Metoda tangente. Približno rješenje jednačina različitim alatima

Vrsta časa: Učenje i učvršćivanje novih znanja.

Vrsta časa: praktični rad na računaru.

Trajanje časa: dva časa.

Svrha: Naučiti kako rješavati jednadžbe sa zadatom tačnošću u datom intervalu.

razvoj istraživačke, kognitivne aktivnosti učenika;
razvoj vještina korištenja različitih softverskih alata u rješavanju jednog problema;
razvoj komunikacijske vještine studenti.

Nastavne metode: vizuelna, istraživačka, praktična.

Oprema:

kompjuter;
lokalna mreža;
projektor.

softver:

Windows operativni sistem;
Microsoft Excel iz paketa Microsoft Office;
Microsoft Visual Basic 6.0.

Plan lekcije:

Organiziranje vremena.
Stvaranje problemske situacije.
Upotreba grafička metoda za približno rješenje jednačina u tabelama.
Metoda učenja pola divizije prilikom rješavanja jednačina.
Simulacija lista tabela za približno rješenje jednadžbe metodom bisekcije.
Modeliranje projekta “Aproksimativno rješenje jednačine” u objektno orijentiranom jeziku Visual Basic 6.0.
Kompjuterski eksperiment.
Analiza dobijenih rezultata.
Sumiranje lekcije.

Tokom nastave

1. Organizacioni momenat.

Pozdrav ucitelju.

2. Stvaranje problemske situacije.

– Danas moramo riješiti problem nalaženja približnog korijena jednačine cos(x)=x koristeći različite softverske alate. Zapišite temu lekcije: "Približno rješenje jednadžbi s različitim alatima."

- Dok ne znate nijednu matematičku metodu za rješavanje ove jednačine, ali znate program u kojem je možete približno riješiti grafički. Šta je ovo program? (Microsoft Excel.)

3. Upotreba grafičke metode za približno rješenje jednačina u tabelama.

- Šta je značenje metode? (Moramo nacrtati funkciju y = cos(x)–x na određenom segmentu, apscisa presečne tačke grafa sa OX osom je koren jednačine cos(x)=x .)

- Šta je potrebno utvrditi da bi se napravio grafikon? (Segment na kojem se nalazi korijen.)

Uradite to matematički. (Skup vrijednosti lijeve strane jednadžbe, funkcije y = cos(x) , je segment [-1; jedan]. Stoga jednačina može imati korijen samo na ovom segmentu.)

– Dakle, pronađite približni korijen jednačine cos(x)=x na segmentu [-1; 1] u koracima od, na primjer, 0,1 in Microsoft program Excel.

Slika 1

– Približni korijen jednačine x=0,75. Međutim, ova aproksimacija nije visoka preciznost. Za pronalaženje približnog korijena jednadžbe s unaprijed određenom tačnošću, koriste se matematičke metode, posebno metoda polovične podjele.

4. Proučavanje metode poludijeljenja u rješavanju jednačina.

Razmislite kontinuirana funkcija f(x), tako da je korijen ove jednadžbe tačka presjeka grafika ove funkcije sa OX osom.

Ideja metode bisekcije je smanjenje početnog segmenta [a; b], na kojem se nalazi korijen jednadžbe, na segment date tačnosti h.

Proces se svodi na uzastopno dijeljenje segmenta na pola točkom c \u003d (a + b) / 2 i odbacivanje polovine segmenta ( ili ), na kojem nema korijena. Odabire se segment na čijim krajevima funkcija poprima vrijednosti različitih predznaka, tj. proizvod ovih vrijednosti je negativan. Funkcija na ovom segmentu siječe x-osu. Krajevima ovog segmenta ponovo se dodeljuju oznake a, b.

Ova podjela se nastavlja sve dok dužina segmenta ne postane manja od dvostruke preciznosti, tj. do nejednakosti (b-a)/2

(Prikažite rezultujuću sliku grafika kroz projektor na platnu, razgovarajte o tome koje segmente treba odabrati sa zadatom tačnošću od 0,5. Zaključak: Približni koren jednačine x = 0,75 pronađen je sa tačnošću od 0,5.)

- Sada nalazimo korijen jednačine cos(x)=x sa tačnošću od 0,001. Rešimo problem koristeći Microsoft Excel.

5. Simulacija lista tabela za približno rješenje jednačine metodom bisekcije.

(Izrada plana lista se izvodi zajedno sa učenicima)

Zapisujemo početne vrijednosti granica segmenta a i b u ćelije A4 i B4, u ćeliju C4 dobijamo sredinu navedenog segmenta, u ćelije D4 i E4 - vrijednosti funkcije f (x ) na krajevima segmenta, u ćeliji F4 ćemo odrediti dužinu segmenta [a; b], označavamo potrebnu tačnost u ćeliji H4. U ćeliji G4 upisujemo formulu za pronalaženje korijena prema pravilu: ako dužina trenutnog segmenta odgovara traženoj točnosti, tada ćemo vrijednost sredine ovog segmenta uzeti kao korijen jednadžbe. Već znamo da se u našem slučaju korijen ne može pronaći u jednom koraku, tako da se pri kopiranju formule iz ćelije G4 adresa ćelije H4 ne mijenja, koristimo apsolutno adresiranje.

U petom redu upisujemo vrijednosti dobivene nakon prvog koraka dijeljenja početnog segmenta na pola. U ćelije A5 i B5 potrebno je unijeti formule za određivanje granica novog segmenta. U ćelijama C4, D4, E4, F4, G4, formule se kopiraju iz ćelija C5, D5, E5, F5, G5, respektivno.

Dakle, u načinu rada formule, tabela će izgledati ovako:

6. Modeliranje projekta “Aproksimativno rješenje jednačine” u objektno orijentiranom jeziku Visual Basic 6.0.

(Izgradnju izgleda forme i pisanje programskog koda studenti rade samostalno: pojedinačno ili u grupama)

Slika 3

Programski kod za dugme Korijen jednadžbe cos(x)=x:

Privatna podnaredba1_Klik ()

Dok (b - a) / 2 >= e

Ako fa*fc< 0 Then b = c Else a = c

Tekst4 = (a + b) / 2

7. Kompjuterski eksperiment.

(Učenici završavaju projekat u tabelama, zapisuju rezultat u svesku. Zatim završavaju projekat u Visual Basicu, zapisuju rezultat u svesku.)

Projekat u tabelama - Dodatak 1.

8. Analiza dobijenih rezultata.

(Učenici zaključuju da su rezultati rješavanja jednadžbe cos(x)=x dobiveni korištenjem različitih alata isti.)

9. Sumiranje lekcije.

MBOU srednja škola №6

Čas informatike

Temaexcel»

razred: IX (opšte obrazovanje)

nastavnik: E.N. Kulik

Tema lekcije: „Približno rješenje jednadžbi pomoću procesora proračunskih tablicaexcel»

Vrsta lekcije : lekcija - konsolidacija naučenog

Vrsta lekcije: lekcija - praksa

Tehnologija : problem - istraživanje

Oprema : opremljena kompjuterska klasa moderna tehnologija i softver

Ciljevi lekcije:

Formiranje vještina i sposobnosti, obrada savremenim uslovima opštenaučnog i opšteg intelektualnog karaktera.

Razvoj teorijskih, kreativno razmišljanje, kao i formiranje operativnog mišljenja usmjerenog na izbor najboljih rješenja.

Naučiti učenike da primjenjuju moderno softver u rješavanju nestandardnih problema.

Ciljevi lekcije:

Obrazovni - razvoj kognitivni interes, obrazovanje informatičke kulture.

Obrazovni - Naučite i konsolidirajte osnovne vještine proračunskih tablica.

Obrazovni - razvoj logičko razmišljanje, širenje horizonata.

Plan lekcije.

Frontalna anketa za provjeru nivoa pripremljenosti učenika za usvajanje novog gradiva.

Objašnjenje novog gradiva i samostalan rad studenti na kompjuterima.

Obavljanje individualnih diferenciranih zadataka (rad u grupama).

Ispis izvještaja sa radionica i ocjenjivanja.

Zadaća.

Refleksija.

TOKOM NASTAVE

I. Kratak brifing o sigurnosti u učionici računara.

Zdravo momci! Danas držimo praktična lekcija na tabelama u učionici računara. Da biste osigurali siguran rad, morate se pridržavati sljedećih pravila:

Ne možete samostalno, bez dozvole nastavnika, uključiti i isključiti računar;

Ne dirajte zadnji deo računara i žice;

Ne pritiskajte tipke olovkom ili olovkom;

Ne možete hodati po razredu, ustajati sa svog mjesta;

U slučaju kvara na računaru ili ako se otkrije miris paljevine, pozovite nastavnika.

front poll.

U prošloj teorijskoj lekciji smo već govorili dodatne funkcije Excel programi.

Prisjetimo se čemu služi ovaj program? ( Sa svojom bogatom bibliotekom grafikona, možete kreirati grafikone i grafikone različite vrste: kružni, trakasti grafikoni, grafovi; možete dati naslove i objašnjenja, možete postaviti boju i tip šrafure u dijagramima; štampajte na papiru, menjajući veličinu i lokaciju na listu i umetnite dijagrame na pravo mesto na listu)

Kako razumete pojam "poslovna grafika"? ( Pod ovim pojmom se obično podrazumijevaju grafikoni i dijagrami koji vizualno predstavljaju dinamiku razvoja određene proizvodnje, industrije i bilo koje druge numeričke podatke)

Koja naredba menija se može koristiti za pravljenje grafikona i grafikona u Excelu? (Dijagrami i grafikoni se mogu napraviti pomoću dugmeta za pokretanje Čarobnjaka za grafikone)

Kako postaviti automatsko izračunavanje u tabeli vrijednosti ćelija po određene formule? (Da biste postavili automatsko izračunavanje u tablici vrijednosti prema određenoj formuli, morate unijeti znak "=", zatim aktivirati željenu ćeliju i unijeti odgovarajuće znakove aritmetičkih operacija)

Može li se kontrolisati unos formule? (Možete kontrolirati unos formule pomoću prozora za unos formule)

Kako da unesem formulu u nekoliko ćelija, tj. kopirati? (Da biste uneli formulu u nekoliko ćelija, potrebno je da postavite kursor na donji desni marker ćelije i povucite ga do poslednje ćelije u željenom opsegu)

Šta se može reći o tipu kursora postavljenom na donjem desnom markeru ćelije?

III. Prezentacija novog materijala i samostalan rad učenika na računaru.

Tema lekcije „Približno rješenje jednadžbi pomoću procesora proračunskih tablicaexcel»

Prisjetimo se iz kursa matematike šta znači riješiti jednačinu? ( Rješavanje jednadžbe znači pronalaženje njenih korijena ili dokazivanje da nema korijena)

Koje metode rješavanja jednačina poznajete? ( Postoje dva načina za rješavanje jednačina: analitički i grafički)

Zaustavimo se na grafičkoj metodi pronalaženja korijena. Na osnovu ove metode, recite mi koji su korijeni jednadžbe? ( korijeni jednadžbe su vrijednosti točaka presjeka grafa funkcije sa x-osom).

Ako riješimo sistem jednačina, kakvo će biti njegovo rješenje? (Rješenje sistema jednadžbi će biti koordinate presječnih tačaka grafova funkcija).

U prošloj lekciji smo naučili da uz pomoć Excel-a možete napraviti gotovo svaki grafikon.

Iskoristimo ovo znanje da pronađemo korijene sistema jednadžbi pomoću grafičke metode.

Šta je potrebno učiniti da se riješi ovaj sistem jednačina? ( Transformacija ovaj sistem u dato)

Dobijamo: x 2 = 2x + 9

Za procjenu rješenja koristimo dijagram na kojem prikazujemo grafove obje funkcije u istom koordinatnom sistemu.

Prvo napravimo tabelu.

Prvi red je red zaglavlja

Prilikom popunjavanja kolone A: u ćeliju A2 se unosi početna vrijednost argument x. Ljudi, predložite početnu vrijednost x (___).

I zašto možemo uzeti početnu vrijednost jednaku ____? ( Jer domen obje funkcije su svi realni brojevi).

Da biste automatski popunili cijelu kolonu, morate unijeti formulu u ćeliju A3:

A2+1, gdje je +1 korak promjene argumenta i kopiranja u ćeliju A23.

Prilikom popunjavanja stupca B u ćeliju B2 unosimo formulu A2 * A2, koju također kopiramo u ćeliju B23.

Prilikom popunjavanja stupca C u ćeliji C2 unosimo formulu 2 * A2 + 9 i također se kopira u C23.

Označite rezultirajuću tabelu.

Na panelu Standard, kliknite na dugme "Chart Wizard", otvoriće se prozor "Chart Wizard", kliknite na tip "Scatter", zatim izaberite tip "Scatter Plot with Values Connected by Smooth Lines" i napravite dijagram evaluacije odluka.

Šta vidimo na dijagramu? ( Dijagram pokazuje da oba grafika imaju dvije točke presjeka)

Šta se može reći o ovim raskrsnicama? Koordinate presečnih tačaka su rešenja sistema)

Prema grafikonu možete približno odrediti koordinate

Prisjetimo se još jednom kako grafički pronaći rješenje jednačine?

(To se može učiniti iscrtavanjem funkcijey= x^3-2 x^2+4 x-12 i definisanje x-koordinate tačaka preseka sa x-osom.

Ili zamislite zadata jednačina asx^3=2 x^2-4 x+12 i crtanje dva grafikonay= x^3 y=2 x^2-4 x+12 i odredite apscise presječnih točaka grafova funkcija i vrijednosti apscisa će biti korijeni jednadžbe)

Već smo razmatrali konstrukciju dva grafikona. Nađimo rješenje ove jednačine tako što ćemo odrediti x-koordinatu tačaka njenog presjeka sa x-osom.

Počinjemo popunjavanjem tabele.

Unesite sljedeći tekst u naslovnu traku:

X y=x^3-2x^2+4x-12

Predlažem da uzmemo početnu vrijednost argumenta jednaku 0, unosimo je u ćeliju A2.

U ćeliju A3 unosimo formulu \u003d A2 + 0,15 i kopiramo u ćeliju A20.

U ćeliju B2 unosimo formulu =A2^3-2*A2^2+4*A2-12 i također kopiramo u B20.

Kako da pronađemo rješenje jednačine? ( odrediti x koordinatu presječnih tačaka grafa sa OX osom)

Koliko takvih poena? (jedan)

Kolika je njegova apscisa (x=2,4)

Izvođenje individualnih diferenciranih zadataka (rad u grupama)

Dakle, vidimo da pomoću programa Excel možete grafički riješiti gotovo svaku jednadžbu, što ćemo sada i učiniti.

Svaka grupa će dobiti individualni zadatak. Nakon obavljenog zadatka, grupa treba da odštampa tabele i grafikone svog zadatka.

U svakoj grupi ima konsultanata i pri ocjenjivanju ću uzeti u obzir njegovo mišljenje. Imate 10 minuta do posla.

2x+y=-3 2y=34-x^2 x^2+y^2=25

2x^2=-22+5x+y y=x^2+11 3y=4x

nema rješenja (-2;15), (2;15) (3;4), (-3;-4)

(govor savjetnika)

V. Zadaća: Analizirajte i provjerite zadatke, sastavite izvještaje u svesku.

VI.Reflection.

Danas smo na času pogledali...

Koristeći Excel, možete kreirati...

Prije ovog tutorijala nisam znao...

Naljutila sam se na sebe na času jer...

danas mogu da pohvalim... , za što...

Danas na času sam naučio...

Tokom kursa, bio sam...

Tema : približno grafičko rješenje jednačine.

Svrha: promovirati razvoj vještine grafičkog rješavanja jednadžbi pomoću tabela.

Tokom nastave:

Organizacioni trenutak (2 min)
Ažuriranje znanja (8 min)

2) Definisati tabela.

adresa ćelije.
Unošenje formula
Logičke funkcije

Učenje novog materijala (10 min)

Nađimo korijen jednadžbe x 3 - sin x = 0 u proračunskim tablicama grafički. Zadržavamo vrijednosti argumenta - 1,4 do 1,4 u koracima od 0,2

Praktičan rad br. 51 (20 min)

2) Koristeći tabelu, grafički riješite jednačinu sin(x)=1/x na segmentu sa tačnošću od 0,1

Domaća zadaća (2 min)

Pripremite jednačine za grafičko rješavanje

Sažetak lekcije (3 min)

Tema:

Oprema: računarska klasa, projektor
Tokom nastave:

1) Primena tabela

adresa ćelije.
Osnovni tipovi podataka tabela.
Tekst u tabelama.
Unošenje formula
Relativne, apsolutne i mješovite reference.
Koje kategorije ugrađenih funkcija poznajete?
Navedite primjere matematičkih funkcija.
Logičke funkcije

3. Učenje novog materijala (10 min)

Pronađimo korijen jednadžbe x 3 - cos x \u003d 0 u proračunskim tablicama koristeći metodu odabira parametara. Zadržavamo vrijednosti argumenta - 1,4 do 1,4 u koracima od 0,2
4. Praktični rad br. 51 (20 min)

2) Pomoću proračunske tablice riješite jednačinu cos(x)=1/(x+1) na segmentu sa tačnošću od 1 grafički i metodom odabira parametara.
5. Domaći (2 min)

Pripremiti jednadžbe za rješavanje grafički i odabirom parametra.

Sažetak lekcije (3 min)

Tema: Približno rješenje jednadžbi metodom odabira parametara.

Svrha: promovirati razvoj vještine rješavanja jednačina metodom odabira parametara.

Oprema: računarska klasa, projektor
Tokom nastave:

1. Organizacioni trenutak (2 min)

2. Aktuelizacija znanja (8 min)

1) Primena tabela

2) Definišite tabelu.

adresa ćelije.
Osnovni tipovi podataka tabela.
Tekst u tabelama.
Unošenje formula
Relativne, apsolutne i mješovite reference.
Koje kategorije ugrađenih funkcija poznajete?
Navedite primjere matematičkih funkcija.
Logičke funkcije

3. Praktični rad br. 51 (30 min)

1) Pronađite korijen jednadžbe x 2 \u003d cos x u proračunskim tablicama koristeći metodu odabira parametara. Zadržavamo vrijednosti argumenta - 3 do 3 u koracima od 0, 2

Riješite jednačinu sinx - 2x = 0 metodom uklapanja. Vrijednosti argumenata – -3 do 3 u koracima od 0,5

3) Koristite tabelu da riješite jednačinu sin(x)=1/

na segmentu sa preciznošću od 1 grafički i metodom odabira parametara.
5. Domaći (2 min)

Na primjer:

Postavimo zadatak da pronađemo validan korijene ove jednačine.

I sigurno ih ima! - iz članaka o grafovi funkcija i jednačine više matematike dobro znaš kakav je raspored polinomske funkcije neparan stepen siječe osu barem jednom, tako da naša jednačina ima najmanje jedan pravi koren. Jedan. Ili dva. Ili tri.

Prvo, treba provjeriti da li je racionalno korijenje. Prema odgovarajuća teorema, samo brojevi 1, -1, 3, -3 mogu dobiti ovu “titulu”, a direktnom zamjenom lako je osigurati da nijedan od njih “ne odgovara”. Dakle, iracionalne vrijednosti ostaju. Iracionalni korijen(korijeni) polinoma 3. stepena mogu se naći upravo (izraženo u terminima radikala) kroz tzv Cardanove formule , ali ova metoda je prilično glomazna. A za polinome 5. i veći stepen general analitička metoda uopšte ne postoji, a osim toga, u praksi postoje mnoge druge jednačine u kojima tačne vrijednosti pravi korijeni se ne mogu dobiti (iako postoje).

Međutim, u primijenjenom (na primjer, inženjering) zadataka, više je nego prihvatljivo koristiti izračunate približne vrijednosti sa određenom preciznošću.

Postavimo tačnost za naš primjer. Šta to znači? To znači da moramo pronaći TAKVU približnu vrijednost korijena (korijeni) u kojoj smo garantovano pogrešno, ne više od 0,001 (hiljaditi dio) .

Sasvim je jasno da se rješenje ne može pokrenuti “nasumično” i stoga, u prvom koraku, korijeni odvojeno. Odvojiti korijen znači pronaći dovoljno mali (obično jedan) segment kojem ovaj korijen pripada, a na kojem nema drugih korijena. Najjednostavniji i najpristupačniji metoda grafičkog odvajanja korijena. Hajde da gradimo tačku po tačku graf funkcije :

Iz crteža slijedi da jednačina, po svemu sudeći, ima jedan realni korijen, koji pripada segmentu. Na krajevima ovog intervala, funkcija uzima vrijednosti različitih predznaka: , i iz činjenice kontinuitet funkcije na intervalu elementarni način da se precizira korijen je odmah vidljiv: podijelimo interval na pola i izaberemo segment na čijim krajevima zauzima funkcija različiti znakovi. AT ovaj slučaj ovo je očigledno segment. Dobiveni interval podijelimo na pola i ponovo izaberemo segment "drugačijeg znaka". I tako dalje. Takve sekvencijalne radnje se nazivaju iteracije. U tom slučaju ih treba izvoditi sve dok dužina segmenta ne postane manja od dvostruke točnosti proračuna, a za približnu vrijednost korijena treba odabrati sredinu posljednjeg segmenta s „različitim predznakom“.

Razmatrana šema dobila je prirodno ime - metoda poludijeljenja. A nedostatak ove metode je brzina. Polako. Tako sporo. Previše iteracija će morati da se uradi pre nego što postignemo potrebnu tačnost. Sa razvojem kompjuterske tehnologije to, naravno, nije problem, ali matematika je ono čemu matematika služi, da bi se tražilo najviše racionalne načine rješenja.

I jedan od više efikasne načine pronalaženje približne vrijednosti korijena je precizno tangentna metoda. Brief geometrijska suština metoda je sljedeća: prvo, korištenjem posebnog kriterija (više o tome kasnije) odabran je jedan od krajeva segmenta. Ovaj kraj se zove primarni aproksimacija korijena, u našem primjeru: . Sada crtamo tangentu na graf funkcije u tački sa apscisom (plava tačka i ljubičasta tangenta):

Ova tangenta je prešla x-osu u žutoj tački, i imajte na umu da smo u prvom koraku već skoro "pogodili korijen"! Ovo će prvo korijenska aproksimacija. Zatim spuštamo žutu okomicu na graf funkcije i "pogodimo" narandžastu tačku. Ponovo povlačimo tangentu kroz narandžastu tačku, koja će preći osu još bliže korijenu! I tako dalje. Lako je shvatiti da se metodom tangente približavamo cilju skokovima i granicama, a za postizanje tačnosti potrebno je samo nekoliko iteracija.

Pošto je tangenta definisana u terminima derivat funkcije, onda je ova lekcija završila u odjeljku "Derivati" kao jedna od njegovih primjena. I ne ulazeći u detalje teorijsko utemeljenje metode, razmotrit ću tehničku stranu pitanja. U praksi se gore opisani problem javlja otprilike u sljedećoj formulaciji:

Primjer 1

Pomoću grafičke metode pronađite interval na kojem se nalazi pravi korijen jednačine. Koristeći Newtonovu metodu, dobijte približnu vrijednost korijena s točnošću od 0,001

Evo "poštedne verzije" zadatka, u kojoj se odmah navodi prisustvo jednog pravog korijena.

Rješenje: na prvom koraku grafički odvojite korijen. Ovo se može uraditi iscrtavanjem (pogledajte ilustracije iznad), ali ovaj pristup ima niz nedostataka. Prvo, nije činjenica da je raspored jednostavan (ne znamo unapred), i softver - daleko je od toga da je uvijek pri ruci. I drugo (posljedica od 1.), s velikom vjerovatnoćom nećete dobiti čak ni šematski crtež, već grubi crtež, što, naravno, nije dobro.

Pa, zašto bismo nepotrebne poteškoće? Zamislite jednačina u formi, PAŽLJIVO izgradite grafikone i označite korijen na crtežu ("x" koordinata tačke preseka grafika):

Očigledna prednost ovuda je da se grafovi ovih funkcija grade ručno mnogo preciznije i mnogo brže. Usput, zapazite to ravno prešao kubna parabola u jednoj tački, što znači da predložena jednačina zapravo ima samo jedan pravi korijen. Vjerujte ali provjerite ;-)

Dakle, naš "klijent" pripada segmentu i "na oko" je približno jednak 0,65-0,7.

Na drugom koraku treba izabrati početna aproksimacija root. Obično je ovo jedan od krajeva segmenta. Početna aproksimacija mora zadovoljiti sledeći uslov:

Hajde da nađemo prvo i sekunda izvedene funkcije :

i provjerite lijevi kraj segmenta:

Dakle, nula "nije odgovarala".

Provjera desnog kraja segmenta:

- sve je uredu! Kao početnu aproksimaciju biramo .

Na trećem koraku ceka nas put do korena. Svaka sljedeća aproksimacija korijena izračunava se na osnovu prethodnih podataka koristeći sljedeće ponavljajuća formule:

Proces se završava kada se ispuni uslov, gdje je unaprijed određena tačnost proračuna. Kao rezultat, "n-ta" aproksimacija se uzima kao približna vrijednost korijena: .

Rutinske kalkulacije su sljedeće:

(zaokruživanje se obično vrši na 5-6 decimala)

Budući da je dobivena vrijednost veća od , tada prelazimo na 1. aproksimaciju korijena:

Računamo:

, pa je potrebno ići na 2. aproksimaciju:

Idemo u sljedeći krug:

, dakle, iteracije su završene, a 2. aproksimaciju treba uzeti kao približnu vrijednost korijena, koju u skladu sa zadatom preciznošću treba zaokružiti na hiljaditi dio:

U praksi je zgodno rezultate proračuna unositi u tabelu, dok se da bi se zapis donekle skratio, razlomak se često označava sa:

Sami proračuni, ako je moguće, najbolje se rade u Excelu - mnogo je praktičniji i brži:

Odgovori: tačno do 0,001

Podsjećam da ova fraza implicira činjenicu da smo pogriješili u ocjeni istinska vrijednost korijen za ne više od 0,001. Sumnjači mogu uzeti mikrokalkulator i još jednom zamijeniti približnu vrijednost od 0,674 u lijevu stranu jednačine.

A sada hajde da "skaniramo" desnu kolonu tabele od vrha do dna i primetimo da vrednosti stopno opadaju u apsolutnoj vrednosti. Ovaj efekat se zove konvergencija metoda koja nam omogućava da izračunamo korijen sa proizvoljno visokom preciznošću. Ali konvergencija se ne dešava uvek - ona je obezbeđena niz uslovašto mi je nedostajalo. Posebno, segment na kojem je korijen izoliran mora biti dovoljno mali- inače će se vrijednosti nasumično mijenjati i nećemo moći dovršiti algoritam.

Šta učiniti u takvim slučajevima? Provjerite da li su ispunjeni navedeni uvjeti (vidi link iznad), i ako je potrebno smanjiti segment. Dakle, relativno govoreći, ako nam u analiziranom primjeru interval nije odgovarao, onda bismo trebali razmotriti, na primjer, segment . U praksi sam se susreo sa takvim slučajevima a ovaj zaista pomaže! Isto se mora učiniti ako oba kraja "širokog" segmenta ne zadovoljavaju uslov (tj. nijedan od njih nije prikladan za ulogu početne aproksimacije).

Ali obično sve radi kao sat, iako ne bez zamki:

Primjer 2

Odredite grafički broj realnih korijena jednadžbe, odvojite ove korijene i pomoću Newtonove metode pronađite približne vrijednosti korijena s točnošću

Stanje problema je postalo primjetno teže: prvo, sadrži debeo nagovještaj da jednačina ima više od jednog korijena, drugo, povećan je zahtjev za preciznošću i, treće, sa grafom funkcije mnogo teže izaći na kraj.

I zbog toga rješenje počinjemo sa štedljivim trikom: predstavljamo jednačinu u obliku i crtamo grafikone:

Iz crteža slijedi da naša jednadžba ima dva realna korijena:

Algoritam, kao što razumete, treba dva puta „okrenuti“. Ali ovo je ipak za najteži slučaj, dešava se da morate istražiti 3-4 korijena.

1) Korištenje kriterija saznati koji od krajeva segmenta odabrati kao početnu aproksimaciju prvog korijena. Pronalaženje derivacijskih funkcija :

Testiranje lijevog kraja segmenta:

- prišao!

Dakle, je početna aproksimacija.

Koren ćemo precizirati Newtonovom metodom, koristeći ponavljajuća formula:
- do razlomka modulo neće postati manja od tražene tačnosti:

I ovdje riječ "modul" dobiva neiluzornu važnost, jer su vrijednosti negativne:

Iz istog razloga svakom treba posvetiti posebnu pažnju sledeća aproksimacija:

Unatoč prilično visokim zahtjevima za preciznošću, proces je opet završio na 2. aproksimaciji: , dakle:

Precizno do 0,0001

2) Pronađite približnu vrijednost korijena.

Provjeravamo "uši" na lijevom kraju segmenta:

, stoga nije pogodan kao početna aproksimacija.