Prednosti metode najmanjih kvadrata za aproksimaciju. Trebate pomoć u učenju teme? Rješenje sistema metodom inverzne matrice

Primjer.

Eksperimentalni podaci o vrijednostima varijabli X i at date su u tabeli.

Kao rezultat njihovog usklađivanja, funkcija

Koristeći metoda najmanjih kvadrata , aproksimira ove podatke linearnom zavisnošću y=ax+b(pronaći parametre a i b). Saznajte koja od dvije linije je bolja (u smislu metode najmanjih kvadrata) poravnava eksperimentalne podatke. Napravite crtež.

Suština metode najmanjih kvadrata (LSM).

Problem je pronaći koeficijente linearne zavisnosti za koje je funkcija dvije varijable a i b uzima najmanju vrijednost. Odnosno, s obzirom na podatke a i b zbir kvadrata odstupanja eksperimentalnih podataka od pronađene prave će biti najmanji. Ovo je cijela poenta metode najmanjih kvadrata.

Dakle, rješenje primjera se svodi na pronalaženje ekstrema funkcije dvije varijable.

Izvođenje formula za pronalaženje koeficijenata.

Sastavlja se i rješava sistem dvije jednačine sa dvije nepoznate. Pronalaženje parcijalnih izvoda funkcija po varijablama a i b, izjednačavamo ove izvode sa nulom.

Rezultirajući sistem jednačina rješavamo bilo kojom metodom (npr metoda zamjene ili Cramerova metoda) i dobiti formule za pronalaženje koeficijenata metodom najmanjih kvadrata (LSM).

Sa podacima a i b funkcija uzima najmanju vrijednost. Dokaz ove činjenice je dat ispod teksta na kraju stranice.

To je cijela metoda najmanjih kvadrata. Formula za pronalaženje parametra a sadrži sume ,,, i parametar n- količina eksperimentalnih podataka. Vrijednosti ovih suma se preporučuje da se izračunaju zasebno. Koeficijent b pronađeno nakon izračuna a.

Vrijeme je da se prisjetimo originalnog primjera.

Rješenje.

U našem primjeru n=5. Popunjavamo tablicu radi praktičnosti izračunavanja iznosa koji su uključeni u formule potrebnih koeficijenata.

Vrijednosti u četvrtom redu tabele dobijaju se množenjem vrijednosti 2. retka sa vrijednostima 3. reda za svaki broj i.

Vrijednosti u petom redu tabele dobijaju se kvadriranjem vrijednosti 2. reda za svaki broj i.

Vrijednosti posljednje kolone tabele su zbroji vrijednosti u redovima.

Za pronalaženje koeficijenata koristimo formule metode najmanjih kvadrata a i b. U njih zamjenjujemo odgovarajuće vrijednosti iz posljednje kolone tabele:

shodno tome, y=0,165x+2,184 je željena aproksimirajuća ravna linija.

Ostaje da saznamo koja od linija y=0,165x+2,184 ili bolje aproksimira originalne podatke, tj. da procjenu metodom najmanjih kvadrata.

Procjena greške metode najmanjih kvadrata.

Da biste to učinili, morate izračunati sume kvadrata odstupanja originalnih podataka od ovih linija i , manja vrijednost odgovara liniji koja bolje aproksimira originalne podatke u smislu metode najmanjih kvadrata.

Od , onda linija y=0,165x+2,184 bolje aproksimira originalne podatke.

Grafička ilustracija metode najmanjih kvadrata (LSM).

Sve izgleda odlično na grafikonima. Crvena linija je pronađena linija y=0,165x+2,184, plava linija je , ružičaste tačke su originalni podaci.

U praksi, prilikom modeliranja različitih procesa - posebno ekonomskih, fizičkih, tehničkih, društvenih - široko se koristi jedna ili ona metoda izračunavanja približnih vrijednosti funkcija iz njihovih poznatih vrijednosti u nekim fiksnim točkama.

Često se javljaju problemi aproksimacije funkcija ove vrste:

prilikom konstruiranja približnih formula za izračunavanje vrijednosti karakterističnih veličina procesa koji se proučava prema tabličnim podacima dobivenim kao rezultat eksperimenta;

u numeričkoj integraciji, diferencijaciji, rješenju diferencijalne jednadžbe itd.;

ako je potrebno izračunati vrijednosti funkcija u srednjim točkama razmatranog intervala;

pri određivanju vrijednosti karakterističnih veličina procesa izvan intervala koji se razmatra, posebno prilikom predviđanja.

Ako se, da bi se modelirao određeni proces specificiran u tabeli, konstruiše funkcija koja približno opisuje ovaj proces na osnovu metode najmanjih kvadrata, ona će se zvati aproksimirajuća funkcija (regresija), a sam zadatak konstruisanja aproksimirajućih funkcija će biti problem aproksimacije.

Ovaj članak govori o mogućnostima MS Excel paketa za rješavanje takvih problema, pored toga, metode i tehnike za konstruiranje (kreiranje) regresija za tabelarne postaviti funkcije(što je osnova regresione analize).

Postoje dvije opcije za pravljenje regresije u Excelu.

Dodavanje odabranih regresija (linija trenda) na grafikon izgrađen na osnovu tabele podataka za proučavanu karakteristiku procesa (dostupno samo ako je grafikon izgrađen);

Korištenje ugrađenih statističkih funkcija Excel radnog lista, koje vam omogućavaju da dobijete regresije (linije trenda) direktno iz izvorne tablice podataka.

Dodavanje linija trenda grafikonu

Za tabelu podataka koja opisuje određeni proces i predstavlja dijagram, Excel ima efikasan alat za analizu regresije koji vam omogućava:

izgraditi na osnovu metode najmanjih kvadrata i dodati pet dijagramu vrste regresija, koji, sa različitim stepenom tačnosti, modeliraju proces koji se proučava;

dodati jednačinu konstruisane regresije dijagramu;

odrediti stepen usklađenosti odabrane regresije sa podacima prikazanim na grafikonu.

Na osnovu podataka grafikona, Excel vam omogućava da dobijete linearne, polinomske, logaritamske, eksponencijalne, eksponencijalne tipove regresije, koje su date jednadžbom:

y = y(x)

gdje je x nezavisna varijabla, koja često uzima vrijednosti niza prirodnih brojeva (1; 2; 3; ...) i proizvodi, na primjer, odbrojavanje vremena procesa koji se proučava (karakteristike) .

1 . Linearna regresija je dobra u modeliranju karakteristika koje se povećavaju ili smanjuju konstantnom brzinom. Ovo je najjednostavniji model procesa koji se proučava. Gradi se prema jednadžbi:

y=mx+b

gdje je m tangenta nagiba linearna regresija na x-osu; b - koordinata tačke preseka linearne regresije sa y-osom.

2 . Polinomska linija trenda korisna je za opisivanje karakteristika koje imaju nekoliko različitih ekstrema (visoke i niske). Izbor stepena polinoma određen je brojem ekstrema ispitivane karakteristike. Dakle, polinom drugog stepena može dobro opisati proces koji ima samo jedan maksimum ili minimum; polinom trećeg stepena - ne više od dva ekstrema; polinom četvrtog stepena - ne više od tri ekstrema, itd.

U ovom slučaju, linija trenda se gradi u skladu sa jednadžbom:

y = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5 + c6x6

gdje su koeficijenti c0, c1, c2,...c6 konstante čije se vrijednosti određuju tokom izgradnje.

3 . Logaritamska linija trenda uspješno se koristi u modeliranju karakteristika, čije se vrijednosti u početku brzo mijenjaju, a zatim se postupno stabiliziraju.

y = c ln(x) + b

4 . Linija trenda snage daje dobre rezultate ako se vrijednosti proučavane ovisnosti karakteriziraju konstantnom promjenom stope rasta. Primjer takve ovisnosti može poslužiti kao graf ravnomjerno ubrzanog kretanja automobila. Ako postoje nula ili negativne vrijednosti, ne možete koristiti liniju trenda snage.

Gradi se u skladu sa jednačinom:

y = cxb

gdje su koeficijenti b, c konstante.

5 . Eksponencijalnu liniju trenda treba koristiti ako se stopa promjene podataka kontinuirano povećava. Za podatke koji sadrže nulte ili negativne vrijednosti, ova vrsta aproksimacije također nije primjenjiva.

Gradi se u skladu sa jednačinom:

y=cebx

gdje su koeficijenti b, c konstante.

Prilikom odabira linije Excel trend automatski izračunava vrijednost R2, koja karakterizira tačnost aproksimacije: što je vrijednost R2 bliža jedinici, to pouzdanije linija trenda aproksimira proces koji se proučava. Ako je potrebno, vrijednost R2 se uvijek može prikazati na dijagramu.

Određeno formulom:

Da dodate liniju trenda seriji podataka:

aktivirajte grafikon izgrađen na osnovu niza podataka, odnosno kliknite unutar područja grafikona. Stavka grafikona će se pojaviti u glavnom meniju;

nakon klika na ovu stavku, na ekranu će se pojaviti meni u kojem treba izabrati komandu Dodaj liniju trenda.

Iste radnje se lako implementiraju ako zadržite pokazivač miša iznad grafikona koji odgovara jednoj od serija podataka i kliknete desnim tasterom miša; u kontekstnom meniju koji se pojavi izaberite komandu Dodaj liniju trenda. Dijalog Trendline će se pojaviti na ekranu sa otvorenom karticom Type (Slika 1).

Nakon toga trebate:

Na kartici Tip odaberite potrebnu vrstu linije trenda (Linear je odabran prema zadanim postavkama). Za tip polinoma, u polju Stepen navedite stepen izabranog polinoma.

1 . Polje Izgrađene serije navodi sve serije podataka u dotičnom grafikonu. Da biste dodali liniju trenda određenoj seriji podataka, odaberite njeno ime u polju Izgrađena serija.

Ako je potrebno, odlaskom na karticu Parameters (Slika 2), možete podesiti sljedeće parametre za liniju trenda:

promijenite naziv linije trenda u polju Naziv aproksimativne (izglađene) krive.

podesite broj perioda (unaprijed ili unazad) za prognozu u polju Prognoza;

prikazati jednadžbu linije trenda u oblasti grafikona, za koju treba da omogućite checkbox za prikaz jednačine na grafikonu;

prikažite vrijednost pouzdanosti aproksimacije R2 u području dijagrama, za šta treba da omogućite potvrdni okvir da vrijednost pouzdanosti aproksimacije (R^2) postavite na dijagram;

postavite tačku preseka linije trenda sa Y-osom, za koju treba da omogućite checkbox Presek krive sa Y-osom u tački;

kliknite na dugme OK da zatvorite dijaloški okvir.

Postoje tri načina da počnete uređivati već izgrađenu liniju trenda:

koristite komandu Odabrana linija trenda iz menija Format, nakon odabira linije trenda;

izaberite komandu Format Trendline iz kontekstnog menija, koja se poziva desnim klikom na liniju trenda;

dvostrukim klikom na liniju trenda.

Na ekranu će se pojaviti dijaloški okvir Format Trendline (Slika 3), koji sadrži tri kartice: Pogled, Tip, Parametri, a sadržaj posljednje dvije potpuno se poklapa sa sličnim karticama Trendline dijaloškog okvira (Sl. 1-2 ). Na kartici Prikaz možete postaviti vrstu linije, njenu boju i debljinu.

Da biste izbrisali već izgrađenu liniju trenda, odaberite liniju trenda koju želite izbrisati i pritisnite tipku Delete.

Prednosti razmatranog alata regresione analize su:

relativna lakoća iscrtavanja linije trenda na grafikonima bez kreiranja tabele podataka za to;

prilično široka lista tipova predloženih linija trenda, a ova lista uključuje najčešće korištene vrste regresije;

mogućnost predviđanja ponašanja procesa koji se proučava za proizvoljan (unutar zdrav razum) broj koraka naprijed i nazad;

mogućnost dobijanja jednačine linije trenda u analitičkom obliku;

mogućnost, ako je potrebno, dobijanja procjene pouzdanosti aproksimacije.

Nedostaci uključuju sljedeće tačke:

izgradnja linije trenda se izvodi samo ako postoji grafikon izgrađen na nizu podataka;

proces generiranja niza podataka za karakteristiku koja se proučava na temelju jednadžbi linije trenda dobivenih za nju je donekle pretrpan: željene regresijske jednadžbe se ažuriraju sa svakom promjenom vrijednosti izvorne serije podataka, ali samo unutar područja grafikona , dok serija podataka formirana na osnovu trenda stare jednačine linije ostaje nepromijenjena;

U izvještajima zaokretnog grafikona, kada promijenite prikaz grafikona ili povezani izvještaj zaokretne tabele, postojeće linije trenda se ne zadržavaju, tako da morate osigurati da izgled izvještaja ispunjava vaše zahtjeve prije nego što nacrtate linije trenda ili na drugi način formatirate izvještaj zaokretnog grafikona.

Linije trenda se mogu dodati serijama podataka predstavljenih na grafikonima kao što su grafikoni, histogrami, ravni grafikoni nenormaliziranih površina, trakasti, razbacani, balončići i grafikoni dionica.

Ne možete dodati linije trenda serijama podataka na 3-D, standardnim, radarskim, tortnim i krofnim grafikonima.

Korištenje ugrađenih Excel funkcija

Excel takođe pruža alat za regresijsku analizu za crtanje linija trenda izvan područja grafikona. Brojne statističke funkcije radnog lista mogu se koristiti za ovu svrhu, ali sve vam omogućavaju da izgradite samo linearne ili eksponencijalne regresije.

Excel ima nekoliko funkcija za izgradnju linearne regresije, posebno:

TREND;

KOSINA i REZ.

Kao i nekoliko funkcija za konstruiranje eksponencijalne linije trenda, posebno:

LGRFPapprox.

Treba napomenuti da su tehnike za konstruisanje regresije korišćenjem funkcija TREND i RAST praktično iste. Isto se može reći i za par funkcija LINEST i LGRFPRIBL. Za ove četiri funkcije, prilikom kreiranja tablice vrijednosti, koriste se Excel funkcije kao što su formule niza, što donekle otežava proces izgradnje regresija. Također napominjemo da je konstrukciju linearne regresije, po našem mišljenju, najlakše implementirati korištenjem funkcija SLOPE i INTERCEPT, gdje prva određuje nagib linearne regresije, a druga određuje segment odsječen regresijom na y-osi.

Prednosti ugrađenog funkcijskog alata za regresionu analizu su:

prilično jednostavan proces istog tipa formiranja nizova podataka ispitivane karakteristike za sve ugrađene statističke funkcije koje postavljaju linije trenda;

standardna tehnika za konstruisanje linija trenda na osnovu generisanih serija podataka;

mogućnost predviđanja ponašanja procesa koji se proučava na potreban iznos korake napred ili nazad.

A nedostaci uključuju činjenicu da Excel nema ugrađene funkcije za kreiranje drugih (osim linearnih i eksponencijalnih) tipova linija trenda. Ova okolnost često ne dozvoljava odabir dovoljno preciznog modela procesa koji se proučava, kao i dobijanje prognoza bliskih stvarnosti. Osim toga, kada se koriste funkcije TREND i GROW, jednadžbe linija trenda nisu poznate.

Treba napomenuti da autori nisu za cilj postavili da predstavi tok regresione analize sa različitim stepenom potpunosti. Njegov glavni zadatak je da na konkretnim primjerima pokaže mogućnosti Excel paketa u rješavanju aproksimacijskih problema; demonstrirati koje efikasne alate Excel ima za pravljenje regresija i predviđanja; ilustruju kako relativno lako takve probleme može riješiti čak i korisnik koji nema duboko znanje o regresijskoj analizi.

Primjeri rješavanja konkretnih problema

Razmotrite rješavanje konkretnih problema pomoću navedenih alata Excel paketa.

Zadatak 1

Sa tabelom podataka o dobiti autotransportnog preduzeća za 1995-2002. potrebno je da uradite sledeće.

Napravite grafikon.

Dodajte linearne i polinomske (kvadratne i kubične) linije trenda na grafikon.

Koristeći jednačine linije trenda, dobiti tabelarne podatke o dobiti preduzeća za svaku liniju trenda za 1995-2004.

Napravite prognozu dobiti za preduzeće za 2003. i 2004. godinu.

Rješenje problema

U opseg ćelija A4:C11 Excel radnog lista unosimo radni list prikazan na sl. četiri.

Nakon odabira raspona ćelija B4:C11, gradimo grafikon.

Aktiviramo izgrađeni grafikon i, koristeći gore opisanu metodu, nakon odabira tipa linije trenda u dijaloškom okviru Trend Linija (vidi sliku 1), naizmenično dodajemo linearne, kvadratne i kubične linije trenda na grafikon. U istom dijaloškom okviru otvorite karticu Parametri (vidi sliku 2), u polje Naziv aproksimirajuće (izglađene) krive unesite naziv trenda koji se dodaje, au polje Prognoza naprijed za: periode postavite vrijednost 2, budući da je planirana prognoza dobiti za dvije godine unaprijed. Za prikaz jednačine regresije i vrijednosti pouzdanosti aproksimacije R2 u području dijagrama, omogućite potvrdne okvire Prikaži jednačinu na ekranu i postavite vrijednost pouzdanosti aproksimacije (R^2) na dijagram. Za bolju vizuelnu percepciju menjamo vrstu, boju i debljinu iscrtanih linija trenda, za šta koristimo karticu View u dijalogu Format linije trenda (vidi sliku 3). Rezultirajući grafikon sa dodanim linijama trenda prikazan je na sl. 5.

Dobiti tabelarne podatke o dobiti preduzeća za svaku liniju trenda za 1995-2004. Koristimo jednadžbe linija trenda prikazane na sl. 5. Da biste to učinili, u ćelije raspona D3:F3 unesite tekstualne informacije o tipu odabrane linije trenda: Linearni trend, Kvadratični trend, Kubni trend. Zatim unesite formulu linearne regresije u ćeliju D4 i, koristeći marker za popunjavanje, kopirajte ovu formulu s relativnim referencama na raspon ćelija D5:D13. Treba napomenuti da svaka ćelija sa formulom linearne regresije iz opsega ćelija D4:D13 ima odgovarajuću ćeliju iz opsega A4:A13 kao argument. Slično, za kvadratnu regresiju popunjava se raspon ćelija E4:E13, a za kubičnu regresiju popunjava se raspon ćelija F4:F13. Tako je napravljena prognoza dobiti preduzeća za 2003. i 2004. godinu. sa tri trenda. Rezultirajuća tabela vrijednosti prikazana je na sl. 6.

Zadatak 2

Napravite grafikon.

Dodajte logaritamske, eksponencijalne i eksponencijalne linije trenda na grafikon.

Izvesti jednadžbe dobijenih linija trenda, kao i vrijednosti pouzdanosti aproksimacije R2 za svaku od njih.

Koristeći jednačine linije trenda, dobiti tabelarne podatke o dobiti preduzeća za svaku liniju trenda za 1995-2002.

Napravite prognozu profita za poslovanje za 2003. i 2004. koristeći ove trendove.

Rješenje problema

Prateći metodologiju datu u rješavanju problema 1, dobijamo dijagram sa dodanim logaritamskim, eksponencijalnim i eksponencijalnim linijama trenda (slika 7). Dalje, koristeći dobijene jednadžbe linije trenda, popunjavamo tabelu vrijednosti za dobit preduzeća, uključujući i predviđene vrijednosti za 2003. i 2004. godinu. (Sl. 8).

Na sl. 5 i sl. može se vidjeti da model sa logaritamskim trendom odgovara najnižoj vrijednosti pouzdanosti aproksimacije

R2 = 0,8659

Najveće vrijednosti R2 odgovaraju modelima sa polinomskim trendom: kvadratni (R2 = 0,9263) i kubični (R2 = 0,933).

Zadatak 3

Sa tabelom podataka o dobiti autotransportnog preduzeća za 1995-2002, datom u zadatku 1, morate izvršiti sljedeće korake.

Dobijte serije podataka za linearne i eksponencijalne linije trenda koristeći funkcije TREND i GROW.

Koristeći funkcije TREND i RAST, napravite prognozu profita za preduzeće za 2003. i 2004. godinu.

Za početne podatke i primljene serije podataka konstruirajte dijagram.

Rješenje problema

Koristimo radni list zadatka 1 (vidi sliku 4). Počnimo sa TREND funkcije:

odaberite raspon ćelija D4:D11, koje treba popuniti vrijednostima funkcije TREND koje odgovaraju poznatim podacima o dobiti poduzeća;

pozovite komandu Funkcija iz menija Insert. U dijalogu Čarobnjak za funkcije koji se pojavi, izaberite funkciju TREND iz kategorije Statistike, a zatim kliknite na dugme U redu. Ista operacija se može izvesti pritiskom na tipku (funkcija umetanja) na standardnoj alatnoj traci.

U dijaloškom okviru Argumenti funkcije koji se pojavi unesite opseg ćelija C4:C11 u polje Poznate_vrijednosti_y; u polju Poznate_vrijednosti_x - opseg ćelija B4:B11;

da unesenu formulu pretvorite u formulu niza, koristite kombinaciju tipki + + .

Formula koju smo uneli u traku sa formulama će izgledati ovako: =(TREND(C4:C11;B4:B11)).

Kao rezultat toga, raspon ćelija D4:D11 je ispunjen odgovarajućim vrijednostima funkcije TREND (slika 9).

Da se napravi prognoza dobiti kompanije za 2003. i 2004. godinu. potrebno:

odaberite raspon ćelija D12:D13, gdje će biti unesene vrijednosti predviđene funkcijom TREND.

pozovite funkciju TREND i u dijaloškom okviru Argumenti funkcije koji se pojavi unesite u polje Poznate_vrijednosti_y - opseg ćelija C4:C11; u polju Poznate_vrijednosti_x - opseg ćelija B4:B11; a u polju Nove_vrijednosti_x - opseg ćelija B12:B13.

pretvorite ovu formulu u formulu niza koristeći prečicu na tastaturi Ctrl + Shift + Enter.

Unesena formula će izgledati ovako: =(TREND(C4:C11;B4:B11;B12:B13)), a opseg ćelija D12:D13 će biti popunjen predviđenim vrijednostima funkcije TREND (vidi Sl. 9).

Slično, niz podataka se popunjava pomoću funkcije GROWTH, koja se koristi u analizi nelinearnih zavisnosti i radi potpuno isto kao i njen linearni pandan TREND.

Slika 10 prikazuje tabelu u načinu prikaza formule.

Za početne podatke i dobijene serije podataka, dijagram prikazan na sl. jedanaest.

Zadatak 4

Sa tabelom podataka o prijemu zahtjeva za usluge od strane dispečerske službe autotransportnog preduzeća za period od 1. do 11. dana u tekućem mjesecu, potrebno je izvršiti sljedeće radnje.

Dobiti niz podataka za linearnu regresiju: korištenjem funkcija SLOPE i INTERCEPT; koristeći funkciju LINEST.

Dohvatite niz podataka za eksponencijalnu regresiju koristeći funkciju LYFFPRIB.

Koristeći gore navedene funkcije, napravite prognozu prijema prijava u dispečersku službu za period od 12. do 14. dana u tekućem mjesecu.

Za originalne i primljene serije podataka konstruirajte dijagram.

Rješenje problema

Imajte na umu da, za razliku od funkcija TREND i GROW, nijedna od gore navedenih funkcija (SLOPE, INTERCEPTION, LINEST, LGRFPRIB) nije regresija. Ove funkcije igraju samo pomoćnu ulogu, određujući potrebne parametre regresije.

Za linearne i eksponencijalne regresije izgrađene korištenjem funkcija SLOPE, INTERCEPT, LINEST, LGRFPRIB, izgled njihovih jednačina je uvijek poznat, za razliku od linearnih i eksponencijalnih regresija koje odgovaraju funkcijama TREND i GROWTH.

1 . Napravimo linearnu regresiju koja ima jednačinu:

y=mx+b

koristeći funkcije SLOPE i INTERCEPT, pri čemu je nagib regresije m određen funkcijom SLOPE, a konstantni član b - funkcijom INTERCEPT.

Da bismo to učinili, izvodimo sljedeće radnje:

unesite izvornu tabelu u opseg ćelija A4:B14;

vrijednost parametra m će biti određena u ćeliji C19. Izaberite iz kategorije Statistike funkciju nagiba; unesite opseg ćelija B4:B14 u polje poznate_vrijednosti_y i raspon ćelija A4:A14 u polje poznate_vrijednosti_x. Formula će biti uneta u ćeliju C19: =SLOPE(B4:B14;A4:A14);

pomoću slične metode određuje se vrijednost parametra b u ćeliji D19. A njegov sadržaj će izgledati ovako: = INTERCEPT(B4:B14;A4:A14). Dakle, vrijednosti parametara m i b, neophodnih za konstruiranje linearne regresije, bit će pohranjene, respektivno, u ćelijama C19, D19;

tada unosimo formulu linearne regresije u ćeliju C4 u obliku: = $ C * A4 + $ D. U ovoj formuli ćelije C19 i D19 su napisane sa apsolutnim referencama (adresa ćelije ne bi trebalo da se menja sa mogućim kopiranjem). Apsolutni referentni znak $ može se otkucati ili sa tastature ili pomoću tastera F4, nakon postavljanja kursora na adresu ćelije. Koristeći ručicu za popunjavanje, kopirajte ovu formulu u raspon ćelija C4:C17. Dobijamo željenu seriju podataka (slika 12). Zbog činjenice da je broj zahtjeva cijeli broj, trebate postaviti format broja na kartici Broj prozora Format ćelije sa brojem decimalnih mjesta na 0.

2 . Sada napravimo linearnu regresiju datu jednadžbom:

y=mx+b

koristeći funkciju LINEST.

Za ovo:

unesite funkciju LINEST kao formulu niza u raspon ćelija C20:D20: =(LINEST(B4:B14;A4:A14)). Kao rezultat, dobijamo vrijednost parametra m u ćeliji C20, a vrijednost parametra b u ćeliji D20;

unesite formulu u ćeliju D4: =$C*A4+$D;

kopirajte ovu formulu koristeći marker za popunjavanje u raspon ćelija D4:D17 i dobijete željenu seriju podataka.

3 . Gradimo eksponencijalnu regresiju koja ima jednačinu:

uz pomoć funkcije LGRFPRIBL se izvodi slično:

u rasponu ćelija C21:D21 unesite funkciju LRGRFPRIBL kao formulu niza: =( LGRFPRIBL (B4:B14;A4:A14)). U ovom slučaju, vrijednost parametra m će biti određena u ćeliji C21, a vrijednost parametra b će biti određena u ćeliji D21;

formula se unosi u ćeliju E4: =$D*$C^A4;

korišćenjem markera za popunjavanje, ova formula se kopira u opseg ćelija E4:E17, gde će se nalaziti serija podataka za eksponencijalnu regresiju (vidi sliku 12).

Na sl. 13 prikazuje tabelu u kojoj možemo vidjeti funkcije koje koristimo s potrebnim opsezima ćelija, kao i formule.

Vrijednost R 2 pozvao koeficijent determinacije.

Zadatak konstruisanja regresijske zavisnosti je da se pronađe vektor koeficijenata m modela (1) na kome koeficijent R poprima maksimalnu vrednost.

Da bi se procijenila značajnost R, koristi se Fisherov F-test, izračunat po formuli

gdje n- veličina uzorka (broj eksperimenata);

k je broj koeficijenata modela.

Ako F premašuje neku kritičnu vrijednost za podatke n i k i prihvaćeni nivo pouzdanosti, onda se vrijednost R smatra značajnom. Tabele kritičnih vrijednosti F date su u priručniku o matematičkoj statistici.

Dakle, značaj R ne određuje samo njegova vrijednost, već i odnos između broja eksperimenata i broja koeficijenata (parametara) modela. Zaista, omjer korelacije za n=2 za jednostavan linearni model je 1 (kroz 2 tačke na ravni, uvijek možete nacrtati jednu pravu liniju). Međutim, ako su eksperimentalni podaci slučajne varijable, takvoj vrijednosti R treba vjerovati s velikom pažnjom. Obično, da bi se dobila značajna R i pouzdana regresija, cilj je osigurati da broj eksperimenata značajno premašuje broj koeficijenata modela (n>k).

Za izgradnju linearne regresijski model potrebno:

1) pripremiti listu od n redaka i m stupaca koji sadrže eksperimentalne podatke (kolona koja sadrži izlaznu vrijednost Y mora biti prvi ili zadnji na listi); na primjer, uzmimo podatke prethodnog zadatka, dodajući kolonu pod nazivom "broj perioda", numerirajući brojeve perioda od 1 do 12. (ovo će biti vrijednosti X)

2) idite na meni Podaci/Analiza podataka/Regresija

Ako nedostaje stavka "Analiza podataka" u meniju "Alati", onda treba da odete na stavku "Dodaci" istog menija i označite polje "Paket analize".

3) u dijaloškom okviru "Regresija" postavite:

ulazni interval Y;

ulazni interval X;

izlazni interval - gornja lijeva ćelija intervala u koji će biti smješteni rezultati proračuna (preporučljivo je postaviti na novi radni list);

4) kliknite na "OK" i analizirajte rezultate.

Aproksimacija (od latinskog "približno" - "približavanje") - približni izraz bilo kojeg matematički objekti(na primjer, brojevi ili funkcije) preko drugih koji su jednostavniji, lakši za korištenje ili jednostavno poznatiji. AT naučno istraživanje aproksimacija se koristi za opisivanje, analizu, generalizaciju i dalju upotrebu empirijskih rezultata.

Kao što je poznato, može postojati egzaktna (funkcionalna) veza između vrijednosti, kada jedna određena vrijednost odgovara jednoj vrijednosti argumenta.

Prilikom odabira aproksimacije treba polaziti od specifičnog zadatka studije. Obično, što je jednačina koja se koristi za aproksimaciju jednostavnija, to je dobijeni opis zavisnosti približniji. Stoga je važno pročitati koliko su značajna i što je uzrokovalo odstupanja konkretnih vrijednosti od rezultirajućeg trenda. Kada se empirijski opisuje zavisnost određene vrijednosti mnogo veća tačnost se može postići upotrebom neke složenije, višeparametarske jednačine. Međutim, nema smisla pokušavati prenijeti nasumična odstupanja vrijednosti u određenim serijama empirijskih podataka s maksimalnom preciznošću. Prilikom odabira metode aproksimacije, istraživač uvijek pravi kompromis: on odlučuje u kojoj mjeri u ovaj slučaj svrsishodno je i prikladno „žrtvovati“ detalje i, shodno tome, koliko uopšte treba izraziti zavisnost upoređenih varijabli. Zajedno sa otkrivajućim obrascima prerušenih slučajna odstupanja empirijski dokazi iz opšti obrazac, aproksimacija također omogućava rješavanje mnogih drugih važnih problema: formalizirati pronađenu zavisnost; naći nepoznate vrijednosti zavisna varijabla interpolacijom ili, ako je primjenjivo, ekstrapolacijom.

Svrha ovog kursa je učenje teorijske osnove aproksimiranje tabelarne funkcije metodom najmanjih kvadrata i primjena teorijsko znanje, pronalaženje aproksimirajućih polinoma. Pronalaženje aproksimirajućih polinoma u okviru ovog kursa prati pisanje programa na Pascal-u koji implementira razvijeni algoritam za pronalaženje koeficijenata aproksimirajućeg polinoma, a isto tako rješava isti problem koristeći MathCad.

U ovom kursu, Pascal program je razvijen u PascalABC shell verziji 1.0 beta. Rješenje problema u MathCad okruženju izvedeno je u Mathcad verziji 14.0.0.163.

Formulacija problema

U ovom kursu morate uraditi sljedeće:

1. Razviti algoritam za pronalaženje koeficijenata tri aproksimirajuća polinoma (polinoma) oblika

za tabelarnu funkciju y=f(x):

za stepen polinoma n=2, 4, 5.

2. Konstruirajte blok dijagram algoritma.

3. Kreirajte Pascal program koji implementira razvijeni algoritam.

5. Konstruisati grafove 3 dobijene aproksimativne funkcije u jednom koordinatnom sistemu. Grafikon mora sadržavati i početne tačke. (X i , y i ) .

6. Riješite problem koristeći MathCAD.

Rezultati rješavanja zadatka korištenjem kreiranog programa na jeziku Pascal iu MathCAD okruženju moraju biti prikazani u obliku tri polinoma konstruisanih korištenjem pronađenih koeficijenata; tablicu koja sadrži vrijednosti funkcije dobivene korištenjem pronađenih polinoma u točkama xi i standardnih devijacija.

Konstrukcija empirijskih formula metodom najmanjih kvadrata

Vrlo često, posebno pri analizi empirijskih podataka, postaje neophodno eksplicitno pronaći funkcionalni odnos između vrijednosti x i y, koje se dobijaju kao rezultat mjerenja.

U analitičkoj studiji odnosa između dvije veličine x i y, napravljen je niz zapažanja i rezultat je tabela vrijednosti:

x			¼		¼
y			¼		¼

Ova tabela se obično dobija kao rezultat nekih eksperimenata u kojima

APROKSIMIRANJE FUNKCIJE NAJMANJOM METODOM

SQUARE

1. Svrha rada

2. Smjernice

2.2 Izjava o problemu

2.3 Metoda za izbor aproksimativne funkcije

2.4 Opća metodologija rješenja

2.5 Tehnika rješavanja normalnih jednačina

2.7 Metoda obračuna inverzna matrica

3. Ručni račun

3.1 Početni podaci

3.2 Sistem normalnih jednačina

3.3 Rješavanje sistema metodom inverzne matrice

4. Šema algoritama

5. Tekst programa

6. Rezultati mašinskog proračuna

1. Svrha rada

Ovaj nastavni rad je završni dio discipline "Računarska matematika i programiranje" i zahtijeva od studenta da u procesu realizacije riješi sljedeće zadatke:

a) praktični razvoj standarda računske metode primijenjena informatika; b) poboljšanje vještina razvoja algoritama i izgradnje programa na jeziku visokog nivoa.

Praktična realizacija nastavnog rada podrazumijeva rješavanje tipskih inženjerski zadaci obrada podataka metodama matrične algebre, rješavanje sistema linearnih algebarske jednačine numerička integracija. Vještine stečene u procesu izvođenja nastave su osnova za korištenje računskih metoda primijenjena matematika i tehnike programiranja u procesu izučavanja svih narednih disciplina na predmetnim i diplomskim projektima.

2. Smjernice

2.2 Izjava o problemu

Prilikom proučavanja zavisnosti između veličina važan zadatak je približna reprezentacija (aproksimacija) ovih ovisnosti koristeći poznate funkcije ili njihove kombinacije, prema potrebi. pristup takvom problemu i specifična metoda njena rješenja su određena izborom korištenog kriterija kvaliteta aproksimacije i oblikom prikaza početnih podataka.

2.3 Metoda za izbor aproksimativne funkcije

Aproksimirajuća funkcija se bira iz određene porodice funkcija za koje je određen oblik funkcije, ali njeni parametri ostaju nedefinirani (i moraju se odrediti), tj.

Definicija aproksimirajuće funkcije φ podijeljena je u dvije glavne faze:

Odabir odgovarajuće vrste funkcije;

Pronalaženje njegovih parametara u skladu s kriterijem najmanjih kvadrata.

Izbor tipa funkcije je težak zadatak, riješeno probnom metodom i uzastopne aproksimacije. Početni podaci predstavljeni u grafičkom obliku (familije tačaka ili krive) upoređuju se sa familijom grafova brojnih tipičnih funkcija koji se obično koriste u svrhu aproksimacije. Neke vrste funkcija koje se koriste u seminarskom radu prikazane su u tabeli 1.

Detaljnije informacije o ponašanju funkcija koje se mogu koristiti u aproksimacijskim problemima mogu se naći u referentnoj literaturi. U većini zadataka nastavnog rada dat je tip aproksimirajuće funkcije.

2.4 Opća tehnika rješenja

Nakon što je odabran tip aproksimirajuće funkcije (ili je ova funkcija postavljena) i, shodno tome, određena funkcionalna zavisnost (1), potrebno je, u skladu sa zahtjevima LSM-a, pronaći vrijednosti parametara S 1 , S 2 , …, S m . Kao što je već spomenuto, parametri se moraju odrediti na način da vrijednost kriterija u svakom od problema koji se razmatra bude najmanja u odnosu na njegovu vrijednost za druge moguće vrijednosti parametara.

Da bismo riješili problem, zamjenjujemo izraz (1) u odgovarajući izraz i izvodimo potrebne operacije sumiranja ili integracije (u zavisnosti od tipa I). Kao rezultat toga, vrijednost I, u daljem tekstu kriterij aproksimacije, predstavljena je funkcijom željenih parametara

Sljedeće se svodi na pronalaženje minimuma ove funkcije varijabli S k ; određivanje vrijednosti C k =C k * , k=1,m, koje odgovaraju ovom elementu I, i predstavlja cilj problema koji se rješava.

Tipovi funkcija Tablica 1

Vrsta funkcije	Naziv funkcije
Y=C 1 +C 2 x	Linearno
Y \u003d C 1 + C 2 x + C 3 x 2	Kvadratno (parabolično)
Y=	Racionalno (polinom n-tog stepena)
Y=C1 +C2	obrnuto proporcionalno
Y=C1 +C2	Racionalni razlomak snage
Y=	Razlomno-racionalno (prvog stepena)
Y=C 1 +C 2 X C3	Snaga
Y=C 1 +C 2 a C3 x	Demonstracija
Y=C 1 +C 2 log a x	logaritamski
Y \u003d C 1 + C 2 X n (0	Iracionalno, algebarsko
Y=C 1 sinx+C 2 cosx	Trigonometrijske funkcije (i njihovi inverzi)

Moguća su sljedeća dva pristupa rješavanju ovog problema: korištenje poznatih uslova za minimum funkcije nekoliko varijabli ili direktno pronalaženje minimalne točke funkcije bilo kojom od numeričkih metoda.

Za implementaciju prvog od ovih pristupa koristimo neophodan minimalni uvjet za funkciju (1) nekoliko varijabli, prema kojem parcijalni derivati ove funkcije u odnosu na sve njene argumente moraju biti jednaki nuli u minimalnoj tački

Rezultirajuće m jednakosti treba posmatrati kao sistem jednačina u odnosu na željene C 1 , S 2 ,…, S m . Za proizvoljni oblik funkcionalne zavisnosti (1), jednačina (3) se pokazuje nelinearnom u odnosu na vrijednosti C k, a njihovo rješenje zahtijeva korištenje približnih numeričkih metoda.

Upotreba jednakosti (3) daje samo neophodne, ali nedovoljne uslove za minimum (2). Stoga je potrebno razjasniti da li pronađene vrijednosti C k * pružaju upravo minimum funkcije . U opštem slučaju, takvo usavršavanje je izvan okvira ovog kursa, a zadaci predloženi za rad odabrani su tako da pronađeno rešenje sistema (3) tačno odgovara minimalnom I. Međutim, pošto je vrednost od I je nenegativno (kao zbir kvadrata) i njegova donja granica je 0 (I=0), onda ako postoji jedinstveno rješenje za sistem (3), ono tačno odgovara minimumu od I.

Kada se aproksimirajuća funkcija predstavi općim izrazom (1), odgovarajuće normalne jednadžbe (3) ispadaju nelinearne u odnosu na željeni C c. Njihovo rješenje može biti povezano sa značajnim poteškoćama. U takvim slučajevima, poželjno je direktno tražiti minimum funkcije u rasponu mogućih vrijednosti njegovih argumenata C k, nevezanih za korištenje relacija (3). Opća ideja takve pretrage je promijeniti vrijednosti argumenata S u i izračunati u svakom koraku odgovarajuću vrijednost funkcije I na minimalnu vrijednost ili dovoljno blizu njoj.

2.5 Tehnika rješavanja normalnih jednačina

Jedan od mogućih načina da se minimizira kriterijum aproksimacije (2) je rešavanje sistema normalnih jednačina (3). Kada se kao aproksimirajuća funkcija odabere linearna funkcija željenih parametara, normalne jednadžbe su sistem linearnih algebarskih jednadžbi.

Sistem od n linearnih jednačina opšteg oblika:

(4) može se napisati korištenjem matrice u sljedećem obliku: A X=B,

; ; (5)

kvadratna matrica A se zove sistemska matrica, i vektori X i B, respektivno vektor kolone nepoznatih sistema i vektor stupaca njegovih slobodnih članova .

U matričnom obliku, originalni sistem od n linearnih jednačina se također može napisati na sljedeći način:

Rješenje sistema linearnih jednadžbi svodi se na pronalaženje vrijednosti elemenata vektora stupca (x i), koji se nazivaju korijeni sistema. Da bi ovaj sistem imao jedinstveno rješenje, njegova n jednačina mora biti linearno nezavisna. Neophodan i dovoljan uslov za to je da determinanta sistema nije jednaka nuli, tj. ∆=detA≠0.

Algoritam za rješavanje sistema linearnih jednačina dijeli se na direktne i iterativne. U praksi, nijedna metoda ne može biti beskonačna. Da bi se dobilo tačno rešenje, iterativne metode zahtevaju beskonačan broj aritmetičkih operacija. u praksi, ovaj broj se mora uzeti kao konačan, pa stoga rješenje, u principu, ima neku grešku, čak i ako zanemarimo greške zaokruživanja koje prate većinu proračuna. Što se tiče direktnih metoda, čak i sa konačnim brojem operacija, one u principu mogu dati tačno rješenje, ako ono postoji.

Direktne i konačne metode omogućavaju pronalaženje rješenja za sistem jednačina u konačnom broju koraka. Ovo rješenje će biti tačno ako se svi intervali izračunavanja izvode sa ograničenom preciznošću.

2.7 Metoda za izračunavanje inverzne matrice

Jedna od metoda za rješavanje sistema linearnih jednačina (4), koju zapisujemo u matričnom obliku A·X=B, povezana je sa upotrebom inverzne matrice A -1 . U ovom slučaju se rješenje sistema jednačina dobija u obliku

gdje je A -1 matrica definirana na sljedeći način.

Neka je A n x n kvadratna matrica sa nenultom determinantom detA≠0. Tada postoji inverzna matrica R=A -1 definisana uslovom A R=E,

gdje je E matrica identiteta, čiji su svi elementi glavne dijagonale jednaki I, a elementi izvan ove dijagonale su -0, E=, gdje je E i vektor stupac. Matrica K je kvadratna matrica veličine n x n.

gdje je Rj vektor stupac.

Razmotrimo njen prvi stupac R=(r 11 , r 21 ,…, r n 1) T , gdje T znači transpoziciju. Lako je provjeriti da je proizvod A·R jednak prvom stupcu E 1 =(1, 0, ..., 0) T matrice identiteta E, tj. vektor R 1 se može smatrati rješenjem sistema linearnih jednačina A R 1 =E 1. Slično, m-ti stupac matrice R , Rm, 1≤ m ≤ n, rješenje je jednačine A Rm =Em, gdje je Em=(0, …, 1, 0) T m je stupac matrice identiteta E.

Dakle, inverzna matrica R je skup rješenja za n sistema linearnih jednačina

A Rm=Em , 1≤ m ≤ n.

Za rješavanje ovih sistema mogu se primijeniti bilo koje metode razvijene za rješavanje algebarskih jednačina. Međutim, Gaussova metoda omogućava rješavanje svih ovih n sistema istovremeno, ali nezavisno jedan od drugog. Zaista, svi ovi sistemi jednačina razlikuju se samo po desnoj strani, a sve transformacije koje se izvode u procesu direktnog toka Gaussove metode u potpunosti su određene elementima matrice koeficijenata (matrica A). Dakle, u šemama algoritama, samo blokovi povezani sa transformacijom vektora B su podložni promeni. U našem slučaju, n vektora Em, 1 ≤ m ≤ n, će se istovremeno transformisati. Rezultat rješenja također neće biti jedan vektor, već n vektora Rm, 1≤ m ≤ n.

3. Ručni račun

3.1 Početni podaci

Xi	0,3	0,5	0,7	0,9	1,1
Yi	1,2	0,7	0,3	-0,3	-1,4

3.2 Sistem normalnih jednačina

3.3 Rješavanje sistema metodom inverzne matrice

aproksimacija kvadratna funkcija linearna jednadžba

5 3,5 2,6 0,5 5 3,5 2,6 0,5

3,5 2,85 2,43 -0,89 0 0,4 0,61 -1,24

2,56 2,43 2,44 -1,86 0 0,638 1,109 -2,116

0 0,4 0,61 -1,24

0 0 0,136 -0,138

Rezultati proračuna:

C 1 =1,71; C 2 = -1,552; C 3 \u003d -1,015;

Funkcija aproksimacije:

4 . Tekst programa

masa=niz realnih;

masa1=niz realnih;

masa2=niz realnih;

X, Y, E, y1, delta: masa;

big,r,sum,temp,maxD,Q:real;

i,j,k,l,num: bajt;

ProcedureVOD(var E: masa);

Za i:=1 do 5 uradi

Funkcija FI(i,k: cijeli broj): realna;

ako je i=1 onda FI:=1;

ako je i=2 onda FI:=Sin(x[k]);

ako je i=3 onda FI:=Cos(x[k]);

Procedura PEREST(i:integer;var a:mass1;var b:mass2);

za l:= i do 3 do

ako je abs(a) > veliki onda

big:=a; pisati (veliko:6:4);

writeln("Permutiranje jednadžbi");

ako broj<>ja onda

za j:=i do 3 do

a:=a;

writeln("Unesite X vrijednosti");

writeln("_______________");

writeln("‚Unesite Y vrijednosti");

writeln("_______________");

Za i:=1 do 3 uradi

Za j:=1 do 3 do

Za k:=1 do 5 do

započeti A:= A+FI(i,k)*FI(j,k); napisati(a:7:5); kraj;

writeln("__________________________");

writeln("Matrica koeficijentaAi,j");

Za i:=1 do 3 uradi

Za j:=1 do 3 do

napisati (A:5:2, " ");

Za i:=1 do 3 uradi

Za j:=1 do 5 do

B[i]:=B[i]+Y[j]*FI(i,j);

writeln("____________________");

writeln('Matrica koeficijenta Bi ");

Za i:=1 do 3 uradi

napisati(B[i]:5:2, " ");

za i:=1 do 2 do

za k:=i+1 do 3 do

Q:=a/a; writeln("g=",Q);

za j:=i+1 do 3 do

a:=a-Q*a; writeln("a=",a);

b[k]:=b[k]-Q*b[i]; writeln("b=",b[k]);

x1[n]:=b[n]/a;

za i:=2 do 1 do

za j:=i+1 do 3 do

zbroj:=zbir-a*x1[j];

x1[i]:=zbroj/a;

writeln("____________________");

writeln("vrijednost koeficijenata");

writeln("_________________________");

za i:=1 do 3 do

writeln("C",i,"=",x1[i]);

za i:=1 do 5 do

y1[i]:= x1[k]*FI(k,i) + x1*FI(k+1,i) + x1*FI(k+2,i);

delta[i]:=abs(y[i]-y1[i]);

writeln(y1[i]);

za i:=1 do 3 do

napisati(x1[i]:7:3);

za i:=1 do 5 do

ako je delta[i]>maxD onda maxD:=delta;

writeln("max Delta= ", maxD:5:3);

5 . Rezultati mašinskog proračuna

C 1 \u003d 1,511; C 2 = -1,237; C 3 = -1,11;

Zaključak

Tokom rada na kursu, praktično sam savladao tipične računske metode primenjene matematike, unapredio svoje veštine u razvoju algoritama i izradi programa na jezicima visokog nivoa. Stekla vještine koje su osnova za korištenje računskih metoda primijenjene matematike i tehnika programiranja u procesu izučavanja svih narednih disciplina na predmetnim i diplomskim projektima.

Koja nalazi najširu primenu u raznim oblastima nauke i prakse. To može biti fizika, hemija, biologija, ekonomija, sociologija, psihologija i tako dalje i tako dalje. Voljom sudbine često moram da se bavim ekonomijom i zato ću danas za vas organizovati kartu za neverovatnu zemlju tzv. Ekonometrija=) … Kako to ne želiš?! Tamo je jako dobro - samo morate odlučiti! …Ali ono što sigurno želite je naučiti kako rješavati probleme najmanjih kvadrata. A posebno marljivi čitaoci naučiće da ih rešavaju ne samo precizno, već i VEOMA BRZO ;-) Ali prvo opšta izjava o problemu+ povezani primjer:

Neka se proučavaju indikatori u nekoj predmetnoj oblasti koji imaju kvantitativni izraz. Istovremeno, postoje svi razlozi za vjerovanje da indikator ovisi o indikatoru. Ova pretpostavka može biti i naučna hipoteza i zasnovana na elementarnom zdravom razumu. Ostavimo, međutim, nauku po strani i istražimo privlačnija područja – naime, trgovine prehrambenim proizvodima. Označiti sa:

– maloprodajni prostor prehrambene radnje, m2,
- godišnji promet trgovine prehrambenim proizvodima, milion rubalja.

Sasvim je jasno da što je veća površina radnje, veći je njen promet u većini slučajeva.

Pretpostavimo da nakon provođenja promatranja / eksperimenata / proračuna / plesa s tamburom imamo na raspolaganju numeričke podatke:

Sa prehrambenim prodavnicama mislim da je sve jasno: - ovo je površina 1. prodavnice, - njen godišnji promet, - površina 2. prodavnice, - njen godišnji promet itd. Usput, uopće nije potrebno imati pristup povjerljivim materijalima - prilično tačna procjena prometa može se dobiti pomoću matematičke statistike. Međutim, nemojte se ometati, kurs komercijalne špijunaže je već plaćen =)

Tabelarni podaci se također mogu zapisati u obliku tačaka i prikazati na uobičajen način za nas. Kartezijanski sistem .

Odgovorimo na jedno važno pitanje: koliko bodova je potrebno za kvalitativnu studiju?

Što veće, to bolje. Minimalni dozvoljeni skup se sastoji od 5-6 bodova. Osim toga, s malom količinom podataka, “nenormalni” rezultati ne bi trebali biti uključeni u uzorak. Tako, na primjer, mala elitna radnja može pomoći redovima veličine više od "njihovih kolega", čime se iskrivljuje opći obrazac koji treba pronaći!

Ako je sasvim jednostavno, moramo odabrati funkciju, raspored koji prolazi što bliže tačkama . Takva funkcija se zove aproksimirajući (aproksimacija - aproksimacija) ili teorijska funkcija . Uopšteno govoreći, ovde se odmah pojavljuje očigledan "pretendent" - polinom visokog stepena, čiji graf prolazi kroz SVE tačke. Ali ova opcija je komplikovana i često jednostavno netočna. (jer će grafikon stalno "vijati" i loše odražavati glavni trend).

Dakle, željena funkcija mora biti dovoljno jednostavna i istovremeno adekvatno odražavati ovisnost. Kao što možete pretpostaviti, jedna od metoda za pronalaženje takvih funkcija se zove najmanjih kvadrata. Prvo, analizirajmo njegovu suštinu na opći način. Neka neka funkcija aproksimira eksperimentalne podatke:

Kako ocijeniti tačnost ove aproksimacije? Izračunajmo i razlike (odstupanja) između eksperimentalne i funkcionalne vrijednosti (učimo crtež). Prva misao koja vam pada na pamet je procijeniti koliki je iznos, ali problem je što razlike mogu biti negativne. (na primjer, ) a odstupanja kao rezultat takvog zbrajanja će se poništiti. Stoga, kao procjenu tačnosti aproksimacije, predlaže se uzeti zbir moduli odstupanja:

ili u presavijenom obliku: (odjednom, ko ne zna: je ikona zbroja, i pomoćna varijabla-„brojač“, koja uzima vrijednosti od 1 do ).

Aproksimacijom eksperimentalnih tačaka različitim funkcijama dobićemo različite vrijednosti , a očito je da je ta funkcija tačnija tamo gdje je ovaj zbir manji.

Takav metod postoji i zove se metoda najmanjeg modula. Međutim, u praksi je postao mnogo rašireniji. metoda najmanjeg kvadrata, u kojem se moguće negativne vrijednosti eliminiraju ne modulom, već kvadriranjem odstupanja:

, nakon čega se napori usmjeravaju na izbor takve funkcije da je zbir kvadrata odstupanja bio što manji. Zapravo, otuda i naziv metode.

A sada se vraćamo na još jednu važnu točku: kao što je gore navedeno, odabrana funkcija bi trebala biti prilično jednostavna - ali postoji i mnogo takvih funkcija: linearno , hiperbolično, eksponencijalna, logaritamski, kvadratni itd. I, naravno, ovdje bih odmah želio "smanjiti polje aktivnosti". Koju klasu funkcija odabrati za istraživanje? Primitivna, ali efikasna tehnika:

- Najlakši način za izvlačenje bodova na crtežu i analizirati njihovu lokaciju. Ako imaju tendenciju da budu u pravoj liniji, onda biste trebali potražiti jednačina prave linije sa optimalnim vrijednostima i . Drugim riječima, zadatak je pronaći TAKVE koeficijente - tako da zbir kvadrata odstupanja bude najmanji.

Ako se tačke nalaze, na primjer, uzduž hiperbola, onda je jasno da će linearna funkcija dati lošu aproksimaciju. U ovom slučaju tražimo najpovoljnije koeficijente za jednadžbu hiperbole - oni koji daju minimalni zbir kvadrata .

Sada primijetite da u oba slučaja govorimo funkcije dvije varijable, čiji su argumenti tražili opcije zavisnosti:

A u suštini, treba da rešimo standardni problem - da pronađemo minimum funkcije dvije varijable.

Prisjetite se našeg primjera: pretpostavimo da se tačke "prodavnice" obično nalaze u pravoj liniji i da postoji svaki razlog vjerovati u prisutnost linearna zavisnost promet iz oblasti trgovanja. Nađimo TAKVE koeficijente "a" i "be" tako da zbir kvadrata odstupanja bio najmanji. Sve kao i obično - prvo parcijalni derivati 1. reda. Prema pravilo linearnosti možete razlikovati odmah ispod ikone sume:

Ako želite da iskoristite ove informacije za esej ili seminarski rad, bit ću vam vrlo zahvalan na linku na listi izvora, tako detaljne proračune nećete naći nigdje:

Napravimo standardni sistem:

Svaku jednačinu smanjujemo za "dvojku" i, pored toga, "razbijamo" zbrojeve:

Bilješka : nezavisno analizirati zašto se "a" i "be" mogu izvući iz ikone zbira. Inače, formalno se to može učiniti sa sumom

Prepišimo sistem u "primijenjenom" obliku:

nakon čega se počinje crtati algoritam za rješavanje našeg problema:

Znamo li koordinate tačaka? Mi znamo. Sume možemo li naći? Lako. Sastavljamo najjednostavnije sistem dvije linearne jednadžbe sa dvije nepoznate("a" i "beh"). Rešavamo sistem, npr. Cramerova metoda, što rezultira stacionarnom točkom . Provjeravam dovoljan uslov za ekstrem, možemo potvrditi da je u ovom trenutku funkcija dopire precizno minimum. Provjera je povezana s dodatnim proračunima i stoga ćemo je ostaviti iza scene. (ako je potrebno, okvir koji nedostaje može se vidjeti). Izvlačimo konačan zaključak:

Funkcija najbolji način (barem u usporedbi s bilo kojom drugom linearnom funkcijom) približava eksperimentalne tačke . Grubo govoreći, njegov graf prolazi što je moguće bliže ovim tačkama. U tradiciji ekonometrija rezultirajuća aproksimirajuća funkcija se također poziva uparena jednačina linearne regresije .

Problem koji se razmatra je od velike praktične važnosti. U situaciji sa našim primjerom, jednadžba omogućava vam da predvidite kakav promet ("yig")će biti u trgovini s jednom ili drugom vrijednošću prodajnog područja (jedno ili drugo značenje "x"). Da, rezultirajuća prognoza će biti samo prognoza, ali će se u mnogim slučajevima pokazati prilično tačnom.

Analiziraću samo jedan problem sa "pravim" brojevima, pošto u tome nema poteškoća - svi proračuni su na nivou školskog programa u 7-8 razredima. U 95 posto slučajeva od vas će se tražiti da pronađete samo linearnu funkciju, ali na samom kraju članka pokazaću da nije teže pronaći jednadžbe za optimalnu hiperbolu, eksponent i neke druge funkcije.

U stvari, ostaje distribuirati obećane dobrote - tako da naučite kako riješiti takve primjere ne samo precizno, već i brzo. Pažljivo proučavamo standard:

Zadatak

Kao rezultat proučavanja odnosa između dva indikatora, dobijeni su sljedeći parovi brojeva:

Koristeći metodu najmanjih kvadrata, pronađite linearnu funkciju koja najbolje aproksimira empirijsku (iskusan) podaci. Napravite crtež na kojem, u kartezijanskom pravokutnom koordinatnom sistemu, nacrtajte eksperimentalne točke i graf aproksimirajuće funkcije . Pronađite zbroj kvadrata odstupanja između empirijskih i teorijskih vrijednosti. Saznajte je li funkcija bolja (u smislu metode najmanjih kvadrata) približne eksperimentalne tačke.

Imajte na umu da su vrijednosti "x" prirodne vrijednosti, a ovo ima karakteristično smisleno značenje, o čemu ću govoriti malo kasnije; ali one, naravno, mogu biti razlomke. Osim toga, ovisno o sadržaju određenog zadatka, i "X" i "G" vrijednosti mogu biti potpuno ili djelomično negativne. Pa, dobili smo „bezličan“ zadatak i počinjemo ga rješenje:

Nalazimo koeficijente optimalne funkcije kao rješenje sistema:

Za potrebe kompaktnijeg zapisivanja, varijabla "counter" se može izostaviti, jer je već jasno da se zbrajanje vrši od 1 do .

Pogodnije je izračunati potrebne količine u tabelarnom obliku:

Izračuni se mogu izvršiti na mikrokalkulatoru, ali je mnogo bolje koristiti Excel - i brže i bez grešaka; pogledajte kratak video:

Tako dobijamo sledeće sistem:

Ovdje možete pomnožiti drugu jednačinu sa 3 i oduzmi 2. od 1. jednačine član po član. Ali to je sreća - u praksi sistemi često nisu nadareni i u takvim slučajevima štedi Cramerova metoda:
, tako da sistem ima jedinstveno rješenje.

Hajde da proverimo. Razumijem da ne želim, ali zašto preskakati greške tamo gdje ih nikako ne možete propustiti? Zamijenite pronađeno rješenje u lijevu stranu svake jednačine sistema:

Dobijaju se pravi dijelovi odgovarajućih jednačina, što znači da je sistem ispravno riješen.

Dakle, željena aproksimirajuća funkcija: – od sve linearne funkcije eksperimentalni podaci se najbolje aproksimiraju.

Za razliku od ravno zavisnost prometa prodavnice od njene površine, pronađena zavisnost je obrnuto (princip "što više - manje"), a tu činjenicu odmah otkriva negativac ugaoni koeficijent. Funkcija obavještava nas da se povećanjem određenog pokazatelja za 1 jedinicu smanjuje vrijednost zavisnog indikatora prosjek za 0,65 jedinica. Kako kažu, što je viša cijena heljde, to se manje prodaje.

Da bismo nacrtali aproksimirajuću funkciju, nalazimo dvije njene vrijednosti:

i izvedite crtež:

Konstruirana linija se zove linija trenda (naime, linearna linija trenda, tj. u opštem slučaju, trend nije nužno ravna linija). Svima je poznat izraz "biti u trendu", a mislim da ovaj izraz ne treba dodatno komentarisati.

Izračunajte zbir kvadrata odstupanja između empirijskih i teorijskih vrijednosti. Geometrijski, ovo je zbir kvadrata dužina "grimiznih" segmenata (od kojih su dva tako mala da ih ne možete ni vidjeti).

Sumiramo proračune u tabeli:

Opet se mogu izvesti ručno, za svaki slučaj daću primjer za 1. točku:

ali mnogo je efikasnije uraditi već poznati način:

da ponovimo: šta je smisao rezultata? Od sve linearne funkcije funkcija eksponent je najmanji, odnosno najbolja je aproksimacija u svojoj porodici. I ovdje, usput, konačno pitanje problema nije slučajno: šta ako je predložena eksponencijalna funkcija da li će biti bolje aproksimirati eksperimentalne tačke?

Nađimo odgovarajući zbir kvadrata odstupanja - da ih razlikujemo, označit ću ih slovom "epsilon". Tehnika je potpuno ista:

I opet za svaki proračun požara za 1. tačku:

U Excelu koristimo standardnu funkciju EXP (Sintaksa se može naći u Excel pomoći).

Zaključak: , pa eksponencijalna funkcija aproksimira eksperimentalne tačke lošije od prave linije .

Ali ovdje treba napomenuti da je "gore". ne znači još, šta nije uredu. Sada sam napravio graf ove eksponencijalne funkcije - i ona takođe prolazi blizu tačaka - toliko da je bez analitičke studije teško reći koja je funkcija tačnija.

Time je rješenje završeno i vraćam se na pitanje prirodnih vrijednosti argumenta. U raznim studijama, po pravilu, ekonomskim ili sociološkim, mjeseci, godine ili drugi jednaki vremenski intervali se numerišu prirodnim "X". Razmotrite, na primjer, takav problem.

APROKSIMIRANJE FUNKCIJE NAJMANJOM METODOM

SQUARE

1. Svrha rada

2. Smjernice

2.2 Izjava o problemu

2.3 Metoda za izbor aproksimativne funkcije

2.4 Opća tehnika rješenja

2.5 Tehnika rješavanja normalnih jednačina

2.7 Metoda za izračunavanje inverzne matrice

3. Ručni račun

3.1 Početni podaci

3.2 Sistem normalnih jednačina

3.3 Rješavanje sistema metodom inverzne matrice

4. Šema algoritama

5. Tekst programa

6. Rezultati mašinskog proračuna

1. Svrha rada

Ovaj nastavni rad je završni dio discipline "Računarska matematika i programiranje" i zahtijeva od studenta da u procesu realizacije riješi sljedeće zadatke:

a) praktični razvoj tipičnih računskih metoda primijenjene informatike; b) poboljšanje vještina razvoja algoritama i izgradnje programa na jeziku visokog nivoa.

Praktična realizacija nastavnog rada podrazumeva rešavanje tipičnih inženjerskih problema obrade podataka primenom metoda matrične algebre, rešavanje sistema linearnih algebarskih jednačina numeričke integracije. Vještine stečene u procesu izvođenja kursa su osnova za korištenje računskih metoda primijenjene matematike i tehnika programiranja u procesu izučavanja svih narednih disciplina na predmetnim i diplomskim projektima.

2. Smjernice

2.2 Izjava o problemu

Prilikom proučavanja zavisnosti između veličina važan zadatak je približna reprezentacija (aproksimacija) ovih zavisnosti korišćenjem poznatih funkcija ili njihovih kombinacija, odabranih na odgovarajući način. Pristup ovakvom problemu i konkretan način njegovog rješavanja određeni su izborom korištenog kriterija kvalitete aproksimacije i oblikom prikaza početnih podataka.

2.3 Metoda za izbor aproksimativne funkcije

Aproksimirajuća funkcija se bira iz određene porodice funkcija za koje je određen oblik funkcije, ali njeni parametri ostaju nedefinirani (i moraju se odrediti), tj.

Definicija aproksimirajuće funkcije φ podijeljena je u dvije glavne faze:

Odabir odgovarajuće vrste funkcije;

Pronalaženje njegovih parametara u skladu s kriterijem najmanjih kvadrata.

Odabir tipa funkcije je složen problem koji se rješava probnim i uzastopnim aproksimacijama. Početni podaci predstavljeni u grafičkom obliku (familije tačaka ili krive) upoređuju se sa familijom grafova brojnih tipičnih funkcija koji se obično koriste u svrhu aproksimacije. Neke vrste funkcija koje se koriste u seminarskom radu prikazane su u tabeli 1.

2.4 Opća tehnika rješenja

Sljedeće se svodi na pronalaženje minimuma ove funkcije varijabli S k ; određivanje vrijednosti C k =C k * , k=1,m, koje odgovaraju ovom elementu I, i predstavlja cilj problema koji se rješava.

Tipovi funkcija Tablica 1

Vrsta funkcije	Naziv funkcije
	Linearno
Y \u003d C 1 + C 2 x + C 3 x 2	Kvadratno (parabolično)
	Racionalno (polinom n-tog stepena)
	obrnuto proporcionalno
	Racionalni razlomak snage
	Razlomno-racionalno (prvog stepena)
Y=C 1 +C 2 X C3	Snaga
Y=C 1 +C 2 a C3 x	Demonstracija
Y=C 1 +C 2 log a x	logaritamski
Y \u003d C 1 + C 2 X n (0	Iracionalno, algebarsko
Y=C 1 sinx+C 2 cosx	Trigonometrijske funkcije (i njihovi inverzi)

2.5 Tehnika rješavanja normalnih jednačina

Sistem od n linearnih jednačina opšteg oblika:

(4) može se napisati korištenjem matrice u sljedećem obliku: A X=B,

; ; (5)

kvadratna matrica A se zove sistemska matrica, i vektori X i B, respektivno vektor kolone nepoznatih sistema i vektor stupaca njegovih slobodnih članova.

U matričnom obliku, originalni sistem od n linearnih jednačina se također može napisati na sljedeći način:

2.7 Metoda za izračunavanje inverzne matrice

gdje je A -1 matrica definirana na sljedeći način.

Neka je A n x n kvadratna matrica sa nenultom determinantom detA≠0. Tada postoji inverzna matrica R=A -1 definisana uslovom A R=E,

gdje je E matrica identiteta, čiji su svi elementi glavne dijagonale jednaki I, a elementi izvan ove dijagonale su -0, E=, gdje je E i vektor stupac. Matrica K je kvadratna matrica veličine n x n.

gdje je Rj vektor stupac.

Dakle, inverzna matrica R je skup rješenja za n sistema linearnih jednačina

A Rm=Em , 1≤ m ≤ n.

3. Ručni račun

3.1 Početni podaci

Xi	0,3	0,5	0,7	0,9	1,1
Yi	1,2	0,7	0,3	-0,3	-1,4

3.2 Sistem normalnih jednačina

3.3 Rješavanje sistema metodom inverzne matrice

aproksimacija kvadratna funkcija linearna jednadžba

5 3,5 2,6 0,5 5 3,5 2,6 0,5

3,5 2,85 2,43 -0,89 0 0,4 0,61 -1,24

2,56 2,43 2,44 -1,86 0 0,638 1,109 -2,116

0 0,4 0,61 -1,24

0 0 0,136 -0,138

Rezultati proračuna:

C 1 =1,71; C 2 = -1,552; C 3 \u003d -1,015;

Funkcija aproksimacije:

4 . Tekst programa

masa=niz realnih;

masa1=niz realnih;

masa2=niz realnih;

X, Y, E, y1, delta: masa;

big,r,sum,temp,maxD,Q:real;

i,j,k,l,num: bajt;

ProcedureVOD(var E: masa);

Za i:=1 do 5 uradi

Funkcija FI(i,k: cijeli broj): realna;

ako je i=1 onda FI:=1;

ako je i=2 onda FI:=Sin(x[k]);

ako je i=3 onda FI:=Cos(x[k]);

Procedura PEREST(i:integer;var a:mass1;var b:mass2);

za l:= i do 3 do

ako je abs(a) > veliki onda

big:=a; pisati (veliko:6:4);

writeln("Permutiranje jednadžbi");

ako broj<>ja onda

za j:=i do 3 do

a:=a;

writeln("Unesite X vrijednosti");

writeln("_______________");

writeln("‚Unesite Y vrijednosti");

writeln("_______________");

Za i:=1 do 3 uradi

Za j:=1 do 3 do

Za k:=1 do 5 do

započeti A:= A+FI(i,k)*FI(j,k); napisati(a:7:5); kraj;

writeln("__________________________");

writeln("Matrica koeficijenata Ai,j");

Za i:=1 do 3 uradi

Za j:=1 do 3 do

napisati (A:5:2, " ");

Za i:=1 do 3 uradi

Za j:=1 do 5 do

B[i]:=B[i]+Y[j]*FI(i,j);

writeln("____________________");

writeln('Matrica koeficijenta Bi ");

Za i:=1 do 3 uradi

napisati(B[i]:5:2, " ");

za i:=1 do 2 do

za k:=i+1 do 3 do

Q:=a/a; writeln("g=",Q);

za j:=i+1 do 3 do

a:=a-Q*a; writeln("a=",a);

b[k]:=b[k]-Q*b[i]; writeln("b=",b[k]);

x1[n]:=b[n]/a;

za i:=2 do 1 do

za j:=i+1 do 3 do

zbroj:=zbir-a*x1[j];

x1[i]:=zbroj/a;

writeln("____________________");

writeln("vrijednost koeficijenata");

writeln("_________________________");

za i:=1 do 3 do

writeln("C",i,"=",x1[i]);

za i:=1 do 5 do

y1[i]:= x1[k]*FI(k,i) + x1*FI(k+1,i) + x1*FI(k+2,i);

delta[i]:=abs(y[i]-y1[i]);

writeln(y1[i]);

za i:=1 do 3 do

napisati(x1[i]:7:3);

za i:=1 do 5 do

ako je delta[i]>maxD onda maxD:=delta;

writeln("max Delta= ", maxD:5:3);

5 . Rezultati mašinskog proračuna

C 1 \u003d 1,511; C 2 = -1,237; C 3 = -1,11;