− Učitelj Dumbadze V.A.
iz škole 162 Kirovskog okruga Sankt Peterburga.

Naša grupa VKontakte
Mobilne aplikacije:

(Gdje x t- vrijeme u sekundama mjereno od početka kretanja). Pronađite njegovu brzinu (u m/s) u trenutku t= 9 s.

At t= 9 s imamo:

Zašto izostavljamo broj 17 iz originalne jednačine?

pronaći derivaciju originalne funkcije.

nema broja 17 u izvedenici

Zašto pronaći derivat?

Brzina je derivacija koordinate u odnosu na vrijeme.

Problem traži od vas da pronađete brzinu

x- udaljenost od referentne tačke u metrima, t- vrijeme u sekundama mjereno od početka kretanja). Pronađite njegovu brzinu u (m/s) u trenutku vremena t= 6 s.

Nađimo zakon promjene brzine:

(6)=3/2*36-6*6+2=54-38=16, a ne 20

zapamtite proceduru

Od kada je sabiranje poželjnije od oduzimanja?

Množenje ima prednost nad sabiranjem i oduzimanjem. Setite se dece školski primjer: 2 + 2 · 2. Da vas podsjetim da ovdje ispada ne 8, kako neki misle, nego 6.

Niste razumjeli odgovor gosta.

1,5*36 — 6*6 + 2 = 54 — 36 + 2 = 18 + 2 = 20.

Dakle, sve je tačno, izračunajte sami.

2) množenje/deljenje (zavisi od redosleda u jednačini; prvo se rešava ono što je prvo);

3) sabiranje/oduzimanje (slično zavisi od redosleda u primeru).

Množenje = dijeljenje, sabiranje = oduzimanje =>

Ne 54 - (36+2), već 54-36+2 = 54+2-36 = 20

Prvo, za vas - Sergej Batkovič. Drugo, da li ste razumeli šta želite da kažete i kome? Nisam te razumio.

Materijalna tačka se kreće pravolinijski prema zakonu (gdje je x udaljenost od referentne točke u metrima, t je vrijeme u sekundama mjereno od početka kretanja). Pronađite njegovu brzinu u (m/s) u vremenu s.

Nađimo zakon promjene brzine: m/s. kada imamo:

Lekcija na temu: „Pravila diferencijacije“, 11. razred

Odjeljci: Matematika

Vrsta lekcije: generalizacija i sistematizacija znanja.

Ciljevi lekcije:

• edukativni:
  • generalizovati i sistematizovati gradivo na temu nalaženja izvoda;
  • konsolidovati pravila diferencijacije;
  • otvoriti politehniku ​​za studente, primijenjena vrijednost Teme;
• razvijanje:
  • vrši kontrolu sticanja znanja i vještina;
  • razviti i poboljšati sposobnost primjene znanja u promijenjenoj situaciji;
  • razvijati kulturu govora i sposobnost izvođenja zaključaka i generalizacije;
• edukativni:
  • razvijati kognitivni proces;
  • Usaditi učenicima tačnost u dizajnu i odlučnost.

Oprema:

• grafoskop, platno;
• kartice;
• kompjuteri;
• stol;
• diferencirani zadaci u obliku multimedijalnih prezentacija.

I. Provjera domaćeg zadatka.

1. Poslušajte izvještaje učenika o primjerima upotrebe izvedenica.

2. Razmotriti primjere upotrebe derivata u fizici, hemiji, inženjerstvu i drugim oblastima koje predlažu studenti.

II. Ažuriranje znanja.

Učitelj:

1. Definirajte derivaciju funkcije.
2. Koja se operacija naziva diferencijacija?
3. Koja pravila diferencijacije se koriste pri izračunavanju derivacije? (Pozivaju se traženi učenici da dođu na ploču).
   • derivat sume;
   • derivat djela;
   • derivat koji sadrži konstantni faktor;
   • derivat količnika;
   • derivat kompleksne funkcije;
4. Navedite primjere primijenjeni problemi, što dovodi do koncepta derivata.

Niz posebnih problema iz različitih oblasti nauke.

Zadatak br. 1. Tijelo se kreće pravolinijski prema zakonu x(t). Zapišite formulu za određivanje brzine i ubrzanja tijela u trenutku t.

Zadatak br. 2. Poluprečnik kružnice R varira prema zakonu R = 4 + 2t 2. Odredite brzinu kojom se mijenja njegova površina V moment t = 2 s. Radijus kruga se mjeri u centimetrima. Odgovor: 603 cm 2 /s.

Zadatak br. 3. Materijalna tačka mase 5 kg kreće se pravolinijski prema zakonu

S(t) = 2t+ , gdje S- udaljenost u metrima, t– vrijeme u sekundama. Pronađite silu koja djeluje na tačku u ovom trenutku t = 4 s.

odgovor: N.

Zadatak br. 4. Zamašnjak, koji drži kočnica, okreće se iza t s pod uglom od 3t - 0,1t 2 (rad). Pronađite:

a) ugaona brzina rotacije zamašnjaka u momentu t = 7 With;
b) u kom trenutku će se zamašnjak zaustaviti.

odgovor: a) 2,86; b) 150 s.

Primjeri korištenja izvedenica također mogu uključivati ​​probleme u pronalaženju: specifični toplotni kapacitet supstancu datog tijela, linearnu gustinu i kinetičku energiju tijela itd.

III. Obavljanje diferenciranih zadataka.

Oni koji žele da završe zadatke nivoa „A“ sjedaju za računar i završavaju test sa programiranim odgovorom. ( Aplikacija. )

1. Pronađite vrijednost izvoda funkcije u tački x 0 = 3.

2. Pronađite vrijednost izvoda funkcije y = xe x u tački x 0 = 1.

1) 2e;
2) e;
3) 1 + e;
4) 2 + e.

3. Riješite jednačinu f / (x) = 0 ako je f (x) = (3x 2 + 1)(3x 2 – 1).

1) ;
2) 2;
3) ;
4) 0.

4. Izračunajte f/(1) ako je f(x) = (x 2 + 1)(x 3 – x).

5. Odrediti vrijednost izvoda funkcije f(t) = (t4 – 3)(t2 + 2) u tački t0 = 1.

6. Tačka se kreće pravolinijski prema zakonu: S(t) = t 3 – 3t 2. Odaberite formulu koja određuje brzinu kretanja ove tačke u trenutku t.

1) t 2 – 2t;
2) 3t 2 – 3t;
3) 3t 2 – 6t;
4) t 3 + 6t.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Primjena derivata u fizici, tehnologiji, biologiji, životu

Prezentacija za lekciju

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda ne predstavljaju sve karakteristike prezentacije. Ako si zainteresovan ovo djelo, preuzmite punu verziju.

Vrsta lekcije: integrisan.

Svrha lekcije: proučiti neke aspekte primjene izvedenica u raznim oblastima fizike, hemije, biologije.

Zadaci:širenje vidika i kognitivna aktivnost studenti, razvoj logičko razmišljanje i sposobnost da primene svoje znanje.

Tehnička podrška: interaktivna tabla; kompjuter i disk.

I. Organizacioni momenat

II. Postavljanje cilja lekcije

– Voleo bih da vodim lekciju pod motom Alekseja Nikolajeviča Krilova Sovjetski matematičar i brodograditelj: "Teorija bez prakse je mrtva ili beskorisna, praksa bez teorije je nemoguća ili pogubna."

– Pogledajmo osnovne koncepte i odgovorimo na pitanja:

– Recite mi osnovnu definiciju izvedenice?
– Šta znate o izvodu (osobine, teoreme)?
– Znate li neke primjere zadataka u kojima se koriste derivati ​​u fizici, matematici i biologiji?

Razmatranje osnovne definicije derivata i njegovog obrazloženja (odgovor na prvo pitanje):

Derivat – jedan od osnovnih pojmova matematike. Potrebna je sposobnost rješavanja problema korištenjem derivata dobro znanje teorijski materijal, sposobnost sprovođenja istraživanja u različitim situacijama.

Stoga ćemo danas na lekciji konsolidovati i sistematizovati stečena znanja, razmotriti i vrednovati rad svake grupe i na primeru nekih zadataka pokazati kako da rešavamo druge probleme koristeći izvod i nestandardni zadaci koristeći derivate.

III. Objašnjenje novog materijala

1. Trenutna snaga je derivat rada u odnosu na vrijeme:

W = lim ΔA/Δt ΔA – promjena posla.

2. Ako se tijelo rotira oko ose, tada je ugao rotacije funkcija vremena t
Onda ugaona brzina je jednako:

W = lim Δφ/Δt = φ׳(t) Δ t → 0

3. Jačina struje je derivat Ι = lim Δg/Δt = g′, Gdje g– pozitivni električni naboj koji se prenosi kroz poprečni presjek provodnika tokom vremena Δt.

4. Neka ΔQ– količina topline potrebna za promjenu temperature Δt onda je vreme lim ΔQ/Δt = Q′ = C – specifična toplota.

5. Problem o brzini hemijske reakcije

m(t) – m(t0) – količina supstance koja reaguje tokom vremena t0 prije t

V= lim Δm/Δt = m Δt → 0

6. Neka je m masa radioaktivna supstanca. Brzina radioaktivnog raspada: V = lim Δm/Δt = m׳(t) Δt→0

U diferenciranom obliku, zakon radioaktivnog raspada ima oblik: dN/dt = – λN, Gdje N– broj jezgara koja se nisu raspala u vremenu t.

Integracijom ovog izraza dobijamo: dN/N = – λdt ∫dN/N = – λ∫dt lnN = – λt + c, c = konst at t = 0 broj radioaktivnih jezgara N = N0, odavde imamo: ln N0 = konst, dakle

n N = – λt + ln N0.

Potencirajući ovaj izraz dobijamo:

– zakon radioaktivnog raspada, gdje N0– broj jezgara odjednom t0 = 0, N– broj jezgara koja se nisu raspala tokom vremena t.

7. Prema Newtonovoj jednačini prijenosa topline, brzina protoka topline dQ/dt je direktno proporcionalna površini prozora S i temperaturnoj razlici ΔT između unutrašnjeg i vanjskog stakla i obrnuto proporcionalna njegovoj debljini d:

dQ/dt =A S/d ΔT

8. Fenomen difuzije je proces uspostavljanja ravnotežne distribucije

Unutar faza koncentracije. Difuzija ide u stranu, izravnavajući koncentracije.

m = D Δc/Δx c – koncentracija
m = D c׳x x – koordinata, D – koeficijent difuzije

9. Znalo se da i električno polje pobuđuje električnih naboja, ili magnetsko polje koje ima jedan izvor - električnu struju. James Clark Maxwell uveo je jedan amandman na zakone elektromagnetizma koji su otkriveni prije njega: magnetsko polje također nastaje kada se promijeni električno polje. Naizgled mali amandman imao je ogromne posljedice: potpuno novi fizički objekat – elektromagnetni talas. Maxwell je majstorski, za razliku od Faradaya, koji je mislio da je njegovo postojanje moguće, izveo jednačinu za električno polje:

∂E/∂x = M∂B/Mo ∂t Mo = const t

Promjena električnog polja uzrokuje pojavu magnetsko polje u bilo kojoj tački u prostoru, drugim riječima, brzina promjene električnog polja određuje veličinu magnetskog polja. Pod velikim strujni udar– veće magnetno polje.

IV. Konsolidacija naučenog

– Ti i ja smo proučavali derivat i njegova svojstva. Želio bih da pročitam Gilbertovu filozofsku izjavu: „Svaka osoba ima određeni pogled. Kada se ovaj horizont suzi na beskonačno mali, pretvara se u tačku. Tada osoba kaže da je to njegovo gledište.”
Pokušajmo izmjeriti gledište o primjeni derivata!

Radnja "Lista"(upotreba derivata u biologiji, fizici, životu)

Zamislite pad kao neravnomerno kretanje zavisi od vremena.

dakle: S = S(t) V = S′(t) = x′(t), a = V′(t) = S″(t)

(Teorijska anketa: mehanički smisao derivat).

1. Rješavanje problema

Riješite probleme sami.

2. F = ma F = mV′ F = mS″

Zapišimo Portonov II zakon, pa uzimajući u obzir mehaničko značenje derivacije, prepišemo ga u obliku: F = mV′ F = mS″

Radnja filma "Vukovi, goferi"

Vratimo se na jednačine: Razmotrimo diferencijalne jednadžbe eksponencijalnog rasta i smanjenja: F = ma F = mV’ F = mS"
Rješavanje mnogih problema iz fizike, tehničke biologije i društvene znanosti svode se na problem nalaženja funkcija f"(x) = kf(x), zadovoljavanje diferencijalne jednadžbe, gdje k = konst .

Ljudska formula

Osoba je onoliko puta veća od atoma koliko je manja od zvijezde:

Iz toga slijedi
Ovo je formula koja određuje čovjekovo mjesto u svemiru. U skladu s tim, veličina osobe predstavlja prosječnu proporcionalnost zvijezde i atoma.

Želio bih da završim lekciju riječima Lobačevskog: „Ne postoji nijedno područje matematike, ma koliko apstraktno bilo, koje jednog dana neće biti primjenjivo na fenomene stvarnog svijeta.

V. Rješenje brojeva iz zbirke:

Samostalno rješavanje problema na tabli, kolektivna analiza rješenja problema:

№ 1 Pronađite brzinu kretanja materijalna tačka na kraju 3. sekunde, ako je kretanje tačke dato jednačinom s = t^2 –11t + 30.

№ 2 Tačka se kreće pravolinijski prema zakonu s = 6t – t^2. U kom trenutku će njegova brzina biti nula?

№ 3 Dva tijela se kreću pravolinijski: jedno po zakonu s = t^3 – t^2 – 27t, drugo po zakonu s = t^2 + 1. Odredi trenutak kada se ispostavi da su brzine ovih tijela jednake .

№ 4 Za automobil koji se kreće brzinom od 30 m/s, put kočenja je određen formulom s(t) = 30t-16t^2, gdje je s(t) udaljenost u metrima, t vrijeme kočenja u sekundama . Koliko je potrebno za kočenje? tačka auta? Koji udaljenost će proći auto od početka kočenja do potpunog zaustavljanja?

№5 Tijelo mase 8 kg kreće se pravolinijski prema zakonu s = 2t^2+ 3t – 1. Nađi kinetička energija tijelo (mv^2/2) 3 sekunde nakon početka pokreta.

Rješenje: Nađimo brzinu kretanja tijela u bilo kojem trenutku:
V = ds / dt = 4t + 3
Izračunajmo brzinu tijela u trenutku t = 3:
V t=3 = 4 * 3 + 3=15 (m/s).
Odredimo kinetičku energiju tijela u trenutku t = 3:
mv2/2 = 8 – 15^2 /2 = 900 (J).

№6 Odrediti kinetičku energiju tijela 4 s nakon početka kretanja, ako je njegova masa 25 kg, a zakon kretanja ima oblik s = 3t^2- 1.

№7 Tijelo čija je masa 30 kg kreće se pravolinijski po zakonu s = 4t^2 + t. Dokazati da se kretanje tijela odvija pod utjecajem stalne sile.
Rješenje: Imamo s’ = 8t + 1, s” = 8. Dakle, a(t) = 8 (m/s^2), tj. po ovom zakonu kretanja tijelo se kreće sa konstantno ubrzanje 8 m/s^2. Nadalje, budući da je masa tijela konstantna (30 kg), onda je, prema drugom Newtonovom zakonu, sila koja djeluje na njega F = ma = 30 * 8 = 240 (H) također konstantna vrijednost.

№8 Telo mase 3 kg kreće se pravolinijski po zakonu s(t) = t^3 – 3t^2 + 2. Naći silu koja deluje na telo u trenutku t = 4s.

№9 Materijalna tačka se kreće po zakonu s = 2t^3 – 6t^2 + 4t. Pronađite njegovo ubrzanje na kraju 3. sekunde.

VI. Primjena derivata u matematici:

Izvod u matematici pokazuje numerički izraz stepen promene veličine koja se nalazi u istoj tački pod uticajem različitih uslova.

Formula izvedenice datira iz 15. veka. Veliki talijanski matematičar Tartagli, razmatrajući i razvijajući pitanje koliko domet leta projektila ovisi o nagibu pištolja, primjenjuje ga u svojim radovima.

Izvedena formula se često nalazi u djelima poznatih matematičara iz 17. stoljeća. Koristili su ga Newton i Leibniz.

Čuveni naučnik Galileo Galilej posvećuje čitavu raspravu o ulozi derivata u matematici. Tada su se derivati ​​i različiti prikazi s njegovom primjenom počeli nalaziti u Descartesovim djelima, francuski matematičar Roberval i Englez Gregory. Veliki doprinos proučavanju derivata dali su umovi kao što su L'Hopital, Bernoulli, Langrange i drugi.

1. Nacrtajte graf i ispitajte funkciju:

Rješenje ovog problema:

Trenutak opuštanja

VII. Primjena derivata u fizici:

Prilikom proučavanja određenih procesa i pojava često se postavlja zadatak određivanja brzine ovih procesa. Njegovo rješenje dovodi do koncepta derivata, koji je glavni koncept diferencijalni račun.

Metoda diferencijalnog računa nastala je u 17. i 18. veku. Imena dvojice velikih matematičara – I. Newtona i G.V. – povezana su s pojavom ove metode. Leibniz.

Newton je došao do otkrića diferencijalnog računa rješavajući probleme o brzini kretanja materijalne tačke u ovog trenutka vrijeme (trenutna brzina).

U fizici se derivat koristi uglavnom za izračunavanje najvećeg odn najniže vrijednosti bilo koje količine.

№1 Potencijalna energija U polje čestice u kojem se nalazi druga, potpuno ista čestica ima oblik: U = a/r 2 – b/r, Gdje a I b- pozitivne konstante, r- udaljenost između čestica. Pronađite: a) vrijednost r0 odgovara ravnotežnom položaju čestice; b) utvrditi da li je ova situacija stabilna; V) Fmax vrijednost sile privlačenja; d) nacrtati približne grafove zavisnosti U(r) I F(r).

Rješenje ovog problema: Odrediti r0 koji odgovara ravnotežnom položaju čestice koju proučavamo f = U(r) do krajnosti.

Koristeći vezu između potencijalna energija polja

U I F, Onda F = – dU/dr, dobijamo F = – dU/dr = – (2a/r3+ b/r2) = 0; pri čemu r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b; Stabilnu ili nestabilnu ravnotežu određujemo predznakom drugog izvoda:
d2U/dr02= dF/dr0 = – 6a/r02 + 2b/r03 = – 6a/(2a/b)4 + 2b/(2a/b)3 = (– b4/8a3) 2 = FM / (M + µt ) 2

Razmotrite slučaj kada se pijesak izlije iz napunjene platforme.
Promjena zamaha u kratkom vremenskom periodu:
Δ p = (M – µ(t + Δ t))(u+ Δ u) +Δ µtu – (M – µt)u = FΔ t
Pojam Δ µtu je impuls količine pijeska koja se izlila iz platforme za vrijeme Δ t. onda:
Δ p = MΔ u – µtΔ u – Δ µtΔ u = FΔ t
Podijelite sa Δ t i prijeđite na granicu Δ t → 0
(M – µt)du/dt = F
Or a1= du/dt= F/(M – µt)

odgovor: a = FM / (M + µt) 2 , a1= F/(M – µt)

VIII. Samostalni rad:

Pronađite derivate funkcija:

Prava linija y = 2x tangenta je na funkciju: y = x 3 + 5x 2 + 9x + 3. Pronađite apscisu tačke tangente.

IX. Sumiranje lekcije:

– Kojim pitanjima je bila posvećena lekcija?
– Šta ste naučili na lekciji?
– Koje su teorijske činjenice sažete u lekciji?
– Koji zadaci su se pokazali kao najteži? Zašto?

Bibliografija:

1. Amelkin V.V., Sadovski A.P. Matematički modeli i diferencijalne jednadžbe. – Minsk: postdiplomske škole, 1982. – 272 str.
2. Amelkin V.V. Diferencijalne jednadžbe u primjenama. M.: Nauka. Glavna redakcija fizičke i matematičke literature, 1987. – 160 str.
3. Erugin N.P. Knjiga za čitanje opšti kurs diferencijalne jednadžbe. – Minsk: Nauka i tehnologija, 1979. – 744 str.
4. .Časopis "Potencijal" novembar 2007. br. 11
5. “Algebra i počeci analize” 11. razred S.M. Nikolsky, M.K. Potapov i drugi.
6. “Algebra i matematička analiza” N.Ya. Vilenkin et al.
7. "Matematika" V.T. Lisichkin, I.L. Solovejčik, 1991

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Fizičko značenje izvedenice. Zadaci!

Fizičko značenje derivat. Jedinstveni državni ispit iz matematike uključuje grupu zadataka za rješavanje za koje je potrebno poznavanje i razumijevanje fizičkog značenja izvodnice. Konkretno, postoje problemi gdje je dat zakon kretanja određena tačka(objekat), izraženo jednačinom i potrebno je pronaći njegovu brzinu u određenom trenutku u vremenu kretanja, odnosno vrijeme nakon kojeg će objekt postići određenu zadatu brzinu. Zadaci su vrlo jednostavni, mogu se riješiti jednom radnjom. dakle:

Neka zakon kretanja materijalne tačke x (t) uzduž koordinatna osa, gdje je x koordinata pokretne tačke, t je vrijeme.

Brzina u određenom trenutku vremena je derivacija koordinate u odnosu na vrijeme. Ovo je mehaničko značenje izvedenice.

Isto tako, ubrzanje je derivacija brzine u odnosu na vrijeme:

Dakle, fizičko značenje derivacije je brzina. To može biti brzina kretanja, brzina promjene procesa (na primjer, rast bakterija), brzina rada (i tako dalje, postoji mnogo primijenjenih problema).

Osim toga, morate znati tablicu derivacije (treba je znati baš kao tablicu množenja) i pravila diferencijacije. Naime, za rješavanje navedenih problema potrebno je poznavanje prvih šest izvedenica (vidi tabelu):

x (t) = t 2 – 7t – 20

gdje je x udaljenost od referentne točke u metrima, t je vrijeme u sekundama, mjereno od početka kretanja. Pronađite njegovu brzinu (u metrima u sekundi) u vremenu t = 5 s.

Fizičko značenje derivata je brzina (brzina kretanja, brzina promjene procesa, brzina rada itd.)

Nađimo zakon promjene brzine: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

Materijalna tačka se kreće pravolinijski prema zakonu x (t) = 6t 2 – 48t + 17, gdje je x- udaljenost od referentne tačke u metrima, t- vrijeme u sekundama mjereno od početka pokreta. Pronađite njegovu brzinu (u metrima u sekundi) u vremenu t = 9 s.

Materijalna tačka se kreće pravolinijski prema zakonu x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, pri čemu je x- udaljenost od referentne tačke u metrima, t- vrijeme u sekundama mjereno od početka pokreta. Pronađite njegovu brzinu (u metrima u sekundi) u vremenu t = 6 s.

Materijalna tačka se kreće pravolinijski u skladu sa zakonom

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

Gdje x- udaljenost od referentne tačke u metrima, t- vrijeme u sekundama mjereno od početka pokreta. Pronađite njegovu brzinu (u metrima u sekundi) u vremenu t = 3 s.

Materijalna tačka se kreće pravolinijski u skladu sa zakonom

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

gdje je x udaljenost od referentne točke u metrima, t je vrijeme u sekundama, mjereno od početka kretanja. U kom trenutku (u sekundama) je njegova brzina bila jednaka 6 m/s?

Nađimo zakon promjene brzine:

Da biste saznali u kom trenutku t brzina je bila 3 m/s, potrebno je riješiti jednačinu:

Materijalna tačka se kreće pravolinijski prema zakonu x (t) = t 2 – 13t + 23, pri čemu je x- udaljenost od referentne tačke u metrima, t- vrijeme u sekundama mjereno od početka pokreta. U kom trenutku (u sekundama) je njegova brzina bila jednaka 3 m/s?

Materijalna tačka se kreće pravolinijski u skladu sa zakonom

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

Gdje x- udaljenost od referentne tačke u metrima, t- vrijeme u sekundama mjereno od početka pokreta. U kom trenutku (u sekundama) je njegova brzina bila jednaka 2 m/s?

Napominjem da se na Jedinstvenom državnom ispitu ne treba fokusirati samo na ovu vrstu zadataka. Oni mogu potpuno neočekivano uvesti probleme koji su suprotni od predstavljenih. Kada se zada zakon promjene brzine i pitanje će biti pronalaženje zakona kretanja.

Savjet: u ovom slučaju morate pronaći integral funkcije brzine (ovo je također zadatak u jednom koraku). Ako trebate pronaći udaljenost prijeđenu u određenom trenutku, morate zamijeniti vrijeme u rezultirajuću jednadžbu i izračunati udaljenost. Međutim, analiziraćemo i takve probleme, nemojte to propustiti! Želim ti uspjeh!

matematikalegko.ru

Algebra i počeci matematička analiza, 11. razred (S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin) 2009.

Strana br. 094.

udžbenik:

OCR verzija stranice iz udžbenika (tekst stranice se nalazi iznad):

Kao što slijedi iz onih o kojima se raspravljalo na početku ovog stava zadacima, tačne su sljedeće tvrdnje:

1. Ako je na pravo kretanje putanja s kojom prelazi tačka je funkcija vremena t, tj. s = f(t), tada je brzina tačke derivacija putanje u odnosu na vrijeme, tj. v(t) =

Ova činjenica izražava mehaničko značenje izvedenice.

2. Ako se u tački x 0 povuče tangenta na graf funkcije y = f (jc), tada je broj f"(xo) tangenta ugla a između ove tangente i pozitivnog smjera ose Ox , tj. /"(x 0) =

Tga. Ovaj ugao se naziva tangentni ugao.

Ova činjenica izražava geometrijsko značenje derivat.

PRIMJER 3. Nađimo tangentu ugla nagiba tangente na grafik funkcije y = 0,5jc 2 - 2x + 4 u tački sa apscisom x = 0.

Nađimo derivaciju funkcije f(x) = 0.5jc 2 - 2x + 4 u bilo kojoj tački x, koristeći jednakost (2):

0,5 2 x - 2 = jc - 2.

Izračunajmo vrijednost ove derivacije u tački x = 0:

Stoga je tga = -2. Grafikon x funkcije y = /(jc) i tangenta na njen graf u tački sa apscisom jc = 0 prikazani su na slici 95.

4.1 Neka se tačka kreće pravolinijski prema zakonu s = t 2. Pronađite:

a) vremenski prirast D£ u vremenskom intervalu od t x = 1 do £ 2 - 2;

b) prirast putanje As tokom vremenskog perioda od t x = 1 do t 2 = 2;

V) prosječna brzina u vremenskom intervalu od t x = 1 do t 2 = 2.

4.2 U zadatku 4.1 pronađite:

b) prosječna brzina u vremenskom intervalu od t do t + At;

V) trenutnu brzinu u trenutku t;

d) trenutnu brzinu u trenutku t = 1.

4.3 Neka se tačka kreće pravolinijski prema zakonu:

1) s = 3t + 5; 2) s = t 2 - bt.

a) povećanje putanje As tokom vremenskog perioda od t do t + At;

udžbenik: Algebra i početak matematičke analize. 11. razred: vaspitni. za opšte obrazovanje institucije: osnovne i profilne. nivoi / [S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin]. - 8. izd. - M.: Obrazovanje, 2009. - 464 str.: ilustr.

Fizičko značenje izvedenice. Jedinstveni državni ispit iz matematike uključuje grupu zadataka za rješavanje za koje je potrebno poznavanje i razumijevanje fizičkog značenja izvodnice. Konkretno, postoje problemi u kojima je dat zakon gibanja određene tačke (objekta), izražen jednačinom, a traži se da se pronađe njena brzina u određenom trenutku kretanja, odnosno vremenu nakon kojeg je predmet će postići određenu zadatu brzinu.Zadaci su vrlo jednostavni, mogu se riješiti jednom radnjom. dakle:

Neka je zadan zakon kretanja materijalne tačke x (t) duž koordinatne ose, gde je x koordinata pokretne tačke, t vreme.

Brzina u određenom trenutku vremena je derivacija koordinate u odnosu na vrijeme. Ovo je mehaničko značenje izvedenice.

Isto tako, ubrzanje je derivacija brzine u odnosu na vrijeme:

Dakle, fizičko značenje derivacije je brzina. To može biti brzina kretanja, brzina promjene procesa (na primjer, rast bakterija), brzina rada (i tako dalje, postoji mnogo primijenjenih problema).

Osim toga, morate znati tablicu derivacije (treba je znati baš kao tablicu množenja) i pravila diferencijacije. Naime, za rješavanje navedenih problema potrebno je poznavanje prvih šest izvedenica (vidi tabelu):

Razmotrimo zadatke:

x (t) = t 2 – 7t – 20

gdje je x t vrijeme u sekundama mjereno od početka kretanja. Pronađite njegovu brzinu (u metrima u sekundi) u vremenu t = 5 s.

Fizičko značenje derivata je brzina (brzina kretanja, brzina promjene procesa, brzina rada itd.)

Nađimo zakon promjene brzine: v (t) = x′(t) = 2t – 7 m/s.

Kod t = 5 imamo:

Odgovor: 3

Odlučite sami:

Materijalna tačka se kreće pravolinijski prema zakonu x (t) = 6t 2 – 48t + 17, gdje je x- udaljenost od referentne tačke u metrima, t- vrijeme u sekundama mjereno od početka pokreta. Pronađite njegovu brzinu (u metrima u sekundi) u vremenu t = 9 s.

Materijalna tačka se kreće pravolinijski prema zakonu x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, gdje xt- vrijeme u sekundama mjereno od početka pokreta. Pronađite njegovu brzinu (u metrima u sekundi) u vremenu t = 6 s.

Materijalna tačka se kreće pravolinijski u skladu sa zakonom

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

Gdje x- udaljenost od referentne tačke u metrima,t- vrijeme u sekundama mjereno od početka pokreta. Pronađite njegovu brzinu (u metrima u sekundi) u vremenu t = 3 s.

Materijalna tačka se kreće pravolinijski u skladu sa zakonom

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

gdje je x udaljenost od referentne točke u metrima, t je vrijeme u sekundama, mjereno od početka kretanja. U kom trenutku (u sekundama) je njegova brzina bila jednaka 6 m/s?

Nađimo zakon promjene brzine:

Da biste saznali u kom trenutkutbrzina je bila 3 m/s, potrebno je riješiti jednačinu:

Odgovor: 3

Odlučite sami:

Materijalna tačka se kreće pravolinijski prema zakonu x (t) = t 2 – 13t + 23, pri čemu je x- udaljenost od referentne tačke u metrima, t- vrijeme u sekundama mjereno od početka pokreta. U kom trenutku (u sekundama) je njegova brzina bila jednaka 3 m/s?

Materijalna tačka se kreće pravolinijski u skladu sa zakonom

x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3

Gdje x- udaljenost od referentne tačke u metrima, t- vrijeme u sekundama mjereno od početka pokreta. U kom trenutku (u sekundama) je njegova brzina bila jednaka 2 m/s?

Napominjem da se na Jedinstvenom državnom ispitu ne treba fokusirati samo na ovu vrstu zadataka. Oni mogu potpuno neočekivano uvesti probleme koji su suprotni od predstavljenih. Kada se zada zakon promjene brzine i pitanje će biti pronalaženje zakona kretanja.

Savjet: u ovom slučaju morate pronaći integral funkcije brzine (ovo je također problem u jednom koraku). Ako trebate pronaći udaljenost prijeđenu u određenom trenutku, morate zamijeniti vrijeme u rezultirajuću jednadžbu i izračunati udaljenost. Međutim, analiziraćemo i takve probleme, nemojte to propustiti!Želim ti uspjeh!

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako mi kažete nešto o stranici na društvenim mrežama.

Tačka se kreće pravolinijski prema zakonu S = t 4 +2t (S - u metrima, t- u sekundi). Pronađite njegovo prosječno ubrzanje u intervalu između trenutaka t 1 = 5 s, t 2 = 7 s, kao i njegovo pravo ubrzanje u ovom trenutku t 3 = 6 s.

Rješenje.

1. Pronađite brzinu tačke kao derivaciju putanje S u odnosu na vrijeme t, one.

2. Zamjenom umjesto t njegovim vrijednostima t 1 = 5 s i t 2 = 7 s, nalazimo brzine:

V 1 = 4 5 3 + 2 = 502 m/s; V 2 = 4 7 3 + 2 = 1374 m/s.

3. Odredite prirast brzine ΔV za vrijeme Δt = 7 - 5 =2 s:

ΔV = V 2 - V 1= 1374 - 502 = 872 m/s.

4. Dakle, prosječno ubrzanje tačke će biti jednako

5. Odrediti pravo značenje ubrzanje tačke, uzimamo derivaciju brzine s obzirom na vrijeme:

6. Zamjena umjesto toga t vrijednost t 3 = 6 s, u ovom trenutku dobijamo ubrzanje

a av =12-6 3 =432 m/s 2 .

Krivolinijsko kretanje. At krivolinijsko kretanje brzina tačke se menja po veličini i pravcu.

Hajde da zamislimo poentu M, koja se tokom vremena Δt kreće duž neke krivolinijska putanja, pomaknut na poziciju M 1(Sl. 6).

Vektor povećanja (promjene) brzine ΔV će

Za da biste pronašli vektor ΔV, pomerite vektor V 1 u tačku M i konstruisati trougao brzine. Odredimo vektor prosječnog ubrzanja:

Vector a Wed je paralelan vektoru ΔV, budući da se vektor dijeli sa skalarna količina smjer vektora se ne mijenja. Pravi vektor ubrzanja je granica do koje omjer vektora brzine i odgovarajućeg vremenskog intervala Δt teži nuli, tj.

Ova granica se zove vektorski izvod.

dakle, pravo ubrzanje tačke tokom krivolinijskog kretanja jednako je vektorskom izvodu u odnosu na brzinu.

Od sl. 6 to je jasno vektor ubrzanja pri krivolinijskom kretanju je uvijek usmjeren prema konkavnosti putanje.

Radi praktičnosti proračuna, ubrzanje se razlaže na dvije komponente na putanju kretanja: duž tangente, koja se naziva tangencijalno (tangencijalno) ubrzanje A, i duž normale, koja se zove normalno ubrzanje a n (slika 7).

U ovom slučaju, ukupno ubrzanje će biti jednako

Tangencijalno ubrzanje poklapa se u pravcu sa brzinom tačke ili je suprotno njoj. Karakterizira promjenu brzine i prema tome se određuje formulom

Normalno ubrzanje je okomito na smjer brzine tačke, a njegova numerička vrijednost određena je formulom

gdje je r - radijus zakrivljenosti putanje u tački koja se razmatra.

Kako su tangencijalno i normalno ubrzanje međusobno okomite, vrijednost ukupnog ubrzanja određuje se formulom

i njegov pravac

Ako , tada su tangencijalni vektori ubrzanja i brzine usmjereni u jednom smjeru i kretanje će biti ubrzano.

Ako , tada je tangencijalni vektor ubrzanja usmjeren u smjeru suprotnom od vektora brzine, a kretanje će biti sporo.

Vector normalno ubrzanje uvijek usmjeren prema centru zakrivljenosti, zbog čega se naziva centripetalnim.