Metode pokretnog prosjeka i eksponencijalnog izglađivanja. Metoda eksponencijalnog izglađivanja pokretnog prosjeka u Excelu

Identifikacija i analiza trenda vremenske serije često se vrši uz pomoć njenog poravnanja ili izglađivanja. Eksponencijalno izglađivanje je jedna od najjednostavnijih i najčešćih tehnika poravnanja serije. Eksponencijalno izglađivanje se može predstaviti kao filter, čiji ulaz sekvencijalno primaju članovi originalne serije, a na izlazu se formiraju trenutne vrijednosti eksponencijalnog prosjeka.

Neka bude vremenska serija.

Eksponencijalno izglađivanje serije vrši se prema ponavljajuća formula: , .

Manji α, the više se filtriraju, oscilacije originalne serije i šum su potisnuti.

Ako se ova rekurzivna relacija dosljedno koristi, tada se eksponencijalni prosjek može izraziti u smislu vrijednosti vremenske serije X.

Ako raniji podaci postoje do trenutka kada ravnanje počne, tada se kao početna vrijednost može koristiti aritmetički prosjek svih ili nekih dostupnih podataka.

Nakon pojave radova R. Browna, eksponencijalno izglađivanje se često koristi za rješavanje problema kratkoročnog predviđanja vremenskih serija.

Formulacija problema

Neka je data vremenska serija: .

Potrebno je riješiti problem predviđanja vremenskih serija, tj. nađi

Horizont prognoze, potrebno je da

Da bismo uzeli u obzir zastarelost podataka, uvodimo nerastući niz pondera, tada

Smeđi model

Pretpostavimo da je D mali (kratkoročna prognoza), a zatim za rješavanje takvog problema koristite braon model.

Ako prognozu smatramo korak ispred, onda - greška ove prognoze, a nova prognoza se dobija kao rezultat prilagođavanja prethodne prognoze, uzimajući u obzir njenu grešku - suštinu prilagođavanja.

U kratkoročnom predviđanju, poželjno je što je brže moguće odraziti nove promjene i istovremeno što bolje „očistiti“ seriju od slučajnih fluktuacija. To. povećati težinu novijih zapažanja: .

S druge strane, zagladiti slučajna odstupanja, α se mora smanjiti: .

To. ova dva zahtjeva su u sukobu. Potraga za kompromisnom vrijednošću α je problem optimizacije modela. Obično se α uzima iz intervala (0,1/3).

Primjeri

Posao eksponencijalno izglađivanje sa α=0,2 na osnovu podataka mjesečnih izvještaja o prodaji stranog brenda automobila u Rusiji za period od januara 2007. do oktobra 2008. Napomenimo oštre padove u januaru i februaru, kada prodaja tradicionalno pada i raste početkom ljeta .

Problemi

Model radi samo sa malim horizontom prognoze. Trend i sezonske promjene se ne uzimaju u obzir. Kako bi se uzeli u obzir njihov utjecaj, predlaže se korištenje sljedećih modela: Holt (u obzir se uzima linearni trend), Holt-Winters (multiplikativni eksponencijalni trend i sezonalnost), Theil-Wage (aditivni linearni trend i sezonalnost).

Eksponencijalno izglađivanje - metoda izglađivanja vremenskih serija, čiji računski postupak uključuje obradu svih prethodnih zapažanja, uzimajući u obzir zastarelost informacija kako se udaljavaju od perioda prognoze. Drugim riječima, što je opservacija "starije", to bi manje trebalo da utiče na vrijednost prediktivne procjene. Ideja iza eksponencijalnog izglađivanja je da kako odgovarajuća zapažanja "stare", daju se opadajuće težine.

Ova metoda predviđanja se smatra veoma efikasnom i pouzdanom. Glavne prednosti metode su mogućnost uzimanja u obzir težine pozadinske informacije, u jednostavnosti računskih operacija, u fleksibilnosti opisivanja različitih dinamičkih procesa. Metoda eksponencijalnog izglađivanja omogućava da se dobije procena parametara trenda koji karakterišu prosječan nivo procesa, ali trend koji je preovladavao u vrijeme posljednjeg opažanja. Metoda je našla najveću primjenu za implementaciju srednjoročnih prognoza. Za metodu eksponencijalnog izglađivanja, glavna stvar je izbor parametra izglađivanja (konstante izglađivanja) i početnih uslova.

Jednostavno eksponencijalno izglađivanje vremenskih serija koje sadrže trend vodi do sistematska greška povezano sa kašnjenjem izglađenih vrijednosti od stvarnih nivoa vremenske serije. Da bi se uzeo u obzir trend u nestacionarnim serijama, koristi se specijalno dvoparametarsko linearno eksponencijalno izglađivanje. Za razliku od jednostavnog eksponencijalnog izglađivanja sa jednom konstantom (parametrom), ovaj postupak istovremeno izglađuje i slučajne poremećaje i trend koristeći dvije različite konstante (parametra). Dvoparametarska metoda izglađivanja (Holtova metoda) uključuje dvije jednačine. Prvi je za izglađivanje posmatranih vrednosti, a drugi za izglađivanje trenda:

gdje I - 2, 3, 4 - periodi zaglađivanja; 5, - izglađena vrijednost za period £; U, - stvarna vrijednost nivoa za period 1 5, 1 - izglađena vrijednost za period b-b- izglađena vrijednost trenda za period 1 - izglađena vrijednost za period ja- 1; ALI i B su konstante izglađivanja (brojevi između 0 i 1).

Konstante izglađivanja A i B karakterizira težinski faktor zapažanja. Obično L. AT< 0.3. Od (1 - ALI)< 1, (1 - AT)< 1, onda se eksponencijalno smanjuju kako se posmatranje udaljava od trenutnog perioda I. Stoga se ovaj postupak naziva eksponencijalno izglađivanje.

Jednačina se dodaje općoj proceduri kako bi se izgladio trend. Svaka nova procjena trenda dobiva se kao ponderirani zbir razlike između posljednje dvije izglađene vrijednosti (trenutne procjene trenda) i prethodne izglađene procjene. Ova jednačina omogućava značajno smanjenje uticaja slučajnih poremećaja na trend tokom vremena.

Predviđanje korištenjem eksponencijalnog izglađivanja je slično "naivnom" postupku predviđanja, kada se pretpostavlja da je procjena prognoze za sutra jednaka današnjoj vrijednosti. AT ovaj slučaj kao prognoza za jedan period unapred, uzima se u obzir izglađena vrednost za tekući period plus trenutna izglađena vrednost trenda:

Ovaj postupak se može koristiti za predviđanje za bilo koji broj perioda, na primjer, t periodi:

Procedura predviđanja počinje činjenicom da se izglađena vrijednost 51 pretpostavlja da je jednaka prvom opažanju Y, tj. 5, = Y,.

Postoji problem određivanja početne vrijednosti trenda 6]. Postoje dva načina za procjenu bx.

Metoda 1. Hajde da stavimo bx = 0. Ovaj pristup dobro funkcionira u slučaju dugih početnih vremenskih serija. Tada će se izglađeni trend za mali broj perioda približiti stvarnoj vrijednosti trenda.

Metoda 2. Može dobiti više tačna procjena 6 koristeći prvih pet (ili više) zapažanja vremenske serije. Na osnovu njih, gyu metoda najmanjih kvadrata jednačina je riješena Y(= a + b x g. Vrijednost b uzima se kao početna vrijednost trenda.

Ekstrapolacija je metoda naučno istraživanje, koji se zasniva na distribuciji prošlih i sadašnjih trendova, obrazaca, odnosa prema budućem razvoju objekta predviđanja. Metode ekstrapolacije uključuju metoda pokretnog prosjeka, metoda eksponencijalnog izglađivanja, metoda najmanjih kvadrata.

Metoda eksponencijalnog izglađivanja najefikasniji u razvoju srednjoročnih prognoza. Prihvatljivo je kada se predviđa samo jedan period unaprijed. Njegove glavne prednosti su jednostavnost postupka izračunavanja i mogućnost uzimanja u obzir težine početnih informacija. Radna formula metode eksponencijalnog izglađivanja je:

Postoje dva problema sa predviđanjem pomoću ove metode:

• izbor vrijednosti parametra glađenja α;
• određivanje početne vrijednosti Uo.

Vrijednost α zavisi koliko brzo se smanjuje težina uticaja prethodnih zapažanja. Što je veći α, manji je uticaj prethodnih godina. Ako je vrijednost α blizu jedinice, onda to dovodi do uzimanja u obzir u prognozi uglavnom utjecaja samo najnovijih zapažanja. Ako je vrijednost α blizu nuli, tada se ponderi kojima se ponderiraju nivoi vremenske serije polako smanjuju, tj. prognoza uzima u obzir sva (ili skoro sva) ranija zapažanja.

Stoga, ako postoji povjerenje da su početni uslovi na osnovu kojih se predviđa prognoza pouzdani, treba koristiti malu vrijednost parametra glađenja (α→0). Kada je parametar izglađivanja mali, tada se funkcija koja se proučava ponaša kao prosjek od veliki broj prethodnim nivoima. Ako nema dovoljno povjerenja u početne uslove prognoze, tada treba koristiti veliku vrijednost α, što će dovesti do toga da se u prognozi uzme u obzir uglavnom utjecaj nedavnih zapažanja.

precizna metoda ne postoji parametar izravnavanja α za izbor optimalne vrijednosti parametra glađenja. AT pojedinačni slučajevi autor ove metode, profesor Brown, predložio je da se vrijednost α odredi na osnovu dužine intervala glađenja. U ovom slučaju, α se izračunava po formuli:

gdje je n broj opservacija uključenih u interval izglađivanja.

Uo problem izbora (eksponencijalno ponderisani početni prosjek) rješava se na sljedeće načine:

• ako postoje podaci o razvoju fenomena u prošlosti, onda možete koristiti aritmetičku sredinu i izjednačiti Uo s njom;
• ako takve informacije nema, tada se početna prva vrijednost baze prognoze Y1 koristi kao Uo.

Možete koristiti i mišljenja stručnjaka.

Imajte na umu da kada proučavate ekonomske vremenske serije i prognoze ekonomskim procesima Metoda eksponencijalnog izglađivanja ne funkcionira uvijek. To je zbog činjenice da su ekonomske vremenske serije prekratke (15-20 opservacija), au slučaju kada su stope rasta i rasta visoke, ovu metodu nema "vremena" da odrazi sve promjene.

Primjer primjene metode eksponencijalnog izravnavanja za razvoj prognoze

Zadatak . Postoje podaci koji karakterišu nivo nezaposlenosti u regionu, %

• Izgradite prognozu stope nezaposlenosti u regionu za mjesece novembar, decembar, januar koristeći metode: pokretni prosjek, eksponencijalno izravnavanje, najmanji kvadrati.
• Izračunajte greške u rezultirajućim prognozama koristeći svaku metodu.
• Uporedite dobijene rezultate, izvucite zaključke.

Rješenje za eksponencijalno izglađivanje

1) Odredite vrijednost parametra za izravnavanje po formuli:

gdje je n broj opservacija uključenih u interval izglađivanja. α = 2/ (10+1) = 0,2

2) Definišemo početna vrijednost Uo na dva načina:
Metoda I (aritmetička sredina) Uo = (2,99 + 2,66 + 2,63 + 2,56 + 2,40 + 2,22 + 1,97 + 1,72 + 1,56 + 1,42)/ 10 = 22,13/10 = 2,21
Metoda II (uzimamo prvu vrijednost baze prognoze) Uo = 2,99

3) Izračunajte eksponencijalno ponderisani prosjek za svaki period koristeći formulu

gdje je t period koji prethodi periodu predviđanja; t+1 – period prognoze; Ut+1 - predviđeni indikator; α - parametar izravnavanja; Ut je stvarna vrijednost proučavanog indikatora za period koji prethodi prognozi; Ut - eksponencijalno ponderisani prosjek za period koji prethodi periodu prognoze.

Na primjer:
Ufeb \u003d 2,99 * 0,2 + (1-0,2) * 2,21 = 2,37 (I metoda)
Umart \u003d 2,66 * 0,2 + (1-0,2) * 2,37 = 2,43 (I metoda) itd.

Ufeb \u003d 2,99 * 0,2 + (1-0,2) * 2,99 = 2,99 (II metoda)
Umart \u003d 2,66 * 0,2 + (1-0,2) * 2,99 = 2,92 (II metoda)
Uapr \u003d 2,63 * 0,2 + (1-0,2) * 2,92 = 2,86 (II metoda) itd.

4) Koristeći istu formulu, izračunavamo predviđenu vrijednost
Novembar \u003d 1,42 * 0,2 + (1-0,2) * 2,08 = 1,95 (I metoda)
Novembar \u003d 1,42 * 0,2 + (1-0,2) * 2,18 \u003d 2,03 (II metoda)
Rezultate stavljamo u tabelu.

5) Izračunajte prosječnu relativnu grešku koristeći formulu:

ε = 209,58/10 = 20,96% (metoda I)
ε = 255,63/10 = 25,56% (metoda II)

U svakom slučaju tačnost prognoze je zadovoljavajuće jer je prosjek relativna greška pada u rasponu od 20-50%.

Odlučivanje ovaj zadatak metode pokretni prosek i najmanjih kvadrata Hajde da izvučemo zaključke.

Doktor ekonomskih nauka, direktor za nauku i razvoj CJSC "KIS"

Metoda eksponencijalnog izglađivanja

Razvoj novih i analiza poznatih tehnologija upravljanja koje poboljšavaju efikasnost upravljanja poslovanjem postaje posebno relevantan za ruska preduzeća u ovom trenutku. Jedan od najpopularnijih alata je sistem budžetiranja, koji se zasniva na formiranju budžeta preduzeća sa naknadnom kontrolom izvršenja. Budžet je uravnotežen kratkoročni komercijalni, proizvodni, finansijski i ekonomski planovi za razvoj organizacije. Budžet kompanije sadrži ciljeve koji se izračunavaju na osnovu podataka prognoze. Najvažnija budžetska prognoza za bilo koje poslovanje je prognoza prodaje. U prethodnim člancima izvršena je analiza aditivnog i multiplikativnog modela i izračunat je prognozirani obim prodaje za naredne periode.

Prilikom analize vremenskih serija korištena je metoda pokretnog prosjeka, u kojoj su svi podaci, bez obzira na period njihovog nastanka, jednaki. Postoji još jedan način na koji se ponderi dodeljuju podacima, novijim podacima se daje veća težina nego ranijim podacima.

Metoda eksponencijalnog izglađivanja, za razliku od metode pokretnog prosjeka, može se koristiti i za kratkoročne prognoze budućeg trenda za jedan period unaprijed i automatski ispravlja svaku prognozu u svjetlu razlika između stvarnog i predviđenog rezultata. Zbog toga metoda ima jasnu prednost u odnosu na prethodno razmatranu.

Naziv metode potiče od činjenice da proizvodi eksponencijalno ponderisane pokretne proseke tokom čitave vremenske serije. Kod eksponencijalnog izglađivanja uzimaju se u obzir sva prethodna opažanja - prethodna se uzima u obzir sa maksimalnom težinom, prethodna - sa nešto manjom, najranije opažanje utiče na rezultat sa minimalnom statističkom težinom.

Algoritam za izračunavanje eksponencijalno izglađenih vrijednosti u bilo kojoj tački i serije baziran je na tri veličine:

stvarna vrijednost Ai u datoj tački u redu i,
predviđanje u tački u nizu Fi
neki unaprijed određeni koeficijent izglađivanja W, konstantan u cijeloj seriji.

Nova prognoza se može napisati kao:

Proračun eksponencijalno izglađenih vrijednosti

At praktična upotreba eksponencijalnom metodom izglađivanja, postoje dva problema: izbor faktora izglađivanja (W), koji u velikoj mjeri utiče na rezultate i definiciju početno stanje(Fi). S jedne strane, da bi se izgladila nasumična odstupanja, vrijednost se mora smanjiti. S druge strane, da biste povećali težinu novih mjerenja, morate povećati.

Iako, u principu, W može poprimiti bilo koju vrijednost iz raspona 0< W < 1, обычно ограничиваются интервалом от 0,2 до 0,5. При visoke vrijednosti koeficijent izravnavanja u većoj mjeri uzima u obzir trenutna trenutna zapažanja odgovora (za poduzeća koja se dinamično razvijaju) i, obrnuto, pri niskim vrijednostima, izglađena vrijednost je u većoj mjeri određena prošlim razvojnim trendom nego trenutna drzava odgovor sistema (u uslovima stabilnog razvoja tržišta).

Izbor faktora konstante izravnavanja je subjektivan. Analitičari većine firmi koriste svoje tradicionalna značenja W. Dakle, prema objavljenim podacima u analitičkom odjelu Kodaka, tradicionalno se koristi vrijednost od 0,38, a kod Ford Motorsa je 0,28 ili 0,3.

Ručno izračunavanje eksponencijalnog izglađivanja zahtijeva izuzetno veliku količinu monotonog rada. Na primjer, izračunajmo predviđeni obim za 13. kvartal, ako postoje podaci o prodaji za posljednjih 12 kvartala, koristeći jednostavnu metodu eksponencijalnog izravnavanja.

Pretpostavimo da je za prvi kvartal prognoza prodaje bila 3. I neka je faktor izglađivanja W = 0,8.

Popunite treću kolonu u tabeli, zamjenjujući za svaki sljedeći kvartal vrijednost prethodnog prema formuli:

Za 2 kvartala F2 = 0,8 * 4 (1-0,8) * 3 = 3,8
Za 3. kvartal F3 =0,8*6 (1-0,8)*3,8 =5,6

Slično, izglađena vrijednost se izračunava za koeficijent 0,5 i 0,33.

Izračun prognoze prodaje

Prognoza obima prodaje na W = 0,8 za 13. kvartal iznosila je 13,3 hiljade rubalja.

Ovi podaci se mogu prikazati u grafičkom obliku:

Eksponencijalno izglađivanje

Koliko Prognoza SADA! bolji modeli Eksponencijalno izglađivanje (ES) možete vidjeti na grafikonu ispod. Na X osi - broj stavke, na Y osi - postotak poboljšanja kvaliteta prognoze. Opis modela, detaljna studija, rezultati eksperimenata, pročitajte u nastavku.

Opis modela

Predviđanje eksponencijalnog izglađivanja je jedno od najčešćih jednostavne načine prognoziranje. Prognoza se može dobiti samo za jedan period unaprijed. Ako se predviđanje vrši u danima, onda samo jedan dan unaprijed, ako sedmicama, onda jedna sedmica.

Poređenja radi, predviđanje je rađeno nedelju dana unapred za 8 nedelja.

Šta je eksponencijalno izglađivanje?

Pustite red OD predstavlja originalnu seriju prodaje za predviđanje

C(1)- prve sedmice prodaje OD(2) u drugom i tako dalje.

Slika 1. Prodaja po sedmicama, serija OD

Isto tako, red S predstavlja eksponencijalno izglađenu seriju prodaja. Koeficijent α je od nula do jedan. Ispada kako slijedi, ovdje je t tačka u vremenu (dan, sedmica)

S (t+1) = S(t) + α *(S(t) - S(t))

Velike vrijednosti konstante glađenja α ubrzavaju reakciju prognoze na skok u promatranom procesu, ali mogu dovesti do nepredvidivih odstupanja, jer će izglađivanje gotovo izostati.

Prvi put nakon početka posmatranja, imajući samo jedan rezultat posmatranja C (1) kada je prognoza S (1) ne, i dalje je nemoguće koristiti formulu (1), kao prognozu S (2) treba uzeti C (1) .

Formula se lako može prepisati u drugačijem obliku:

S (t+1) = (1 -α )* S (t) +α * OD (t).

Dakle, s povećanjem konstante glađenja, udio nedavne prodaje raste, a udio izglađenih prethodnih prodaja opada.

Konstanta α se bira empirijski. Obično se radi nekoliko prognoza za različite konstante i odabire se najoptimalnija konstanta u smislu odabranog kriterija.

Kriterijum može biti tačnost prognoze za prethodne periode.

U našem istraživanju razmatrali smo eksponencijalne modele glađenja u kojima α uzima vrijednosti (0,2, 0,4, 0,6, 0,8). Za poređenje sa Prognozom SADA! za svaki proizvod su napravljene prognoze za svaki α i odabrana je najpreciznija prognoza. U stvarnosti, situacija bi bila mnogo komplikovanija, korisnik, ne znajući unapred tačnost prognoze, treba da se odluči za koeficijent α, od čega u velikoj meri zavisi kvalitet prognoze. Evo tako začaranog kruga.

jasno

Slika 2. α =0,2, stepen eksponencijalnog izglađivanja je visok, realna prodaja se slabo uzima u obzir

Slika 3. α =0.4, stepen eksponencijalnog izglađivanja je prosečan, stvarna prodaja se uzima u obzir u prosečnom stepenu

Možete vidjeti kako se konstanta α povećava, izglađena serija sve više odgovara stvarnoj prodaji, a ako postoje odstupanja ili anomalije, dobićemo vrlo netačnu prognozu.

Slika 4. α =0,6, stepen eksponencijalnog izglađivanja je nizak, stvarna prodaja se značajno uzima u obzir

Vidimo da pri α=0,8 serija skoro potpuno ponavlja originalnu, što znači da prognoza teži pravilu „prodaće se isti iznos kao jučer“

Treba napomenuti da je ovdje apsolutno nemoguće fokusirati se na grešku aproksimacije izvornim podacima. Možete postići savršenu utakmicu, ali dobiti neprihvatljivo predviđanje.

Slika 5. α = 0,8, stepen eksponencijalnog izglađivanja je izuzetno nizak, stvarna prodaja se uzima u obzir jako

Primjeri prognoze

Pogledajmo sada predviđanja koja se koriste različita značenja a. Kao što se može vidjeti na slikama 6 i 7, što je veći koeficijent izravnavanja, to tačnije ponavlja stvarnu prodaju sa zakašnjenjem od jednog koraka, prognozu. Takvo kašnjenje zapravo može biti kritično, tako da ne možete samo da birate maksimalna vrijednost a. U suprotnom ćemo doći u situaciju da kažemo da će se prodati tačno onoliko koliko je prodato u prethodnom periodu.

Slika 6. Predviđanje metode eksponencijalnog izglađivanja za α=0,2

Slika 7. Predviđanje metode eksponencijalnog izglađivanja za α=0,6

Hajde da vidimo šta se dešava kada je α = 1.0. Podsjetimo da je S - predviđena (izglađena) prodaja, C - stvarna prodaja.

S (t+1) = (1 -α )* S (t) +α * OD (t).

S (t+1) = OD (t).

Predviđa se da će prodaja na dan t+1 biti jednaka prodaji prethodnog dana. Stoga se izboru konstante mora pristupiti mudro.

Poređenje sa prognozom SADA!

Sada razmotrite ovu metodu predviđanja u poređenju sa Prognozom SADA!. Poređenje je obavljeno na 256 proizvoda koji imaju različitu prodaju, sa kratkoročnom i dugoročnom sezonskom dinamikom, sa „lošom“ prodajom i nestašicama, zalihama i drugim odstupnicima. Za svaki proizvod je napravljena prognoza korišćenjem modela eksponencijalnog izglađivanja, za različite α odabrana je najbolja i upoređena sa prognozom koristeći Forecast ODMAH!

U donjoj tabeli možete vidjeti vrijednost greške prognoze za svaki proizvod. Greška se ovdje smatra RMSE. Ovo je korijen standardna devijacija predviđanje iz stvarnosti. Grubo govoreći, to pokazuje za koliko jedinica robe smo odstupili u prognozi. Poboljšanje pokazuje za koliko procenata je prognoza SADA! bolje je ako je broj pozitivan, a gore ako je negativan. Na slici 8, x-osa prikazuje robu, y-osa pokazuje koliko je Prognoza SADA! bolje od predviđanja eksponencijalnog izglađivanja. Kao što možete vidjeti iz ovog grafikona, prognozirajte SADA! skoro uvek duplo više i skoro nikad gore. U praksi, to znači da korištenjem Forecast ODMAH! omogućiće prepolovljenje zaliha ili smanjenje nestašice.