Jednačina parabole je: Parabola - svojstva i graf kvadratne funkcije

Razmotrimo pravu na ravni i tačku koja ne leži na ovoj pravoj. I elipsa, And hiperbola može se jednolično definisati kao locus tačke za koje je omjer udaljenosti do date tačke i udaljenosti do date prave linije konstantna vrijednost

rang ε. Na 0 1 - hiperbola. Parametar ε je ekscentricitet i elipse i hiperbole. Od mogućih pozitivne vrijednosti jedan parametar ε, odnosno ε = 1, ispada da je neiskorišten. Ova vrijednost odgovara geometrijskom lokusu tačaka jednako udaljenih od date tačke i od date prave.

Definicija 8.1. Lokus tačaka u ravni jednako udaljenoj od fiksne tačke i od fiksne prave se naziva parabola.

Fiksna tačka se zove fokus parabole, a prava linija - direktrisa parabole. Istovremeno se vjeruje da ekscentricitet parabole jednako jedan.

Od geometrijska razmatranja slijedi da je parabola simetrična u odnosu na pravu liniju okomitu na direktrisu i koja prolazi kroz fokus parabole. Ova prava linija naziva se osa simetrije parabole ili jednostavno osi parabole. Parabola siječe svoju osu simetrije u jednoj tački. Ova tačka se zove vrh parabole. Nalazi se u sredini segmenta koji povezuje fokus parabole sa tačkom preseka njene ose sa direktrisom (slika 8.3).

Parabola jednadžba. Za izvođenje jednačine parabole biramo na ravni porijeklo na vrhu parabole, as x-osa- osa parabole, pozitivni smjer na kojoj je određen položajem fokusa (vidi sliku 8.3). Ovaj koordinatni sistem se zove kanonski za dotičnu parabolu, a odgovarajuće varijable su kanonski.

Označimo udaljenost od fokusa do direktrise sa p. On je zvao fokalni parametar parabole.

Tada fokus ima koordinate F(p/2; 0), a direktrisa d je opisana jednadžbom x = - p/2. Lokus tačaka M(x; y), jednako udaljenih od tačke F i od prave d, dat je jednadžbom

Kvadratizirajmo jednačinu (8.2) i predstavimo slične. Dobijamo jednačinu

koji se zove kanonska jednadžba parabole.

Imajte na umu da je kvadratura u ovom slučaju - ekvivalentna konverzija jednadžba (8.2), pošto su obje strane jednačine nenegativne, kao i izraz pod radikalom.

Vrsta parabole. Ako je parabola y 2 = x, čiji oblik smatramo poznatim, komprimirana s koeficijentom 1/(2r) duž ose apscise, onda ćemo dobiti parabolu opšti pogled, koji je opisan jednačinom (8.3).

Primjer 8.2. Nađimo koordinate fokusa i jednačinu direktrise parabole ako ona prolazi kroz tačku čije su kanonske koordinate (25; 10).

U kanonskim koordinatama, jednadžba parabole ima oblik y 2 = 2px. Pošto je tačka (25; 10) na paraboli, onda je 100 = 50p i stoga je p = 2. Dakle, y 2 = 4x je kanonska jednačina parabole, x = - 1 je jednačina njene direktrise, a fokus je u tački (1; 0).

Optical property parabole. Parabola ima sljedeće optičko svojstvo. Ako se izvor svjetlosti postavi u fokus parabole, tada će svi zraci svjetlosti nakon odbijanja od parabole biti paralelni s osom parabole (slika 8.4). Optičko svojstvo znači da u bilo kojoj tački M parabole normalni vektor tangenta čini jednake uglove sa žarišnim radijusom MF i osom apscise.

Predlažem da ostali čitaoci značajno dopune svoje školsko znanje o paraboli i hiperboli. Hiperbola i parabola - jesu li jednostavne? ...jedva čekam =)

Hiperbola i njena kanonska jednadžba

Opća struktura prezentacija materijala će ličiti na prethodni paragraf. Počnimo sa opšti koncept hiperbole i problemi za njegovu konstrukciju.

Kanonska jednadžba hiperbole ima oblik , gdje su pozitivni realni brojevi. Imajte na umu da, za razliku od elipsa, uvjet ovdje nije nametnut, odnosno vrijednost “a” može biti manje od vrijednosti"bae".

Moram reći, sasvim neočekivano... jednačina "školske" hiperbole ni približno ne liči na kanonsku notaciju. Ali ova misterija će još morati da nas čeka, ali za sada hajde da se počešemo po glavi i prisetimo se šta karakteristične karakteristike ima li dotična kriva? Raširimo ga na ekran naše mašte graf funkcije ….

Hiperbola ima dvije simetrične grane.

Nije loš napredak! Svaka hiperbola ima ova svojstva, a sada ćemo sa iskrenim divljenjem gledati izrez ove linije:

Primjer 4

Konstruirajte hiperbolu dato jednačinom

Rješenje: na prvom koraku dajemo zadata jednačina kanonskom obliku. Molim vas zapamtite standardni red akcije. Na desnoj strani trebate dobiti "jedan", tako da podijelimo obje strane originalne jednadžbe sa 20:

Ovdje možete smanjiti oba razlomka, ali je optimalnije učiniti svaki od njih trospratni:

I tek nakon toga izvršite smanjenje:

Odaberite kvadrate u nazivnicima:

Zašto je bolje izvršiti transformaciju na ovaj način? Uostalom, razlomci na lijevoj strani mogu se odmah smanjiti i dobiti. Činjenica je da smo u razmatranom primjeru imali malo sreće: broj 20 je djeljiv i sa 4 i sa 5. U opšti slučaj Ovaj broj ne radi. Razmotrimo, na primjer, jednadžbu . Ovdje je sa djeljivošću sve tužnije i bez trospratni razlomci više nije moguće:

Dakle, iskoristimo plod našeg rada - kanonsku jednačinu:

Kako konstruisati hiperbolu?

Postoje dva pristupa konstruisanju hiperbole - geometrijski i algebarski.
Sa praktične tačke gledišta, crtanje šestarom... rekao bih čak i utopijski, pa je mnogo isplativije još jednom koristiti jednostavne proračune kao pomoć.

Preporučljivo je pridržavati se sljedećeg algoritma, prvo gotov crtež, a zatim komentare:

U praksi se često susreće kombinacija rotacije za proizvoljan ugao i paralelnog prevođenja hiperbole. Ova situacija diskutovano na času Redukcija jednačine linije 2. reda na kanonski oblik.

Parabola i njena kanonska jednadžba

Gotovo je! Ona je ta. Spremni otkriti mnoge tajne. Kanonska jednadžba parabole ima oblik , gdje je – pravi broj. Lako je uočiti da u svom standardnom položaju parabola „leži na boku“, a njen vrh je u početnoj poziciji. U ovom slučaju, funkcija specificira gornju granu ovog reda, a funkcija – donju granu. Očigledno je da je parabola simetrična oko ose. Zapravo, zašto se mučiti:

Primjer 6

Konstruisati parabolu

Rješenje: vrh je poznat, pronađimo dodatne tačke. Jednačina određuje gornji luk parabole, jednačina određuje donji luk.

Kako bismo skratili snimanje proračuna, proračune ćemo izvršiti „jednom četkom“:

Za kompaktno snimanje, rezultati se mogu sažeti u tabelu.

Prije izvođenja elementarnog crtanja tačku po tačku, formulirajmo strogi

definicija parabole:

Parabola je skup svih tačaka u ravni koje su jednako udaljene od date tačke i date prave koja ne prolazi kroz tačku.

Tačka se zove fokus parabole, prava linija - ravnateljica (piše se sa jednim "es") parabole. Konstantno "pe" kanonska jednačina pozvao fokalni parametar, što je jednako udaljenosti od fokusa do direktrise. U ovom slučaju . U ovom slučaju fokus ima koordinate, a direktrisa je data jednadžbom.
U našem primjeru:

Definicija parabole je još jednostavnija za razumijevanje od definicija elipse i hiperbole. Za bilo koju tačku na paraboli, dužina segmenta (udaljenost od fokusa do tačke) jednaka je dužini okomice (udaljenosti od tačke do direktrise):

Čestitamo! Mnogi od vas danas su došli do pravog otkrića. Ispostavilo se da hiperbola i parabola uopće nisu grafovi „običnih“ funkcija, već imaju izraženo geometrijsko porijeklo.

Očigledno, kako se fokusni parametar povećava, grane grafa će se „podići“ gore-dole, približavajući se beskonačno blizu osi. Kako se vrijednost "pe" smanjuje, oni će se početi sabijati i rastezati duž ose

Ekscentricitet bilo koje parabole jednak je jedinici:

Rotacija i paralelna translacija parabole

Parabola je jedna od najčešćih linija u matematici i moraćete da je gradite veoma često. Stoga vas molim da posebnu pažnju posvetite završnom pasusu lekcije o kojem ću raspravljati standardne opcije lokacija ove krive.

! Bilješka : kao iu slučajevima sa prethodnim krivuljama, ispravnije je govoriti o rotaciji i paralelnom prevođenju koordinatne ose, ali će se autor ograničiti na pojednostavljenu verziju prezentacije kako bi čitatelj imao utisak elementarne reprezentacije o ovim transformacijama.

Hajde da uvedemo pravougaoni koordinatni sistem, gde je . Pustite da os prođe kroz fokus F parabola i okomita na direktrisu, a os prolazi na sredini između fokusa i direktrise. Označimo sa udaljenosti između fokusa i direktrise. Zatim jednadžba direktrisa.

Broj se naziva fokalni parametar parabole. Neka je trenutna tačka parabole. Neka je fokusni radijus tačke hiperbole. Neka je udaljenost od tačke do direktrise. Onda ( crtež 27.)

Crtež 27.

Po definiciji parabole. dakle,

Kvadirajmo jednačinu i dobijemo:

(15)

gdje je (15) kanonska jednadžba parabole koja je simetrična oko ose i prolazi kroz ishodište.

Proučavanje svojstava parabole

1) Tem parabole:

Jednačina (15) je zadovoljena brojevima i stoga parabola prolazi kroz ishodište.

2) Parabola simetrija:

Neka pripada paraboli, odnosno istinska jednakost. Tačka je simetrična tački u odnosu na osu, dakle, parabola je simetrična u odnosu na osu apscise.

Ekscentricitet parabole:

Definicija 4.2. Ekscentricitet parabole je broj jednak jedan.

Pošto je po definiciji parabole.

4) Tangenta parabole:

Tangenta na parabolu u tački tangente data je jednadžbom

Gdje ( crtež 28.)

Crtež 28.

Parabola slika

Crtež 29.

Koristeći ESO-Mathcad:

crtež 30.)

Crtež 30.

a) Konstrukcija bez upotrebe ICT-a: Za konstruisanje parabole postavljamo pravougaoni koordinatni sistem sa centrom u tački O i jediničnim segmentom. Označavamo fokus na osi OX, jer crtamo tako da, i direktrisu parabole. Konstruišemo kružnicu u tački poluprečnika jednaka udaljenosti od prave do direktrise parabole. Krug siječe liniju u tačkama . Konstruišemo parabolu tako da prolazi kroz ishodište i kroz tačke.( crtež 31.)

Crtež 31.

b) Koristeći ESO-Mathcad:

Rezultirajuća jednačina izgleda ovako: . Da bismo konstruirali liniju drugog reda u Mathcad programu, svodimo jednačinu na oblik: .( crtež 32.)

Crtež 32.

Kako bismo sumirali rad na teoriji pravih drugog reda u elementarnoj matematici i radi lakšeg korištenja informacija o pravima pri rješavanju zadataka, sve podatke o pravima drugog reda uključit ćemo u tabelu br. 1.

Tabela br. 1.

Linije drugog reda u osnovnoj matematici

Naziv linije 2. reda	Krug	Elipsa	Hiperbola	Parabola
Karakteristična svojstva
Jednačina linije
Ekscentričnost
Jednadžba tangente u tački (x 0 ; y 0 )
Focus
Prečnici linija		gdje k- nagib	Gdje je k nagib	Gdje je k nagib

Mogućnosti upotrebe IKT u proučavanju linija drugog reda

Proces informatizacije, koji je danas zahvatio sve aspekte života savremenog društva, ima nekoliko prioritetnih oblasti koje, naravno, treba da obuhvate i informatizaciju obrazovanja. To je temeljna osnova za globalnu racionalizaciju ljudske intelektualne aktivnosti korištenjem informaciono-komunikacionih tehnologija (IKT).

Sredinu 90-ih godina prošlog vijeka do danas karakteriše široka upotreba i dostupnost personalnih računara u Rusiji, široka upotreba telekomunikacija, što omogućava uvođenje razvijenih obrazovnih informacionih tehnologija u obrazovni proces, njegovo unapređenje i modernizaciju, poboljšanje kvalitet znanja, povećanje motivacije za učenje, maksimalno korišćenje principa individualizacije učenja. Obrazovne informacione tehnologije su neophodan alat za u ovoj fazi informatizacija obrazovanja.

Informacione tehnologije ne samo da olakšavaju pristup informacijama i otvaraju mogućnosti za varijabilnost obrazovnih aktivnosti, njihovu individualizaciju i diferencijaciju, već i omogućavaju da se na nov način organizuje interakcija svih subjekata učenja, da se gradi obrazovni sistem, u kojoj bi učenik bio aktivan i ravnopravan učesnik u obrazovnim aktivnostima.

Formiranje novih informacione tehnologije u okviru predmetne nastave stimulišu potrebu za stvaranjem novih softverskih i metodoloških kompleksa koji imaju za cilj kvalitativno povećanje efikasnosti lekcije. Stoga, za uspješnu i ciljanu upotrebu u obrazovni proces alati informacionih tehnologija, nastavnici treba da znaju opći opis principe rada i didaktičke mogućnosti softverskih aplikacija, a zatim ih, na osnovu svog iskustva i preporuka, „ugraditi“ u obrazovni proces.

Studij matematike je trenutno povezan sa nizom karakteristika i teškoća u razvoju. školsko obrazovanje u našoj zemlji.

Pojavila se takozvana kriza u matematičkom obrazovanju. Razlozi za to su sljedeći:

U promjeni prioriteta u društvu iu nauci, odnosno prioritet humanističkih nauka trenutno raste;

U smanjenju broja časova matematike u školi;

Izolacija sadržaja matematičkog obrazovanja od života;

Ima mali uticaj na osećanja i emocije učenika.

Danas ostaje otvoreno pitanje: „Kako najefikasnije iskoristiti potencijalne mogućnosti savremenih informacionih i komunikacionih tehnologija u nastavi učenika, uključujući i matematiku?“

Kompjuter je odličan pomoćnik u proučavanju teme kao što je "Kvadratna funkcija", jer pomoću posebnih programa možete graditi grafove različitih funkcija, istraživati funkciju, lako odrediti koordinate točaka presjeka, izračunati površine zatvorenih figura itd. Na primjer, na času algebre u 9. razredu posvećenom transformaciji grafa (istezanje, sabijanje, pomicanje koordinatnih osa), možete vidjeti samo zamrznuti rezultat konstrukcije, dok se može vidjeti cjelokupna dinamika sekvencijalnih radnji nastavnika i učenika na ekranu monitora.

Kompjuter kao nijedan drugi tehnička sredstva, tačno, jasno i uzbudljivo otkriva učeniku idealne matematičke modele, tj. čemu dete treba da teži u svojim praktičnim postupcima.

Kroz koliko poteškoća mora proći nastavnik matematike da bi uvjerio učenike da je tangenta na graf kvadratna funkcija na dodirnoj tački se praktično spaja sa grafom funkcije. Ovu činjenicu je vrlo lako demonstrirati na kompjuteru – dovoljno je suziti interval duž ose Ox i otkriti da se u vrlo maloj okolini tangentne tačke grafik funkcije i tangentna linija poklapaju. Sve ove akcije se odvijaju pred učenicima. Ovaj primjer daje poticaj za aktivno razmišljanje u lekciji. Upotreba računara je moguća kako tokom objašnjavanja novog gradiva na času tako i u fazi kontrole. Uz pomoć ovih programa, na primjer „Moj test“, student može samostalno provjeriti svoj nivo znanja iz teorije i obaviti teorijske i praktične zadatke. Programi su praktični zbog svoje svestranosti. Mogu se koristiti i za samokontrolu i za kontrolu nastavnika.

Razumna integracija matematike i kompjuterske tehnologije omogućit će nam da bogatije i dublje sagledamo proces rješavanja problema i proces razumijevanja matematičkih zakona. Osim toga, kompjuter će pomoći u formiranju grafičke, matematičke i mentalne kulture učenika, a uz pomoć računara možete pripremiti didaktičke materijale: kartice, anketne listove, testove i sl. Istovremeno djeci dajte mogućnost samostalnog razvijanja testova na tu temu, tokom kojih postoji interesovanje i kreativnost.

Dakle, postoji potreba da se računari koriste u nastavi matematike što je moguće šire. Upotreba informacijske tehnologije pomoći će poboljšanju kvalitete znanja, proširiti horizonte proučavanja kvadratne funkcije, a samim tim i pomoći u pronalaženju novih perspektiva za održavanje interesa učenika za predmet i temu, a samim tim i za bolji, pažljiviji odnos prema njima. . Savremene informacione tehnologije danas postaju najvažniji alat za modernizaciju škole u cjelini – od upravljanja do obrazovanja i osiguravanja dostupnosti obrazovanja.

Nivo III

3.1. Hiperbola dodiruje redove 5 x – 6y – 16 = 0, 13x – 10y– – 48 = 0. Zapišite jednačinu hiperbole pod uslovom da se njene ose poklapaju sa koordinatnim osa.

3.2. Napišite jednadžbe za tangente na hiperbolu

1) prolaz kroz tačku A(4, 1), B(5, 2) i C(5, 6);

2) paralelno sa pravom linijom 10 x – 3y + 9 = 0;

3) okomito na pravu 10 x – 3y + 9 = 0.

Parabola je geometrijsko mjesto tačaka u ravni čije koordinate zadovoljavaju jednačinu

Parabole parabole:

Dot F(str/2, 0) se zove fokus parabole, magnituda str – parametar , tačka O(0, 0) – top . U ovom slučaju, prava linija OF, oko koje je parabola simetrična, definira os ove krive.

Magnituda Gdje M(x, y) – proizvoljna tačka nazivaju se parabole fokusni radijus , ravno D: x = –str/2 – ravnateljica (ne siječe unutrašnjost parabole). Magnituda naziva se ekscentricitet parabole.

Osnove karakteristično svojstvo parabole: sve tačke parabole su jednako udaljene od direktrise i fokusa (slika 24).

Postoje i drugi oblici jednadžbe kanonske parabole koji određuju druge smjerove njenih grana u koordinatnom sistemu (slika 25):

Za parametrijska definicija parabole kao parametar t ordinatna vrijednost parabole može se uzeti:

Gdje t je proizvoljan realan broj.

Primjer 1. Odredite parametre i oblik parabole koristeći njenu kanonsku jednadžbu:

Rješenje. 1. Jednačina y 2 = –8x definira parabolu sa vrhom u tački O Oh. Njegove grane su usmjerene lijevo. Poređenje ove jednačine sa jednačinom y 2 = –2px, nalazimo: 2 str = 8, str = 4, str/2 = 2. Dakle, fokus je u tački F(–2; 0), jednadžba direktrisa D: x= 2 (slika 26).

2. Jednačina x 2 = –4y definira parabolu sa vrhom u tački O(0; 0), simetrično oko ose Oy. Njegove grane su usmjerene prema dolje. Poređenje ove jednačine sa jednačinom x 2 = –2py, nalazimo: 2 str = 4, str = 2, str/2 = 1. Dakle, fokus je u tački F(0; –1), jednadžba direktrisa D: y= 1 (slika 27).

Primjer 2. Odredite parametre i vrstu krive x 2 + 8x – 16y– 32 = 0. Napravite crtež.

Rješenje. Transformirajmo lijevu stranu jednačine metodom odabira pun kvadrat:

x 2 + 8x– 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16y – 48 =0;

(x + 4) 2 – 16(y + 3).

Kao rezultat dobijamo

(x + 4) 2 = 16(y + 3).

Ovo je kanonska jednadžba parabole sa vrhom u tački (–4, –3), parametar str= 8, grane usmjerene prema gore (), os x= –4. Fokus je na tački F(–4; –3 + str/2), tj. F(–4; 1) Direktorica D dato jednačinom y = –3 – str/2 ili y= –7 (Sl. 28).

Primjer 4. Napišite jednačinu za parabolu čiji je vrh u tački V(3; –2) i fokus na tačku F(1; –2).

Rješenje. Tem i fokus date parabole leže na pravoj liniji paralelnoj s osi Ox(iste ordinate), grane parabole su usmjerene ulijevo (apscisa fokusa je manja od apscise vrha), udaljenost od fokusa do temena je str/2 = 3 – 1 = 2, str= 4. Dakle, tražena jednačina

(y+ 2) 2 = –2 4( x– 3) ili ( y + 2) 2 = = –8(x – 3).

Zadaci za nezavisna odluka

I nivo

1.1. Odredite parametre parabole i konstruirajte je:

1) y 2 = 2x; 2) y 2 = –3x;

3) x 2 = 6y; 4) x 2 = –y.

1.2. Napišite jednačinu parabole sa vrhom u početnoj fazi ako znate da:

1) parabola se nalazi u lijevoj poluravni simetrično u odnosu na osu Ox I str = 4;

2) parabola se nalazi simetrično u odnosu na osu Oy i prolazi kroz tačku M(4; –2).

3) direktrisa je data jednačinom 3 y + 4 = 0.

1.3. Napišite jednačinu za krivu čije su sve tačke jednako udaljene od tačke (2; 0) i prave linije x = –2.

Nivo II

2.1. Odredite tip i parametre krive.

Verovatno svi znaju šta je parabola. Ali u nastavku ćemo pogledati kako ga pravilno i kompetentno koristiti prilikom rješavanja raznih praktičnih problema.

Prvo, izložimo osnovne koncepte koje algebra i geometrija daju ovom terminu. Hajde da razmotrimo sve mogući tipovi ovaj grafikon.

Hajde da saznamo sve glavne karakteristike ove funkcije. Hajde da shvatimo osnove konstrukcije krive (geometrije). Naučimo kako pronaći vrh i druge osnovne vrijednosti grafa ove vrste.

Hajde da saznamo: kako pravilno konstruirati željenu krivulju koristeći jednadžbu, na šta trebate obratiti pažnju. Hajde da vidimo osnove praktična upotreba ovu jedinstvenu vrijednost u ljudskom životu.

Šta je parabola i kako izgleda?

Algebra: Ovaj termin se odnosi na graf kvadratne funkcije.

Geometrija: ovo je kriva drugog reda koja ima niz specifičnih karakteristika:

Kanonska parabola jednadžba

Slika pokazuje pravougaoni sistem koordinate (XOY), ekstrem, smjer grana funkcije crtanja duž ose apscise.

Kanonska jednadžba je:

y 2 = 2 * p * x,

gdje je koeficijent p fokalni parametar parabole (AF).

U algebri će se drugačije pisati:

y = a x 2 + b x + c (prepoznatljivi uzorak: y = x 2).

Svojstva i graf kvadratne funkcije

Funkcija ima os simetrije i centar (ekstremum). Domen definicije su sve vrijednosti ose apscise.

Raspon vrijednosti funkcije – (-∞, M) ili (M, +∞) ovisi o smjeru grana krivulje. Parametar M ovdje znači vrijednost funkcije na vrhu reda.

Kako odrediti gdje su usmjerene grane parabole

Da biste pronašli smjer krivulje ovog tipa iz izraza, morate odrediti znak prije prvog parametra algebarski izraz. Ako je a ˃ 0, onda su usmjereni prema gore. Ako je obrnuto, dole.

Kako pronaći vrh parabole koristeći formulu

Pronalaženje ekstrema je glavni korak u rješavanju mnogih praktičnih problema. Naravno, možete otvoriti posebne online kalkulatori, ali bolje je da to možete sami da uradite.

Kako to odrediti? Postoji posebna formula. Kada b nije jednako 0, moramo potražiti koordinate ove tačke.

Formule za pronalaženje temena:

x 0 = -b / (2 * a);
y 0 = y (x 0).

Primjer.

Postoji funkcija y = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Nađimo vrhove ove funkcije.

Za ovakvu liniju:

x = -16 / (2 * 4) = -2;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Dobijamo koordinate vrha (-2, -41).

Pomak parabole

Klasičan slučaj je kada su u kvadratnoj funkciji y = a x 2 + b x + c, drugi i treći parametar jednaki 0, a = 1 - vrh je u tački (0; 0).

Kretanje duž apscisne ili ordinatne osi je uzrokovano promjenama parametara b i c, respektivno. Linija na ravni će biti pomaknuta za tačan broj jedinica jednak vrijednosti parametra.

Primjer.

Imamo: b = 2, c = 3.

To znači da će se klasični oblik krive pomjeriti za 2 jedinična segmenta duž ose apscise i za 3 duž ose ordinata.

Kako izgraditi parabolu pomoću kvadratne jednadžbe

Za školarce je važno da nauče kako pravilno nacrtati parabolu koristeći date parametre.

Analizom izraza i jednačina možete vidjeti sljedeće:

Tačka preseka željene linije sa vektorom ordinate imaće vrednost jednaka vrijednosti With.
Sve tačke grafa (duž x-ose) će biti simetrične u odnosu na glavni ekstrem funkcije.

Osim toga, točke presjeka sa OX mogu se pronaći poznavanjem diskriminanta (D) takve funkcije:

D = (b 2 - 4 * a * c).

Da biste to učinili, morate izraz izjednačiti sa nulom.

Prisutnost korijena parabole ovisi o rezultatu:

D ˃ 0, tada x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
D = 0, tada x 1, 2 = -b / (2 * a);
D ˂ 0, tada nema tačaka preseka sa vektorom OX.

Dobijamo algoritam za konstruisanje parabole:

odrediti smjer grana;
pronaći koordinate vrha;
naći raskrsnicu sa ordinatnom osom;
pronađite presek sa x-osom.

Primjer 1.

Zadata je funkcija y = x 2 - 5 * x + 4. Potrebno je konstruirati parabolu. Pratimo algoritam:

a = 1, dakle, grane su usmjerene prema gore;
ekstremne koordinate: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
seče sa ordinatnom osom na vrednosti y = 4;
nađimo diskriminanta: D = 25 - 16 = 9;
tražim korijene:

X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
X 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (10).

Primjer 2.

Za funkciju y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 trebate konstruirati parabolu. Radimo po zadatom algoritmu:

a = 3, dakle, grane su usmjerene prema gore;
ekstremne koordinate: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
presecaće se sa y-osom na vrednosti y = -1;
hajde da nađemo diskriminanta: D = 4 + 12 = 16. Dakle, koreni su:

X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
X 2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

Koristeći dobijene tačke, možete konstruisati parabolu.

Directrix, ekscentricitet, fokus parabole

Na osnovu kanonske jednačine, fokus F ima koordinate (p/2, 0).

Prava AB je direktrisa (vrsta tetive parabole određene dužine). Njegova jednadžba je x = -p/2.

Ekscentricitet (konstanta) = 1.

Zaključak

Pogledali smo temu o kojoj uče školarci srednja škola. Sada znate, gledajući kvadratnu funkciju parabole, kako pronaći njen vrh, u kojem smjeru će grane biti usmjerene, da li postoji pomak duž osa, i, koristeći algoritam konstrukcije, možete nacrtati njen graf.