Prvi nivo

Aritmetička progresija. Detaljna teorija sa primjerima (2019)

Numerički niz

Pa hajde da sjednemo i počnemo pisati neke brojeve. Na primjer:
Možete napisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite (u našem slučaju, njih). Koliko god brojeva da napišemo, uvijek možemo reći koji je od njih prvi, koji drugi i tako do posljednjeg, odnosno možemo ih numerirati. Ovo je primjer niza brojeva:

Numerički niz
Na primjer, za naš niz:

Dodijeljeni broj je specifičan za samo jedan redni broj. Drugim riječima, u nizu nema broja od tri sekunde. Drugi broj (kao i -ti broj) je uvijek isti.
Broj sa brojem naziva se -ti član niza.

Obično cijeli niz nazivamo nekim slovom (na primjer), a svaki član ovog niza - istim slovom sa indeksom jednakim broju ovog člana: .

u našem slučaju:

Recimo da imamo numerički niz u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka.
Na primjer:

itd.
Takav numerički niz naziva se aritmetička progresija.
Termin "progresija" uveo je rimski pisac Boecije još u 6. veku i shvaćen je u više širokom smislu, kao beskonačan niz brojeva. Naziv "aritmetika" prenet je iz teorije neprekidnih proporcija, kojom su se bavili stari Grci.

Ovo je numerički niz, čiji je svaki član jednak prethodnom, koji se dodaje istim brojem. Ovaj broj se naziva razlika aritmetičke progresije i označava se.

Pokušajte odrediti koji nizovi brojeva su aritmetička progresija, a koji nisu:

a)
b)
c)
d)

Jasno? Uporedite naše odgovore:
Is aritmetička progresija - b, c.
Nije aritmetička progresija - a, d.

Nazad na data progresija() i pokušajte pronaći vrijednost njegovog th člana. Postoji dva način da ga nađete.

1. Metoda

Možemo dodati prethodnoj vrijednosti broja progresije sve dok ne dođemo do th člana progresije. Dobro je da nemamo mnogo toga da rezimiramo - samo tri vrijednosti:

Dakle, -ti član opisane aritmetičke progresije je jednak.

2. Metoda

Šta ako trebamo pronaći vrijednost th člana progresije? Zbrajanje bi nam oduzelo više od jednog sata, a nije činjenica da ne bismo pogriješili pri sabiranju brojeva.
Naravno, matematičari su smislili način na koji ne morate dodati razliku aritmetičke progresije na prethodnu vrijednost. Pažljivo pogledajte nacrtanu sliku... Sigurno ste već primijetili određeni uzorak, i to:

Na primjer, da vidimo šta čini vrijednost -tog člana ove aritmetičke progresije:


Drugim riječima:

Pokušajte na ovaj način samostalno pronaći vrijednost člana ove aritmetičke progresije.

Izračunati? Uporedite svoje unose sa odgovorom:

Obratite pažnju da ste dobili potpuno isti broj kao u prethodnoj metodi, kada smo prethodnoj vrijednosti sukcesivno dodavali članove aritmetičke progresije.
Pokušajmo "depersonalizirati" ovu formulu- dovedemo to u opšti oblik i dobijemo:

Jednačina aritmetičke progresije.

Aritmetičke progresije se ili povećavaju ili smanjuju.

Povećanje- progresije u kojima je svaka naredna vrijednost pojmova veća od prethodne.
Na primjer:

Silazno- progresije u kojima je svaka naredna vrijednost pojmova manja od prethodne.
Na primjer:

Izvedena formula se koristi u izračunavanju članova u rastućim i opadajućim terminima aritmetičke progresije.
Hajde da to proverimo u praksi.
Dobili smo aritmetičku progresiju koja se sastoji od sledeći brojevi: Provjerimo kakav će --ti broj ove aritmetičke progresije ispasti ako koristimo našu formulu kada je izračunamo:

Od tada:

Tako smo se uvjerili da formula radi i u opadajućoj i u rastućoj aritmetičkoj progresiji.
Pokušajte sami pronaći -ti i -ti član ove aritmetičke progresije.

Uporedimo rezultate:

Svojstvo aritmetičke progresije

Hajde da zakomplikujemo zadatak - izvodimo svojstvo aritmetičke progresije.
Pretpostavimo da nam je dat sljedeći uslov:
- aritmetička progresija, pronađite vrijednost.
Lako je, kažete, i počnite računati prema formuli koju već znate:

Neka, a, onda:

Apsolutno u pravu. Ispada da prvo pronađemo, pa ga dodamo prvom broju i dobijemo ono što tražimo. Ako je progresija predstavljena malim vrijednostima, onda u tome nema ništa komplikovano, ali šta ako su nam dati brojevi u uslovu? Slažem se, postoji mogućnost da napravite greške u proračunima.
Sada razmislite, da li je moguće riješiti ovaj problem u jednom koraku koristeći bilo koju formulu? Naravno, da, i pokušaćemo da to iznesemo sada.

Označimo željeni član aritmetičke progresije kao, znamo formulu za njegovo pronalaženje - to je ista formula koju smo izveli na početku:
, zatim:

• prethodni član progresije je:
• sljedeći termin progresije je:

Sumirajmo prethodne i sljedeće članove progresije:

Ispada da je zbir prethodnog i narednog člana progresije dvostruko veći od vrijednosti člana progresije koji se nalazi između njih. Drugim riječima, pronaći vrijednost progresijskog člana sa poznatim prethodnim i uzastopne vrijednosti, trebate ih sabrati i podijeliti.

Tako je, imamo isti broj. Popravimo materijal. Sami izračunajte vrijednost za napredovanje, jer to uopće nije teško.

Dobro urađeno! Znate skoro sve o napredovanju! Ostaje da se sazna samo jedna formula koju je, prema legendi, jedan od najvećih matematičara svih vremena, "kralj matematičara" - Karl Gauss, lako zaključio za sebe...

Kada je Carl Gauss imao 9 godina, učiteljica je, zauzeta provjeravanjem rada učenika u drugim razredima, na lekciji postavila sljedeći zadatak: „Izračunaj zbir svih prirodni brojevi od do (prema drugim izvorima do) uključujući. Kakvo je bilo iznenađenje učitelja kada je jedan od njegovih učenika (bio je to Karl Gauss) nakon minute dao tačan odgovor na zadatak, dok je većina učenika iz razreda drznika nakon dugih proračuna dobila pogrešan rezultat...

Mladi Carl Gauss primijetio je obrazac koji možete lako primijetiti.
Recimo da imamo aritmetičku progresiju koja se sastoji od -ti članova: Moramo pronaći zbir datih članova aritmetičke progresije. Naravno, možemo ručno sabrati sve vrijednosti, ali šta ako trebamo pronaći zbir njegovih članova u zadatku, kao što je Gauss tražio?

Hajde da opišemo napredak koji nam je dat. Pažljivo pogledajte označene brojeve i pokušajte s njima izvesti razne matematičke operacije.


Probao? Šta ste primetili? Ispravno! Njihove sume su jednake

Sada odgovorite, koliko će takvih parova biti u progresiji koja nam je data? Naravno, tačno polovina svih brojeva, tj.
Na osnovu činjenice da je zbir dva člana aritmetičke progresije jednak, i sličnih jednakih parova, dobijamo da ukupan iznos je jednako:
.
Dakle, formula za zbir prvih članova bilo koje aritmetičke progresije bit će:

U nekim problemima ne znamo th pojam, ali znamo razliku u progresiji. Pokušajte zamijeniti formulu sume, formulom th člana.
šta si dobio?

Dobro urađeno! Vratimo se sada na problem koji je dat Carlu Gausu: izračunajte sami koliki je zbir brojeva koji počinju od -tog, a zbir brojeva koji počinju od -tog.

Koliko si dobio?
Gauss se pokazao da je zbir članova jednak i zbir članova. Jeste li tako odlučili?

U stvari, formulu za zbir članova aritmetičke progresije dokazao je starogrčki naučnik Diofant još u 3. veku, i sve to vreme duhoviti ljudi koristio svojstva aritmetičke progresije s punom snagom.
Na primjer, zamislite Drevni Egipat i najveće gradilište tog vremena - izgradnja piramide... Na slici je prikazana jedna njena strana.

Kažete gde je napredovanje? Pažljivo pogledajte i pronađite uzorak u broju pješčanih blokova u svakom redu zida piramide.


Zašto ne aritmetička progresija? Izračunajte koliko je blokova potrebno za izgradnju jednog zida ako su blok cigle postavljene u podnožje. Nadam se da nećete brojati pomicanjem prsta po monitoru, sjećate li se zadnje formule i svega što smo rekli o aritmetičkoj progresiji?

AT ovaj slučaj napredovanje izgleda ovako:
Razlika aritmetičke progresije.
Broj članova aritmetičke progresije.
Zamijenimo naše podatke u posljednje formule (brojimo blokove na 2 načina).

Metoda 1.

Metoda 2.

A sada možete izračunati i na monitoru: uporedite dobijene vrijednosti ​​​sa brojem blokova koji se nalaze u našoj piramidi. Je li se složilo? Bravo, savladali ste zbir th članova aritmetičke progresije.
Naravno, ne možete izgraditi piramidu od blokova u podnožju, ali od? Pokušajte izračunati koliko je pješčanih cigli potrebno za izgradnju zida s ovim uvjetom.
Jeste li uspjeli?
Tačan odgovor su blokovi:

Trening

Zadaci:

1. Maša je u formi za ljeto. Svakim danom povećava broj čučnjeva. Koliko će puta Maša čučnuti u sedmicama ako je radila čučnjeve na prvom treningu.
2. Koliki je zbir svih neparnih brojeva sadržanih u.
3. Prilikom skladištenja trupaca, drvosječe ih slažu na način da svaki gornji sloj sadrži jedan trupac manje od prethodnog. Koliko je trupaca u jednom zidu, ako je osnova zidanja trupci.

odgovori:

1. Definirajmo parametre aritmetičke progresije. U ovom slučaju
   (sedmice = dani).

   odgovor: Za dvije sedmice, Maša treba da čučne jednom dnevno.

2. Prvi neparni broj, zadnji broj.
   Razlika aritmetičke progresije.
   Broj neparnih brojeva u - pola, međutim, provjerite ovu činjenicu koristeći formulu za pronalaženje -tog člana aritmetičke progresije:

   Brojevi sadrže neparne brojeve.
   Dostupne podatke zamjenjujemo u formulu:

   odgovor: Zbir svih neparnih brojeva sadržanih u je jednak.

3. Prisjetite se problema s piramidama. Za naš slučaj, a, pošto je svaki gornji sloj smanjen za jedan dnevnik, postoji samo gomila slojeva, tj.
   Zamijenite podatke u formuli:

   odgovor: U zidovima su trupci.

Sažimanje

1. - numerički niz u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka. Ona se povećava i smanjuje.
2. Pronalaženje formulečlan aritmetičke progresije zapisuje se formulom - , gdje je broj brojeva u progresiji.
3. Svojstvo članova aritmetičke progresije- - gdje - broj brojeva u progresiji.
4. Zbroj članova aritmetičke progresije može se naći na dva načina:
   
   , gdje je broj vrijednosti.

ARITHMETIČKA PROGRESIJA. SREDNJI NIVO

Numerički niz

Hajde da sjednemo i počnemo pisati neke brojeve. Na primjer:

Možete napisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite. Ali uvijek možete reći koji je od njih prvi, koji je drugi i tako dalje, odnosno možemo ih numerisati. Ovo je primjer niza brojeva.

Numerički niz je skup brojeva, od kojih se svakom može dodijeliti jedinstveni broj.

Drugim riječima, svaki broj može biti povezan s određenim prirodnim brojem, i to samo jednim. I nećemo dodijeliti ovaj broj nijednom drugom broju iz ovog skupa.

Broj sa brojem naziva se -ti član niza.

Obično cijeli niz nazivamo nekim slovom (na primjer), a svaki član ovog niza - istim slovom sa indeksom jednakim broju ovog člana: .

Vrlo je zgodno ako se --ti član niza može dati nekom formulom. Na primjer, formula

postavlja redoslijed:

A formula je sljedeći niz:

Na primjer, aritmetička progresija je niz (prvi član ovdje je jednak, a razlika). Ili (, razlika).

n-ti termin formula

Rekurentnom nazivamo formulu u kojoj, da biste saznali --ti pojam, morate znati prethodni ili nekoliko prethodnih:

Da bismo pronašli, na primjer, th član progresije koristeći takvu formulu, moramo izračunati prethodnih devet. Na primjer, neka. onda:

Pa, sad je jasno koja je formula?

U svakom redu dodajemo do, pomnoženo nekim brojem. Za što? Vrlo jednostavno: ovo je broj trenutnog člana minus:

Sada je mnogo udobnije, zar ne? Provjeravamo:

Odlučite sami:

U aritmetičkoj progresiji pronađite formulu za n-ti član i pronađite stoti član.

Odluka:

Prvi član je jednak. A koja je razlika? A evo šta:

(na kraju krajeva, naziva se razlika jer je jednaka razlici uzastopnih članova progresije).

Dakle, formula je:

Tada je stoti član:

Koliki je zbir svih prirodnih brojeva od do?

Prema legendi, veliki matematičar Carl Gauss, kao 9-godišnji dječak, izračunao je ovu količinu za nekoliko minuta. Primijetio je da je zbir prvog i posljednjeg broja jednak, zbir drugog i pretposljednjeg broja isti, zbir trećeg i trećeg sa kraja isti, itd. Koliko ima takvih parova? Tako je, tačno polovina broja svih brojeva, tj. dakle,

Opća formula za zbir prvih članova bilo koje aritmetičke progresije bit će:

primjer:
Pronađite zbir svih dvocifrenim brojevima, višestruki.

Odluka:

Prvi takav broj je ovaj. Svako od sljedećeg se dobija dodavanjem prethodni broj. Dakle, brojevi koji nas zanimaju formiraju aritmetičku progresiju sa prvim članom i razlikom.

Formula za th pojam za ovu progresiju je:

Koliko je članova u progresiji ako svi moraju biti dvocifreni?

Vrlo jednostavno: .

Posljednji član progresije će biti jednak. Zatim suma:

Odgovor: .

Sada odlučite sami:

1. Svakog dana sportista trči 1m više nego prethodnog dana. Koliko će kilometara pretrčati u sedmicama ako je pretrčao km m prvog dana?
2. Biciklista svaki dan prijeđe više kilometara od prethodnog. Prvog dana prešao je km. Koliko dana treba da vozi da bi prešao kilometar? Koliko će kilometara preći posljednjeg dana putovanja?
3. Cijena frižidera u radnji se svake godine umanjuje za isti iznos. Odredite za koliko se cijena hladnjaka smanjivala svake godine ako je, stavljen na prodaju za rublje, šest godina kasnije prodan za rublje.

odgovori:

1. Ovdje je najvažnije prepoznati aritmetičku progresiju i odrediti njene parametre. U ovom slučaju, (sedmice = dani). Morate odrediti zbir prvih članova ove progresije:
   .
   odgovor:
2. Ovdje je dato: potrebno je pronaći.
   Očigledno, morate koristiti istu formulu sume kao u prethodnom zadatku:
   .
   Zamijenite vrijednosti:

   Korijen se očito ne uklapa, pa odgovor.
   Izračunajmo pređenu udaljenost u posljednjem danu koristeći formulu -tog člana:
   (km).
   odgovor:

3. Dato: . Pronađite: .
   Ne postaje lakše:
   (rub).
   odgovor:

ARITHMETIČKA PROGRESIJA. UKRATKO O GLAVNOM

Ovo je numerički niz u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka.

Aritmetička progresija se povećava () i smanjuje ().

Na primjer:

Formula za pronalaženje n-tog člana aritmetičke progresije

je napisan kao formula, gdje je broj brojeva u progresiji.

Svojstvo članova aritmetičke progresije

Olakšava pronalaženje člana progresije ako su poznati njegovi susjedni članovi - gdje je broj brojeva u progresiji.

Zbroj članova aritmetičke progresije

Postoje dva načina da pronađete zbir:

Gdje je broj vrijednosti.

Gdje je broj vrijednosti.

Šta glavna tačka formule?

Ova formula vam omogućava da pronađete bilo koji PO NJEGOVOM BROJU" n" .

Naravno, morate znati prvi pojam a 1 i razlika u napredovanju d, pa, bez ovih parametara, ne možete zapisati određenu progresiju.

Nije dovoljno zapamtiti (ili prevariti) ovu formulu. Potrebno je asimilirati njenu suštinu i primijeniti formulu u različitim zadacima. I ne zaboravite pravi trenutak, ali kako ne zaboravi- Ne znam. Ali kako zapamtiti Ako bude potrebno, dat ću vam savjet. Za one koji savladaju lekciju do kraja.)

Dakle, pozabavimo se formulom n-tog člana aritmetičke progresije.

Šta je uopšte formula – zamišljamo.) Šta je aritmetička progresija, broj člana, razlika progresije – jasno je rečeno u prethodnoj lekciji. Pogledajte ako ga niste pročitali. Tamo je sve jednostavno. Ostaje da se shvati šta n-ti član.

napredovanje u opšti pogled može se napisati kao niz brojeva:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1- označava prvi član aritmetičke progresije, a 3- treći član a 4- četvrti, i tako dalje. Ako nas zanima peti mandat, recimo da radimo a 5, ako sto dvadeseti - od a 120.

Kako generalno definisati bilo kojičlan aritmetičke progresije, s bilo koji broj? Veoma jednostavno! Volim ovo:

a n

To je ono što je n-ti član aritmetičke progresije. Ispod slova n svi brojevi članova su skriveni odjednom: 1, 2, 3, 4 itd.

A šta nam takav zapis daje? Zamislite samo, umjesto broja, napisali su slovo...

Ova notacija nam daje moćan alat za rad sa aritmetičkim progresijama. Koristeći notaciju a n, možemo brzo pronaći bilo kojičlan bilo koji aritmetička progresija. I gomila zadataka za rješavanje u toku. Vidjet ćete dalje.

U formuli n-tog člana aritmetičke progresije:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- prvi član aritmetičke progresije;

n- članski broj.

Formula povezuje ključne parametre bilo koje progresije: a n ; a 1 ; d i n. Oko ovih parametara, sve se zagonetke vrte u progresiji.

Formula n-tog pojma se također može koristiti za pisanje određene progresije. Na primjer, u zadatku se može reći da je progresija data uslovom:

a n = 5 + (n-1) 2.

Takav problem može čak i zbuniti... Nema serije, nema razlike... Ali, upoređujući stanje sa formulom, lako je zaključiti da u ovoj progresiji a 1 = 5 i d = 2.

A može biti još ljutije!) Ako uzmemo isti uslov: a n = 5 + (n-1) 2, da, otvori zagrade i daj slične? Dobijamo novu formulu:

an = 3 + 2n.

to Samo ne općenito, već za konkretnu progresiju. Tu leži zamka. Neki ljudi misle da je prvi mandat trojka. Iako je u stvarnosti prvi član petica... Malo niže ćemo raditi s tako izmijenjenom formulom.

U zadacima za napredovanje postoji još jedna notacija - a n+1. Ovo je, pogađate, "n plus prvi" član progresije. Njegovo značenje je jednostavno i bezopasno.) Ovo je član progresije, čiji je broj veći od broja n za jedan. Na primjer, ako u nekom problemu uzmemo za a n onda peti mandat a n+1 biće šesti član. itd.

Najčešće oznaka a n+1 javlja se u rekurzivnim formulama. Ne boj se ove strašne riječi!) Ovo je samo način da se izrazi izraz aritmetičke progresije kroz prethodni. Pretpostavimo da nam je data aritmetička progresija u ovom obliku, koristeći rekurentnu formulu:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Četvrti - kroz treći, peti - kroz četvrti, i tako dalje. I kako odmah prebrojati, recimo dvadeseti pojam, a 20? Ali nikako!) Dok 19. mandat nije poznat, 20. se ne može računati. Ovo je fundamentalna razlika između rekurzivne formule i formule n-tog člana. Rekurzivno radi samo kroz prethodni pojam, a formula n-og člana - kroz prvi i dozvoljava odmah pronađite bilo kojeg člana po broju. Ne računajući čitav niz brojeva po redu.

U aritmetičkoj progresiji, rekurzivna formula se lako može pretvoriti u regularnu. Izbrojte par uzastopnih članova, izračunajte razliku d, pronađite, ako je potrebno, prvi pojam a 1, napišite formulu u uobičajenom obliku i radite s njom. U GIA-i se takvi zadaci često nalaze.

Primjena formule n-tog člana aritmetičke progresije.

Prvo, pogledajmo direktnu primjenu formule. Na kraju prethodne lekcije pojavio se problem:

S obzirom na aritmetičku progresiju (a n). Pronađite 121 ako je a 1 =3 i d=1/6.

Ovaj problem se može riješiti bez ikakvih formula, jednostavno na osnovu značenja aritmetičke progresije. Dodaj, da dodaj... Sat ili dva.)

A prema formuli, rješenje će trajati manje od minute. Možete ga tempirati.) Odlučujemo.

Uvjeti pružaju sve podatke za korištenje formule: a 1 = 3, d \u003d 1/6. Ostaje da se vidi šta n. Nema problema! Moramo pronaći a 121. Ovdje pišemo:

Molimo obratite pažnju! Umjesto indeksa n pojavio određeni broj: 121. Što je sasvim logično.) Zanima nas termin aritmetičke progresije broj sto dvadeset jedan. Ovo će biti naše n. To je ovo značenje n= 121 zamenićemo dalje u formulu, u zagradama. Zamijenite sve brojeve u formuli i izračunajte:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

To je sve. Jednako brzo se mogao pronaći petsto deseti član, a hiljadu i treći, bilo koji. Stavili smo umjesto toga nželjeni broj u indeksu slova " a" i u zagradama, i razmatramo.

Dozvolite mi da vas podsjetim na suštinu: ova formula vam omogućava da pronađete bilo koji pojam aritmetičke progresije PO NJEGOVOM BROJU" n" .

Rešimo problem pametnije. Recimo da imamo sljedeći problem:

Pronađite prvi član aritmetičke progresije (a n) ako je a 17 =-2; d=-0,5.

Ako budete imali poteškoća, predložit ću prvi korak. Zapišite formulu za n-ti član aritmetičke progresije! Da da. Napišite rukom, pravo u svoju svesku:

a n = a 1 + (n-1)d

I sada, gledajući slova formule, razumijemo koje podatke imamo, a šta nedostaje? Dostupan d=-0,5, ima sedamnaesti član... Sve? Ako mislite da je to sve, onda ne možete riješiti problem, da...

Imamo i broj n! U stanju a 17 =-2 skriveno dvije opcije. Ovo je i vrijednost sedamnaestog člana (-2) i njegov broj (17). One. n=17. Ova „sitnica“ često prođe pored glave, a bez nje (bez „sitnice“, a ne glave!) problem se ne može rešiti. Mada... i bez glave.)

Sada možemo samo glupo zamijeniti naše podatke u formulu:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Oh da, a 17 znamo da je -2. U redu, stavimo to:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

To je, u suštini, sve. Ostaje da izrazimo prvi član aritmetičke progresije iz formule i izračunamo. Dobijate odgovor: a 1 = 6.

Takva tehnika - pisanje formule i jednostavna zamjena poznatih podataka - puno pomaže jednostavni zadaci. Pa, morate, naravno, znati izraziti varijablu iz formule, ali šta da se radi!? Bez ove vještine matematika se uopće ne može učiti...

Još jedan popularan problem:

Pronađite razliku aritmetičke progresije (a n) ako je a 1 =2; a 15 =12.

Šta mi radimo? Iznenadit ćete se, pišemo formulu!)

a n = a 1 + (n-1)d

Razmotrite šta znamo: a 1 =2; a 15 =12; i (poseban naglasak!) n=15. Slobodno zamijenite u formuli:

12=2 + (15-1)d

Uradimo aritmetiku.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Ovo je tačan odgovor.

Dakle, zadaci a n , a 1 i d odlučila. Ostaje naučiti kako pronaći broj:

Broj 99 je član aritmetičke progresije (a n), gdje je a 1 =12; d=3. Pronađite broj ovog člana.

Zamjenjujemo poznate količine u formulu n-tog člana:

a n = 12 + (n-1) 3

Na prvi pogled ovde postoje dve nepoznate količine: a n i n. Ali a n je neki član progresije s brojem n... A ovog člana progresije poznajemo! 99 je. Ne znamo njegov broj. n, tako da i ovaj broj treba pronaći. Zamijenite termin progresije 99 u formulu:

99 = 12 + (n-1) 3

Izražavamo iz formule n, mi mislimo. Dobijamo odgovor: n=30.

A sada problem na istu temu, ali kreativniji):

Odredite da li će broj 117 biti član aritmetičke progresije (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Hajde da ponovo napišemo formulu. Šta, nema parametara? Hm... Zašto su nam potrebne oči?) Vidimo li prvog člana progresije? Vidimo. Ovo je -3,6. Možete sa sigurnošću napisati: a 1 \u003d -3,6. Razlika d može se odrediti iz serije? Lako je ako znate koja je razlika aritmetičke progresije:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Da, uradili smo najjednostavniju stvar. Ostaje da se pozabavimo nepoznatim brojem n i nerazumljiv broj 117. U prethodnom zadatku se barem znalo da je zadan termin progresije. Ali mi to ni ne znamo... Kako biti!? Pa, kako biti, kako biti... Uključi se Kreativne vještine!)

Mi pretpostavimo da je 117, na kraju krajeva, član našeg napredovanja. Sa nepoznatim brojem n. I, baš kao u prethodnom zadatku, pokušajmo pronaći ovaj broj. One. pišemo formulu (da-da!)) i zamjenjujemo naše brojeve:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Opet izražavamo iz formulen, računamo i dobijamo:

Ups! Broj se ispostavio fractional! Sto jedan i po. I razlomci u progresijama ne može biti. Kakav zaključak donosimo? Da! Broj 117 niječlan našeg napredovanja. To je negdje između 101. i 102. pripadnika. Ako se ispostavi da je broj prirodan, tj. pozitivan cijeli broj, tada bi broj bio član progresije s pronađenim brojem. A u našem slučaju, odgovor na problem će biti: br.

Zasnovano na zadatku prava verzija GIA:

Aritmetička progresija je data uslovom:

a n \u003d -4 + 6,8n

Pronađite prvi i deseti član progresije.

Ovdje je progresija postavljena na neobičan način. Nekakva formula... Dešava se.) Međutim, ova formula (kao što sam gore napisao) - također formula n-tog člana aritmetičke progresije! Ona takođe dozvoljava pronađite bilo kojeg člana progresije po njegovom broju.

Tražimo prvog člana. Onaj koji misli. da je prvi član minus četiri, fatalno je pogrešno!) Jer je formula u zadatku izmijenjena. Prvi član aritmetičke progresije u njemu skriveno. Ništa, sada ćemo to pronaći.)

Kao iu prethodnim zadacima, vršimo zamjenu n=1 u ovu formulu:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Evo! Prvi član je 2,8, a ne -4!

Slično, tražimo i deseti termin:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

To je sve.

A sada, za one koji su pročitali do ovih redova, obećani bonus.)

Pretpostavimo da ste u teškoj borbenoj situaciji, GIA ili Jedinstveni državni ispit, zaboravili korisna formula n-ti član aritmetičke progresije. Nešto mi pada na pamet, ali nekako nesigurno... Da li n tamo, ili n+1, ili n-1... Kako biti!?

Smiren! Ovu formulu je lako izvesti. Nije baš strogo, ali da budemo sigurni i ispravna odluka dosta je!) Za zaključak je dovoljno zapamtiti elementarno značenje aritmetičke progresije i imati par minuta vremena. Samo treba da nacrtate sliku. Radi jasnoće.

Nacrtamo numeričku osu i na njoj označimo prvu. drugi, treći itd. članovi. I primijetite razliku d između članova. Volim ovo:

Gledamo sliku i mislimo: čemu je jednak drugi član? Sekunda jedan d:

a 2 =a 1 + 1 d

Šta je treći termin? Treći pojam je jednak prvom članu plus dva d.

a 3 =a 1 + 2 d

Da li shvatate? Ne stavljam neke riječi podebljano uzalud. U redu, još jedan korak.)

Šta je četvrti mandat? Četvrto pojam je jednak prvom članu plus tri d.

a 4 =a 1 + 3 d

Vrijeme je da shvatimo da je broj praznina, tj. d, uvijek jedan manji od broja člana kojeg tražite n. Odnosno, do broja n, broj praznina bice n-1. Dakle, formula će biti (bez opcija!):

a n = a 1 + (n-1)d

Općenito, vizualne slike su od velike pomoći u rješavanju mnogih matematičkih problema. Nemojte zanemariti slike. Ali ako je teško nacrtati sliku, onda ... samo formula!) Osim toga, formula n-tog člana omogućava vam da povežete cijeli moćni arsenal matematike na rješenje - jednadžbe, nejednačine, sisteme itd. Ne mozes sliku staviti u jednacinu...

Zadaci za samostalno odlučivanje.

Za zagrevanje:

1. U aritmetičkoj progresiji (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Pronađite 3.

Savjet: prema slici, problem se rješava za 20 sekundi... Prema formuli, ispada teže. Ali za savladavanje formule, korisnije je.) U odjeljku 555, ovaj problem je riješen i slikom i formulom. Osjetite razliku!)

I ovo više nije zagrijavanje.)

2. U aritmetičkoj progresiji (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Pronađite a 3 .

Šta, nevoljkost da nacrtam sliku?) Ipak! Bolje je u formuli, da...

3. Aritmetička progresija je data uslovom:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Pronađite sto dvadeset peti član ove progresije.

U ovom zadatku, napredovanje se daje na ponavljajući način. Ali računajući do sto dvadeset i petog člana... Ne može svako da učini takav podvig.) Ali formula n-tog člana je u moći svakoga!

4. S obzirom na aritmetičku progresiju (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Pronađite broj najmanjeg pozitivnog člana progresije.

5. Prema uslovu zadatka 4, pronađite zbir najmanjih pozitivnih i najvećih negativnih članova progresije.

6. Proizvod petog i dvanaestog člana rastuće aritmetičke progresije je -2,5, a zbir trećeg i jedanaestog člana je nula. Pronađite 14.

Nije najlakši zadatak, da ...) Ovdje metoda "na prstima" neće raditi. Morate napisati formule i riješiti jednačine.

Odgovori (u neredu):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Desilo se? Lijepo je!)

Nije sve u redu? Dešava se. Inače, u posljednjem zadatku postoji jedna suptilna točka. Biće potrebna pažnja prilikom čitanja problema. I logika.

Rješenje svih ovih problema je detaljno razmotreno u Odjeljku 555. I element fantazije za četvrti, i suptilni trenutak za šesti, i opšti pristupi za rješavanje bilo kakvih problema na formuli n-tog člana - sve je oslikano. Preporučeno.

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Na primjer, niz \(2\); \(pet\); \(8\); \(jedanaest\); \(14\)… je aritmetička progresija, jer se svaki sljedeći element razlikuje od prethodnog za tri (može se dobiti od prethodnog dodavanjem tri):

U ovoj progresiji, razlika \(d\) je pozitivna (jednaka \(3\)), i stoga je svaki sljedeći član veći od prethodnog. Takve progresije se nazivaju povećanje.

Međutim, \(d\) također može biti negativan broj. Na primjer, u aritmetičkoj progresiji \(16\); \(10\); \(četiri\); \(-2\); \(-8\)… razlika u progresiji \(d\) je jednaka minus šest.

I u ovom slučaju, svaki sljedeći element bit će manji od prethodnog. Ove progresije se nazivaju opadajući.

Zapis aritmetičke progresije

Progresija se označava malim latiničnim slovom.

Zovu se brojevi koji formiraju progresiju članovi(ili elemenata).

Označeni su istim slovom kao i aritmetička progresija, ali s numeričkim indeksom jednakim broju elementa po redu.

Na primjer, aritmetička progresija \(a_n = \lijevo\( 2; 5; 8; 11; 14...\desno\)\) se sastoji od elemenata \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) i tako dalje.

Drugim riječima, za progresiju \(a_n = \lijevo\(2; 5; 8; 11; 14...\desno\)\)

Rješavanje zadataka u aritmetičkoj progresiji

U principu, gore navedene informacije su već dovoljne za rješavanje gotovo svakog problema u aritmetičkoj progresiji (uključujući i one koje nudi OGE).

Primjer (OGE). Aritmetička progresija je data uslovima \(b_1=7; d=4\). Pronađite \(b_5\).
Odluka:

odgovor: \(b_5=23\)

Primjer (OGE). Prva tri člana aritmetičke progresije su data: \(62; 49; 36…\) Pronađite vrijednost prvog negativnog člana ove progresije..
Odluka:

	Dati su nam prvi elementi niza i znamo da je to aritmetička progresija. Odnosno, svaki element se razlikuje od susjednog za isti broj. Saznajte koji oduzimanjem prethodnog od sljedećeg elementa: \(d=49-62=-13\).
	Sada možemo vratiti naš napredak na željeni (prvi negativni) element.
	Spreman. Možete napisati odgovor.

odgovor: \(-3\)

Primjer (OGE). Dato je nekoliko uzastopnih elemenata aritmetičke progresije: \(...5; x; 10; 12,5...\) Pronađite vrijednost elementa označenog slovom \(x\).
Odluka:

	Da bismo pronašli \(x\), moramo znati koliko se sljedeći element razlikuje od prethodnog, drugim riječima, razlika u progresiji. Nađimo ga iz dva poznata susjedna elementa: \(d=12,5-10=2,5\).
	I sada bez problema nalazimo ono što tražimo: \(x=5+2.5=7.5\).
	Spreman. Možete napisati odgovor.

odgovor: \(7,5\).

Primjer (OGE). Zadana aritmetička progresija sledećim uslovima: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Pronađite zbir prvih šest članova ove progresije.
Odluka:

	Moramo pronaći zbir prvih šest članova progresije. Ali ne znamo njihova značenja, dat nam je samo prvi element. Stoga prvo izračunavamo vrijednosti ​​​​, koristeći dato nam: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) I nakon što smo izračunali šest elemenata koji su nam potrebni, nalazimo njihov zbir.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Traženi iznos je pronađen.

odgovor: \(S_6=9\).

Primjer (OGE). U aritmetičkoj progresiji \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Pronađite razliku ove progresije.
Odluka:

odgovor: \(d=7\).

Važne formule aritmetičke progresije

Kao što vidite, mnogi problemi aritmetičke progresije mogu se riješiti jednostavnim razumijevanjem glavne stvari - da je aritmetička progresija lanac brojeva, a svaki sljedeći element u ovom lancu se dobija dodavanjem istog broja prethodnom (razlika progresije).

Međutim, ponekad postoje situacije kada je vrlo nezgodno riješiti "na čelo". Na primjer, zamislite da u prvom primjeru ne trebamo pronaći peti element \(b_5\), već trista osamdeset šesti \(b_(386)\). Šta je to, mi \ (385 \) puta da saberemo četiri? Ili zamislite da u pretposljednjem primjeru trebate pronaći zbir prva sedamdeset tri elementa. Brojanje je zbunjujuće...

Stoga se u takvim slučajevima ne rješavaju "na čelo", već koriste posebne formule izvedene za aritmetičku progresiju. A glavne su formula za n-ti član progresije i formula za zbir \(n\) prvih članova.

Formula za \(n\)-ti član: \(a_n=a_1+(n-1)d\), gdje je \(a_1\) prvi član progresije;
\(n\) – broj potrebnog elementa;
\(a_n\) je član progresije s brojem \(n\).

Ova formula nam omogućava da brzo pronađemo najmanje tristoti, čak i milioniti element, znajući samo prvi i progresivnu razliku.

Primjer. Aritmetička progresija je data uslovima: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Pronađite \(b_(246)\).
Odluka:

odgovor: \(b_(246)=1850\).

Formula za zbir prvih n članova je: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), gdje je

\(a_n\) je posljednji zbrojeni pojam;

Primjer (OGE). Aritmetička progresija je data uslovima \(a_n=3.4n-0.6\). Pronađite zbroj prvih \(25\) članova ove progresije.
Odluka:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Da bismo izračunali zbir prvih dvadeset pet elemenata, moramo znati vrijednost prvog i dvadeset petog člana. Naša progresija je data formulom n-og člana u zavisnosti od njegovog broja (vidi detalje). Izračunajmo prvi element zamjenom \(n\) sa jedan.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Sada pronađimo dvadeset peti član zamjenom dvadeset pet umjesto \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Pa, sada bez problema izračunavamo potrebnu količinu.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Odgovor je spreman.

odgovor: \(S_(25)=1090\).

Za zbir \(n\) prvih članova možete dobiti drugu formulu: samo trebate \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) umjesto \(a_n\) zamijenite formulu za to \(a_n=a_1+(n-1)d\). Dobijamo:

Formula za zbir prvih n članova je: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), gdje je

\(S_n\) – traženi zbir \(n\) prvih elemenata;
\(a_1\) je prvi pojam koji se zbraja;
\(d\) – razlika u progresiji;
\(n\) - broj elemenata u zbroju.

Primjer. Pronađite zbir prvih \(33\)-ex članova aritmetičke progresije: \(17\); \(15,5\); \(četrnaest\)…
Odluka:

odgovor: \(S_(33)=-231\).

Složeniji problemi aritmetičke progresije

Sada imate sve potrebne informacije za rješavanje gotovo svakog problema u aritmetičkoj progresiji. Hajde da završimo temu razmatranjem problema u kojima treba ne samo da primenite formule, već i malo razmislite (u matematici ovo može biti korisno ☺)

Primjer (OGE). Pronađite zbir svih negativnih članova progresije: \(-19,3\); \(-devetnaest\); \(-18,7\)…
Odluka:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Zadatak je vrlo sličan prethodnom. Počinjemo rješavati na isti način: prvo pronađemo \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Sada bismo zamijenili \(d\) u formulu za zbir ... i ovdje se pojavljuje mala nijansa - ne znamo \(n\). Drugim riječima, ne znamo koliko termina treba dodati. Kako to saznati? Hajde da razmislimo. Prestat ćemo sa dodavanjem elemenata kada dođemo do prvog pozitivnog elementa. Odnosno, morate saznati broj ovog elementa. Kako? Zapišimo formulu za izračunavanje bilo kojeg elementa aritmetičke progresije: \(a_n=a_1+(n-1)d\) za naš slučaj.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Trebamo \(a_n\) da postanemo Iznad nule. Hajde da saznamo zbog čega će se to \(n\) dogoditi.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Obje strane nejednakosti dijelimo sa \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Prenosimo minus jedan, ne zaboravljajući promijeniti znakove
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Računanje...
\(n>65,333…\)		…i ispostavilo se da će prvi pozitivni element imati broj \(66\). Prema tome, posljednji negativ ima \(n=65\). Za svaki slučaj, hajde da proverimo.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Dakle, moramo dodati prve \(65\) elemente.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Odgovor je spreman.

odgovor: \(S_(65)=-630,5\).

Primjer (OGE). Aritmetička progresija je data uslovima: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Pronađite zbroj od \(26\)-og do \(42\) elementa uključujući.
Odluka:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	U ovom zadatku također morate pronaći zbir elemenata, ali ne počevši od prvog, već od \(26\)-og. Nemamo formulu za ovo. Kako odlučiti? Lako - da biste dobili zbir od \(26\) do \(42\), prvo morate pronaći zbir od \(1\) do \(42\), a zatim od njega oduzeti zbroj od \(42\) prvi do \ (25 \) th (vidi sliku).
	Za našu progresiju \(a_1=-33\), i razliku \(d=4\) (na kraju krajeva, prethodnom elementu dodajemo četiri da pronađemo sljedeći). Znajući ovo, nalazimo zbir prvih \(42\)-uh elemenata.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Sada zbir prvih \(25\)-tih elemenata.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	I konačno, izračunavamo odgovor.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

odgovor: \(S=1683\).

Za aritmetičku progresiju postoji još nekoliko formula koje nismo razmotrili u ovom članku zbog njihove niske praktične korisnosti. Međutim, lako ih možete pronaći.

Uputstvo

Aritmetička progresija je niz oblika a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Broj d korak progresije.Očigledno, zbir proizvoljnog n-og člana aritmetike progresije ima oblik: An = A1+(n-1)d. Zatim poznavanje jednog od članova progresije, član progresije i korak progresije, može biti , odnosno broj progresijskog člana. Očigledno, to će biti određeno formulom n = (An-A1+d)/d.

Neka m-ti pojam sada bude poznat progresije i još neki član progresije- n-ti, ali n , kao u prethodnom slučaju, ali je poznato da se n i m ne poklapaju. Korak progresije može se izračunati po formuli: d = (An-Am)/(n-m). Tada je n = (An-Am+md)/d.

Ako je zbir nekoliko elemenata aritmetike progresije, kao i njegov prvi i zadnji , tada se može odrediti i broj ovih elemenata. progresije biće jednako: S = ((A1+An)/2)n. Tada su n = 2S/(A1+An) chdenov progresije. Koristeći činjenicu da je An = A1+(n-1)d, ova formula se može prepisati kao: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Iz ovoga se može izraziti n rješavanjem kvadratna jednačina.

Aritmetički niz je takav uređeni skup brojeva čiji se svaki član, osim prvog, razlikuje od prethodnog za isti iznos. Ova konstanta se naziva razlika progresije ili njenog koraka i može se izračunati iz poznatih članova aritmetičke progresije.

Uputstvo

Ako su vrijednosti prvog i drugog ili bilo kojeg drugog para susjednih članova poznate iz uslova zadatka, da biste izračunali razliku (d), jednostavno oduzmite prethodni član od sljedećeg člana. Rezultirajuća vrijednost može biti pozitivna ili negativna - ovisi o tome da li se progresija povećava. AT opšti oblik napišite rješenje za proizvoljan par (aᵢ i aᵢ₊₁) susjednih članova progresije na sljedeći način: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Za par članova takve progresije, od kojih je jedan prvi (a₁), a drugi bilo koji drugi proizvoljno izabran, može se napraviti i formula za pronalaženje razlike (d). Međutim, u ovom slučaju, serijski broj (i) proizvoljno izabranog člana niza mora biti poznat. Da biste izračunali razliku, saberite oba broja, a rezultat podijelite rednim brojem proizvoljnog člana smanjenom za jedan. Općenito, napišite ovu formulu na sljedeći način: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Ako je pored proizvoljnog člana aritmetičke progresije sa rednim brojem i poznat još jedan član sa rednim brojem u, u skladu s tim promijenite formulu iz prethodnog koraka. U ovom slučaju, razlika (d) progresije će biti zbir ova dva člana podijeljen njihovom razlikom serijski brojevi: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Formula za izračunavanje razlike (d) postaje nešto složenija ako se, u uvjetima problema, daju vrijednost njegovog prvog člana (a₁) i zbir (Sᵢ) datog broja (i) prvih članova aritmetički niz. Da biste dobili željenu vrijednost, podijelite zbroj s brojem članova koji ga čine, oduzmite vrijednost prvog broja u nizu i udvostručite rezultat. Dobivenu vrijednost podijelite sa brojem članova koji su činili zbroj umanjenim za jedan. Općenito, zapišite formulu za izračunavanje diskriminanta na sljedeći način: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Prilikom studiranja algebre u opšteobrazovna škola(9. razred) jedan od važne teme je studija numeričke sekvence, koji uključuju progresije - geometrijske i aritmetičke. U ovom članku ćemo razmotriti aritmetičku progresiju i primjere s rješenjima.

Šta je aritmetička progresija?

Da bi se ovo razumjelo, potrebno je dati definiciju progresije koja se razmatra, kao i dati osnovne formule koje će se dalje koristiti u rješavanju problema.

Aritmetika ili je takav skup uređenih racionalnih brojeva čiji se svaki član razlikuje od prethodnog po nekoj konstantnoj vrijednosti. Ova vrijednost se naziva razlika. To jest, znajući bilo koji član uređenog niza brojeva i razliku, možete vratiti cjelokupnu aritmetičku progresiju.

Uzmimo primjer. Sljedeći niz brojeva će biti aritmetička progresija: 4, 8, 12, 16, ..., pošto je razlika u ovom slučaju 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ali skup brojeva 3, 5, 8, 12, 17 se više ne može pripisati tipu progresije koji se razmatra, jer razlika za njega nije konstantna vrijednost (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Važne formule

Sada dajemo osnovne formule koje će biti potrebne za rješavanje problema korištenjem aritmetičke progresije. Neka a n označava n-ti član niza, gdje je n cijeli broj. Označimo razliku latinično pismo d. Onda sledeće izraze:

1. Za određivanje vrijednosti n-tog člana prikladna je formula: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Odrediti zbir prvih n članova: S n = (a n + a 1)*n/2.

Da bismo razumjeli bilo koji primjer aritmetičke progresije sa rješenjem u 9. razredu, dovoljno je zapamtiti ove dvije formule, budući da su svi problemi tipa koji se razmatraju izgrađeni na njihovoj upotrebi. Takođe, ne zaboravite da je razlika u progresiji određena formulom: d = a n - a n-1 .

Primjer #1: Pronalaženje nepoznatog člana

Dajemo jednostavan primjer aritmetičke progresije i formule koje se moraju koristiti za rješavanje.

Neka je zadan niz 10, 8, 6, 4, ..., u njemu je potrebno pronaći pet članova.

Već iz uslova zadatka proizilazi da su prva 4 člana poznata. Peti se može definisati na dva načina:

1. Izračunajmo prvo razliku. Imamo: d = 8 - 10 = -2. Slično, može se uzeti bilo koja dva druga pojma koji stoje jedan pored drugog. Na primjer, d = 4 - 6 = -2. Pošto je poznato da je d \u003d a n - a n-1, onda d \u003d a 5 - a 4, odakle dobijamo: a 5 = a 4 + d. Zamena poznate vrednosti: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Druga metoda također zahtijeva poznavanje razlike dotične progresije, tako da je prvo trebate odrediti, kao što je prikazano gore (d = -2). Znajući da je prvi član a 1 = 10, koristimo formulu za n broj niza. Imamo: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Zamjenom n = 5 u posljednji izraz dobijamo: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Kao što vidite, oba rješenja vode do istog rezultata. Imajte na umu da je u ovom primjeru razlika d progresije negativnu vrijednost. Takvi nizovi se nazivaju opadajućim jer je svaki sljedeći član manji od prethodnog.

Primjer #2: razlika u progresiji

Sada da malo zakomplikujemo zadatak, dajte primjer kako pronaći razliku aritmetičke progresije.

Poznato je da je u nekoj algebarskoj progresiji 1. član jednak 6, a 7. član 18. Potrebno je pronaći razliku i vratiti ovaj niz na 7. član.

Koristimo formulu da odredimo nepoznati pojam: a n = (n - 1) * d + a 1 . U njega zamjenjujemo poznate podatke iz uvjeta, odnosno brojeve a 1 i a 7, imamo: 18 \u003d 6 + 6 * d. Iz ovog izraza možete lako izračunati razliku: d = (18 - 6) / 6 = 2. Tako je odgovoreno na prvi dio zadatka.

Za vraćanje niza do 7 pojmova, treba koristiti definiciju algebarska progresija, odnosno a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d i tako dalje. Kao rezultat, vraćamo cijeli niz: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 i 7 = 18.

Primjer #3: napredovanje

Hajde da to otežamo jače stanje zadataka. Sada morate odgovoriti na pitanje kako pronaći aritmetičku progresiju. Možemo dati sljedeći primjer: data su dva broja, na primjer, 4 i 5. Potrebno je napraviti algebarsku progresiju tako da između njih stane još tri člana.

Prije nego počnemo rješavati ovaj problem, potrebno je razumjeti koje će mjesto dati brojevi zauzimati u budućoj progresiji. Budući da će između njih biti još tri člana, zatim 1 \u003d -4 i 5 \u003d 5. Nakon što smo to utvrdili, prelazimo na zadatak koji je sličan prethodnom. Opet, za n-ti član koristimo formulu, dobijamo: a 5 = a 1 + 4 * d. Od: d = (a 5 - a 1) / 4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Ovdje nismo dobili cjelobrojnu vrijednost razlike, ali ona jeste racionalni broj, tako da formule za algebarsku progresiju ostaju iste.

Sada dodajmo pronađenu razliku na 1 i vratimo nedostajuće članove progresije. Dobijamo: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u0 što se poklopilo sa uslovom problema.

Primjer #4: Prvi član progresije

Nastavljamo davati primjere aritmetičke progresije sa rješenjem. U svim prethodnim problemima prvi broj algebarske progresije je bio poznat. Sada razmotrite problem drugog tipa: neka su data dva broja, gdje je a 15 = 50 i a 43 = 37. Potrebno je pronaći od kojeg broja počinje ovaj niz.

Formule koje su do sada korištene pretpostavljaju poznavanje a 1 i d. Ništa se ne zna o ovim brojevima u stanju problema. Ipak, napišimo izraze za svaki pojam o kojem imamo informacije: a 15 = a 1 + 14 * d i a 43 = a 1 + 42 * d. Dobili smo dvije jednačine u kojima postoje 2 nepoznate veličine (a 1 i d). To znači da se problem svodi na rješavanje sistema linearnih jednačina.

Navedeni sistem je najlakše riješiti ako izrazite 1 u svakoj jednačini, a zatim uporedite rezultirajuće izraze. Prva jednadžba: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; druga jednadžba: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Izjednačavanjem ovih izraza dobijamo: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, odakle je razlika d = (37 - 50) / (42 - 14) = 0,464 (date su samo 3 decimale).

Znajući d, možete koristiti bilo koji od 2 gornja izraza za 1. Na primjer, prvo: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Ako postoje sumnje u rezultat, možete ga provjeriti, na primjer, odrediti 43. član progresije, koji je naveden u uvjetu. Dobijamo: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Mala greška je zbog činjenice da je u proračunima korišteno zaokruživanje na hiljaditi dio.

Primjer #5: Zbir

Pogledajmo sada neke primjere s rješenjima za zbir aritmetičke progresije.

Neka se da numerička progresija sledeće vrste: 1, 2, 3, 4, ...,. Kako izračunati zbir 100 ovih brojeva?

Zahvaljujući razvoju kompjuterska tehnologija možete riješiti ovaj problem, odnosno uzastopno sabirati sve brojeve, što Računska mašinaće učiniti čim osoba pritisne tipku Enter. Međutim, problem se može riješiti mentalno ako obratite pažnju da je prikazani niz brojeva algebarska progresija, a njegova razlika je 1. Primjenom formule za zbir dobijamo: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Zanimljivo je napomenuti da se ovaj problem naziva "Gausov" jer u početkom XVIII veka, čuveni Nemac, još uvek sa samo 10 godina, uspeo je da to reši u svom umu za nekoliko sekundi. Dječak nije znao formulu za zbir algebarske progresije, ali je primijetio da ako dodate parove brojeva koji se nalaze na rubovima niza, uvijek dobijete isti rezultat, odnosno 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., a pošto će ovi zbroji biti tačno 50 (100 / 2), onda je za tačan odgovor dovoljno pomnožiti 50 sa 101.

Primjer #6: zbir članova od n do m

Drugi tipičan primjer zbir aritmetičke progresije je sljedeći: za niz brojeva: 3, 7, 11, 15, ..., potrebno je pronaći koliki će biti zbir njegovih članova od 8 do 14.

Problem se rješava na dva načina. Prvi od njih uključuje pronalaženje nepoznatih pojmova od 8 do 14, a zatim njihovo sažimanje uzastopno. Budući da postoji malo pojmova, ova metoda nije dovoljno naporna. Ipak, predlaže se da se ovaj problem riješi drugom metodom, koja je univerzalnija.

Ideja je dobiti formulu za zbir algebarske progresije između pojmova m i n, gdje su n > m cijeli brojevi. Za oba slučaja pišemo dva izraza za zbir:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Pošto je n > m, očigledno je da zbir 2 uključuje prvi. Posljednji zaključak znači da ako uzmemo razliku između ovih zbira, i dodamo joj pojam a m (u slučaju uzimanja razlike, ona se oduzme od sume S n), onda ćemo dobiti neophodan odgovor na problem. Imamo: S mn \u003d S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). U ovaj izraz potrebno je zamijeniti formule za n i a m. Tada dobijamo: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Rezultirajuća formula je pomalo glomazna, međutim, zbir S mn ovisi samo o n, m, a 1 i d. U našem slučaju, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Zamjenom ovih brojeva dobijamo: S mn = 301.

Kao što se vidi iz gornjih rješenja, svi problemi se zasnivaju na poznavanju izraza za n-ti član i formule za zbir skupa prvih članova. Prije nego počnete rješavati bilo koji od ovih problema, preporučuje se da pažljivo pročitate uvjet, jasno shvatite šta želite pronaći i tek onda nastaviti s rješavanjem.

Još jedan savjet je da težite jednostavnosti, odnosno, ako možete odgovoriti na pitanje bez korištenja složenih matematičkih proračuna, onda morate učiniti upravo to, jer je u ovom slučaju vjerovatnoća da ćete pogriješiti manja. Na primjer, u primjeru aritmetičke progresije s rješenjem br. 6, moglo bi se zaustaviti na formuli S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, i split zajednički zadatak u zasebne podprobleme (u ovom slučaju prvo pronađite pojmove a n i a m).

Ako postoje sumnje u dobijeni rezultat, preporučuje se da ga provjerite, kao što je učinjeno u nekim od navedenih primjera. Kako pronaći aritmetičku progresiju, saznali smo. Kada to shvatite, nije tako teško.