Всяка квадратна матрица е свързана с два полинома: характерен и минимален. Тези полиноми играят важна роля в различни въпроси на матричната теория. Така например концепцията за функция на матрица, която ще въведем в следващата глава, ще се основава изцяло на концепцията за минимален полином на матрица. Тази глава обсъжда свойствата на характеристичния и минималния полином. Това изследване е предшествано от основна информация за полиноми с матрични коефициенти и за действия върху тях.

§ 1. Събиране и умножение на матрични полиноми

Да разгледаме квадратна полиномиална матрица, т.е. квадратна матрица, чиито елементи са полиноми по отношение на (с коефициенти от дадено числово поле):

Матрицата може да бъде представена като полином с коефициенти на матрицата, разположени в степени на:

. (3)

Числото се нарича степен на полином, ако . Числото се нарича ред на полинома. Полином (1) ще се нарича правилен, ако .

Полином с матрични коефициенти понякога ще се нарича матричен полином. За разлика от матричния полином, обикновеният полином със скаларни коефициенти ще се нарича скаларен полином.

Разгледайте основните операции върху матрични полиноми. Нека са дадени два матрични полинома от един и същ ред и . Означаваме с най-голямата от степените на тези полиноми. Тези полиноми могат да бъдат записани като

т.е. сумата (разликата) на два матрични полинома от един и същи ред може да бъде представена като полином, чиято степен не надвишава най-голямата от степените на тези полиноми.

Нека са дадени два матрични полинома и степени и от един и същи ред:

Ако умножим по (т.е. ако променим реда на факторите), тогава бихме получили, като цяло, различен полином.

Умножението на матрични полиноми има още едно специфично свойство. За разлика от произведението на скаларните полиноми, произведението на матричните полиноми (4) може да има степен по-малка от , т.е. по-малка от сумата на степените на факторите. Действително, в (4) произведението на матриците може да бъде равно на нула за и . Ако обаче поне една от матриците е неособена, тогава от и следва: . По този начин произведението на два матрични полинома е равно на полином, чиято степен е по-малка или равна на сумата от степените на факторите. Ако поне един от двата фактора е правилен полином, то в този случай степента на произведението винаги е равна на сумата от степените на факторите.

Матричният полином от -ти ред може да бъде написан по два начина:

И двете обозначения за скалар дават един и същ резултат. Въпреки това, ако искаме да заместим квадратна матрица от ти ред вместо скаларен аргумент, тогава резултатите от заместванията в (5) и (5") най-общо казано ще бъдат различни, тъй като степените на матрицата може да не да бъде пермутабилен с матрични коефициенти.

и ще се нарича дясна и лява стойност на матричния полином, когато се замести вместо матрицата .

Разгледайте отново два матрични полинома

,

и тяхната работа

Трансформациите в идентичността (7") остават валидни, когато се заменят с матрица от ред, ако само матрицата пермутира с всички коефициенти на матрицата. По същия начин, в идентичността (7"), може да се замени скалар с матрица, ако матрицата пермутира с всички коефициенти . В първия случай получаваме: всяка матрица от ти порядък винаги удовлетворява тъждествата

, . (9)

Матричен полином в променлива е израз на формата

F(l) \u003d Ao lm + A1 lm-1 + A2 lm-2 + ... + Am, (1)

където Ao, ..., Am са квадратни матрици от един и същи ред с елементи от главното поле K. Числото m се нарича степен на полинома, ако Ao?0. Два полинома се наричат ​​равни, ако матриците в тези полиноми са равни за еднакви степени на променливата l. Матричните n-полиноми се събират и умножават по обичайните правила. Ясно е, че всеки n-полином може да се запише като единична матрица, чиито елементи са обикновени полиноми от n, и обратно. Например,

1 2 + 5 6 l + 1 0 lI \u003d lI + 5l + 1 6+ 2

0 3 7 -2 0 1 7l lI-2l + 3 .

Следователно матричните n-полиноми са само специална форма на запис на n-матрици.

Полиномът F(n) се нарича регулярен, ако матрицата Ao е обратима.

Сумата (разликата) на два матрични полинома от един и същи ред може да бъде представена като полином, чиято степен не надвишава най-голямата от степените на тези полиноми.

Произведението на два матрични полинома е равно на полином, чиято степен е по-малка или равна на сумата от степените на факторите. Ако поне един от двата фактора е правилен полином, то в този случай степента на произведението винаги е равна на сумата от степените на факторите.

Нека са дадени два матрични полинома A(l) и B(l) от един и същи ред n и B(l) е правилен полином:

A(l) \u003d Aolm + A1lm-1 + ... + Am (Ao? 0),

В(l) = Volr + В1лр-1 + … + Вр(|Во|?0).

Ще кажем, че матричните полиноми Q(l) и R(l) са съответно дясно частно и десен остатък, когато A(l) се дели на B(l), ако

A(l) = Q(l)B(l) + R(l)(2)

и степента R(l) е по-малка от степента B(l).

Съвсем аналогично ще наречем полиномите ^Q(n) и ^R(l), съответно ляво частно и ляв остатък, когато A(n) се дели на B(n), ако

A(l) = B(l) ^Q(l) + ^R(l)(3)

и степента на R(n) е по-малка от степента на B(n).

В общия случай полиномите Q(x) и R(x) не съвпадат с ^Q(x) и ^R(x).

Нека покажем, че както дясното, така и лявото деление на матрични полиноми от един и същи ред винаги е възможно и уникално, ако делителят е правилен полином.

Да разгледаме правилното деление на A(n) на B(n). Ако m

A (l) \u003d AoBo -1lm-pB (l) + A (1) (l). (4)

Степента m(1) на полинома A(1)(l) е по-малка от m:

A(1)(l) = Ao(1) lm(1) + ... (Ao(1)?0, m(1)

Ако m(1)?p, повторете този процес, получаваме:

A (1) (l) \u003d Ao (1) Bo -1 lm (1) -p B (l) + A (2) (l), (6)

A (2) (l) \u003d A (2) lm (2) + ... (m (2)

Тъй като степените на полиномите A(l), A(1)(l), A(2)(l), ... намаляват, тогава на някакъв етап ще стигнем до остатък R(l), чиято степен е по-малка отколкото p. Тогава от (4), (6) ще следва:

A(l) = Q(l) B(l) + R(l),

където Q(l) = АоВо-1 lm-р + Ао(1)Во-1 lm(1)-р + …(7)

Нека сега докажем уникалността на правилното деление. Нека в същото време

A(l) = Q(l) B(l) + R(l)(8)

A(l) = Q*(l) B(l) + R*(l),(9)

където степените на полиномите R(l) и R*(l) са по-малки от степента B(l), т.е. по-малко от r. Изваждайки член по член (8) от (9), получаваме:

V (l) \u003d R * (l) - R (l). (10)

Ако Q(l) - Q*(l) ? 0, тогава тъй като |Во|?0, степента на лявата страна на равенството (10) ще бъде равна на сумата от степените на B(l) и Q(l) - Q*(l) и следователно ще бъде ?r. Това е невъзможно, тъй като степента на полинома от дясната страна на равенството (10) е по-малка от p. Така Q(l) - Q*(l)?0, а след това от (10) R*(l) - R(l)?0, т.е.

Q(l) = Q*(l), R(l) = R*(l).

Съществуването и уникалността на лявото частно и левия остатък се установяват по абсолютно същия начин.

ТЕОРЕМА 1. (Обобщена теорема на Безу). При дясно (ляво) деление на матричния полином F(n) на бинома nE-A, остатъкът от делението е равен на F(A) (съответно ^F(A)).

Доказателство. Да разгледаме произволен матричен полином от n-ти ред

F(l) \u003d Fo lm + F1 lm-1 + ... + Fm (Fo? 0) (11)

Този полином може да се запише и така:

F(l) \u003d lm Fo + lm-1 F1 + ... + Fm (12)

И двата записа за скалар l дават един и същ резултат. Въпреки това, ако вместо скаларния аргумент l заместим квадратна матрица от n-ти ред A, тогава резултатите от заместването в (11) и (12) ще бъдат различни, тъй като степените на матрицата A може да не са пермутабилни с коефициенти на матрицата Fo, F1, ..., Fm.

F(А) = Fo Аm+ F1 Am-1 + … + Fm (13)

^F(A) \u003d Am Fo + Am-1 F1 + ... + Fm (14)

и ще наречем F(A) дясната, а ^F(A) лявата стойност на полинома F(n), когато матрицата A е заменена с l.

Разделяме полинома F(n) на бинома le-A. В този случай десният остатък R и левият остатък ^R няма да зависят от l. За да определите десния остатък, разгледайте обичайната схема за деление:

F(l) \u003d Fo lm + F1 lm-1 + ... + Fm \u003d Fo lm-1 (lE-A) + (Fo A + F1) lm-1 + F2 lm-2 + ... =

\u003d (lE-A) + (Fo A2 + F1A1 + F2) lm-2 + F3 lm-3 + ... = ...

… = (lE-A) +

Fo Am + F1Am-1 + ... + Fm

Открихме това

R \u003d Fo Am + F1Am-1 + ... + Fm \u003d F (A). (15)

Напълно подобни

От доказаната теорема следва, че полиномът F(n) се дели отдясно (вляво) без остатък на бинома nE-A тогава и само ако F(A)=0 (съответно ^F(A)=0).

Проверете дали A()=Q()B() + R().

A() = - 3 -2 2 +1 3 3 + =

1 2 3 + 0 1 2 + 1 0 + 0 0

1 3 -2 0 0 1 1 0 .

2 2 +3 - 2 +1 2 -1 2 + 3 1

B() = - 2 -1 2 +2 = -1 1 -1 2,

1 1 3 5 2 +4 2 2 +13

|B o | \u003d 1, B o -1 \u003d 1 2, A 0 B 0 -1 \u003d 2 5, A 0 B 0 -1 B () = - 2 +1 3 2 +12,

3 + 2 3 + 2 3 +4 2 3 +13 -3 2 -13

A (1) () \u003d - 3 -2 2 +1 3 3 + - - 3 + 3 3 +12 \u003d -2 2 - + 1 -11,

0 1 2 + -3 -13 + 0 0

A (1) ()= -2 0 -1 -11 1 0 ,

A 0 (1) B 0 -1 () \u003d -2 0 1 2 \u003d -2 -2,

1 2 2 2 +3 - 2 +1 = 1 2 +5

A 0 (1) B 0 -1 B () = -2 -2 - 2 -1 2 +1 -2 2 -4 -6,

R()= A (1) () - A 0 (1) B 0 -1 B()=

3 2 -13 - 1 2 +5 = -3-1 -13 -5

2 2 -+1 -11 -2 4 -4 -6 -+5 -11+6 ,

3 5 + 1 2 3+1 5+2

Q() = A 0 B 0 -1 + A 0 (1) B 0 -1 = 2 5 -2 -2 = 2-2 5-2

Сервизно задание. Матричен калкулаторпредназначени за решаване на матрични изрази като 3A-CB 2 или A -1 +B T .

Инструкция. За онлайн решение трябва да посочите матричен израз. На втория етап ще е необходимо да се изяснят размерите на матриците.

Матрични действия

Валидни операции: умножение (*), събиране (+), изваждане (-), обратна матрица A^(-1), степенуване (A^2, B^3), транспониране на матрица (A^T).

Валидни операции: умножение (*), събиране (+), изваждане (-), обратна матрица A^(-1), степенуване (A^2, B^3), транспониране на матрица (A^T).
За да извършите списък с операции, използвайте разделителя точка и запетая (;). Например, за да извършите три операции:
а) 3A + 4B
б) AB-BA
в) (A-B) -1
ще трябва да се запише по следния начин: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Матрицата е правоъгълна числова таблица с m реда и n колони, така че матрицата може да бъде схематично представена като правоъгълник.
Нулева матрица (нулева матрица)се нарича матрица, всички елементи на която са равни на нула и означават 0.
матрица на идентичносттасе нарича квадратна матрица на формата

Две матрици A и B са равниако са с еднакъв размер и съответните им елементи са равни.
Сингулярна матрицасе нарича матрица, чиято детерминанта е равна на нула (Δ = 0).

Да дефинираме основни операции с матрици.

Събиране на матрица

Определение . Сумата от две матрици с еднакъв размер е матрица с еднакви размери, чиито елементи се намират по формулата . Означава се C = A+B.

Пример 6 . .
Операцията на събиране на матрици се простира до произволен брой членове. Очевидно A+0=A.
Още веднъж подчертаваме, че могат да се добавят само матрици с еднакъв размер; за матрици с различни размери операцията събиране не е дефинирана.

Матрично изваждане

Определение . Разликата B-A на матрици B и A с еднакъв размер е матрица C, такава че A + C = B.

Матрично умножение

Определение . Произведението на матрица с число α е матрицата, получена от A чрез умножаване на всички нейни елементи по α, .
Определение . Нека са дадени две матрици и , а броят на колоните A е равен на броя на редовете B. Произведението на A по B е матрица, чиито елементи се намират по формулата .
Означава се C = A B.
Схематично операцията на умножението на матрицата може да бъде изобразена по следния начин:

и правилото за изчисляване на елемент в продукт:

Още веднъж подчертаваме, че продуктът A B има смисъл тогава и само ако броят на колоните на първия фактор е равен на броя на редовете на втория и в този случай продуктът произвежда матрица, чийто брой редове е равен на броят на редовете на първия фактор, а броят на колоните е равен на броя на колоните на втория. Можете да проверите резултата от умножението чрез специален онлайн калкулатор.

Пример 7 . Матрични данни и . Намерете матриците C = A·B и D = B·A.
Решение. Първо, отбележете, че продуктът A B съществува, защото броят на колоните в A е равен на броя на редовете в B.

Обърнете внимание, че в общия случай A·B≠B·A , т.е. произведението на матриците е антикомутативно.
Нека намерим B·A (умножението е възможно).

Пример 8 . Дадена е матрица . Намерете 3A 2 - 2A.
Решение.

.
; .
.
Отбелязваме следния любопитен факт.
Както знаете, произведението на две ненулеви числа не е равно на нула. За матриците такова обстоятелство може да не се случи, т.е. произведението на ненулевите матрици може да се окаже равно на нулевата матрица.

Полином (полином) в матрица А нар. Изразяване на формата: p (A) \u003d a A + a A + ... a A² + a A + a A

Нека е даден полином p(X), ако p(A)=0, т.е. p(A) е нула, тогава M. A се нарича. коренът на полинома p(X), а полиномът p(X) е унищожаващият полином в матрицата A.

Правилото на Сариус за знаците за 3-ти ред.

Непълнолетният се обади. детерминантата, получена чрез изтриване на реда и колоната, на които стои дадения елемент.

Alg. добавяне на имейл. Айк се обади. минор, взет със знак Аik=(-1) Mik .

Разлагане на ∆ от 3-ти ред по елементите на първи ред: ∆=a11A11+a12A12+a13A13 .

Обратно квадратна матрица матрица А нар. кв. матрица A¯¹ удовлетворява. рав. A A¯¹= A¯¹ A=E.

кв. матрица, наречена. неизроден, ако неговият det≠0.

теор. Всеки. невраждебни матрица А не харесва. й обр. матрица: А¯¹=A/detA.

Произволно неизродено. матрица може да се сведе до един единствен (AE) – метод на Jordano.

Намиране на обр. матрица с помощта на имейл конвертор теор. Ако към единици матрица от ред n прилагат еднакви ел. преобразуване, само над редовете и в същия ред с помощ. който. невраждебни кв. матрица A се редуцира до единица, тогава получената матрица ще бъде обратна на A. (A|E)(E|A¯¹).

Ax=B yA=B

x=A¯¹B y=BA¯¹

Ранг на матрицата

В матр. м*н S-редове, S-колона. (1≤S≤min(m,n)). Елем., стои. на кръстосано. изберете стр. колона. обр. матрица ред S. Детерминантата на тази матрица се нарича. второстепенен ред S матрица A.

Тази детерминанта се нарича второстепенни норми от втори ред. матрица Аналогов. получени други непълнолетни разп. por., а също и tert. пор., някои. от тях биха могли. = 0.

Ранг на матрицата. Наречен макс. от поръчките на непълнолетните си, ≠0.

Ако всички второстепенни =0, тогава ранг =0.

Свойства на ранга

1. R транспониране. матрица = R оригинал.

2. R M. не е заседнал. От липсата или наличието на нулеви линии в него.

3. Имейл конвертор R мат. не съм аз. С тяхна помощ. матрица може да се редуцира до квазитриъгълна форма, R която. = r, защото минорната му от гл. Diog. е равно на произведените. и ≠0, и всички второстепенни от по-висок порядък =0, като съдържащи нула редове.

Матрична нотация на линейна система

A=(Coof.), X=(неизвестен), B=(St. Member), Ấ=(Coof и St. членове)

Неизродени сист.

|a11 a12 .. b1 .. a1m|

∆=|coof.| , ∆k=| a21 a22 .. b2 .. a2m|

|………………………………..|

| am1 am2 ..bm ..amm|

Теорема на Крамър. Неизразено лин. сито има единица решение x1=∆1/∆ , x2=∆2/∆………

Метод на Гаус-Джордано (и обратно)

Заключение в имейл конвертор матрица

ВЕКТОЙ

Колинеарен vect. - в легнало положение на || прави линии или на една права линия.

Равни и др. - Колин. и имащи същото. посока и дължина.

Отсреща наречен. вектори и с равни дължини.

St. вектори - така наречените приложения, на които могат да бъдат избрани произволно.

Радиус векторът на т.нар. вектор т. приложения на които е нач. координата, а краят е в t.

Насочващите косинуси на векторите се наричат. косинуси на образуваните от тях ъгли α, β, γ с коорд. брадви.

|r|=√(x²+y²+z²) x=|r|cosα y=|r|cosβ … … => cosα=x/√(x²+y²+z²)

Единичен вектор e=(cos,cos,cosγ)

Coord. лин. комбинации от вектори

Дадени са n вектора. Лин. Гребен. a=α1*a1+α2*a2+…+αn*an x= α1*x1+α2*x2+…+αn*xn y=…

Разделяне на сегмента в това отношение

X=(x1+ℓx2)/(1+ℓ) – по отношение на ℓ.

Скалар произведение на вектори

ab=|a||b|cos(ab) |b|cos φ=pr a b , |a|cosφ=pr b a , ab=|a|pr a b = |b|pr b a

Свойства: 1. Ход (комуникативност) ab=ba

2. Комбинации (асоциативност) по отношение на числата. множествено число (αa)b=α(ab)

3. Разпределението (дистрибутивността) се отнася. суми на вектори a(b+c)=ab+ac

Лъвско правило. и надясно. тризнаци В.

3 не се съгласявам. vect. a,b,c взети в посочения ред и приложени към една наречена точка. трио от вектори abc.

Ще видим от края c до плоскостта. образ. вектор a и b, ако направим най-късия завой от a към b обратно на часовниковата стрелка, тогава тройката се нарича. правилно...

Векторното произведение на 2 вектора a и b се нарича. вектор и сб. песен. условно: 1)||=|a||b|sinα ;2)┴a и b;3) тройката a b има същата ориентация като i jk.

От конв. 1) следва, че | | кръстосано произведение = площ на успоредник.

0 < = >оплакване. b

Свойства: 1. Антипермутабилност =-

2. Комбинации по отношение на скалари. множествено число [(αa)*b]=α

3. Разпределението (дистрибутивността) се отнася. суми на вектори [(a+b)c]=+

=|x1 y1 z1|=|y1 z1|*i+… …

|x2 y2 z2| |y2z2|

Смесено произведение на вектори

Дадени 3 в. a,b,c. Умножете вектор a по b и скалар по c. В рез. получени номер, който се нарича векторно-скаларно произведение или смесено.

V паралелепипед \u003d смесен. продукт vect. и "+", ако tr. abc е прав.

abc=|x2 … …|< = >abc-complan.

|x3 … …| |x2-x1 y2-y1 … |

V 3-въглища Пирамиди=mod|x3-x1 … … |

|x4-x1 … … |

Линейно движение. Вектори

a1,a2,…an - извика лин. заседнал вектори, ако съществително. α1,α2 …αn така че: α1*a1+α2*a2+…+αn*an=0

Теорема 1. a1,a2,…,an, n>1 зависи от lin< = >поне един от тях е такъв лин. Гребен. остатъка.

Теорема 2. a и b lin. заседнал< = >те са Колин.

Теорема 3. Ако e1 и e2 са неколинеарни вектори, някои. плосък, след това всеки трети вектор a, принадлежащ на същите равнинни единици. начин за отваряне според тях a \u003d x * e1 + y * e2.

Теорема 4. a,b,c – лин. заседнал< = >те са колинеарни.

Теорема 5. Ако e1, e2, e3 не е комплан., тогава всяко всяко a може да бъде единица. обр. разширете върху тях a=α1*e1+α2*e2+α3*e3

Теорема 6. Всеки. 4-ти вектор лин. заседнал

Основа - всяка подредена система от 3-о линии. независими, т.е. некомпланарни вектори d=x*e1+y*e2+z*e3 d(x,y,z) в база e1e2e3

АНАЛИТИЧНА ГЕОМЕТРИЯ…

F(x,y)=0 – ur-ти ред в общ вид

F(ρ,φ)=0 – … в полярни координати. Ако това уравнение е разрешимо по отношение на ρ, тогава ρ= ρ(φ).

y= φ (t) / - параметрични уравнения на правата.

Ако се даде. линиите са дадени от уравнението ρ= ρ(φ), параметрично уравнението е написано x= ρ(φ)*cos φ y= ρ(φ)*sin φ

Опростено ur-e от втора степен без член с произведението на координатите Ax²+Cy²+Dx+Ey+F=0 (1)

Да преминем към ново. сист. коорд. о чрез паралелен трансфер.

Уравнение (1) се редуцира до едно от следните канонични уравнения чрез подчертаване на пълни квадрати:

x²/a²+y²/b²=1 – елипса – геом. място на точките на равнината, за които. количеството на растежа до две дадени t. (фокуси) =const,F1(-c,0), F2(c,0),c=√(a²+b²)

Epistricity имейл. Наречен ξ=√(1-(b/a)²) Директриси ел. Наречен прави x=a/ξ и x=--a/ξ

х²/a²+y²/b²=0 – задоволително. коорд. единици т. (0,0)

x²/a²+y²/b²=-1 – незадоволително. коорд. не един т.

в сл. A*C>0 елиптични линии

x² / a² - y² / b² \u003d 1 или - x² / a² + y² / b² \u003d 1 - хиперболи - геом. място т. равнина, за която | | разлика в разстоянията до две дадени t.(фокуси)=const \

F1(-c,0), F2(c,0), c=√(a²+b²) , ξ=c/a, Асимптоти: y=x*b/a и y=-- x*b/a, Директриси: x=-a/ξ и x=a/ξ |

Равностранна Г. - с равни полуоси. /

x² / a² - y² / b² \u003d 0 - чифт пресичащи се линии / - линии от хиперболичен тип

y²=2px - парабола - геом. поставете т. равнина на еднакво разстояние от фокуса и директрисата \

Симетрин. се отнася. вол: y²=2px , директриса x=-p/2 ,F(p/2,0) , r=x+p/2 |

oy: x²=2qy , Директриса y=-q/2 ,F(0,q/2) , r=y+q/2 |

y²=b² - чифт || прави > - линии от параболичен тип

y²=0 - двойка съвпадащи линии /

y²=--b² - незадоволително. коорд. не един т.

Ако C=0, A≠0, тогава (1) x²=2qy

Права линия в равнината. Общ изглед: x=a или y=b

k=(y2-y1)/(x2-x1) , където x1,y1,…,… са координатите на произволни две точки в равнината. | tg(ъгъл m/y 2-ри ∩ прави линии)=(k2-k1)/(1+k1k2)

Уравнение на тангенс: y-y0=k(x-x0) | Ако линиите са дадени чрез общи уравнения (Ax + Vy + C \u003d 0):

Нормален ur: y-y0=-1/k*(x-x0) | tg(ъгъл m/y 2-ри ∩ прави линии)=(A1*B2-A2*B1)/(A1*A2+B1*B2)

Линия ur-та (y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) , (x2≠x1,y2≠y1) | ||< = >A1/A2=B1/B2 , ┴ A1/B1=--B2/A2

Уравнение на права в сегменти x=x1+(x2-x1)*t y=y1=(y2-y1)*t , t € R

Разстояние от т. M0 (x0, y0) до правата линия Ah + Wu + C \u003d 0: d \u003d (A * x0 + B * y0 + C) / √ (A² + B²)

Окръжете Lv: (x-a)²+(y-b)²=R²

Опростено общ ur-e от втора степен: Ax²+2Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0

При завъртане на координатите на осите с α, за които ctg2α=(A- C)/2B

x=x' cos α -y' sin α

y=x' sin α +x' cos α

Ограничение F-ii. Постоянни b обороти lim y=f(x) с x→a, ако за всяко ξ>0 δ>0, което удовлетворява за всички x. конв. 0<|x-a|< δ, выполняется условие |f(x)-b|<ξ

препис

1 1. Намерете стойността на матричния полином: f(a) = A + 5A E f(x) = x + 5x, A = () 5 1 A = () () = () () = (() 0 () ) = () 5 () = () = () A = () = () A = 5 () = () E = (0 1 0) = (0 0) f(a) = A + 5A E = = () + () (0 0) = = () = (). Изчислете детерминантата с помощта на елементарни трансформации:

2 Вземете нули в първата колона на детерминантата: = = = Разширете детерминантата в първата колона: 4 7 = = 1 (1) = Вземете нули в първата колона на детерминантата от трети ред: = = Напишете разширението на детерминантата в третата колона: = 1 (1) = () = = () = (160) = 160. За основната матрица на системата от уравнения намерете обратната матрица чрез метода на присъединената матрица: x 1 + x 4x = 0 ( 4x 1 x + x = 9 x 1 x x = 8 Основна матрица на системата: 1 4 A = (4) 1 1

3 () ~ направете нули в 1 колона ~ ~ () ~ разделете низа на (15) ~ ~ () ~ направете нули в колоната ~ ~ ~ разделете низа на (1) ~ 5 () ~ ~ направете нули в колоната~ ( ) ~ (1) Тогава: 1 A 1 = 1 (Проверете: 1 A 1 A = 1 () (4) =)

4 () 5 (1) 1 (4) (1) = () 6 5 (1) 11 (4) (1) = 1 (() 1 (1) 1 (4) + 1 (1)) == (0 1 0) 5 1 () 4. Решете системата от уравнения с помощта на правилото на Крамър: Нека напишем формулите на Крамър: x 1 = 1, x =, x = x 1 + x 4x = 0 ( 4x 1 x + x = 9 x 1 x x = 8 члена В нашия случай имаме: 1 4 = 4 = = = 9 = =

5 1 0 4 = 4 9 = = = 4 9 = = Сега нека намерим стойностите на неизвестните: x 1 = 1 = = 1 x = = = x = = 0 15 = 5. Намерете ранга на матрицата използвайки метода на граничещите непълнолетни. Посочете базов минор: 1 () 8 матрица съдържа ненулеви елементи, тогава минималният ранг на матрицата е 1. равно. защото матрицата се състои от три реда, след това максималният ранг на матрицата. Определете ранга на матрицата чрез метода на граничещите минори: 1 A = (M 1 =) 8 Намерете минор от първи ред: Намерете минор от втори ред: M = 1 = = Намерете минорите от трети ред:

6 1 M 1 = 5 4 = = M = 5 7 = = Следователно рангът на матрица A е равен. Основен минор: 1 4 M = уравнения: форма: 6. Проучете съвместимостта и намерете общото решение на системата x 1 + x x + 5x 4 7x 5 = x ( 1 + 5x 4x + 8x 4 11x 5 = x 1 x x 4 + x 5 = x 1 x + 7x x 4 + 5x 5 = ) () системата е последователна и има безкраен набор от решения 0 1) ~

7 ( 1 Основно второстепенно = Основни неизвестни x 1, x, x. Свободни неизвестни x 4, x 5. Нека напишем съкратена система: x 1 + x x + 5x 4 7x 5 = x 1 x x 4 5 x 5 = x 1 10 x x 5 = 1 15 Приемаме, че x 4 = C 4, x 5 = C 5. Тогава: x 1 + x x + 5C 4 7C 5 = ( x 1 x C 4 5 C 5 = x 1 10 C C 5 = 1 15 x 1 + x x + 5C 4 7C 5 = x = + 1 (C C 5) 7 4 C C 5 ( x = C C 5 x 1 = (C C 5) + (C C 5) 5C 4 + 7C 5 x = C C 5 ( x = C C 5 ( x 1 = C 4 5 C 5 x = C C 5 x = C C 5 Общо решение на системата:

8 X = (C 4 5 C C C C C 5 C 4 C 5) 7. Дадени са вектори: Намерете: a = (7; ; 1), b = (1; 5;), c = (1; 4; 0) точка произведение на вектори a и b ; б) векторно произведение на векторите a и b; в) смесено произведение на вектори a, b и c. а) скаларно произведение на вектори a и b ; В декартовата координатна система скаларният продукт на векторите: a = (a x; a y; a z) и b = (b x; b y; b z) се намира по формулата: (a, b) = a x b x + a y b y + a z b z В нашия случай: (a, b ) = = = 5 b) векторно произведение на векторите a и b ; В декартовата координатна система векторното произведение на векторите: a = (a x ; a y ; a z ) и b = (b x ; b y ; b z ) се определя по формулата: i j k = a x a y a z b x b y b z

9 В нашия случай: = i j k 7 1 = i 1 5 j k = 1 5 = i (9 5) j (1 1) + k (5) = 4i 0j + k = (4; 0;) в) смесено произведение на вектори a, b и c. Смесеното произведение на три вектора: a = (a x ; a y ; a z ), b = (b x ; b y ; b z ) и c = (c x ; c y ; c z ) в декартовата координатна система се намира по формулата: a x a y a z (a, b, c) = b x c x b y c y b z c z В нашия случай: 7 1 (a, b, c) = 1 5 = = Дадена е пирамида с върхове: Намерете: A 1 (; 1;), A (1; ; 1), A ( ; ; 1), A 4 (4; ; 5) а) дължината на ребрата A 1 A, A 1 A, A 1 A 4 ; б) косинус на ъгъла между ръбовете A 1 A и A 1 A 4 ; в) лицева площ A 1 A A ; г) обемът на пирамидата; д) проекцията на вектора A 1 4 върху посоката на вектора A. 1 а) дължината на ръбовете A 1 A, A 1 A, A 1 A 4 ; Дължините на ръбовете A 1 A, A 1 A, A 1 A 4 са равни на модулите на векторите A, 1 A, 1 A. 1 4 Модулът на вектора a = (a x, a y, a z ) е изчислено по формулата:

10 a = a x + a y + a z A 1 = (1; + 1; 1) = ( 1; ; ) A 1 = ( ; + 1; 1 ) = (1; ; 1) A 1 4 = ( 4 ; + 1; 5 ) = ( 6; ; ) 1 4 = (6) + + = = 54 (единица) б) косинус на ъгъла между ръбовете A 1 A и A 1 A 4 ; Ще търсим ъгъла между ръбовете по формулата на скаларното произведение на векторите: cosα = a b a b, a b = a x b x + a y b y + a z b z, a = a x + a y + a z В нашия случай: a = A 1 = ( 1; ; ) b = A 1 4 = ( 6; ; ) cosα = A 1A A 1 4 A 1 A 1 4 = ,18 = 1 (6) = = c) лицева площ A 1 A A ; Площта на лицето A 1 A A се намира като половината от площта на успоредника, изграден върху векторите A 1 и A. 1 A 1 = ( 1; ; ) A 1 = (1; ; 1)

11 S A1 A A = 1 A 1A A 1 A 1 A 1 = i j k 1 = i (+ 9) j (1 +) + k () = 1 1 = 6i 4j 6k = (6; 4; 6) S A1 A A = 1 A 1A A 1 = (4) + (6) = = = .69 (квадратни единици) г) обемът на пирамидата; Обемът на пирамидата A 1 A A A 4 се изчислява като се използва смесеното произведение на трите вектора, върху които е изградена пирамидата: V = 1 6 (A 1A A 1 A) 1 4 A 1 = ( 1; ; ) A 1 = (1; ; 1) A 1 4 = ( 6; ; ) 1 (A 1 A 1 A) 1 4 = 1 1 = = 66 6 V = = = 11 (кубични единици) 6 6 e) проекция на вектора A 1 4 върху посоката на вектора A. 1 inc A1 A 1 A 4 = A 1A 4 A 1 A 1 6 (1) + + () = 19 = = = Дадени са върховете на триъгълника:

12 точка A. Намерете: A(;), B(4;), C(; 5) а) ъгълът между медианата AD и височината AH; б) уравнението на права, успоредна на страната BC и минаваща през а) ъгъла между медианата AD и височината AH; Намерете уравнението за медианата AD. За да определите уравнението на медианата AD, намерете координатите на точката D, която разделя сегмента BC наполовина: x D = x + x y D = y + y AD: = 4 = + 5 = = 1 = 7 Тогава координати на точка D (1; 7). Медианата AD минава през точки A(;) и D (1; 7). x x 1 x E x 1 = y y 1 y E y 1 x = y x + 4 = y x + = 4y + 1 1x + 9 = 8y + 4 1x 8y + 15 = 0 От уравнението на медианата на AD: 1x 8y + 15 = 0 k AD = 1 8 Намерете уравнението за височината AH. За да съставим уравнението за височината AH, използваме условието за перпендикулярност на правите: l 1 l k 1 k = 1

13 BC: x x x x = y y y y x 4 4 = y 5 x 4 6 = y x 1 = 6y + 1 x + 6y 4 = 0 x + y 8 = 0 От уравнението на страната на BC: x + y 8 = 0 k BC = 1 Тъй като k BC = 1, тогава k AH = 1 = 1 k AH = минаваща през точка A(;) има формата: y + = (x +) y + = x + 6 x y + = 0 медиана AD и височина AH, използвайте tgα = k AH k AD = 1 + k AD k AH α = arctg(0,088) = = = 4 0,088 , намираме наклона на тази права. Тъй като AN BC, тогава наклоните на тези линии са равни един на друг, т.е. kAN = kBC. От уравнението на правата BC: x + y 8 = 0 k BC = 1. Тогава k AN = 1. Нека съставим уравнението на правата AN, като знаем наклона k AN = 1 и

14 координати на точка A(;): y + = 1 (x +) y + 6 = x x + y + 9 = 0

Пример Изчислете детерминантата Решение на типични задачи 5 5 7, като я разширите с 9 9 елемента от първия ред 7 5 7 5 5 6 9 9 9 9 Пример Изчислете детерминантата, като я редуцирате до триъгълна форма: 5 7 Означ.

1. Намерете произведението на матриците ABC: Решение на типичния вариант: Тъй като произведението на матриците не е пермутабилно, има два начина за намиране на това произведение: За определеност използваме втория

Задачи за отработване на пропуснати часове Съдържание Тема: Матрици, действия върху тях. Изчисляване на детерминанти.... 2 Тема: Обратна матрица. Решаване на системи от уравнения с помощта на обратна матрица. Формули

Вектори Дадени са координатите на векторите a b c в дясната ортонормална база i j k Покажете, че векторите a b c също образуват основа и намерете координатите на вектора в основата a b c) () a () b () c ()) () a (

Министерство на образованието и науката на Руската федерация Казански държавен университет по архитектура и строителство Факултет по висша математика Елементи на векторната и линейната алгебра. Аналитична геометрия.

МИНИСТЕРСТВО НА ЗЕМЕДЕЛИЕТО НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ МОСКОВСКИ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ ПО УПРАВЛЕНИЕ НА ОКОЛНАТА СРЕДА ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА

Фонд от средства за оценяване за провеждане на междинна атестация на студентите по дисциплината (модул) Обща информация 1 Катедра Математика, физика и информационни технологии 2 Направление на обучение 010302

Примери за изпълнение на тестове в дистанционното обучение Тест 1 (КР-1) Тема 1. Линейна алгебра Задача 1 Необходимо е да се реши системата от уравнения, представена в задачата като постоянни параметри

8. Фонд от средства за оценяване за провеждане на междинна атестация на студентите по дисциплината (модул): Обща информация

Примери за решения на контролни работи L.I. Терехин, И.И. Fix 1 Тест 2 Векторна алгебра 1. Дадени са три вектора a = (0; 1; 3), b = (3; 2; 1), c = (4; 0; 4). Изисква се да се намери: a) вектор d = 2 a b

Глава Елементи на линейната алгебра Определение на матрици Матрица с размерност m n е правоъгълна таблица с числа, подредени в m реда и n колони. Матриците се означават с латински букви,

Матрици 1 Дадени матрици и Намерете: а) A + B; б) 2В; в) B T ; г) AB T ; e) B T A Решение а) По дефиницията на сумата от матрици б) По дефиницията на произведението на матрица с число в) По дефиницията на транспонирана матрица

Насоки за изпити Изпит "Пресертифициране" Предмет. Елементи на аналитичната геометрия в равнина. Права на равнината Разстояние между две точки M () и () на равнината

ЕЛЕМЕНТИ НА ЛИНЕЙНАТА АЛГЕБРА ЗАЕМАНЕ НА МАТРИЦА И ДЕЙСТВИЕ ВЪРХУ ТЯХ Дайте дефиниция на матрица Класификация на матриците по размер Какво представляват нулевите и единичните матрици? При какви условия матриците се считат за равни?

Ne LA изпит за бакалаври по икономика в 04-0 учебна година, Намерете вектора Ne (6 4 ; 6 8) и Ne DEMO 0 (x ; y) (който има Ne и x< 0) такой, чтобы система векторов (x ; y) образовывала бы ортогональный

Билет. Матрици, действия върху тях.Уравнение на парабола в каноничната координатна система. Билет. Свойства на матричните операции Взаимно разположение на права линия и равнина. Ъгъл между тях, условия за успоредност

Изпитен билет 1. 1. Вектори в пространството. Основни определения и операции с вектори: сбор от вектори, произведение на вектор по число. Имоти. Теорема за колинеарни вектори. 2. Разстояние

ДЕТЕРМИНАНТИ Нека е дадена матрица Числото се нарича детерминанта от втори ред, съответстваща на дадената матрица, и се обозначава със символа = = - Детерминантата от втори ред съдържа два реда и две колони,

Министерство на образованието и науката на Руската федерация ТОМСК ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ ПО СИСТЕМИ ЗА УПРАВЛЕНИЕ И РАДИОЕЛЕКТРОНИКА (ТУСУР) L I Magazinnikov, A L Magazinnikova АНАЛИТИЧНА ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА

1. Дадени матрици: Примерно решение 1 2 1 1 0 2 3 0 2 1 1 0 A, B 1 1 0 2 1 1 2 1 1 0 1 1 Намерете матрица и разберете дали има обратна матрица. Решение. Да намерим матрицата. Да намерим транспонираната матрица. Да намерим

8 Фонд от инструменти за оценяване за провеждане на междинна сертификация на студентите по дисциплината (модул): Обща информация 1 Отдел М и ММЕ 2 Направление на обучение Бизнес информатика Общ профил 3 Дисциплина

Урок 5 Линейни операции върху вектори 5.1 Събиране на вектори. Умножение на вектори с числа Фиксиран вектор е насочена отсечка, определена от две точки A и B. Точка A се нарича

Урок 1. Векторен анализ. 1.1. Кратко теоретично въведение. Физическите величини, Z Z (M), за да се определи кое K е достатъчно да се посочи едно число Y K (положително или отрицателно Y) се наричат

МИНИСТЕРСТВО НА ЗЕМЕДЕЛИЕТО НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ ФЕДЕРАЛНА ДЪРЖАВНА ОБРАЗОВАТЕЛНА ИНСТИТУЦИЯ ЗА ВИСШЕ ПРОФЕСИОНАЛНО ОБРАЗОВАНИЕ КУБАНСКИ ДЪРЖАВЕН АГРАРЕН УНИВЕРСИТЕТ В. М. Смоленцев Линейна алгебра

Пример за решаване на вариант на контролната работа Задача Изчислете детерминантата Решение: при решаването на такива задачи се използват следните свойства на детерминантата:) Ако в детерминантата всички елементи на всеки

Последен тест. Време за изпълнение минути. Разстоянието между точките A (;) и B(;)),)7 Отговор:) е Координати на средата на отсечката, свързваща точките A (;) и B (;)) (;);) (;) ,) (;),) (;) Отговор:)

8 Фонд от средства за оценяване за провеждане на междинна атестация на студентите по дисциплината (модул): Общи сведения 1 Катедра Математика и математически методи в икономиката 2 Направление на обучение 380301

Векторна алгебра. Контролна работа Задача. Дължината на вектора a е t cm, дължината на вектора b е t + cm, а ъгълът между тях е t + a tb. 6. Намерете дължината на вектора () Решение. По предположение дължината на вектора a е равна на

Примери за основни проблеми на LA Дефинирани по метода на Гаус системи от линейни уравнения Решаване на система от линейни уравнения с помощта на метода на Гаус x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Решаване на система от линейни уравнения с помощта на метода на Гаус 6

С. А. Логвенков П. А. Мишкис В. С. Самовол Сборник задачи по висша математика Учебник за студенти от социални и административни специалности Москва Издателство МЦНМО 24 УДК 52 (75.8) LBC 22.43

Фонд от инструменти за оценяване за провеждане на междинна атестация на студентите по дисциплината (модул) Обща информация Катедра Математика, физика и информационни технологии Направление на обучение Педагогически

8. ФОНД ОТ СРЕДСТВА ЗА ОЦЕНЯВАНЕ ЗА МЕЖДИННО АТЕСТИРАНЕ НА СТУДЕНТИ ПО ДИСЦИПЛИНА (МОДУЛ) Обща информация 1. Катедра „Информатика, компютърна техника и информационна сигурност“ 2. Направление

Държавна образователна институция за висше професионално образование "Московски авиационен институт (Национален изследователски университет)" Катедра по висша математика ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА

Матрици, детерминанти, системи от линейни уравнения Методът на очертаващи минори за намиране на ранга на матрица A = m m m минор A минор k от ред k на матрица A е всяка детерминанта от k-ти ред на тази матрица,

Решение на типични задачи за раздел "Матрици" Пресметни

Тест. Дадени са матрици A, B и D. Намерете AB 9D, ако: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 Умножете матриците A 3 и B 3. Получената ще бъде C с размер 3 3, състоящ се от елементи

4. Ранг на матрицата. В матрицата A изберете k реда и колони от елементите в тяхното пресичане, съставете детерминантата. Ще го наречем минор от k-ти порядък. Ако минорът от k-ти порядък е различен от нула,

Линейна алгебра. Основни формули. детерминанта на ти ред: det A a a a a a a a a. a a детерминанта от -ти ред (правило на Sarrus): det A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Алгебрични

3. Ранг на матрицата ДЕФИНИЦИЯ. Минорът M k на матрица се нарича неин базисен минор, ако е различен от нула и всички матрични минори от по-висок порядък k+, k+, t са равни на нула. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангът на матрицата е

Пространството от аритметични вектори Лекции 2-3 1 Пространството Rn от аритметични вектори Да разгледаме множеството от подредени набори от n числа x (x 1, x 2, x). Всеки такъв набор x n ще бъде извикан

Решения на типични задачи Задача Докажете чрез дефиниция на границата на числова редица, че n li n n Решение По дефиниция числото е граница на числова редица n n n N, ако има естествена

Съдържание Въведение Задачи в класната стая по линейна алгебра Примерни решения Задачи за самостоятелно обучение Аналитична геометрия и векторна алгебра Задачи в класната стая Примерни решения

Е. В. Морозова, С. В. Мягкова БАЗА НА ТЕСТОВЕ ПО МАТЕМАТИКА ЧАСТ I ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧНА ГЕОМЕТРИЯ НА МИНИСТЕРСТВОТО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСИЯ

Тема за дистанционно обучение по линейна алгебра МАТРИЦА) Основни дефиниции на теорията на матриците Определение Матрицата на измеренията е правоъгълна таблица с числа, състояща се от редове и колони. Тази таблица обикновено е

Задача Кузнецов Аналитична геометрия 1-3 Напишете разширението на вектора по вектори: Търсеното разширение на вектора има формата: Или във формата на система: Получаваме: Добавете третия към втория ред: Извадете от първия

Примери за решения на контролни работи L.I. Терехин, И.И. Fix 1 Тест 1 Линейна алгебра Решаване на матричното уравнение ((3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 (1 0 = 3 2 3)

Векторна алгебра Аналитична геометрия Ishchanov TR h://schowru/veor-lger-lches-geomerhml Задача Напишете разширението на вектор по отношение на вектори r 8 r Изисква се да представим вектора във формата r където числа Нека ги намерим

Министерство на образованието и науката на Руската федерация Федерална държавна бюджетна образователна институция за висше професионално образование "Комсомолск на Амур Държавен технически

Контролна работа по дисциплината Висша математика Вариант - Тема. Елементи на аналитичната геометрия в равнина. Права линия в равнината. Според координатите на върховете на триъгълника ABC: A (); AT 5); C(--) намери: а)

01 1. Намерете общите и основни решения на системата от уравнения: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, като изберете x и x като основни променливи. Отговор: Ако изберем като основни променливи

Установете последователност и решете системата от линейни уравнения 5xx x xx 5x 0 x4x x 0

Линейна алгебра Лекция 5 Системи от линейни уравнения Основни понятия и дефиниции Математиката е инструмент за описание на света около нас Линейните уравнения предоставят някои прости описания

Федерална агенция за железопътен транспорт Уралски държавен университет по железопътен транспорт Катедра по висша математика Т.А. Волкова СБОРНИК ОТ ТЕСТОВЕ ПО АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧНА ГЕОМЕТРИЯ

SYKTYVKAR FOREST INSTITUTE ОТДЕЛ ПО ВИСША МАТЕМАТИКА АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ САМОСТОЯТЕЛНА РАБОТА НА СТУДЕНТИ

ПРИМЕР 1. Изчислете произведенията на AB и BA (точката понякога се пропуска в обозначението на продукта) за следните матрици: () 0 1 1 A =, B = 1 0. 3 0 1 РЕШЕНИЕ. Нека започнем с правилото за умножение на размерите. защото

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ Бийски технологичен институт (филиал) на федералната държавна бюджетна образователна институция за висше професионално образование "Алтайска държава"

Xətti ər Rus) üui ithhn sullrı Покажете, че векторите;;) ;;) ; ;) формирайте основата на вектора и напишете линейна комбинация от вектора If;;) върху тези вектори намерете X от уравнението Покажете, че векторът;)

Глава 8 Уравнението на линия в пространството Както в равнина, така и в пространството, всяка права може да се дефинира като набор от точки, чиито координати са в някаква система, избрана в пространството

Урок 1. Векторен анализ. Кратко теоретично въведение. Физическите величини, за дефинирането на които Z Z ϕ (M) е достатъчно да се посочи едно число Y K (положително или Y отрицателно), се наричат ​​скалари.

ТЕОРЕТИЧНИ ВЪПРОСИ I. МАТРИЦИ, ДЕТЕРМИНАНТИ 1) Дефинирайте матрица. Какво представляват нулевата и идентичната матрица? При какви условия матриците се считат за равни? Как се извършва операцията по транспониране? Кога

ЛЕКЦИЯ Повърхнини в пространството и техните уравнения Повърхност Повърхност, определена от някакво уравнение в дадена координатна система, е геометричното място на точките, чиито координати удовлетворяват

ТЕМИ НА КОНТРОЛНИ РАБОТИ ПО ДИСЦИПЛИНАТА "МАТЕМАТИКА" направление "Екология и природозащита" семестър. Разгънете вектора X във вектори P, Q, R. Решете системата) по метода на Крамер,) по матричния метод,

Задачи за класна и самостоятелна работа Решете системи от линейни уравнения по метода на Крамер (ако е възможно) и метода на Гаус ():, 4, 4 5 7 5 5 4 4 6 6 4 5, 6 4 4 4, 8, 9, 4 4 5 Контрол

Министерство на образованието и науката на Руската федерация Северен (Арктически) федерален университет на името на МЛомоносов Катедра по математика Примерни задачи за изпита по математика (част) за студенти от група 9 направление IEIT

Министерство на земеделието на Руската федерация А. Н. Манилов Линейна алгебра