Επαγωγή- μια μορφή σκέψης μέσω της οποίας μια σκέψη κατευθύνεται προς κάτι γενικός κανόνας, γενική θέση, εγγενές σε όλα τα συγκεκριμένα αντικείμενα οποιασδήποτε κλάσης.
Αφαίρεση- μια μορφή σκέψης όταν μια νέα σκέψη προκύπτει καθαρά λογικά από προηγούμενες σκέψεις. Αυτή η ακολουθία σκέψεων ονομάζεται συμπέρασμα και κάθε συστατικό αυτού του συμπεράσματος είναι είτε μια προηγουμένως αποδεδειγμένη σκέψη, ένα αξίωμα ή μια υπόθεση.
Απαγωγική απόδειξη- μία από τις μορφές αποδείξεων όταν μια διατριβή, η οποία είναι κάποιο είδος ατομικής ή συγκεκριμένης κρίσης, υπόκειται σε γενικό κανόνα.
Κάθε απόδειξη αποτελείται από τρία μέρη:
διατριβή, επιχειρήματα, επιδείξεις.
Κανόνες απόδειξης:
1. Η θέση και τα επιχειρήματα πρέπει να είναι σαφή και οριστικά.
2. Η διατριβή πρέπει να παραμείνει η ίδια καθ' όλη τη διάρκεια της απόδειξης.
3. Η διατριβή δεν πρέπει να περιέχει λογική αντίφαση.
4. Η διατριβή που πρέπει να αποδειχθεί δεν πρέπει να έρχεται σε λογική αντίφαση με προηγούμενα διατυπωμένες κρίσεις.
5. Τα επιχειρήματα που δίνονται για την υποστήριξη της διατριβής δεν πρέπει να έρχονται σε αντίθεση μεταξύ τους.
6. Αναγωγή στο παράλογο. Η αλήθεια της μίας ή της άλλης διατριβής μπορεί να τεκμηριωθεί αποδεικνύοντας την ανακρίβεια της αντίθετης θέσης.
7. Η θέση και τα επιχειρήματα πρέπει να υποστηρίζονται από γεγονότα.
8. Η απόδειξη πρέπει να είναι πλήρης.
9. Τα επιχειρήματα που δίνονται για την επιβεβαίωση της αλήθειας της διατριβής πρέπει να είναι επαρκή για αυτή τη διατριβή.
10. Τα επιχειρήματα που δίνονται για να αποδειχθεί η αλήθεια της διατριβής πρέπει να είναι αληθή.
11. Τα επιχειρήματα πρέπει να είναι κρίσεις, η αλήθεια των οποίων έχει αποδειχθεί ανεξάρτητα, ανεξάρτητα από τη διατριβή.
ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Πτυχιακή εργασία - μια ιδέα ή πρόταση της οποίας η αλήθεια πρέπει να αποδειχθεί.

Ας μάθουμε να αποδεικνύουμε ένα θεώρημα.

Δεν είναι τόσο δύσκολο να κατακτήσεις το περιεχόμενο των θεωρημάτων (κανόνες, τύποι, ταυτότητες κ.λπ.) που μελετώνται στο σχολείο. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να προσπαθήσουμε συστηματικά να κατανοήσουμε το νόημα του θεωρήματος (κανόνες, τύποι, ταυτότητες κ.λπ., να τα εφαρμόζουμε όσο το δυνατόν συχνότερα κατά την επίλυση προβλημάτων, όταν αποδεικνύονται άλλα θεωρήματα. Η εργασία αυτή, όπως δείχνει η πρακτική, οδηγεί σε ακούσια αφομοίωση του περιεχομένου τους, απομνημόνευση διατυπώσεων. Είναι πολύ πιο δύσκολο να μάθεις πώς να αποδεικνύεις θεωρήματα. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν μιλάμε για απομνημόνευση της απόδειξης ενός συγκεκριμένου θεωρήματος που συζητήθηκε στην τάξη. Δεν υπάρχει ανάγκη Για να απομνημονεύσετε συγκεκριμένα την απόδειξη, πρέπει να μάθετε πώς να αποδεικνύετε μόνοι σας τα θεωρήματα.Οι αποδείξεις θεωρημάτων στο σχολικό βιβλίο θα πρέπει να θεωρούνται ως υπόδειγμα (τυποποιημένος) συλλογισμός κατά την απόδειξη μιας δήλωσης.

Τι σημαίνει απόδειξη ενός θεωρήματος, τι είναι απόδειξη;

Απόδειξη μέσα με ευρεία έννοια- πρόκειται για λογικό συλλογισμό, κατά τον οποίο η αλήθεια μιας σκέψης δικαιολογείται με τη βοήθεια άλλων διατάξεων.

Επομένως, όταν πείθεις τον φίλο σου για κάτι ή υπερασπίζεσαι τη γνώμη σου, την άποψή σου σε μια διαμάχη μαζί του, τότε ουσιαστικά προσκομίζεις μια απόδειξη (επιδέξια ή άτεχνα - αυτό είναι άλλο ερώτημα). Στη ζωή, όλη την ώρα, κάθε μέρα στην επικοινωνία με άλλους ανθρώπους, πρέπει να αποδείξεις ορισμένες σκέψεις, δηλώσεις, πρέπει να πείσεις για κάτι, δηλ. να αποδείξεις.

Η απόδειξη των μαθηματικών θεωρημάτων είναι ειδική περίπτωσηαποδείξεις γενικά. Διαφέρει από την απόδειξη στις καθημερινές συνθήκες ή σε άλλες επιστήμες στο ότι γίνεται όσο πιο καθαρά γίνεται. απαγωγικά(από Λατινική λέξηεξαγωγή - συμπέρασμα), δηλαδή η εξαγωγή μιας νέας αποδείξιμης σκέψης (δήλωση, κρίση) από προηγουμένως αποδεδειγμένες ή αποδεκτές χωρίς αποδεικτικές σκέψεις (αξιώματα) σύμφωνα με τους κανόνες της λογικής χωρίς καμία αναφορά σε παραδείγματα ή εμπειρία. Σε άλλες επιστήμες, σε καθημερινές συνθήκες, συχνά καταφεύγουμε σε παραδείγματα και εμπειρία για απόδειξη. Λέμε: "Κοίτα" - και αυτό μπορεί να χρησιμεύσει ως απόδειξη. Στα μαθηματικά, αυτή η μέθοδος απόδειξης είναι απαράδεκτη· η αναφορά, για παράδειγμα, σε προφανείς σχέσεις που απεικονίζονται από ένα σχέδιο δεν επιτρέπεται. Μαθηματική απόδειξηθα πρέπει να είναι μια αλυσίδα λογικών συνεπειών από τα αρχικά αξιώματα, ορισμούς, συνθήκες του θεωρήματος και προηγουμένως αποδεδειγμένα θεωρήματα μέχρι το απαιτούμενο συμπέρασμα.

Έτσι, όταν αποδεικνύουμε ένα θεώρημα, το ανάγουμε σε προηγουμένως αποδεδειγμένα θεωρήματα, και αυτά, με τη σειρά τους, σε άλλα, κ.λπ. αξιώματα αποδεκτά χωρίς απόδειξη.

Κατά συνέπεια, τα αξιώματα δεν χρησιμεύουν μόνο για έμμεσος ορισμόςπρωταρχικές έννοιες, αλλά και ως βάση για την απόδειξη όλων των θεωρημάτων των μαθηματικών. Γι' αυτό ανάμεσα στα αξιώματα υπάρχουν και αυτά που δηλώνουν ειδικές ιδιότητεςέννοιες που έχουν λογικούς ορισμούς. Έτσι, για παράδειγμα, οι παράλληλες γραμμές σε ένα μάθημα γεωμετρίας δεν είναι πρωταρχική έννοια, αλλά καθορισμένη. Ωστόσο, μια από τις ιδιότητες των παράλληλων ευθειών, δηλαδή αυτή ημέσω ενός σημείου που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία, είναι δυνατό να σχεδιάσουμε στο επίπεδο όχι περισσότερες από μία ευθείες παράλληλες στη δεδομένη, είμαστε αναγκασμένοι να το λάβουμε ως αξίωμα, επειδή, όπως διαπιστώθηκε από τον μεγάλο Ρώσο γεωμέτρη Ο N. I. Lobachevsky (1792-1856), καθώς και από τον Γερμανό μαθηματικό K. F. Gauss (1777-1855) και τον Ούγγρο μαθηματικό J. Bolyai (1802-1860), είναι αδύνατο να αποδειχθεί αυτή η ιδιότητα των παράλληλων ευθειών με βάση μόνο τις υπόλοιπες αξιώματα της γεωμετρίας.

Κάθε βήμα της απόδειξης αποτελείται από τρία μέρη:

1) μια πρόταση (αξίωμα, θεώρημα, ορισμός) βάσει της οποίας πραγματοποιείται αυτό το βήμα της απόδειξης. Αυτή η βάση του βήματος απόδειξης ονομάζεται υπόθεση ή επιχείρημα.

2) λογικός συλλογισμός, κατά τον οποίο η υπόθεση εφαρμόζεται στις συνθήκες του θεωρήματος ή στις προηγούμενες συνέπειες.

3) μια λογική συνέπεια της εφαρμογής της προϋπόθεσης σε συνθήκες ή προηγούμενες συνέπειες.

Στο τελευταίο βήμα της απόδειξης του θεωρήματος, ως συμπέρασμα παίρνουμε τη δήλωση που έπρεπε να αποδειχθεί. Ας δείξουμε τη διαδικασία απόδειξης χρησιμοποιώντας το ακόλουθο θεώρημα ως παράδειγμα: «Οι διαγώνιοι ενός ορθογωνίου είναι ίσες».

Σε αυτό το θεώρημα, μας δίνεται ένα αυθαίρετο (οποιοδήποτε) ορθογώνιο.Για να διευκολυνθεί η λογική κατά τη διαδικασία της απόδειξης, προχωρήστε ως εξής. Ας σχεδιάσουμε ένα καλά καθορισμένο ορθογώνιο ABCD, αλλά στην απόδειξη δεν θα χρησιμοποιήσουμε κανένα ιδιαίτερο χαρακτηριστικό αυτού του ορθογωνίου (για παράδειγμα, ότι η πλευρά ΑΒ είναι περίπου 2 φορές μεγαλύτερη από την πλευρά AD, κ.λπ.). Ως εκ τούτου, το σκεπτικό μας σχετικά με αυτό ένα ορισμένο ορθογώνιοθα ισχύει για οποιοδήποτε άλλο ορθογώνιο, δηλαδή θα έχουν γενικό χαρακτήραγια όλα τα ορθογώνια.

Ας σχεδιάσουμε τις διαγώνιες AC και BD. Ας εξετάσουμε τα ληφθέντα τρίγωνα ABCκαι ABD. Για αυτά τα τρίγωνα, οι γωνίες ABC και BAD είναι ίσες με τις ορθές γωνίες, το σκέλος AB είναι κοινό και τα σκέλη BC και AD είναι ίσες ως απέναντι πλευρές του ορθογωνίου. Επομένως, αυτά τα τρίγωνα είναι ίσα. Από αυτό προκύπτει ότι οι πλευρές AC και BD είναι επίσης ίσες, πράγμα που έπρεπε να αποδειχθεί.

Ολόκληρη η απόδειξη αυτού του θεωρήματος μπορεί να απεικονιστεί στο παρακάτω διάγραμμα.

Βήμα Αρ.	Υποθέσεις (επιχειρήματα)	Συνθήκες	Συνέπειες
1.	Ορισμός: ένα ορθογώνιο είναι ένα τετράπλευρο με όλες τις ορθές γωνίες	ABCD - ορθογώνιο	Α - ευθεία Β> - ευθεία.
2.	Θεώρημα: Οι ορθές γωνίες είναι ίσες.	Α - ευθεία Β - ευθεία.	Α=Β.
3.	Θεώρημα: Οι αντίθετες πλευρές ενός ορθογωνίου είναι ίσες.	ABCD - ορθογώνιο	π.Χ.=μ.Χ
4.	Το πρώτο σημάδι ισότητας δύο τριγώνων.	BC=AD, AB=AB,B=A	ABC=BAD.
5.	Προσδιορισμός της ισότητας των τριγώνων.	ABC =BAD Οι AC και BD είναι αντίστοιχα μέρη	AC=BD.

Το πιο δύσκολο πράγμα σε μια απόδειξη είναι να βρεις μια ακολουθία προϋποθέσεων (αξιώματα, θεωρήματα, ορισμοί), που να εφαρμόζουν στις συνθήκες του θεωρήματος ή ενδιάμεσα αποτελέσματα(συνέπειες) τελικά μπορεί κανείς να αποκτήσει την επιθυμητή συνέπεια - μια αποδείξιμη θέση.

Ποιους κανόνες πρέπει να ακολουθείτε κατά την αναζήτηση αυτής της ακολουθίας; Προφανώς, αυτοί οι κανόνες δεν μπορούν να είναι υποχρεωτικοί· απλώς υποδεικνύουν πιθανούς τρόπουςΑναζήτηση. Ως εκ τούτου, ονομάζονται ευρετικοί κανόνες ή απλώς ευρετικοί (από Ελληνική λέξηεύρηκα - βρίσκω, βρήκα). Πολλοί εξέχοντες μαθηματικοί, όπως ο Pappus (αρχαίος Έλληνας μαθηματικός που έζησε τον 3ο αιώνα), ο Blaise Pascal (1623-1662), ο René Descartes (1596-1650), ο Jacques Hadamard (1865-1963), ο Derge Polya (1887) και Πολλοί άλλοι ανέπτυξαν ευρετικές μεθόδους για την εύρεση αποδείξεων θεωρημάτων και την επίλυση προβλημάτων. Ακολουθούν ορισμένα ευρετικά που είναι χρήσιμα να θυμάστε:

1. Είναι χρήσιμο να αντικαταστήσετε τα ονόματα των αντικειμένων για τα οποία μιλάμε γιασε ένα θεώρημα (πρόβλημα), τους ορισμούς ή τα χαρακτηριστικά τους.

Για παράδειγμα, το θεώρημα που συζητήθηκε παραπάνω αφορούσε ένα ορθογώνιο και χρησιμοποιήσαμε τον ορισμό του ορθογωνίου για να το αποδείξουμε.

2. Εάν είναι δυνατόν, τότε πρέπει να χωρίσετε τη θέση προς απόδειξη σε μέρη και να αποδείξετε κάθε μέρος ξεχωριστά.

Έτσι, για παράδειγμα, η απόδειξη του θεωρήματος: "Αν σε ένα τετράπλευρο οι διαγώνιοι τέμνονται και διαιρούνται στο μισό με το σημείο τομής, τότε αυτό το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο" - μπορεί να χωριστεί σε δύο μέρη: πρώτα αποδείξτε ότι ένα ζεύγος αντίθετες πλευρέςδεδομένο τετράπλευρο είναι παράλληλο, και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι το δεύτερο ζεύγος των απέναντι πλευρών είναι επίσης παράλληλο.

Αυτό πρέπει πάντα να γίνεται όταν είναι δυνατό να χωριστεί η δήλωση που αποδεικνύεται σε πολλά μέρη απλούστερων δηλώσεων.

3. Αναζητώντας μια απόδειξη ενός θεωρήματος, είναι χρήσιμο να πάμε από δύο κατευθύνσεις: από τις συνθήκες του θεωρήματος στο συμπέρασμα και από το συμπέρασμα στις συνθήκες.

Για παράδειγμα, πρέπει να αποδείξετε το ακόλουθο θεώρημα: «Αν μια ορισμένη ακολουθία είναι τέτοια που οποιοδήποτε από τα μέλη της, ξεκινώντας από το δεύτερο, είναι ο αριθμητικός μέσος όρος των προηγούμενων και των επόμενων μελών, τότε αυτή η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος».

Ας ξεκινήσουμε από τις συνθήκες του θεωρήματος. Τι μας δόθηκε; Δίνεται ότι κάθε μέλος της ακολουθίας, ξεκινώντας από το δεύτερο (το συμβολίζουμε a n, όπου n³ 2), είναι ο αριθμητικός μέσος όρος των προηγούμενων και των επόμενων όρων, δηλ.

ένα n- 1 και ένα ν+1. Άρα ισχύει η ακόλουθη ισότητα:
(1)

Τώρα ας προχωρήσουμε από το συμπέρασμα. Τι πρέπει να αποδείξουμε; Πρέπει να αποδείξουμε ότι αυτή η ακολουθία είναι μια αριθμητική πρόοδος. Ποια ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος; Ας θυμηθούμε τον ορισμό:

a n = a n-1 + d,Οπου n2,d- σταθερός αριθμός. (2)

Συγκρίνουμε τη συνθήκη (1) που μας δόθηκε με το συμπέρασμα (2). Για να λάβει η συνθήκη τη μορφή συμπερασμάτων, πρέπει να μετατραπεί ως εξής:

2a n = a n-1 + a n+1, (3)

Από εδώ ένα n- ένα n-1= a n+1 - a n . (4)

Η αριστερή και η δεξιά πλευρά του (4) σημαίνουν το ίδιο πράγμα, δηλαδή τη διαφορά μεταξύ δύο διαδοχικών όρων δεδομένη σειρά. Αν είναι ισότητα (4) Πδίνουμε διαδοχικές τιμές 2, 3, κ.λπ., παίρνουμε: a 2 -a 1 = a 3 - a 2, έπειτα a 3 - a 2 = a 4 - a 3κλπ. Κατά συνέπεια, όλες αυτές οι διαφορές είναι ίσες μεταξύ τους, πράγμα που σημαίνει ότι η διαφορά a p - a pΤο -1 είναι ένας σταθερός αριθμός που μπορεί να συμβολιστεί με ένα γράμμα, για παράδειγμα το γράμμα d:

a n - a n-1 = d.

Από εδώ παίρνουμε: a n = a n-1 + d,και αυτό σημαίνει ότι, σύμφωνα με τον ορισμό (2), αυτή η ακολουθία είναι μια αριθμητική πρόοδος, κάτι που έπρεπε να αποδείξουμε.

Αυτή η ευρετική μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: πρέπει να προσπαθήσουμε να φέρουμε την συνθήκη και το συμπέρασμα του θεωρήματος πιο κοντά, μετασχηματίζοντάς τα ή αντικαθιστώντας τα με συνέπειες.

Υπάρχει επίσης ένας αριθμός πιο ειδικών ευρετικών κανόνων που χρησιμοποιούνται κατά την αναζήτηση μόνο ορισμένων θεωρημάτων. Για παράδειγμα, αυτό το ευρετικό: για να αποδειχθεί η ισότητα οποιωνδήποτε τμημάτων, είναι απαραίτητο να βρεθούν ή να κατασκευαστούν σχήματα των οποίων οι αντίστοιχες πλευρές είναι αυτά τα τμήματα. αν τα στοιχεία αποδειχθούν ίσα, τότε τα αντίστοιχα τμήματα θα είναι ίσα.

Όταν μελετάτε τα θεωρήματα, δεν χρειάζεται απλώς να απομνημονεύετε την απόδειξή τους, αλλά κάθε φορά να σκέφτεστε και να προσδιορίζετε με ποιες μεθόδους αποδεικνύονται, ποιοι ευρετικοί κανόνες χρησιμοποιήθηκαν για να βρεθούν αυτές οι αποδείξεις, πώς μαντέψατε (καταλήξατε) αυτές τις αποδείξεις.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, μια ειδική τεχνική που ονομάζεται «απόδειξη με αντίφαση» ή «αναγωγή στον παραλογισμό» χρησιμοποιείται για την απόδειξη θεωρημάτων.

Η ουσία αυτής της τεχνικής είναι ότι υποθέτουν την αδικία (ψευδότητα) του συμπεράσματος ενός δεδομένου θεωρήματος και αποδεικνύουν ότι μια τέτοια υπόθεση οδηγεί σε αντίφαση με την προϋπόθεση ή με προηγουμένως αποδεδειγμένα θεωρήματα ή αξιώματα. Και δεδομένου ότι οποιαδήποτε πρόταση μπορεί να είναι είτε αληθής είτε ψευδής (τίποτα άλλο δεν μπορεί να είναι), η αντίφαση που προκύπτει δείχνει ότι η υπόθεση ότι το συμπέρασμα του θεωρήματος είναι ψευδές και, επομένως, το συμπέρασμα είναι αληθές, αποδεικνύοντας έτσι το θεώρημα.

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα.

Θεώρημα. Δύο ευθείες, χωριστά παράλληλες με μια τρίτη, είναι παράλληλες μεταξύ τους.

Δίνονται: α||γ, β||γ.
Απόδειξη: α||β.

Ας αποδείξουμε αυτό το θεώρημα με αντίφαση. Ας υποθέσουμε ότι το συμπέρασμα του θέματος είναι λανθασμένο, δηλαδή η ευθεία α δεν είναι παράλληλη με τη γραμμή β. Στη συνέχεια τέμνονται σε ένα ορισμένο σημείο Μ. Και εφόσον, κατά συνθήκη, κάθε μία από αυτές τις ευθείες είναι παράλληλη στην ευθεία c, αποδεικνύεται ότι δύο ευθείες a και b σύρονται μέσω του σημείου M, παράλληλες στην ίδια ευθεία c. Και γνωρίζουμε από το αξίωμα του παραλληλισμού ότι μέσα από ένα σημείο εκτός ευθείας δεν μπορούμε να τραβήξουμε περισσότερες από μία ευθείες παράλληλες στη δεδομένη. Ήρθαμε σε αντίφαση με το αξίωμα. Αυτό δείχνει ότι η υπόθεσή μας ότι οι ευθείες a και b δεν είναι παράλληλες είναι λανθασμένη, επομένως, a||b, που χρειαζόμασταν να αποδείξουμε.

Ενα άλλο παράδειγμα.

Θεώρημα. Αριθμητικός μέσος όρος δύο θετικούς αριθμούςόχι λιγότερο (που σημαίνει: μεγαλύτερος ή ίσος με) ο γεωμετρικός μέσος όρος αυτών των αριθμών.

Αυτό το θεώρημα μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Όπου a>0, b>0, (1)

Μπορεί να αποδειχθεί είτε άμεσα είτε με αντίφαση. Ας το αποδείξουμε με αντίφαση.

Για να γίνει αυτό, ας υποθέσουμε ότι είναι λάθος, δηλαδή, ο αριθμητικός μέσος όρος είναι μικρότερος από τον γεωμετρικό μέσο όρο δύο θετικών αριθμών: (2)

Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές του (2) επί 2 και τις τετραγωνίζουμε, παίρνουμε: a 2 + 2ab + b 2<.4ab или a 2 - 2ab + b 2 < 0. По формуле квадрата разности двух чисел получаем: (а - b) 2 < 0.

Το αποτέλεσμα ήταν ένας προφανής παραλογισμός: το τετράγωνο ενός συγκεκριμένου αριθμού (α - β) είναι αρνητικό, το οποίο δεν μπορεί να είναι. Κατά συνέπεια, η υπόθεση ότι το θεώρημα είναι ψευδές οδήγησε σε μια αντίφαση, η οποία αποδεικνύει την εγκυρότητα του θεωρήματος.

Έτσι, μια απόδειξη με αντίφαση ενός συγκεκριμένου θεωρήματος συνίσταται στο γεγονός ότι κάνουμε την υπόθεση ότι το συμπέρασμα του θεωρήματος είναι εσφαλμένο. Στη συνέχεια κάνουμε μια σειρά από λογικά συμπεράσματα με βάση αυτή την υπόθεση, με αποτέλεσμα να φτάσουμε σε μια σαφώς παράλογη θέση (αντίφαση με την προϋπόθεση ή προηγουμένως αποδεδειγμένα θεωρήματα, αξιώματα). Στη συνέχεια, συλλογιζόμαστε ως εξής: εάν η υπόθεσή μας ήταν αληθινή, τότε θα μπορούσαμε να καταλήξουμε μόνο στο σωστό συμπέρασμα, και εφόσον καταλήξαμε σε λάθος συμπέρασμα, αυτό σημαίνει ότι η υπόθεση μας ήταν εσφαλμένη, επομένως, πειστήκαμε ότι το συμπέρασμα το θεώρημα είναι αληθές.

Σημειώστε ότι εάν ως αποτέλεσμα του συλλογισμού δεν είχαμε παραλογισμό (αντίφαση), αυτό δεν θα σήμαινε ότι η υπόθεση είναι αληθινή. Με άλλα λόγια, εάν προχωρήσουμε από την ορθότητα (δικαιοσύνη) του συμπεράσματος του θεωρήματος και από αυτή την υπόθεση λάβουμε μια σωστή (προφανή) συνέπεια, αυτό δεν σημαίνει ότι η υπόθεση είναι αληθής: μπορεί να συμβεί ότι το αρχικό θεώρημα είναι απλά λάθος.

Πολλοί σοφισμοί βασίζονται σε αυτό (εσκεμμένα ψευδώς κατασκευασμένα συμπεράσματα που φαίνονται μόνο σωστά), αυτό εξηγεί πολλά λάθη που γίνονται κατά την επίλυση προβλημάτων.

Εξετάστε, για παράδειγμα, την ακόλουθη ισότητα: α - β = β - α(1), όπου ΕΝΑΚαι σι- αυθαίρετους αριθμούς. Ας υποθέσουμε ότι το (1) είναι αληθές, τότε τετραγωνίζουμε και τις δύο πλευρές του (1) και παίρνουμε:

a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2

Μετακινώντας όλους τους όρους στη μία πλευρά και φέρνοντας παρόμοιους, καταλήγουμε σε μια απολύτως σωστή ισότητα: 0 = 0. Από αυτό όμως δεν μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ισχύει και η αρχική ισότητα (1). Αν κάναμε ένα τέτοιο συμπέρασμα, θα καταλήγαμε στον εξής σοφισμό: 2a = 2b ή a = b, δηλαδή τυχόν αυθαίρετοι αριθμοί είναι ίσοι μεταξύ τους. Το λάθος είναι ότι η ισότητα των τετραγώνων δύο αριθμών δεν συνεπάγεται την ισότητα αυτών των ίδιων των αριθμών. Για παράδειγμα, (-2) 2 = 2 2, αλλά -22.

Ακολουθεί ένα παράδειγμα λανθασμένης λύσης σε ένα πρόβλημα.

Εργο. Λύστε την εξίσωση 3+ x + 2 = 0 (1).

Ας υποθέσουμε ότι η εξίσωση (1) έχει λύση και, επομένως, η ισότητα (1) είναι αληθής. Τότε παίρνουμε: 3 = - x - 2. Ας τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές της ισότητας: 9x = x 2 + 4x + 4 ή x 2 -5x + 4 = 0, άρα x 1 = 4, x 2 = 1. Μπορούν οι τιμές x που βρέθηκαν να θεωρηθούν ρίζες της εξίσωσης (1); Μερικοί μαθητές απαντούν καταφατικά σε αυτή την ερώτηση, επειδή όλοι οι μετασχηματισμοί της εξίσωσης είναι σωστοί. Και όμως καμία από τις τιμές που βρέθηκαν του x δεν είναι η ρίζα του (1). Αυτό επιβεβαιώνεται με επαλήθευση. Αντικαθιστώντας τις τιμές του x που βρέθηκαν σε (1), λαμβάνουμε σαφώς παράλογες ισότητες: 12 = 0 και 6 = 0.

Πώς λύνεις όμως αυτή την εξίσωση; Σημειώστε ότι η έκφραση στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης έχει νόημα εάν x0. Τότε η αριστερή πλευρά της εξίσωσης, για τυχόν αποδεκτές τιμές του x, παίρνει μόνο θετικές τιμές και δεν μπορεί με κανέναν τρόπο να είναι ίση με 0, επομένως, αυτή η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Έτσι, πρέπει να μάθετε να αποδεικνύετε θεωρήματα (τύπους, ταυτότητες κ.λπ.), να κυριαρχείτε σε γενικές μεθόδους αναζήτησης αποδείξεων θεωρημάτων.

Όχι μόνο κάθε μαθητής, αλλά και κάθε μορφωμένος άνθρωπος που σέβεται τον εαυτό του πρέπει να γνωρίζει τι είναι θεώρημα και απόδειξη θεωρημάτων. Ίσως τέτοιες έννοιες δεν θα συναντηθούν στην πραγματική ζωή, αλλά σίγουρα θα βοηθήσουν στη δομή πολλών γνώσεων, καθώς και στην εξαγωγή συμπερασμάτων. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε μεθόδους απόδειξης θεωρημάτων και επίσης θα εξοικειωθούμε με το περίφημο Πυθαγόρειο θεώρημα.

Τι είναι ένα θεώρημα;

Αν σκεφτούμε ένα σχολικό μάθημα μαθηματικών, τότε πολύ συχνά περιέχει επιστημονικούς όρους όπως θεώρημα, αξίωμα, ορισμός και απόδειξη. Για να πλοηγηθείτε στο πρόγραμμα, πρέπει να εξοικειωθείτε με καθέναν από αυτούς τους ορισμούς. Τώρα θα δούμε τι είναι το θεώρημα και η απόδειξη των θεωρημάτων.

Άρα, ένα θεώρημα είναι μια ορισμένη πρόταση που απαιτεί απόδειξη. Αυτή η έννοια πρέπει να εξεταστεί παράλληλα με το αξίωμα, καθώς το τελευταίο δεν απαιτεί απόδειξη. Ο ορισμός του είναι ήδη αληθινός, άρα θεωρείται δεδομένος.

Πεδίο εφαρμογής των θεωρημάτων

Είναι λάθος να πιστεύουμε ότι τα θεωρήματα χρησιμοποιούνται μόνο στα μαθηματικά. Στην πραγματικότητα, αυτό απέχει πολύ από την περίπτωση. Για παράδειγμα, υπάρχει απλώς ένας απίστευτος αριθμός θεωρημάτων στη φυσική που μας επιτρέπουν να εξετάσουμε ορισμένα φαινόμενα και έννοιες λεπτομερώς και από όλες τις πλευρές. Αυτό περιλαμβάνει τα θεωρήματα των Ampere, Steiner και πολλών άλλων. Οι αποδείξεις τέτοιων θεωρημάτων σας επιτρέπουν να έχετε μια καλή κατανόηση των ροπών αδράνειας, της στατικής, της δυναμικής και πολλών άλλων εννοιών της φυσικής.

Χρήση θεωρημάτων στα μαθηματικά

Είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς μια επιστήμη σαν τα μαθηματικά χωρίς θεωρήματα και αποδείξεις. Για παράδειγμα, οι αποδείξεις θεωρημάτων τριγώνου σας επιτρέπουν να μελετήσετε λεπτομερώς όλες τις ιδιότητες του σχήματος. Άλλωστε, είναι πολύ σημαντικό να κατανοήσουμε τις ιδιότητες ενός ισοσκελούς τριγώνου και πολλά άλλα πράγματα.

Η απόδειξη του θεωρήματος της περιοχής σάς επιτρέπει να κατανοήσετε τον ευκολότερο τρόπο υπολογισμού του εμβαδού ενός σχήματος με βάση ορισμένα δεδομένα. Εξάλλου, όπως γνωρίζετε, υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός τύπων που περιγράφουν πώς να βρείτε την περιοχή ενός τριγώνου. Αλλά πριν τα χρησιμοποιήσετε, είναι πολύ σημαντικό να αποδείξετε ότι αυτό είναι δυνατό και λογικό σε μια συγκεκριμένη περίπτωση.

Πώς να αποδείξετε θεωρήματα

Κάθε μαθητής πρέπει να γνωρίζει τι είναι ένα θεώρημα και την απόδειξη των θεωρημάτων. Στην πραγματικότητα, η απόδειξη οποιασδήποτε δήλωσης δεν είναι τόσο εύκολη. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να λειτουργήσετε με πολλά δεδομένα και να είστε σε θέση να βγάλετε λογικά συμπεράσματα. Φυσικά, εάν έχετε καλή γνώση πληροφοριών σχετικά με έναν συγκεκριμένο επιστημονικό κλάδο, τότε η απόδειξη του θεωρήματος δεν θα σας είναι δύσκολη. Το κύριο πράγμα είναι να εκτελέσετε τη διαδικασία απόδειξης με μια συγκεκριμένη λογική σειρά.

Για να μάθετε πώς να αποδεικνύετε θεωρήματα σε επιστημονικούς κλάδους όπως η γεωμετρία και η άλγεβρα, πρέπει να έχετε καλή γνώση, καθώς και να γνωρίζετε τον ίδιο τον αλγόριθμο απόδειξης. Εάν κατακτήσετε αυτήν τη διαδικασία, τότε η επίλυση μαθηματικών προβλημάτων αργότερα δεν θα είναι δύσκολη για εσάς.

Τι πρέπει να γνωρίζετε για την απόδειξη θεωρημάτων

Τι είναι ένα θεώρημα και τι αποδείξεις θεωρημάτων; Αυτό είναι ένα ερώτημα που απασχολεί πολλούς ανθρώπους στη σύγχρονη κοινωνία. Είναι πολύ σημαντικό να μάθετε πώς να αποδεικνύετε μαθηματικά θεωρήματα· αυτό θα σας βοηθήσει στο μέλλον να δημιουργήσετε λογικές αλυσίδες και να καταλήξετε σε ένα συγκεκριμένο συμπέρασμα.

Έτσι, για να αποδειχθεί σωστά το θεώρημα, είναι πολύ σημαντικό να γίνει το σωστό σχέδιο. Εμφανίζει όλα τα δεδομένα που καθορίστηκαν στη συνθήκη. Είναι επίσης πολύ σημαντικό να γράψετε όλες τις πληροφορίες που δόθηκαν στην εργασία. Αυτό θα σας βοηθήσει να αναλύσετε σωστά την εργασία και να κατανοήσετε ακριβώς ποιες ποσότητες δίνονται σε αυτήν. Και μόνο μετά από τέτοιες διαδικασίες μπορούμε να ξεκινήσουμε την ίδια την απόδειξη. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να δημιουργήσετε λογικά μια αλυσίδα σκέψεων χρησιμοποιώντας άλλα θεωρήματα, αξιώματα ή ορισμούς. Το αποτέλεσμα της απόδειξης πρέπει να είναι ένα αποτέλεσμα του οποίου η αλήθεια είναι αναμφισβήτητη.

Βασικοί τρόποι απόδειξης θεωρημάτων

Σε ένα σχολικό μάθημα μαθηματικών, υπάρχουν δύο τρόποι για να αποδειχθεί ένα θεώρημα. Τις περισσότερες φορές, τα προβλήματα χρησιμοποιούν την άμεση μέθοδο, καθώς και τη μέθοδο της απόδειξης με αντίφαση. Στην πρώτη περίπτωση απλώς αναλύουν τα διαθέσιμα στοιχεία και με βάση αυτά εξάγουν τα κατάλληλα συμπεράσματα. Η αντίθετη μέθοδος χρησιμοποιείται επίσης πολύ συχνά. Σε αυτή την περίπτωση, υποθέτουμε την αντίθετη πρόταση και αποδεικνύουμε ότι είναι ψευδής. Με βάση αυτό, παίρνουμε το αντίθετο αποτέλεσμα και λέμε ότι η κρίση μας ήταν λανθασμένη, πράγμα που σημαίνει ότι οι πληροφορίες που καθορίζονται στη συνθήκη είναι σωστές.

Στην πραγματικότητα, πολλά μαθηματικά προβλήματα μπορούν να έχουν περισσότερες από μία λύσεις. Για παράδειγμα, το θεώρημα του Fermat έχει αρκετές αποδείξεις. Φυσικά, μερικά εξετάζονται μόνο με έναν τρόπο, αλλά, για παράδειγμα, στο Πυθαγόρειο θεώρημα, πολλά από αυτά μπορούν να εξεταστούν ταυτόχρονα.

Τι είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα

Φυσικά, κάθε μαθητής γνωρίζει ότι το Πυθαγόρειο θεώρημα ισχύει ειδικά για ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Και ακούγεται κάπως έτσι: «Το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών». Παρά το όνομα αυτού του θεωρήματος, δεν το ανακάλυψε ο ίδιος ο Πυθαγόρας, αλλά πολύ πριν από αυτόν. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να αποδειχθεί αυτή η δήλωση, και θα δούμε μερικούς από αυτούς.

Σύμφωνα με επιστημονικά δεδομένα, στην αρχή θεωρήθηκε ένα ισόπλευρο ορθογώνιο τρίγωνο. Στη συνέχεια χτίστηκαν τετράγωνα σε όλες τις πλευρές του. Ένα τετράγωνο χτισμένο στην υποτείνουσα θα αποτελείται από τέσσερα τρίγωνα ίσα μεταξύ τους. Ενώ οι φιγούρες που κατασκευάζονται στις πλευρές θα αποτελούνται μόνο από δύο ίδια τρίγωνα. Αυτή η απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος είναι η απλούστερη.

Ας εξετάσουμε μια άλλη απόδειξη αυτού του θεωρήματος. Απαιτεί τη χρήση γνώσεων όχι μόνο από τη γεωμετρία, αλλά και από την άλγεβρα. Για να αποδείξουμε αυτό το θεώρημα με αυτόν τον τρόπο, πρέπει να κατασκευάσουμε τέσσερα παρόμοια ορθογώνια τρίγωνα και να χαρακτηρίσουμε τις πλευρές τους ως a, b και c.

Πρέπει να κατασκευάσουμε αυτά τα τρίγωνα με τέτοιο τρόπο ώστε να καταλήγουμε σε δύο τετράγωνα. Η εξωτερική θα έχει πλευρές (α+β), αλλά η εσωτερική θα έχει γ. Για να βρούμε το εμβαδόν του εσωτερικού τετραγώνου, πρέπει να βρούμε το γινόμενο c*c. Αλλά για να βρείτε το εμβαδόν ενός μεγάλου τετραγώνου, πρέπει να προσθέσετε τα εμβαδά των μικρών τετραγώνων και να προσθέσετε τα εμβαδά των ορθογωνίων τριγώνων που προκύπτουν. Τώρα, αφού εκτελέσουμε κάποιες αλγεβρικές πράξεις, μπορούμε να λάβουμε τον ακόλουθο τύπο:

a 2 + b 2 = c 2

Στην πραγματικότητα, υπάρχει ένας τεράστιος αριθμός μεθόδων για την απόδειξη θεωρημάτων. Κάθετα, τρίγωνα, τετράγωνα ή άλλα σχήματα και οι ιδιότητές τους μπορούν να εξεταστούν χρησιμοποιώντας διάφορα θεωρήματα και αποδείξεις. Το Πυθαγόρειο θεώρημα το επιβεβαιώνει μόνο αυτό.

Αντί για συμπέρασμα

Είναι πολύ σημαντικό να μπορούμε να διατυπώνουμε θεωρήματα, καθώς και να τα αποδεικνύουμε σωστά. Φυσικά, μια τέτοια διαδικασία είναι αρκετά περίπλοκη, δεδομένου ότι για να πραγματοποιηθεί είναι απαραίτητο όχι μόνο να είναι δυνατή η λειτουργία μεγάλο ποσόπληροφορίες, αλλά και για τη δημιουργία λογικών αλυσίδων. Τα μαθηματικά είναι μια πολύ ενδιαφέρουσα επιστήμη που δεν έχει ούτε τέλος ούτε άκρη.

Ξεκινήστε να το μελετάτε και όχι μόνο θα αυξήσετε το επίπεδο νοημοσύνης σας, αλλά θα λάβετε και έναν τεράστιο όγκο ενδιαφέρουσες πληροφορίες. Ξεκινήστε με την εκπαίδευσή σας σήμερα. Κατανοώντας τις βασικές αρχές των αποδείξεων θεωρημάτων, θα μπορείτε να περάσετε το χρόνο σας με μεγάλο όφελος.

Η εύρεση μιας μαθηματικής απόδειξης μπορεί να είναι δύσκολη, αλλά η γνώση κάποιων μαθηματικών και η γνώση πώς να μορφοποιήσετε την απόδειξη θα σας βοηθήσει. Δυστυχώς, δεν υπάρχουν γρήγορες και εύκολες μέθοδοι για την εκμάθηση επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων. Είναι απαραίτητο να μελετήσετε διεξοδικά το θέμα και να θυμηθείτε τα κύρια θεωρήματα και τους ορισμούς που θα σας φανούν χρήσιμοι όταν αποδεικνύετε ένα συγκεκριμένο μαθηματικό αξίωμα. Μελετήστε παραδείγματα μαθηματικών αποδείξεων και εξασκηθείτε - αυτό θα σας βοηθήσει να βελτιώσετε τις δεξιότητές σας.

Βήματα

Κατανοήστε τη δήλωση του προβλήματος

Καθορίστε τι θέλετε να βρείτε.Το πρώτο βήμα είναι να καταλάβουμε τι ακριβώς πρέπει να αποδειχθεί. Μεταξύ άλλων, αυτό θα καθορίσει την τελευταία δήλωση στην απόδειξη σας. Σε αυτό το στάδιο, θα πρέπει επίσης να κάνετε ορισμένες υποθέσεις εντός των οποίων θα εργαστείτε. Για να κατανοήσετε καλύτερα ένα πρόβλημα και να αρχίσετε να το λύνετε, υπολογίστε τι πρέπει να αποδείξετε και κάντε τις απαραίτητες υποθέσεις.

Κάντε ένα σχέδιο.Κατά την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων, μερικές φορές είναι χρήσιμο να απεικονίζονται με τη μορφή σχεδίου ή διαγράμματος. Αυτό είναι ιδιαίτερα σημαντικό στην περίπτωση γεωμετρικών προβλημάτων - ένα σχέδιο βοηθά στην οπτικοποίηση της κατάστασης και διευκολύνει σημαντικά την αναζήτηση λύσης.

• Όταν δημιουργείτε ένα σχέδιο ή ένα διάγραμμα, χρησιμοποιήστε τα δεδομένα που δίνονται στη συνθήκη. Σημειώστε τις γνωστές και άγνωστες ποσότητες στο σχήμα.
• Το σχέδιο θα σας διευκολύνει να βρείτε τα αποδεικτικά στοιχεία.

1. Μελετήστε τις αποδείξεις παρόμοιων θεωρημάτων.Εάν δεν μπορείτε να βρείτε μια λύση αμέσως, αναζητήστε παρόμοια θεωρήματα και δείτε πώς αποδεικνύονται.

   Κανε ερωτησεις.Είναι εντάξει αν δεν μπορείτε να βρείτε αποδείξεις αμέσως. Εάν κάτι δεν σας είναι ξεκάθαρο, ρωτήστε το δάσκαλο ή τους συμμαθητές σας σχετικά. Ίσως οι σύντροφοί σας έχουν τις ίδιες ερωτήσεις και μπορείτε να τις καταλάβετε μαζί. Είναι καλύτερα να κάνετε μερικές ερωτήσεις παρά να προσπαθείτε ξανά και ξανά για να βρείτε αποδείξεις χωρίς επιτυχία.

   • Πλησιάστε τον δάσκαλο μετά το μάθημα και διευκρινίστε τυχόν ασαφείς ερωτήσεις.

   Δηλώστε την απόδειξη

   1. Διατυπώστε μια μαθηματική απόδειξη.Μια μαθηματική απόδειξη είναι μια ακολουθία δηλώσεων που υποστηρίζονται από θεωρήματα και ορισμούς που αποδεικνύει ένα μαθηματικό αξίωμα. Οι αποδείξεις είναι ο μόνος τρόπος για να καθοριστεί ότι μια πρόταση είναι αληθής με μαθηματική έννοια.

      • Η ικανότητα καταγραφής μιας μαθηματικής απόδειξης καταδεικνύει τη βαθιά κατανόηση του προβλήματος και την κυριαρχία των απαραίτητων εργαλείων (λήμματα, θεωρήματα και ορισμοί).
      • Οι αυστηρές αποδείξεις θα σας βοηθήσουν να δείτε τα μαθηματικά με έναν νέο τρόπο και να νιώσετε την ελκυστική τους δύναμη. Απλώς προσπαθήστε να αποδείξετε μια δήλωση για να πάρετε μια ιδέα για τις μαθηματικές μεθόδους.

   2. Λάβετε υπόψη το κοινό σας.Πριν ξεκινήσετε την καταγραφή αποδεικτικών στοιχείων, θα πρέπει να σκεφτείτε σε ποιον προορίζεται και να εξετάσετε το επίπεδο γνώσεών τους. Εάν γράφετε μια απόδειξη για δημοσίευση σε ένα επιστημονικό περιοδικό, θα είναι διαφορετική από όταν κάνετε μια σχολική εργασία.

      • Η γνώση του κοινού-στόχου σας θα σας επιτρέψει να γράψετε τα αποδεικτικά στοιχεία σας έχοντας κατά νου το υπόβαθρο του αναγνώστη, έτσι ώστε να τα κατανοήσει.

   3. Προσδιορίστε το είδος των αποδεικτικών στοιχείων.Υπάρχουν διάφοροι τύποι μαθηματικών αποδείξεων και η επιλογή μιας συγκεκριμένης μορφής εξαρτάται από το κοινό-στόχο και το πρόβλημα που επιλύεται. Εάν δεν είστε σίγουροι ποιο είδος να επιλέξετε, συμβουλευτείτε τον δάσκαλό σας. Στο γυμνάσιο, τα αποδεικτικά στοιχεία πρέπει να μορφοποιούνται σε δύο στήλες.

      • Κατά τη σύνταξη μιας απόδειξης σε δύο στήλες, τα αρχικά δεδομένα και οι δηλώσεις εισάγονται στη μία και τα αντίστοιχα στοιχεία αυτών των δηλώσεων στη δεύτερη. Αυτή η μορφή σημειογραφίας χρησιμοποιείται συχνά κατά την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων.
      • Όταν γράφετε στοιχεία λιγότερο τυπικά, χρησιμοποιούνται γραμματικά σωστές δομές και λιγότερα σύμβολα. Σε υψηλότερα επίπεδα αυτή είναι η σημείωση που πρέπει να χρησιμοποιείται.

   4. Σκιαγράφησε την απόδειξή σου σε δύο στήλες.Αυτή η φόρμα βοηθά στην οργάνωση των σκέψεων και στην επίλυση του προβλήματος με συνέπεια. Διαχωρίστε τη σελίδα στη μέση με μια κάθετη γραμμή και γράψτε τα αρχικά δεδομένα και τις δηλώσεις που προκύπτουν στην αριστερή πλευρά. Στα δεξιά κάθε πρότασης, σημειώστε τους αντίστοιχους ορισμούς και θεωρήματα.

      Γράψτε τη δίστηλη απόδειξη ως άτυπη απόδειξη.Πάρτε ως βάση τη σημειογραφία των δύο στηλών και γράψτε την απόδειξη σε πιο συνοπτική μορφή με λιγότερα σύμβολα και συντομογραφίες.

      • Για παράδειγμα: ας υποθέσουμε ότι οι γωνίες Α και Β είναι γειτονικές. Σύμφωνα με την υπόθεση, αυτές οι γωνίες είναι συμπληρωματικές μεταξύ τους. Όντας γειτονικές, η γωνία Α και η γωνία Β σχηματίζουν μια ευθεία γραμμή. Αν οι πλευρές μιας γωνίας σχηματίζουν ευθεία γραμμή, η γωνία είναι 180°. Προσθέστε τις γωνίες Α και Β και πάρτε την ευθεία ΑΒΓ. Έτσι, το άθροισμα των γωνιών Α και Β είναι ίσο με 180°, δηλαδή αυτές οι γωνίες είναι συμπληρωματικές. Q.E.D.

   Γράψτε την απόδειξη

   1. Κατακτήστε τη γλώσσα των αποδείξεων.Τυπικές προτάσεις και φράσεις χρησιμοποιούνται για τη σύνταξη μαθηματικών αποδείξεων. Πρέπει να μάθετε αυτές τις φράσεις και να ξέρετε πώς να τις χρησιμοποιείτε.

      Καταγράψτε όλα τα αρχικά δεδομένα.Κατά τη σύνταξη μιας απόδειξης, το πρώτο βήμα είναι να προσδιορίσετε και να καταγράψετε όλα όσα δίνονται στο πρόβλημα. Σε αυτή την περίπτωση, θα έχετε μπροστά στα μάτια σας όλα τα αρχικά δεδομένα βάσει των οποίων πρέπει να πάρετε μια απόφαση. Διαβάστε προσεκτικά τη δήλωση προβλήματος και σημειώστε όλα όσα αναφέρονται σε αυτήν.

   2. Ορίστε όλες τις μεταβλητές.Εκτός από την καταγραφή των αρχικών δεδομένων, είναι επίσης χρήσιμο να σημειωθούν και οι υπόλοιπες μεταβλητές. Για να διευκολύνετε τους αναγνώστες, σημειώστε τις μεταβλητές στην αρχή της απόδειξης. Εάν οι μεταβλητές δεν έχουν καθοριστεί, ο αναγνώστης μπορεί να μπερδευτεί και να μην καταλάβει την απόδειξή σας.

      • Μην χρησιμοποιείτε προηγουμένως ακαθόριστες μεταβλητές κατά τη διάρκεια της απόδειξης.
      • Για παράδειγμα: στο πρόβλημα που συζητήθηκε παραπάνω, οι μεταβλητές είναι οι τιμές των γωνιών Α και Β.

   3. Προσπαθήστε να βρείτε την απόδειξη με αντίστροφη σειρά.Πολλά προβλήματα επιλύονται ευκολότερα με αντίστροφη σειρά. Ξεκινήστε με αυτό που θέλετε να αποδείξετε και σκεφτείτε πώς μπορείτε να συσχετίσετε τα συμπεράσματα με την αρχική συνθήκη.

      • Ξαναδιαβάστε τα βήματα αρχής και λήξης και δείτε αν μοιάζουν μεταξύ τους. Χρησιμοποιήστε αρχικές συνθήκες, ορισμούς και παρόμοιες αποδείξεις από άλλα προβλήματα.
      • Κάντε ερωτήσεις στον εαυτό σας και προχωρήστε. Για να αποδείξετε ορισμένες δηλώσεις, αναρωτηθείτε: «Γιατί συμβαίνει αυτό;» - και: "Μπορεί να είναι λάθος;"
      • Θυμηθείτε να σημειώσετε τα επιμέρους βήματα ένα προς ένα μέχρι να έχετε το τελικό αποτέλεσμα.
      • Για παράδειγμα: Εάν οι γωνίες Α και Β είναι συμπληρωματικές, το άθροισμά τους πρέπει να είναι 180°. Σύμφωνα με τον ορισμό των παρακείμενων γωνιών, οι γωνίες Α και Β σχηματίζουν μια ευθεία γραμμή ABC. Εφόσον η ευθεία κάνει γωνία 180°, οι γωνίες Α και Β αθροίζονται έως 180°.

   4. Τακτοποιήστε τα επιμέρους βήματα της απόδειξης έτσι ώστε να είναι συνεπή και λογική.Ξεκινήστε από την αρχή και προχωρήστε προς μια αποδεδειγμένη διατριβή. Παρόλο που μερικές φορές είναι χρήσιμο να ξεκινήσετε την αναζήτηση μιας απόδειξης από το τέλος, είναι σημαντικό να ακολουθείτε τη σωστή σειρά όταν την γράφετε. Οι επιμέρους διατριβές πρέπει να διαδέχονται η μία την άλλη ώστε η απόδειξη να είναι λογική και να μην προκαλεί αμφιβολίες.

      • Αρχικά, εξετάστε τις υποθέσεις που έγιναν.
      • Υποστηρίξτε τις δηλώσεις που κάνετε με απλά και προφανή βήματα, ώστε ο αναγνώστης να μην έχει καμία αμφιβολία για την ορθότητά τους.
      • Μερικές φορές πρέπει να ξαναγράψετε την απόδειξη περισσότερες από μία φορές. Συνεχίστε να ομαδοποιείτε τις δηλώσεις και τα στοιχεία τους μέχρι να φτάσετε στην πιο λογική δομή.
      • Για παράδειγμα: ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή.
        • Οι γωνίες Α και Β είναι γειτονικές.
        • Οι πλευρές της γωνίας ABC σχηματίζουν μια ευθεία γραμμή.
        • Η γωνία ABC είναι 180°.
        • Γωνία Α + Γωνία Β = Γωνία ΑΒΓ.
        • Γωνία Α + γωνία Β = γωνία 180°.
        • Η γωνία Α είναι συμπληρωματική της γωνίας Β.

   5. Μην χρησιμοποιείτε βέλη ή συντομογραφίες στην απόδειξή σας.Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διάφορες συντομογραφίες και σύμβολα καθώς επεξεργάζεστε το πρόχειρο πρόχειρο, αλλά μην τα συμπεριλάβετε στο τελικό προσχέδιο, καθώς μπορεί να μπερδέψουν τους αναγνώστες. Χρησιμοποιήστε λέξεις όπως «άρα» και «τότε».

      Τελειώστε τα αποδεικτικά στοιχεία σας με τη φράση «τι έπρεπε να αποδειχθεί».Στο τέλος της απόδειξης θα πρέπει να υπάρχει μια αποδεδειγμένη διατριβή. Μετά από αυτό, θα πρέπει να γράψετε "τι απαιτούνταν να αποδειχθεί" (συντομογραφία "wt. d." ή ένα σύμβολο με τη μορφή ενός γεμάτου τετραγώνου) - αυτό σημαίνει ότι η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί.

      • Στα λατινικά, η φράση «τι απαιτούνταν να αποδειχθεί» αντιστοιχεί στη συντομογραφία Q.E.D. ( quod erat demonstrandum, δηλαδή «τι απαιτούνταν να προβληθεί»).
      • Εάν αμφιβάλλετε για την εγκυρότητα μιας απόδειξης, απλώς γράψτε μερικές προτάσεις σχετικά με το συμπέρασμα που καταλήξατε και γιατί είναι σημαντικό.
   • Όλες οι πληροφορίες που παρέχονται ως αποδεικτικά στοιχεία πρέπει να χρησιμεύουν για την επίτευξη του δηλωμένου σκοπού. Μην συμπεριλάβετε στα αποδεικτικά στοιχεία τίποτα χωρίς να μπορείτε να κάνετε.

Θέμα 13. Θεωρήματα και αποδείξεις

Σε αυτό το θέμα θα εξοικειωθείτε με το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό των μαθηματικών σε σύγκριση με τη φυσική και άλλες επιστήμες - να αναγνωρίζετε μόνο εκείνες τις αλήθειες ή τους νόμους που έχουν αποδειχθεί. Από αυτή την άποψη, θα αναλυθεί η έννοια του θεωρήματος και θα εξεταστούν ορισμένοι τύποι θεωρημάτων και μέθοδοι απόδειξής τους.

09-13-03. Διακριτικό χαρακτηριστικό των μαθηματικών

Θεωρία

1.1. Αν συγκρίνουμε τα μαθηματικά και τη φυσική, και οι δύο αυτές επιστήμες χρησιμοποιούν τόσο παρατηρήσεις όσο και αποδείξεις. Μαζί με την πειραματική φυσική, υπάρχει και η θεωρητική φυσική, στην οποία ορισμένες προτάσεις, όπως τα θεωρήματα στα μαθηματικά, αποδεικνύονται βάσει φυσικών νόμων με τη διαδοχική εξαγωγή ορισμένων προτάσεων από άλλες. Ωστόσο, οι φυσικοί νόμοι αναγνωρίζονται ως αληθινοί μόνο όταν επιβεβαιώνονται από μεγάλο αριθμό πειραμάτων. Αυτοί οι νόμοι μπορεί να βελτιωθούν με την πάροδο του χρόνου.

Τα μαθηματικά χρησιμοποιούν επίσης παρατηρήσεις.

Παράδειγμα 1: Παρατηρώντας το

μπορούμε να κάνουμε την υπόθεση ότι το άθροισμα των πρώτων χιλίων περιττών φυσικούς αριθμούςισούται με 1000000.

Αυτή η δήλωση μπορεί να επαληθευτεί με άμεσους υπολογισμούς, ξοδεύοντας τεράστιο χρόνο.

Μπορούμε επίσης να κάνουμε τη γενική υπόθεση ότι για κάθε φυσικό αριθμό το άθροισμα των αρχικών περιττών αριθμών είναι ίσο με . Αυτή η δήλωση δεν μπορεί να επαληθευτεί με άμεσους υπολογισμούς, επειδή το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών είναι άπειρο. Ωστόσο, η υπόθεση που γίνεται είναι σωστή γιατί μπορεί να αποδειχθεί.

Παράδειγμα 2. Μπορούμε να μετρήσουμε τις γωνίες πολλών τριγώνων..gif" height="20">, ισχύει αν πάρουμε ως αξίωμα το πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη. αποδεδειγμένοςστην 7η δημοτικού.

Παράδειγμα 3. Αντικατάσταση σε πολυώνυμο

αντί για τους φυσικούς αριθμούς από το 1 έως το 10, παίρνουμε τους πρώτους αριθμούς 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι για κάθε φυσικό αριθμό η τιμή του τετραγωνικού τριωνύμου είναι πρώτος αριθμός. Ο έλεγχος έδειξε ότι αυτό ισχύει πράγματι για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό από το 1 έως το 39. Ωστόσο, η υπόθεση είναι λανθασμένη, καθώς το αποτέλεσμα είναι ένας σύνθετος αριθμός:

Η χρήση της απόδειξης και όχι της παρατήρησης για τη διαπίστωση της αλήθειας των θεωρημάτων είναι το χαρακτηριστικό των μαθηματικών.

Ένα συμπέρασμα που γίνεται με βάση ακόμη και πολυάριθμες παρατηρήσεις θεωρείται μαθηματικός νόμος μόνο όταν αποδεδειγμένος.

1.2. Ας περιοριστούμε στη διαισθητική έννοια της απόδειξης ως τη διαδοχική εξαγωγή ορισμένων κρίσεων από άλλες, χωρίς να διεξάγουμε μια ακριβή ανάλυση της έννοιας του συμπερασματικού ή του συμπεράσματος. Ας αναλύσουμε την έννοια του θεωρήματος με περισσότερες λεπτομέρειες.

Ένα θεώρημα ονομάζεται συνήθως μια δήλωση της οποίας η αλήθεια αποδεικνύεται με απόδειξη. Η έννοια του θεωρήματος αναπτύχθηκε και βελτιώθηκε μαζί με την έννοια της απόδειξης.

Με την κλασική έννοια, ένα θεώρημα νοείται ως μια δήλωση που αποδεικνύεται με την εξαγωγή ορισμένων προτάσεων από άλλες. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να επιλεγούν μερικά αρχικούς νόμουςή αξιώματα, τα οποία γίνονται δεκτά χωρίς απόδειξη.

Το σύστημα των αξιωμάτων στη γεωμετρία κατασκευάστηκε για πρώτη φορά από τον αρχαίο Έλληνα μαθηματικό Ευκλείδη στο περίφημο έργο του Στοιχεία. Ακολουθώντας τα αξιώματα, τα Στοιχεία του Ευκλείδη εκθέτει θεωρήματα και κατασκευαστικά προβλήματα με τη γενική ονομασία των προτάσεων. Τα θεωρήματα είναι διατεταγμένα με αυστηρή σειρά.

Πρώτα δηλώνεται κάθε θεώρημα, μετά δηλώνεται τι δίνεται και τι πρέπει να αποδειχθεί. Στη συνέχεια παρουσιάζεται η απόδειξη με όλες τις αναφορές σε προηγουμένως αποδεδειγμένες προτάσεις και αξιώματα. Μερικές φορές η απόδειξη τελειώνει με τις λέξεις που έπρεπε να αποδειχθούν. Μεταφρασμένο σε όλες τις ευρωπαϊκές γλώσσες, το Euclid's Elements, συμπεριλαμβανομένων 13 βιβλίων, παρέμεινε μέχρι τον 18ο αιώνα το μοναδικό εγχειρίδιο που χρησιμοποιήθηκε για τη μελέτη της γεωμετρίας σε σχολεία και πανεπιστήμια.

1.3. Για να διευκολυνθεί ο εντοπισμός του τι δίνεται και τι πρέπει να αποδειχθεί, τα θεωρήματα διατυπώνονται με τη μορφή αν..., τότε... Το πρώτο μέρος της διατύπωσης του θεωρήματος μεταξύ αν και τότε ονομάζεται κατάστασηθεώρημα, και το δεύτερο μέρος, το οποίο γράφεται μετά από αυτό, ονομάζεται συμπέρασμαθεωρήματα.

Οι συνθήκες του θεωρήματος περιέχουν μια περιγραφή αυτού που δίνεται και το συμπέρασμα περιέχει αυτό που πρέπει να αποδειχθεί.

Μερικές φορές αυτή η μορφή θεωρήματος ονομάζεται λογική μορφήθεωρήματα, και συντομεύεται ως η μορφή αν-τότε.

Παράδειγμα 4. Θεωρήστε το ακόλουθο θεώρημα.

Αν είναι άρτιος φυσικός αριθμός, τότε είναι περιττός αριθμός.

Σε αυτό το θεώρημα, η προϋπόθεση είναι ότι οποιοσδήποτε ζυγός αριθμός λαμβάνεται ..gif" width="32 height=19" height="19"> μονός.

Συχνά η προϋπόθεση και το συμπέρασμα γράφονται χρησιμοποιώντας διαφορετικές λέξεις.

Παράδειγμα 5. Το θεώρημα από το Παράδειγμα 1 μπορεί να γραφτεί με την ακόλουθη μορφή:

Έστω άρτιος φυσικός αριθμός. Τότε είναι ένας περιττός αριθμός.

Σε αυτήν την περίπτωση, αντί για τη λέξη αν χρησιμοποιούν τη λέξη ας, και αντί για τη λέξη τότε γράφουν τη λέξη τότε.

Παράδειγμα 6. Το θεώρημα από το Παράδειγμα 1 μπορεί επίσης να γραφτεί με την ακόλουθη μορφή:

Από το γεγονός ότι ο φυσικός αριθμός είναι άρτιος, προκύπτει ότι ο αριθμός .gif" width="13" height="15"> υπονοεί ότι ο αριθμός είναι περιττός.

Σε αυτή την περίπτωση, η λέξη αν παραλείπεται και αντί της λέξης τότε χρησιμοποιείται η λέξη συνεπάγεται.

Μερικές φορές χρησιμοποιούνται άλλοι τύποι σημειογραφίας θεωρημάτων.

1.4. Σε ορισμένες περιπτώσεις, οι συνθήκες του θεωρήματος δεν καταγράφονται στη διατύπωσή του. Αυτό συμβαίνει όταν είναι σαφές από το κείμενο ποια μορφή μπορεί να πάρει αυτή η συνθήκη.

Παράδειγμα 8. Γνωρίζετε το θεώρημα: οι διάμεσοι ενός τριγώνου τέμνονται σε ένα σημείο.

ΣΕ λογική μορφήαυτό το θεώρημα μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Εάν σχεδιάσετε όλες τις διάμεσες σε οποιοδήποτε τρίγωνο, τότε αυτές οι διάμεσοι θα τέμνονται σε ένα σημείο.

Παράδειγμα 9. Το θεώρημα για το άπειρο του συνόλου των πρώτων αριθμών μπορεί να γραφτεί ως:

Αν είναι το σύνολο όλων των πρώτων αριθμών, τότε είναι άπειρο.

Για να δημιουργήσουν συνδέσεις μεταξύ θεωρημάτων στα μαθηματικά, χρησιμοποιούν ειδική γλώσσα, το οποίο θα συζητηθεί εν μέρει στις επόμενες παραγράφους αυτού του κεφαλαίου.

Ερωτήσεις ελέγχου

1. Ποια παραδείγματα παρατηρήσεων στα μαθηματικά γνωρίζετε;

2. Ποια αξιώματα γεωμετρίας γνωρίζετε;

3. Ποια σημειογραφία του θεωρήματος ονομάζεται λογική μορφή του θεωρήματος;

4. Ποια είναι η προϋπόθεση του θεωρήματος;

5. Τι ονομάζεται συμπέρασμα του θεωρήματος;

6. Ποιες μορφές γραφής θεωρημάτων γνωρίζετε;

Εργασίες και ασκήσεις

1. Ποιες υποθέσεις μπορείτε να κάνετε παρατηρώντας:

α) το γινόμενο δύο γειτονικών φυσικών αριθμών.

β) το άθροισμα δύο γειτονικών φυσικών αριθμών.

γ) το άθροισμα τριών διαδοχικών φυσικών αριθμών.

δ) το άθροισμα τριών περιττών αριθμών.

ε) τελευταία ψηφία μέσα δεκαδικός συμβολισμόςαριθμοί .gif" width="13 height=15" height="15">;

στ) τον αριθμό των τμημάτων στα οποία διαιρείται το επίπεδο με διάφορες ευθείες που διέρχονται από ένα σημείο·

ζ) τον αριθμό των τμημάτων στα οποία διαιρείται το επίπεδο με διάφορες ευθείες, εκ των οποίων οι ευθείες είναι παράλληλες ανά ζεύγη και τέμνονται .gif" width="13" height="20">.gif" height="20" > αριθμοί της φόρμας , όπου είναι φυσικός αριθμός.

δ) το άθροισμα δύο παράλογων αριθμών;

3. Ποια υπόθεση μπορείτε να κάνετε παρατηρώντας τα κέντρα των περιγεγραμμένων κύκλων γύρω από αμβλεία τρίγωνα;

4. Γράψτε το θεώρημα σε λογική μορφή:

α) ποσό εσωτερικές γωνίεςκυρτό https://pandia.ru/text/80/293/images/image017_1.gif" width="81 height=24" height="24">;

β) οποιαδήποτε δύο ορθογώνια ισοσκελές τρίγωνοπαρόμοιος;

γ) ισχύει η ισότητα για τυχόν ακέραιους αριθμούς και ;

δ) το υψόμετρο ενός ισοσκελούς τριγώνου που έλκεται στη βάση του διχοτομεί τη γωνία στην κορυφή αυτού του τριγώνου.

ε) για τυχόν μη αρνητικούς αριθμούς και η ανισότητα ικανοποιείται.

στ) το άθροισμα δύο απέναντι γωνιών ενός τετράπλευρου εγγεγραμμένου σε κύκλο είναι 180.

ζ) ο αριθμός δεν είναι ρητός αριθμός.

η) όλοι οι πρώτοι αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι του 10 είναι περιττοί.

i) οι διαγώνιοι ενός τετραγώνου είναι ίσες, κάθετες και διχοτομούνται στο σημείο τομής.

ι) από όλα τα τετράπλευρα που εγγράφονται σε δεδομένου κύκλου, η πλατεία έχει τα περισσότερα μεγάλη περιοχή;

ια) υπάρχει άρτιος πρώτος αριθμός.

ιβ) κανένας πρώτος αριθμός δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα δύο διαφορετικών περιττών φυσικών αριθμών.

μ) το άθροισμα των κύβων των πρώτων φυσικών αριθμών είναι το τετράγωνο κάποιου φυσικού αριθμού.

5.* Να γράψετε καθένα από τα θεωρήματα που δόθηκαν στο προηγούμενο πρόβλημα με πολλές διαφορετικές μορφές.

Απαντήσεις και οδηγίες

Εργασία 1. Ποιες υποθέσεις μπορείτε να κάνετε παρατηρώντας:

α) το γινόμενο δύο γειτονικών φυσικών αριθμών.

β) το άθροισμα δύο γειτονικών φυσικών αριθμών.

γ) το άθροισμα τριών διαδοχικών φυσικών αριθμών.

δ) το άθροισμα τριών περιττών αριθμών.

ρε)τελευταία ψηφία σε δεκαδικό συμβολισμόμε φυσικό;

μι) https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" width="9 height=20" height="20"> αριθμός τμημάτων στα οποία χωρίζεται το επίπεδο https://pandia.ru/text/80/293/images/image014_1.gif" width="17" height="15"> οι ευθείες είναι κατά ζεύγη παράλληλες και τέμνονται.gif" width="13 height=20" height="20"> αριθμός τμημάτων στα οποία χωρίζεται το επίπεδο https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" height="20 src="> μπορούν να ληφθούν μόνο τέσσερα ψηφία:

0, 1, 5, 6; ε)https://pandia.ru/text/80/293/images/image011_0.gif" height="20 src=">.gif" width="13" height="20 src=">.gif" πλάτος ="13" height="15"> -gon ισούται με;

β) οποιαδήποτε δύο ορθογώνια ισοσκελή τρίγωνα είναι παρόμοια.

γ) ισότηταλειτουργεί για τυχόν ακέραιους αριθμούςΚαι;

Η άλγεβρα πρέπει περιοδικά να αποδεικνύει θεωρήματα. Το αποδεδειγμένο θεώρημα θα σας βοηθήσει στην επίλυση. Επομένως, είναι εξαιρετικά σημαντικό να μην απομνημονεύσετε μηχανικά την απόδειξη, αλλά να κατανοήσετε την ουσία του θεωρήματος, ώστε στη συνέχεια να καθοδηγηθείτε από αυτό στην πράξη.

Αρχικά, σχεδιάστε ένα σαφές και καθαρό διάγραμμα του θεωρήματος. Σημειώστε το με λατινικά γράμματααυτό που ήδη γνωρίζετε. Καταγράψτε όλες τις γνωστές ποσότητες στη στήλη "Δεδομένα". Στη συνέχεια, στη στήλη "Απόδειξη", διατυπώστε τι να αποδείξετε. Τώρα μπορούμε να ξεκινήσουμε την απόδειξη. Είναι μια αλυσίδα λογικών σκέψεων, με αποτέλεσμα να φαίνεται η αλήθεια μιας δήλωσης. Όταν αποδεικνύετε ένα θεώρημα, μπορείτε (και μερικές φορές ακόμη και να χρειάζεται) να χρησιμοποιήσετε διάφορες διατάξεις, αξιώματα, αντιφάσεις, ακόμα και άλλα θεωρήματα που είχαν αποδειχθεί προηγουμένως.

Έτσι, η απόδειξη είναι μια ακολουθία ενεργειών ως αποτέλεσμα των οποίων παίρνετε μια αναμφισβήτητη. Η μεγαλύτερη δυσκολία στην απόδειξη ενός θεωρήματος είναι η εύρεση ακριβώς της ακολουθίας του λογικού συλλογισμού που θα οδηγήσει στην αναζήτηση αυτού που έπρεπε να αποδειχθεί.

Σπάστε το θεώρημα σε μέρη και, αποδεικνύοντάς το ξεχωριστά, θα φτάσετε τελικά στο επιθυμητό αποτέλεσμα. Είναι χρήσιμο να κατακτήσετε την ικανότητα της «απόδειξης με αντίφαση»· σε ορισμένες περιπτώσεις, αυτός είναι ο ευκολότερος τρόπος για να αποδείξετε ένα θεώρημα. Εκείνοι. ξεκινήστε την απόδειξη με τις λέξεις «υποθέστε το αντίθετο» και σταδιακά αποδείξτε ότι αυτό δεν μπορεί να είναι. Ολοκληρώστε την απόδειξη με «επομένως, η αρχική δήλωση είναι αληθινή. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί».

François Viète - διάσημος Γάλλος μαθηματικός. Το θεώρημα του Vieta σάς επιτρέπει να λύσετε τετραγωνικές εξισώσεις χρησιμοποιώντας ένα απλοποιημένο σχήμα, το οποίο ως αποτέλεσμα εξοικονομεί χρόνο που δαπανάται για υπολογισμούς. Αλλά για να κατανοήσει κανείς καλύτερα την ουσία του θεωρήματος, θα πρέπει να διεισδύσει στην ουσία της διατύπωσης και να το αποδείξει.

Το θεώρημα του Βιέτα

Η ουσία αυτής της τεχνικής είναι να βρεις ρίζες χωρίς τη βοήθεια κάποιου διακριτικού. Για μια εξίσωση της μορφής x2 + bx + c = 0, όπου υπάρχουν δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες, δύο προτάσεις είναι αληθείς.

Η πρώτη δήλωση αναφέρει ότι το άθροισμα των ριζών δεδομένη εξίσωσηείναι ίση με την τιμή του συντελεστή της μεταβλητής x (in σε αυτήν την περίπτωσηαυτό είναι β), αλλά με αντίθετο σημάδι. Οπτικά μοιάζει με αυτό: x1 + x2 = −b.

Η δεύτερη πρόταση δεν σχετίζεται πλέον με το άθροισμα, αλλά με το γινόμενο αυτών των δύο ριζών. Αυτό το γινόμενο εξισώνεται με τον ελεύθερο συντελεστή, δηλ. ντο. Ή, x1 * x2 = c. Και τα δύο αυτά παραδείγματα επιλύονται στο σύστημα.

Το θεώρημα του Vieta απλοποιεί πολύ τη λύση, αλλά έχει έναν περιορισμό. Μια τετραγωνική εξίσωση της οποίας οι ρίζες μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας αυτήν την τεχνική πρέπει να μειωθεί. Στην παραπάνω εξίσωση συντελεστών, a, αυτός μπροστά από το x2, ίσο με ένα. Οποιαδήποτε εξίσωση μπορεί να έλθει σε παρόμοια μορφή διαιρώντας την έκφραση με τον πρώτο συντελεστή, αλλά αυτή η πράξη δεν είναι πάντα ορθολογική.

Απόδειξη του θεωρήματος

Αρχικά, θα πρέπει να θυμόμαστε πώς, σύμφωνα με την παράδοση, συνηθίζεται να αναζητούμε ρίζες τετραγωνική εξίσωση. Βρίσκονται η πρώτη και η δεύτερη ρίζα, δηλαδή: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Γενικά διαιρείται με το 2a, αλλά, όπως ήδη αναφέρθηκε, το θεώρημα μπορεί να εφαρμοστεί μόνο όταν a=1.

Από το θεώρημα του Βιέτα είναι γνωστό ότι το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή με πρόσημο μείον. Αυτό σημαίνει ότι x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.

Το ίδιο ισχύει και για το γινόμενο αγνώστων ριζών: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. Με τη σειρά του, D = b2-4c (και πάλι με a=1). Αποδεικνύεται ότι το αποτέλεσμα είναι: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.

Από την απλή απόδειξη που δίνεται, μόνο ένα συμπέρασμα μπορεί να εξαχθεί: το θεώρημα του Vieta επιβεβαιώνεται πλήρως.

Δεύτερη διατύπωση και απόδειξη

Το θεώρημα του Βιέτα έχει άλλη ερμηνεία. Για να είμαστε πιο ακριβείς, δεν είναι ερμηνεία, αλλά διατύπωση. Το γεγονός είναι ότι εάν πληρούνται οι ίδιες προϋποθέσεις όπως στην πρώτη περίπτωση: υπάρχουν δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες, τότε το θεώρημα μπορεί να γραφτεί με άλλο τύπο.

Αυτή η ισότητα μοιάζει με αυτό: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Αν η συνάρτηση P(x) τέμνεται σε δύο σημεία x1 και x2, τότε μπορεί να γραφεί ως P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). Στην περίπτωση που το P έχει δεύτερο βαθμό, και αυτό ακριβώς μοιάζει με την αρχική έκφραση, τότε το R είναι πρώτος αριθμός, δηλαδή το 1. Αυτή η πρόταση είναι αληθής για το λόγο ότι διαφορετικά δεν θα ισχύει η ισότητα. Ο συντελεστής x2 κατά το άνοιγμα των αγκύλων δεν πρέπει να είναι μεγαλύτερος από ένα και η έκφραση πρέπει να παραμένει τετράγωνη.