Το κέντρο μάζας του συστήματος των σημείων. Προσδιορισμός του κέντρου βάρους του μεγάλου
Εντολή
Προσπαθήστε να βρείτε το κέντρο βαρύτηταδιαμέρισμα φιγούρεςαπό εμπειρία. Πάρτε ένα νέο ατρόμητο μολύβι, βάλτε το όρθιο. Τοποθετήστε μια επίπεδη φιγούρα από πάνω. Σημειώστε το σημείο στη φιγούρα όπου κρατιέται σταθερά στο μολύβι. Αυτό θα είναι το κέντρο βαρύτητατα δικα σου φιγούρες. Αντί για μολύβι, απλά χρησιμοποιήστε τον δείκτη που τεντώνεται προς τα πάνω. Αλλά αυτό, τελικά, είναι απαραίτητο να διασφαλιστεί ότι το δάχτυλο στέκεται ίσιο, δεν ταλαντεύεται ή τρέμει.
Για να αποδείξετε ότι το σημείο που προκύπτει είναι το κέντρο μάζας, κάντε μια τρύπα σε αυτό με μια βελόνα. Περάστε την κλωστή από την τρύπα, δέστε έναν κόμπο στη μία άκρη - για να μην βγει η κλωστή. Κρατώντας από την άλλη άκρη της κλωστής, κρεμάστε το σώμα σε αυτό. Αν το κέντρο βαρύτηταδεξιά, το σχήμα θα βρίσκεται ακριβώς, παράλληλα με το πάτωμα. Τα πλευρά της δεν θα ταλαντεύονται.
Βρείτε ένα κέντρο βαρύτητα φιγούρεςμε γεωμετρικό τρόπο. Εάν έχετε ένα τρίγωνο, χτίστε σε αυτό. Αυτά τα τμήματα συνδέουν τις κορυφές του τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς. Το θέμα θα γίνει κέντροτη μάζα του τριγώνου. Μπορείτε ακόμη και να διπλώσετε τη φιγούρα στη μέση για να βρείτε το μέσο μιας πλευράς, αλλά έχετε κατά νου ότι αυτό θα σπάσει την ομοιομορφία φιγούρες.
Συγκρίνετε τα αποτελέσματα που προέκυψαν γεωμετρικά και εμπειρικά. Αναφέρετε την πρόοδο του πειράματος. Τα μικρά σφάλματα θεωρούνται φυσιολογικά. Εξηγούνται από την ατέλεια φιγούρες, ανακρίβεια οργάνων, ανθρώπινος παράγοντας (μικρά ελαττώματα στην εργασία, ατέλεια ανθρώπινου ματιού κ.λπ.).
Πηγές:
- Υπολογισμός των συντεταγμένων του κέντρου βάρους ενός επίπεδου σχήματος
Το κέντρο του σχήματος μπορεί να βρεθεί με διάφορους τρόπους, ανάλογα με τα δεδομένα σχετικά με αυτό είναι ήδη γνωστά. Αξίζει να σκεφτείτε να βρείτε το κέντρο του κύκλου, το οποίο είναι μια συλλογή σημείων που βρίσκονται σε ίση απόσταση από το κέντρο, καθώς αυτό το σχήμα είναι ένα από τα πιο συνηθισμένα.
Θα χρειαστείτε
- - τετράγωνο;
- - κυβερνήτης.
Εντολή
Ο ευκολότερος τρόπος για να βρείτε το κέντρο ενός κύκλου είναι να λυγίσετε το κομμάτι χαρτί στο οποίο είναι σχεδιασμένο, φροντίζοντας, κοιτάζοντας το φως, ότι είναι διπλωμένο ακριβώς στη μέση. Στη συνέχεια διπλώστε το φύλλο κάθετα στην πρώτη πτυχή. Έτσι παίρνετε τις διαμέτρους, το σημείο τομής των οποίων είναι το κέντρο του σχήματος.
P1= m1*g, P2= m2*g;
Το κέντρο βάρους βρίσκεται ανάμεσα στις δύο μάζες. Και αν ολόκληρο το σώμα αιωρείται σε τ.Ο, θα έρθει η αξία της ισορροπίας, δηλαδή αυτά θα πάψουν να υπερτερούν μεταξύ τους.
Μια ποικιλία από γεωμετρικά σχήματα έχουν φυσικούς και υπολογισμούς για το κέντρο βάρους. Το καθένα έχει τη δική του προσέγγιση και μέθοδο.
Λαμβάνοντας υπόψη τον δίσκο, διευκρινίζουμε ότι το κέντρο βάρους βρίσκεται μέσα σε αυτόν, πιο συγκεκριμένα, οι διάμετροι (όπως φαίνεται στο σχήμα στο σημείο C - το σημείο τομής των διαμέτρων). Με τον ίδιο τρόπο βρίσκονται τα κέντρα ενός παραλληλεπίπεδου ή μιας ομοιογενούς μπάλας.
Ο παρουσιαζόμενος δίσκος και δύο σώματα με μάζες m1 και m2 έχουν ομοιόμορφη μάζα και κανονικό σχήμα. Εδώ μπορεί να σημειωθεί ότι το κέντρο βάρους που αναζητούμε βρίσκεται μέσα σε αυτά τα αντικείμενα. Ωστόσο, σε σώματα με ανομοιογενή μάζα και ακανόνιστο σχήμα, το κέντρο μπορεί να βρίσκεται πιο πέρα. Εσείς οι ίδιοι νιώθετε ότι το έργο γίνεται ήδη πιο δύσκολο.
Η μόδα για τις «γυναίκες που μοιάζουν με αγόρια» έχει περάσει από καιρό, αλλά πολλά από το ωραίο φύλο εξακολουθούν να θέλουν να έχουν μια επίπεδη λεία. Αν και σήμερα είναι «στη μόδα» να επιδεικνύουμε όλη την ανθισμένη σεξουαλικότητα, ένα αρμονικό, όμορφο και εκπαιδευμένο σώμα. Πράγματι, σε αυτή την περίπτωση, ένας όμορφος κώλος είναι απαραίτητο συστατικό όχι μόνο της γυναικείας, αλλά και της ανδρικής ομορφιάς.
Εντολή
Προς την γάιδαροςεπίπεδη, πρέπει να κάνετε τα εξής. 1 άσκηση "Ανύψωση των ποδιών". Αυτή η άσκηση μπορεί να είναι σε διάφορες εκδόσεις. Πηγαίνετε στα τέσσερα - στην αρχική θέση και, στη συνέχεια, σηκώστε εναλλάξ κάθε πόδι έτσι ώστε ο μηρός να είναι παράλληλος με το πάτωμα. Κλειδώστε το πόδι σε πιεσμένη θέση και κάντε ανοδικές κινήσεις προς τα πάνω. Ταυτόχρονα, προσέξτε τη στερέωση του ποδιού σας στην άρθρωση του αστραγάλου και του γόνατος, προσπαθήστε να μην αλλάξετε αυτή τη θέση.
Άσκηση 2 «Ανύψωση της λεκάνης» Ξαπλώστε, τοποθετήστε τα χέρια σας παράλληλα με το σώμα και λυγίστε τα γόνατά σας. Μετά από αυτό, σηκώστε τη λεκάνη από το πάτωμα, τεντώνοντας έντονα τους γλουτούς. Ταυτόχρονα, το πάνω μέρος και τα χέρια δεν πρέπει να ξεκολλούν από το πάτωμα.Στην ίδια θέση κάντε ελαστικές ανοδικές κινήσεις.
Άσκηση 3 «Ανύψωση» Σηκωθείτε, τοποθετήστε τα πόδια σας στο πλάτος των ώμων. Εναλλακτικά σηκώστε και χαμηλώστε το ένα γόνατο όσο πιο ψηλά γίνεται. Όταν σηκώνετε το γόνατό σας, προσπαθήστε να μείνετε όσο το δυνατόν περισσότερο, χωρίς να κινείστε, στο ένα πόδι Αυτή η άσκηση λειτουργεί πολύ καλά στην περιοχή που βρίσκεται ακριβώς πάνω από τους γλουτούς.
Άσκηση 4 «Οκλαδόν με απαγωγή της λεκάνης.» Σταθείτε έτσι ώστε τα πόδια σας να είναι πιο φαρδιά από τους ώμους σας και τα πόδια σας να είναι παράλληλα με αυτά. Σε αυτή την περίπτωση, το αριστερό πόδι πρέπει να είναι ελαφρώς πίσω από το δεξί. Στη συνέχεια, καθίστε, ακουμπώντας στο αριστερό σας πόδι και παίρνοντας τη λεκάνη σας πίσω. Ταυτόχρονα, τεντώστε τα χέρια σας μπροστά από το αριστερό σας πόδι, κρατήστε την πλάτη σας ίσια. Μετά από αυτό, σηκωθείτε, μεταφέρετε όλο το βάρος στο δεξί πόδι, πάρτε το αριστερό πίσω και σηκώστε τα χέρια σας πάνω από το κεφάλι σας.Επαναλάβετε αυτή την άσκηση 10 φορές και μετά αλλάξτε το πόδι.
Άσκηση 5 «Λούντζες με τροχό» Πετάξτε μπροστά, ξεκινώντας από το αριστερό πόδι, στρίψτε ελαφρά το πόδι δεξιόστροφα. Στη συνέχεια, γείρετε προς τα εμπρός από το ισχίο. Ταυτόχρονα, άπλωσε τα χέρια σου διάπλατα, σαν να θέλεις να φτιάξεις τροχό. Μείνετε για λίγα δευτερόλεπτα σε αυτή τη θέση και στη συνέχεια σηκωθείτε, κρατώντας τη θέση του δεξιού ποδιού. Με το αριστερό σας, κάντε ένα βήμα προς τα αριστερά και γυρίστε το δάχτυλο του ποδιού προς τα έξω. Καθίστε οκλαδόν και γείρετε προς τα αριστερά.
Σχετικά βίντεο
Πηγές:
- επίπεδο πάτο το 2019
Με τη συνήθη έννοια, το κέντρο βάρους γίνεται αντιληπτό ως ένα σημείο στο οποίο μπορεί να εφαρμοστεί το αποτέλεσμα όλων των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα. Το απλούστερο παράδειγμα είναι μια παιδική κούνια με τη μορφή κανονικού πίνακα. Χωρίς υπολογισμούς, κάθε παιδί θα σηκώσει το στήριγμα της σανίδας με τέτοιο τρόπο ώστε να ισορροπεί (ή ίσως να υπερτερεί) ενός βαρύ άνδρα σε μια κούνια. Στην περίπτωση πολύπλοκων σωμάτων και τμημάτων, είναι απαραίτητοι οι ακριβείς υπολογισμοί και οι αντίστοιχοι τύποι. Ακόμα κι αν προκύψουν δυσκίνητες εκφράσεις, το κύριο πράγμα είναι να μην τις φοβόμαστε, αλλά να θυμόμαστε ότι αρχικά μιλάμε για ένα σχεδόν στοιχειώδες έργο.
Εντολή
Εξετάστε τον απλούστερο μοχλό (βλ. Εικόνα 1) σε θέση ισορροπίας. Τοποθετήστε στον οριζόντιο άξονα x12 με τετμημένη και τοποθετήστε υλικά σημεία μάζας m1 και m2 στις άκρες. Θεωρήστε τις συντεταγμένες τους κατά μήκος του άξονα 0x γνωστό και ίσο με x1 και x2. Ο μοχλός βρίσκεται σε θέση ισορροπίας αν οι ροπές των δυνάμεων βάρους Р1=m1g και P2=m2g είναι ίσες. Η ροπή είναι ίση με το γινόμενο της δύναμης και του ώμου της, που μπορεί να βρεθεί ως το μήκος της καθέτου που έπεσε από το σημείο εφαρμογής της δύναμης στην κατακόρυφη x=x12. Επομένως, σύμφωνα με το Σχήμα 1, m1g11= m2g12, 11=x12-x1, 12=x2-x12. Τότε m1(х12-х1)=m2(х2-х12). Λύστε αυτή την εξίσωση και λάβετε x12=(m1x1+m2x2)/(m1+m2).
Για να βρείτε την τεταγμένη y12, εφαρμόστε τον ίδιο συλλογισμό και τους ίδιους υπολογισμούς όπως στο βήμα 1. Συνεχίστε να ακολουθείτε την εικόνα στο Σχήμα 1, όπου m1gh1= m2gh2, h1=y12-y1, h21-y2-y. Τότε m1(y12-y1)=m2(y2-y12). Το αποτέλεσμα είναι y12=(m1y1+m2y2)/(m1+m2). Επιπλέον, θεωρήστε ότι αντί για ένα σύστημα δύο σημείων, υπάρχει ένα σημείο M12(x12, y12) της συνολικής μάζας (m1+m2).
Στο σύστημα των δύο σημείων, προσθέστε μια άλλη μάζα (m3) με συντεταγμένες (x3, y3). Κατά τον υπολογισμό, θα πρέπει να λάβετε υπόψη ότι έχετε να κάνετε με δύο σημεία, όπου το δεύτερο από αυτά έχει μάζα (m1 + m2) και συντεταγμένες (x12, y12). Επαναλαμβάνοντας όλα τα βήματα 1 και 2 για αυτά τα δύο σημεία, θα έρθετε στο κέντρο τριών σημείων x123=(m1x1+m2x2+m3x3)/(m1+m2+m3), +m3). Στη συνέχεια, προσθέστε τον τέταρτο, τον πέμπτο και ούτω καθεξής πόντους. Αφού επαναλάβετε πολλές φορές την ίδια διαδικασία, βεβαιωθείτε ότι για ένα σύστημα n σημείων, οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους υπολογίζονται από τον τύπο (βλ. Εικ. 2). Σημειώστε μόνοι σας το γεγονός ότι κατά τη διαδικασία της εργασίας, η επιτάχυνση της βαρύτητας g μειώθηκε. Επομένως, οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας και βάρους συμπίπτουν.
Φανταστείτε ότι στο εξεταζόμενο τμήμα υπάρχει κάποιο εμβαδόν D, του οποίου η επιφανειακή πυκνότητα είναι ρ=1. Από πάνω και κάτω το σχήμα περιορίζεται από τα γραφήματα των καμπυλών y=φ(x) και y=ψ(x), x є [a,b]. Διαιρέστε την περιοχή D με κάθετες x=x₍i-1₎, x=x₍i₎ (i=1,2,…,n) σε λεπτές λωρίδες, έτσι ώστε να μπορούν να θεωρηθούν κατά προσέγγιση ορθογώνια με βάσεις ∆χi (βλ. Εικ. .3). Σε αυτή την περίπτωση, θεωρήστε ότι το μέσο του τμήματος Δхi συμπίπτει με την τετμημένη του κέντρου μάζας ξi=(1/2). Θεωρήστε το ύψος του παραλληλογράμμου περίπου ίσο με [φ(ξi)-ψ(ξi)]. Τότε η τεταγμένη του κέντρου μάζας του στοιχειώδους εμβαδού είναι ηi=(1/2)[φ(ξi)+ψ(ξi)].
Λόγω της ομοιόμορφης κατανομής της πυκνότητας, θεωρήστε ότι το κέντρο μάζας της λωρίδας συμπίπτει με το γεωμετρικό της κέντρο. Η αντίστοιχη στοιχειώδης μάζα Δmi=ρ[φ(ξi)-ψ(ξi)]Δхi=[φ(ξi)-ψ(ξi)]Δχi συγκεντρώνεται στο σημείο (ξi,ηi). Ήρθε η στιγμή για την αντίστροφη μετάβαση από τη μάζα, που αναπαρίσταται σε μια διακριτή μορφή, σε μια συνεχή. Σύμφωνα με τους τύπους για τον υπολογισμό των συντεταγμένων (βλ. Εικ. 2) του κέντρου βάρους, σχηματίζονται ολοκληρωτικά αθροίσματα, που απεικονίζονται στο Σχ. 4α. Περνώντας στο όριο στο ∆xi→0 (ξi→xi) από αθροίσματα σε οριστικά ολοκληρώματα, θα λάβετε την τελική απάντηση (Εικ. 4β). Δεν υπάρχει μάζα στην απάντηση. Η ισότητα S=M πρέπει να νοείται μόνο ως ποσοτική. Οι διαστάσεις είναι διαφορετικές εδώ.
Στην πρακτική της μηχανικής, συμβαίνει ότι καθίσταται απαραίτητο να υπολογιστούν οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους μιας σύνθετης επίπεδης φιγούρας που αποτελείται από απλά στοιχεία για τα οποία είναι γνωστή η θέση του κέντρου βάρους. Αυτό το καθήκον είναι μέρος του καθήκοντος προσδιορισμού...
Γεωμετρικά χαρακτηριστικά σύνθετων διατομών δοκών και ράβδων. Συχνά τέτοια ερωτήματα αντιμετωπίζουν μηχανικοί σχεδιασμού μήτρων διάτρησης κατά τον προσδιορισμό των συντεταγμένων του κέντρου πίεσης, προγραμματιστές σχημάτων φόρτωσης για διάφορα οχήματα κατά την τοποθέτηση φορτίων, σχεδιαστές μεταλλικών κατασκευών κατά την επιλογή τμημάτων στοιχείων και, φυσικά, φοιτητές κατά τη μελέτη τους κλάδους «Θεωρητική Μηχανική» και «Αντοχή Υλικών».
Βιβλιοθήκη στοιχειωδών μορφών.
Για συμμετρικά επίπεδα σχήματα, το κέντρο βάρους συμπίπτει με το κέντρο συμμετρίας. Η συμμετρική ομάδα στοιχειωδών αντικειμένων περιλαμβάνει: έναν κύκλο, ένα ορθογώνιο (συμπεριλαμβανομένου ενός τετραγώνου), ένα παραλληλόγραμμο (συμπεριλαμβανομένου ενός ρόμβου), ένα κανονικό πολύγωνο.
Από τα δέκα σχήματα που φαίνονται στο παραπάνω σχήμα, μόνο δύο είναι βασικά. Δηλαδή, χρησιμοποιώντας τρίγωνα και τομείς κύκλων, μπορείτε να συνδυάσετε σχεδόν οποιοδήποτε σχήμα πρακτικού ενδιαφέροντος. Οποιεσδήποτε αυθαίρετες καμπύλες μπορούν να χωριστούν σε τμήματα και να αντικατασταθούν από τόξα κύκλων.
Οι υπόλοιπες οκτώ φιγούρες είναι οι πιο συνηθισμένες, γι' αυτό και συμπεριλήφθηκαν σε αυτού του είδους τη βιβλιοθήκη. Στην κατάταξή μας, αυτά τα στοιχεία δεν είναι βασικά. Ένα ορθογώνιο, ένα παραλληλόγραμμο και ένα τραπεζοειδές μπορούν να αποτελούνται από δύο τρίγωνα. Ένα εξάγωνο είναι το άθροισμα τεσσάρων τριγώνων. Το τμήμα του κύκλου είναι η διαφορά μεταξύ του τομέα του κύκλου και του τριγώνου. Ο δακτυλιοειδής τομέας του κύκλου είναι η διαφορά μεταξύ των δύο τομέων. Κύκλος είναι ένας τομέας κύκλου με γωνία α=2*π=360˚. Ημικύκλιο είναι, αντίστοιχα, τομέας κύκλου με γωνία α=π=180˚.
Υπολογισμός στο Excel των συντεταγμένων του κέντρου βάρους ενός σύνθετου σχήματος.
Είναι πάντα πιο εύκολο να μεταδώσεις και να αντιληφθείς πληροφορίες λαμβάνοντας υπόψη ένα παράδειγμα παρά να μελετήσεις το ζήτημα με καθαρά θεωρητικούς υπολογισμούς. Εξετάστε τη λύση στο πρόβλημα "Πώς να βρείτε το κέντρο βάρους;" στο παράδειγμα ενός σύνθετου σχήματος που φαίνεται στο σχήμα κάτω από αυτό το κείμενο.
Ένα σύνθετο τμήμα είναι ένα ορθογώνιο (με διαστάσεις ένα1 =80 mm, σι1 \u003d 40 mm), στο οποίο προστέθηκε ένα ισοσκελές τρίγωνο επάνω αριστερά (με το μέγεθος της βάσης ένα2 =24 mm και ύψος η2 \u003d 42 mm) και από το οποίο κόπηκε ένα ημικύκλιο από πάνω δεξιά (με κέντρο στο σημείο με συντεταγμένες Χ03 =50 mm και y03 =40 mm, ακτίνα r3 =26 mm).
Για να σας βοηθήσουμε να εκτελέσετε τον υπολογισμό, θα συμπεριλάβουμε το πρόγραμμα MS Excel ή πρόγραμμα Oo Calc . Οποιοσδήποτε από αυτούς θα αντιμετωπίσει εύκολα το έργο μας!
Σε κύτταρα με κίτρινος το γέμισμα είναι εφικτό βοηθητική προκαταρκτική υπολογισμούς .
Σε κελιά με ανοιχτό κίτρινο γέμισμα, μετράμε τα αποτελέσματα.
Μπλε γραμματοσειρά είναι αρχικά δεδομένα .
Μαύρος γραμματοσειρά είναι ενδιάμεσος αποτελέσματα υπολογισμού .
το κόκκινο γραμματοσειρά είναι τελικός αποτελέσματα υπολογισμού .
Αρχίζουμε να λύνουμε το πρόβλημα - αρχίζουμε να ψάχνουμε για τις συντεταγμένες του κέντρου βάρους του τμήματος.
Αρχικά δεδομένα:
1. Τα ονόματα των στοιχειωδών σχημάτων που αποτελούν τη σύνθετη ενότητα θα εισαχθούν ανάλογα
στο κελί D3: Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο
στο κελί E3: Τρίγωνο
στο κελί F3: Ημικύκλιο
2. Χρησιμοποιώντας τη "Βιβλιοθήκη στοιχειωδών σχημάτων" που παρουσιάζεται σε αυτό το άρθρο, προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες των κέντρων βάρους των στοιχείων του σύνθετου τμήματος xciκαι yciσε mm σε σχέση με τους αυθαίρετα επιλεγμένους άξονες 0x και 0y και γράψτε
στο κελί D4: =80/2 = 40,000
xc 1 = ένα 1 /2
στο κελί D5: =40/2 =20,000
yc 1 = σι 1 /2
στο κελί E4: =24/2 =12,000
xc 2 = ένα 2 /2
στο κελί E5: =40+42/3 =54,000
yc 2 = σι 1 + η 2 /3
στο κελί F4: =50 =50,000
xc 3 = Χ03
στο κελί F5: =40-4*26/3/PI() =28,965
yc 3 = y 03 -4* r3 /3/ π
3. Υπολογίστε το εμβαδόν των στοιχείων φά 1 , φά 2 , φά3 σε mm2, χρησιμοποιώντας ξανά τους τύπους από την ενότητα "Βιβλιοθήκη στοιχειωδών σχημάτων"
στο κελί D6: =40*80 =3200
φά1 = ένα 1 * σι1
στο κελί E6: =24*42/2 =504
F2 = a2 *h2 /2
στο κελί F6: =-PI()/2*26^2 =-1062
F3 =-π/2*r3 ^2
Η περιοχή του τρίτου στοιχείου - του ημικυκλίου - είναι αρνητική επειδή αυτή η αποκοπή είναι ένας κενός χώρος!
Υπολογισμός των συντεταγμένων του κέντρου βάρους:
4. Προσδιορίστε τη συνολική επιφάνεια του τελικού σχήματος φά0 σε mm2
στο συγχωνευμένο κελί D8E8F8: =D6+E6+F6 =2642
φά0 = φά 1 + φά 2 + φά3
5. Να υπολογίσετε τις στατικές ροπές του σύνθετου σχήματος Sxκαι Syσε mm3 σε σχέση με τους επιλεγμένους άξονες 0x και 0y
στο συγχωνευμένο κελί D9E9F9: =D5*D6+E5*E6+F5*F6 =60459
Sx = yc1 * F1 + yc2 *F2 + yc3 *F3
στο συγχωνευμένο κελί D10E10F10: =D4*D6+E4*E6+F4*F6 =80955
Sy = xc1 * F1 + xc2 *F2 + xc3 *F3
6. Και τέλος, υπολογίζουμε τις συντεταγμένες του κέντρου βάρους του σύνθετου τμήματος Xcκαι Ycσε mm στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων 0x - 0y
στο συγχωνευμένο κελί D11E11F11: =D10/D8 =30,640
Xc = Sy / φά0
στο συγχωνευμένο κελί D12E12F12: =D9/D8 =22,883
Yc=Sx/F0
Η εργασία λύθηκε, ο υπολογισμός στο Excel ολοκληρώθηκε - οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους της τομής, που καταρτίζονται χρησιμοποιώντας τρία απλά στοιχεία, βρίσκονται!
Συμπέρασμα.
Το παράδειγμα στο άρθρο επιλέχθηκε να είναι πολύ απλό προκειμένου να γίνει ευκολότερη η κατανόηση της μεθοδολογίας υπολογισμού του κέντρου βάρους ενός σύνθετου τμήματος. Η μέθοδος έγκειται στο γεγονός ότι κάθε σύνθετο σχήμα πρέπει να χωριστεί σε απλά στοιχεία με γνωστές θέσεις των κέντρων βάρους και να γίνουν τελικοί υπολογισμοί για ολόκληρο το τμήμα.
Εάν το τμήμα αποτελείται από ρολά προφίλ - γωνίες και κανάλια, τότε δεν χρειάζεται να τα σπάσετε σε ορθογώνια και τετράγωνα με κομμένα κυκλικά "π / 2" - τομείς. Οι συντεταγμένες των κέντρων βάρους αυτών των προφίλ δίνονται στους πίνακες GOST, δηλαδή, τόσο η γωνία όσο και το κανάλι θα είναι βασικά στοιχειώδη στοιχεία στους υπολογισμούς των σύνθετων τμημάτων σας (δεν έχει νόημα να μιλάμε για δοκούς I, σωλήνες , ράβδοι και εξάγωνα - αυτά είναι κεντρικά συμμετρικά τμήματα).
Η θέση των αξόνων συντεταγμένων στη θέση του κέντρου βάρους του σχήματος, φυσικά, δεν επηρεάζει! Επομένως, επιλέξτε ένα σύστημα συντεταγμένων που απλοποιεί τους υπολογισμούς σας. Αν, για παράδειγμα, περιστρέψω το σύστημα συντεταγμένων κατά 45˚ δεξιόστροφα στο παράδειγμά μας, τότε ο υπολογισμός των συντεταγμένων των κέντρων βάρους ενός ορθογωνίου, τριγώνου και ημικυκλίου θα μετατρεπόταν σε ένα άλλο ξεχωριστό και δυσκίνητο βήμα υπολογισμού που δεν μπορείτε να κάνετε. στο κεφάλι σου".
Το ακόλουθο αρχείο υπολογισμού του Excel στο αυτή η υπόθεσηδεν είναι πρόγραμμα. Μάλλον, είναι ένα σκίτσο μιας αριθμομηχανής, ενός αλγορίθμου, ενός προτύπου που ακολουθεί σε κάθε περίπτωση. δημιουργήστε τη δική σας ακολουθία τύπων για κελιά με έντονο κίτρινο γέμισμα.
Έτσι, τώρα ξέρετε πώς να βρείτε το κέντρο βάρους οποιουδήποτε τμήματος! Ένας πλήρης υπολογισμός όλων των γεωμετρικών χαρακτηριστικών αυθαίρετων σύνθετων σύνθετων τομών θα εξεταστεί σε ένα από τα επόμενα άρθρα της επικεφαλίδας "". Ακολουθήστε τα νέα στο blog.
Για λήψη πληροφορίες σχετικά με την κυκλοφορία νέων άρθρων και για λήψη αρχείων προγράμματος εργασίας Σας ζητώ να εγγραφείτε σε ανακοινώσεις στο παράθυρο που βρίσκεται στο τέλος του άρθρου ή στο παράθυρο στο επάνω μέρος της σελίδας.
Αφού εισαγάγετε τη διεύθυνση email σας και κάνετε κλικ στο κουμπί "Λήψη ανακοινώσεων άρθρου". ΜΗΝ ΞΕΧΑΣΕΙΣ ΕΠΙΒΕΒΑΙΩΣΗ ΕΓΓΡΑΦΗΣ κάνοντας κλικ στον σύνδεσμο σε μια επιστολή που θα έρθει αμέσως σε εσάς στην καθορισμένη αλληλογραφία (μερικές φορές - στον φάκελο « Ανεπιθυμητη αλληλογραφια » )!
Λίγα λόγια για ένα ποτήρι, ένα νόμισμα και δύο πιρούνια, τα οποία απεικονίζονται στην «εικονική εικόνα» στην αρχή του άρθρου. Πολλοί από εσάς σίγουρα γνωρίζετε αυτό το «κόλπο» που προκαλεί βλέμματα θαυμασμού από παιδιά και αμύητους ενήλικες. Το θέμα αυτού του άρθρου είναι το κέντρο βάρους. Είναι αυτός και το υπομόχλιο, παίζοντας με τη συνείδηση και την εμπειρία μας, απλά ξεγελούν το μυαλό μας!
Το κέντρο βάρους του συστήματος "forks + coin" βρίσκεται πάντα αναμμένο σταθερόςαπόσταση κάθετα προς τα κάτωαπό την άκρη του νομίσματος, που με τη σειρά του είναι το υπομόχλιο. Αυτή είναι μια θέση σταθερής ισορροπίας!Αν κουνήσετε τα πιρούνια, γίνεται αμέσως προφανές ότι το σύστημα προσπαθεί να πάρει την προηγούμενη σταθερή του θέση! Φανταστείτε ένα εκκρεμές - ένα σημείο προσάρτησης (= το σημείο στήριξης του νομίσματος στην άκρη του ποτηριού), μια ράβδο-άξονας του εκκρεμούς (= στην περίπτωσή μας, ο άξονας είναι εικονικός, αφού η μάζα των δύο διχάλων διαχωρίζεται σε διαφορετικές κατευθύνσεις του χώρου) και το φορτίο στο κάτω μέρος του άξονα (= το κέντρο βάρους ολόκληρου του συστήματος "διχάλα" + κέρμα"). Εάν αρχίσετε να αποκλίνετε το εκκρεμές από την κατακόρυφο προς οποιαδήποτε κατεύθυνση (εμπρός, πίσω, αριστερά, δεξιά), τότε αναπόφευκτα θα επιστρέψει στην αρχική του θέση υπό την επίδραση της βαρύτητας. σταθερή κατάσταση ισορροπίας(το ίδιο συμβαίνει και με τα πιρούνια και το κέρμα μας)!
Ποιος δεν κατάλαβε, αλλά θέλει να καταλάβει - να το καταλάβετε μόνοι σας. Είναι πολύ ενδιαφέρον να «φτάνεις» τον εαυτό σου! Θα προσθέσω ότι η ίδια αρχή χρήσης σταθερής ισορροπίας εφαρμόζεται και στο παιχνίδι Roly-Get Up. Μόνο το κέντρο βάρους αυτού του παιχνιδιού βρίσκεται πάνω από το υπομόχλιο, αλλά κάτω από το κέντρο του ημισφαιρίου της επιφάνειας στήριξης.
Τα σχόλιά σας είναι πάντα ευπρόσδεκτα, αγαπητοί αναγνώστες!
Σε ικετεύω, ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ έργο του συγγραφέα, λήψη αρχείου ΜΕΤΑ ΤΗ ΣΥΝΔΡΟΜΗ για ανακοινώσεις άρθρων.
κέντρο βαρύτητας(ή κέντρο μάζας) ενός ορισμένου σώματος ονομάζεται ένα σημείο που έχει την ιδιότητα ότι αν ένα σώμα αιωρείται από αυτό το σημείο, τότε θα διατηρήσει τη θέση του.
Παρακάτω εξετάζουμε προβλήματα 2D και 3D που σχετίζονται με την αναζήτηση διαφόρων κέντρων μάζας, κυρίως από την άποψη της υπολογιστικής γεωμετρίας.
Στις λύσεις που συζητούνται παρακάτω, υπάρχουν δύο κύριες γεγονός. Το πρώτο είναι ότι το κέντρο μάζας ενός συστήματος υλικών σημείων είναι ίσο με τον μέσο όρο των συντεταγμένων τους, που λαμβάνονται με συντελεστές ανάλογους με τις μάζες τους. Το δεύτερο γεγονός είναι ότι αν γνωρίζουμε τα κέντρα μάζας δύο μη τεμνόμενων σχημάτων, τότε το κέντρο μάζας της ένωσής τους θα βρίσκεται στο τμήμα που συνδέει αυτά τα δύο κέντρα και θα το διαιρεί με τον ίδιο λόγο με τη μάζα του το δεύτερο σχήμα σχετίζεται με τη μάζα του πρώτου.
Δισδιάστατη περίπτωση: πολύγωνα
Στην πραγματικότητα, όταν μιλάμε για το κέντρο μάζας ενός δισδιάστατου σχήματος, μπορεί να εννοηθεί ένα από τα ακόλουθα τρία: καθήκοντα:
- Το κέντρο μάζας του συστήματος των σημείων - δηλ. ολόκληρη η μάζα συγκεντρώνεται μόνο στις κορυφές του πολυγώνου.
- Το κέντρο μάζας του πλαισίου - δηλ. η μάζα ενός πολυγώνου συγκεντρώνεται στην περίμετρό του.
- Το κέντρο μάζας ενός συμπαγούς σχήματος - δηλ. η μάζα του πολυγώνου κατανέμεται σε όλο το εμβαδόν του.
Κάθε ένα από αυτά τα προβλήματα έχει μια ανεξάρτητη λύση και θα εξεταστεί παρακάτω ξεχωριστά.
Σύστημα κέντρου μάζας σημείου
Αυτό είναι το απλούστερο από τα τρία προβλήματα και η λύση του είναι ο γνωστός φυσικός τύπος για το κέντρο μάζας ενός συστήματος υλικών σημείων:
όπου είναι οι μάζες των σημείων, είναι τα διανύσματα ακτίνας τους (καθορίζοντας τη θέση τους σε σχέση με την αρχή) και είναι το επιθυμητό διάνυσμα ακτίνας του κέντρου μάζας.
Συγκεκριμένα, αν όλα τα σημεία έχουν την ίδια μάζα, τότε οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας είναι μέση τιμήσημειακές συντεταγμένες. Για τρίγωνοαυτό το σημείο ονομάζεται κεντροειδέςκαι συμπίπτει με το σημείο τομής των διάμεσων:
Για απόδειξη τουαυτούς τους τύπους, αρκεί να υπενθυμίσουμε ότι η ισορροπία επιτυγχάνεται σε ένα σημείο στο οποίο το άθροισμα των ροπών όλων των δυνάμεων είναι ίσο με μηδέν. Σε αυτήν την περίπτωση, αυτό μετατρέπεται σε συνθήκη ώστε το άθροισμα των διανυσμάτων ακτίνας όλων των σημείων σε σχέση με το σημείο, πολλαπλασιαζόμενο με τις μάζες των αντίστοιχων σημείων, να είναι ίσο με μηδέν:
και, εκφράζοντας από εδώ , παίρνουμε τον απαιτούμενο τύπο.
Πλαίσιο κέντρο βάρους
Αλλά τότε κάθε πλευρά του πολυγώνου μπορεί να αντικατασταθεί από ένα σημείο - το μέσο αυτού του τμήματος (καθώς το κέντρο μάζας ενός ομοιογενούς τμήματος είναι το μέσο αυτού του τμήματος), με μάζα ίση με το μήκος αυτού του τμήματος.
Τώρα λάβαμε το πρόβλημα σχετικά με το σύστημα των υλικών σημείων και εφαρμόζοντας τη λύση από την προηγούμενη παράγραφο σε αυτό, βρίσκουμε:
όπου είναι το μέσο της ης πλευράς του πολυγώνου, είναι το μήκος της ης πλευράς, είναι η περίμετρος, δηλ. το άθροισμα των μηκών των πλευρών.
Για τρίγωνομπορεί κανείς να δείξει την ακόλουθη δήλωση: αυτό το σημείο είναι σημείο τομής διχοτόμουτρίγωνο που σχηματίζεται από τα μέσα των πλευρών του αρχικού τριγώνου. (για να το δείξουμε αυτό, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον παραπάνω τύπο και μετά να παρατηρήσουμε ότι οι διχοτόμοι διαιρούν τις πλευρές του τριγώνου που προκύπτει στην ίδια αναλογία με τα κέντρα μάζας αυτών των πλευρών).
Κέντρο μάζας συμπαγούς φιγούρας
Πιστεύουμε ότι η μάζα κατανέμεται ομοιόμορφα στο σχήμα, δηλ. η πυκνότητα σε κάθε σημείο του σχήματος είναι ίση με τον ίδιο αριθμό.
Τριγωνική θήκη
Υποστηρίζεται ότι για ένα τρίγωνο η απάντηση παραμένει η ίδια κεντροειδές, δηλ. το σημείο που σχηματίζεται από τον αριθμητικό μέσο όρο των συντεταγμένων των κορυφών:
Θήκη τριγώνου: Απόδειξη
Δίνουμε εδώ μια στοιχειώδη απόδειξη που δεν χρησιμοποιεί τη θεωρία των ολοκληρωμάτων.
Την πρώτη τέτοια, καθαρά γεωμετρική, απόδειξη την έδωσε ο Αρχιμήδης, αλλά ήταν πολύ περίπλοκη, με μεγάλο αριθμό γεωμετρικών κατασκευών. Η απόδειξη που δίνεται εδώ προέρχεται από το άρθρο του Apostol, Mnatsakanian "Finding Centroids the Easy Way".
Η απόδειξη καταλήγει στο να δείξει ότι το κέντρο μάζας του τριγώνου βρίσκεται σε μία από τις διάμεσους. επαναλαμβάνοντας αυτή τη διαδικασία δύο φορές ακόμη, δείχνουμε έτσι ότι το κέντρο μάζας βρίσκεται στο σημείο τομής των διάμεσων, που είναι το κέντρο.
Ας χωρίσουμε αυτό το τρίγωνο στα τέσσερα, συνδέοντας τα μεσαία σημεία των πλευρών, όπως φαίνεται στο σχήμα:
Τα τέσσερα τρίγωνα που προκύπτουν είναι παρόμοια με ένα τρίγωνο με συντελεστή .
Τα τρίγωνα Νο. 1 και Νο. 2 μαζί σχηματίζουν ένα παραλληλόγραμμο, το κέντρο μάζας του οποίου βρίσκεται στο σημείο τομής των διαγωνίων του (καθώς αυτό είναι ένα σχήμα που είναι συμμετρικό ως προς τις δύο διαγώνιες, που σημαίνει ότι το κέντρο μάζας του πρέπει να βρίσκεται σε καθεμία από τις δύο διαγώνιους). Το σημείο βρίσκεται στο μέσο της κοινής πλευράς των τριγώνων Νο. 1 και Νο. 2, και επίσης βρίσκεται στη διάμεσο του τριγώνου:
Τώρα ας είναι το διάνυσμα το διάνυσμα που σχεδιάζεται από την κορυφή προς το κέντρο μάζας του τριγώνου Νο. 1 και ας είναι το διάνυσμα το διάνυσμα που σχεδιάζεται από το σημείο (το οποίο, θυμηθείτε, είναι το μέσο της πλευράς στην οποία βρίσκεται) :
Στόχος μας είναι να δείξουμε ότι τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά.
Να συμβολίσετε με και τα σημεία που είναι τα κέντρα μάζας των τριγώνων Νο 3 και Νο 4. Τότε, προφανώς, το κέντρο μάζας του συνόλου αυτών των δύο τριγώνων θα είναι το σημείο , το οποίο είναι το μέσο του τμήματος . Επιπλέον, το διάνυσμα από σημείο σε σημείο είναι ίδιο με το διάνυσμα .
Το επιθυμητό κέντρο μάζας του τριγώνου βρίσκεται στο μέσο του τμήματος που συνδέει τα σημεία και (αφού έχουμε χωρίσει το τρίγωνο σε δύο μέρη ίσων περιοχών: Νο. 1-Νο. 2 και Νο. 3-Νο. 4):
Έτσι, το διάνυσμα από την κορυφή στο κέντρο είναι . Από την άλλη, αφού Το τρίγωνο Νο. 1 είναι παρόμοιο με ένα τρίγωνο με συντελεστή , τότε το ίδιο διάνυσμα είναι ίσο με . Από εδώ παίρνουμε την εξίσωση:
από όπου βρίσκουμε:
Έτσι, αποδείξαμε ότι τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά, πράγμα που σημαίνει ότι το επιθυμητό κέντρο βρίσκεται στη διάμεσο που προέρχεται από την κορυφή.
Επιπλέον, στην πορεία, αποδείξαμε ότι το κέντρο διαιρεί κάθε διάμεσο σε σχέση με το , μετρώντας από την κορυφή.
Θήκη πολυγώνου
Τώρα ας περάσουμε στη γενική περίπτωση - δηλ. στην περίσταση πολύγωνο. Για αυτόν, αυτός ο συλλογισμός δεν είναι πλέον εφαρμόσιμος, επομένως μειώνουμε το πρόβλημα σε τριγωνικό: δηλαδή, χωρίζουμε το πολύγωνο σε τρίγωνα (δηλαδή, το τριγωνίζουμε), βρίσκουμε το κέντρο μάζας κάθε τριγώνου και μετά βρίσκουμε το κέντρο του μάζα των κέντρων μάζας των τριγώνων που προκύπτουν.
Η τελική φόρμουλα έχει ως εξής:
όπου είναι το κέντρο του -ου τριγώνου στον τριγωνισμό του δεδομένου πολυγώνου, είναι το εμβαδόν του -ου τριγώνου του τριγώνου, είναι το εμβαδόν ολόκληρου του πολυγώνου.
Ο τριγωνισμός ενός κυρτού πολυγώνου είναι μια ασήμαντη εργασία: για αυτό, για παράδειγμα, μπορούμε να πάρουμε τρίγωνα , όπου .
Περίπτωση πολυγώνου: εναλλακτικός τρόπος
Από την άλλη, η εφαρμογή της παραπάνω φόρμουλας δεν είναι πολύ βολική για μη κυρτά πολύγωνα, αφού ο τριγωνισμός τους δεν είναι από μόνος του εύκολη υπόθεση. Αλλά για τέτοια πολύγωνα, μπορείτε να βρείτε μια απλούστερη προσέγγιση. Δηλαδή, ας σχεδιάσουμε μια αναλογία με το πώς μπορείτε να βρείτε το εμβαδόν ενός αυθαίρετου πολυγώνου: επιλέγεται ένα αυθαίρετο σημείο και στη συνέχεια αθροίζονται οι περιοχές πρόσημου των τριγώνων που σχηματίζονται από αυτό το σημείο και τα σημεία του πολυγώνου: . Μια παρόμοια τεχνική μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρούμε το κέντρο μάζας: μόνο τώρα θα αθροίσουμε τα κέντρα μάζας των τριγώνων που λαμβάνονται με συντελεστές ανάλογους με το εμβαδόν τους, δηλ. ο τελικός τύπος για το κέντρο μάζας είναι:
όπου είναι ένα αυθαίρετο σημείο, είναι τα σημεία του πολυγώνου, είναι το κέντρο του τριγώνου, είναι η περιοχή πρόσημου αυτού του τριγώνου, είναι η περιοχή πρόσημου ολόκληρου του πολυγώνου (δηλ. ).
Τρισδιάστατη θήκη: Πολύεδρα
Ομοίως με τη δισδιάστατη περίπτωση, στο 3D μπορούμε να μιλήσουμε για τέσσερις πιθανές δηλώσεις προβλημάτων ταυτόχρονα:
- Το κέντρο μάζας του συστήματος των σημείων - οι κορυφές του πολυέδρου.
- Το κέντρο μάζας του πλαισίου είναι οι άκρες του πολύεδρου.
- Κέντρο μάζας της επιφάνειας - δηλ. η μάζα κατανέμεται στην επιφάνεια του πολυέδρου.
- Το κέντρο μάζας ενός στερεού πολυέδρου - δηλ. η μάζα κατανέμεται σε ολόκληρο το πολύεδρο.
Σύστημα κέντρου μάζας σημείου
Όπως και στη δισδιάστατη περίπτωση, μπορούμε να εφαρμόσουμε τον φυσικό τύπο και να έχουμε το ίδιο αποτέλεσμα:
που στην περίπτωση ίσων μαζών μετατρέπεται στον αριθμητικό μέσο όρο των συντεταγμένων όλων των σημείων.
Κέντρο μάζας πολυεδρικού πλαισίου
Ομοίως με τη δισδιάστατη περίπτωση, απλώς αντικαθιστούμε κάθε άκρη του πολυέδρου με ένα υλικό σημείο που βρίσκεται στο μέσο αυτής της ακμής και με μάζα ίση με το μήκος αυτής της ακμής. Έχοντας λάβει το πρόβλημα των υλικών σημείων, μπορούμε εύκολα να βρούμε τη λύση του ως σταθμισμένο άθροισμα των συντεταγμένων αυτών των σημείων.
Το κέντρο μάζας της επιφάνειας του πολυέδρου
Κάθε όψη της επιφάνειας ενός πολυέδρου είναι μια δισδιάστατη φιγούρα, το κέντρο μάζας της οποίας μπορούμε να βρούμε. Βρίσκοντας αυτά τα κέντρα μάζας και αντικαθιστώντας κάθε όψη με το κέντρο μάζας της, έχουμε ένα πρόβλημα με υλικά σημεία, το οποίο είναι ήδη εύκολο να λυθεί.
Κέντρο μάζας στερεού πολυεδρικού
Θήκη τετραέδρου
Όπως και στη δισδιάστατη περίπτωση, λύνουμε πρώτα το απλούστερο πρόβλημα - το πρόβλημα για το τετράεδρο.
Λέγεται ότι το κέντρο μάζας ενός τετραέδρου συμπίπτει με το σημείο τομής των διαμέτρων του (η διάμεσος ενός τετραέδρου είναι ένα τμήμα που τραβιέται από την κορυφή του στο κέντρο μάζας της αντίθετης όψης· έτσι, η διάμεσος του τετραέδρου διέρχεται από την κορυφή και από το σημείο τομής των διάμεσων της τριγωνικής όψης).
Γιατί έτσι? Συλλογισμοί παρόμοιοι με τη δισδιάστατη περίπτωση είναι σωστές εδώ: αν κόψουμε ένα τετράεδρο σε δύο τετράεδρα με τη βοήθεια ενός επιπέδου που διέρχεται από την κορυφή του τετραέδρου και κάποια διάμεσο της αντίθετης όψης, τότε και τα δύο τετράεδρα που θα προκύψουν θα έχουν τον ίδιο όγκο (γιατί η τριγωνική όψη θα διαιρεθεί από τη διάμεσο σε δύο τρίγωνα ίσου εμβαδού και το ύψος των δύο τετραέδρων δεν αλλάζει). Επαναλαμβάνοντας αυτό το σκεπτικό αρκετές φορές, παίρνουμε ότι το κέντρο μάζας βρίσκεται στο σημείο τομής των διαμέσου του τετραέδρου.
Αυτό το σημείο - το σημείο τομής των διαμέσου του τετραέδρου - ονομάζεται του κεντροειδές. Μπορεί να φανεί ότι έχει στην πραγματικότητα συντεταγμένες ίσες με τον αριθμητικό μέσο όρο των συντεταγμένων των κορυφών του τετραέδρου:
(αυτό μπορεί να συναχθεί από το γεγονός ότι το κεντροειδές διαιρεί τις διάμεσες σε σχέση με )
Έτσι, δεν υπάρχει θεμελιώδης διαφορά μεταξύ των περιπτώσεων ενός τετραέδρου και ενός τριγώνου: ένα σημείο ίσο με τον αριθμητικό μέσο όρο των κορυφών είναι το κέντρο μάζας σε δύο διατυπώσεις του προβλήματος ταυτόχρονα: και οι δύο όταν οι μάζες είναι μόνο στις κορυφές , και όταν οι μάζες κατανέμονται σε ολόκληρη την περιοχή/όγκο. Στην πραγματικότητα, αυτό το αποτέλεσμα γενικεύεται σε μια αυθαίρετη διάσταση: το κέντρο μάζας ενός αυθαίρετου απλός(simplex) είναι ο αριθμητικός μέσος όρος των συντεταγμένων των κορυφών του.
Η περίπτωση ενός αυθαίρετου πολύεδρου
Ας στραφούμε τώρα στη γενική περίπτωση, την περίπτωση ενός αυθαίρετου πολύεδρου.
Και πάλι, όπως στη δισδιάστατη περίπτωση, μειώνουμε αυτό το πρόβλημα στο ήδη λυμένο: χωρίζουμε το πολύεδρο σε τετράεδρα (δηλαδή το τετραέδρωνουμε), βρίσκουμε το κέντρο μάζας καθενός από αυτά και παίρνουμε την τελική απάντηση στο το πρόβλημα με τη μορφή σταθμισμένου αθροίσματος των κέντρων που βρέθηκαν wt.
Η έννοια του κέντρου βάρους προέκυψε ήδη στην αρχαιότητα. Ο Αρχιμήδης συνέβαλε πολύ στην ανάπτυξη της θεωρίας των κέντρων βάρους. Παρά το γεγονός ότι η έννοια του κέντρου βάρους μελετάται πλέον περισσότερο στα μαθήματα της φυσικής παρά στα μαθηματικά, παίζει μεγάλο ρόλο και στη γεωμετρία. Συγκεκριμένα, η έννοια του κέντρου βάρους διευκόλυνε τον Αρχιμήδη να βρει τις περιοχές ορισμένων μορφών (για παράδειγμα, ένα τμήμα μιας παραβολής), καθώς και τους όγκους διαφόρων χωρικών σωμάτων (ιδίως μιας μπάλας).
Στην πραγματεία «On the Balance of Plane Bodies, or on the Centres of Gravity of Plane Figures», ο Αρχιμήδης εκθέτει τη θεωρία των κέντρων βάρους αξιωματικά, όπως ακριβώς ο Ευκλείδης εκθέτει τη γεωμετρία στο βιβλίο «Αρχές». Αρχικά, δίνονται μια σειρά από «υποθέσεις», δηλαδή αξιώματα.
Εδώ, το "ίσο" σημαίνει και πάλι ίσο σε μέγεθος, σε αυτήν την περίπτωση, έχοντας το ίδιο βάρος. Το νόημα της πρότασης είναι ότι εάν ορισμένα στοιχεία, που βρίσκονται σε αναστολή, βρίσκονται σε ισορροπία, τότε η ισορροπία δεν θα διαταραχθεί κατά την αντικατάσταση οποιουδήποτε από αυτά με αριθμό ισοβαρών.
 |
|
Ρύζι. 2. Δύο φιγούρες ίσες σε βάρος με την τρίτη είναι ίσες |
Με βάση αυτές τις υποθέσεις, ο Αρχιμήδης αποδεικνύει μια σειρά από συμπεράσματα.
Οι αποδείξεις στο βιβλίο "Περί Ισορροπίας ..." πραγματοποιούνται κυρίως με τη μέθοδο "δια αντίφασης". Σκεφτείτε, για παράδειγμα, το συμπέρασμα 1. Ας μην είναι ίσα τα δοσμένα βάρη, ισορροπημένα στο ίδιο μήκος. Στη συνέχεια, αφού αφαιρέσουμε κάτι από το μεγαλύτερο και προσθέσουμε στο μικρότερο, η ισορροπία πρέπει να σπάσει (σύμφωνα με τα αξιώματα 2 και 3), και αυτό έρχεται σε αντίθεση με το γεγονός ότι ισοσταθμίζονται ίσα σώματα σε ίσα μήκη (σύμφωνα με το αξίωμα 1).
|
Για να το αποδείξει αυτό, ο Αρχιμήδης εξετάζει χωριστά δύο περιπτώσεις: τα δεδομένα βαρύτητας είναι συγκρίσιμα ή ασύμμετρα. Στην πρώτη περίπτωση, τα βάρη και των δύο σωμάτων είναι πολλαπλάσια κάποιου βάρους P 0: P 1 = n 1 P 0 , P 2 = n 2 P 0 . Ο Αρχιμήδης αντικαθιστά ένα σώμα με βάρος P 1 με n 1 σώματα με βάρος P 0 το καθένα, και ένα σώμα με βάρος P 2 με n 2 σώματα με βάρος P 0 το καθένα, και τακτοποιεί όλα αυτά τα (n 1 + n 2) σώματα σε μια ευθεία γραμμή έτσι ώστε τα γειτονικά κέντρα βάρους να βρίσκονται σε ίση απόσταση μεταξύ τους.
Επιπλέον, σύμφωνα με την υπόθεση 6, αυτού του είδους η αντικατάσταση δεν επηρεάζει τη θέση του κέντρου βάρους. Και δεδομένου ότι, σύμφωνα με το συμπέρασμα 3, για αυτά τα (n 1 + n 2) σώματα το κέντρο βάρους βρίσκεται στη μέση, τότε για τα αρχικά δύο σώματα βρίσκεται επίσης στην ίδια θέση. Αυτό σημαίνει ότι l 1 /l 2 = P 2 /P 1 .
Στην περίπτωση των ασύγκριτων βαρών, ο Αρχιμήδης αποδεικνύει και πάλι με αντίφαση: υποθέτει ότι τα σώματα με βάρη και αιωρούμενα σε τμήματα που ικανοποιούν τη συνθήκη δεν θα βρίσκονται σε ισορροπία. Αυτό σημαίνει ότι το βάρος θα είναι είτε περισσότερο είτε μικρότερο από το απαραίτητο για την ισορροπία. Αν είναι μεγαλύτερο, τότε αφαιρούμε κάποιο βάρος από αυτό, ώστε το υπόλοιπο βάρος να είναι, αφενός, ακόμη περισσότερο από το απαραίτητο για την ισορροπία, και αφετέρου, ώστε να είναι ανάλογο του Τότε, αφενός, (αφού περισσότερο από το απαραίτητο για την ισορροπία), αλλά από την άλλη πλευρά, (επειδή αποδεικνύεται αντίφαση, σημαίνει ότι δεν μπορεί να υπάρχουν περισσότερα από τα απαραίτητα για την ισορροπία. Εάν λιγότερο από το απαραίτητο για την ισορροπία, τότε περισσότερο, και σχετικά, η ίδια λογική Ο νόμος του μοχλού λοιπόν αποδεικνύεται.
(Είναι γνωστό ότι ο μοχλός κατείχε μεγάλη θέση στις δραστηριότητες του Αρχιμήδη - όχι μόνο ενός θεωρητικού μηχανικού, αλλά και ενός σχεδιαστή μηχανικών συσκευών που χρησιμοποιήθηκαν στην πραγματικότητα. Τα λόγια του Αρχιμήδη αναφέρονται συχνά "Δώσε μου ένα υπομόχλιο και θα μετακινήστε τη Γη»).
|
Η διάμεσος ενός τριγώνου είναι η διάμετρος που διχοτομεί τις χορδές παράλληλα με τη βάση, οπότε το κέντρο βάρους (αριθ. 217) της περιοχής του τριγώνου βρίσκεται πάνω του. Επομένως, οι τρεις διάμεσοι ενός τριγώνου, που τέμνονται, καθορίζουν το κέντρο βάρους της περιοχής του τριγώνου.
Οι στοιχειώδεις εκτιμήσεις δείχνουν ότι οι διάμεσοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο τα δύο τρίτα του μήκους καθενός από αυτά από την αντίστοιχη κορυφή. Επομένως, το κέντρο βάρους της περιοχής ενός τριγώνου βρίσκεται σε οποιαδήποτε από τις διάμεσές του σε απόσταση δύο τρίτων του μήκους του από την κορυφή.
219. Τετράγωνο.
Το κέντρο βάρους της περιοχής ενός τετράπλευρου καθορίζεται από την τομή δύο ευθειών, τις οποίες λαμβάνουμε εφαρμόζοντας την ιδιότητα κατανομής των κέντρων βάρους (αριθ. 213).
Αρχικά, χωρίζουμε το τετράπλευρο κατά διαγώνιο σε δύο τρίγωνα. Το κέντρο βάρους ενός τετράπλευρου βρίσκεται στην ευθεία γραμμή που συνδέει τα κέντρα βάρους αυτών των τριγώνων. Αυτή η γραμμή είναι η πρώτη από τις δύο απαιτούμενες γραμμές.
Λαμβάνουμε τη δεύτερη ευθεία με τον ίδιο τρόπο, χωρίζοντας το τετράπλευρο σε δύο τρίγωνα (διαφορετικά από τα προηγούμενα) μέσω μιας άλλης διαγωνίου.
220. Πολύγωνο.
Γνωρίζουμε πώς να βρίσκουμε τα κέντρα βάρους του εμβαδού ενός τριγώνου και ενός τετράπλευρου. Για να προσδιορίσουμε το κέντρο βάρους της περιοχής ενός πολυγώνου με αυθαίρετο αριθμό πλευρών, ας υποθέσουμε ότι μπορούμε να βρούμε το κέντρο βάρους της περιοχής ενός πολυγώνου με λιγότερες πλευρές.
Τότε μπορείτε να κάνετε το ίδιο όπως στην περίπτωση ενός τετράπλευρου. Το εμβαδόν ενός δεδομένου πολυγώνου χωρίζεται σε δύο μέρη με δύο διαφορετικούς τρόπους σχεδίασης διαγωνίων. Σε κάθε μία από τις δύο περιπτώσεις συνδέονται τα άμεσα κέντρα βάρους των επιμέρους τμημάτων. Αυτές οι δύο γραμμές τέμνονται στο επιθυμητό κέντρο βάρους.
221. Τόξο κύκλου.
Έστω ότι απαιτείται ο προσδιορισμός του κέντρου βάρους ενός τόξου ενός κύκλου AB μήκους s. Αναφέρουμε τον κύκλο σε δύο αμοιβαία κάθετες διαμέτρους ΟΧ και ΟΥ, εκ των οποίων η πρώτη διέρχεται από το μέσο C του τόξου ΑΒ. Το κέντρο βάρους βρίσκεται στον άξονα OX, ο οποίος είναι ο άξονας συμμετρίας. Επομένως, αρκεί να ορίσουμε το 5. Για να γίνει αυτό, έχουμε τον τύπο:
Έστω: α - η ακτίνα του κύκλου, γ - το μήκος της χορδής ΑΒ, - η γωνία μεταξύ του άξονα ΟΧ και της ακτίνας που τραβιέται στο στοιχείο της τιμής που αντιστοιχεί στα άκρα του τόξου ΑΒ. Εχουμε:
Στη συνέχεια, λαμβάνοντας το B ως μεταβλητή ολοκλήρωσης και ολοκληρώνοντας κατά μήκος του τόξου AB, παίρνουμε:
Επομένως, το κέντρο βάρους ενός τόξου ενός κύκλου βρίσκεται στην ακτίνα που διασχίζεται από το μέσο του τόξου, σε ένα σημείο του οποίου η απόσταση από το κέντρο του κύκλου είναι η τέταρτη ανάλογη με το μήκος του τόξου, την ακτίνα και τη χορδή.
222. Κυκλικός τομέας.
Ένας τομέας που περικλείεται μεταξύ ενός τόξου ενός κύκλου και δύο ακτίνων ΟΑ και ΟΒ μπορεί να αποσυντεθεί από ενδιάμεσες ακτίνες σε απείρως μικρούς ίσους τομείς. Αυτοί οι στοιχειώδεις τομείς μπορούν να θεωρηθούν ως απείρως στενά τρίγωνα. το κέντρο βάρους καθενός από αυτά, σύμφωνα με το προηγούμενο, βρίσκεται στην ακτίνα που τραβιέται από το μέσο του στοιχειώδους τόξου αυτού του τομέα, σε απόσταση δύο τρίτων του μήκους της ακτίνας από το κέντρο του κύκλου. Ίσες μάζες όλων των στοιχειωδών τριγώνων, συγκεντρωμένες στα κέντρα βάρους τους, σχηματίζουν ένα ομοιογενές τόξο κύκλου, η ακτίνα του οποίου είναι ίση με τα δύο τρίτα της ακτίνας του τόξου τομέα. Η υπό εξέταση περίπτωση περιορίζεται έτσι στην εύρεση του κέντρου βάρους αυτού του ομογενούς τόξου, δηλαδή στο πρόβλημα που λύθηκε στην προηγούμενη παράγραφο.
223. Τετράεδρο.
Ας προσδιορίσουμε το κέντρο βάρους του όγκου του τετραέδρου. Το επίπεδο που διέρχεται από μια από τις ακμές και από το μέσο της απέναντι ακμής είναι το διαμετρικό επίπεδο που διχοτομεί τις χορδές παράλληλα με αυτό το τελευταίο άκρο: περιέχει επομένως το κέντρο του όγκου του τετραέδρου. Κατά συνέπεια, τα έξι επίπεδα του τετραέδρου, καθένα από τα οποία διέρχεται από μία από τις ακμές και από το μέσο της απέναντι ακμής, τέμνονται σε ένα σημείο, που είναι το κέντρο βάρους του όγκου του τετραέδρου.
Σκεφτείτε το τετράεδρο ABCD (Εικ. 37). συνδέστε την κορυφή Α με το κέντρο βάρους I της βάσης BCD. Η γραμμή AI είναι η τομή των διαμετρικών επιπέδων που διέρχονται
διαμέσου των άκρων ΑΒ και επομένως περιέχει το επιθυμητό κέντρο βάρους. Το σημείο βρίσκεται σε απόσταση δύο τρίτων της μέσης BH από την κορυφή B. Με τον ίδιο τρόπο, πάρτε το σημείο K στη διάμεσο AN σε απόσταση δύο τρίτων του μήκους του από την κορυφή. Η ευθεία Β Κ τέμνει την ευθεία Α στο κέντρο βάρους του τετραέδρου. Αντλούμε από την ομοιότητα των τριγώνων ABN και YUN είναι σαφές ότι το IK είναι το τρίτο μέρος του AB) περαιτέρω, από την ομοιότητα τριγώνων και VGA συμπεραίνουμε ότι υπάρχει ένα τρίτο μέρος.
Κατά συνέπεια, το κέντρο βάρους του όγκου του τετραέδρου βρίσκεται στο τμήμα που συνδέει οποιαδήποτε κορυφή του τετραέδρου με το κέντρο βάρους της απέναντι όψης, σε απόσταση τριών τετάρτων του μήκους αυτού του τμήματος από την κορυφή.
Σημειώνουμε επίσης ότι η ευθεία γραμμή που συνδέει τα μεσαία σημεία R και L δύο απέναντι άκρων (Εικ. 38) είναι η τομή των διαμετρικών επιπέδων που διέρχονται από αυτές τις ακμές, διέρχεται επίσης από το κέντρο βάρους του τετραέδρου. Έτσι, οι τρεις ευθείες γραμμές που συνδέουν τα μέσα των απέναντι άκρων του τετραέδρου τέμνονται στο κέντρο βάρους του.
Έστω H και τα μεσαία σημεία ενός ζεύγους αντίθετων νευρώσεων (Εικ. 38) και M, N τα μεσαία σημεία δύο άλλων αντίθετων πλευρών. Το σχήμα HNLM είναι ένα παραλληλόγραμμο του οποίου οι πλευρές είναι αντίστοιχα παράλληλες με τις υπόλοιπες
δύο νευρώσεις. Οι ευθείες γραμμές HL και MN, που συνδέουν τα μεσαία σημεία δύο απέναντι άκρων, είναι οι διαγώνιοι αυτού του παραλληλογράμμου, που σημαίνει ότι διαιρούνται στο μισό στο σημείο τομής. Έτσι, το κέντρο βάρους του τετραέδρου βρίσκεται στο μέσο του τμήματος που συνδέει τα μεσαία σημεία δύο απέναντι άκρων του τετραέδρου.
224. Πυραμίδα με πολυγωνική βάση.
Το κέντρο βάρους της πυραμίδας βρίσκεται στο τμήμα που συνδέει την κορυφή της πυραμίδας με το κέντρο βάρους της βάσης σε απόσταση τριών τετάρτων του μήκους αυτού του τμήματος από την κορυφή.
Για να αποδείξουμε αυτό το θεώρημα, αποσυνθέτουμε την πυραμίδα σε τετράεδρα με επίπεδα που διασχίζονται από την κορυφή της πυραμίδας και μέσα από τις διαγώνιες της βάσης ABCD (για παράδειγμα, BD στο Σχ. 39).
Σχεδιάστε ένα επίπεδο που τέμνει τις άκρες σε απόσταση τριών τετάρτων του μήκους τους από την κορυφή. Αυτό το επίπεδο περιέχει τα κέντρα βάρους των τετραέδρων, και ως εκ τούτου τις πυραμίδες. Οι μάζες των τετραέδρων, που υποθέτουμε ότι είναι συγκεντρωμένες στα κέντρα βάρους τους, είναι ανάλογες των όγκων τους, άρα και των περιοχών των βάσεων (Εικ. 39) ή και των περιοχών των τριγώνων κακό, κρεβάτι,. .., παρόμοια με τα προηγούμενα και βρίσκεται στο επίπεδο κοπής abcd... Έτσι, το επιθυμητό κέντρο βάρους συμπίπτει με το κέντρο βάρους του πολυγώνου abcd. Το τελευταίο βρίσκεται στην ευθεία γραμμή που συνδέει την κορυφή S της πυραμίδας με το κέντρο βάρους (παρόμοια βρίσκεται) του βασικού πολυγώνου.
225. Πρίσμ. Κύλινδρος. Κώνος.
Με βάση τη συμμετρία, τα κέντρα βάρους του πρίσματος και του κυλίνδρου βρίσκονται στο μέσο του τμήματος που συνδέει τα κέντρα βάρους των βάσεων.
Θεωρώντας τον κώνο ως το όριο μιας πυραμίδας εγγεγραμμένης σε αυτόν με την ίδια κορυφή, είμαστε πεπεισμένοι ότι το κέντρο βάρους του κώνου βρίσκεται στο τμήμα που συνδέει την κορυφή του κώνου με το κέντρο βάρους της βάσης, σε απόσταση από τα τρία τέταρτα του μήκους αυτού του τμήματος από την κορυφή. Μπορεί επίσης να ειπωθεί ότι το κέντρο βάρους του κώνου συμπίπτει με το κέντρο βάρους του τμήματος του κώνου κατά ένα επίπεδο παράλληλο προς τη βάση και τραβηγμένο σε απόσταση ενός τετάρτου του ύψους του κώνου από τη βάση.
Η ρητορική ως πρωτότυπο της δημοσιογραφίας
Αποσπάσματα για τον Ναπολέοντα - dslinkov — LiveJournal
Με εκδίκηση Ο άντρας στην μπουλντόζα κατέστρεψε την πόλη