Κατά τη μελέτη των εξισώσεων μιας ευθείας γραμμής στο επίπεδο και στο τρισδιάστατο χώροβασιζόμαστε στην άλγεβρα των διανυσμάτων. Εν ιδιαίτερο νόημαέχουν διάνυσμα κατεύθυνσης ευθείας γραμμής και κανονικό διάνυσμα ευθείας. Σε αυτό το άρθρο, θα ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στο κανονικό διάνυσμα μιας ευθείας γραμμής. Ας ξεκινήσουμε με τον ορισμό κανονικό διάνυσμαάμεσο, δίνουμε παραδείγματα και γραφικές απεικονίσεις. Στη συνέχεια, προχωράμε στην εύρεση των συντεταγμένων του κανονικού διανύσματος της ευθείας χρησιμοποιώντας τις γνωστές εξισώσεις της ευθείας, ενώ δείχνουμε λεπτομερείς λύσειςκαθήκοντα.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Κανονική γραμμή διάνυσμα - ορισμός, παραδείγματα, απεικονίσεις.

Για να κατανοήσετε το υλικό, πρέπει να έχετε μια σαφή κατανόηση της ευθείας γραμμής, ενός επιπέδου και επίσης να γνωρίζετε τους βασικούς ορισμούς που σχετίζονται με τα διανύσματα. Επομένως, συνιστούμε να ανανεώσετε πρώτα το υλικό των άρθρων κατευθείαν στο αεροπλάνο, ευθεία στο διάστημα, την ιδέα του αεροπλάνου και.

Ας ορίσουμε το κανονικό διάνυσμα μιας ευθείας γραμμής.

Ορισμός.

κανονική διανυσματική γραμμήείναι κάθε μη μηδενικό διάνυσμα που βρίσκεται σε οποιαδήποτε ευθεία κάθετη στη δεδομένη.

Από τον ορισμό του κανονικού διανύσματος μιας ευθείας γραμμής, είναι σαφές ότι υπάρχει άπειρο σύνολοκανονικά διανύσματα της δεδομένης γραμμής.

Ο ορισμός του κανονικού διανύσματος μιας ευθείας και ο ορισμός του διανύσματος κατεύθυνσης μιας ευθείας μας επιτρέπουν να συμπεράνουμε ότι οποιοδήποτε κανονικό διάνυσμα μιας δεδομένης ευθείας είναι κάθετο σε οποιοδήποτε διάνυσμα κατεύθυνσης αυτής της ευθείας.

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα κανονικού διανύσματος ευθείας γραμμής.

Αφήστε το Oxy να δοθεί στο αεροπλάνο. Ένα από τα κανονικά διανύσματα της γραμμής συντεταγμένων Ox είναι το διάνυσμα συντεταγμένων. Πράγματι, το διάνυσμα είναι μη μηδενικό και βρίσκεται στην ευθεία συντεταγμένων Oy , η οποία είναι κάθετη στον άξονα Ox . Το σύνολο όλων των κανονικών διανυσμάτων της γραμμής συντεταγμένων Ox στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy μπορεί να δοθεί ως .

Στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyz στον τρισδιάστατο χώρο, το κανονικό διάνυσμα της ευθείας Oz είναι το διάνυσμα . Το διάνυσμα συντεταγμένων είναι επίσης το κανονικό διάνυσμα της ευθείας Oz. Προφανώς, κάθε μη μηδενικό διάνυσμα που βρίσκεται σε οποιοδήποτε επίπεδο κάθετο στον άξονα Oz θα είναι ένα κανονικό διάνυσμα της ευθείας Oz.

Συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος μιας ευθείας - εύρεση των συντεταγμένων του κανονικού διανύσματος μιας ευθείας γραμμής χρησιμοποιώντας τις γνωστές εξισώσεις αυτής της ευθείας.

Εάν θεωρήσουμε μια ευθεία γραμμή σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy, τότε η εξίσωση μιας ευθείας σε ένα επίπεδο κάποιου είδους θα αντιστοιχεί σε αυτήν και τα κανονικά διανύσματα μιας ευθείας γραμμής θα καθοριστούν από τις συντεταγμένες τους (δείτε το άρθρο) . Αυτό εγείρει το ερώτημα: «πώς να βρούμε τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος μιας ευθείας όταν γνωρίζουμε την εξίσωση αυτής της ευθείας γραμμής»;

Ας βρούμε την απάντηση στο ερώτημα που τίθεται για τις ευθείες γραμμές που δίνονται στο επίπεδο από εξισώσεις διαφόρων τύπων.

Αν μια ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο ορίζει μια γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής της μορφής , τότε οι συντελεστές Α και Β είναι οι αντίστοιχες συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος αυτής της ευθείας.

Παράδειγμα.

Βρείτε τις συντεταγμένες κάποιου διανύσματος κανονικής γραμμής .

Λύση.

Δεδομένου ότι η ευθεία γραμμή δίνεται από τη γενική εξίσωση, μπορούμε να γράψουμε αμέσως τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματός της - είναι οι αντίστοιχοι συντελεστές μπροστά από τις μεταβλητές x και y. Δηλαδή, το κανονικό διάνυσμα της ευθείας έχει συντεταγμένες .

Απάντηση:

Ένας από τους αριθμούς Α ή Β στη γενική εξίσωση μιας ευθείας μπορεί να είναι ίσος με μηδέν. Αυτό δεν πρέπει να σας ενοχλεί. Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα.

Καθορίστε οποιοδήποτε κανονικό διάνυσμα γραμμής.

Λύση.

Μας δίνεται μια ημιτελής γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής. Μπορεί να ξαναγραφτεί στη φόρμα , από όπου φαίνονται αμέσως οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος αυτής της ευθείας: .

Απάντηση:

Η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε τμήματα της μορφής ή η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής με μια κλίση μπορεί εύκολα να μειωθεί σε γενική εξίσωσηευθεία, από την οποία βρίσκονται οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος αυτής της ευθείας.

Παράδειγμα.

Να βρείτε τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος της ευθείας.

Λύση.

Είναι πολύ εύκολο να περάσουμε από την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε τμήματα στη γενική εξίσωση μιας ευθείας: . Επομένως, το κανονικό διάνυσμα αυτής της γραμμής έχει συντεταγμένες .

Απάντηση:

Αν η ευθεία ορίζει την κανονική εξίσωση της ευθείας στο επίπεδο της φόρμας ή παραμετρικές εξισώσεις ευθείας σε επίπεδο της μορφής , τότε οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος είναι λίγο πιο δύσκολο να ληφθούν. Από αυτές τις εξισώσεις, οι συντεταγμένες του κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας είναι αμέσως ορατές -. Η εύρεση των συντεταγμένων του κανονικού διανύσματος αυτής της ευθείας επιτρέπει και .

Είναι επίσης δυνατό να ληφθούν οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος της ευθείας με αναγωγή της κανονικής εξίσωσης της ευθείας ή των παραμετρικών εξισώσεων της ευθείας στη γενική εξίσωση. Για να το κάνετε αυτό, κάντε τους παρακάτω μετασχηματισμούς:

Ποιος τρόπος προτιμάτε εξαρτάται από εσάς.

Ας δείξουμε παραδείγματα.

Παράδειγμα.

Βρείτε κάποιο διάνυσμα κανονικής γραμμής .

Λύση.

Κατεύθυνση διάνυσμα ευθεία είναι ένας φορέας. κανονική διανυσματική γραμμή είναι κάθετη στο διάνυσμα, τότε και ισούται με μηδέν: . Από αυτή την ισότητα, δίνοντας στο n x μια αυθαίρετη μη μηδενική πραγματική τιμή, βρίσκουμε n y . Έστω n x =1 , τότε , επομένως, το κανονικό διάνυσμα της αρχικής γραμμής έχει συντεταγμένες .

Η δεύτερη λύση.

Ας περάσουμε από την κανονική εξίσωση της ευθείας στη γενική εξίσωση: . Τώρα οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος αυτής της γραμμής έχουν γίνει ορατές.

Απάντηση:

Επίπεδη εξίσωση. Πώς να γράψετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο;
Αμοιβαία τακτοποίησηαεροπλάνα. Καθήκοντα

Η χωρική γεωμετρία δεν είναι πολύ πιο περίπλοκη από την «επίπεδη» γεωμετρία και οι πτήσεις μας στο διάστημα ξεκινούν με αυτό το άρθρο. Για να κατανοήσει κανείς το θέμα, πρέπει να έχει καλή κατανόηση φορείς, επιπλέον, είναι επιθυμητό να εξοικειωθείτε με τη γεωμετρία του αεροπλάνου - θα υπάρχουν πολλές ομοιότητες, πολλές αναλογίες, οπότε οι πληροφορίες θα αφομοιωθούν πολύ καλύτερα. Σε μια σειρά μαθημάτων μου, ο δισδιάστατος κόσμος ανοίγει με ένα άρθρο Εξίσωση ευθείας γραμμής σε επίπεδο. Αλλά τώρα ο Batman έχει βγει από την τηλεόραση επίπεδης οθόνης και ξεκινά από το κοσμοδρόμιο του Baikonur.

Ας ξεκινήσουμε με σχέδια και σύμβολα. Σχηματικά, το επίπεδο μπορεί να σχεδιαστεί ως παραλληλόγραμμο, το οποίο δίνει την εντύπωση του χώρου:

Το αεροπλάνο είναι άπειρο, αλλά έχουμε την ευκαιρία να απεικονίσουμε μόνο ένα κομμάτι του. Στην πράξη, εκτός από το παραλληλόγραμμο, σχεδιάζεται και ένα οβάλ ή και ένα σύννεφο. Για τεχνικούς λόγους, είναι πιο βολικό για μένα να απεικονίσω το αεροπλάνο με αυτόν τον τρόπο και σε αυτή τη θέση. Πραγματικά αεροπλάνα, τα οποία θα εξετάσουμε πρακτικά παραδείγματα, μπορεί να τακτοποιηθεί όπως θέλετε - πάρτε νοερά το σχέδιο στα χέρια σας και στρίψτε το στο κενό, δίνοντας στο αεροπλάνο οποιαδήποτε κλίση, οποιαδήποτε γωνία.

Σημειογραφία: συνηθίζεται να ορίζονται αεροπλάνα με μικρά ελληνικά γράμματα, προφανώς για να μην τα συγχέουμε με κατευθείαν στο αεροπλάνοή με ευθεία στο διάστημα. Έχω συνηθίσει να χρησιμοποιώ το γράμμα. Στο σχέδιο, είναι το γράμμα «σίγμα», και καθόλου τρύπα. Αν και, ένα αεροπλάνο, είναι σίγουρα πολύ αστείο.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι βολικό να χρησιμοποιείτε τα ίδια ελληνικά γράμματα με δείκτες για να ορίσετε αεροπλάνα, για παράδειγμα, .

Προφανώς, το αεροπλάνο καθορίζεται μοναδικά από τρεις διαφορετικά σημείαόχι ξαπλωμένος στην ίδια ευθεία. Επομένως, οι ονομασίες αεροπλάνων με τρία γράμματα είναι αρκετά δημοφιλείς - σύμφωνα με τα σημεία που τους ανήκουν, για παράδειγμα, κ.λπ. Συχνά τα γράμματα περικλείονται σε παρένθεση: , για να μην συγχέουμε το επίπεδο με ένα άλλο γεωμετρικό σχήμα.

Για έμπειρους αναγνώστες θα δώσω μενού συντόμευσης:

• Πώς να γράψετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο χρησιμοποιώντας ένα σημείο και δύο διανύσματα;
• Πώς να γράψετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο χρησιμοποιώντας ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα;

και δεν θα μαραζώσουμε μεγάλες αναμονές:

Γενική εξίσωση του αεροπλάνου

Η γενική εξίσωση του επιπέδου έχει τη μορφή , όπου οι συντελεστές είναι ταυτόχρονα μη μηδενικοί.

Ένας αριθμός θεωρητικών υπολογισμών και πρακτικών προβλημάτων ισχύουν τόσο για τη συνήθη ορθοκανονική βάση όσο και για συγγενική βάση space (αν το λάδι είναι λάδι, επιστρέψτε στο μάθημα Γραμμική (μη) εξάρτηση διανυσμάτων. Διανυσματική βάση). Για απλότητα, θα υποθέσουμε ότι όλα τα γεγονότα συμβαίνουν σε μια ορθοκανονική βάση και ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων.

Και τώρα ας εξασκηθούμε λίγο χωρική φαντασία. Δεν πειράζει αν το έχεις κακό, τώρα θα το αναπτύξουμε λίγο. Ακόμα και το να παίζεις με νεύρα θέλει εξάσκηση.

Στο πολύ γενική περίπτωση, όταν οι αριθμοί είναι μη μηδενικοί, το επίπεδο τέμνει και τους τρεις άξονες συντεταγμένων. Για παράδειγμα, όπως αυτό:

Επαναλαμβάνω για άλλη μια φορά ότι το αεροπλάνο συνεχίζει επ 'αόριστον προς όλες τις κατευθύνσεις, και έχουμε την ευκαιρία να απεικονίσουμε μόνο ένα μέρος του.

Εξετάστε τις απλούστερες εξισώσεις των επιπέδων:

Πως να καταλάβω δεδομένη εξίσωση? Σκεφτείτε το: "Z" ΠΑΝΤΑ, γιατί οποιεσδήποτε τιμές των "X" και "Y" είναι ίσες με μηδέν. Αυτή η εξίσωση είναι "εγγενής" επίπεδο συντεταγμένων. Πράγματι, τυπικά η εξίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής: , από όπου φαίνεται ξεκάθαρα ότι δεν μας ενδιαφέρει, ποιες τιμές παίρνουν το "x" και το "y", είναι σημαντικό το "z" να είναι ίσο με μηδέν.

Ομοίως:
είναι η εξίσωση του επιπέδου συντεταγμένων .
είναι η εξίσωση του επιπέδου συντεταγμένων.

Ας περιπλέκουμε λίγο το πρόβλημα, θεωρούμε ένα επίπεδο (εδώ και παραπέρα στην παράγραφο υποθέτουμε ότι οι αριθμητικοί συντελεστές δεν είναι ίσοι με μηδέν). Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση με τη μορφή: . Πώς να το καταλάβετε; Το "X" είναι ΠΑΝΤΑ, γιατί οποιαδήποτε τιμή του "y" και το "z" ισούται με έναν ορισμένο αριθμό. Αυτό το επίπεδο είναι παράλληλο με το επίπεδο συντεταγμένων. Για παράδειγμα, ένα επίπεδο είναι παράλληλο με ένα επίπεδο και διέρχεται από ένα σημείο.

Ομοίως:
- η εξίσωση του επιπέδου, η οποία είναι παράλληλη με το επίπεδο συντεταγμένων.
- η εξίσωση ενός επιπέδου που είναι παράλληλο στο επίπεδο συντεταγμένων.

Προσθήκη μελών: . Η εξίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής: , δηλαδή, το "Z" μπορεί να είναι οτιδήποτε. Τι σημαίνει? Το "X" και το "Y" συνδέονται με μια αναλογία που τραβάει μια συγκεκριμένη ευθεία γραμμή στο επίπεδο (θα αναγνωρίσετε εξίσωση ευθείας σε επίπεδο?). Δεδομένου ότι το Z μπορεί να είναι οτιδήποτε, αυτή η γραμμή "αντιλαμβάνεται" σε οποιοδήποτε ύψος. Άρα η εξίσωση ορίζει ένα επίπεδο παράλληλο προς άξονα συντεταγμένων

Ομοίως:
- η εξίσωση του επιπέδου, η οποία είναι παράλληλη προς τον άξονα συντεταγμένων.
- η εξίσωση του επιπέδου, που είναι παράλληλη προς τον άξονα των συντεταγμένων.

Εάν οι ελεύθεροι όροι είναι μηδέν, τότε τα επίπεδα θα διέρχονται απευθείας από τους αντίστοιχους άξονες. Για παράδειγμα, η κλασική «άμεση αναλογικότητα»:. Σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή στο επίπεδο και πολλαπλασιάστε την νοερά πάνω-κάτω (καθώς το "z" είναι οποιοδήποτε). Συμπέρασμα: αεροπλάνο, δίνεται από την εξίσωση, διέρχεται από τον άξονα συντεταγμένων .

Ολοκληρώνουμε την ανασκόπηση: η εξίσωση του επιπέδου διέρχεται από την καταγωγή. Λοιπόν, εδώ είναι προφανές ότι το σημείο ικανοποιεί τη δεδομένη εξίσωση.

Και, τέλος, η περίπτωση που φαίνεται στο σχέδιο: - το αεροπλάνο είναι φιλικό με όλους τους άξονες συντεταγμένων, ενώ πάντα «κόβει» ένα τρίγωνο που μπορεί να βρίσκεται σε οποιοδήποτε από τα οκτώ οκτάντια.

Γραμμικές ανισότητες στο χώρο

Για να κατανοήσετε τις πληροφορίες, είναι απαραίτητο να μελετήσετε καλά γραμμικές ανισώσεις στο επίπεδογιατί πολλά πράγματα θα είναι παρόμοια. Η παράγραφος θα είναι μια σύντομη επισκόπηση με μερικά παραδείγματα, καθώς το υλικό είναι αρκετά σπάνιο στην πράξη.

Αν η εξίσωση ορίζει ένα επίπεδο, τότε οι ανισώσεις
παρακαλώ ημιδιαστήματα. Αν η ανισότητα δεν είναι αυστηρή (οι δύο τελευταίες της λίστας), τότε η λύση της ανισότητας, εκτός από το μισό διάστημα, περιλαμβάνει και το ίδιο το επίπεδο.

Παράδειγμα 5

Βρείτε το μοναδιαίο κανονικό διάνυσμα του επιπέδου .

Λύση: Μοναδικό διάνυσμα είναι ένα διάνυσμα του οποίου το μήκος είναι ένα. Σημαίνω δεδομένο διάνυσμαμέσω . Είναι ξεκάθαρο ότι τα διανύσματα είναι συγγραμμικά:

Αρχικά, αφαιρούμε το κανονικό διάνυσμα από την εξίσωση του επιπέδου: .

Πώς να βρείτε το διάνυσμα μονάδας; Για να βρείτε το διάνυσμα μονάδας, χρειάζεστε κάθεδιανυσματική συντεταγμένη διαιρούμενη με το μήκος του διανύσματος.

Ας ξαναγράψουμε το κανονικό διάνυσμα στη φόρμα και ας βρούμε το μήκος του:

Συμφωνα με τα ΠΑΡΑΠΑΝΩ:

Απάντηση:

Έλεγχος: , που απαιτήθηκε για έλεγχο.

Οι αναγνώστες που έχουν μελετήσει προσεκτικά την τελευταία παράγραφο του μαθήματος, μάλλον το παρατήρησαν οι συντεταγμένες του μοναδιαίου διανύσματος είναι ακριβώς τα συνημίτονα διεύθυνσης του διανύσματος:

Ας ξεφύγουμε από το πρόβλημα αποσυναρμολόγησης: όταν σας δίνεται ένα αυθαίρετο μη μηδενικό διάνυσμα, και από τη συνθήκη απαιτείται να βρεθούν τα συνημίτονα κατεύθυνσής του (δείτε τις τελευταίες εργασίες του μαθήματος Σημείο γινόμενο διανυσμάτων), τότε στην πραγματικότητα βρίσκετε επίσης ένα μοναδιαίο διάνυσμα συγγραμμικό με το δεδομένο. Στην πραγματικότητα, δύο εργασίες σε ένα μπουκάλι.

Η ανάγκη εύρεσης ενός μοναδιαίου κανονικού διανύσματος προκύπτει σε ορισμένα προβλήματα μαθηματικής ανάλυσης.

Καταλάβαμε το ψάρεμα του κανονικού διανύσματος, τώρα θα απαντήσουμε στην αντίθετη ερώτηση:

Πώς να γράψετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο χρησιμοποιώντας ένα σημείο και ένα κανονικό διάνυσμα;

Αυτή η άκαμπτη κατασκευή ενός κανονικού διανύσματος και ενός σημείου είναι καλά γνωστή από έναν στόχο βελών. Τεντώστε το χέρι σας προς τα εμπρός και διαλέξτε νοερά αυθαίρετο σημείοχώρο, για παράδειγμα, μια μικρή γάτα σε ένα μπουφέ. Προφανώς, μέσα από αυτό το σημείο, μπορείτε να σχεδιάσετε ένα μόνο επίπεδο κάθετο στο χέρι σας.

Η εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από ένα σημείο κάθετο στο διάνυσμα εκφράζεται με τον τύπο:

Για να μελετήσουμε τις εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής, είναι απαραίτητο να έχουμε καλή κατανόηση της άλγεβρας των διανυσμάτων. Είναι σημαντικό να βρείτε το διάνυσμα κατεύθυνσης και το κανονικό διάνυσμα της ευθείας. Αυτό το άρθρο θα εξετάσει το κανονικό διάνυσμα μιας ευθείας γραμμής με παραδείγματα και σχέδια, βρίσκοντας τις συντεταγμένες του εάν είναι γνωστές οι εξισώσεις των ευθειών. Θα εξεταστεί μια λεπτομερής λύση.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Για να διευκολύνετε την πέψη του υλικού, πρέπει να κατανοήσετε τις έννοιες της γραμμής, του επιπέδου και των ορισμών που σχετίζονται με διανύσματα. Αρχικά, ας εξοικειωθούμε με την έννοια του ευθύγραμμου διανύσματος.

Ορισμός 1

Κανονική γραμμή διάνυσμακάθε διάνυσμα που δεν είναι μηδενικό που βρίσκεται σε οποιαδήποτε ευθεία κάθετη στη δεδομένη ονομάζεται.

Είναι σαφές ότι υπάρχει ένα άπειρο σύνολο κανονικών διανυσμάτων που βρίσκονται σε μια δεδομένη γραμμή. Σκεφτείτε το παρακάτω σχήμα.

Παίρνουμε ότι η ευθεία είναι κάθετη σε μία από τις δύο παράλληλες ευθείες, τότε η καθετότητά της εκτείνεται στη δεύτερη παράλληλη ευθεία. Ως εκ τούτου, προκύπτει ότι τα σύνολα των κανονικών διανυσμάτων αυτών των παράλληλων ευθειών συμπίπτουν. Όταν οι ευθείες a και a 1 είναι παράλληλες και το n → θεωρείται κανονικό διάνυσμα της ευθείας a , θεωρείται επίσης κανονικό διάνυσμα για την ευθεία a 1 . Όταν η ευθεία a έχει άμεσο διάνυσμα, τότε το διάνυσμα t · n → είναι μη μηδενικό για οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου t, και είναι επίσης κανονικό για την ευθεία a.

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό των κανονικών και διανυσμάτων κατεύθυνσης, μπορεί κανείς να συμπεράνει ότι το κανονικό διάνυσμα είναι κάθετο στην κατεύθυνση. Εξετάστε ένα παράδειγμα.

Αν δίνεται το επίπεδο O x y, τότε το σύνολο των διανυσμάτων για το O x είναι το διάνυσμα συντεταγμένων j → . Θεωρείται μη μηδενικό και ανήκει στον άξονα συντεταγμένων O y, κάθετο στο O x. Ολόκληρο το σύνολο των κανονικών διανυσμάτων ως προς το O x μπορεί να γραφτεί ως t · j → , t ∈ R , t ≠ 0 .

Το ορθογώνιο σύστημα O x y z έχει ένα κανονικό διάνυσμα i → που σχετίζεται με την ευθεία O z. Το διάνυσμα j → θεωρείται επίσης κανονικό. Αυτό δείχνει ότι κάθε μη μηδενικό διάνυσμα που βρίσκεται σε οποιοδήποτε επίπεδο και είναι κάθετο στο O z θεωρείται κανονικό για το O z.

Συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος της ευθείας - εύρεση των συντεταγμένων του κανονικού διανύσματος της ευθείας από τις γνωστές εξισώσεις της ευθείας

Όταν εξετάζουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y, βρίσκουμε ότι η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο αντιστοιχεί σε αυτό και ο προσδιορισμός των κανονικών διανυσμάτων γίνεται με συντεταγμένες. Εάν η εξίσωση μιας ευθείας είναι γνωστή, αλλά είναι απαραίτητο να βρεθούν οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος, τότε είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν οι συντελεστές από την εξίσωση A x + B y + C = 0, οι οποίοι αντιστοιχούν στις συντεταγμένες του το κανονικό διάνυσμα της δεδομένης ευθείας.

Παράδειγμα 1

Δίνεται ευθεία της μορφής 2 x + 7 y - 4 = 0 _, βρείτε τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος.

Λύση

Με προϋπόθεση, έχουμε ότι η ευθεία γραμμή δόθηκε από τη γενική εξίσωση, που σημαίνει ότι είναι απαραίτητο να γράψουμε τους συντελεστές, οι οποίοι είναι οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος. Επομένως, οι συντεταγμένες του διανύσματος έχουν την τιμή 2 , 7 .

Απάντηση: 2 , 7 .

Υπάρχουν φορές που το Α ή το Β από μια εξίσωση είναι μηδέν. Ας εξετάσουμε τη λύση μιας τέτοιας εργασίας με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 2

Καθορίστε το κανονικό διάνυσμα για τη δεδομένη ευθεία y - 3 = 0 .

Λύση

Με συνθήκη, μας δίνεται η γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, που σημαίνει ότι τη γράφουμε με αυτόν τον τρόπο 0 · x + 1 · y - 3 = 0. Τώρα μπορούμε να δούμε καθαρά τους συντελεστές, που είναι οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος. Έτσι, παίρνουμε ότι οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος είναι 0 , 1 .

Απάντηση: 0, 1.

Αν μια εξίσωση δίνεται σε τμήματα της μορφής x a + y b = 1 ή μια εξίσωση με συντελεστής κλίσης y = k · x + b , τότε είναι απαραίτητο να αναχθεί στη γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, όπου μπορεί κανείς να βρει τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος αυτής της ευθείας.

Παράδειγμα 3

Να βρείτε τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος αν δίνεται η εξίσωση της ευθείας x 1 3 - y = 1.

Λύση

Πρώτα πρέπει να μετακινηθείτε από την εξίσωση στα διαστήματα x 1 3 - y = 1 σε μια γενική εξίσωση. Τότε παίρνουμε ότι x 1 3 - y = 1 ⇔ 3 x - 1 y - 1 = 0 .

Αυτό δείχνει ότι οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος έχουν την τιμή 3 , - 1 .

Απάντηση: 3 , - 1 .

Εάν η ευθεία ορίζεται από την κανονική εξίσωση της ευθείας στο επίπεδο x - x 1 a x = y - y 1 a y ή από την παραμετρική x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ , τότε η λήψη των συντεταγμένων γίνεται πιο περίπλοκο. Σύμφωνα με αυτές τις εξισώσεις, φαίνεται ότι οι συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης θα είναι a → = (a x , a y) . Η δυνατότητα εύρεσης των συντεταγμένων του κανονικού διανύσματος n → είναι δυνατή λόγω της συνθήκης ότι τα διανύσματα n → και a → είναι κάθετα.

Είναι δυνατό να ληφθούν οι συντεταγμένες ενός κανονικού διανύσματος χρησιμοποιώντας ένα κανονικό ή παραμετρικές εξισώσειςαπευθείας στον γενικό. Τότε παίρνουμε:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ a y x - a x y + a x y 1 - a y x 1 x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y x - a x y + a x y 1 - a y x 1 = 0

Για τη λύση, μπορείτε να επιλέξετε οποιοδήποτε βολικό τρόπο.

Παράδειγμα 4

Να βρείτε το κανονικό διάνυσμα της δεδομένης ευθείας x - 2 7 = y + 3 - 2 .

Λύση

Από την ευθεία x - 2 7 = y + 3 - 2 είναι σαφές ότι το διάνυσμα κατεύθυνσης θα έχει συντεταγμένες a → = (7 , - 2) . Το κανονικό διάνυσμα n → = (n x , n y) της δεδομένης ευθείας είναι κάθετο σε a → = (7 , - 2) .

Ας μάθουμε με τι ισούται το βαθμωτό γινόμενο. Για εύρεση προϊόν με κουκκίδεςδιανύσματα a → = (7 , - 2) και n → = (n x , n y) γράφουμε a → , n → = 7 n x - 2 n y = 0 .

Η τιμή του n x είναι αυθαίρετη, θα πρέπει να βρείτε το n y . Αν n x = 1, τότε παίρνουμε ότι 7 · 1 - 2 · n y = 0 ⇔ n y = 7 2 .

Επομένως, το κανονικό διάνυσμα έχει συντεταγμένες 1 , 7 2 .

Η δεύτερη λύση είναι να καταλήξουμε γενική εικόνακανονικές εξισώσεις. Για αυτό, μεταμορφωνόμαστε

x - 2 7 = y + 3 - 2 ⇔ 7 (y + 3) = - 2 (x - 2) ⇔ 2 x + 7 y - 4 + 7 3 = 0

Το αποτέλεσμα των κανονικών διανυσματικών συντεταγμένων είναι 2, 7.

Απάντηση: 2, 7ή 1 , 7 2 .

Παράδειγμα 5

Καθορίστε τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος της ευθείας x = 1 y = 2 - 3 · λ .

Λύση

Πρώτα πρέπει να εκτελέσετε έναν μετασχηματισμό για να μεταβείτε στη γενική μορφή μιας ευθείας γραμμής. Ας το κάνουμε:

x = 1 y = 2 - 3 λ ⇔ x = 1 + 0 λ y = 2 - 3 λ ⇔ λ = x - 1 0 λ = y - 2 - 3 ⇔ x - 1 0 = y - 2 - 3 ⇔ ⇔ - 3 (x - 1) = 0 (y - 2) ⇔ - 3 x + 0 y + 3 = 0

Αυτό δείχνει ότι οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος είναι -3, 0.

Απάντηση: - 3 , 0 .

Ας εξετάσουμε μεθόδους για την εύρεση των συντεταγμένων ενός κανονικού διανύσματος στην εξίσωση μιας ευθείας στο διάστημα που δίνεται από ορθογώνιο σύστημασυντεταγμένες O x y z .

Όταν μια ευθεία δίνεται από τις εξισώσεις των τεμνόμενων επιπέδων A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 και A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , τότε το κανονικό διάνυσμα του το επίπεδο αναφέρεται σε A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 και A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, τότε παίρνουμε τα διανύσματα με τη μορφή n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) και n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) .

Όταν η γραμμή ορίζεται χρησιμοποιώντας την κανονική εξίσωση του χώρου, που έχει τη μορφή x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ή παραμετρική, που έχει τη μορφή x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z · λ , επομένως τα x , a y και a z θεωρούνται οι συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης της δεδομένης ευθείας. Οποιοδήποτε μη μηδενικό διάνυσμα μπορεί να είναι κανονικό για μια δεδομένη γραμμή και να είναι κάθετο στο διάνυσμα a → = (a x , a y , a z) . Από αυτό προκύπτει ότι η εύρεση των συντεταγμένων της κανονικής με παραμετρική και κανονικές εξισώσειςγίνεται χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες ενός διανύσματος που είναι κάθετο δεδομένο διάνυσμα a → = (a x , a y , a z) .

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Στην πιο γενική περίπτωση, το κάθετο σε μια επιφάνεια αντιπροσωπεύει την τοπική του καμπυλότητα, και ως εκ τούτου την κατεύθυνση της κατοπτρικής ανάκλασης (Εικόνα 3.5). Σε σχέση με τις γνώσεις μας, μπορούμε να πούμε ότι το κανονικό είναι το διάνυσμα που καθορίζει τον προσανατολισμό του προσώπου (Εικ. 3.6).

Ρύζι. 3.5 Εικ. 3.6

Πολλοί αλγόριθμοι αφαίρεσης κρυφών γραμμών και επιφανειών χρησιμοποιούν μόνο άκρες και κορυφές, επομένως για να τις συνδυάσετε με το μοντέλο φωτισμού, πρέπει να γνωρίζετε την κατά προσέγγιση τιμή του κανονικού στις άκρες και τις κορυφές. Ας δοθούν οι εξισώσεις των επιπέδων των πολυγωνικών όψεων, τότε η κανονική στην κοινή τους κορυφή είναι ίση με τη μέση τιμή των κανονικών σε όλα τα πολύγωνα που συγκλίνουν σε αυτήν την κορυφή. Για παράδειγμα, στο σχ. 3,7 κατεύθυνση της κατά προσέγγιση κανονικής σε ένα σημείο V 1 υπάρχει:

n v1 = (α 0 +α 1 +α 4 )i + (β 0 +β 1 +β 4 )j + (γ 0 +γ 1 +γ 4 )κ, (3.15)

όπου ένα 0 , ένα 1 , ένα 4 ,σι 0 ,σι 1 ,σι 4 , γ 0 , γ 1 , γ 4 - συντελεστές των εξισώσεων των επιπέδων τριών πολυγώνων Π 0 , Π 1 , Π 4 , περιβάλλων V 1 . Σημειώστε ότι εάν θέλετε να βρείτε μόνο την κατεύθυνση του κανονικού, τότε δεν είναι απαραίτητο να διαιρέσετε το αποτέλεσμα με τον αριθμό των προσώπων.

Εάν δεν δίνονται οι εξισώσεις των επιπέδων, τότε το κανονικό προς την κορυφή μπορεί να προσδιοριστεί με τον μέσο όρο των διανυσματικών γινομένων όλων των ακμών που τέμνονται στην κορυφή. Για άλλη μια φορά, λαμβάνοντας υπόψη την κορυφή V 1 στο Σχ. 3.7, βρείτε την κατεύθυνση της κατά προσέγγιση κανονικής:

n v1 = V 1 V 2 V 1 V 4 +V 1 V 5 V 1 V 2 +V 1 V 4  V 1 V 5 (3.16)

Ρύζι. 3.7 - Προσέγγιση της κανονικής σε πολυγωνική επιφάνεια

Σημειώστε ότι απαιτούνται μόνο εξωτερικά κανονικά. Επιπλέον, εάν το διάνυσμα που προκύπτει δεν είναι κανονικοποιημένο, τότε η τιμή του εξαρτάται από τον αριθμό και την περιοχή συγκεκριμένων πολυγώνων, καθώς και από τον αριθμό και το μήκος συγκεκριμένων ακμών. Η επίδραση των πολυγώνων με μεγαλύτερη έκτασηκαι μακρύτερα πλευρά.

Όταν η κανονική επιφάνεια χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της έντασης και εκτελείται μετασχηματισμός προοπτικής στην εικόνα ενός αντικειμένου ή σκηνής, τότε η κανονική θα πρέπει να υπολογιστεί πριν από τη διαίρεση της προοπτικής. Διαφορετικά, η κατεύθυνση του κανονικού θα παραμορφωθεί και αυτό θα έχει ως αποτέλεσμα τον εσφαλμένο προσδιορισμό της έντασης που καθορίζεται από το μοντέλο φωτισμού.

Εάν είναι γνωστή η αναλυτική περιγραφή του επιπέδου (επιφάνειας), τότε το κανονικό υπολογίζεται απευθείας. Γνωρίζοντας την εξίσωση του επιπέδου κάθε όψης του πολυέδρου, μπορείτε να βρείτε την κατεύθυνση της προς τα έξω κανονικής.

Αν η εξίσωση του επιπέδου είναι:

τότε το κανονικό διάνυσμα σε αυτό το επίπεδο γράφεται ως εξής:

, (3.18)

όπου
- μοναδιαία διανύσματατσεκούρια x,y,zαντίστοιχα.

αξία ρευπολογίζεται χρησιμοποιώντας ένα αυθαίρετο σημείο που ανήκει στο επίπεδο, για παράδειγμα, για ένα σημείο (
)

Παράδειγμα. Θεωρήστε ένα επίπεδο πολύγωνο 4 πλευρών που περιγράφεται από 4 κορυφές V1(1,0,0), V2(0,1,0), V3(0,0,1) και V4(1,1,1) (βλ. 3.7).

Η εξίσωση του επιπέδου έχει τη μορφή:

x + y + z - 1 = 0.

Ας πάρουμε το κανονικό σε αυτό το επίπεδο χρησιμοποιώντας το διανυσματικό γινόμενο ενός ζεύγους διανυσμάτων που είναι γειτονικές ακμές σε μία από τις κορυφές, για παράδειγμα, V1:

Πολλοί αλγόριθμοι αφαίρεσης κρυφών γραμμών και επιφανειών χρησιμοποιούν μόνο άκρες ή κορυφές, επομένως για να τις συνδυάσετε με το μοντέλο φωτισμού, πρέπει να γνωρίζετε την κατά προσέγγιση τιμή του κανονικού στις άκρες και τις κορυφές.

Ας δοθούν οι εξισώσεις των επιπέδων των όψεων του πολυέδρου, τότε η κανονική στην κοινή τους κορυφή είναι ίση με τη μέση τιμή των κανονικών σε όλες τις όψεις που συγκλίνουν σε αυτήν την κορυφή.