Datum objave: 2016-03-23

Kratki opis: ...

PRIMJERI RJEŠAVANJA JEDNAČINA POMOĆU NEKIH ORIGINALNIH TEHNIKA.

1
. Rješenje iracionalne jednačine.

1. Metoda zamjene.

1.1.1 Riješite jednačinu .

Imajte na umu da su predznaci x ispod radikala različiti. Uvodimo notaciju

, .

onda,

Izvršimo sabiranje po članu oba dijela jednačine.

I imamo sistem jednačina

Jer a + b = 4, dakle

Z glasi: 9 - x \u003d 8  x \u003d 1. Odgovor: x \u003d 1.

1.1.2. Riješite jednačinu .

Uvodimo notaciju: , ; , .

znači:

Dodajući pojam po član lijevu i desnu stranu jednačine, imamo .

I imamo sistem jednačina

a + b = 2, , , ,

Vratimo se na sistem jednačina:

, .

Nakon što smo riješili jednačinu za (ab), imamo ab = 9, ab = -1 (-1 strani korijen, jer , .).

Ovaj sistem nema rješenja, tako da ni originalna jednačina nema rješenja.

Odgovor: nema rješenja.

1. 1. Riješite jednačinu: .

Uvodimo notaciju , gdje . Zatim , .

, ,

Razmotrite tri slučaja:

1) . 2) . 3) .

A + 1 - a + 2 = 1, a - 1 - a + 2 = 1, a - 1 + a - 2 \u003d 1, a \u003d 1, 1  [ 0; 1). [ jedan ; 2). a = 2.

Rješenje: [ 1 ; 2].

Ako a , zatim , , .

odgovor: .

1.2. Metoda ocjenjivanja lijevog i desnog dijela (metoda majoranta).

Majorantna metoda je metoda za pronalaženje ograničenosti funkcije.

Majorizacija - pronalaženje tačaka ograničenja funkcije. M je majorant.

Ako imamo f(x) = g(x) i ODZ je poznat, i ako

, , onda

1. 1. Riješite jednačinu: .

ODZ: .

Razmislite desna strana jednačine.

Hajde da predstavimo funkciju. Graf je parabola sa vrhom A(3 ; 2).

Najmanja vrijednost funkcije y(3) = 2, tj.

Razmotrimo lijevu stranu jednačine.

Hajde da predstavimo funkciju. Koristeći derivaciju, lako je pronaći maksimum funkcije koja je diferencibilna na x  (2 ; 4).

At ,

X=3.

G` + -

2 3 4

g(3) = 2.

Imamo .

Kao rezultat, onda

Hajde da sastavimo sistem jednačina na osnovu gore navedenih uslova:

Rješavajući prvu jednačinu sistema, imamo x = 3. Zamjenom ove vrijednosti u drugu jednačinu, osiguravamo da je x = 3 rješenje sistema.

Odgovor: x = 3.

1.3. Primjena monotonosti funkcije.

1.3.1. Riješite jednačinu:

O DZ: , jer  .

Poznato je da je zbir rastućih funkcija rastuća funkcija.

Lijeva strana je rastuća funkcija. Desna strana je linearna funkcija (k=0). Grafička interpretacija sugerira da je korijen jedinstven. Nalazimo ga odabirom, imamo x = 1.

dokaz:

Pretpostavimo da onda postoji korijen x 1 veći od 1

Jer x 1 >1,

.Zaključujemo da nema korijena većeg od jedan.

Slično, može se dokazati da nema korijena manjeg od jedan.

Dakle, x=1 je jedini korijen.

Odgovor: x = 1.

1.3.2. Riješite jednačinu:

O DZ-u: [ 0,5 ; + ), jer one. .

Hajde da transformišemo jednačinu,

Lijeva strana je rastuća funkcija (proizvod rastućih funkcija), desna je linearna funkcija (k = 0). Geometrijska interpretacija pokazuje da originalna jednadžba mora imati jedan korijen koji se može naći uklapanjem, x = 7.

pregled:

Može se dokazati da nema drugih korijena (vidi primjer iznad).

Odgovor: x = 7.

2. Logaritamske jednadžbe.

1. Metoda za procjenu lijevog i desnog dijela.

2.1.1. Riješite jednačinu: log 2 (2x - x 2 + 15) = x 2 - 2x + 5.

Procijenimo lijevu stranu jednačine.

2x - x 2 + 15 = - (x 2 - 2x - 15) = - ((x 2 - 2x + 1) - 1 - 15) \u003d - (x - 1) 2 + 16  16.

Zatim log 2 (2x - x 2 + 15)  4.

Procijenimo desnu stranu jednačine.

x 2 - 2x + 5 = (x 2 - 2x + 1) - 1 + 5 = (x - 1) 2 + 4  4.

Originalna jednadžba može imati rješenje samo ako su obje strane jednake četiri.

Sredstva

Odgovor: x = 1.

Za samostalan rad.

2.1.2. log 4 (6x - x 2 + 7) = x 2 - 6x + 11 Odgovor: x \u003d 3.

2.1.3. log 5 (8x - x 2 + 9) = x 2 - 8x + 18 Odgovor: x \u003d 6.

2.1.4. log 4 (2x - x 2 + 3) \u003d x 2 - 2x + 2 Odgovor: x \u003d 1.

2.1.5. log 2 (6x - x 2 - 5) \u003d x 2 - 6x + 11 Odgovor: x \u003d 3.

2.2. Koristeći monotonost funkcije, odabir korijena.

2.2.1. Riješite jednačinu: log 2 (2x - x 2 + 15) = x 2 - 2x + 5.

Napravimo promjenu 2x - x 2 + 15 = t, t>0. Tada je x 2 - 2x + 5 = 20 - t, onda

log 2 t = 20 - t .

Funkcija y = log 2 t raste, a funkcija y = 20 - t opada. Geometrijska interpretacija nam omogućava da shvatimo da originalna jednadžba ima jedan korijen, koji nije teško pronaći odabirom t = 16.

Rješavajući jednačinu 2x - x 2 + 15 = 16, nalazimo da je x = 1.

Provjerava se da li je odabrana vrijednost ispravna.

Odgovor: x = 1.

2.3. Neke "zanimljive" logaritamske jednadžbe.

2.3.1. Riješite jednačinu .

ODZ: (x - 15) cosx > 0.

Pređimo na jednačinu

, , ,

Pređimo na ekvivalentnu jednačinu

(x - 15) (cos 2 x - 1) = 0,

x - 15 = 0, ili cos 2 x = 1 ,

x = 15. cos x = 1 ili cos x = -1,

x=2  k, k Z . x =  + 2 l, l Z.

Provjerimo pronađene vrijednosti tako što ćemo ih zamijeniti u ODZ.

1) ako je x = 15, tada (15 - 15) cos 15 > 0,

0 > 0 je pogrešno.

x = 15 - nije korijen jednadžbe.

2) ako je x = 2  k, k Z, zatim (2  k - 15) l > 0,

2 k > 15, imajte na umu da je 15  5 . Imamo

k > 2,5, k Z,

k = 3, 4, 5, … .

3) ako je x =  + 2 l, l Z, zatim ( + 2 l - 15) (- 1) > 0,

 + 2  l< 15,

2 l< 15 -  , заметим, что 15  5  .

Imamo: l< 2,

l = 1, 0 , -1, -2,… .

Odgovor: x = 2  k (k = 3,4,5,6,…); x \u003d  +2 1 (1 = 1,0, -1, - 2, ...).

3. Trigonometrijske jednadžbe.

3.1. Metoda za procjenu lijevog i desnog dijela jednačine.

4.1.1. Riješite jednačinu cos3x cos2x = -1.

Prvi način..

0,5 (cos x+ cos 5 x) = -1, cos x+ cos 5 x = -2.

Jer cos x - 1 , cos 5 x - 1, zaključujemo da je cos x+ cos 5 x> -2, dakle

prati sistem jednačina

c os x = -1,

cos 5 x = - 1.

Rješavanje jednačine cos x= -1, dobijamo X=  + 2 k, gdje je k Z.

Ove vrijednosti X takođe su rešenja cos jednačine 5x= -1, jer

cos 5 x= cos 5 ( + 2  k) = cos ( + 4  + 10  k) = -1.

Na ovaj način, X=  + 2 k, gdje je k Z , su sva rješenja sistema, a time i originalna jednačina.

odgovor: X=  (2k + 1), k Z.

Drugi način.

Može se pokazati da skup sistema slijedi iz originalne jednačine

cos 2 x = - 1,

cos 3 x = 1.

cos 2 x = 1,

cos 3 x = - 1.

Rješavajući svaki sistem jednačina, nalazimo uniju korijena.

Odgovor: x = (2  do + 1), k Z.

Za samostalan rad.

Riješite jednačine:

3.1.2. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = 7. Odgovor: nema rješenja.

3.1.3. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = -8. Odgovor: nema rješenja.

3.1.4. 3 cos 3x + cos x = 4. Odgovor: x = 2 do, k Z.

3.1.5. sin x sin 3 x = -1. Odgovor: x = /2 +  do, k Z.

3.1.6. cos 8 x + sin 7 x = 1. Odgovor: x = m, m Z; x = /2 + 2  n, n Z.

Opštinska obrazovna ustanova

"Kudinskaja srednja škola br. 2"

Načini rješavanja iracionalnih jednačina

Završila: Egorova Olga,

Supervizor:

Učitelju

matematika,

viša kvalifikacija

Uvod....……………………………………………………………………………………… 3

Odjeljak 1. Metode rješavanja iracionalnih jednačina…………………………………6

1.1 Rješavanje iracionalnih jednačina dijela C……….….….…………21

Odjeljak 2. Individualni zadaci…………………………………………….....………...24

Odgovori………………………………………………………………………………………….25

Bibliografija…….…………………………………………………………………….26

Uvod

Matematičko obrazovanje stekao u opšteobrazovna škola, je bitna komponenta opšte obrazovanje i zajednička kultura savremeni čovek. Gotovo sve što okružuje modernu osobu je na ovaj ili onaj način povezano s matematikom. ALI nedavna dostignuća u fizici, inženjerstvu i informacionim tehnologijama ne ostavljaju nikakvu sumnju da će u budućnosti stanje ostati isto. Stoga se rješavanje mnogih praktičnih problema svodi na rješavanje razne vrste jednadžbe da naučite kako ih riješiti. Jedna od ovih vrsta su iracionalne jednačine.

Iracionalne jednadžbe

Jednačina koja sadrži nepoznatu (ili racionalnu algebarski izraz od nepoznatog) pod znakom radikala, naziva se iracionalna jednačina. U elementarnoj matematici rješenja iracionalnih jednačina traže se u skupu realnih brojeva.

Svaka iracionalna jednadžba uz pomoć elementarnih algebarskih operacija (množenje, dijeljenje, podizanje oba dijela jednačine na cijeli broj) može se svesti na racionalnu algebarsku jednačinu. U ovom slučaju, treba imati na umu da se rezultirajuća racionalna algebarska jednadžba može pokazati neekvivalentnom originalnoj iracionalnoj jednadžbi, naime može sadržavati "dodatne" korijene koji neće biti korijeni izvorne ir racionalna jednačina. Stoga, nakon pronalaženja korijena dobivene racionalne algebarske jednadžbe, potrebno je provjeriti da li će svi korijeni racionalne jednadžbe biti korijeni iracionalne jednadžbe.

Uopšteno govoreći, teško je bilo šta navesti univerzalna metoda rješenje bilo koje iracionalne jednadžbe, budući da je poželjno da se kao rezultat transformacije izvorne iracionalne jednadžbe ne dobije samo neka vrsta racionalne algebarske jednadžbe među čijim korijenima će biti korijeni ove iracionalne jednadžbe, već racionalna algebarska jednadžba formirana od polinoma najmanjeg mogućeg stepena. Želja da se dobije ta racionalna algebarska jednadžba formirana od polinoma najmanjeg mogućeg stepena je sasvim prirodna, jer pronalaženje svih korijena racionalne algebarske jednadžbe samo po sebi može biti prilično težak zadatak, koji možemo u potpunosti riješiti samo u vrlo ograničenom broju. slučajeva.

Vrste iracionalnih jednačina

Rješavanje iracionalnih jednačina parnog stepena uvijek uzrokuje više problema nego rješenje iracionalnih jednačina neparnog stepena. Prilikom rješavanja iracionalnih jednačina neparnog stepena ODZ se ne mijenja. Stoga ćemo u nastavku razmotriti iracionalne jednačine čiji je stepen paran. Postoje dvije vrste iracionalnih jednačina:

2..

Razmotrimo prvu od njih.

odz jednadžba: f(x)≥ 0. U ODZ-u, lijeva strana jednačine je uvijek nenegativna, tako da rješenje može postojati samo kada g(x)≥ 0. U ovom slučaju, obje strane jednačine nisu negativne, a eksponencijacija 2 n daje ekvivalentna jednačina. Shvatili smo to

Obratimo pažnju na činjenicu da dok ODZ se izvodi automatski, i ne možete ga napisati, već uslovg(x) ≥ 0 mora se provjeriti.

Bilješka: Ovo je veoma važan uslov ekvivalencija. Prvo, to studenta oslobađa potrebe da istražuje, a nakon pronalaženja rješenja provjeri uvjet f(x) ≥ 0 - nenegativnost korijenskog izraza. Drugo, fokusira se na provjeru stanjag(x) ≥ 0 su nenegativnost desne strane. Na kraju krajeva, nakon kvadriranja, jednadžba je riješena odnosno dvije jednadžbe se rješavaju odjednom (ali na različitim intervalima numeričke ose!):

1. - gdje g(x)≥ 0 i

2. - gdje je g(x) ≤ 0.

U međuvremenu, mnogi, prema školskoj navici pronalaženja ODZ-a, rade upravo suprotno kada rješavaju takve jednadžbe:

a) provjeriti, nakon pronalaženja rješenja, uslov f(x) ≥ 0 (koji je automatski zadovoljen), napraviti aritmetičke greške i dobiti netačan rezultat;

b) zanemariti uslovg(x) ≥ 0 - i opet odgovor može biti pogrešan.

Bilješka: Uslov ekvivalencije je posebno koristan pri rješavanju trigonometrijske jednačine, u kojem nalaz ODZ vezano za odluku trigonometrijske nejednakosti, što je mnogo teže od rješavanja trigonometrijskih jednačina. Provjera parnih uvjeta u trigonometrijskim jednačinama g(x)≥ 0 nije uvijek lako izvesti.

Razmotrimo drugu vrstu iracionalnih jednačina.

. Neka jednačina . Njegov ODZ:

U ODZ-u obje strane su nenegativne, a kvadriranje daje ekvivalentnu jednačinu f(x) =g(x). Dakle, u ODZ-u odn

Ovom metodom rješenja dovoljno je provjeriti nenegativnost jedne od funkcija - možete odabrati jednostavniju.

Odjeljak 1. Metode rješavanja iracionalnih jednačina

1 metoda. Oslobađanje od radikala uzastopnim podizanjem obe strane jednačine na odgovarajuće prirodni stepen

Najčešće korišćena metoda za rešavanje iracionalnih jednačina je metoda oslobađanja od radikala sukcesivnim podizanjem oba dela jednačine na odgovarajući prirodni stepen. U ovom slučaju treba imati na umu da kada se oba dijela jednačine podignu na čak stepen rezultirajuća jednačina je ekvivalentna originalnoj, a kada se oba dijela jednačine podignu na paran stepen, rezultirajuća jednačina će, općenito govoreći, biti neekvivalentna izvornoj jednačini. Ovo se lako može provjeriti podizanjem obje strane jednadžbe na bilo koju parnu potenciju. Ova operacija rezultira jednačinom , čiji je skup rješenja unija skupova rješenja: https://pandia.ru/text/78/021/images/image013_50.gif" width="95" height="21 src=">. Međutim, uprkos ovaj nedostatak, to je postupak za podizanje oba dijela jednačine na neki (često paran) stepen koji je najčešći postupak za svođenje iracionalne jednačine na racionalnu jednačinu.

Riješite jednačinu:

Gdje su neki polinomi. Na osnovu definicije operacije vađenja korijena u skupu realnih brojeva, dopuštene vrijednosti nepoznate https://pandia.ru/text/78/021/images/image017_32.gif" width=" 123 visina=21" height="21">..gif " width="243" height="28 src=">.

Kako su oba dijela 1. jednadžbe kvadrirana, može se ispostaviti da neće svi korijeni 2. jednadžbe biti rješenja izvorne jednadžbe, potrebno je provjeriti korijene.

Riješite jednačinu:

https://pandia.ru/text/78/021/images/image021_21.gif" width="137" height="25">

Podignemo obje strane jednadžbe u kocku, dobivamo

S obzirom da https://pandia.ru/text/78/021/images/image024_19.gif" width="195" height="27">(Posljednja jednadžba može imati korijene koji, općenito govoreći, nisu korijeni jednačina ).

Podižemo obje strane ove jednadžbe na kocku: . Prepisujemo jednačinu u obliku x3 - x2 = 0 ↔ x1 = 0, x2 = 1. Provjerom utvrđujemo da je x1 = 0 vanjski korijen jednačine (-2 ≠ 1), a x2 = 1 zadovoljava originalna jednadžba.

odgovor: x = 1.

2 metoda. Zamena susednog sistema uslova

Prilikom rješavanja iracionalnih jednačina koje sadrže radikale parnog reda, odgovori se mogu pojaviti strani koreni koje nije uvek lako identifikovati. Da bi se lakše identifikovali i odbacili strani koreni, u toku rešavanja iracionalnih jednačina odmah se zamenjuje susednim sistemom uslova. Dodatne nejednakosti u sistemu zapravo uzimaju u obzir ODZ jednačine koja se rješava. ODZ možete pronaći zasebno i kasnije ga uzeti u obzir, ali je poželjno koristiti mješovite sisteme uslova: manja je opasnost da se nešto zaboravi, a da se to ne uzme u obzir u procesu rješavanja jednačine. Stoga je u nekim slučajevima racionalnije koristiti metodu prijelaza na mješovite sisteme.

Riješite jednačinu:

odgovor: https://pandia.ru/text/78/021/images/image029_13.gif" width="109 height=27" height="27">

Ova jednačina je jednako sistemu

odgovor: jednačina nema rješenja.

3 metoda. Koristeći svojstva n-tog korijena

Prilikom rješavanja iracionalnih jednačina koriste se svojstva korijena n-tog stepena. aritmetički korijen n- th stepeni iz među a pozvati broj koji nije negativan, n- i čiji je stepen jednak a. Ako a n-čak ( 2n), tada a ≥ 0, inače korijen ne postoji. Ako a n- neparan( 2 n+1), tada je a bilo koji i = - ..gif" width="45" height="19"> Zatim:

2.

3.

4.

5.

Primjenjujući bilo koju od ovih formula, formalno (bez uzimanja u obzir navedenih ograničenja), treba imati na umu da ODZ lijevog i desnog dijela svake od njih može biti različit. Na primjer, izraz je definiran sa f ≥ 0 i g ≥ 0, a izraz je kao u f ≥ 0 i g ≥ 0, kao i f ≤ 0 i g ≤ 0.

Za svaku od formula 1-5 (bez uzimanja u obzir navedenih ograničenja), ODZ njegovog desnog dijela može biti širi od ODZ lijevog. Iz toga slijedi da transformacije jednadžbe uz formalnu upotrebu formula 1-5 "s lijeva na desno" (kako su napisane) dovode do jednačine koja je posljedica izvorne. U ovom slučaju mogu se pojaviti strani korijeni originalne jednadžbe, pa je provjera obavezan korak u rješavanju izvorne jednačine.

Transformacije jednadžbi uz formalnu upotrebu formula 1-5 "s desna na lijevo" su neprihvatljive, jer je moguće procijeniti ODZ izvorne jednadžbe, a samim tim i gubitak korijena.

https://pandia.ru/text/78/021/images/image041_8.gif" width="247" height="61 src=">,

što je posledica originala. Rješenje ove jednadžbe svodi se na rješavanje skupa jednadžbi .

Iz prve jednadžbe ovog skupa nalazimo https://pandia.ru/text/78/021/images/image044_7.gif" width="89" height="27"> odakle nalazimo . Dakle, korijeni ova jednadžba može biti samo brojevi (-1) i (-2) Provjera pokazuje da oba pronađena korijena zadovoljavaju ovu jednačinu.

odgovor: -1,-2.

Riješite jednačinu: .

Rješenje: na osnovu identiteta, zamijenite prvi pojam sa . Imajte na umu da kao zbir dva nenegativna broja na lijevoj strani. “Uklonite” modul i, nakon donošenja sličnih članova, riješite jednačinu. Pošto , dobijamo jednačinu . Od i , zatim https://pandia.ru/text/78/021/images/image055_6.gif" width="89" height="27 src=">.gif" width="39" height="19 src= " >.gif" width="145" height="21 src=">

odgovor: x = 4,25.

4 metoda. Uvođenje novih varijabli

Drugi primjer rješavanja iracionalnih jednačina je način na koji se uvode nove varijable, u odnosu na koje se dobija ili jednostavnija iracionalna jednačina ili racionalna jednačina.

Rješenje iracionalnih jednadžbi zamjenom jednadžbe njenom posljedicom (uz naknadnu provjeru korijena) može se izvesti na sljedeći način:

1. Pronađite ODZ izvorne jednadžbe.

2. Idite od jednadžbe do njene posljedice.

3. Pronađite korijene rezultirajuće jednačine.

4. Provjerite jesu li pronađeni korijeni korijeni originalne jednadžbe.

Provjera je sljedeća:

A) provjerava se pripadnost svakog pronađenog korijena ODZ-a izvornoj jednadžbi. Oni korijeni koji ne pripadaju ODZ-u su strani za originalnu jednadžbu.

B) za svaki korijen koji je uključen u ODZ izvorne jednačine, provjerava se da li imaju identični znaci lijevi i desni dio svake od jednadžbi koje nastaju u procesu rješavanja izvorne jednačine i podižu se na paran stepen. Oni korijeni za koje imaju dijelovi bilo koje jednadžbe podignuti na paran stepen različiti znakovi, su strani za originalnu jednadžbu.

C) samo oni korijeni koji pripadaju ODZ-u izvorne jednadžbe i za koje oba dijela svake od jednadžbi koji nastaju u procesu rješavanja izvorne jednačine i podignuti na paran stepen imaju iste predznake provjeravaju se direktnom zamjenom u originalna jednačina.

Ovakva metoda rješenja sa naznačenom metodom verifikacije omogućava izbjegavanje glomaznih proračuna u slučaju direktne zamjene svakog od pronađenih korijena posljednje jednačine u originalni.

Riješite iracionalnu jednačinu:

.

Skup dozvoljenih vrijednosti ove jednadžbe:

Postavljanjem , nakon zamjene dobijamo jednačinu

ili njena ekvivalentna jednačina

što se može posmatrati kao kvadratna jednačina za . Rješavajući ovu jednačinu, dobijamo

.

Dakle, skup rješenja originalne iracionalne jednadžbe je unija skupova rješenja sljedeće dvije jednadžbe:

, .

Kockirajte obje strane svake od ovih jednadžbi i dobićemo dvije racionalne algebarske jednadžbe:

, .

Rješavajući ove jednačine, nalazimo da ova iracionalna jednačina ima jedan korijen x = 2 (nije potrebna provjera, jer su sve transformacije ekvivalentne).

odgovor: x = 2.

Riješite iracionalnu jednačinu:

Označimo 2x2 + 5x - 2 = t. Tada će originalna jednačina poprimiti oblik . Kvadriranjem oba dijela rezultirajuće jednačine i dovođenjem sličnih članova, dobijamo jednačinu , koja je posljedica prethodne. Iz toga nalazimo t=16.

Vraćajući se na nepoznato x, dobijamo jednačinu 2x2 + 5x - 2 = 16, koja je posljedica prvobitne. Provjerom se uvjeravamo da su njegovi korijeni x1 = 2 i x2 = - 9/2 korijeni izvorne jednadžbe.

odgovor: x1 = 2, x2 = -9/2.

5 metoda. Transformacija jednadžbe identiteta

Prilikom rješavanja iracionalnih jednačina ne treba započeti rješavanje jednadžbe dizanjem oba dijela jednadžbe na prirodni stepen, pokušavajući svesti rješenje iracionalne jednadžbe na rješavanje racionalne algebarske jednačine. Prvo, potrebno je vidjeti da li je moguće napraviti neku identičnu transformaciju jednačine, koja može značajno pojednostaviti njeno rješavanje.

Riješite jednačinu:

Skup važećih vrijednosti za ovu jednačinu: https://pandia.ru/text/78/021/images/image074_1.gif" width="292" height="45"> Podijelite ovu jednačinu sa .

.

Dobijamo:

Za a = 0, jednačina neće imati rješenja; za , jednačina se može napisati kao

jer ova jednačina nema rješenja, jer za bilo koje X, koji pripada skupu dozvoljenih vrijednosti jednadžbe, izraz na lijevoj strani jednačine je pozitivan;

kada jednačina ima rješenje

Uzimajući u obzir da je skup dopuštenih rješenja jednadžbe određen uvjetom , konačno dobivamo:

Prilikom rješavanja ove iracionalne jednadžbe, https://pandia.ru/text/78/021/images/image084_2.gif" width="60" height="19"> rješenje jednadžbe će biti . Za sve ostale vrijednosti X jednačina nema rješenja.

PRIMJER 10:

Riješite iracionalnu jednačinu: https://pandia.ru/text/78/021/images/image086_2.gif" width="381" height="51">

Rješenje kvadratna jednačina Sistem daje dva korena: x1 = 1 i x2 = 4. Prvi od dobijenih korena ne zadovoljava nejednakost sistema, dakle x = 4.

Bilješke.

1) Holding identične transformacije omogućava vam da radite bez provjere.

2) Nejednakost x - 3 ≥0 se odnosi na identične transformacije, a ne na domen jednačine.

3) Na lijevoj strani jednačine postoji opadajuća funkcija, a na desnoj strani ove jednačine rastuća funkcija. Grafovi opadajućih i rastućih funkcija na preseku njihovih domena definicije ne mogu imati više od jedne zajedničke tačke. Očigledno, u našem slučaju, x = 4 je apscisa presečne tačke grafova.

odgovor: x = 4.

6 metoda. Korištenje domene definicije funkcija pri rješavanju jednadžbi

Ova metoda je najefikasnija pri rješavanju jednačina koje uključuju funkcije https://pandia.ru/text/78/021/images/image088_2.gif" width="36" height="21 src="> i pronalaženju definicije njegovih površina (f)..gif" width="53" height="21"> .gif" width="88" height="21 src=">, tada treba provjeriti da li je jednadžba tačna na krajevima intervala, štaviše, ako je< 0, а b >0, tada je potrebno provjeriti intervale (a;0) i . Najmanji cijeli broj u E(y) je 3.

Odgovori: x = 3.

8 metoda. Primjena derivacije u rješavanju iracionalnih jednačina

Najčešće se pri rješavanju jednačina metodom derivacije koristi metoda procjene.

PRIMJER 15:

Riješite jednačinu: (1)

Rješenje: Pošto https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, ili (2). Razmotrite funkciju ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> uopšte i samim tim raste. Dakle, jednačina je ekvivalentna jednadžbi koja ima korijen koji je korijen originalne jednačine.

odgovor:

PRIMJER 16:

Riješite iracionalnu jednačinu:

Domen definicije funkcije je segment. Pronađite najveće i najmanju vrijednost vrijednosti ove funkcije na intervalu . Da bismo to učinili, nalazimo derivaciju funkcije f(x): https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Nađimo vrijednosti funkcije f(x) na krajevima segmenta i u tački : Dakle, Ali i, stoga, jednakost je moguća samo pod uslovom https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height="19 src=" > Provjera pokazuje da je broj 3 korijen ove jednadžbe.

odgovor: x = 3.

9 metoda. Funkcionalni

Na ispitima ponekad nude rješavanje jednadžbi koje se mogu napisati u obliku , gdje je određena funkcija.

Na primjer, neke jednadžbe: 1) 2) . Zaista, u prvom slučaju , u drugom slučaju . Stoga, riješite iracionalne jednadžbe koristeći sljedeću izjavu: ako je funkcija striktno rastuća na skupu X a za bilo koje , tada su jednadžbe, itd., ekvivalentne na skupu X .

Riješite iracionalnu jednačinu: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> striktno se povećava na setu R, i https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src=" > koji ima jedinstveni korijen Prema tome, ekvivalentna jednadžba (1) također ima jedinstveni korijen

odgovor: x = 3.

PRIMJER 18:

Riješite iracionalnu jednačinu: (1)

Po definiciji kvadratni korijen dobijamo da ako jednačina (1) ima korijene, onda oni pripadaju skupu https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width="163" height="47">. ( 2)

Uzmite u obzir funkciju https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> koja se striktno povećava na ovom skupu za bilo koji ..gif" width="100" visina ="41"> koja ima jedan korijen Dakle, i ekvivalentna mu na skupu X jednačina (1) ima jedan korijen

odgovor: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Rješenje: Ova jednačina je ekvivalentna mješoviti sistem

Realni brojevi. Aproksimacija realnih brojeva konačnim decimalnim razlomcima.

Realan ili realan broj je matematička apstrakcija koja je nastala iz potrebe za mjerenjem geometrijskog i fizičke veličine svijet oko sebe, kao i izvođenje operacija kao što su vađenje korijena, izračunavanje logaritama, rješavanje algebarske jednačine. Ako a cijeli brojevi nastali su u procesu brojanja, racionalni - iz potrebe da se operira s dijelovima cjeline, tada su realni brojevi namijenjeni mjerenju kontinuirane količine. Dakle, proširenje zalihe brojeva koji se razmatra dovelo je do skupa realnih brojeva, koji osim racionalnih, uključuje i druge elemente tzv. iracionalni brojevi .

Apsolutna greška i njena granica.

Neka postoji neka brojčana vrijednost, i numerička vrijednost, koji mu je dodijeljen, smatra se tačnim, a zatim pod greška približne vrijednosti numerička vrijednost (greška) razumjeti razliku između tačne i približne vrijednosti numeričke vrijednosti: . Greška može imati i pozitivne i negativne vrijednosti. Vrijednost se poziva poznata aproksimacija na tačnu vrijednost numeričke vrijednosti - bilo koji broj koji se koristi umjesto tačne vrijednosti. Protozoa kvantitativna mjera greška je apsolutna greška. Apsolutna greška približna vrijednost naziva se vrijednost, za koju se zna da je: Relativna greška i njena granica.

Kvalitet aproksimacije suštinski zavisi od prihvaćenih mernih jedinica i skala veličina, pa je preporučljivo povezati grešku veličine i njenu vrednost, za šta se uvodi pojam relativne greške. Relativna greška Približnom vrijednošću se naziva vrijednost za koju se zna da: . Relativna greška se često izražava u postocima. Upotreba relativne greške zgodne, posebno zato što ne zavise od skala veličina i mernih jedinica.

Iracionalne jednadžbe

Jednadžba u kojoj je varijabla sadržana pod znakom korijena naziva se iracionalnom. Prilikom rješavanja iracionalnih jednačina dobijena rješenja zahtijevaju provjeru, jer, na primjer, netačna jednakost pri kvadriranju može dati tačnu jednakost. Zaista, netačna jednakost kada je na kvadrat daje tačnu jednakost 1 2 = (-1) 2 , 1=1. Ponekad je zgodnije rješavati iracionalne jednačine korištenjem ekvivalentnih prijelaza.

Kvadratirajmo obje strane ove jednadžbe; Nakon transformacija, dolazimo do kvadratne jednadžbe; i stavimo ga.

Kompleksni brojevi. Radnje na kompleksne brojeve.

Kompleksni brojevi - proširenje skupa realnih brojeva, koji se obično označavaju. Bilo koji kompleksni broj se može predstaviti kao formalni zbir x + iy, gdje x i y- realni brojevi, i- imaginarna jedinica Kompleksni brojevi formiraju algebarski zatvoreno polje - to znači da je polinom stepena n sa kompleksnim koeficijentima ima tačno n kompleksni korijeni, odnosno fundamentalna teorema algebre je tačna. Ovo je jedan od glavnih razloga za široku upotrebu kompleksni brojevi in matematičko istraživanje. Osim toga, korištenje kompleksnih brojeva omogućava nam da jednostavno i kompaktno formuliramo mnoge matematički modeli primijenjen u matematička fizika i u prirodne nauke- elektrotehniku, hidrodinamiku, kartografiju, kvantna mehanika, teorija oscilacija i mnoge druge.

Poređenje a + bi = c + di znači da a = c i b = d(dva kompleksna broja su jednaka ako i samo ako su im realni i imaginarni dijelovi jednaki).

Dodatak ( a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i .

Oduzimanje ( a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d) i .

Množenje

Numerička funkcija. Načini postavljanja funkcije

U matematici numerička funkcija je funkcija čije su domene i vrijednosti podskupovi setovi brojeva- obično skupovi realnih brojeva ili skupovi kompleksnih brojeva.

Verbalno: Korištenje prirodni jezik Y je jednako cijeli dio od x. Analitički: Korištenje analitičke formule f (x) = x !

Grafički preko grafa Fragment grafa funkcije.

Tabelarno: korištenje tablice vrijednosti

Glavna svojstva funkcije

1) Opseg funkcije i opseg funkcija . Opseg funkcije x(promenljiva x) za koju je funkcija y=f(x) definisano.

Raspon funkcija y da funkcija prihvata. U osnovnoj matematici funkcije se proučavaju samo na skupu realnih brojeva.2 ) Funkcija nula) Monotonost funkcije . Povećanje funkcije Opadajuća funkcija . Ravnomjerna funkcija X f(-x) = f(x). neparna funkcija- funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koju X f(-x) = - f(x. Funkcija se poziva ograničeno neograničeno .7) Periodičnost funkcije. Funkcija f(x) - periodični period funkcije

Grafovi funkcija. Najjednostavnije transformacije grafova pomoću funkcije

Funkcija Graf- skup tačaka čije su apscise važeće vrijednosti argument x, a ordinate su odgovarajuće vrijednosti funkcije y .

Duž- raspored linearna funkcija y=ax+b. Funkcija y monotono raste za a > 0 i opada za a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)

Parabola- graf funkcije kvadratni trinom y \u003d ax 2 + bx + c. Ima vertikalna osa simetrija. Ako je a > 0, ima minimum ako je a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения sjekira 2 + bx + c \u003d 0

Hiperbola- graf funkcije. Kada se a > O nalazi u I i III kvartalu, kada je a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х (а >0) ili y - x (a< 0).

Logaritamska funkcija y = log a x(a > 0)

trigonometrijske funkcije. Prilikom konstruiranja trigonometrijskih funkcija koristimo se radian mjera uglova. Zatim funkcija y= grijeh x predstavljen grafikom (slika 19). Ova kriva se zove sinusoida .

Funkcija Graf y= cos x prikazano na sl. dvadeset; to je također sinusni val koji nastaje pomicanjem grafa y= grijeh x duž ose X lijevo od /2.

Osnovna svojstva funkcije. Monotonost, parnost, neparnost, periodičnost funkcija.

Opseg funkcije i opseg funkcija . Opseg funkcije je skup svih važećih valjanih vrijednosti argumenta x(promenljiva x) za koju je funkcija y=f(x) definisano.

Raspon funkcija je skup svih realnih vrijednosti y da funkcija prihvata.

U osnovnoj matematici funkcije se proučavaju samo na skupu realnih brojeva.2 ) Funkcija nula- je vrijednost argumenta pri kojoj je vrijednost funkcije jednaka nuli.3 ) Intervali konstantnosti funkcije- oni skupovi vrijednosti argumenata na kojima su vrijednosti funkcije samo pozitivne ili samo negativne.4 ) Monotonost funkcije .

Povećanje funkcije(u nekom intervalu) - funkcija za koju veća vrijednost argument iz ovog intervala odgovara većoj vrijednosti funkcije.

Opadajuća funkcija(u nekom intervalu) - funkcija u kojoj veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara manjoj vrijednosti funkcije.5 ) Parne (neparne) funkcije . Ravnomjerna funkcija- funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koju X iz domena definicije jednakost f(-x) = f(x). Raspored ravnomjerna funkcija simetrično oko y-ose. neparna funkcija- funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koju X iz domena definicije jednakost f(-x) = - f(x). Raspored neparna funkcija simetrično u odnosu na ishodište.6 ) Ograničene i neograničene funkcije. Funkcija se poziva ograničeno, ako postoji pozitivan broj M takav da je |f (x) | ≤ M za sve vrijednosti x. Ako takav broj ne postoji, onda funkcija postoji neograničeno .7) Periodičnost funkcije. Funkcija f(x) - periodični, ako postoji takav broj T koji nije nula da za bilo koje x iz domene funkcije vrijedi: f (x+T) = f (x). Takve najmanji broj pozvao period funkcije. Sve trigonometrijske funkcije su periodične. (Trigonometrijske formule).

Periodične funkcije. Pravila za pronalaženje glavnog perioda funkcije.

Periodična funkcija je funkcija koja ponavlja svoje vrijednosti nakon nekog perioda različitog od nule, tj. ne mijenja svoju vrijednost kada se argumentu doda fiksni broj različit od nule (perioda). Sve trigonometrijske funkcije su periodične. Grešite izjave o iznosu periodične funkcije: Zbir 2 funkcije sa uporedivim (čak i osnovnim) periodima T 1 i T 2 je funkcija s periodom LCM ( T 1 ,T 2). Iznos 2 kontinuirane funkcije sa nesamerljivim (čak i osnovnim) periodima je neperiodična funkcija. Ne postoje periodične funkcije jednaka konstanti, čiji su periodi nesamerljivi brojevi.

Iscrtavanje funkcija snage.

Funkcija napajanja. Ovo je funkcija: y = ax n, gdje a,n- trajno. At n= 1 dobijamo direktnu proporcionalnost : y =sjekira; at n = 2 - kvadratna parabola; at n = 1 - inverzna proporcionalnost ili hiperbola. Dakle, ove funkcije su posebni slučajevi funkcije moći. Znamo da je nulta snaga bilo kog broja osim nule jednaka 1, dakle, kada n = 0 funkcija snage pretvara u konstantna vrijednost: y =a, tj. njegov grafik je prava linija paralelna sa osom X, isključujući ishodište koordinata (molimo objasnite zašto?). Svi ovi slučajevi (sa a= 1) prikazani su na slici 13 ( n 0) i sl.14 ( n < 0). Отрицательные значения x se ovdje ne razmatraju, jer tada neke funkcije:

Inverzna funkcija

Inverzna funkcija- funkcija koja preokreće zavisnost izraženu ovom funkcijom. Funkcija je inverzna funkciji ako vrijede sljedeći identiteti: za sve za sve

Granica funkcije u točki. Osnovna svojstva granice.

Koren n-tog stepena i njegova svojstva.

N-ti korijen broja a je broj čiji je n-ti stepen jednak a.

Definicija: Aritmetički korijen n-tog stepena broja a je nenegativan broj, čiji je n-ti stepen jednak a.

Glavna svojstva korijena:

Stepen sa proizvoljnim stvarni indikator i njegove osobine.

Neka su dati pozitivan broj i proizvoljan realan broj. Broj se zove stepen, broj je osnova stepena, broj je eksponent.

Po definiciji se pretpostavlja:

Ako i - pozitivni brojevi, i - bilo koji realni brojevi, onda sljedeća svojstva:

.

.

Funkcija snage, njena svojstva i grafovi

Funkcija napajanja kompleksna varijabla f (z) = z n sa cjelobrojnim eksponentom određuje se korištenjem analitičkog nastavka slične funkcije realnog argumenta. Za to se koristi eksponencijalni oblik pisanja kompleksnih brojeva. funkcija stepena sa celobrojnim eksponentom je analitička u celoj kompleksnoj ravni, kao proizvod konačan broj instance mapiranja identiteta f (z) = z. Prema teoremi jedinstvenosti, ova dva kriterija su dovoljna za jedinstvenost rezultirajućeg analitičkog nastavka. Koristeći ovu definiciju, odmah možemo zaključiti da funkcija stepena kompleksne varijable ima značajne razlike u odnosu na njen realni parnjak.

Ovo je funkcija oblika , . Razmatraju se sljedeći slučajevi:

a). Ako onda . Tada , ; ako je broj paran, onda je funkcija paran (tj. za sve ); ako je broj neparan, tada je funkcija neparna (tj. za sve).

Eksponencijalna funkcija, njena svojstva i grafovi

Eksponencijalna funkcija- matematička funkcija.

U stvarnom slučaju, osnova stepena je neka nenegativna pravi broj, a argument funkcije je pravi eksponent.

U teoriji složene funkcije razmatrao više opšti slučaj, kada argument i eksponent mogu biti proizvoljan kompleksni broj.

U samom opšti pogled - u v, koju je uveo Leibniz 1695. godine.

Posebno je istaknut slučaj kada broj e služi kao osnova stepena. Takva funkcija se naziva eksponent (realan ili kompleksan).

Properties ; ; .

eksponencijalne jednačine.

Nastavimo direktno na eksponencijalne jednadžbe. Da bi se odlučila eksponencijalna jednačina potrebno je koristiti sljedeću teoremu: Ako su stepeni jednaki, a baze jednake, pozitivne i različite od jedinice, onda su i njihovi eksponenti jednaki. Dokažimo ovu teoremu: Neka je a>1 i a x =a y.

Dokažimo da je u ovom slučaju x=y. Pretpostavimo suprotno od onoga što se traži da se dokaže, tj. recimo da je x>y ili da je x<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо a х a y . Oba ova rezultata su u suprotnosti sa hipotezom teoreme. Dakle, x=y, što je trebalo dokazati.

Teorema je dokazana i za slučaj kada je 0 0 i a≠1.

eksponencijalne nejednakosti

Nejednakosti oblika (ili manje) za a(x) >0 a rješavaju se na osnovu svojstava eksponencijalne funkcije: for 0 < а (х) < 1 kada se poredi f(x) i g(x) predznak nejednakosti se mijenja i kada a(x) > 1- je sačuvan. Najteži slučaj za sjekira)< 0 . Ovdje možemo dati samo opću naznaku: odrediti na kojim vrijednostima X indikatori f(x) i g(x) biti cijeli brojevi i izaberite od njih one koji zadovoljavaju uvjet. Konačno, ako originalna nejednakost vrijedi za a(x) = 0 ili a(x) = 1(na primjer, kada nejednakosti nisu stroge), onda se ovi slučajevi također moraju uzeti u obzir.

Logaritmi i njihova svojstva

Logaritam broja b razumom a (od grčkog λόγος - "reč", "odnos" i ἀριθμός - "broj") se definiše kao pokazatelj stepena do kojeg se baza mora podići a da dobijem broj b. Oznaka: . Iz definicije slijedi da su unosi i ekvivalentni. Primjer: jer . Svojstva

Osnovni logaritamski identitet:

Logaritamska funkcija, njena svojstva i grafovi.

Logaritamska funkcija je funkcija oblika f (x) = log sjekira, definisano u

Domena:

Raspon vrijednosti:

Graf bilo koje logaritamske funkcije prolazi kroz tačku (1; 0)

Derivat logaritamske funkcije je:

Logaritamske jednačine

Jednačina koja sadrži varijablu pod znakom logaritma naziva se logaritamska jednačina. Najjednostavniji primjer logaritamske jednadžbe je jednadžba log a x \u003d b (gdje je a > 0, i 1). Njegova odluka x = a b .

Rješavanje jednadžbi na osnovu definicije logaritma, na primjer, jednadžbe log a x \u003d b (a\u003e 0, ali 1) ima rješenje x = a b .

metoda potenciranja. Pod potenciranjem se podrazumijeva prijelaz iz jednakosti koja sadrži logaritme u jednakost koja ih ne sadrži:

ako log a f (x) = log a g (x), onda f(x) = g(x), f(x) >0 ,g(x) >0 ,a > 0 , a 1 .

Metoda za svođenje logaritamske jednadžbe na kvadratnu.

Metoda uzimanja logaritma oba dijela jednačine.

Metoda za svođenje logaritama na istu bazu.

Logaritamske nejednakosti.

Nejednakost koja sadrži varijablu samo pod znakom logaritma naziva se logaritamskom: log a f (x) > log a g (x).

Prilikom rješavanja logaritamskih nejednačina treba voditi računa o općim svojstvima nejednačina, svojstvu monotonosti logaritamske funkcije i njenom domenu definicije. Nejednakost log a f (x) > log a g (x) je jednako sistemu f (x) > g (x) > 0 za a > 1 i sistem 0 < f (x) < g (x) при 0 < а < 1 .

Radijansko mjerenje uglova i lukova. Sinus, kosinus, tangent, kotangens.

stepen mjere. Ovdje je jedinica mjere stepen ( oznaka ) - je rotacija snopa za 1/360 jednog punog obrtaja. Dakle, puna rotacija snopa je 360. Jedan stepen se sastoji od 60 minuta ( njihova oznaka ‘); jedan minut - odnosno od 60 sekundi ( označeno sa ").

radijanska mjera. Kao što znamo iz planimetrije (vidi paragraf "Dužina luka" u odeljku "Lokus tačaka. Krug i kružnica"), dužina luka l, radijus r i odgovarajući centralni ugao povezani su sa: = l / r.

Ova formula je u osnovi definicije radijanske mjere uglova. Sta ako l = r, tada je = 1, i kažemo da je ugao  jednak 1 radijanu, što se označava: = 1 drago. Dakle, imamo sljedeću definiciju radijanske mjere:

Radijan je centralni ugao, čija su dužina i poluprečnik luka jednaki(A m B = AO, sl. 1). dakle, radijanska mjera ugla je omjer dužine luka povučenog proizvoljnim radijusom i zatvorenog između strana ovog ugla i poluprečnika luka.

Trigonometrijske funkcije oštrih uglova mogu se definirati kao omjer dužina stranica pravokutnog trokuta.

sinus:

kosinus:

tangenta:

kotangens:

Trigonometrijske funkcije numeričkog argumenta

Definicija .

Sinus od x je broj jednak sinusu ugla u x radijanima. Kosinus broja x je broj jednak kosinusu ugla u x radijanima .

Slično su definirane i druge trigonometrijske funkcije numeričkog argumenta X .

Formule duhova.

Formule sabiranja. Formule dvostrukih i polovičnih argumenata.

Dvostruko.

( ; .

Trigonometrijske funkcije i njihovi grafovi. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija.

Trigonometrijske funkcije- vrsta elementarnih funkcija. Obično se pozivaju na njih sinus (sin x), kosinus (cos x), tangenta (tg x), kotangens (ctg x), Trigonometrijske funkcije se obično definiraju geometrijski, ali se mogu definirati analitički u terminima suma redova ili kao rješenja nekih diferencijalnih jednačina, što nam omogućava da proširimo domenu definicije ovih funkcija na kompleksne brojeve.

Funkcija y sinx njena svojstva i graf

Svojstva:

2. E (y) \u003d [-1; jedan].

3. Funkcija y = sinx je neparna, jer je, po definiciji, sinus trigonometrijskog ugla grijeh(- x)= - y/R = - sinx, gdje je R polumjer kružnice, y je ordinata tačke (sl.).

4. T \u003d 2n - najmanji pozitivni period. stvarno,

sin(x+p) = sinx.

sa Ox osom: sinx= 0; x = pn, nOZ;

sa y-osom: ako je x = 0, onda je y = 0,6. Intervali konstantnosti:

sinx > 0, ako je xO (2pn; p + 2pn), nOZ;

sinx< 0 , ako je xO (p + 2pn; 2p+pn), nOZ.

Znakovi sinusa u četvrtinama

y > 0 za uglove a prve i druge četvrtine.

at< 0 для углов ее третьей и четвертой четвертей.

7. Intervali monotonosti:

y= sinx raste na svakom od intervala [-p/2 + 2pn; p/2 + 2pn],

nnz i opada na svakom od intervala , nnz.

8. Ekstremne tačke i ekstremne tačke funkcije:

xmax= p/2 + 2pn, nnz; y max = 1;

ymax= - p/2 + 2pn, nnz; ymin = - 1.

Svojstva funkcije y= cosx i njen raspored:

Svojstva:

2. E (y) \u003d [-1; jedan].

3. Funkcija y= cosx- čak, jer po definiciji kosinusa trigonometrijskog ugla cos (-a) = x/R = cosa na trigonometrijskom krugu (pirinač)

4. T \u003d 2p - najmanji pozitivni period. stvarno,

cos(x+2pn) = cosx.

5. Točke preseka sa koordinatnim osa:

sa Ox osom: cosx = 0;

x = p/2 + pn, nOZ;

sa y-osom: ako je x = 0, onda je y = 1.

6. Intervali konstantnosti predznaka:

cos > 0, ako je xO (-p/2+2pn; p/2 + 2pn), nOZ;

cosx< 0 , ako je xO (p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn), nOZ.

To se dokazuje na trigonometrijskom krugu (sl.). Znakovi kosinusa u četvrtima:

x > 0 za uglove a prvog i četvrtog kvadranta.

x< 0 для углов a второй и третей четвертей.

7. Intervali monotonosti:

y= cosx raste na svakom od intervala [-p + 2pn; 2pn],

nnz i opada na svakom od intervala , nnz.

Svojstva funkcije y= tgx i njena parcela: nekretnine -

1. D (y) = (xOR, x ¹ p/2 + pn, nOZ).

3. Funkcija y = tgx - neparna

tgx > 0

tgx< 0 za xn (-p/2 + pn; pn), nnZ.

Pogledajte sliku za znakove tangente u četvrtinama.

6. Intervali monotonosti:

y= tgx povećava se u svakom intervalu

(-p/2 + pn; p/2 + pn),

7. Ekstremne tačke i ekstremne tačke funkcije:

8. x = p/2 + pn, nnz - vertikalne asimptote

Svojstva funkcije y= ctgx i njen raspored:

Svojstva:

1. D (y) = (xOR, x ¹ pn, nOZ). 2. E(y)=R.

3. Funkcija y= ctgx- čudno.

4. T \u003d p - najmanji pozitivni period.

5. Intervali konstantnosti predznaka:

ctgx > 0 za xO (pn; p/2 + pn;), nOZ;

ctgx< 0 za xÎ (-p/2 + pn; pn), nÎZ.

Kotangentni znaci za četvrtine, pogledajte sliku.

6. Funkcija at= ctgx raste na svakom od intervala (pn; p + pn), nOZ.

7. Ekstremne tačke i ekstremumi funkcije y= ctgx br.

8. Funkcijski grafikon y= ctgx je tangentoid, dobijeno pomakom parcele y=tgx duž ose Ox lijevo sa p/2 i množenjem sa (-1) (slika)

Inverzne trigonometrijske funkcije, njihova svojstva i grafovi

Inverzne trigonometrijske funkcije (kružne funkcije , lučne funkcije) su matematičke funkcije koje su inverzne trigonometrijskim funkcijama. Inverzne trigonometrijske funkcije obično uključuju šest funkcija: arcsinus , arc kosinus , arc tangent ,arccotanges. Naziv inverzne trigonometrijske funkcije formira se od naziva odgovarajuće trigonometrijske funkcije dodavanjem prefiksa "luk-" (od lat. arc- luk). To je zbog činjenice da se geometrijski vrijednost inverzne trigonometrijske funkcije može povezati s dužinom luka jediničnog kruga (ili kuta koji savija ovaj luk) koji odgovara jednom ili drugom segmentu. Povremeno u stranoj literaturi koriste oznake poput sin −1 za arcsin, itd.; ovo se ne smatra sasvim tačnim, jer je moguća zabuna sa podizanjem funkcije na stepen od −1. Osnovni odnos

Funkcija y=arcsinX, njena svojstva i grafovi.

arcsine brojevi m ovaj ugao se zove x for whichFunction y= grijeh x y= arcsin x se striktno povećava. (funkcija je neparna).

Funkcija y=arccosX, njena svojstva i grafovi.

Arc kosinus brojevi m ovaj ugao se zove x, za koji

Funkcija y= cos x kontinuirano i ograničeno duž cijele svoje brojevne prave. Funkcija y= arccos x se striktno smanjuje. cos (arccos x) = x at arccos (cos y) = y at D(arccos x) = [− 1; 1], (domena), E(arccos x) = . (opseg vrijednosti). Svojstva arccos funkcije (funkcija je centralno simetrična u odnosu na tačku

Funkcija y=arctgX, njena svojstva i grafovi.

Arktangent brojevi m Ugao α naziva se takav da je funkcija kontinuirana i ograničena na cijeloj svojoj realnoj liniji. Funkcija se striktno povećava.

at

svojstva arctg funkcije

,

.

Funkcija y=arcctg, njena svojstva i grafovi.

Arc tangent brojevi m ovaj ugao se zove x, za koji

Funkcija je kontinuirana i ograničena na cijeloj svojoj realnoj liniji.

Funkcija je striktno opadajuća. u 0< y < π Свойства функции arcctg (график функции центрально-симметричен относительно точки za bilo koji x .

.

Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe.

Definicija. wada jednačine sin x = a ; cos x = a ; tan x = a ; ctg x = a, gdje x

Posebni slučajevi trigonometrijskih jednačina

Definicija. wada jednačine sin x = a ; cos x = a ; tan x = a ; ctg x = a, gdje x- varijabla, aR, se pozivaju jednostavne trigonometrijske jednadžbe.

Trigonometrijske jednadžbe

Aksiomi stereometrije i posljedice iz njih

Osnovne figure u prostoru: tačke, prave i ravni. Glavna svojstva tačaka, pravih i ravni u pogledu njihovog međusobnog rasporeda izražena su u aksiomima.

A1. Kroz bilo koje tri tačke koje ne leže na istoj pravoj, prolazi ravan, i to samo jedna. A2. Ako dvije tačke prave leže u ravni, onda sve tačke prave leže u toj ravni.

Komentar. Ako prava i ravan imaju samo jednu zajedničku tačku, onda se kaže da se sijeku.

A3. Ako dvije ravni imaju zajedničku tačku, onda imaju zajedničku pravu na kojoj leže sve zajedničke tačke ovih ravni.

	A i sijeku se duž prave a.

Posljedica 1. Kroz pravu i tačku koja ne leži na njoj prolazi ravan, i to samo jedna. Posljedica 2. Ravan prolazi kroz dve prave linije koje se seku, i štaviše, samo jednu.

Međusobni raspored dvije linije u prostoru

Dvije prave date jednadžbama

seku u tački.

Paralelnost prave i ravni.

Definicija 2.3 Prava i ravan se nazivaju paralelne ako nemaju zajedničkih tačaka. Ako je prava a paralelna sa ravninom α, onda napišite a || a. Teorema 2.4 Znak paralelizma prave i ravni. Ako je prava van ravni paralelna pravoj u ravni, onda je i ta prava paralelna sa samom ravninom. Dokaz Neka je b α, a || b i a α (crtež 2.2.1). Dokazaćemo kontradikcijom. Neka a nije paralelno sa α, tada prava a seče ravan α u nekoj tački A. Štaviše, A b, pošto je a || b. Prema kriteriju kosih linija, linije a i b su nagnute. Došli smo do kontradikcije. Teorema 2.5 Ako ravan β prolazi kroz pravu a paralelnu ravni α i siječe ovu ravan duž prave b, tada b || a. Dokaz Zaista, prave a i b nisu iskrivljene, jer leže u ravni β. Štaviše, ove prave nemaju zajedničkih tačaka, pošto a || a. Definicija 2.4 Prava b se ponekad naziva tragom ravni β na ravni α.

Prelazak pravih linija. Znak linija koje se seku

Prave se nazivaju ukrštanjem ako je ispunjen sljedeći uvjet: Ako zamislimo da jedna od pravih pripada proizvoljnoj ravni, onda će druga prava presjeći ovu ravan u tački koja ne pripada prvoj liniji. Drugim riječima, dvije prave u trodimenzionalnom euklidskom prostoru seku se ako ne postoji ravan koja ih sadrži. Jednostavno rečeno, dvije prave u prostoru koje nemaju zajedničke tačke, ali nisu paralelne.

Teorema (1): Ako jedna od dvije prave leži u određenoj ravni, a druga prava siječe ovu ravan u tački koja ne leži na prvoj liniji, tada su ove prave nagnute.

Teorema (2): Kroz svaku od dvije prave koje se sijeku prolazi ravan paralelna drugoj pravoj, i osim toga, samo jedna.

Teorema (3): Ako su stranice dvaju ugla međusobno kousmjerene, onda su ti uglovi jednaki.

Paralelizam pravih. Svojstva paralelnih ravni.

Paralelne (ponekad - jednakokračne) prave linije nazivaju se prave koje leže u istoj ravni i ili se poklapaju ili se ne seku. U nekim školskim definicijama, podudarne prave se ne smatraju paralelnim; ovakva definicija se ovdje ne razmatra. Svojstva Paralelizam je binarna relacija ekvivalencije, dakle, dijeli cijeli skup linija na klase linija koje su paralelne jedna s drugom. Kroz bilo koju datu tačku može biti tačno jedna prava paralelna datoj. Ovo je karakteristično svojstvo euklidske geometrije, u drugim geometrijama broj 1 je zamijenjen drugim (u geometriji Lobačevskog postoje najmanje dvije takve linije) 2 paralelne prave u prostoru leže u istoj ravni. b Na presjeku 2 paralelne prave za trećinu, tzv secant: Sekansa nužno siječe obje prave. Prilikom križanja formira se 8 uglova, od kojih neki karakteristični parovi imaju posebna imena i svojstva: Unakrsno laganje uglovi su jednaki. Odnosno uglovi su jednaki. Jednostrano uglovi su zbirni do 180°.

Okomitost prave i ravni.

Zove se prava koja seče ravan okomito ovu ravan ako je okomita na svaku pravu koja leži u datoj ravni i prolazi kroz tačku preseka.

ZNAK PERENDIKULARNOSTI PRAVE I RAVNI.

Ako je prava koja seče ravan okomita na dve prave u toj ravni koja prolazi kroz tačku preseka date prave i ravni, onda je ona okomita na ravan.

1. SVOJSTVO KOMITNIH PRAVA I RAVNI .

Ako je ravan okomita na jednu od dvije paralelne prave, ona je također okomita na drugu.

2. SVOJSTVO KOMITNIH PRAVA I RAVNI .

Dvije prave okomite na istu ravan su paralelne.

Teorema o tri okomice

Neka AB- okomito na ravan α, AC- kosi i c- prava linija u ravni α koja prolazi kroz tačku C i okomitu projekciju BC. Hajde da nacrtamo pravu liniju CK paralelno sa pravom linijom AB. Pravo CK okomito na ravan α (jer je paralelno sa AB), pa stoga i bilo koja linija ove ravni, CK okomito na liniju c AB i CK ravan β (paralelne prave definišu ravan, i to samo jednu). Pravo c je okomita na dvije prave koje se ukrštaju koje leže u ravni β, ovo BC po stanju i CK po konstrukciji, što znači da je okomita na bilo koju pravu koja pripada ovoj ravni, što znači da je također okomita na pravu AC .

Konverza teoreme o tri okomice

Ako je prava linija povučena u ravni kroz osnovu nagnute linije okomita na nagnutu liniju, onda je ona također okomita na njenu projekciju.

Neka AB- okomito na ravan a , AC- kosi i With- prava linija u ravni a prolazeći kroz podnožje padine OD. Hajde da nacrtamo pravu liniju SC, paralelno sa linijom AB. Pravo SC okomito na ravan a(po ovoj teoremi, pošto je paralelna AB), pa stoga i bilo koja linija ove ravni, SC okomito na liniju With. Crtajte kroz paralelne linije AB i SC avion b(paralelne prave definišu ravan, i to samo jednu). Pravo With okomito na dvije prave koje leže u ravni b, ovo je AC po stanju i SC po konstrukciji, to znači da je okomita na bilo koju pravu koja pripada ovoj ravni, što znači da je također okomita na pravu sunce. Drugim riječima, projekcija sunce okomito na liniju With leži u avionu a .

Okomito i koso.

Okomito, spušten iz date tačke u datu ravan, naziva se segment koji povezuje datu tačku sa tačkom u ravni i leži na pravoj liniji okomitoj na ravan. Kraj ovog segmenta, koji leži u ravni, naziva se osnovicu okomice .

koso, povučen iz date tačke u datu ravan, je svaki segment koji povezuje datu tačku sa tačkom u ravni koja nije okomita na ravan. Zove se kraj segmenta koji leži u ravni osnova nagnutog. Segment koji povezuje osnove okomice nagnute linije, povučen iz iste tačke, naziva se kosa projekcija .

Definicija 1. Okomita na datu pravu je odsječak prave okomit na datu pravu čiji je jedan od krajeva u točki presjeka. Kraj segmenta koji leži na datoj pravoj naziva se osnova okomice.

Definicija 2. Kosa linija povučena od date tačke do date prave je segment koji povezuje dati poen sa bilo kojom tačkom prave koja nije osnova okomice spuštene iz iste tačke na datu pravu. AB - okomito na ravan α.

AC - koso, CB - projekcija.

C - osnova nagnute, B - osnova okomice.

Ugao između prave i ravni.

Ugao između prave i ravni Svaki ugao između prave linije i njene projekcije na ovu ravan naziva se.

Diedarski ugao.

Diedarski ugao- prostorno geometrijska figura, koju čine dvije poluravnine koje izlaze iz jedne prave linije, kao i dio prostora omeđen ovim poluravnama. Pola aviona se zove lica diedarski ugao, i njihova zajednička prava linija - rub. Diedarski uglovi se mjere linearnim uglom, odnosno uglom koji nastaje presjekom diedarskog ugla s ravninom okomitom na njegovu ivicu. Svaki poliedar, pravilan ili nepravilan, konveksan ili konkavan, ima diedarski ugao na svakoj ivici.

Okomitost dvije ravni.

ZNAK PERENDIKULARNOSTI RAVNI.

Ako ravan prolazi kroz pravu okomitu na drugu ravan, tada su ove ravni okomite.

1.1 Iracionalne jednadžbe

Iracionalne jednačine se često nalaze na prijemni ispiti u matematici, jer je uz njihovu pomoć lako dijagnosticirati znanje o takvim konceptima kao što su ekvivalentne transformacije, domen definicije i drugi. Metode rješavanja iracionalnih jednačina, po pravilu, zasnivaju se na mogućnosti zamjene (uz pomoć nekih transformacija) iracionalne jednačine racionalnom, koja je ili ekvivalentna izvornoj iracionalnoj jednačini ili je njena posljedica. Najčešće se obje strane jednačine dižu na istu potenciju. Ekvivalencija nije narušena kada su oba dijela podignuta na neparan stepen. U suprotnom, potrebno je provjeriti pronađena rješenja ili procijeniti predznak oba dijela jednačine. Ali postoje i drugi trikovi koji mogu biti efikasniji u rješavanju iracionalnih jednačina. Na primjer, metoda trigonometrijske zamjene.

Primjer 1: Riješite jednačinu

Od tada . Stoga se može staviti . Jednačina će poprimiti oblik

Hajde da onda stavimo gde

.

.

odgovor: .

Algebarsko rješenje

Od tada . znači, , tako da možete proširiti modul

.

odgovor: .

Rješavanje jednadžbe na algebarski način zahtijeva dobru vještinu u izvođenju identičnih transformacija i kompetentno rukovanje ekvivalentnim prijelazima. Ali generalno gledano, oba pristupa su ekvivalentna.

Primjer 2: Riješite jednačinu

.

Rješenje korištenjem trigonometrijske zamjene

Područje jednadžbe je dato nejednakošću , što je ekvivalentno uvjetu , tada . Stoga, možemo staviti . Jednačina će poprimiti oblik

Od tada . Otvorimo interni modul

Hajde da stavimo , onda

.

Uslov je zadovoljen sa dvije vrijednosti i .

.

.

odgovor: .

Algebarsko rješenje

.

Hajde da kvadriramo jednačinu prvog skupa sistema, dobijamo

Neka onda . Jednačina će biti prepisana u formu

Provjerom utvrđujemo da je to korijen, a zatim dijeljenjem polinoma sa binomom dobijamo dekompoziciju desne strane jednadžbe na faktore

Idemo sa varijable na varijablu, dobijamo

.

stanje zadovoljavaju dvije vrijednosti

.

Zamjenom ovih vrijednosti u originalnu jednadžbu, dobijamo da je to korijen.

Rješavajući jednačinu drugog sistema izvorne populacije na sličan način, nalazimo da je i on korijen.

odgovor: .

Ako su u prethodnom primjeru algebarsko rješenje i rješenje koje koristi trigonometrijsku zamjenu bili ekvivalentni, tada u ovaj slučaj rješenje zamjene je isplativije. Prilikom rješavanja jednadžbe pomoću algebre, potrebno je riješiti skup od dvije jednadžbe, odnosno kvadrirati dva puta. Nakon ove neekvivalentne transformacije dobijaju se dvije jednačine četvrtog stepena sa iracionalnim koeficijentima, kojih se zamjena pomaže riješiti. Druga poteškoća je provjera pronađenih rješenja zamjenom u originalnu jednačinu.

Primjer 3. Riješite jednačinu

.

Rješenje korištenjem trigonometrijske zamjene

Od tada . Imajte na umu da negativna vrijednost nepoznate ne može biti rješenje problema. Zaista, originalnu jednačinu transformiramo u oblik

.

Faktor u zagradama na lijevoj strani jednačine je pozitivan, desna strana je također pozitivna, tako da faktor na lijevoj strani jednačine ne može biti negativan. Zato, onda, zato možete staviti Originalna jednačina će biti prepisana u formu

Od , zatim i . Jednačina će poprimiti oblik

Neka . Pređimo sa jednadžbe na ekvivalentni sistem

.

Brojevi i su korijeni kvadratne jednadžbe

.

Algebarsko rješenje Kvadirajmo obje strane jednačine

Predstavljamo zamjenu , tada će jednačina biti zapisana u obliku

Drugi korijen je suvišan, pa razmislite o jednadžbi

.

Od tada .

U ovom slučaju, algebarsko rješenje je tehnički jednostavnije, ali je potrebno razmotriti gore navedeno rješenje pomoću trigonometrijske zamjene. To je prije svega zbog nestandardne prirode same zamjene, što ruši stereotip da je upotreba trigonometrijske zamjene moguća samo kada . Ispada da ako i trigonometrijska zamjena nađe primjenu. Drugo, postoji određena poteškoća u rješavanju trigonometrijske jednačine , koji se smanjuje uvođenjem promjene u sistem jednačina. U određenom smislu, ova zamjena se također može smatrati nestandardnom, a poznavanje nje omogućava vam da obogatite arsenal trikova i metoda za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi.

Primjer 4. Riješite jednačinu

.

Rješenje korištenjem trigonometrijske zamjene

Pošto varijabla može poprimiti bilo koju realnu vrijednost, stavljamo . Onda

,

Jer .

Originalna jednačina, uzimajući u obzir izvršene transformacije, poprimiće oblik

Budući da , Mi dijelimo obje strane jednadžbe po , Dobijamo

Neka , onda . Jednačina će poprimiti oblik

.

S obzirom na zamenu , dobijamo skup od dvije jednačine

.

Riješimo svaku skupnu jednačinu posebno.

.

Ne može biti vrijednost sinusa, kao za bilo koje vrijednosti argumenta.

.

Jer i desna strana izvorne jednadžbe je pozitivna, onda . Iz čega sledi da .

Ova jednadžba nema korijene, budući da .

Dakle, originalna jednadžba ima jedan korijen

.

Algebarsko rješenje

Ova jednačina se lako može "pretvoriti" u racionalnu jednačinu osmog stepena kvadriranjem oba dijela originalne jednačine. Potraga za korijenima rezultirajuće racionalne jednadžbe je teška, a potrebno je imati visok stepen snalažljivost da se posao obavi. Stoga je preporučljivo poznavati drugačiji način rješavanja, manje tradicionalan. Na primjer, zamjena koju je predložio I. F. Sharygin.

Hajde da stavimo , onda

Transformirajmo desnu stranu jednačine :

Uzimajući u obzir transformacije, jednadžba poprimiće formu

.

Onda uvodimo zamjenu

.

Drugi korijen je suvišan, dakle, i .

Ako ideja rješavanja jednadžbe nije unaprijed poznata , onda je problematično riješiti na standardni način kvadriranjem oba dijela jednačine, jer je rezultat jednačina osmog stepena čiji je korijen izuzetno teško pronaći. Rješenje koje koristi trigonometrijsku zamjenu izgleda glomazno. Možda će biti teško pronaći korijene jednadžbe, ako ne primijetite da se ona ponavlja. Rješenje navedenu jednačinu se dešava korišćenjem aparata algebre, pa možemo reći da je predloženo rešenje kombinovano. U njemu informacije iz algebre i trigonometrije rade zajedno za jedan cilj - pronaći rješenje. Takođe, rešenje ove jednačine zahteva pažljivo razmatranje dva slučaja. Rješenje zamjene je tehnički jednostavnije i ljepše od upotrebe trigonometrijske zamjene. Poželjno je da učenici poznaju ovu metodu zamjene i primjenjuju je u rješavanju zadataka.

Naglašavamo da upotreba trigonometrijske zamjene za rješavanje problema treba biti svjesna i opravdana. Preporučljivo je koristiti zamjenu u slučajevima kada je rješenje na drugi način teže ili čak nemoguće. Navedimo još jedan primjer koji se, za razliku od prethodnog, lakše i brže rješava na standardni način.