Изчисляване на N-тия знак на числото Pi без пресмятане на предходните. Това е магическото число пи

Ученето числа пизапочва в началните класове, когато учениците изучават кръга, кръга и се среща стойността на Пи. Тъй като стойността на Pi е константа, което означава съотношението на дължината на самата окръжност към дължината на диаметъра на тази окръжност. Например, ако вземем кръг, чийто диаметър е равен на единица, тогава дължината му е равна на пи. Тази стойност на Пи е безкрайна в математическо продължение, но има и общоприето обозначение. Взето е от опростен правопис на стойността на Пи, изглежда като 3,14.

Историческото раждане на Пи

Предполага се, че Пи има своите корени в древен Египет. Тъй като древните египетски учени използваха диаметъра D, за да изчислят площта на кръга, който взе стойността D - D / 92. Което съответства на 16/92, или 256/81, което означава, че числото Пи е 3,160.
Индия през шести век пр. н. е. също се докосва до числото Пи, в религията на джайнизма са открити записи, които казват, че числото Пи е равно на 10 в корен квадратен, което означава 3,162.

Ученията на Архимед за измерване на окръжност през трети век пр.н.е. го довеждат до следните заключения:

По-късно той обосновава заключенията си с поредица от изчисления, като използва примери за правилно вписани или описани многоъгълни форми с удвояване на броя на страните на тези фигури. При прецизни изчисления Архимед заключава съотношението на диаметъра и обиколката в числа между 3 * 10/71 и 3 * 1/7, следователно стойността на Pi е 3,1419 ... Тъй като вече говорихме за безкрайната форма на тази стойност, изглежда като 3, 1415927 ... И това не е границата, защото математикът Каши през петнадесети век изчислява стойността на Пи вече като шестнадесетцифрена стойност.
Английският математик Джонсън У. през 1706 г. започва да използва обозначението на числото Пи със символа? (от гръцки има първата буква в думата кръг).

Мистериозен смисъл.

Стойността на Pi е ирационална, не може да бъде изразена под формата на дроб, тъй като целите стойности се използват във фракции. Той не може да бъде корен в уравнението, поради което също се оказва трансцендентен, намира се чрез разглеждане на всякакви процеси, като се усъвършенства поради големия брой разглеждани стъпки на този процес. Има много опити да се изчисли най-големият брой цифри в числото Пи, които са довели до десетки трилиони цифри на дадена стойност от запетая.

Интересен факт: Стойността на Пи, колкото и да е странно, има свой празник. Нарича се Международен ден на Пи. Празнува се на 14 март. Датата се появи благодарение на самата стойност на Pi 3.14 (mm.yy) и физика Лари Шоу, който беше първият, който празнува този празник още през 1987 г.

Забележка: Правна помощ за получаване на удостоверение за липса (наличие) на съдимост за всички граждани на Руската федерация. Следвайте връзката на удостоверението за обществена услуга за липса на съдимост (http://help of Criminal Record.rf/) законно, бързо и без опашки!

14 март 2012 г

На 14 март математиците празнуват един от най-необичайните празници - Международен ден на Пи.Тази дата не е избрана случайно: числовият израз π (Pi) - 3.14 (3-ти месец (март) 14-ти ден).

За първи път учениците срещат това необичайно число още в началните класове, когато изучават кръг и кръг. Числото π е математическа константа, която изразява отношението на обиколката на окръжност към дължината на нейния диаметър. Тоест, ако вземем кръг с диаметър, равен на единица, тогава обиколката ще бъде равна на числото "Pi". Числото π има безкрайна математическа продължителност, но в ежедневните изчисления те използват опростено изписване на числото, оставяйки само два знака след десетичната запетая - 3,14.

През 1987 г. този ден се чества за първи път. Физикът Лари Шоу от Сан Франциско забеляза, че в американската система за писане на дати (месец / ден) датата 14 март - 3/14 съвпада с числото π (π \u003d 3.1415926 ...). Тържествата обикновено започват в 13:59:26 (π = 3,14 15926 …).

История на Пи

Предполага се, че историята на числото π започва в древен Египет. Египетските математици определят площта на кръг с диаметър D като (D-D/9) 2 . От този запис се вижда, че по това време числото π е било приравнено на дроб (16/9) 2, или 256/81, т.е. π 3.160...

През VI век. пр.н.е. в Индия, в религиозната книга на джайнизма, има записи, които показват, че числото π по това време е взето равно на корен квадратен от 10, което дава дроб от 3,162 ...
През III век. Архимед в кратката си работа "Измерване на кръга" обосновава три позиции:

Всеки кръг е равен по размер на правоъгълен триъгълник, чиито катети са съответно равни на обиколката и неговия радиус;
Площите на кръг са свързани с квадрат, изграден върху диаметър от 11 до 14;
Съотношението на всеки кръг към неговия диаметър е по-малко от 3 1/7 и по-голямо от 3 10/71.

Архимед обосновава последното положение, като последователно изчислява периметрите на правилни вписани и описани многоъгълници с удвояване на броя на страните им. Според точните изчисления на Архимед отношението на обиколката към диаметъра е между 3*10/71 и 3*1/7, което означава, че числото "пи" е 3,1419... Истинската стойност на това отношение е 3,1415922653. ..
През 5 век пр.н.е. Китайският математик Zu Chongzhi намери по-точна стойност за това число: 3,1415927...
През първата половина на XV век. астроном и математик Каши изчисли π с 16 знака след десетичната запетая.

Век и половина по-късно, в Европа, Ф. Виет намира числото π само с 9 правилни знака след десетичната запетая: той прави 16 удвоения на броя на страните на многоъгълниците. F. Wiet беше първият, който забеляза, че π може да се намери с помощта на границите на някои серии. Това откритие беше от голямо значение, направи възможно изчисляването на π с всякаква точност.

През 1706 г. английският математик У. Джонсън въвежда обозначението за съотношението на обиколката на кръг към неговия диаметър и го обозначава със съвременния символ π, първата буква от гръцката дума periferia-кръг.

Дълго време учени от цял свят се опитват да разгадаят мистерията на това мистериозно число.

Каква е трудността при изчисляването на стойността на π?

Числото π е ирационално: не може да бъде изразено като дроб p/q, където p и q са цели числа, това число не може да бъде корен на алгебрично уравнение. Невъзможно е да се посочи алгебрично или диференциално уравнение, чийто корен е π, следователно това число се нарича трансцендентално и се изчислява чрез разглеждане на процес и се усъвършенства чрез увеличаване на стъпките на разглеждания процес. Многобройните опити за изчисляване на максималния брой цифри на числото π доведоха до факта, че днес, благодарение на съвременната изчислителна технология, е възможно да се изчисли последователност с точност до 10 трилиона цифри след десетичната запетая.

Цифрите на десетичното представяне на числото π са доста произволни. В десетичното разширяване на число можете да намерите произволна последователност от цифри. Предполага се, че в това число в криптирана форма има всички написани и ненаписани книги, всяка информация, която може да бъде представена, е в числото π.

Можете да опитате сами да разгадаете мистерията на това число. Записването на числото "Pi" изцяло, разбира се, няма да работи. Но предлагам на най-любопитните да разгледат първите 1000 цифри на числото π = 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

Запомнете числото "Пи"

В момента с помощта на компютърна технология са изчислени десет трилиона цифри от числото "Пи". Максималният брой цифри, които човек може да запомни, е сто хиляди.

За да запомнят максималния брой знаци на числото "Пи", те използват различни поетични "памети", в които думите с определен брой букви са подредени в същата последователност като числата в числото "Пи": 3.1415926535897932384626433832795 ... . За да възстановите номера, трябва да преброите броя на знаците във всяка от думите и да го запишете по ред.

Така че знам числото, наречено "Пи". Много добре! (7 цифри)

И така, Миша и Анюта дотичаха
Пи, за да знаят числото, което искат. (11 цифри)

Това знам и помня много добре:
Пи много знаци са ми излишни, напразно.
Да се доверим на огромното знание
Тези, които са преброили, са армада. (21 цифри)

Веднъж при Коля и Арина
Ние изтръгнахме перушините.
Бял пух летеше, кръжеше,
Смел, замръзнал,
блажена
Той ни даде
Главоболие при възрастни жени.
Леле, опасен пухкав дух! (25 знака)

Можете да използвате римувани редове, които ви помагат да запомните правилното число.

За да не правим грешки
Трябва да се чете правилно:
деветдесет и две и шест

Ако се стараеш
Веднага можете да прочетете:
Три, четиринадесет, петнадесет
Деветдесет и две и шест.

Три, четиринадесет, петнадесет
Девет, две, шест, пет, три, пет.
Да се занимаваш с наука
Всеки трябва да знае това.

Можете просто да опитате
И продължавайте да повтаряте:
„Три, четиринадесет, петнадесет,
Девет, двадесет и шест и пет."

Имате ли някакви въпроси? Искате ли да научите повече за Pi?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

Историята на числото Пи започва в древен Египет и върви успоредно с развитието на цялата математика. С тази ценност се срещаме за първи път в стените на училището.

Числото Пи е може би най-мистериозното от безкрайно много други. Посветени са му стихове, изобразяват го художници, дори е заснет филм за него. В нашата статия ще разгледаме историята на развитието и компютрите, както и областите на приложение на константата Pi в нашия живот.

Pi е математическа константа, равна на съотношението на обиколката на окръжност към дължината на нейния диаметър. Първоначално се нарича числото на Лудолф и е предложено да се обозначава с буквата Пи от британския математик Джоунс през 1706 г. След работата на Леонхард Ойлер през 1737 г. това обозначение става общоприето.

Числото Pi е ирационално, тоест стойността му не може да бъде изразена точно като дроб m/n, където m и n са цели числа. Това е доказано за първи път от Йохан Ламберт през 1761 г.

Историята на развитието на числото Пи вече е около 4000 години. Още древните египетски и вавилонски математици са знаели, че съотношението на обиколката към диаметъра е еднакво за всеки кръг и стойността му е малко повече от три.

Архимед предлага математически метод за изчисляване на Пи, при който вписва в окръжност и описва правилни многоъгълници около нея. Според неговите изчисления Пи е приблизително равно на 22/7 ≈ 3.142857142857143.

През 2 век Zhang Heng предложи две стойности за pi: ≈ 3.1724 и ≈ 3.1622.

Индийските математици Арябхата и Бхаскара намериха приблизителна стойност от 3,1416.

Най-точното приближение на пи за 900 години е изчисление на китайския математик Зу Чонгжи през 480-те години. Той заключи, че Pi ≈ 355/113 и показа, че 3,1415926< Пи < 3,1415927.

До второто хилядолетие не са били изчислявани повече от 10 цифри на числото Пи. Едва с развитието на математическия анализ и особено с откриването на сериите бяха направени последващи големи постижения в изчисляването на константата.

През 1400 г. Мадхава успява да изчисли Pi=3,14159265359. Неговият рекорд е счупен от персийския математик Ал-Каши през 1424 г. Той в своя труд "Трактат за обиколката" цитира 17 цифри на Пи, 16 от които се оказват верни.

Холандският математик Лудолф ван Цойлен достига 20 числа в изчисленията си, като дава 10 години от живота си за това. След смъртта му в бележките му са открити още 15 цифри от пи. Той завещава тези фигури да бъдат издълбани на надгробната му плоча.

С появата на компютрите числото Пи днес има няколко трилиона цифри и това не е ограничението. Но, както е отбелязано във Fractals for the Classroom, въпреки цялото значение на pi, „трудно е да се намерят области в научните изчисления, които изискват повече от двадесет знака след десетичната запетая“.

В нашия живот числото Пи се използва в много научни области. Физика, електроника, теория на вероятностите, химия, строителство, навигация, фармакология - това са само част от тях, които просто не могат да се представят без това мистериозно число.

Искате ли да знаете и да можете сами да направите повече?

Предлагаме Ви обучение в следните области: компютри, програми, администрация, сървъри, мрежи, изграждане на сайтове, SEO и др. Разберете подробностите сега!

Според сайта Calculator888.ru - Число Пи - значение, история, кой го е измислил.

пи пи, пи число на фибоначи
(изброени в ред на нарастване на точността)

Продължена дроб

(Тази продължителна дроб не е периодична. Записва се в линейна нотация)

Тригонометрия радиан = 180°

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

Първите 1000 знака след десетичната запетая на числото π Този термин има и други значения, вижте Пи. Ако вземем диаметъра на кръг като единица, тогава обиколката е числото "пи" Пи в перспектива

(произнесе "пи") е математическа константа, равна на отношението на обиколката на окръжност към дължината на нейния диаметър. Означава се с буквата от гръцката азбука "пи". старо име - Лудолфово число.

1 Имоти
- 1.1 Трансцендентност и ирационалност
- 1.2 Съотношения
2 История
- 2.1 Геометричен период
- 2.2 Класически период
- 2.3 Компютърна ера
3 Рационални приближения
4 Неразрешени проблеми
5 Метод с иглата на Бюфон
6 Мнемонични правила
7 Допълнителни факти
8 култура
9 Вижте също
10 бележки
11 Литература
12 връзки

Имоти

Трансцендентност и ирационалност

- ирационално число, тоест стойността му не може да бъде точно изразена като дроб m / n, където m и n са цели числа. Следователно десетичното му представяне никога не завършва и не е периодично. Ирационалността на числото е доказана за първи път от Йохан Ламберт през 1761 г. чрез разширяване на число в непрекъсната дроб. През 1794 г. Лежандр дава по-строго доказателство за ирационалността на числата u.
- трансцендентно число, т.е. не може да бъде корен на полином с цели коефициенти. Трансцендентността на число е доказана през 1882 г. от професор Линдеман от Кьонигсбергския и по-късно от Мюнхенския университет. Доказателството е опростено от Феликс Клайн през 1894 г.
- Тъй като в евклидовата геометрия площта на кръга и обиколката са функции на число, доказателството за трансцендентност сложи край на спора за квадратурата на кръга, продължил повече от 2,5 хиляди години.
През 1934 г. Гелфонд доказва трансцендентността на числото. През 1996 г. Юрий Нестеренко доказа, че за всяко естествено число и са алгебрично независими, от което, по-специално, трансцендентността на числата и следва.
е елемент от периодичния пръстен (и следователно изчислимо и аритметично число). Но не е известно дали принадлежи към пръстена на периодите.

Съотношения

Има много формули за числото:

Франсоа Виет:

Формула на Уолис:

Серия Лайбниц:

Други редове:

Няколко реда:

Ограничения:

ето прости числа

Самоличността на Ойлер:

Други връзки между константите:

Т. н. "интеграл на Поасон" или "интеграл на Гаус"

Интегрален синус:

Изразяване чрез дилогаритъм:

Чрез неправилния интеграл

История

Постоянен символ

За първи път британският математик Джоунс през 1706 г. използва обозначението на това число с гръцка буква и то става общоприето след работата на Леонхард Ойлер през 1737 г.

Това обозначение идва от началната буква на гръцките думи περιφέρεια – кръг, периферия и περίμετρος – периметър.

Историята на числата върви успоредно с развитието на цялата математика. Някои автори разделят целия процес на 3 периода: античния период, през който се изучава от позицията на геометрията, класическата епоха, следваща развитието на математическия анализ в Европа през 17 век, и ерата на цифровите компютри.

геометричен период

Фактът, че съотношението на обиколката към диаметъра е еднакво за всеки кръг и че това съотношение е малко повече от 3, е бил известен още на древните египетски, вавилонски, древноиндийски и древногръцки геометри. Най-ранното известно приближение датира от 1900 г. пр.н.е. д.; това са 25/8 (Вавилон) и 256/81 (Египет), като и двете стойности се различават от истинската с не повече от 1%. Ведическият текст "Shatapatha Brahmana" дава като 339/108 ≈ 3.139.

Алгоритъмът на Liu Hui за изчисления

Архимед може да е бил първият, който е предложил математически начин за изчисление. За да направи това, той вписва в кръг и описва правилни многоъгълници около него. Приемайки диаметъра на окръжност като единица, Архимед разглежда периметъра на вписан многоъгълник като долна граница за обиколката на окръжност, а периметъра на вписан многоъгълник като горна граница. Като се има предвид обикновен 96-ъгълник, Архимед получи оценка и прие, че тя е приблизително равна на 22/7 ≈ 3,142857142857143.

Джан Хенг през 2 век изяснява значението на числото, като предлага два негови еквивалента: 1) 92/29 ≈ 3,1724…; 2) ≈ 3,1622.

В Индия Aryabhata и Bhaskara използваха приблизително 3,1416. Варахамихира през 6-ти век използва приближение в Pancha Siddhantika.

Около 265 г. сл. Хр. д. математикът Лиу Хуей от царството Уей предостави прост и точен итеративен алгоритъм (англ. Liu Hui "s π алгоритъм) за изчисляване с всякаква степен на точност. Той независимо изчисли за 3072-gon и получи приблизителна стойност за според следното принцип:

По-късно Liu Hui измисли бърз метод за изчисление и достигна до приблизителна стойност от 3,1416 само с 96-ъгълник, като се възползва от факта, че разликата в площта на последователните полигони образува геометрична прогресия със знаменател от 4.

През 480-те години китайският математик Zu Chongzhi демонстрира, че ≈ 355/113 и показа, че 3,1415926< < 3,1415927, используя алгоритм Лю Хуэя применительно к 12288-угольнику. Это значение оставалось самым точным приближением числа в течение последующих 900 лет.

класически период

До 2-ро хилядолетие не са били известни повече от 10 цифри. По-нататъшните големи постижения в изследването са свързани с развитието на математическия анализ, по-специално с откриването на редове, които позволяват да се изчислява с всякаква точност, като се сумира подходящ брой членове в реда. През 1400 г. Мадхава от Сангамаграма намира първата от тези серии:

Този резултат е известен като серията Мадхава-Лайбниц или Грегъри-Лайбниц (след като е преоткрит от Джеймс Грегъри и Готфрид Лайбниц през 17 век). Тази редица обаче се сближава много бавно, което затруднява изчисляването на много цифри от числото на практика - необходимо е да се добавят около 4000 члена на серията, за да се подобри оценката на Архимед. Въпреки това, като преобразувате тази серия в

Мадхава успя да изчисли като 3,14159265359 чрез правилно идентифициране на 11 цифри във въведеното число. Този рекорд е счупен през 1424 г. от персийския математик Джамшид ал-Каши, който в своя труд, озаглавен „Трактат за кръга“, дава 17 цифри на числото, от които 16 са верни.

Първият голям европейски принос от времето на Архимед е този на холандския математик Лудолф ван Цойлен, който прекарва десет години в изчисляване на число с 20 десетични цифри (този резултат е публикуван през 1596 г.). Прилагайки метода на Архимед, той довежда удвояването до n-ъгълник, където n = 60 229. След като очертава своите резултати в есето „За обиколката“ („Van den Circkel“), Лудолф го завършва с думите: „Който има желание, нека отиде по-нататък“. След смъртта му в ръкописите му са открити още 15 точни цифри от числото. Лудолф завеща знаците, които намери, да бъдат издълбани върху надгробния му камък. след него числото понякога е наричано "числото на Лудолф" или "константата на Лудолф".

По това време в Европа започват да се развиват методи за анализ и дефиниране на безкрайни серии. Първото такова представяне беше формулата на Vieta:

открит от Франсоа Виет през 1593 г. Друг известен резултат е формулата на Уолис:

отгледан от Джон Уолис през 1655 г.

Подобни произведения:

Продуктът, доказващ връзката с числото на Ойлер e:

В съвремието за изчисляване се използват аналитични методи, базирани на идентичности. Формулите, изброени по-горе, са малко полезни за изчислителни цели, тъй като те или използват бавно сближаващи се серии, или изискват сложна операция за извличане на квадратен корен.

Първата ефективна формула е открита през 1706 г. от Джон Мачин.

Разгъване на аркутангенса в ред на Тейлър

можете да получите бързо сходяща серия, подходяща за изчисляване на число с голяма точност.

Формули от този тип, сега известни като Machin-подобни формули, се използват за поставяне на няколко последователни рекорда и остават най-известният метод за бързо изчисление в компютърната ера. Изключителен рекорд е поставен от феноменалния брояч Йохан Дасе, който през 1844 г., по нареждане на Гаус, прилага формулата на Мачин, за да изчисли 200 цифри в главата си. Най-добрият резултат до края на 19 век е получен от англичанина Уилям Шанкс, който отне 15 години, за да изчисли 707 цифри, въпреки че поради грешка само първите 527 бяха верни. За да се избегнат подобни грешки, съвременните изчисления от този вид се извършват два пъти. Ако резултатите съвпадат, тогава е вероятно да са верни. Грешката на Шанкс е открита от един от първите компютри през 1948 г.; той също преброи 808 знака за няколко часа.

Теоретичният напредък през 18-ти век доведе до прозрения за естеството на числото, които не биха могли да бъдат постигнати само чрез числено изчисление. Йохан Хайнрих Ламберт доказва ирационалността през 1761 г., а Адриен Мари Лежандр доказва ирационалността през 1774 г. През 1735 г. е установена връзка между простите числа и, когато Леонхард Ойлер решава известния Базелски проблем, проблемът за намиране на точната стойност

което съставлява. И Лежандър, и Ойлер предполагат, че може да бъде трансцендентен, което в крайна сметка е доказано през 1882 г. от Фердинанд фон Линдеман.

Смята се, че книгата на Уилям Джоунс Ново въведение в математиката от 1706 г. е първата, която въвежда използването на гръцка буква за тази константа, но тази нотация става особено популярна, след като Леонхард Ойлер я приема през 1737 г. Той написа:

Има много други начини за намиране на дължините или площите на съответната крива или равнинна фигура, което може значително да улесни практиката; например в кръг диаметърът е свързан с обиколката като 1 към

Вижте също: История на математическата нотация

Ерата на компютрите

Ерата на цифровите технологии през 20 век доведе до увеличаване на скоростта на появата на компютърни записи. Джон фон Нойман и други използваха ENIAC през 1949 г., за да изчислят 2037 цифри, което отне 70 часа. През следващите десетилетия бяха постигнати още хиляда цифри, а милионната марка беше премината през 1973 г. (десет цифри са достатъчни за всички практически цели). Този напредък се дължи не само на по-бързия хардуер, но и на алгоритмите. Един от най-значимите резултати беше откритието през 1960 г. на бързото преобразуване на Фурие, което направи възможно бързото извършване на аритметични операции с много големи числа.

В началото на 20 век индийският математик Шриниваса Рамануджан открива много нови формули за , някои от които стават известни със своята елегантност и математическа дълбочина. Една от тези формули е серия:

Братя Чудновски през 1987 г. откриха подобно на него:

което дава приблизително 14 цифри за всеки член на серията. Семейство Чудновски използва тази формула, за да постави няколко компютърни рекорда в края на 80-те години, включително този, който произвежда 1 011 196 691 десетични цифри през 1989 г. Тази формула се използва в програми, които изчисляват на персонални компютри, за разлика от суперкомпютрите, които поставят съвременни рекорди.

Въпреки че последователността обикновено подобрява точността с фиксирана сума с всеки следващ термин, има итеративни алгоритми, които умножават броя на правилните цифри на всяка стъпка, въпреки че изискват високи изчислителни разходи за всяка от тези стъпки. Пробив в това отношение е направен през 1975 г., когато Ричард Брент и Юджийн Саламин (математик) независимо един от друг откриват алгоритъма на Брент-Саламин (алгоритъм на Гаус-Лежандре), който, използвайки само аритметика, на всяка стъпка удвоява броя на известните знаци. Алгоритъмът се състои в задаване на начални стойности

и итерации:

докато an и bn са достатъчно близки. Тогава оценката се дава по формулата

Използвайки тази схема, 25 итерации са достатъчни, за да получите 45 милиона знака след десетичната запетая. Подобен алгоритъм, който учетворява прецизността на всяка стъпка, е открит от Джонатан Боруейн от Питър Боруейн. С тези методи Ясумаса Канада и неговата група, започвайки през 1980 г., поставиха най-много компютърни рекорди до 206 158 430 000 знака през 1999 г. През 2002 г. Канада и неговата група поставиха нов рекорд от 1 241 100 000 000 знака след десетичната запетая. Въпреки че повечето от предишните рекорди на Канада бяха поставени с помощта на алгоритъма на Brent-Salamin, изчислението от 2002 г. използваше две формули от тип Machin, които бяха по-бавни, но драстично намалиха използването на паметта. Изчислението е извършено на суперкомпютър Hitachi с 64 възела и 1 терабайт RAM, способен да извършва 2 трилиона операции в секунда.

Важно скорошно развитие е формулата на Bailey-Borwain-Plouffe, открита през 1997 г. от Simon Plouffe и кръстена на авторите на статията, в която е публикувана за първи път. Тази формула

забележително с това, че ви позволява да извлечете всяка конкретна шестнадесетична или двоична цифра от число, без да изчислявате предишните. От 1998 до 2000 г. разпределеният проект PiHex използва модифицирана BBP формула от Фабрис Белард, за да изчисли квадрилионния бит от число, което се оказа нула.

През 2006 г. Саймън Плъф откри редица красиви формули, използвайки PSLQ. Нека тогава q = eπ

и други видове

където q = eπ, k е нечетно число и a, b, c са рационални числа. Ако k е във формата 4m + 3, тогава тази формула има особено проста форма:

за рационално p, чийто знаменател е добре факторизируемо число, въпреки че все още не е предоставено строго доказателство.

През август 2009 г. учени от японския университет Цукуба изчислиха последователност от 2 576 980 377 524 знака след десетичната запетая.

На 31 декември 2009 г. френският програмист Фабрис Белард изчисли последователност от 2 699 999 990 000 знака след десетичната запетая на персонален компютър.

На 2 август 2010 г. американският студент Александър Йи и японският изследовател Шигеру Кондо (японски) руски. изчисли последователността с точност до 5 трилиона знака след десетичната запетая.

На 19 октомври 2011 г. Александър Йи и Шигеру Кондо изчисляват последователността с точност до 10 трилиона знака след десетичната запетая.

Рационални приближения

- Архимед (III в. пр. н. е.) - древногръцки математик, физик и инженер;

- Арябхата (V в. сл. н. е.) - индийски астроном и математик;

- Зу Чунджъ (5 в. сл. Хр.) - китайски астроном и математик.

Сравнение на точността на приближението:

Неразрешени въпроси

Не е известно дали числата и са алгебрично независими.
Точната мярка на ирационалност за числата и е неизвестна (но е известно, че за нея не надвишава 7,6063).
Мярката за ирационалност не е известна за нито едно от следните числа: дори не е известно за нито едно от тях дали е рационално число, алгебрично ирационално число или трансцендентно число.
Не е известно дали е цяло число за всяко положително цяло число (виж тетрация).
Не е известно дали принадлежи към пръстена на периодите.
Досега нищо не се знае за нормалността на числото; дори не е известно кои от цифрите 0-9 се срещат в десетичното представяне на числото безкраен брой пъти.

Метод на иглата на Buffon

Върху равнина, облицована с равноотстоящи линии, произволно се хвърля игла, чиято дължина е равна на разстоянието между съседните линии, така че при всяко хвърляне иглата или не пресича линиите, или пресича точно една. Може да се докаже, че съотношението на броя на пресичанията на иглата с някаква линия към общия брой хвърляния клони към безкрайност, когато броят на хвърлянията нараства до безкрайност. Този метод на иглата се основава на теорията на вероятностите и е в основата на метода Монте Карло.

Мнемонични правила

Стихове за запомняне на 8-11 цифри от числото π:

Запомнянето може да бъде подпомогнато чрез спазване на поетичния размер:

Три, четиринадесет, петнадесет, девет две, шест пет, три пет
Осем девет, седем и девет, три две, три осем, четиридесет и шест
Две шест четири, три три осем, три две седем девет, пет нула две
Осем осем и четири деветнадесет седем едно

Има стихове, в които първите цифри на числото π са кодирани като броя на буквите в думите:

Подобни стихове е имало и в предреформения правопис. Следното стихотворение, за да се намери съответната цифра на числото π, трябва да се преброи и буквата "ер":

Кой и на шега и скоро желаят
Пи разберете, номерът вече знае.

Има стихове, които улесняват запомнянето на числото π на други езици. Например, това стихотворение на френски ви позволява да запомните първите 126 цифри на числото π.

Допълнителни факти

Паметник на числото "пи" на стълбите пред Музея на изкуствата в Сиатъл

Древните египтяни и Архимед са взели стойността от 3 до 3.160, арабските математици са преброили числото.
Световният рекорд по запаметяване на десетични знаци принадлежи на китаеца Лиу Чао, който през 2006 г. възпроизвежда 67 890 десетични знака без грешка в рамките на 24 часа и 4 минути. През същата 2006 г. японецът Акира Харагучи заяви, че си спомня числото до 100 000-ия знак след десетичната запетая, но официално не беше възможно да се провери това.
В щата Индиана (САЩ) през 1897 г. е издадена сметка (виж: en: Indiana Pi Bill), която законово установява стойността на pi, равна на 3,2. Този законопроект не стана закон поради навременната намеса на професор от университета Пърдю, който присъстваше в законодателния орган на щата по време на разглеждането на този закон.
„Пи за гренландските китове е три“ е написано в Наръчника на китолова от 60-те години.
Към 2010 г. са изчислени 5 трилиона знака след десетичната запетая.
Към 2011 г. са изчислени 10 трилиона знака след десетичната запетая.
Към 2014 г. са изчислени 13,3 трилиона знака след десетичната запетая.

В културата

Има игрален филм, кръстен на Пи.
Неофициалният празник "Денят на Пи" се отбелязва ежегодно на 14 март, което в американския формат на датата (месец / ден) се изписва като 3.14, което съответства на приблизителна стойност на числото. Смята се, че празникът е измислен през 1987 г. от физика от Сан Франциско Лари Шоу, който обърнал внимание на факта, че на 14 март точно в 01:59 датата и часът съвпадат с първите цифри на Pi = 3,14159.
Друга дата, свързана с числото, е 22 юли, който се нарича „Ден на приближаване на Пи“, тъй като в европейския формат на датата този ден се записва като 22/7, а стойността на тази дроб е приблизителна стойност на числото.

Вижте също

Квадратура на кръга
Рационална тригонометрия
Файнман точка

Бележки

Тази дефиниция е подходяща само за евклидова геометрия. В други геометрии съотношението на обиколката на кръг към дължината на неговия диаметър може да бъде произволно. Например в геометрията на Лобачевски това съотношение е по-малко от
Ламберт, Йохан Хайнрих. Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques, стр. 265–322.
Доказателството на Клайн е приложено към работата „Проблеми на елементарната и висшата математика“, част 1, публикувана в Гьотинген през 1908 г.
Weisstein, Константата на Ерик У. Гелфонд в Wolfram MathWorld.
1 2 Weisstein, Eric W. Ирационално число в Wolfram MathWorld.
Модулни функции и проблеми на трансцендентността
Weisstein, Eric W. Pi Squared в Wolfram MathWorld.
В днешно време с помощта на компютър числото се изчислява с точност до един милион цифри, което е по-скоро технически, отколкото научен интерес, тъй като по принцип никой не се нуждае от такава точност.
Точността на изчислението обикновено се ограничава от наличните ресурси на компютъра - най-често от времето, малко по-рядко - от обема на паметта.
Брент, Ричард (1975), Трауб, Дж. Ф., изд., „Методи за намиране на нула с множество точности и сложността на оценката на елементарната функция““, Аналитична изчислителна сложност (Ню Йорк: Academic Press): 151–176, (Английски)
Джонатан М Боруейн. Пи: Книга-източник. - Springer, 2004. - ISBN 0387205713. (английски)
1 2 Дейвид Х. Бейли, Питър Б. Боруейн, Саймън Плуф. За бързото изчисляване на различни полилогаритмични константи // Математика на изчисленията. - 1997. - Т. 66, бр. 218. - С. 903-913. (Английски)
Фабрис Белард. Нова формула за изчисляване на n-тата двоична цифра на pi. Посетен на 11 януари 2010 г. Архивиран от оригинала на 22 август 2011 г.
Симон Плуф. Идентичности, вдъхновени от тетрадките на Рамануджан (част 2). Посетен на 11 януари 2010 г. Архивиран от оригинала на 22 август 2011 г.
Поставен е нов рекорд за точност на изчисляване на числото π
Изчислителен запис на Pi
Числото "Пи" е изчислено с рекордна точност
1 2 5 трилиона цифри на Пи - нов световен рекорд
10 трилиона десетични цифри, дефинирани за π
1 2 Кръг 2…10 трилиона цифри от Пи
Weisstein, Eric W. Мярка за ирационалност в Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Pi (английски) на уебсайта на Wolfram MathWorld.
en:Ирационално число#Отворени въпроси
Някои нерешени проблеми в теорията на числата
Weisstein, Eric W. Трансцендентно число в Wolfram MathWorld.
Въведение в методите на ирационалността и трансцендентността
Измама или заблуда? Квант № 5 1983 г
Г. А. Галперин. Билярдна динамична система за пи.
Лудолфово число. Пи. Пи.
Китайски студент счупи рекорд на Гинес, като изрецитира 67 890 цифри от пи
Интервю с г-н. Чао Лу
Как някой може да запомни 100 000 числа? - The Japan Times, 17/12/2006.
Световна класация на Pi
Сметката за Пи от Индиана, 1897 г
V. I. Arnold обича да цитира този факт, вижте например книгата What is Mathematics (ps), стр. 9.
Александър Дж. Йи. y-cruncher - многопоточна Pi-програма. y-cruncher.
Статия в Los Angeles Times „Искате ли парче“? (името играе на сходството в изписването на числото и думата пай (англ. pie)) (недостъпна връзка от 22-05-2013 (859 дни) - история, копие) (англ.).

Литература

Жуков А. В. На числото π. - М.: МЦМНО, 2002. - 32 с. - ISBN 5-94057-030-5.
Жуков А. В. Вездесъщото число "пи". - 2-ро изд. - М .: Издателство LKI, 2007. - 216 с. - ISBN 978-5-382-00174-6.
Перелман Я. И. Квадратура на кръга. - Л .: Дом на забавната наука, 1941.

Връзки

Weisstein, Eric W. Pi Formulas (английски) на уебсайта на Wolfram MathWorld.
Различни представяния на pi на Wolfram Alpha
последователност A000796 в OEIS

Числа със собствени имена
Градуси от хиляда	Хиляди Милиони Милиарди Милиарди Трилиони Квадрилиони ... Центилиони
Стари руски номера	Легион на мрака (невеж) Леодр Вран (гарван) Колода
Други степени на десет	Myriad Googol Asankheyya Googolplex
Степени на дванадесет	Дузина бруто маса
Други естествени	Дяволската дузина Числото на звяра Числото на Рамануджан-Харди Числото на Греъм Числото Скуес Числото Мозер
Други числа	ПиЗлатно съотношение Сребърно съотношение e (число на Ойлер) Константа на Ойлер-Машерони Константи на Фейгенбаум Константа на Гелфонд Константа на Брун Константа на Каталан Константа на Апери Въображаема единица

pi е числото на звяра, pi е числото на Мах, pi е pi, pi е числото на фибоначи

Pi (число) Информация за

Какво е числото пизнаем и помним от училище. Равно е на 3,1415926 и така нататък... За обикновения човек е достатъчно да знае, че това число се получава, като обиколката на кръга се раздели на диаметъра му. Но много хора знаят, че числото Пи се появява в неочаквани области не само в математиката и геометрията, но и във физиката. Е, ако се задълбочите в детайлите на естеството на това число, можете да видите много изненади сред безкрайната поредица от числа. Възможно ли е Пи да крие най-дълбоките тайни на Вселената?

Безкраен брой

Самото число Пи възниква в нашия свят като дължина на кръг, чийто диаметър е равен на единица. Но въпреки факта, че сегментът, равен на Pi, е доста краен, числото Pi започва като 3,1415926 и отива до безкрайност в редици от числа, които никога не се повтарят. Първият изненадващ факт е, че това число, използвано в геометрията, не може да бъде изразено като част от цели числа. С други думи, не можете да го напишете като отношение на две числа a/b. Освен това числото Пи е трансцендентално. Това означава, че не съществува такова уравнение (полином) с цели коефициенти, чието решение би било Pi.

Фактът, че числото Пи е трансцендентно, е доказан през 1882 г. от немския математик фон Линдеман. Именно това доказателство стана отговорът на въпроса дали е възможно да се начертае квадрат с компас и владетел, чиято площ е равна на площта на даден кръг. Този проблем е известен като търсенето на квадратурата на окръжност, който тревожи човечеството от древни времена. Изглежда, че този проблем има просто решение и е на път да бъде разкрит. Но това беше неразбираемо свойство на пи, което показа, че проблемът с квадратурата на кръга няма решение.

В продължение на поне четири и половина хилядолетия човечеството се опитва да получи все по-точна стойност на пи. Например в Библията в 1-ва книга на царете (7:23) числото пи се приема равно на 3.

Забележителна по отношение на точността, стойността на Пи може да бъде намерена в пирамидите в Гиза: съотношението на периметъра и височината на пирамидите е 22/7. Тази фракция дава приблизителна стойност на Pi, равна на 3,142 ... Освен ако, разбира се, египтяните не са задали такова съотношение случайно. Същата стойност вече във връзка с изчисляването на числото Пи е получена през III век пр.н.е. от великия Архимед.

В папируса на Ахмес, древен египетски учебник по математика, който датира от 1650 г. пр. н. е., Пи се изчислява като 3,160493827.

В древни индийски текстове около 9 век пр. н. е. най-точната стойност е изразена с числото 339/108, което се равнява на 3,1388 ...

В продължение на почти две хиляди години след Архимед хората се опитват да намерят начини да изчислят пи. Сред тях имаше както известни, така и неизвестни математици. Например римският архитект Марк Витрувий Полио, египетският астроном Клавдий Птолемей, китайският математик Лиу Хуей, индийският мъдрец Ариабхата, средновековният математик Леонардо от Пиза, известен като Фибоначи, арабският учен Ал-Хорезми, от чието име идва думата се появи "алгоритъм". Всички те и много други хора са търсили най-точните методи за изчисляване на Пи, но до 15 век никога не са получавали повече от 10 цифри след десетичната запетая поради сложността на изчисленията.

И накрая, през 1400 г. индийският математик Мадхава от Сангамаграмата изчислява Пи с точност до 13 цифри (въпреки че все още прави грешка в последните две).

Брой знаци

През 17 век Лайбниц и Нютон откриват анализа на безкрайно малките величини, което прави възможно по-прогресивното изчисляване на пи - чрез степенни редове и интеграли. Самият Нютон изчислява 16 знака след десетичната запетая, но не споменава това в книгите си - това става известно след смъртта му. Нютон твърди, че е изчислил Пи само от скука.

Почти по същото време други по-малко известни математици също се надигнаха, предлагайки нови формули за изчисляване на числото Пи чрез тригонометрични функции.

Например, ето формулата, използвана за изчисляване на Pi от учителя по астрономия Джон Мачин през 1706 г.: PI / 4 = 4arctg(1/5) - arctg(1/239). Използвайки методи за анализ, Мачин извежда от тази формула числото Пи със сто знака след десетичната запетая.

Между другото, през същата 1706 г. числото Пи получава официално обозначение под формата на гръцка буква: използвано е от Уилям Джоунс в работата му по математика, като първата буква на гръцката дума „периферия“, което означава „кръг“. Роден през 1707 г., великият Леонхард Ойлер популяризира това обозначение, което сега е известно на всеки ученик.

Преди ерата на компютрите математиците се интересуваха от изчисляването на възможно най-много знаци. В това отношение понякога имаше любопитни моменти. Математик-любител У. Шанкс изчисли 707 цифри от пи през 1875 г. Тези седемстотин знака са увековечени на стената на Двореца на откритията в Париж през 1937 г. Девет години по-късно обаче наблюдателни математици установяват, че само първите 527 знака са правилно изчислени. Музеят трябваше да направи прилични разходи, за да поправи грешката - сега всички числа са верни.

Когато се появиха компютрите, броят на цифрите на Пи започна да се изчислява в напълно невъобразими редове.

Един от първите електронни компютри ENIAC, създаден през 1946 г., който беше огромен и генерираше толкова много топлина, че стаята се затопли до 50 градуса по Целзий, изчисли първите 2037 цифри на Пи. Това изчисление отне на колата 70 часа.

С подобряването на компютрите познанията ни за пи отиваха все по-далеч и по-далеч в безкрайността. През 1958 г. са изчислени 10 хиляди цифри от числото. През 1987 г. японците изчисляват 10 013 395 знака. През 2011 г. японският изследовател Шигеру Хондо премина границата от 10 трилиона.

Къде другаде можете да намерите Пи?

Така че често нашите знания за числото Пи остават на училищно ниво и знаем със сигурност, че това число е незаменимо на първо място в геометрията.

В допълнение към формулите за дължина и площ на кръг, числото Pi се използва във формулите за елипси, сфери, конуси, цилиндри, елипсоиди и т.н.: някъде формулите са прости и лесни за запомняне, а някъде съдържат много сложни интеграли.

Тогава можем да срещнем числото Пи в математически формули, където на пръв поглед геометрията не се вижда. Например неопределеният интеграл на 1/(1-x^2) е Pi.

Пи често се използва в серийния анализ. Например, ето една проста серия, която се сближава с pi:

1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - .... = PI/4

Сред сериите пи се появява най-неочаквано в добре познатата дзета функция на Риман. Няма да е възможно да кажем за това накратко, ще кажем само, че някой ден числото Pi ще помогне да се намери формула за изчисляване на прости числа.

И е абсолютно удивително: Пи се появява в две от най-красивите „кралски“ формули на математиката – формулата на Стърлинг (която помага да се намери приблизителната стойност на факториела и гама-функцията) и формулата на Ойлер (която се отнася до пет математически константи).

Но най-неочакваното откритие очакваше математиците в теорията на вероятностите. Пи също е там.

Например вероятността две числа да са относително прости е 6/PI^2.

Пи се появява в задачата на Буфон за хвърляне на игла от 18-ти век: каква е вероятността игла, хвърлена върху лист хартия с модел, да пресече една от линиите. Ако дължината на иглата е L, а разстоянието между линиите е L и r > L, тогава можем приблизително да изчислим стойността на Pi, като използваме вероятностната формула 2L/rPI. Само си представете - можем да получим Пи от случайни събития. И между другото Pi присъства в нормалното разпределение на вероятностите, появява се в уравнението на известната крива на Гаус. Означава ли това, че pi е дори по-фундаментално от съотношението на обиколката на кръг към неговия диаметър?

Пи можем да срещнем и във физиката. Пи се появява в закона на Кулон, който описва силата на взаимодействие между два заряда, в третия закон на Кеплер, който показва периода на въртене на планетата около Слънцето, и дори се среща в подреждането на електронни орбитали на водороден атом. И отново, най-невероятното е, че числото Пи е скрито във формулата на принципа на неопределеността на Хайзенберг, основният закон на квантовата физика.

Тайните на Пи

В романа на Карл Сейгън "Контакт", който е базиран на едноименния филм, извънземни съобщават на героинята, че сред знаците на Пи има тайно послание от Бог. От определена позиция числата в числото престават да бъдат произволни и представляват код, в който са записани всички тайни на Вселената.

Този роман всъщност отразява загадката, която занимава умовете на математиците по цялата планета: дали числото Пи е нормално число, в което цифрите са разпръснати с еднаква честота, или нещо не е наред с това число. И въпреки че учените са склонни към първия вариант (но не могат да го докажат), Пи изглежда много мистериозно. Един японец веднъж изчисли колко пъти числата от 0 до 9 се срещат в първите трилиона цифри на пи. И видях, че числата 2, 4 и 8 са по-често срещани от останалите. Това може да е един от намеците, че Пи не е съвсем нормално и числата в него наистина не са случайни.

Нека си припомним всичко, което прочетохме по-горе и се запитаме кое друго ирационално и трансцендентно число е толкова често срещано в реалния свят?

Има и други странности. Например сумата от първите двадесет цифри на Пи е 20, а сумата от първите 144 цифри е равна на "числото на звяра" 666.

Главният герой на американския телевизионен сериал „Заподозреният“, професор Финч, каза на студентите, че поради безкрайността на пи в него може да се появи всяка комбинация от числа, от числата на вашата дата на раждане до по-сложни числа. Например на 762-ра позиция има поредица от шест деветки. Тази позиция се нарича точка на Файнман, на името на известния физик, който забеляза тази интересна комбинация.

Знаем също, че числото Пи съдържа редицата 0123456789, но тя се намира на 17 387 594 880-та цифра.

Всичко това означава, че в безкрайността на числото Пи могат да се намерят не само интересни комбинации от числа, но и закодираният текст на "Война и мир", Библията и дори Главната тайна на Вселената, ако тя съществува.

Между другото, за Библията. Известният популяризатор на математиката Мартин Гарднър през 1966 г. заявява, че милионният знак на числото Пи (все още неизвестно по това време) ще бъде числото 5. Той обяснява изчисленията си с факта, че в английската версия на Библията, в 3-та книга, 14-та глава, 16 -m стих (3-14-16) седмата дума съдържа пет букви. Милионната цифра е получена осем години по-късно. Беше номер пет.

Струва ли си след това да се твърди, че числото пи е случайно?