Възможна вероятност. Какво е вероятност

Първоначално, бидейки просто сбор от информация и емпирични наблюдения на играта на зарове, теорията на вероятностите се превърна в солидна наука. Ферма и Паскал са първите, които му дават математическа рамка.

От размисли за вечното до теорията на вероятностите

Двама души, на които теорията на вероятностите дължи много фундаментални формули, Блез Паскал и Томас Байес, са известни като дълбоко религиозни хора, като последният е бил презвитериански свещеник. Очевидно желанието на тези двама учени да докажат погрешността на мнението за определена Фортуна, давайки късмет на нейните фаворити, даде тласък на изследванията в тази област. В края на краищата всъщност всяка хазартна игра, с нейните печалби и загуби, е просто симфония от математически принципи.

Благодарение на вълнението на Chevalier de Mere, който беше еднакво комарджия и човек, който не беше безразличен към науката, Паскал беше принуден да намери начин да изчисли вероятността. Де Мере се интересуваше от този въпрос: „Колко пъти трябва да хвърлите два зара по двойки, така че вероятността да получите 12 точки да надхвърли 50%?“. Вторият въпрос, който изключително много интересуваше господина: „Как да разделим залога между участниците в незавършената игра?“ Разбира се, Паскал успешно отговори и на двата въпроса на дьо Мере, който стана неволен инициатор на развитието на теорията на вероятностите. Интересно е, че личността на дьо Мер остава известна в тази област, а не в литературата.

Преди това нито един математик все още не е направил опит да изчисли вероятностите за събития, тъй като се смяташе, че това е само едно предположение. Блез Паскал даде първото определение на вероятността за събитие и показа, че това е конкретна цифра, която може да бъде математически обоснована. Теорията на вероятностите се е превърнала в основа на статистиката и се използва широко в съвременната наука.

Какво е случайност

Ако разгледаме тест, който може да се повтори безкраен брой пъти, тогава можем да дефинираме случайно събитие. Това е един от възможните резултати от опита.

Опитът е изпълнението на конкретни действия в постоянни условия.

За да може да се работи с резултатите от опита, събитията обикновено се обозначават с буквите A, B, C, D, E ...

Вероятност за случайно събитие

За да може да се премине към математическата част на вероятността, е необходимо да се дефинират всички нейни компоненти.

Вероятността за събитие е числена мярка за възможността за възникване на някакво събитие (A или B) в резултат на преживяване. Вероятността се означава като P(A) или P(B).

Теорията на вероятностите е:

• надежденсъбитието гарантирано ще настъпи в резултат на експеримента Р(Ω) = 1;
• невъзможенсъбитието никога не може да се случи Р(Ø) = 0;
• случаенсъбитието се намира между сигурно и невъзможно, т.е. вероятността за възникването му е възможна, но не е гарантирана (вероятността за случайно събитие винаги е в рамките на 0≤P(A)≤1).

Връзки между събития

И едното, и сумата от събития A + B се разглеждат, когато събитието се брои при изпълнението на поне един от компонентите, A или B, или и двата - A и B.

Във връзка едно с друго събитията могат да бъдат:

• Еднакво възможно.
• съвместим.
• Несъвместим.
• Противоположни (взаимно изключващи се).
• Зависим.

Ако две събития могат да се случат с еднаква вероятност, тогава те еднакво възможно.

Ако настъпването на събитие A не анулира вероятността за настъпване на събитие B, тогава те съвместим.

Ако събития A и B никога не се случват по едно и също време в един и същи експеримент, тогава те се извикват несъвместими. Хвърлянето на монета е добър пример: излизането на опашки автоматично не означава излизане на глави.

Вероятността за сумата от такива несъвместими събития се състои от сумата от вероятностите за всяко от събитията:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Ако настъпването на едно събитие прави невъзможно настъпването на друго, тогава те се наричат ​​противоположни. Тогава единият от тях се обозначава като A, а другият - Ā (чете се като "не A"). Настъпването на събитие A означава, че Ā не е настъпило. Тези две събития образуват пълна група със сума от вероятности, равна на 1.

Зависимите събития имат взаимно влияние, като взаимно намаляват или увеличават вероятността.

Връзки между събития. Примери

Много по-лесно е да разберете принципите на теорията на вероятностите и комбинацията от събития, като използвате примери.

Експериментът, който ще се проведе, е да извадите топките от кутията, като резултатът от всеки експеримент е елементарен резултат.

Събитието е един от възможните резултати от преживяване - червена топка, синя топка, топка с числото шест и т.н.

Тест номер 1. Има 6 топки, три от които са сини с нечетни числа, а другите три са червени с четни числа.

Тест номер 2. Има 6 сини топки с числа от едно до шест.

Въз основа на този пример можем да именуваме комбинации:

• Надеждно събитие.На Испански № 2, събитието "вземете синята топка" е надеждно, тъй като вероятността за възникването му е 1, тъй като всички топки са сини и не може да има пропуск. Докато събитието „вземете топката с номер 1“ е случайно.
• Невъзможно събитие.На Испански № 1 със сини и червени топки, събитието "вземете лилавата топка" е невъзможно, тъй като вероятността за възникването му е 0.
• Еквивалентни събития.На Испански № 1, събитията „вземете топката с номер 2“ и „вземете топката с номер 3“ са еднакво вероятни, както и събитията „вземете топката с четно число“ и „вземете топката с номер 2“ ” имат различни вероятности.
• Съвместими събития.Получаването на шестица в процеса на хвърляне на зар два пъти подред са съвместими събития.
• Несъвместими събития.На същия испански Събития №1 „вземи червената топка“ и „вземи топката с нечетно число“ не могат да се комбинират в едно и също изживяване.
• противоположни събития.Най-яркият пример за това е хвърлянето на монета, където тегленето на глави е същото като нетеглене на опашки и сумата от техните вероятности винаги е 1 (пълна група).
• Зависими събития. И така, на испански № 1, можете да си поставите за цел да извадите червена топка два пъти подред. Извличането му или не извличането му за първи път влияе върху вероятността за извличането му втори път.

Вижда се, че първото събитие значително влияе върху вероятността от второто (40% и 60%).

Формула за вероятност на събитието

Преходът от гадаене към точни данни става чрез прехвърляне на темата в математическата равнина. Това означава, че преценките за случайно събитие като "висока вероятност" или "минимална вероятност" могат да бъдат преведени в конкретни числени данни. Вече е допустимо да се оценява, сравнява и въвежда такъв материал в по-сложни изчисления.

От гледна точка на изчислението дефиницията на вероятността за събитие е съотношението на броя на елементарните положителни резултати към броя на всички възможни резултати от опита по отношение на конкретно събитие. Вероятността се обозначава с P (A), където P означава думата "вероятност", която се превежда от френски като "вероятност".

И така, формулата за вероятността от събитие е:

Където m е броят на благоприятните резултати за събитие А, n е сумата от всички възможни резултати за това преживяване. Вероятността за събитие винаги е между 0 и 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Изчисляване на вероятността от събитие. Пример

Да вземем испански. № 1 с топки, който е описан по-рано: 3 сини топки с номера 1/3/5 и 3 червени топки с номера 2/4/6.

Въз основа на този тест могат да се разгледат няколко различни задачи:

• A - падане на червена топка. Червените топки са 3, а вариантите са общо 6. Това е най-простият пример, при който вероятността за събитие е P(A)=3/6=0,5.
• B - отпадане на четно число. Има общо 3 (2,4,6) четни числа, а общият брой възможни числови опции е 6. Вероятността за това събитие е P(B)=3/6=0,5.
• C - загуба на число, по-голямо от 2. Има 4 такива опции (3,4,5,6) от общия брой възможни резултати 6. Вероятността за събитие C е P(C)=4/6= 0,67.

Както може да се види от изчисленията, събитие C има по-висока вероятност, тъй като броят на възможните положителни резултати е по-висок, отколкото в A и B.

Несъвместими събития

Такива събития не могат да се появят едновременно в едно и също преживяване. Като на испански № 1, невъзможно е да получите синя и червена топка едновременно. Тоест можете да получите или синя, или червена топка. По същия начин четно и нечетно число не могат да се появят в зара едновременно.

Вероятността от две събития се разглежда като вероятността от тяхната сума или продукт. Сумата от такива събития A + B се счита за събитие, което се състои в появата на събитие A или B, а произведението на техните AB - в появата на двете. Например, появата на две шестици наведнъж върху лицата на два зара при едно хвърляне.

Сумата от няколко събития е събитие, което предполага настъпването на поне едно от тях. Продуктът на няколко събития е съвместната поява на всички тях.

В теорията на вероятностите, като правило, използването на съюза "и" означава сумата, съюзът "или" - умножение. Формулите с примери ще ви помогнат да разберете логиката на събирането и умножението в теорията на вероятностите.

Вероятност на сумата от несъвместими събития

Ако се вземе предвид вероятността от несъвместими събития, тогава вероятността от сумата от събития е равна на сумата от техните вероятности:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Например: изчисляваме вероятността на испански. Номер 1 със синя и червена топка ще пусне число между 1 и 4. Ще смятаме не с едно действие, а чрез сумата от вероятностите на елементарните компоненти. И така, в такъв експеримент има само 6 топки или 6 от всички възможни изхода. Числата, които отговарят на условието, са 2 и 3. Вероятността да се получи числото 2 е 1/6, вероятността за числото 3 също е 1/6. Вероятността да получите число между 1 и 4 е:

Вероятността за сумата от несъвместими събития на пълна група е 1.

Така че, ако в експеримента с куб съберем вероятностите да получим всички числа, тогава в резултат ще получим едно.

Това важи и за противоположни събития, например в експеримента с монета, където едната й страна е събитието А, а другата е противоположното събитие Ā, както е известно,

Р(А) + Р(Ā) = 1

Вероятност за създаване на несъвместими събития

Умножението на вероятностите се използва, когато се разглежда появата на две или повече несъвместими събития в едно наблюдение. Вероятността събитията A и B да се появят в него едновременно е равна на произведението на техните вероятности или:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Например вероятността в № 1 в резултат на два опита ще се появи синя топка два пъти, равна на

Тоест, вероятността да се случи събитие, когато в резултат на два опита с изваждане на топки ще бъдат извлечени само сини топки, е 25%. Много е лесно да се направят практически експерименти по този проблем и да се види дали това наистина е така.

Съвместни събития

Събитията се считат за съвместни, когато появата на едно от тях може да съвпадне с появата на другото. Въпреки факта, че са съвместни, се взема предвид вероятността от независими събития. Например хвърлянето на два зара може да даде резултат, когато и на двата се падне числото 6. Въпреки че събитията съвпадат и се появяват по едно и също време, те са независими едно от друго – може да падне само една шестица, вторият зар няма влияние върху него.

Вероятността от съвместни събития се разглежда като вероятността от тяхната сума.

Вероятността на сумата от съвместни събития. Пример

Вероятността от сумата от събития А и Б, които са съвместни едно спрямо друго, е равна на сумата от вероятностите на събитието минус вероятността от техния продукт (т.е. съвместното им изпълнение):

R става. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Да приемем, че вероятността за попадение в целта с един изстрел е 0,4. След това събитие А - попадение в целта от първия опит, Б - от втория. Тези събития са съвместни, тъй като е възможно да се уцели целта както от първия, така и от втория изстрел. Но събитията не са зависими. Каква е вероятността за поразяване на целта с два изстрела (поне един)? Според формулата:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Отговорът на въпроса е: "Вероятността за попадение в целта с два изстрела е 64%."

Тази формула за вероятността от събитие може да се приложи и към несъвместими събития, където вероятността за съвместно възникване на събитие P(AB) = 0. Това означава, че вероятността от сумата от несъвместими събития може да се счита за специален случай от предложената формула.

Геометрия на вероятностите за яснота

Интересното е, че вероятността от сумата от съвместни събития може да бъде представена като две области A и B, които се пресичат една с друга. Както можете да видите от снимката, площта на тяхното обединение е равна на общата площ минус площта на тяхното пресичане. Това геометрично обяснение прави привидно нелогичната формула по-разбираема. Имайте предвид, че геометричните решения не са необичайни в теорията на вероятностите.

Дефиницията на вероятността за сумата от набор (повече от две) съвместни събития е доста тромава. За да го изчислите, трябва да използвате формулите, предоставени за тези случаи.

Зависими събития

Зависими събития се наричат, ако появата на едно (A) от тях влияе върху вероятността за възникване на другото (B). Освен това се отчита влиянието както на настъпването на събитие А, така и на неговото ненастъпване. Въпреки че събитията се наричат ​​зависими по дефиниция, само едно от тях е зависимо (B). Обичайната вероятност се обозначава като P(B) или вероятността от независими събития. При зависимите се въвежда ново понятие - условната вероятност P A (B), която е вероятността за зависимото събитие B при условие, че е настъпило събитието A (хипотеза), от което то зависи.

Но събитие А също е случайно, така че също има вероятност, която трябва и може да бъде взета предвид при изчисленията. Следващият пример ще покаже как да работите със зависими събития и хипотеза.

Пример за изчисляване на вероятността от зависими събития

Добър пример за изчисляване на зависими събития е стандартно тесте карти.

На примера на тесте от 36 карти, разгледайте зависимите събития. Необходимо е да се определи вероятността втората изтеглена карта от тестето да бъде каро, ако първата изтеглена карта е:

1. тамбура.
2. Друг костюм.

Очевидно вероятността за второто събитие B зависи от първото A. Така че, ако първата опция е вярна, което е 1 карта (35) и 1 каро (8) по-малко в тестето, вероятността за събитие B:

P A (B) \u003d 8 / 35 \u003d 0,23

Ако втората опция е вярна, тогава има 35 карти в колодата и общият брой тамбури (9) все още е запазен, тогава вероятността за следното събитие е B:

P A (B) \u003d 9/35 \u003d 0,26.

Може да се види, че ако събитие А зависи от факта, че първата карта е каро, тогава вероятността за събитие Б намалява и обратно.

Умножение на зависими събития

Въз основа на предходната глава приемаме първото събитие (А) за факт, но по същество то има случаен характер. Вероятността за това събитие, а именно извличането на тамбурина от тесте карти, е равна на:

P(A) = 9/36=1/4

Тъй като теорията не съществува сама по себе си, а е призована да служи на практически цели, справедливо е да се отбележи, че най-често е необходима вероятността за създаване на зависими събития.

Съгласно теоремата за произведението на вероятностите от зависими събития, вероятността за възникване на съвместно зависими събития A и B е равна на вероятността за едно събитие A, умножена по условната вероятност за събитие B (в зависимост от A):

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

След това в примера с тесте, вероятността да изтеглите две карти с цвят каро е:

9/36*8/35=0,0571 или 5,7%

И вероятността първо да се извлекат не диаманти, а след това диаманти, е равна на:

27/36*9/35=0,19 или 19%

Може да се види, че вероятността за настъпване на събитие B е по-голяма, при условие че първо се изтегли карта от цвят, различен от каро. Този резултат е съвсем логичен и разбираем.

Обща вероятност за събитие

Когато проблем с условни вероятности стане многостранен, той не може да бъде изчислен с конвенционални методи. Когато има повече от две хипотези, а именно A1, A2, ..., A n , .. образува пълна група от събития при условието:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

И така, формулата за общата вероятност за събитие B с пълна група от случайни събития A1, A2, ..., A n е:

Поглед в бъдещето

Вероятността за случайно събитие е от съществено значение в много области на науката: иконометрия, статистика, физика и др. Тъй като някои процеси не могат да бъдат описани детерминистично, тъй като те самите са вероятностни, са необходими специални методи на работа. Вероятността на теорията на събитието може да се използва във всяка технологична област като начин за определяне на възможността за грешка или неизправност.

Може да се каже, че разпознавайки вероятността, ние по някакъв начин правим теоретична крачка в бъдещето, разглеждайки го през призмата на формулите.

Ясно е, че всяко събитие има някаква степен на възможност за настъпване (за осъществяване). За да се сравнят количествено събитията едно с друго според тяхната степен на възможност, очевидно е необходимо да се свърже определено число с всяко събитие, което е толкова по-голямо, колкото по-вероятно е събитието. Това число се нарича вероятност на събитието.

Вероятност на събитието- е числена мярка за степента на обективна възможност за настъпване на това събитие.

Помислете за стохастичен експеримент и случайно събитие А, наблюдавано в този експеримент. Нека повторим този експеримент n пъти и нека m(A) е броят експерименти, в които се е случило събитие А.

Отношение (1.1)

Наречен относителна честотасъбитие А в поредицата от експерименти.

Лесно е да проверите валидността на свойствата:

ако A и B са несъвместими (AB= ), тогава ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)

Относителната честота се определя само след серия от експерименти и, най-общо казано, може да варира от серия на серия. Опитът обаче показва, че в много случаи, с увеличаване на броя на експериментите, относителната честота се доближава до определен брой. Този факт на стабилността на относителната честота е многократно проверен и може да се счита за експериментално установен.

Пример 1.19.. Ако хвърлите една монета, никой не може да предвиди на коя страна ще падне. Но ако хвърлите два тона монети, тогава всеки ще каже, че около един тон ще падне нагоре като герб, тоест относителната честота на падане на герба е приблизително 0,5.

Ако с нарастването на броя на експериментите относителната честота на събитието ν(A) клони към някакво фиксирано число, тогава казваме, че събитие А е статистически стабилнои това число се нарича вероятност за събитие А.

Вероятност за събитие НОнарича се някакво фиксирано число P(A), към което относителната честота ν(A) на това събитие клони с увеличаване на броя на експериментите, т.е.

Това определение се нарича статистическа дефиниция на вероятността .

Помислете за някакъв стохастичен експеримент и нека пространството на неговите елементарни събития се състои от краен или безкраен (но изброим) набор от елементарни събития ω 1 , ω 2 , …, ω i , … . да предположим, че на всяко елементарно събитие ω i е присвоено определено число - р i , което характеризира степента на възможност за възникване на това елементарно събитие и удовлетворява следните свойства:

Такова число p i се нарича вероятност за елементарно събитиеω i .

Нека сега А е случайно събитие, наблюдавано в този експеримент, и определен набор съответства на него

В такава обстановка вероятност за събитие НО се нарича сбор от вероятностите за елементарни събития, благоприятстващи A(включени в съответния комплект А):

(1.4)

Вероятността, въведена по този начин, има същите свойства като относителната честота, а именно:

И ако AB \u003d (A и B са несъвместими),

тогава P(A+B) = P(A) + P(B)

Действително, съгласно (1.4)

В последното отношение се възползвахме от факта, че никое елементарно събитие не може да благоприятства едновременно две несъвместими събития.

Специално отбелязваме, че теорията на вероятностите не посочва методи за определяне на p i , те трябва да се търсят от практически съображения или да се получат от подходящ статистически експеримент.

Като пример, разгледайте класическата схема на теорията на вероятностите. За да направите това, разгледайте стохастичен експеримент, чието пространство от елементарни събития се състои от краен (n) брой елементи. Нека допълнително приемем, че всички тези елементарни събития са еднакво вероятни, т.е. вероятностите за елементарни събития са p(ω i)=p i =p. Оттук следва, че

Пример 1.20. При хвърляне на симетрична монета, гербът и опашката са еднакво възможни, техните вероятности са 0,5.

Пример 1.21. Когато се хвърли симетричен зар, всички лица са еднакво вероятни, техните вероятности са 1/6.

Нека сега събитие А се предпочита от m елементарни събития, те обикновено се наричат резултати в полза на събитие А. Тогава

Има класическо определение на вероятността: вероятността P(A) за събитие А е равна на съотношението на броя на резултатите, благоприятстващи събитие А, към общия брой резултати

Пример 1.22. Една урна съдържа m бели топки и n черни. Каква е вероятността да изтеглите бяла топка?

Решение. Има общо m+n елементарни събития. Всички те са еднакво невероятни. Благоприятно събитие A от тях m. Следователно, .

Следните свойства следват от определението за вероятност:

Имот 1. Вероятността за определено събитие е равна на единица.

Наистина, ако събитието е надеждно, тогава всеки елементарен резултат от теста е в полза на събитието. В такъв случай m=p,Следователно,

P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)

Имот 2. Вероятността за невъзможно събитие е нула.

Наистина, ако събитието е невъзможно, тогава нито един от елементарните резултати от опита не благоприятства събитието. В такъв случай T= 0, следователно, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

Имот 3.Вероятността за случайно събитие е положително число между нула и едно.

Наистина, само част от общия брой елементарни резултати на теста благоприятства случайно събитие. Тоест 0≤m≤n, което означава 0≤m/n≤1, следователно вероятността за всяко събитие удовлетворява двойното неравенство 0≤ P(A) ≤1. (1.8)

Сравнявайки дефинициите на вероятност (1.5) и относителна честота (1.1), заключаваме: дефиницията на вероятност не изисква извършване на тестовев действителност; дефиницията на относителната честота предполага, че действително са проведени тестове. С други думи, вероятността се изчислява преди опита, а относителната честота - след опита.

Изчисляването на вероятността обаче изисква предварителна информация за броя или вероятностите на елементарните резултати, благоприятстващи дадено събитие. При липса на такава предварителна информация се използват емпирични данни за определяне на вероятността, т.е. относителната честота на събитието се определя от резултатите от стохастичен експеримент.

Пример 1.23. Отдел за технически контрол открит 3нестандартни части в партида от 80 произволно избрани части. Относителна честота на поява на нестандартни части r (A)= 3/80.

Пример 1.24. По предназначение.произведени 24 стрелба, като са регистрирани 19 попадения. Относителната честота на попадение в целта. r (A)=19/24.

Дългосрочните наблюдения показват, че ако експериментите се провеждат при едни и същи условия, във всеки от които броят на тестовете е достатъчно голям, тогава относителната честота проявява свойството на стабилност. Този имот е че в различни експерименти относителната честота се променя малко (колкото по-малко, толкова повече тестове се правят), варирайки около определено постоянно число.Оказа се, че това постоянно число може да се приеме като приблизителна стойност на вероятността.

Връзката между относителната честота и вероятността ще бъде описана по-подробно и по-точно по-долу. Сега нека илюстрираме свойството стабилност с примери.

Пример 1.25. Според шведската статистика относителната раждаемост на момичетата през 1935 г. по месеци се характеризира със следните числа (числата са подредени по месеци, като се започне от януари): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

Относителната честота варира около числото 0,481, което може да се приеме като приблизителна стойност за вероятността да имате момичета.

Имайте предвид, че статистиките на различните страни дават приблизително еднаква стойност на относителната честота.

Пример 1.26.Бяха проведени многократни експерименти с хвърляне на монета, в които се отчиташе броят на срещанията на "герба". Резултатите от няколко експеримента са показани в таблицата.

Малко вероятно е много хора да се замислят дали е възможно да се изчислят събития, които са повече или по-малко случайни. С прости думи, реалистично ли е да се знае коя страна на зарчето ще падне следващата. Именно този въпрос зададоха двама велики учени, които поставиха основите на такава наука като теорията на вероятностите, в която вероятността от събитие се изучава доста широко.

Произход

Ако се опитате да дефинирате такова понятие като теория на вероятностите, ще получите следното: това е един от клоновете на математиката, който изучава постоянството на случайни събития. Разбира се, тази концепция всъщност не разкрива цялата същност, така че е необходимо да я разгледаме по-подробно.

Бих искал да започна със създателите на теорията. Както бе споменато по-горе, имаше двама от тях и именно те бяха сред първите, които се опитаха да изчислят резултата от дадено събитие, използвайки формули и математически изчисления. Като цяло началото на тази наука се появява през Средновековието. По това време различни мислители и учени се опитаха да анализират хазарта, като рулетка, зарове и т.н., като по този начин установиха модел и процент на изпадане на определено число. Основата е положена през седемнадесети век от гореспоменатите учени.

Първоначално работата им не може да се отдаде на големите постижения в тази област, тъй като всичко, което правеха, беше просто емпирични факти, а експериментите бяха направени визуално, без използването на формули. С течение на времето се оказа, че се постигат страхотни резултати, които се появиха в резултат на наблюдение на хвърлянето на зарове. Именно този инструмент помогна да се изведат първите разбираеми формули.

Съмишленици

Невъзможно е да не споменем такъв човек като Кристиан Хюйгенс, в процеса на изучаване на тема, наречена "теория на вероятностите" (вероятността за събитие се разглежда точно в тази наука). Този човек е много интересен. Той, подобно на учените, представени по-горе, се опита да изведе закономерността на случайните събития под формата на математически формули. Трябва да се отбележи, че той не е направил това заедно с Паскал и Ферма, тоест всичките му произведения по никакъв начин не се пресичат с тези умове. Хюйгенс извади

Интересен факт е, че работата му излезе много преди резултатите от работата на откривателите, или по-скоро двадесет години по-рано. Сред обозначените концепции най-известните са:

• концепцията за вероятността като величина на случайността;
• математическо очакване за дискретни случаи;
• теореми за умножение и събиране на вероятности.

Също така е невъзможно да не си спомним кой също има значителен принос в изследването на проблема. Провеждайки собствени тестове, независимо от никого, той успява да представи доказателство за закона за големите числа. На свой ред учените Поасон и Лаплас, работили в началото на деветнадесети век, успяха да докажат оригиналните теореми. От този момент теорията на вероятностите започва да се използва за анализ на грешките в хода на наблюденията. Руските учени, или по-скоро Марков, Чебишев и Дяпунов, също не могат да заобиколят тази наука. Въз основа на работата, извършена от великите гении, те фиксират този предмет като клон на математиката. Тези фигури са работили още в края на деветнадесети век и благодарение на техния принос се появяват явления като:

• закон на големите числа;
• теория на веригите на Марков;
• централна гранична теорема.

И така, с историята на раждането на науката и с основните хора, които са я повлияли, всичко е повече или по-малко ясно. Сега е време да конкретизираме всички факти.

Основни понятия

Преди да се докоснете до законите и теоремите, си струва да изучите основните понятия на теорията на вероятностите. Водеща роля в него заема събитието. Тази тема е доста обемна, но без нея няма да може да се разбере всичко останало.

Събитие в теорията на вероятностите е всеки набор от резултати от експеримент. Няма толкова много концепции за това явление. И така, ученият Лотман, който работи в тази област, каза, че в този случай говорим за това, което "се е случило, въпреки че може да не се е случило".

Случайните събития (теорията на вероятностите обръща специално внимание на тях) е концепция, която предполага абсолютно всяко явление, което има способността да се случи. Или, обратното, този сценарий може да не се случи, когато са изпълнени много условия. Също така си струва да знаете, че случайните събития обхващат целия обем от явления, които са се случили. Теорията на вероятностите показва, че всички условия могат да се повтарят постоянно. Именно тяхното поведение беше наречено "експеримент" или "тест".

Определено събитие е това, което 100% ще се случи в даден тест. Съответно невъзможно събитие е това, което няма да се случи.

Комбинацията от двойка действия (условно случай А и случай Б) е явление, което се случва едновременно. Те са обозначени като АВ.

Сумата от двойки събития A и B е C, с други думи, ако се случи поне едно от тях (A или B), тогава ще се получи C. Формулата на описаното явление е написана, както следва: C \u003d A + Б.

Несъответстващите събития в теорията на вероятностите предполагат, че двата случая са взаимно изключващи се. Те никога не могат да се случат по едно и също време. Съвместните събития в теорията на вероятностите са техен антипод. Това означава, че ако А се е случило, то не пречи на Б по никакъв начин.

Противоположните събития (теорията на вероятностите се занимава с тях много подробно) са лесни за разбиране. Най-добре е да се справите с тях в сравнение. Те са почти същите като несъвместимите събития в теорията на вероятностите. Но тяхната разлика се състои в това, че едно от многото явления във всеки случай трябва да се случи.

Еднакво вероятни събития са тези действия, чиято възможност за повторение е еднаква. За да стане по-ясно, можем да си представим хвърлянето на монета: загубата на едната й страна е еднакво вероятно да падне от другата.

Благоприятното събитие се вижда по-лесно с пример. Да кажем, че има епизод B и епизод A. Първият е хвърлянето на зара с появата на нечетно число, а вторият е появата на числото пет върху зара. Тогава се оказва, че А предпочита Б.

Независимите събития в теорията на вероятностите се проектират само върху два или повече случая и предполагат независимост на всяко действие от друго. Например A - пускане на опашки при хвърляне на монета и B - получаване на вале от тестето. Те са независими събития в теорията на вероятностите. В този момент стана по-ясно.

Зависимите събития в теорията на вероятностите също са допустими само за тяхното множество. Те предполагат зависимостта на едното от другото, тоест явлението B може да възникне само ако A вече се е случило или, напротив, не се е случило, когато това е основното условие за B.

Резултатът от случаен експеримент, състоящ се от един компонент, са елементарни събития. Теорията на вероятностите обяснява, че това е феномен, който се е случил само веднъж.

Основни формули

И така, понятията "събитие", "теория на вероятностите" бяха разгледани по-горе, дадено е и определение на основните термини на тази наука. Сега е време да се запознаете директно с важните формули. Тези изрази математически потвърждават всички основни концепции в такъв труден предмет като теорията на вероятностите. Вероятността за събитие играе огромна роля и тук.

По-добре е да започнете с основните.И преди да продължите към тях, си струва да помислите какво представлява.

Комбинаториката е преди всичко клон на математиката, тя се занимава с изучаването на огромен брой цели числа, както и различни пермутации както на самите числа, така и на техните елементи, различни данни и т.н., водещи до появата на редица комбинации. В допълнение към теорията на вероятностите, този клон е важен за статистиката, компютърните науки и криптографията.

И така, сега можете да преминете към представянето на самите формули и тяхната дефиниция.

Първият от тях ще бъде израз за броя на пермутациите, изглежда така:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Уравнението се прилага само ако елементите се различават само по своя ред.

Сега ще бъде разгледана формулата за поставяне, изглежда така:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Този израз е приложим не само за реда на елемента, но и за неговия състав.

Третото уравнение от комбинаториката, което е и последното, се нарича формула за броя на комбинациите:

C_n^m = n! : ((n - m))! :м!

Комбинация се нарича селекция, която не е подредена, съответно и това правило важи за тях.

Оказа се лесно да разберем формулите на комбинаториката, сега можем да преминем към класическата дефиниция на вероятностите. Този израз изглежда така:

В тази формула m е броят на условията, благоприятстващи събитието А, а n е броят на абсолютно всички еднакво възможни и елементарни резултати.

Има голям брой изрази, статията няма да обхване всички от тях, но най-важните от тях ще бъдат засегнати, като например вероятността от сумата от събития:

P(A + B) = P(A) + P(B) - тази теорема е за добавяне само на несъвместими събития;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - и това е за добавяне само на съвместими.

Вероятност за създаване на събития:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - тази теорема е за независими събития;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - и това е за зависими.

Формулата на събитието ще завърши списъка. Теорията на вероятностите ни разказва за теоремата на Бейс, която изглежда така:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., н

В тази формула H 1 , H 2 , …, H n е пълната група от хипотези.

Примери

Ако внимателно изучавате всеки клон на математиката, той не е пълен без упражнения и примерни решения. Така е и с теорията на вероятностите: събитията, примерите тук са неразделна част, която потвърждава научните изчисления.

Формула за брой пермутации

Да кажем, че има тридесет карти в тесте карти, започвайки с номинална стойност едно. Следващ въпрос. Колко начина има за подреждане на тестето, така че картите с номинална стойност едно и две да не са една до друга?

Задачата е поставена, сега нека да преминем към нейното решаване. Първо трябва да определите броя на пермутациите на тридесет елемента, за това вземаме горната формула, оказва се, че P_30 = 30!.

Въз основа на това правило ще разберем колко опции има за сгъване на тестето по различни начини, но трябва да извадим от тях тези, в които първата и втората карта са следващите. За да направите това, нека започнем с опцията, когато първият е над втория. Оказва се, че първата карта може да заеме двадесет и девет места - от първо до двадесет и девето, а втората карта от второ до тридесето, се оказва само двадесет и девет места за чифт карти. На свой ред останалите могат да заемат двадесет и осем места и в произволен ред. Тоест, за пермутация от двадесет и осем карти, има двадесет и осем опции P_28 = 28!

В резултат на това се оказва, че ако разгледаме решението, когато първата карта е над втората, има 29 ⋅ 28 допълнителни възможности! = 29!

Използвайки същия метод, трябва да изчислите броя на излишните опции за случая, когато първата карта е под втората. Оказва се също 29 ⋅ 28! = 29!

От това следва, че има 2 ⋅ 29! допълнителни опции, докато има 30 необходими начина за изграждане на тестето! - 2 ⋅ 29!. Остава само да броим.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Сега трябва да умножите всички числа от едно до двадесет и девет помежду си и след това накрая да умножите всичко по 28. Отговорът е 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Примерно решение. Формула за номер на разположение

В тази задача трябва да разберете колко начина има да поставите петнадесет тома на един рафт, но при условие, че има общо тридесет тома.

В този проблем решението е малко по-просто от предишния. Използвайки вече известната формула, е необходимо да се изчисли общият брой аранжименти от тридесет тома от петнадесет.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Отговорът съответно ще бъде равен на 202 843 204 931 727 360 000.

Сега нека приемем задачата малко по-трудна. Трябва да разберете колко начина има да подредите тридесет книги на два рафта, при условие че само петнадесет тома могат да бъдат на един рафт.

Преди да започна решението, бих искал да изясня, че някои проблеми се решават по няколко начина, така че в този има два начина, но и в двата се използва една и съща формула.

В тази задача можете да вземете отговора от предишната, защото там изчислихме колко пъти можете да запълните рафт с петнадесет книги по различни начини. Оказа се, че A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Изчисляваме втория рафт по формулата за пермутация, тъй като в него са поставени петнадесет книги, а остават само петнадесет. Използваме формулата P_15 = 15!.

Оказва се, че общо ще има A_30^15 ⋅ P_15 начина, но освен това произведението на всички числа от тридесет до шестнадесет ще трябва да се умножи по произведението на числата от едно до петнадесет, в резултат на това ще се получи произведение на всички числа от едно до тридесет, тоест отговорът е равен на 30!

Но този проблем може да се реши по различен начин - по-лесно. За да направите това, можете да си представите, че има един рафт за тридесет книги. Всички те са поставени на тази равнина, но тъй като условието изисква да има два рафта, ние разрязахме един дълъг наполовина, получава се по две петнадесет. От това излиза, че опциите за поставяне могат да бъдат P_30 = 30!.

Примерно решение. Формула за номер на комбинация

Сега ще разгледаме вариант на третата задача от комбинаториката. Трябва да разберете колко начина има да подредите петнадесет книги, при условие че трябва да изберете от тридесет абсолютно еднакви.

За решението, разбира се, ще се приложи формулата за броя на комбинациите. От условието става ясно, че редът на еднаквите петнадесет книги не е важен. Следователно, първоначално трябва да разберете общия брой комбинации от тридесет книги от петнадесет.

C_30^15 = 30! : ((30-15)) ! : петнадесет! = 155 117 520

Това е всичко. Използвайки тази формула, за възможно най-кратко време беше възможно да се реши такъв проблем, отговорът съответно е 155 117 520.

Примерно решение. Класическата дефиниция на вероятността

Използвайки формулата по-горе, можете да намерите отговора в проста задача. Но това ще помогне визуално да видите и проследите хода на действията.

Задачата е дадена, че в урната има десет абсолютно еднакви топки. От тях четири са жълти и шест са сини. От урната се взема една топка. Трябва да разберете вероятността да станете синьо.

За да се реши задачата, е необходимо да се определи получаването на синята топка като събитие А. Това преживяване може да има десет резултата, които от своя страна са елементарни и еднакво вероятни. В същото време шест от десет са благоприятни за събитие А. Решаваме по формулата:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Прилагайки тази формула, открихме, че вероятността да получим синя топка е 0,6.

Примерно решение. Вероятност за сумата от събития

Сега ще бъде представен вариант, който се решава с помощта на формулата за вероятността на сбора от събития. И така, при условие, че има две кутии, първата съдържа една сива и пет бели топки, а втората съдържа осем сиви и четири бели топки. В резултат на това един от тях беше взет от първата и втората кутия. Необходимо е да се разбере какъв е шансът извадените топки да са сиво-бели.

За да се реши този проблем, е необходимо да се обозначат събития.

• И така, A - вземете сива топка от първата кутия: P(A) = 1/6.
• A '- взеха бяла топка и от първата кутия: P (A ") \u003d 5/6.
• B - сива топка е извадена вече от втората кутия: P(B) = 2/3.
• B' - взеха сива топка от втората кутия: P(B") = 1/3.

Според условието на задачата е необходимо да се случи едно от явленията: AB 'или A'B. Използвайки формулата, получаваме: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Сега е използвана формулата за умножаване на вероятността. След това, за да разберете отговора, трябва да приложите уравнението за тяхното добавяне:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Така че, използвайки формулата, можете да решите подобни проблеми.

Резултат

Статията предоставя информация по темата "Теория на вероятностите", в която вероятността от събитие играе решаваща роля. Разбира се, не всичко беше взето под внимание, но въз основа на представения текст можете теоретично да се запознаете с този раздел от математиката. Въпросната наука може да бъде полезна не само в професионалната работа, но и в ежедневието. С негова помощ можете да изчислите всяка възможност за всяко събитие.

В текста бяха засегнати и значими дати от историята на формирането на теорията на вероятностите като наука и имената на хора, чиито трудове са вложени в нея. Ето как човешкото любопитство доведе до факта, че хората се научиха да изчисляват дори случайни събития. Някога те просто се интересуваха от това, но днес вече всички знаят за него. И никой няма да каже какво ни очаква в бъдеще, какви други блестящи открития, свързани с разглежданата теория, ще бъдат направени. Но едно е сигурно - научните изследвания не стоят!

„Случайността не е случайна“... Звучи като казал някой философ, но всъщност изучаването на случайностите е съдбата на великата наука математика. В математиката случайността е теорията на вероятността. В статията ще бъдат представени формули и примери за задачи, както и основните определения на тази наука.

Какво е теория на вероятностите?

Теорията на вероятностите е една от математическите дисциплини, които изучават случайни събития.

За да стане малко по-ясно, нека дадем малък пример: ако хвърлите монета нагоре, тя може да падне глави или опашки. Докато монетата е във въздуха, и двете възможности са възможни. Тоест вероятността от възможни последствия корелира 1:1. Ако една бъде изтеглена от тесте с 36 карти, тогава вероятността ще бъде посочена като 1:36. Изглежда, че няма какво да се изследва и прогнозира, особено с помощта на математически формули. Въпреки това, ако повторите определено действие много пъти, можете да идентифицирате определен модел и въз основа на него да предскажете изхода от събития в други условия.

За да обобщим всичко по-горе, теорията на вероятността в класическия смисъл изучава възможността за настъпване на едно от възможните събития в числен смисъл.

От страниците на историята

Теорията на вероятностите, формулите и примерите за първите задачи се появяват в далечното Средновековие, когато за първи път се появяват опити за предсказване на резултата от игрите с карти.

Първоначално теорията на вероятностите няма нищо общо с математиката. Обосновава се с емпирични факти или свойства на дадено събитие, които могат да бъдат възпроизведени на практика. Първите трудове в тази област като математическа дисциплина се появяват през 17 век. Основатели са Блез Паскал и Пиер Ферма. Дълго време те изучаваха хазарта и видяха определени модели, за които решиха да разкажат на обществеността.

Същата техника е изобретена от Кристиан Хюйгенс, въпреки че той не е бил запознат с резултатите от изследванията на Паскал и Ферма. Понятието "теория на вероятностите", формули и примери, които се считат за първи в историята на дисциплината, са въведени от него.

Не по-малко важни са трудовете на Якоб Бернули, теоремите на Лаплас и Поасон. Те направиха теорията на вероятностите по-скоро като математическа дисциплина. Теорията на вероятностите, формулите и примерите за основни задачи получиха днешния си вид благодарение на аксиомите на Колмогоров. В резултат на всички промени теорията на вероятностите се превърна в един от математическите клонове.

Основни понятия на теорията на вероятностите. Разработки

Основното понятие на тази дисциплина е „събитие“. Събитията са три вида:

• Надежден.Тези, които така или иначе ще се случат (монетата ще падне).
• Невъзможен.Събития, които няма да се случат при нито един сценарий (монетата ще остане да виси във въздуха).
• Случаен.Тези, които ще се случат или няма да се случат. Те могат да бъдат повлияни от различни фактори, които са много трудни за прогнозиране. Ако говорим за монета, тогава случайни фактори, които могат да повлияят на резултата: физическите характеристики на монетата, нейната форма, първоначална позиция, сила на хвърляне и т.н.

Всички събития в примерите са обозначени с главни латински букви, с изключение на R, което има друга роля. Например:

• A = "студентите дойдоха на лекцията."
• Ā = "студентите не дойдоха на лекцията".

В практическите задачи събитията обикновено се записват с думи.

Една от най-важните характеристики на събитията е тяхната равна възможност. Тоест, ако хвърлите монета, всички варианти на първоначалното падане са възможни, докато не падне. Но събитията също не са еднакво вероятни. Това се случва, когато някой умишлено повлияе на резултата. Например "маркирани" карти за игра или зарове, в които центърът на тежестта е изместен.

Събитията също са съвместими и несъвместими. Съвместимите събития не изключват появата едно на друго. Например:

• A = "студентът дойде на лекцията."
• B = "студентът дойде на лекцията."

Тези събития са независими едно от друго и появата на едно от тях не влияе на появата на другото. Несъвместимите събития се определят от факта, че настъпването на едното изключва настъпването на другото. Ако говорим за една и съща монета, тогава загубата на "опашки" прави невъзможно появата на "глави" в същия експеримент.

Действия върху събития

Събитията могат да се умножават и събират, съответно в дисциплината са въведени логически връзки „И“ и „ИЛИ“.

Сумата се определя от факта, че или събитие A, или B, или и двете могат да възникнат едновременно. В случай, че са несъвместими, последният вариант е невъзможен, отпада или А, или Б.

Умножаването на събитията се състои в появата на А и Б едновременно.

Сега можете да дадете няколко примера, за да запомните по-добре основите, теорията на вероятностите и формулите. Примери за решаване на проблеми по-долу.

Упражнение 1: Фирмата кандидатства за договори за три вида работа. Възможни събития, които могат да възникнат:

• A = "фирмата ще получи първия договор."
• A 1 = "фирмата няма да получи първия договор."
• B = "фирмата ще получи втори договор."
• B 1 = "фирмата няма да получи втори договор"
• C = "фирмата ще получи трети договор."
• C 1 = "фирмата няма да получи трети договор."

Нека се опитаме да изразим следните ситуации, използвайки действия върху събития:

• K = "фирмата ще получи всички договори."

В математическа форма уравнението ще изглежда така: K = ABC.

• M = "фирмата няма да получи нито един договор."

M \u003d A 1 B 1 C 1.

Ние усложняваме задачата: H = "фирмата ще получи един договор." Тъй като не е известно кой договор ще получи фирмата (първи, втори или трети), е необходимо да се запише цялата гама от възможни събития:

H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

И 1 пр. н. е. 1 е поредица от събития, при които фирмата не получава първия и третия договор, но получава втория. Други възможни събития също се записват по съответния метод. Символът υ в дисциплината обозначава куп "ИЛИ". Ако преведем горния пример на човешки език, тогава компанията ще получи или третия договор, или втория, или първия. По същия начин можете да напишете други условия в дисциплината "Теория на вероятностите". Формулите и примерите за решаване на проблеми, представени по-горе, ще ви помогнат да го направите сами.

Всъщност вероятността

Може би в тази математическа дисциплина вероятността за събитие е централно понятие. Има 3 определения за вероятност:

• класически;
• статистически;
• геометричен.

Всеки има своето място в изследването на вероятностите. Теорията на вероятностите, формулите и примерите (9 клас) използват предимно класическата дефиниция, която звучи така:

• Вероятността за ситуация А е равна на съотношението на броя на резултатите, които благоприятстват нейното възникване, към броя на всички възможни резултати.

Формулата изглежда така: P (A) \u003d m / n.

И всъщност събитие. Ако се появи обратното на A, то може да се запише като Ā или A 1 .

m е броят на възможните благоприятни случаи.

n - всички събития, които могат да се случат.

Например A \u003d „извадете карта със сърдечен цвят“. В едно стандартно тесте има 36 карти, 9 от които са със сърца. Съответно формулата за решаване на проблема ще изглежда така:

P(A)=9/36=0.25.

В резултат на това вероятността от тестето да бъде изтеглена карта с цвят на сърце ще бъде 0,25.

към висшата математика

Сега стана малко известно какво е теорията на вероятностите, формули и примери за решаване на задачи, които се срещат в училищната програма. Теорията на вероятностите обаче се намира и във висшата математика, която се преподава в университетите. Най-често те оперират с геометрични и статистически определения на теорията и сложни формули.

Теорията на вероятностите е много интересна. Формули и примери (висша математика) е по-добре да започнете да учите от малък - от статистическа (или честотна) дефиниция на вероятността.

Статистическият подход не противоречи на класическия подход, но леко го разширява. Ако в първия случай беше необходимо да се определи с каква степен на вероятност ще се случи събитие, тогава в този метод е необходимо да се посочи колко често ще се случи. Тук се въвежда нова концепция за „относителна честота“, която може да бъде означена с W n (A). Формулата не се различава от класическата:

Ако класическата формула се изчислява за прогнозиране, то статистическата се изчислява според резултатите от експеримента. Вземете например една малка задача.

Отделът за технологичен контрол проверява продуктите за качество. От 100 продукта 3 са с лошо качество. Как да намерим честотната вероятност на качествен продукт?

A = "появата на качествен продукт."

W n (A)=97/100=0,97

Така честотата на качествен продукт е 0,97. От къде взе 97? От проверените 100 продукта 3 се оказват некачествени. От 100 изваждаме 3, получаваме 97, това е количеството на качествен продукт.

Малко за комбинаториката

Друг метод на теорията на вероятностите се нарича комбинаторика. Неговият основен принцип е, че ако определен избор A може да бъде направен по m различни начина, а избор B по n различни начина, тогава изборът на A и B може да бъде направен чрез умножение.

Например има 5 пътя от град А до град Б. Има 4 маршрута от град B до град C. Колко начина има да се стигне от град А до град В?

Просто е: 5x4 = 20, тоест има двадесет различни начина да стигнете от точка А до точка С.

Нека усложним задачата. Колко начина има за игра на карти в пасианса? В тесте от 36 карти това е началната точка. За да разберете броя на начините, трябва да „извадите“ една карта от началната точка и да умножите.

Тоест 36x35x34x33x32…x2x1= резултатът не се побира на екрана на калкулатора, така че може просто да се означи като 36!. Знак "!" до числото показва, че цялата серия от числа се умножава помежду си.

В комбинаториката има такива понятия като пермутация, поставяне и комбинация. Всеки от тях има своя собствена формула.

Подреден набор от елементи на набора се нарича оформление. Разположенията могат да се повтарят, което означава, че един елемент може да се използва няколко пъти. И без повторение, когато елементите не се повтарят. n са всички елементи, m са елементите, които участват в поставянето. Формулата за поставяне без повторения ще изглежда така:

A n m =n!/(n-m)!

Връзките на n елемента, които се различават само по реда на разположение, се наричат ​​пермутации. В математиката това изглежда така: P n = n!

Комбинации от n елемента по m са такива съединения, в които е важно кои елементи са били и какъв е общият им брой. Формулата ще изглежда така:

A n m =n!/m!(n-m)!

Формула на Бернули

В теорията на вероятностите, както и във всяка дисциплина, има трудове на изключителни изследователи в своята област, които са я издигнали на ново ниво. Една от тези работи е формулата на Бернули, която ви позволява да определите вероятността определено събитие да се случи при независими условия. Това предполага, че появата на А в експеримент не зависи от появата или липсата на същото събитие в предишни или следващи тестове.

Уравнение на Бернули:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Вероятността (p) за настъпване на събитието (A) е непроменена за всеки опит. Вероятността ситуацията да се случи точно m пъти в n брой експеримента ще бъде изчислена по формулата, която е представена по-горе. Съответно възниква въпросът как да разберете числото q.

Ако събитие А се появи p брой пъти, то съответно може да не се случи. Единицата е число, което се използва за обозначаване на всички резултати от ситуация в дадена дисциплина. Следователно q е число, което показва възможността събитието да не се случи.

Сега знаете формулата на Бернули (теория на вероятностите). Примери за решаване на проблеми (първо ниво) ще бъдат разгледани по-долу.

Задача 2:Посетител на магазина ще направи покупка с вероятност 0,2. 6 посетители са влезли в магазина самостоятелно. Каква е вероятността посетител да направи покупка?

Решение: Тъй като не е известно колко посетители трябва да направят покупка, един или всичките шест, е необходимо да се изчислят всички възможни вероятности, като се използва формулата на Бернули.

A = "посетителят ще направи покупка."

В този случай: p = 0,2 (както е посочено в задачата). Съответно q=1-0.2=0.8.

n = 6 (тъй като в магазина има 6 клиента). Числото m ще се промени от 0 (нито един клиент няма да направи покупка) на 6 (всички посетители на магазина ще закупят нещо). В резултат на това получаваме решението:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 = q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Нито един от купувачите няма да направи покупка с вероятност 0,2621.

Как иначе се използва формулата на Бернули (теория на вероятностите)? Примери за решаване на проблеми (второ ниво) по-долу.

След горния пример възникват въпроси къде са отишли ​​C и p. По отношение на p, число на степен 0 ще бъде равно на единица. Що се отнася до C, той може да бъде намерен по формулата:

C n m = n! /m!(n-m)!

Тъй като в първия пример m = 0, съответно C=1, което принципно не влияе на резултата. Използвайки новата формула, нека се опитаме да разберем каква е вероятността за закупуване на стоки от двама посетители.

P 6 (2) = C 6 2 × p 2 × q 4 = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Теорията на вероятностите не е толкова сложна. Формулата на Бернули, чиито примери са представени по-горе, е пряко доказателство за това.

Формула на Поасон

Уравнението на Поасон се използва за изчисляване на малко вероятни случайни ситуации.

Основна формула:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

В този случай λ = n x p. Ето такава проста формула на Поасон (теория на вероятностите). Примери за решаване на проблеми ще бъдат разгледани по-долу.

Задача 3О: Фабриката е произвела 100 000 части. Появата на дефектна част = 0,0001. Каква е вероятността да има 5 дефектни части в партида?

Както можете да видите, бракът е малко вероятно събитие и затова формулата на Поасон (теория на вероятностите) се използва за изчисление. Примери за решаване на проблеми от този вид не се различават от другите задачи на дисциплината, ние заместваме необходимите данни в горната формула:

A = "произволно избрана част ще бъде дефектна."

p = 0.0001 (според условието за задание).

n = 100000 (брой части).

m = 5 (дефектни части). Заменяме данните във формулата и получаваме:

R 100 000 (5) = 10 5 / 5! X e -10 = 0,0375.

Точно като формулата на Бернули (теория на вероятностите), примери за решения, използващи които са написани по-горе, уравнението на Поасон има неизвестно е. По същество то може да се намери по формулата:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Има обаче специални таблици, които съдържат почти всички стойности на e.

Теорема на Моавр-Лаплас

Ако в схемата на Бернули броят на опитите е достатъчно голям и вероятността за възникване на събитие А във всички схеми е една и съща, тогава вероятността за възникване на събитие А определен брой пъти в поредица от опити може да бъде намира се по формулата на Лаплас:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

Xm = m-np/√npq.

За да запомните по-добре формулата на Лаплас (теория на вероятностите), примери за задачи за помощ по-долу.

Първо намираме X m, заместваме данните (всички са посочени по-горе) във формулата и получаваме 0,025. Използвайки таблици, намираме числото ϕ (0,025), чиято стойност е 0,3988. Сега можете да замените всички данни във формулата:

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.

Така че вероятността флаерът да удари точно 267 пъти е 0,03.

Формула на Бейс

Формулата на Байс (теория на вероятностите), примери за решаване на задачи, с помощта на които ще бъдат дадени по-долу, е уравнение, което описва вероятността от събитие въз основа на обстоятелствата, които могат да бъдат свързани с него. Основната формула е следната:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

А и Б са определени събития.

P(A|B) - условна вероятност, т.е. събитие A може да се случи, при условие че събитие B е вярно.

Р (В|А) - условна вероятност за събитие В.

И така, последната част от краткия курс "Теория на вероятностите" е формулата на Байс, примери за решаване на проблеми с които са по-долу.

Задача 5: В склада са докарани телефони от три фирми. В същото време част от телефоните, които се произвеждат в първия завод са 25%, във втория – 60%, в третия – 15%. Известно е също, че средният процент на дефектни продукти в първата фабрика е 2%, във втората - 4%, а в третата - 1%. Необходимо е да се намери вероятността произволно избран телефон да бъде дефектен.

A = "произволно взет телефон."

B 1 - телефонът, който направи първата фабрика. Съответно ще се появят въвеждащи B 2 и B 3 (за втория и третия завод).

В резултат на това получаваме:

P (B 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0,25; P (B 2) \u003d 0,6; P (B 3) \u003d 0,15 - така че намерихме вероятността за всяка опция.

Сега трябва да намерите условните вероятности на желаното събитие, тоест вероятността за дефектни продукти във фирмите:

P (A / B 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0,02;

P (A / B 2) \u003d 0,04;

P (A / B 3) \u003d 0,01.

Сега заместваме данните във формулата на Bayes и получаваме:

P (A) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.

Статията представя теорията на вероятностите, формули и примери за решаване на проблеми, но това е само върхът на айсберга на една обширна дисциплина. И след всичко написано, ще бъде логично да зададем въпроса дали теорията на вероятностите е необходима в живота. Трудно е за обикновен човек да отговори, по-добре е да попитате някой, който е ударил джакпота повече от веднъж с нейна помощ.

Вероятностсъбитие е съотношението на броя на елементарните резултати, които благоприятстват дадено събитие, към броя на всички еднакво възможни резултати от опит, в който това събитие може да се случи. Вероятността за събитие А се обозначава с P(A) (тук P е първата буква от френската дума probabilite - вероятност). Според дефиницията
(1.2.1)
където е броят на елементарните резултати, благоприятстващи събитие А; - броят на всички еднакво възможни елементарни резултати от опита, образуващи пълна група от събития.
Това определение на вероятността се нарича класическо. Възниква в началния етап от развитието на теорията на вероятностите.

Вероятността за събитие има следните свойства:
1. Вероятността за определено събитие е равна на единица. Нека обозначим определено събитие с буквата. За определено събитие, следователно
(1.2.2)
2. Вероятността за невъзможно събитие е нула. Означаваме невъзможното събитие с буквата . За невъзможно събитие, следователно
(1.2.3)
3. Вероятността за случайно събитие се изразява като положително число, по-малко от едно. Тъй като неравенствата , или са изпълнени за случайно събитие, тогава
(1.2.4)
4. Вероятността за всяко събитие удовлетворява неравенствата
(1.2.5)
Това следва от съотношенията (1.2.2)-(1.2.4).

Пример 1Една урна съдържа 10 топки с еднакъв размер и тегло, от които 4 са червени и 6 са сини. От урната се изтегля една топка. Каква е вероятността изтеглената топка да е синя?

Решение. Събитието „изтеглената топка се оказа синя“ ще бъде отбелязано с буквата А. Този опит има 10 еднакво възможни елементарни изхода, от които 6 благоприятстват събитие А. В съответствие с формула (1.2.1) получаваме

Пример 2Всички естествени числа от 1 до 30 са написани на еднакви карти и поставени в урна. След старателно смесване на картите, едната карта се изважда от урната. Каква е вероятността числото на изтеглената карта да е кратно на 5?

Решение.Означаваме с А събитието "числото на взетата карта е кратно на 5". В този тест има 30 еднакво възможни елементарни изхода, от които 6 изхода са в полза на събитие А (номера 5, 10, 15, 20, 25, 30). Следователно,

Пример 3Хвърлят се два зара, изчислява се сумата от точките на горните лица. Намерете вероятността за събитие B, състоящо се в това, че горните стени на кубовете ще имат общо 9 точки.

Решение.Има 6 2 = 36 еднакво възможни елементарни резултата в този опит. Събитие B е облагодетелствано от 4 резултата: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), така че

Пример 4. На случаен принцип е избрано естествено число, което не надвишава 10. Каква е вероятността това число да е просто?

Решение.Означаваме с буквата C събитието "избраното число е просто". В този случай n = 10, m = 4 (прости числа 2, 3, 5, 7). Следователно желаната вероятност

Пример 5Хвърлят се две симетрични монети. Каква е вероятността и двете монети да имат цифри от горната страна?

Решение.Нека обозначим с буквата D събитието "имаше число от горната страна на всяка монета". Има 4 еднакво възможни елементарни резултата в този тест: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Означението (G, C) означава, че на първата монета има герб, на втората - число). Събитие D се предпочита от един елементарен изход (C, C). Тъй като m = 1, n = 4, тогава

Пример 6Каква е вероятността цифрите в произволно избрано двуцифрено число да са еднакви?

Решение.Двуцифрените числа са числата от 10 до 99; такива числа са общо 90. 9 числа са с еднакви цифри (това са числата 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Тъй като в този случай m = 9, n = 90, тогава
,
където A е събитието „число с еднакви цифри“.

Пример 7От буквите на думата диференциаледна буква се избира произволно. Каква е вероятността тази буква да бъде: а) гласна б) съгласна в) буква ч?

Решение. В думата диференциал има 12 букви, от които 5 са ​​гласни и 7 са съгласни. Писма чтази дума не го прави. Нека обозначим събитията: A - "гласна", B - "съгласна", C - "буква ч". Броят на благоприятните елементарни резултати: - за събитие A, - за събитие B, - за събитие C. Тъй като n \u003d 12, тогава
, и .

Пример 8Хвърлят се два зара, като се отбелязва броят на точките на горната страна на всеки зар. Намерете вероятността двата зара да имат еднакъв брой точки.

Решение.Нека означим това събитие с буквата A. Събитие A се предпочита от 6 елементарни резултата: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6; 6). Общо има еднакво възможни елементарни резултати, които образуват пълна група от събития, в този случай n=6 2 =36. Така че желаната вероятност

Пример 9Книгата има 300 страници. Каква е вероятността произволно отворена страница да има пореден номер, кратен на 5?

Решение.От условията на задачата следва, че от всички еднакво възможни елементарни изхода, които образуват пълна група от събития, ще има n = 300. От тях m = 60 благоприятстват настъпването на определеното събитие. Наистина, число, което е кратно на 5, има формата 5k, където k е естествено число и , откъдето . Следователно,
, където A - събитието "страница" има пореден номер, който е кратен на 5".

Пример 10. Хвърлят се два зара, изчислява се сумата от точките на горните лица. Кое е по-вероятно да получи общо 7 или 8?

Решение. Нека обозначим събитията: A - "7 точки паднаха", B - "8 точки паднаха". Събитие A се благоприятства от 6 елементарни изхода: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), а събитие B - от 5 изхода: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Има n = 6 2 = 36 от всички еднакво възможни елементарни резултати. Следователно, и .

И така, P(A)>P(B), тоест получаването на общо 7 точки е по-вероятно събитие от получаването на общо 8 точки.

Задачи

1. На случаен принцип е избрано естествено число, не по-голямо от 30. Каква е вероятността това число да е кратно на 3?
2. В урната ачервено и bсини топки с еднакъв размер и тегло. Каква е вероятността произволно изтеглена топка от тази урна да е синя?
3. На случаен принцип се избира число, което не надвишава 30. Каква е вероятността това число да е делител на zo?
4. В урната асиньо и bчервени топки с еднакъв размер и тегло. Една топка се изтегля от тази урна и се оставя настрана. Тази топка е червена. След това от урната се изтегля друга топка. Намерете вероятността втората топка също да е червена.
5. На случаен принцип е избрано естествено число, което не надвишава 50. Каква е вероятността това число да е просто?
6. Хвърлят се три зара, изчислява се сумата от точките на горните лица. Кое е по-вероятно - да получите общо 9 или 10 точки?
7. Хвърлят се три зара, изчислява се сумата на падналите точки. Какво е по-вероятно да получи общо 11 (събитие A) или 12 точки (събитие B)?

Отговори

1. 1/3. 2 . b/(а+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(а+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - вероятността да получите общо 9 точки; p 2 \u003d 27/216 - вероятността да получите общо 10 точки; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Въпроси

1. Какво се нарича вероятност за събитие?
2. Каква е вероятността за определено събитие?
3. Каква е вероятността за невъзможно събитие?
4. Какви са границите на вероятността от случайно събитие?
5. Какви са границите на вероятността за всяко събитие?
6. Каква дефиниция на вероятността се нарича класическа?