се постига чрез пренареждане на уравненията).

1) изключваме променливата x1 от второто, третото ... n-то уравнение, като умножаваме първото уравнение с подходящи числа и добавяме получените резултати към 2-ро, 3-то ... n-то уравнение, след което получаваме:

Получаваме система, еквивалентна на оригиналната.

2) изключете променливата x2

3) изключваме променливата x3 и т.н.

Продължавайки процеса на последователно елиминиране на променливите x4;x5...xr-1 получаваме за (r-1)-та стъпка.

Числото нула на последното n-r в уравненията означава, че лявата им страна изглежда така: 0x1 +0x2+..+0xn

Ако поне едно от числата вr+1, вr+2… не е равно на нула, то съответното равенство е несъстоятелно и системата (1) не е съгласувана. По този начин, за всяка последователна система, това vr+1 … vm е равно на нула.

Последните n-r уравнения в системата (1;r-1) са идентичности и могат да бъдат игнорирани.

Възможни са два случая:

а) броят на уравненията на системата (1; r-1) е равен на броя на неизвестните, т.е. r \u003d n (в този случай системата има триъгълна форма).

b)r

Преходът от система (1) към еквивалентна система (1; r-1) се нарича директно движение на метода на Гаус.

За намиране на променлива от системата (1; r-1) - по обратния ход на метода на Гаус.

Трансформациите на Гаус се извършват удобно, като се изпълняват не с уравнения, а с разширена матрица на техните коефициенти.

13 въпрос.

подобни матрици.

Ще разглеждаме само квадратни матрици от ред n/

За матрица A се казва, че е подобна на матрица B (A~B), ако съществува неособена матрица S, така че A=S-1BS.

Свойства на подобни матрици.

1) Матрица А е подобна на себе си. (A~A)

Ако S=E, тогава EAE=E-1AE=A

2) Ако A~B, тогава B~A

Ако A=S-1BS => SAS-1= (SS-1)B(SS-1)=B

3) Ако A~B и в същото време B~C, тогава A~C

Като се има предвид, че A=S1-1BS1 и B=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, където S3 = S2S1

4) Детерминантите на подобни матрици са равни.

Като се има предвид, че A~B, е необходимо да се докаже, че detA=detB.

A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (намаляване) = detB.

5) Ранговете на подобни матрици са еднакви.

Собствени вектори и собствени стойности на матрици.

Числото λ се нарича собствена стойност на матрицата A, ако има ненулев вектор X (колона на матрицата), такъв че AX = λ X, векторът X се нарича собствен вектор на матрицата A, а множеството от всички собствени стойности ​се нарича спектър на матрицата A.

Свойства на собствените вектори.

1) Когато умножаваме собствен вектор по число, получаваме собствен вектор със същата собствена стойност.

AX \u003d λ X; Х≠0

α X => A (α X) \u003d α (AX) \u003d α (λ X) = \u003d λ (α X)

2) Собствените вектори с по двойки различни собствени стойности са линейно независими λ1, λ2,.. λk.

Нека системата се състои от 1-ви вектор, нека направим индуктивна стъпка:

C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn = 0 (1) - умножете по A.

C1 AX1 + C2 AX2 + .. + Cn AXn \u003d 0

С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn = 0

Умножете по λn+1 и извадете

C1 X1 +C2 X2 + .. +Cn Xn+ Cn+1 Xn+1 = 0

С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0

Необходимо е C1 \u003d C2 \u003d ... \u003d Cn \u003d 0

Cn+1 Xn+1 λn+1 =0

Характеристично уравнение.

A-λE се нарича характеристична матрица за матрица A.

За да бъде ненулев вектор X собствен вектор на матрицата A, съответстващ на собствената стойност λ, е необходимо той да бъде решение на хомогенна система от линейни алгебрични уравнения (A - λE)X = 0

Системата има нетривиално решение, когато det (A - XE) = 0 - това е характеристично уравнение.

Изявление!

Характеристичните уравнения на подобни матрици съвпадат.

det(S-1AS - λЕ) = det(S-1AS - λ S-1ЕS) = det(S-1 (A - λЕ)S) = det S-1 det(A - λЕ) detS= det(A - λЕ)

Характеристичен полином.

det(A – λЕ) - функция по отношение на параметъра λ

det(A – λЕ) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA

Този полином се нарича характерен полином на матрицата A.

Последица:

1) Ако матриците са A~B, тогава сборът на техните диагонални елементи е еднакъв.

a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn

2) Наборът от собствени стойности на подобни матрици съвпадат.

Ако характеристичните уравнения на матриците са еднакви, тогава те не са непременно подобни.

За матрица А

За матрица Б

https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38">

Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0

За да бъде диагонализирана матрица A от порядък n, е необходимо да съществуват линейно независими собствени вектори на матрицата A.

Последица.

Ако всички собствени стойности на матрицата A са различни, тогава тя е диагонализирана.

Алгоритъм за намиране на собствени вектори и собствени стойности.

1) съставете характеристичното уравнение

2) намерете корените на уравненията

3) съставете система от уравнения за определяне на собствения вектор.

λi (A-λi E)X = 0

4) намерете основната система от решения

x1,x2..xn-r, където r е рангът на характеристичната матрица.

r = Rg(A - λi E)

5) собствен вектор, собствените стойности λi се записват като:

X \u003d C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn-r Xn-r, където C12 + C22 + ... C2n ≠0

6) проверяваме дали матрицата може да бъде приведена до диагонална форма.

7) намерете Ag

Ag = S-1AS S=

15 въпрос.

Основа на права, равнина, пространство.

DIV_ADBLOCK410">

Модулът на вектора е неговата дължина, т.е. разстоянието между A и B (││, ││). Модулът на вектор е равен на нула, когато този вектор е нула (│ō│=0)

4. Орт вектор.

Ортът на даден вектор е вектор, който има същата посока като дадения вектор и има модул, равен на единица.

Еднаквите вектори имат равни ортове.

5. Ъгъл между два вектора.

Това е по-малката част от областта, ограничена от два лъча, излизащи от една и съща точка и насочени в същата посока като дадените вектори.

Добавяне на вектори. Умножение на вектор по число.

1) Събиране на два вектора

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │

2) Умножение на вектор със скалар.

Произведението на вектор и скалар е нов вектор, който има:

a) = произведения на модула на умножения вектор по абсолютната стойност на скалара.

б) посоката е същата като на умножения вектор, ако скаларът е положителен, и противоположна, ако скаларът е отрицателен.

λ a(вектор)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │

Свойства на линейните операции върху вектори.

1. Законът за общността.

2. Законът за асоциативността.

3. Събиране с нула.

a(вектор)+ō= a(вектор)

4. Събиране с противоположно.

5. (αβ) = α(β) = β(α)

6;7 Закон за дистрибутивността.

Изразяване на вектор чрез неговия модул и единичен вектор.

Максималният брой линейно независими вектори се нарича базис.

Базис върху права е всеки ненулев вектор.

Базис на равнината са всеки два некаленарни вектора.

Базис в пространството е система от всеки три некомпланарни вектора.

Коефициентът на разширение на вектор в някакъв базис се нарича компонентите или координатите на вектора в дадения базис.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image075_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> извършете събиране и умножение със скалар, след това като резултат произволен брой такива действия, които получаваме:

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> се наричат ​​линейно зависими, ако има нетривиална линейна комбинация от тях, равна на ō.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> се наричат ​​линейно независими, ако няма нетривиална линейна комбинация от тях.

Свойства на линейно зависими и независими вектори:

1) системата от вектори, съдържаща нулевия вектор, е линейно зависима.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> са линейно зависими, някои вектори трябва да бъдат линейна комбинация от други вектори.

3) ако някои от векторите от системата a1 (вектор), a2 (вектор) ... ak (вектор) са линейно зависими, то всички вектори са линейно зависими.

4) ако всички вектори https://pandia.ru/text/78/365/images/image076_9.gif" height="11 src=">.gif" width="75" height="11">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">)

Линейни операции в координати.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> .gif" height="11 src=">+ (λа3)DIV_ADBLOCK413">

Скаларното произведение на 2 вектора е число, равно на произведението на векторите и косинуса на ъгъла между тях.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image090_8.gif" width="48" height="13">

3. (a;b)=0 тогава и само ако векторите са ортогонални или някой от векторите е равен на 0.

4. Дистрибутивност (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c)

5. Изразяване на скаларното произведение на a и b чрез техните координати

https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src=">

Когато условието (), h, l=1,2,3

https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> и се извиква третият вектор, който отговаря на следните уравнения:

3. - надясно

Свойства на векторния продукт:

4. Векторно произведение на координатни вектори

ортонормална основа.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src=">

Често 3 символа се използват за обозначаване на ортите на ортонормална основа

https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src=">

Ако е ортонормална основа, тогава

DIV_ADBLOCK414">

Права на равнина. Взаимно разположение на 2 прави линии. Разстоянието от точка до права линия. Ъгъл между две прави. Условие за успоредност и перпендикулярност на 2 прави.

1. Частен случай на разположение на 2 прави в равнина.

1) - уравнението на права успоредна ос OX

2) - уравнението на права линия, успоредна на оста OS

2. Взаимно разположение на 2 прави линии.

Теорема 1 Нека уравненията на правите са дадени по отношение на афинната координатна система

А) Тогава необходимото и достатъчно условие при пресичането им е:

Б) Тогава необходимото и достатъчно условие за това, че правите са успоредни е условието:

Б) Тогава необходимо и достатъчно условие за сливането на редовете в едно е условието:

3. Разстояние от точка до права.

Теорема. Разстояние от точка до права спрямо декартовата координатна система:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src=">

4. Ъгъл между две прави. Перпендикулярно състояние.

Нека 2 прави линии са дадени по отношение на декартовата координатна система чрез общи уравнения.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src=">

Ако , тогава линиите са перпендикулярни.

24 въпрос.

самолет в космоса. Условие за комплонарност за вектор и равнина. Разстоянието от точка до равнина. Условие за успоредност и перпендикулярност на две равнини.

1. Условие за комплонарност за вектор и равнина.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="(!LANG:Untitled4.jpg" width="111" height="39">!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="(!LANG:Untitled5.jpg" width="88" height="57">!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src=">

3. Ъгъл между 2 равнини. Перпендикулярно състояние.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src=">

Ако , тогава равнините са перпендикулярни.

25 въпрос.

Права линия в пространството. Различни видове уравнения на права линия в пространството.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19">

2. Векторно уравнение на права линия в пространството.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src=">

4. Каноничното уравнение е директно.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="(!LANG:Untitled3.jpg" width="56" height="51"> !}

28 въпрос.

Елипса. Извеждане на уравнението на каноничната елипса. Формата. Имоти

Елипса е геометричното място на точките, за които сумата от разстоянията от две фиксирани разстояния, наречени фокуси, е дадено число 2a по-голямо от разстоянието 2c между фокусите.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image195_4.gif" alt="(!LANG:image002" width="17" height="23 id=">.gif" alt="изображение043" width="81 height=44" height="44"> 0=!}

на фиг.2 r1=a+ex r2=a-ex

Ур-е допирателна към елипса

DIV_ADBLOCK417">

Канонично уравнение на хипербола

Форма и Св.

y=±b/a умножете по корена на (x2-a2)

Оста на симетрия на хипербола е нейните оси

Сегмент 2а - реалната ос на хиперболата

Ексцентричност e=2c/2a=c/a

Ако b=a получаваме равнобедрена хипербола

Асимптотата е права линия, ако при неограничено отстраняване на точката M1 по кривата разстоянието от точката до правата линия клони към нула.

lim d=0 за x-> ∞

d=ba2/(x1+(x21-a2)1/2/c)

тангенс на хипербола

xx0/a2 - yy0/b2 = 1

парабола - геометричното място на точките, еднакво отдалечени от точка, наречена фокус, и дадена права, наречена директриса

Уравнение на канонична парабола

Имоти

оста на симетрия на параболата минава през нейния фокус и е перпендикулярна на директрисата

ако завъртите параболата, получавате елипсовиден параболоид

всички параболи са подобни

Въпрос 30. Изследване на уравнението на общата форма на крива от втори ред.

Деф. тип крива с водещи членове A1, B1, C1

A1x12+2Bx1y1+C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0

1. AC=0 ->крива от параболичен тип

A=C=0 => 2Dx+2Ey+F=0

A≠0 C=0 => Ax2+2Dx+2Ey+F=0

Ако E=0 => Ax2+2Dx+F=0

тогава x1=x2 - се слива в едно

x1≠x2 - правите са успоредни Oy

x1≠x2 и въображаеми корени, няма геометричен образ

C≠0 A=0 =>C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0

Заключение: параболичната крива е или парабола, или 2 успоредни линии, или въображаема, или се сливат в една.

2.AC>0 -> крива от елиптичен тип

Допълвайки оригиналното уравнение до пълния квадрат, трансформираме го в каноничното, след което получаваме случаите

(x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=1 - елипса

(x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=-1 - въображаема елипса

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 - точка с координата x0 y0

Заключение: крива ел. типът е или елипса, или въображаема, или точка

3. AC<0 - кривая гиперболического типа

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=1 хипербола, реалната ос е успоредна

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=-1 хипербола, реална ос, успоредна на Oy

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 ur-e от две линии

Заключение: крива от хиперболичен тип е или хипербола, или две прави линии

Матриците в математиката са един от най-важните обекти с приложно значение. Често една екскурзия в теорията на матриците започва с думите: "Матрицата е правоъгълна маса ...". Ще започнем тази екскурзия от малко по-различен ъгъл.

Телефонните указатели с всякакъв размер и с произволен брой абонатни данни не са нищо друго освен матрици. Тези матрици изглеждат така:

Ясно е, че всички ние използваме такива матрици почти всеки ден. Тези матрици се предлагат в различен брой редове (разграничават се като указател, издаден от телефонната компания, който може да съдържа хиляди, стотици хиляди и дори милиони редове, и нов бележник, който току-що сте започнали, който има по-малко от десет реда) и колони (директория на длъжностни лица на някаква организация, в която може да има колони като длъжност и номер на офис и същият вашия бележник, където може да няма други данни освен името, и по този начин има само две колони - име и телефонен номер).

Могат да се добавят и умножават всякакви матрици и да се извършват други операции върху тях, но няма нужда да добавяте и умножавате телефонни указатели, няма полза от това, а освен това можете да раздвижите ума си.

Но много матрици могат и трябва да се добавят и умножават и по този начин могат да се решават различни спешни задачи. По-долу са дадени примери за такива матрици.

Матрици, в които колоните са продукцията на единици от определен вид продукт, а редовете са годините, в които е записана продукцията на този продукт:

Можете да добавите матрици от този вид, които отчитат производството на подобни продукти от различни предприятия, за да получите обобщени данни за индустрията.

Или матрици, състоящи се например от една колона, в която редовете са средната цена на определен вид продукт:

Матриците от последните два вида могат да се умножават, като резултатът е редова матрица, съдържаща себестойността на всички видове продукти по години.

Матрици, основни определения

Правоъгълна таблица, състояща се от числа, подредени в млинии и нколони се нарича mn-матрица (или просто матрица ) и написано така:

(1)

В матрица (1) числата се наричат ​​нейни елементи (както в детерминанта, първият индекс означава номера на реда, вторият - колоната, в пресечната точка на която има елемент; аз = 1, 2, ..., м; й = 1, 2, н).

Матрицата се нарича правоъгълен , ако .

Ако м = н, тогава се извиква матрицата квадрат , а числото n е неговото в ред .

Детерминантата на квадратната матрица А се нарича детерминантата, чиито елементи са елементите на матрицата А. Означава се със символа | А|.

Квадратната матрица се нарича неспециални (или неизродени , неединствен ), ако неговата детерминанта не е равна на нула, и специален (или изродени , единствено число ), ако неговата детерминанта е нула.

Матриците се наричат равен ако имат еднакъв брой редове и колони и всички съвпадащи елементи са еднакви.

Матрицата се нарича нула ако всички негови елементи са равни на нула. Нулевата матрица ще бъде обозначена със символа 0 или .

Например,

редова матрица (или малка буква ) се нарича 1 н-матрица и колонна матрица (или колонен ) – м 1-матрица.

Матрица А“, който се получава от матрицата Аразмяна на редове и колони в него се извиква транспониран по отношение на матрицата А. По този начин, за матрица (1), транспонираната матрица е

Преход към матрична работа А", транспониран по отношение на матрицата А, се нарича транспониране на матрицата А. За мн-транспонирана матрица е nm- матрица.

Матрицата, транспонирана по отношение на матрицата, е А, това е

(А")" = А .

Пример 1Намерете Матрицата А", транспониран по отношение на матрицата

и разберете дали детерминантите на оригиналната и транспонираната матрици са равни.

главен диагонал Квадратната матрица е въображаема линия, свързваща нейните елементи, за които и двата индекса са еднакви. Тези елементи се наричат диагонал .

Нарича се квадратна матрица, в която всички елементи извън главния диагонал са равни на нула диагонал . Не всички диагонални елементи на диагонална матрица непременно са различни от нула. Някои от тях може да са равни на нула.

Квадратна матрица, в която елементите на главния диагонал са равни на едно и също ненулево число, а всички останали са равни на нула, се нарича скаларна матрица .

матрица на идентичността се нарича диагонална матрица, в която всички диагонални елементи са равни на единица. Например матрицата на идентичност от трети ред е матрицата

Пример 2Матрични данни:

Решение. Нека изчислим детерминантите на тези матрици. Използвайки правилото на триъгълниците, намираме

Матрична детерминанта бизчислете по формулата

Лесно го получаваме

Следователно матриците Аи са неединични (неизродени, неединични), и матрицата б- специални (изродени, единични).

Детерминантата на единична матрица от всякакъв ред очевидно е равна на единица.

Решете сами проблема с матрицата и след това вижте решението

Пример 3Матрични данни

,

,

Определете кои от тях са неединични (неизродени, неединични).

Приложение на матриците в математическото и икономическо моделиране

Под формата на матрици структурираните данни за конкретен обект са написани просто и удобно. Матричните модели се създават не само за съхраняване на тези структурирани данни, но и за решаване на различни проблеми с тези данни с помощта на линейна алгебра.

Така добре познатият матричен модел на икономиката е моделът входно-изходен продукт, въведен от американския икономист от руски произход Василий Леонтиев. Този модел се основава на предположението, че целият производствен сектор на икономиката е разделен на нчисти индустрии. Всяка от индустриите произвежда само един вид продукт и различните индустрии произвеждат различни продукти. Поради това разделение на труда между отраслите съществуват междуотраслови отношения, чийто смисъл е, че част от продукцията на всяка индустрия се прехвърля в други отрасли като производствен ресурс.

Обем на производство аз-та индустрия (измерена с конкретна мерна единица), която е произведена през отчетния период, обозначена с и се нарича обща продукция азта индустрия. Изданията са удобно поставени в н-компонентен ред на матрицата.

Брой продуктови единици аз-та индустрия, която ще бъде изразходвана й-ти отрасъл за производство на единица продукция от него, се обозначава и нарича коефициент на преките разходи.