Ugao između dvije prave linije. Ugao između linija na ravni

Ovaj materijal je posvećen konceptu kao što je ugao između dve prave linije koje se seku. U prvom paragrafu ćemo objasniti šta je to i pokazati na ilustracijama. Zatim ćemo analizirati kako možete pronaći sinus, kosinus ovog ugla i sam ugao (zasebno ćemo razmotriti slučajeve s ravninom i trodimenzionalnim prostorom), dajemo potrebne formule i pokazati primjere kako se primjenjuju u praksi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Da bismo shvatili šta je ugao nastao na preseku dve prave, moramo se prisetiti same definicije ugla, okomitosti i presečne tačke.

Definicija 1

Dve prave nazivamo seku ako imaju jednu zajedničku tačku. Ova tačka se naziva tačka preseka dve prave.

Svaka linija je podijeljena točkom presjeka na zrake. U ovom slučaju, obje prave formiraju 4 ugla, od kojih su dva vertikalna, a dva susjedna. Ako znamo mjeru jednog od njih, onda možemo odrediti i ostale preostale.

Recimo da znamo da je jedan od uglova jednak α. U tom slučaju, ugao koji je okomit na njega također će biti jednak α. Da bismo pronašli preostale uglove, moramo izračunati razliku 180° - α. Ako je α jednako 90 stepeni, tada će svi uglovi biti pravi. Prave koje se sijeku pod pravim uglom nazivaju se okomiti (poseban članak posvećen je konceptu okomitosti).

Pogledajte sliku:

Pređimo na formulaciju glavne definicije.

Definicija 2

Ugao koji formiraju dvije linije koje se seku je mjera manjeg od 4 ugla koji formiraju ove dvije prave.

Iz definicije se mora izvući važan zaključak: veličina ugla u ovom slučaju bit će izražena bilo kojim pravi broj u intervalu (0 , 90 ] . Ako su prave okomite, tada će ugao između njih u svakom slučaju biti jednak 90 stepeni.

Sposobnost pronalaženja mjere ugla između dvije linije koje se seku je korisna za rješavanje mnogih praktičnih problema. Metoda rješenja može se odabrati između nekoliko opcija.

Za početak, možemo uzeti geometrijske metode. Ako znamo nešto o dodatnim uglovima, onda ih možemo povezati sa uglom koji nam je potreban koristeći svojstva jednakih ili sličnih oblika. Na primjer, ako znamo stranice trokuta i trebamo izračunati ugao između linija na kojima se te stranice nalaze, tada je kosinusni teorem pogodan za rješavanje. Ako smo u stanju pravougaonog trougla, tada će nam za proračune trebati i poznavanje sinusa, kosinusa i tangenta ugla.

Koordinatna metoda je također vrlo pogodna za rješavanje problema ovog tipa. Hajde da objasnimo kako ga pravilno koristiti.

Imamo pravougaoni (kartezijanski) koordinatni sistem O x y sa dvije prave. Označimo ih slovima a i b. U ovom slučaju, prave se mogu opisati pomoću bilo koje jednačine. Originalne linije imaju presek M. Kako odrediti željeni ugao (označimo ga α) između ovih linija?

Počnimo sa formulacijom osnovnog principa nalaženja ugla pod datim uslovima.

Znamo da su koncepti kao što su usmjeravajući i normalni vektor usko povezani s konceptom prave linije. Ako imamo jednadžbu neke prave linije, iz nje možemo uzeti koordinate ovih vektora. To možemo učiniti za dvije linije koje se seku odjednom.

Ugao koji formiraju dvije linije koje se ukrštaju može se pronaći pomoću:

ugao između vektora smjera;
ugao između normalnih vektora;
ugao između vektora normale jedne linije i vektora smjera druge.

Sada pogledajmo svaku metodu posebno.

1. Pretpostavimo da imamo pravu a sa vektorom smjera a → = (a x , a y) i pravu b sa vektorom smjera b → (b x , b y) . Odvojimo sada dva vektora a → i b → iz tačke preseka. Nakon toga, vidjet ćemo da će svaki biti smješten na svojoj liniji. Onda imamo četiri opcije za njih relativnu poziciju. Pogledajte ilustraciju:

Ako ugao između dva vektora nije tup, onda će to biti ugao koji nam treba između pravih a i b koji se sijeku. Ako je tup, onda će željeni ugao biti jednaka uglu, uz ugao a → , b → ^ . Dakle, α = a → , b → ^ ako je a → , b → ^ ≤ 90 °, i α = 180 ° - a → , b → ^ ako je a → , b → ^ > 90 ° .

Na osnovu činjenice da su kosinusi jednakih uglova jednaki, dobijene jednakosti možemo prepisati na sledeći način: cos α = cos a → , b → ^ ako je a → , b → ^ ≤ 90°; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ ako je a → , b → ^ > 90 ° .

U drugom slučaju korištene su formule redukcije. Na ovaj način,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Napišimo posljednju formulu riječima:

Definicija 3

Kosinus ugla formiranog od dve prave koje se seku je jednak modulu kosinus ugla između njegovih vektora smjera.

Opšti oblik formule za kosinus ugla između dva vektora a → = (a x, a y) i b → = (b x, b y) izgleda ovako:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Iz njega možemo izvesti formulu za kosinus ugla između dvije date prave:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Tada se sam ugao može pronaći pomoću sljedeće formule:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Ovdje su a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) vektori smjera datih linija.

Navedimo primjer rješavanja problema.

Primjer 1

U pravougaonom koordinatnom sistemu, na ravni su date dve prave a i b koje se seku. Mogu se opisati parametarskim jednačinama x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R i x 5 = y - 6 - 3 . Izračunajte ugao između ovih linija.

Rješenje

Imamo u stanju parametarska jednačina, što znači da za ovu pravu liniju možemo odmah zapisati koordinate njenog vektora smjera. Da bismo to učinili, trebamo uzeti vrijednosti koeficijenata na parametru, tj. prava x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R imat će vektor smjera a → = (4 , 1) .

Drugi red je opisan pomoću kanonska jednačina x 5 = y - 6 - 3 . Ovdje možemo uzeti koordinate iz nazivnika. Dakle, ova prava ima vektor smjera b → = (5 , - 3) .

Zatim nastavljamo direktno s pronalaženjem ugla. Da biste to učinili, jednostavno zamijenite dostupne koordinate dva vektora u gornju formulu α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Dobijamo sljedeće:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

Odgovori: Ove linije formiraju ugao od 45 stepeni.

Sličan problem možemo riješiti pronalaženjem ugla između normalnih vektora. Ako imamo pravu a sa vektorom normale n a → = (n a x , n a y) i pravu b sa vektorom normale n b → = (n b x , n b y) , tada će ugao između njih biti jednak uglu između n a → i n b → ili ugao koji će biti susedan sa n a → , n b → ^ . Ova metoda je prikazana na slici:

Formule za izračunavanje kosinusa ugla između linija koje se sijeku i samog ugla pomoću koordinata normalnih vektora izgledaju ovako:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Ovdje n a → i n b → označavaju vektore normale dvije date prave.

Primjer 2

Dve prave su date u pravougaonom koordinatnom sistemu pomoću jednačina 3 x + 5 y - 30 = 0 i x + 4 y - 17 = 0 . Pronađite sinus, kosinus ugla između njih i veličinu samog ugla.

Rješenje

Originalne ravne linije su date pomoću normalne jednačine linija oblika A x + B y + C = 0 . Označimo vektor normale n → = (A , B) . Pronađite koordinate prvog normalni vektor za jednu pravu liniju i zapišite ih: n a → = (3 , 5) . Za drugu liniju x + 4 y - 17 = 0 vektor normale će imati koordinate n b → = (1 , 4) . Sada dodajte dobijene vrijednosti u formulu i izračunajte zbir:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Ako znamo kosinus ugla, onda možemo izračunati njegov sinus koristeći osnovni trigonometrijski identitet. Budući da kut α formiran pravim linijama nije tup, tada sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34.

U ovom slučaju, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .

Odgovor: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Hajde da analiziramo poslednji slučaj- nalaženje ugla između pravih, ako znamo koordinate vektora usmjeravanja jedne prave i vektora normale druge.

Pretpostavimo da prava a ima vektor pravca a → = (a x , a y) , a prava b ima vektor normale n b → = (n b x , n b y) . Moramo odgoditi ove vektore od točke presjeka i razmotriti sve opcije za njihov relativni položaj. pogledajte sliku:

Ako je ugao između dati vektori ne više od 90 stepeni, ispada da će ugao između a i b dopuniti pravim uglom.

a → , n b → ^ = 90 ° - α ako je a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Ako je manji od 90 stepeni, dobijamo sledeće:

a → , n b → ^ > 90 ° , zatim a → , n b → ^ = 90 ° + α

Koristeći pravilo jednakosti kosinusa jednakih uglova, pišemo:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α za a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α pri a → , n b → ^ > 90 ° .

Na ovaj način,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Hajde da formulišemo zaključak.

Definicija 4

Da biste pronašli sinus ugla između dvije prave koje se sijeku u ravni, morate izračunati modul kosinusa ugla između vektora smjera prve linije i vektora normale druge.

Hajde da zapišemo potrebne formule. Pronalaženje sinusa ugla:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Pronalaženje samog ugla:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Ovdje je a → vektor smjera prve linije, a n b → je vektor normale druge.

Primjer 3

Dvije prave koje se seku date su jednadžbama x - 5 = y - 6 3 i x + 4 y - 17 = 0 . Pronađite ugao preseka.

Rješenje

Koordinate usmjerivača i vektora normale uzimamo iz datih jednačina. Ispada a → = (- 5, 3) i n → b = (1, 4) . Uzimamo formulu α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 i razmotrimo:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Imajte na umu da smo uzeli jednadžbe iz prethodnog problema i dobili potpuno isti rezultat, ali na drugačiji način.

odgovor:α = a r c sin 7 2 34

Evo još jednog načina da pronađete željeni ugao koristeći koeficijente nagiba datih linija.

Imamo pravu a , koja je definisana u pravougaonom koordinatnom sistemu pomoću jednačine y = k 1 · x + b 1 , i pravu b , definisanu kao y = k 2 · x + b 2 . Ovo su jednadžbe linija sa nagibom. Da biste pronašli ugao presjeka, koristite formulu:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , gdje su k 1 i k 2 nagibi datih pravih. Za dobijanje ovog zapisa korištene su formule za određivanje ugla kroz koordinate vektora normale.

Primjer 4

Postoje dvije prave koje se seku u ravni, dato jednačinama y = - 3 5 x + 6 i y = - 1 4 x + 17 4 . Izračunajte ugao presjeka.

Rješenje

Nagibi naših pravih jednaki su k 1 = - 3 5 i k 2 = - 1 4 . Dodajmo ih formuli α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 i izračunajmo:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

odgovor:α = a r c cos 23 2 34

U zaključcima ovog paragrafa treba napomenuti da se formule za pronalaženje ugla koje su ovdje date ne moraju učiti napamet. Da biste to učinili, dovoljno je znati koordinate vodilica i/ili vektora normale datih linija i moći ih odrediti iz različite vrste jednačine. Ali formule za izračunavanje kosinusa kuta bolje je zapamtiti ili zapisati.

Kako izračunati ugao između linija koje se seku u prostoru

Proračun takvog ugla može se svesti na izračunavanje koordinata vektora pravca i određivanje veličine ugla koji ovi vektori formiraju. Za takve primjere koristimo isto razmišljanje koje smo dali ranije.

Recimo da imamo pravougaoni sistem koordinate koje se nalaze u trodimenzionalni prostor. Sadrži dvije prave a i b sa presječnom tačkom M. Da bismo izračunali koordinate vektora smjera, moramo znati jednačine ovih linija. Označimo vektore smjera a → = (a x , a y , a z) i b → = (b x , b y , b z) . Za izračunavanje kosinusa ugla između njih koristimo formulu:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Da bismo pronašli sam ugao, potrebna nam je ova formula:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Primjer 5

Imamo pravu liniju definisanu u 3D prostoru pomoću jednačine x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Poznato je da se seče sa O z osom. Izračunajte ugao presjeka i kosinus tog ugla.

Rješenje

Označimo ugao koji treba izračunati slovom α. Zapišimo koordinate vektora pravca za prvu pravu - a → = (1 , - 3 , - 2) . Za aplikantnu osu možemo uzeti koordinatni vektor k → = (0 , 0 , 1) kao vodič. Dobili smo potrebne podatke i možemo ih dodati u željenu formulu:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Kao rezultat, dobili smo da će ugao koji nam treba biti jednak a r c cos 1 2 = 45 °.

odgovor: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Svakom učeniku koji se priprema za ispit iz matematike biće korisno da ponovi temu „Pronalaženje ugla između pravih“. Kao što statistika pokazuje, prilikom polaganja testa za certifikaciju, zadaci za ovaj odeljak stereometrija izaziva poteškoće za veliki broj studenti. Istovremeno, zadaci koji zahtijevaju pronalaženje ugla između pravih nalaze se u USE i osnovnim i nivo profila. To znači da bi svi trebali biti u mogućnosti da ih riješe.

Osnovni momenti

Postoje 4 vrste međusobnog rasporeda linija u prostoru. Mogu da se poklapaju, ukrštaju, budu paralelne ili seku. Ugao između njih može biti oštar ili ravan.

Da bi pronašli ugao između linija u Jedinstvenom državnom ispitu ili, na primjer, u rješenju, školarci u Moskvi i drugim gradovima mogu koristiti nekoliko metoda za rješavanje problema u ovom dijelu stereometrije. Zadatak možete izvršiti klasičnim konstrukcijama. Da biste to učinili, vrijedi naučiti osnovne aksiome i teoreme stereometrije. Učenik treba da bude sposoban da logički gradi rasuđivanje i kreira crteže kako bi zadatak doveo do planimetrijskog problema.

Također možete koristiti vektorsko-koordinatni metod primjenom jednostavne formule, pravila i algoritme. Glavna stvar u ovom slučaju je ispravno izvršiti sve proračune. Usavršite svoje vještine rješavanja problema u stereometriji i drugim temama školski kursće vam pomoći edukativni projekat"Shkolkovo".

Uputstvo

Bilješka

Period trigonometrijska funkcija tangenta je jednaka 180 stepeni, što znači da uglovi nagiba pravih linija ne mogu, po modulu, premašiti ovu vrednost.

Korisni savjeti

Ako a faktori nagiba su jednake jedna drugoj, tada je ugao između takvih pravih jednak 0, jer se takve prave ili poklapaju ili su paralelne.

Da bi se odredio ugao između linija ukrštanja, potrebno je obje linije (ili jednu od njih) prenijeti na novu poziciju metodom paralelnog prijenosa do raskrsnice. Nakon toga, trebali biste pronaći kut između rezultirajućih linija koje se sijeku.

Trebaće ti

Lenjir, pravougaoni trokut, olovka, kutomjer.

Uputstvo

Dakle, neka su vektor V = (a, b, c) i ravan A x + B y + C z = 0, gdje su A, B i C koordinate normale N. Tada je kosinus ugla α između vektora V i N je: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Da biste izračunali vrijednost ugla u stepenima ili radijanima, morate izračunati funkciju inverznu kosinusu iz rezultirajućeg izraza, tj. arccosine: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Primjer: nađi ugao između vektor(5, -3, 8) i avion, dato opšta jednačina 2 x - 5 y + 3 z = 0. Rješenje: zapisati koordinate vektora normale ravni N = (2, -5, 3). Zamenite sve poznate vrednosti u gornjoj formuli: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Povezani video zapisi

Prava linija koja ima jednu sa krugom zajednička tačka, je tangenta na kružnicu. Još jedna karakteristika tangente je da je ona uvek okomita na poluprečnik povučen do tačke dodira, odnosno tangenta i poluprečnik čine pravu liniju ugao. Ako su dvije tangente na kružnicu AB i AC povučene iz jedne tačke A, onda su one uvijek jednake jedna drugoj. Definicija ugla između tangenti ( ugao ABC) se proizvodi pomoću Pitagorine teoreme.

Uputstvo

Da biste odredili ugao, morate znati poluprečnik kružnice OB i OS i udaljenost početne tačke tangente od centra kružnice - O. Dakle, uglovi ABO i ACO su jednaki, poluprečnik OB , na primjer, 10 cm, a udaljenost do središta kružnice AO je 15 cm. Odredite dužinu tangente formulom u skladu s Pitagorinom teoremom: AB = Kvadratni korijen od AO2 - OB2 ili 152 - 102 = 225 - 100 = 125;

Biću kratak. Ugao između dve prave jednak je uglu između njihovih vektora pravca. Dakle, ako uspijete pronaći koordinate vektora smjera a = (x 1; y 1; z 1) i b = (x 2; y 2; z 2), možete pronaći kut. Preciznije, kosinus ugla prema formuli:

Pogledajmo kako ova formula funkcionira na konkretnim primjerima:

Zadatak. Tačke E i F označene su u kocki ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - sredine ivica A 1 B 1 i B 1 C 1, respektivno. Pronađite ugao između pravih AE i BF.

Pošto ivica kocke nije specificirana, postavljamo AB = 1. Uvodimo standardni koordinatni sistem: ishodište je u tački A, a ose x, y, z su usmjerene duž AB, AD i AA 1, respektivno. . Jedinični segment je jednak AB = 1. Sada ćemo pronaći koordinate vektora smjera za naše linije.

Pronađite koordinate vektora AE. Da bismo to učinili, potrebne su nam tačke A = (0; 0; 0) i E = (0,5; 0; 1). Pošto je tačka E sredina segmenta A 1 B 1, njene koordinate su jednake aritmetičkoj sredini koordinata krajeva. Imajte na umu da se početak vektora AE poklapa sa ishodištem, pa je AE = (0,5; 0; 1).

Sada se pozabavimo BF vektorom. Slično analiziramo tačke B = (1; 0; 0) i F = (1; 0,5; 1), jer F - sredina segmenta B 1 C 1 . Imamo:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Dakle, vektori smjera su spremni. Kosinus ugla između pravih je kosinus ugla između vektora pravca, tako da imamo:

Zadatak. U pravilnoj triedačkoj prizmi ABCA 1 B 1 C 1, čije su sve ivice jednake 1, označene su tačke D i E - sredine ivica A 1 B 1 i B 1 C 1, respektivno. Pronađite ugao između pravih AD i BE.

Uvodimo standardni koordinatni sistem: početak je u tački A, x-osa je usmjerena duž AB, z - duž AA 1 . Usmjeravamo y os tako da se ravnina OXY poklapa sa avion ABC. Jedinični segment je jednak AB = 1. Pronađite koordinate vektora smjera za željene linije.

Prvo, pronađimo koordinate AD vektora. Razmotrimo tačke: A = (0; 0; 0) i D = (0,5; 0; 1), jer D - sredina segmenta A 1 B 1 . Pošto se početak vektora AD poklapa sa ishodištem, dobijamo AD = (0,5; 0; 1).

Sada pronađimo koordinate vektora BE. Tačku B = (1; 0; 0) je lako izračunati. Sa tačkom E - sredinom segmenta C 1 B 1 - malo teže. Imamo:

Ostaje pronaći kosinus ugla:

Zadatak. U pravilnoj heksagonalnoj prizmi ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, čije su sve ivice jednake 1, označene su tačke K i L - sredine ivica A 1 B 1 i B 1 C 1, respektivno. Pronađite ugao između pravih AK i BL.

Uvodimo standardni koordinatni sistem za prizmu: početak koordinata postavljamo u centar donje baze, usmjeravamo x-os duž FC, y-os kroz sredine segmenata AB i DE, a z-os vertikalno prema gore. Jedinični segment je opet jednak AB = 1. Napišimo koordinate tačaka koje nas zanimaju:

Tačke K i L su sredine segmenata A 1 B 1 i B 1 C 1, respektivno, pa se njihove koordinate nalaze preko aritmetičke sredine. Poznavajući tačke, nalazimo koordinate vektora pravca AK i BL:

Sada pronađimo kosinus ugla:

Zadatak. Desno četvorougaone piramide SABCD, čije su sve ivice jednake 1, označene su tačke E i F - sredine stranica SB i SC, respektivno. Pronađite ugao između pravih AE i BF.

Uvodimo standardni koordinatni sistem: početak je u tački A, x i y ose su usmerene duž AB i AD, respektivno, a z osa je usmerena vertikalno nagore. Jedinični segment je jednak AB = 1.

Tačke E i F su sredine segmenata SB i SC, respektivno, pa se njihove koordinate nalaze kao aritmetička sredina krajeva. Zapisujemo koordinate tačaka koje nas zanimaju:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Poznavajući tačke, nalazimo koordinate vektora smjera AE i BF:

Koordinate vektora AE poklapaju se sa koordinatama tačke E, pošto je tačka A ishodište. Ostaje pronaći kosinus ugla: