Καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα 1ου είδους εφαρμογής. Υπολογισμός Καμπυλόγραμμων Ολοκληρωμάτων: Θεωρία και Παραδείγματα

Διάλεξη 5 Καμπυλόγραμμα ολοκληρώματα 1ου και 2ου είδους, οι ιδιότητές τους..

Πρόβλημα μάζας καμπύλης. Καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα 1ου είδους.

Πρόβλημα μάζας καμπύλης.Έστω σε κάθε σημείο μιας τμηματικής καμπύλης λείου υλικού L: (AB) να καθοριστεί η πυκνότητά του. Προσδιορίστε τη μάζα της καμπύλης.

Ας προχωρήσουμε με τον ίδιο τρόπο όπως κάναμε κατά τον προσδιορισμό της μάζας μιας επίπεδης περιοχής ( διπλό ολοκλήρωμα) και ένα χωρικό σώμα (τριπλό ολοκλήρωμα).

1. Οργανώνουμε τη διαίρεση της περιοχής τόξου L σε στοιχεία - στοιχειώδη τόξα ώστε τα στοιχεία αυτά να μην έχουν κοινά εσωτερικά σημείαΚαι( συνθήκη Α )

3. Κατασκευάστε το ολοκληρωτικό άθροισμα , όπου είναι το μήκος του τόξου (συνήθως εισάγεται η ίδια σημείωση για το τόξο και το μήκος του). Αυτή είναι μια κατά προσέγγιση τιμή για τη μάζα της καμπύλης. Η απλοποίηση είναι ότι υποθέσαμε ότι η πυκνότητα του τόξου είναι σταθερή σε κάθε στοιχείο και πήραμε έναν πεπερασμένο αριθμό στοιχείων.

Μετακίνηση στο προβλεπόμενο όριο (συνθήκη Β ), λαμβάνουμε ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του πρώτου είδους ως το όριο των ολοκληρωτικών αθροισμάτων:

Θεώρημα ύπαρξης.

Έστω η συνάρτηση συνεχής σε ένα τμηματικά λείο τόξο L. Τότε υπάρχει ένα ευθύγραμμο ολοκλήρωμα πρώτου είδους ως όριο των ολοκληρωτικών αθροισμάτων.

Σχόλιο.Αυτό το όριο δεν εξαρτάται από

Ιδιότητες καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος πρώτου είδους.

1. Γραμμικότητα
α) ιδιότητα υπέρθεσης

β) ιδιότητα ομοιογένειας .

Απόδειξη. Ας γράψουμε τα ολοκληρωτικά αθροίσματα για τα ολοκληρώματα στην αριστερή πλευρά των ισοτήτων. Δεδομένου ότι το ολοκληρωτικό άθροισμα έχει πεπερασμένο αριθμό όρων, προχωράμε σε ολοκληρωμένα αθροίσματα για τις δεξιές πλευρές των ισοτήτων. Στη συνέχεια περνάμε στο όριο, με το θεώρημα για τη μετάβαση στο όριο στην ισότητα που λαμβάνουμε επιθυμητό αποτέλεσμα.

2. Προσθετικότητα.
Αν , Οτι = +

3. Εδώ είναι το μήκος του τόξου.

4. Αν η ανισότητα ικανοποιείται στο τόξο, τότε

Απόδειξη. Ας γράψουμε την ανισότητα για τα ολοκληρωτικά αθροίσματα και ας προχωρήσουμε στο όριο.

Σημειώστε ότι, συγκεκριμένα, είναι δυνατό

5. Θεώρημα εκτίμησης.

Αν υπάρχουν σταθερές που, τότε

Απόδειξη. Ενσωμάτωση της ανισότητας (ιδιότητα 4), παίρνουμε . Με την ιδιότητα 1, οι σταθερές μπορούν να αφαιρεθούν από τα ολοκληρώματα. Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα 3, έχουμε το επιθυμητό αποτέλεσμα.

6. Θεώρημα μέσης τιμής(η τιμή του ολοκληρώματος).

Υπάρχει ένα σημείο , Τι

Απόδειξη. Δεδομένου ότι η συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα κλειστό περιορισμένο σύνολο, τότε υπάρχει το infimum του και πάνω άκρη . Η ανισότητα ικανοποιείται. Διαιρώντας και τις δύο πλευρές με το L, παίρνουμε . Αλλά ο αριθμός που περικλείεται μεταξύ του πυθμένα και πάνω άκρηλειτουργίες. Εφόσον η συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα κλειστό οριοθετημένο σύνολο L, τότε κάποια στιγμή η συνάρτηση πρέπει να πάρει αυτήν την τιμή. Ως εκ τούτου, .

Υπολογισμός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος πρώτου είδους.

Ας παραμετροποιήσουμε το τόξο L: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). Έστω t 0 αντιστοιχεί στο σημείο A και t 1 αντιστοιχεί στο σημείο B. Τότε το ευθύγραμμο ολοκλήρωμα του πρώτου είδους μειώνεται σε οριστικό ολοκλήρωμα (- τύπος γνωστός από το 1ο εξάμηνο για τον υπολογισμό της διαφοράς του μήκους τόξου):

Παράδειγμα.Να υπολογίσετε τη μάζα μιας στροφής ομογενούς (πυκνότητα ίση με k) έλικας: .

Καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα 2ου είδους.

Το πρόβλημα του έργου της δύναμης.

Πόσο έργο παράγει η δύναμη;φά(Μ) όταν μετακινείτε ένα σημείοΜκατά μήκος ενός τόξουΑΒ?

Εάν το τόξο ΑΒ ήταν ένα ευθύγραμμο τμήμα και η δύναμη ήταν σταθερή ως προς το μέγεθος και την κατεύθυνση κατά τη μετακίνηση του σημείου Μ κατά μήκος του τόξου ΑΒ, τότε το έργο θα μπορούσε να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο , όπου είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων. ΣΕ γενική περίπτωσηαυτός ο τύπος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή του ολοκληρωτικού αθροίσματος, υποθέτοντας μια σταθερή δύναμη σε ένα στοιχείο ενός τόξου αρκετά μικρού μήκους. Αντί για το μήκος του μικρού στοιχείου του τόξου, μπορείτε να πάρετε το μήκος της χορδής που το συστέλλει, καθώς αυτές οι ποσότητες είναι ισοδύναμες απειροελάχιστες ποσότητες υπό την προϋπόθεση (πρώτο εξάμηνο).

1. Οργανώνουμε τη διαίρεση της περιοχής-τόξου ΑΒ σε στοιχεία - στοιχειώδη τόξα ώστε αυτά τα στοιχεία να μην έχουν κοινά εσωτερικά σημεία και( συνθήκη Α )

2. Ας σημειώσουμε τα «σημασμένα σημεία» M i στα στοιχεία του διαμερίσματος και ας υπολογίσουμε τις τιμές της συνάρτησης σε αυτά

3. Ας κατασκευάσουμε το ολοκληρωτικό άθροισμα , όπου είναι το διάνυσμα που κατευθύνεται κατά μήκος της χορδής που υποτάσσει το -τόξο.

4. Μετάβαση στο όριο που προβλέπεται (συνθήκη Β ), λαμβάνουμε ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα δεύτερου είδους ως το όριο των ολοκληρωτικών αθροισμάτων (και του έργου της δύναμης):

. Συχνά υποδηλώνεται

Θεώρημα ύπαρξης.

Έστω η διανυσματική συνάρτηση συνεχής σε ένα τμηματικά λείο τόξο L. Τότε υπάρχει ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα δεύτερου είδους ως όριο των ολοκληρωτικών αθροισμάτων.

Σχόλιο.Αυτό το όριο δεν εξαρτάται από

Μέθοδος επιλογής διαμερίσματος, εφόσον πληρούται η συνθήκη Α

Επιλέγοντας «σημασμένα σημεία» σε στοιχεία διαμερίσματος,

Μια μέθοδος για τον καθαρισμό του διαμερίσματος, εφόσον πληρούται η συνθήκη Β

Ιδιότητες καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος 2ου είδους.

1. Γραμμικότητα
α) ιδιότητα υπέρθεσης

β) ιδιότητα ομοιογένειας .

Απόδειξη. Ας γράψουμε τα ολοκληρωτικά αθροίσματα για τα ολοκληρώματα στην αριστερή πλευρά των ισοτήτων. Εφόσον στο ολοκληρωτικό άθροισμα ο αριθμός των όρων είναι πεπερασμένος, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα προϊόν με κουκκίδες, ας προχωρήσουμε στα ολοκληρωτικά αθροίσματα για τις δεξιές πλευρές των ισοτήτων. Στη συνέχεια περνάμε στο όριο, χρησιμοποιώντας το θεώρημα για τη μετάβαση στο όριο στην ισότητα, παίρνουμε το επιθυμητό αποτέλεσμα.

2. Προσθετικότητα.
Αν , Οτι = + .

Απόδειξη. Ας επιλέξουμε ένα διαμέρισμα της περιοχής L έτσι ώστε κανένα από τα στοιχεία του διαμερίσματος (αρχικά και κατά τη βελτίωση του διαμερίσματος) να περιέχει ταυτόχρονα και τα δύο στοιχεία L 1 και στοιχεία L 2 . Αυτό μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας το θεώρημα ύπαρξης (παρατήρηση στο θεώρημα). Στη συνέχεια, η απόδειξη πραγματοποιείται μέσω ολοκληρωτικών αθροισμάτων, όπως στην παράγραφο 1.

3. Προσανατολισμός.

= -

Απόδειξη. Ολοκληρωμένο πάνω από το τόξο –L, δηλ. στην αρνητική κατεύθυνση της διέλευσης του τόξου υπάρχει ένα όριο ολοκληρωτικών αθροισμάτων στους όρους των οποίων υπάρχει () αντί. Βγάζοντας το «μείον» από το κλιμακωτό γινόμενο και από το άθροισμα ενός πεπερασμένου αριθμού όρων και περνώντας στο όριο, προκύπτει το απαιτούμενο αποτέλεσμα.

Ας προχωρήσουμε με τον ίδιο τρόπο όπως κάναμε κατά τον προσδιορισμό της μάζας μιας επίπεδης περιοχής (διπλό ολοκλήρωμα) και ενός χωρικού σώματος (τριπλό ολοκλήρωμα).

1. Οργανώνουμε τη διαίρεση της περιοχής-τόξου L σε στοιχεία - στοιχειώδη τόξα ώστε αυτά τα στοιχεία να μην έχουν κοινά εσωτερικά σημεία και
(συνθήκη Α )

3. Ας κατασκευάσουμε το ολοκληρωτικό άθροισμα
, Οπου - μήκος τόξου (συνήθως εισάγονται οι ίδιες σημειώσεις για το τόξο και το μήκος του). Αυτή είναι μια κατά προσέγγιση τιμή για τη μάζα της καμπύλης. Η απλοποίηση είναι ότι υποθέσαμε ότι η πυκνότητα του τόξου είναι σταθερή σε κάθε στοιχείο και πήραμε έναν πεπερασμένο αριθμό στοιχείων.

Μετακίνηση στο προβλεπόμενο όριο
(συνθήκη Β ), λαμβάνουμε ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του πρώτου είδους ως το όριο των ολοκληρωτικών αθροισμάτων:

Θεώρημα ύπαρξης 10 .

Αφήστε τη λειτουργία
είναι συνεχής σε τμηματικά λείο τόξο L 11. Τότε υπάρχει ένα ευθύγραμμο ολοκλήρωμα του πρώτου είδους ως το όριο των ολοκληρωτικών αθροισμάτων.

Σχόλιο.Αυτό το όριο δεν εξαρτάται από

μέθοδος επιλογής διαμερίσματος, εφόσον πληρούται η συνθήκη Α

επιλέγοντας «σημασμένα σημεία» σε στοιχεία διαμερίσματος,

μέθοδος καθαρισμού του διαμερίσματος, εφόσον πληρούται η συνθήκη Β

Ιδιότητες καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος πρώτου είδους.

1. Γραμμικότηταα) ιδιότητα υπέρθεσης

β) ιδιότητα ομοιογένειας
.

Απόδειξη. Ας γράψουμε τα ολοκληρωτικά αθροίσματα για τα ολοκληρώματα στην αριστερή πλευρά των ισοτήτων. Δεδομένου ότι το ολοκληρωτικό άθροισμα έχει πεπερασμένο αριθμό όρων, προχωράμε σε ολοκληρωμένα αθροίσματα για τις δεξιές πλευρές των ισοτήτων. Στη συνέχεια περνάμε στο όριο, χρησιμοποιώντας το θεώρημα για τη μετάβαση στο όριο στην ισότητα, παίρνουμε το επιθυμητό αποτέλεσμα.

2. Προσθετικότητα.Αν
, Οτι
=
+

Απόδειξη. Ας επιλέξουμε ένα διαμέρισμα της περιοχής L έτσι ώστε κανένα από τα στοιχεία διαμερίσματος (αρχικά και κατά τη βελτίωση του διαμερίσματος) να περιέχει ταυτόχρονα και τα δύο στοιχεία L 1 και L 2. Αυτό μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας το θεώρημα ύπαρξης (παρατήρηση στο θεώρημα). Στη συνέχεια, η απόδειξη πραγματοποιείται μέσω ολοκληρωτικών αθροισμάτων, όπως στην παράγραφο 1.

3.
.Εδώ - μήκος τόξου .

4. Αν σε τόξο η ανισότητα ικανοποιείται, λοιπόν

Απόδειξη. Ας γράψουμε την ανισότητα για τα ολοκληρωτικά αθροίσματα και ας προχωρήσουμε στο όριο.

Σημειώστε ότι, συγκεκριμένα, είναι δυνατό

5. Θεώρημα εκτίμησης.

Αν υπάρχουν σταθερές
, κάτι

Απόδειξη. Ενσωμάτωση της ανισότητας
(ιδιότητα 4), παίρνουμε
. Με την ιδιότητα 1 της σταθεράς
μπορεί να αφαιρεθεί από κάτω από τα ολοκληρώματα. Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα 3, έχουμε το επιθυμητό αποτέλεσμα.

6. Θεώρημα μέσης τιμής(η τιμή του ολοκληρώματος).

Υπάρχει ένα σημείο
, Τι

Απόδειξη. Από τη λειτουργία
συνεχής σε ένα κλειστό οριοθετημένο σύνολο , τότε υπάρχει το infimum του
και πάνω άκρη
. Η ανισότητα ικανοποιείται. Διαιρώντας και τις δύο πλευρές με το L, παίρνουμε
. Αλλά ο αριθμός
περικλείεται μεταξύ του κάτω και του άνω ορίου της συνάρτησης. Από τη λειτουργία
είναι συνεχής σε ένα κλειστό οριοθετημένο σύνολο L, τότε σε κάποιο σημείο
η συνάρτηση πρέπει να δέχεται αυτήν την τιμή. Ως εκ τούτου,
.

Για την περίπτωση που το πεδίο ολοκλήρωσης είναι ένα τμήμα μιας ορισμένης καμπύλης που βρίσκεται σε ένα επίπεδο. Η γενική σημείωση για ένα ολοκλήρωμα γραμμής είναι η εξής:

Οπου φά(Χ, y) είναι συνάρτηση δύο μεταβλητών, και μεγάλο- καμπύλη, κατά μήκος τμήματος ΑΒη οποία ολοκλήρωση λαμβάνει χώρα. Αν το ολοκλήρωμα είναι ίσο με ένα, τότε το ολοκλήρωμα της γραμμής ίσο με μήκοςτόξο ΑΒ .

Όπως πάντα μέσα ολοκληρωτικος ΛΟΓΙΣΜΟΣ, ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα νοείται ως το όριο των ολοκληρωτικών αθροισμάτων ορισμένων πολύ μικρών τμημάτων ενός πολύ μεγάλου. Τι συνοψίζεται στην περίπτωση των καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων;

Αφήστε να υπάρχει ένα τμήμα στο επίπεδο ΑΒκάποια καμπύλη μεγάλο, και μια συνάρτηση δύο μεταβλητών φά(Χ, y) που ορίζεται στα σημεία της καμπύλης μεγάλο. Ας εκτελέσουμε τον ακόλουθο αλγόριθμο με αυτό το τμήμα της καμπύλης.

Διαίρεση καμπύλης ΑΒσε μέρη με τελείες (εικόνες παρακάτω).
Επιλέξτε ελεύθερα ένα σημείο σε κάθε μέρος Μ.
Βρείτε την τιμή της συνάρτησης σε επιλεγμένα σημεία.
Οι τιμές συνάρτησης πολλαπλασιάζονται επί
- μήκη εξαρτημάτων σε περίπτωση καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα πρώτου είδους ;
- προβολές μερών στον άξονα συντεταγμένων της θήκης καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα δεύτερου είδους .
Βρείτε το άθροισμα όλων των προϊόντων.
Βρείτε το όριο του ακέραιου αθροίσματος που βρέθηκε με την προϋπόθεση ότι το μήκος του μεγαλύτερου μέρους της καμπύλης τείνει στο μηδέν.

Εάν υπάρχει το αναφερόμενο όριο, τότε αυτό το όριο του ολοκληρωτικού αθροίσματος και ονομάζεται καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα της συνάρτησης φά(Χ, y) κατά μήκος της καμπύλης ΑΒ .

πρώτο είδος

Περίπτωση καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος
δεύτερο είδος

Ας εισάγουμε την ακόλουθη σημειογραφία.

ΜΕγώ( ζ Εγώ ; η Εγώ)- ένα σημείο με συντεταγμένες επιλεγμένες σε κάθε τοποθεσία.

φάΕγώ( ζ Εγώ ; η Εγώ)- τιμή συνάρτησης φά(Χ, y) στο επιλεγμένο σημείο.

Δ μικρόΕγώ- μήκος τμήματος τμήματος καμπύλης (στην περίπτωση καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος πρώτου είδους).

Δ ΧΕγώ- προβολή μέρους του τμήματος καμπύλης στον άξονα Βόδι(στην περίπτωση καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος δεύτερου είδους).

ρε= maxΔ μικρόΕγώ- το μήκος του μακρύτερου τμήματος του τμήματος καμπύλης.

Καμπυλόγραμμα ολοκληρώματα πρώτου είδους

Με βάση τα παραπάνω σχετικά με το όριο των ολοκληρωτικών αθροισμάτων, ένα ολοκλήρωμα ευθείας πρώτου είδους γράφεται ως εξής:

Ένα ολοκλήρωμα γραμμής του πρώτου είδους έχει όλες τις ιδιότητες που έχει οριστικό ολοκλήρωμα. Ωστόσο, υπάρχει μια σημαντική διαφορά. Για ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα, όταν τα όρια της ολοκλήρωσης ανταλλάσσονται, το πρόσημο αλλάζει στο αντίθετο:

Στην περίπτωση ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος του πρώτου είδους, δεν έχει σημασία ποιο σημείο της καμπύλης ΑΒ (ΕΝΑή σι) θεωρείται η αρχή του τμήματος, και ποιο είναι το τέλος, δηλαδή

Καμπυλόγραμμα ολοκληρώματα δεύτερου είδους

Με βάση όσα έχουν ειπωθεί για το όριο των ολοκληρωτικών αθροισμάτων, ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα δεύτερου είδους γράφεται ως εξής:

Στην περίπτωση ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος του δεύτερου είδους, όταν η αρχή και το τέλος ενός τμήματος καμπύλης ανταλλάσσονται, το πρόσημο του ολοκληρώματος αλλάζει:

Κατά τη σύνταξη του ολοκληρωτικού αθροίσματος ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος του δεύτερου είδους, οι τιμές της συνάρτησης φάΕγώ( ζ Εγώ ; η Εγώ)μπορεί επίσης να πολλαπλασιαστεί με την προβολή τμημάτων ενός τμήματος καμπύλης στον άξονα Oy. Τότε παίρνουμε το ολοκλήρωμα

Στην πράξη, συνήθως χρησιμοποιείται η ένωση καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων του δεύτερου είδους, δηλαδή δύο συναρτήσεις φά = Π(Χ, y) Και φά = Q(Χ, y) και ολοκληρώματα

και το άθροισμα αυτών των ολοκληρωμάτων

που ονομάζεται γενικό καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα δεύτερου είδους .

Υπολογισμός καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων πρώτου είδους

Ο υπολογισμός των καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων του πρώτου είδους ανάγεται στον υπολογισμό ορισμένων ολοκληρωμάτων. Ας εξετάσουμε δύο περιπτώσεις.

Αφήστε μια καμπύλη να δοθεί στο επίπεδο y = y(Χ) και ένα τμήμα καμπύλης ΑΒαντιστοιχεί σε αλλαγή μεταβλητής Χαπό έναπριν σι. Στη συνέχεια στα σημεία της καμπύλης η συνάρτηση ολοκλήρωσης φά(Χ, y) = φά(Χ, y(Χ)) (Το "Y" πρέπει να εκφράζεται μέσω του "X"), και το διαφορικό του τόξου και το ολοκλήρωμα γραμμής μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

Εάν το ολοκλήρωμα είναι ευκολότερο να ενσωματωθεί y, τότε από την εξίσωση της καμπύλης πρέπει να εκφράσουμε Χ = Χ(y) («x» έως «y»), όπου υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τον τύπο

Παράδειγμα 1.

Οπου ΑΒ- ευθύγραμμο τμήμα μεταξύ σημείων ΕΝΑ(1; −1) και σι(2; 1) .

Λύση. Ας φτιάξουμε μια εξίσωση ευθείας ΑΒ, χρησιμοποιώντας τον τύπο (εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία ΕΝΑ(Χ1 ; y 1 ) Και σι(Χ2 ; y 2 ) ):

Από την ευθύγραμμη εξίσωση εκφράζουμε yδιά μέσου Χ :

Τότε και τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα, αφού μας απομένουν μόνο «Χ»:

Αφήστε μια καμπύλη να δοθεί στο διάστημα

Στη συνέχεια στα σημεία της καμπύλης η συνάρτηση πρέπει να εκφραστεί μέσω της παραμέτρου t() και διαφορικό τόξου , επομένως το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

Ομοίως, εάν δοθεί μια καμπύλη στο επίπεδο

τότε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα υπολογίζεται με τον τύπο

Παράδειγμα 2.Υπολογίστε το ολοκλήρωμα της γραμμής

Οπου μεγάλο- μέρος μιας κυκλικής γραμμής

που βρίσκεται στην πρώτη οκτάδα.

Λύση. Αυτή η καμπύλη είναι το ένα τέταρτο μιας κυκλικής γραμμής που βρίσκεται στο επίπεδο z= 3. Αντιστοιχεί στις τιμές των παραμέτρων. Επειδή

τότε το διαφορικό τόξου

Ας εκφράσουμε τη συνάρτηση ολοκλήρωσης μέσω της παραμέτρου t :

Τώρα που έχουμε τα πάντα εκφρασμένα μέσω μιας παραμέτρου t, μπορούμε να μειώσουμε τον υπολογισμό αυτού του καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος σε ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα:

Υπολογισμός καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων δεύτερου είδους

Ακριβώς όπως στην περίπτωση των καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων του πρώτου είδους, ο υπολογισμός των ολοκληρωμάτων του δεύτερου είδους ανάγεται στον υπολογισμό ορισμένων ολοκληρωμάτων.

Η καμπύλη δίνεται σε καρτεσιανές ορθογώνιες συντεταγμένες

Έστω μια καμπύλη σε ένα επίπεδο που δίνεται από την εξίσωση της συνάρτησης "Y", που εκφράζεται μέσω "Χ": y = y(Χ) και το τόξο της καμπύλης ΑΒαντιστοιχεί στην αλλαγή Χαπό έναπριν σι. Στη συνέχεια αντικαθιστούμε την έκφραση του «y» έως το «x» στο ολοκλήρωμα και προσδιορίζουμε τη διαφορά αυτής της παράστασης του «y» ως προς το «x»: . Τώρα που όλα εκφράζονται με όρους "x", το ολοκλήρωμα ευθείας του δεύτερου είδους υπολογίζεται ως οριστικό ολοκλήρωμα:

Ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του δεύτερου είδους υπολογίζεται παρομοίως όταν η καμπύλη δίνεται από την εξίσωση της συνάρτησης «x» που εκφράζεται μέσω του «y»: Χ = Χ(y) , . Σε αυτήν την περίπτωση, ο τύπος για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος έχει ως εξής:

Παράδειγμα 3.Υπολογίστε το ολοκλήρωμα της γραμμής

, Αν

ΕΝΑ) μεγάλο- ευθύ τμήμα Ο.Α., Οπου ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ(0; 0) , ΕΝΑ(1; −1) ;

σι) μεγάλο- τόξο παραβολής y = Χ² από ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ(0; 0) έως ΕΝΑ(1; −1) .

α) Ας υπολογίσουμε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα σε ένα ευθύγραμμο τμήμα (μπλε στο σχήμα). Ας γράψουμε την εξίσωση της ευθείας γραμμής και ας εκφράσουμε το "Y" έως το "X":

Παίρνουμε dy = dx. Επιλύουμε αυτό το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα:

β) εάν μεγάλο- τόξο παραβολής y = Χ² , παίρνουμε dy = 2xdx. Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα:

Στο παράδειγμα που μόλις λύθηκε, πήραμε το ίδιο αποτέλεσμα σε δύο περιπτώσεις. Και αυτό δεν είναι τυχαίο, αλλά αποτέλεσμα ενός σχεδίου, αφού αυτό το ολοκλήρωμα ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του παρακάτω θεωρήματος.

Θεώρημα. Εάν οι λειτουργίες Π(Χ,y) , Q(Χ,y) και οι επιμέρους παράγωγοί τους είναι συνεχείς στην περιοχή ρεσυναρτήσεις και σε σημεία αυτής της περιοχής οι μερικές παράγωγοι είναι ίσες, τότε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα δεν εξαρτάται από την πορεία ολοκλήρωσης κατά μήκος της ευθείας μεγάλοπου βρίσκεται στην περιοχή ρε .

Η καμπύλη δίνεται σε παραμετρική μορφή

Αφήστε μια καμπύλη να δοθεί στο διάστημα

και στα ολοκληρώματα που αντικαθιστούμε

εκφράζοντας αυτές τις συναρτήσεις μέσω μιας παραμέτρου t. Παίρνουμε τον τύπο για τον υπολογισμό του καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος:

Παράδειγμα 4.Υπολογίστε το ολοκλήρωμα της γραμμής

Αν μεγάλο- μέρος μιας έλλειψης

πληρούν την προϋπόθεση y ≥ 0 .

Λύση. Αυτή η καμπύλη είναι το τμήμα της έλλειψης που βρίσκεται στο επίπεδο z= 2. Αντιστοιχεί στην τιμή της παραμέτρου.

μπορούμε να αναπαραστήσουμε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα με τη μορφή ορισμένου ολοκληρώματος και να το υπολογίσουμε:

Αν δοθεί ολοκλήρωμα καμπύλης και μεγάλο - κλειστή γραμμή, τότε ένα τέτοιο ολοκλήρωμα ονομάζεται ολοκλήρωμα πάνω κλειστό βρόχοκαι είναι πιο εύκολο να υπολογιστεί με Η φόρμουλα του Γκριν .

Περισσότερα παραδείγματα υπολογισμού ολοκληρωμάτων γραμμής

Παράδειγμα 5.Υπολογίστε το ολοκλήρωμα της γραμμής

Οπου μεγάλο- ευθύγραμμο τμήμα μεταξύ των σημείων τομής του με τους άξονες συντεταγμένων.

Λύση. Ας προσδιορίσουμε τα σημεία τομής της ευθείας με τους άξονες συντεταγμένων. Αντικατάσταση μιας ευθείας γραμμής στην εξίσωση y= 0, παίρνουμε ,. Αντικατάσταση Χ= 0, παίρνουμε ,. Έτσι, το σημείο τομής με τον άξονα Βόδι - ΕΝΑ(2; 0) , με άξονα Oy - σι(0; −3) .

Από την ευθύγραμμη εξίσωση εκφράζουμε y :

, .

Τώρα μπορούμε να αναπαραστήσουμε το ολοκλήρωμα ευθείας ως καθορισμένο ολοκλήρωμα και να αρχίσουμε να το υπολογίζουμε:

Στο ολοκλήρωμα επιλέγουμε τον παράγοντα , και τον μετακινούμε εκτός του ολοκληρώματος. Στο integrand που προκύπτει χρησιμοποιούμε προσυπογράφοντας το διαφορικό πρόσημοκαι τελικά το καταλαβαίνουμε.

Θεωρητικό ελάχιστο
Τα καμπυλόγραμμα και τα επιφανειακά ολοκληρώματα βρίσκονται συχνά στη φυσική. Έρχονται σε δύο τύπους, ο πρώτος από τους οποίους συζητείται εδώ. Αυτό
ο τύπος των ολοκληρωμάτων κατασκευάζεται σύμφωνα με γενικό σχέδιο, με την οποία εισάγονται οριστικά, διπλά και τριπλά ολοκληρώματα. Ας θυμηθούμε εν συντομία αυτό το σχήμα.
Υπάρχει κάποιο αντικείμενο πάνω στο οποίο πραγματοποιείται η ολοκλήρωση (μονοδιάστατο, δισδιάστατο ή τρισδιάστατο). Αυτό το αντικείμενο είναι σπασμένο σε μικρά μέρη,
επιλέγεται ένα σημείο σε κάθε μέρος. Σε καθένα από αυτά τα σημεία, η τιμή του ολοκληρώματος υπολογίζεται και πολλαπλασιάζεται με το μέτρο του μέρους που
ανήκει δεδομένο σημείο(μήκος τμήματος, εμβαδόν ή όγκος μερικής περιοχής). Τότε όλα αυτά τα προϊόντα αθροίζονται και το όριο ικανοποιείται
μετάβαση στο σπάσιμο του αντικειμένου σε απειροελάχιστα μέρη. Το όριο που προκύπτει ονομάζεται ολοκλήρωμα.
1. Ορισμός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος πρώτου είδους
Ας εξετάσουμε μια συνάρτηση που ορίζεται σε μια καμπύλη. Η καμπύλη θεωρείται ότι μπορεί να διορθωθεί. Ας θυμηθούμε τι σημαίνει αυτό, χοντρικά,
ότι μια διακεκομμένη γραμμή με αυθαίρετα μικρούς συνδέσμους μπορεί να εγγραφεί σε μια καμπύλη, και στο όριο είναι άπειρη μεγάλος αριθμόςσυνδέσμους, το μήκος της διακεκομμένης γραμμής πρέπει να παραμείνει
τελικός. Η καμπύλη χωρίζεται σε επιμέρους τόξα μήκους και επιλέγεται ένα σημείο σε καθένα από τα τόξα. Μια εργασία συντάσσεται
Η άθροιση πραγματοποιείται σε όλα τα επιμέρους τόξα . Τότε το πέρασμα στο όριο πραγματοποιείται με την τάση του μήκους του μεγαλύτερου
από μερικά τόξα στο μηδέν. Το όριο είναι ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του πρώτου είδους
.
Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό αυτού του ολοκληρώματος, που προκύπτει άμεσα από τον ορισμό του, είναι η ανεξαρτησία του από την κατεύθυνση της ολοκλήρωσης, δηλ.
.
2. Ορισμός επιφανειακού ολοκληρώματος πρώτου είδους
Εξετάστε μια λειτουργία που ορίζεται σε μια λεία ή τμηματικά λεία επιφάνεια. Η επιφάνεια χωρίζεται σε μερικές περιοχές
με περιοχές, επιλέγεται ένα σημείο σε κάθε τέτοια περιοχή. Μια εργασία συντάσσεται , πραγματοποιείται άθροιση
σε όλες τις επιμέρους περιοχές . Στη συνέχεια η διέλευση στο όριο πραγματοποιείται με την τάση της διαμέτρου του μεγαλύτερου όλων των μερικών
περιοχές στο μηδέν. Το όριο είναι ένα επιφανειακό ολοκλήρωμα του πρώτου είδους
.
3. Υπολογισμός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος πρώτου είδους
Η μέθοδος για τον υπολογισμό ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος του πρώτου είδους μπορεί να φανεί ήδη από την επίσημη σημειογραφία του, αλλά στην πραγματικότητα προκύπτει απευθείας από
ορισμοί. Το ολοκλήρωμα μειώνεται σε ορισμένο, απλά πρέπει να γράψετε το διαφορικό του τόξου της καμπύλης κατά μήκος του οποίου πραγματοποιείται η ολοκλήρωση.
Ας ξεκινήσουμε με απλή υπόθεσηολοκλήρωση κατά μήκος μιας επίπεδης καμπύλης που δίνεται ρητή εξίσωση. Σε αυτή την περίπτωση, το διαφορικό τόξου
.
Στη συνέχεια πραγματοποιείται μια αλλαγή μεταβλητής στο ολοκλήρωμα και το ολοκλήρωμα παίρνει τη μορφή
,
όπου το τμήμα αντιστοιχεί στη μεταβολή της μεταβλητής κατά μήκος εκείνου του τμήματος της καμπύλης κατά μήκος του οποίου πραγματοποιείται η ολοκλήρωση.
Πολύ συχνά η καμπύλη καθορίζεται παραμετρικά, δηλ. εξισώσεις της μορφής Στη συνέχεια το διαφορικό τόξου
.
Αυτή η φόρμουλα είναι πολύ απλά δικαιολογημένη. Ουσιαστικά αυτό είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα. Το διαφορικό τόξου είναι στην πραγματικότητα το μήκος του απειροελάχιστου τμήματος της καμπύλης.
Εάν η καμπύλη είναι ομαλή, τότε το απειροελάχιστο τμήμα της μπορεί να θεωρηθεί ευθύγραμμο. Για ευθεία γραμμή έχουμε τη σχέση
.
Για να εκτελεστεί για ένα μικρό τόξο της καμπύλης, θα πρέπει να κινηθεί κανείς από πεπερασμένες αυξήσεις σε διαφορικά:
.
Εάν η καμπύλη καθορίζεται παραμετρικά, τότε τα διαφορικά υπολογίζονται απλώς:
και τα λοιπά.
Αντίστοιχα, μετά την αλλαγή των μεταβλητών στο ολοκλήρωμα, το ολοκλήρωμα της καμπύλης υπολογίζεται ως εξής:
,
όπου το τμήμα της καμπύλης κατά μήκος του οποίου πραγματοποιείται η ολοκλήρωση αντιστοιχεί στο τμήμα της μεταβολής της παραμέτρου.
Η κατάσταση είναι κάπως πιο περίπλοκη στην περίπτωση που η καμπύλη καθορίζεται σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες. Αυτό το θέμα συνήθως συζητείται στο πλαίσιο της διαφοροποίησης
γεωμετρία. Ας δώσουμε έναν τύπο για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος κατά μήκος της καμπύλης που δίνεται πολικές συντεταγμένεςεξίσωση:
.
Ας δώσουμε μια αιτιολόγηση για τη διαφορά του τόξου σε πολικές συντεταγμένες. Αναλυτική συζήτηση για την κατασκευή πλέγματος πολικό σύστημασυντεταγμένες
εκ. . Ας επιλέξουμε ένα μικρό τόξο της καμπύλης που βρίσκεται σε σχέση με τις γραμμές συντεταγμένων όπως φαίνεται στο Σχ. 1. Λόγω της μικρότητας όλων αυτών που παρουσιάζονται
και πάλι μπορούμε να εφαρμόσουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα και να γράψουμε:
.
Από εδώ ακολουθεί η επιθυμητή έκφραση για το διαφορικό του τόξου.
Με αγνό θεωρητικό σημείοΑπό οπτική άποψη, αρκεί απλώς να κατανοήσουμε ότι ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του πρώτου είδους πρέπει να αναχθεί στη συγκεκριμένη περίπτωση -
σε ορισμένο ολοκλήρωμα. Πράγματι, κάνοντας την αλλαγή που υπαγορεύεται από την παραμετροποίηση της καμπύλης κατά μήκος της οποίας υπολογίζεται το ολοκλήρωμα, καθορίζουμε
αντιστοίχιση ένας προς έναν μεταξύ ενός μέρους μιας δεδομένης καμπύλης και ενός τμήματος αλλαγής παραμέτρων. Και αυτό είναι μια αναγωγή στο ολοκλήρωμα
κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής που συμπίπτει με άξονα συντεταγμένων- ορισμένο ολοκλήρωμα.
4. Υπολογισμός του επιφανειακού ολοκληρώματος πρώτου είδους
Μετά το προηγούμενο σημείο, θα πρέπει να είναι σαφές ότι ένα από τα κύρια μέρη του υπολογισμού ενός επιφανειακού ολοκληρώματος του πρώτου είδους είναι η εγγραφή του στοιχείου επιφάνειας,
πάνω στο οποίο πραγματοποιείται η ενσωμάτωση. Και πάλι, ας ξεκινήσουμε με την απλή περίπτωση μιας επιφάνειας που ορίζεται από μια ρητή εξίσωση. Επειτα
.
Γίνεται αντικατάσταση στο ολοκλήρωμα και το επιφανειακό ολοκλήρωμα μειώνεται στο διπλάσιο:
,
όπου είναι η περιοχή του επιπέδου στην οποία προβάλλεται το τμήμα της επιφάνειας πάνω στο οποίο πραγματοποιείται η ολοκλήρωση.
Ωστόσο, είναι συχνά αδύνατο να οριστεί μια επιφάνεια με μια ρητή εξίσωση, και στη συνέχεια ορίζεται παραμετρικά, δηλ. εξισώσεις της μορφής
.
Το στοιχείο επιφάνειας σε αυτήν την περίπτωση είναι γραμμένο πιο περίπλοκο:
.
Το επιφανειακό ολοκλήρωμα μπορεί να γραφτεί ανάλογα:
,
όπου είναι η περιοχή μεταβολής των παραμέτρων που αντιστοιχεί στο τμήμα της επιφάνειας στο οποίο πραγματοποιείται η ενοποίηση.
5. Φυσική έννοια καμπυλόγραμμων και επιφανειακών ολοκληρωμάτων πρώτου είδους
Τα ολοκληρώματα που συζητήθηκαν έχουν ένα πολύ απλό και σαφές φυσική έννοια. Ας υπάρχει κάποια καμπύλη της οποίας η γραμμική πυκνότητα δεν είναι
σταθερά, και είναι συνάρτηση του σημείου . Ας βρούμε τη μάζα αυτής της καμπύλης. Ας σπάσουμε την καμπύλη σε πολλά μικρά στοιχεία,
εντός του οποίου η πυκνότητά του μπορεί να θεωρηθεί περίπου σταθερή. Αν το μήκος ενός μικρού κομματιού μιας καμπύλης είναι ίσο με , τότε η μάζα του
, όπου είναι οποιοδήποτε σημείο του επιλεγμένου κομματιού της καμπύλης (οποιοδήποτε, αφού η πυκνότητα είναι εντός
αυτό το κομμάτι θεωρείται περίπου σταθερό). Κατά συνέπεια, η μάζα ολόκληρης της καμπύλης προκύπτει αθροίζοντας τις μάζες των επιμέρους μερών της:
.
Για να γίνει ακριβής η ισότητα, πρέπει να φτάσει κανείς στο όριο της διαίρεσης της καμπύλης σε απειροελάχιστα μέρη, αλλά αυτό είναι ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του πρώτου είδους.

Το ζήτημα του συνολικού φορτίου της καμπύλης επιλύεται ομοίως εάν είναι γνωστή η γραμμική πυκνότητα φορτίου .
Αυτά τα ορίσματα μπορούν εύκολα να μεταφερθούν στην περίπτωση μιας μη ομοιόμορφα φορτισμένης επιφάνειας με επιφανειακή πυκνότηταχρέωση . Επειτα
το επιφανειακό φορτίο είναι ένα επιφανειακό ολοκλήρωμα του πρώτου είδους
.
Σημείωση. Ένας περίπλοκος τύπος για ένα στοιχείο επιφάνειας που ορίζεται παραμετρικά δεν είναι βολικό να θυμόμαστε. Μια άλλη έκφραση λαμβάνεται στη διαφορική γεωμετρία,
χρησιμοποιεί το λεγόμενο πρώτα τετραγωνική μορφήεπιφάνειες.
Παραδείγματα υπολογισμού καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων πρώτου είδους
Παράδειγμα 1. Ολοκληρωμένο κατά μήκος μιας γραμμής.
Υπολογίστε ολοκλήρωμα

κατά μήκος ευθύγραμμου τμήματος που διέρχεται από τα σημεία και .
Αρχικά γράφουμε την εξίσωση της ευθείας κατά την οποία πραγματοποιείται η ολοκλήρωση: . Ας βρούμε μια έκφραση για:
.
Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα:
Παράδειγμα 2. Ολοκληρωμένο κατά μήκος καμπύλης σε επίπεδο.
Υπολογίστε ολοκλήρωμα

κατά μήκος ενός τόξου παραβολής από σημείο σε σημείο.
Σημεία ρύθμισηςκαι σας επιτρέπουν να εκφράσετε μια μεταβλητή από την εξίσωση της παραβολής: .

Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα:
.
Ωστόσο, ήταν δυνατό να γίνουν οι υπολογισμοί με άλλο τρόπο, εκμεταλλευόμενοι το γεγονός ότι η καμπύλη δίνεται από μια εξίσωση που επιλύεται ως προς τη μεταβλητή.
Εάν πάρουμε μια μεταβλητή ως παράμετρο, αυτό θα οδηγήσει σε μικρή αλλαγήεκφράσεις για το διαφορικό τόξου:
.
Κατά συνέπεια, το ολοκλήρωμα θα αλλάξει ελαφρώς:
.
Αυτό το ολοκλήρωμα υπολογίζεται εύκολα αντικαθιστώντας τη μεταβλητή κάτω από το διαφορικό. Το αποτέλεσμα είναι το ίδιο ολοκλήρωμα όπως στην πρώτη μέθοδο υπολογισμού.
Παράδειγμα 3. Ολοκληρωμένο κατά μήκος μιας καμπύλης σε ένα επίπεδο (με χρήση παραμετροποίησης).
Υπολογίστε ολοκλήρωμα

κατά μήκος του πάνω μισού του κύκλου .
Μπορείτε, φυσικά, να εκφράσετε μία από τις μεταβλητές από την εξίσωση ενός κύκλου και στη συνέχεια να εκτελέσετε τους υπόλοιπους υπολογισμούς με τον τυπικό τρόπο. Αλλά μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε
προδιαγραφή παραμετρικής καμπύλης. Όπως γνωρίζετε, ένας κύκλος μπορεί να οριστεί με εξισώσεις. Επάνω ημικύκλιο
αντιστοιχεί σε αλλαγή της παραμέτρου εντός . Ας υπολογίσουμε το διαφορικό τόξου:
.
Ετσι,
Παράδειγμα 4. Ολοκληρωμένο κατά μήκος μιας καμπύλης σε ένα επίπεδο που καθορίζεται σε πολικές συντεταγμένες.
Υπολογίστε ολοκλήρωμα

κατά μήκος του δεξιού λοβού του λεμνίσκου .

Το παραπάνω σχέδιο δείχνει ένα λεμνίσκο. Η ενσωμάτωση πρέπει να πραγματοποιείται κατά μήκος του δεξιού λοβού του. Ας βρούμε το διαφορικό τόξου για την καμπύλη :
.
Το επόμενο βήμα είναι να καθοριστούν τα όρια ολοκλήρωσης πάνω από την πολική γωνία. Είναι σαφές ότι η ανισότητα πρέπει να ικανοποιηθεί, και επομένως
.
Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα:
Παράδειγμα 5. Ολοκληρωμένο κατά μήκος μιας καμπύλης στο χώρο.
Υπολογίστε ολοκλήρωμα

κατά μήκος της στροφής της έλικας που αντιστοιχεί στα όρια μεταβολής παραμέτρων

Μια καμπύλη ΑΒ που ορίζεται από παραμετρικές εξισώσεις ονομάζεται ομαλή αν οι συναρτήσεις και έχουν συνεχείς παραγώγους στο τμήμα και, επιπλέον, αν στο πεπερασμένος αριθμόςσημεία του τμήματος, αυτές οι παράγωγοι δεν υπάρχουν ή εξαφανίζονται ταυτόχρονα, τότε ονομάζω την καμπύλη τμηματικά ομαλή. Έστω η ΑΒ μια επίπεδη καμπύλη, λεία ή τμηματικά λεία. Έστω f(M) μια συνάρτηση που ορίζεται στην καμπύλη AB ή σε κάποιο πεδίο D που περιέχει αυτήν την καμπύλη. Ας εξετάσουμε τη διαίρεση της καμπύλης Α Β σε μέρη κατά σημεία (Εικ. 1). Ας επιλέξουμε ένα αυθαίρετο σημείο Mk σε καθένα από τα τόξα A^At+i και ας συνθέσουμε ένα άθροισμα όπου Alt είναι το μήκος του τόξου και ας το ονομάσουμε ακέραιο άθροισμα για τη συνάρτηση f(M) στο μήκος του τόξου του καμπύλη. Έστω D / το μεγαλύτερο από τα μήκη των μερικών τόξων, δηλ. Ιδιότητες καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων 1ου είδους για καμπύλες χώρου Καμπυλόγραμμα ολοκληρώματα 2ου είδους Υπολογισμός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος Ιδιότητες Σχέση μεταξύ ορισμών. Αν στο ολοκληρωτικό άθροισμα (Ι) έχει τελικό όριο, που δεν εξαρτάται ούτε από τη μέθοδο κατάτμησης της καμπύλης ΑΒ σε μέρη, ούτε από την επιλογή σημείων σε καθένα από τα τόξα του διαμερίσματος, τότε αυτό το όριο ονομάζεται καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του \ου είδους της συνάρτησης f( M) κατά μήκος της καμπύλης AB (ολοκληρωμένο κατά το μήκος του τόξου της καμπύλης) και συμβολίζεται με σύμβολο Σε αυτήν την περίπτωση, η συνάρτηση /(M) λέγεται ότι μπορεί να ολοκληρωθεί κατά μήκος της καμπύλης ABU· η καμπύλη A B ονομάζεται περίγραμμα του ολοκλήρωση, το Α είναι το αρχικό σημείο, το Β είναι το τελικό σημείο της ολοκλήρωσης. Έτσι, εξ ορισμού, Παράδειγμα 1. Αφήστε μια μάζα με μεταβλητή γραμμική πυκνότητα J(M) να κατανεμηθεί κατά μήκος κάποιας ομαλής καμπύλης L. Να βρείτε τη μάζα m της καμπύλης L. (2) Ας διαιρέσουμε την καμπύλη L σε n αυθαίρετα μέρη) και υπολογίσουμε περίπου τη μάζα κάθε τμήματος, υποθέτοντας ότι σε κάθε τμήμα η πυκνότητα είναι σταθερή και ίση με την πυκνότητα σε οποιοδήποτε σημείο του , για παράδειγμα, στο άκρο αριστερό σημείο /(Af*). Τότε το άθροισμα ksh όπου D/d είναι το μήκος του Dth μέρους, θα είναι μια κατά προσέγγιση τιμή της μάζας m. Είναι σαφές ότι όσο μικρότερο είναι το διαμέρισμα της καμπύλης L, τόσο μικρότερο είναι το σφάλμα. Λαμβάνουμε την ακριβή τιμή του η μάζα ολόκληρης της καμπύλης L, δηλ. Αλλά το όριο στα δεξιά είναι ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του 1ου είδους. Άρα, 1.1. Ύπαρξη καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος 1ου είδους Ας πάρουμε ως παράμετρο στην καμπύλη ΑΒ το μήκος του τόξου Ι, μετρημένο από το σημείο εκκίνησης Α (Εικ. 2). Τότε η καμπύλη ΑΒ μπορεί να περιγραφεί με τις εξισώσεις (3) όπου L είναι το μήκος της καμπύλης ΑΒ. Οι εξισώσεις (3) ονομάζονται φυσικές εξισώσεις της καμπύλης ΑΒ. Όταν πρόκειται να φυσικές εξισώσεις η συνάρτηση f(x) y), που ορίζεται στην καμπύλη ΑΒ, θα ανάγεται σε συνάρτηση της μεταβλητής I: / (x(1)) y(1)). Έχοντας υποδηλώσει με την τιμή της παραμέτρου I που αντιστοιχεί στο σημείο Mky, ξαναγράφουμε το ολοκληρωτικό άθροισμα (I) με τη μορφή Αυτό είναι το ολοκληρωτικό άθροισμα που αντιστοιχεί σε ένα ορισμένο ολοκλήρωμα. μεταξύ τους, τότε τα ολοκληρώματα που τους αντιστοιχούν είναι ίσα. Έτσι, (5) Θεώρημα 1. Εάν η συνάρτηση /(M) είναι συνεχής κατά μήκος μιας ομαλής καμπύλης ΑΒ, τότε υπάρχει ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα (αφού υπό αυτές τις συνθήκες υπάρχει ένα ορισμένο ολοκλήρωμα στα δεξιά στην ισότητα (5). 1.2. Ιδιότητες καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων 1ου είδους 1. Από τη μορφή του ολοκληρωτικού αθροίσματος (1) προκύπτει ότι δηλ. η τιμή ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος του 1ου είδους δεν εξαρτάται από την κατεύθυνση της ολοκλήρωσης. 2. Γραμμικότητα. Αν για καθεμία από τις συναρτήσεις /() υπάρχει ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα κατά μήκος της καμπύλης ABt, τότε για τη συνάρτηση a/, όπου a και /3 είναι οποιεσδήποτε σταθερές, υπάρχει επίσης ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα κατά μήκος της καμπύλης AB> και 3. Προσθετικότητα . Αν η καμπύλη ΑΒ αποτελείται από δύο κομμάτια και για τη συνάρτηση /(M) υπάρχει καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα πάνω από το ABU, τότε υπάρχουν ολοκληρώματα με 4. Αν 0 στην καμπύλη ΑΒ, τότε 5. Αν η συνάρτηση είναι ενσωματώσιμη στην καμπύλη ΑΒ , τότε η συνάρτηση || είναι επίσης ενσωματώσιμο στο A B, και ταυτόχρονα στο b. Μέση φόρμουλα. Εάν η συνάρτηση / είναι συνεχής κατά μήκος της καμπύλης ΑΒ, τότε σε αυτήν την καμπύλη υπάρχει ένα σημείο Mc τέτοιο ώστε όπου L είναι το μήκος της καμπύλης ΑΒ. 1.3. Υπολογισμός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος 1ου είδους Έστω η καμπύλη ΑΒ να δίνεται με παραμετρικές εξισώσεις, με το σημείο Α να αντιστοιχεί στην τιμή t = to, και το σημείο Β στην τιμή. Θα υποθέσουμε ότι οι συναρτήσεις) είναι συνεχείς μαζί με τις παραγώγους τους και η ανισότητα ικανοποιείται.Τότε το διαφορικό του τόξου της καμπύλης υπολογίζεται από τον τύπο.Ειδικά αν η καμπύλη ΑΒ δίνεται με ρητή εξίσωση είναι συνεχής διαφοροποιήσιμο στο [a, b] και το σημείο A αντιστοιχεί στην τιμή x = a, και το σημείο B - τιμή x = 6, τότε, λαμβάνοντας το x ως παράμετρο, παίρνουμε 1,4. Καμπυλόγραμμα ολοκληρώματα του 1ου είδους για χωρικές καμπύλες Ο ορισμός ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος του 1ου είδους, που διατυπώθηκε παραπάνω για μια επίπεδη καμπύλη, μεταφέρεται κυριολεκτικά στην περίπτωση που η συνάρτηση f(M) δίνεται κατά μήκος κάποιας χωρικής καμπύλης AB. Έστω η καμπύλη AB που δίνεται από παραμετρικές εξισώσεις Ιδιότητες καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων του 1ου είδους για χωρικές καμπύλες Καμπυλόγραμμα ολοκληρώματα 2ου είδους Υπολογισμός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος Ιδιότητες Σχέση μεταξύ Τότε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα που λαμβάνεται κατά μήκος αυτής της καμπύλης μπορεί να μειωθεί σε ορισμένο ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: Παράδειγμα 2. Υπολογίστε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα όπου L είναι το περίγραμμα ενός τριγώνου με κορυφές σε ένα σημείο* (Εικ. 3). Με την ιδιότητα της προσθετικότητας έχουμε Ας υπολογίσουμε καθένα από τα ολοκληρώματα χωριστά. Αφού στο τμήμα ΟΑ έχουμε: , μετά στο τμήμα ΑΝ έχουμε, όπου και μετά Εικ. Τέλος, Επομένως, Σημείωση. Κατά τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων χρησιμοποιήσαμε την ιδιότητα 1, σύμφωνα με την οποία. Καμπυλόγραμμα ολοκληρώματα του 2ου είδους Έστω A B μια ομαλή ή τμηματικά ομαλή προσανατολισμένη καμπύλη στο επίπεδο xOy και έστω μια διανυσματική συνάρτηση που ορίζεται σε κάποιο πεδίο D που περιέχει την καμπύλη AB. Ας χωρίσουμε την καμπύλη ΑΒ σε μέρη με σημεία που τις συντεταγμένες τους συμβολίζουμε αντίστοιχα με (Εικ. 4). Σε καθένα από τα στοιχειώδη τόξα AkAk+\ παίρνουμε ένα αυθαίρετο σημείο και κάνουμε ένα άθροισμα Έστω D/ το μήκος του μεγαλύτερου από τα τόξα Ορισμός. Εάν στο άθροισμα (1) έχει ένα πεπερασμένο όριο που δεν εξαρτάται ούτε από τη μέθοδο διαμερίσματος της καμπύλης ΑΒ ούτε από την επιλογή των σημείων rjk) σε στοιχειώδη τόξα, τότε αυτό το όριο ονομάζεται καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα της 2-πόλεως του διανύσματος συνάρτηση κατά μήκος της καμπύλης AB και συμβολίζεται με το σύμβολο So εξ ορισμού Θεώρημα 2. Αν σε κάποιο πεδίο D που περιέχει την καμπύλη AB οι συναρτήσεις είναι συνεχείς, τότε υπάρχει το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα της 2-πόλης. Έστω το διάνυσμα ακτίνας του σημείου M(x, y). Τότε το ολοκλήρωμα στον τύπο (2) μπορεί να αναπαρασταθεί ως βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων F(M) και dr. Άρα το ολοκλήρωμα του 2ου είδους διανυσματικής συνάρτησης κατά μήκος της καμπύλης ΑΒ μπορεί να γραφεί εν συντομία ως εξής: 2.1. Υπολογισμός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος 2ου είδους Ας οριστεί η καμπύλη ΑΒ με παραμετρικές εξισώσεις, όπου οι συναρτήσεις είναι συνεχείς μαζί με τις παραγώγους στο τμήμα και μια αλλαγή της παραμέτρου t από t0 σε t\ αντιστοιχεί στην κίνηση ενός σημείο κατά μήκος της καμπύλης ΑΒ του σημείου Α στο σημείο Β. Εάν σε κάποια περιοχή Δ, που περιέχει την καμπύλη ΑΒ, οι συναρτήσεις είναι συνεχείς, τότε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του 2ου είδους ανάγεται στο ακόλουθο οριστικό ολοκλήρωμα: Έτσι, ο υπολογισμός του το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του 2ου είδους μπορεί επίσης να αναχθεί στον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος. O) Παράδειγμα 1. Υπολογίστε το ολοκλήρωμα κατά μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος που συνδέει τα σημεία 2) κατά μήκος μιας παραβολής που συνδέει τα ίδια σημεία) Εξίσωση μιας παραμέτρου γραμμής, από όπου 2) Εξίσωση της γραμμής AB: Επομένως, το εξεταζόμενο παράδειγμα χρίζει ότι η τιμή ενός καμπυλωμένου ολοκληρώματος του 2ου είδους, σε γενικές γραμμές, εξαρτάται από το σχήμα της διαδρομής ολοκλήρωσης. 2.2. Ιδιότητες καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος 2ου είδους 1. Γραμμικότητα. Αν υπάρχουν Ιδιότητες καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων 1ου είδους για καμπύλες χώρου Καμπυλόγραμμα ολοκληρώματα 2ου είδους Υπολογισμός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος Ιδιότητες Σχέση μεταξύ τότε για κάθε πραγματικό α και /5 υπάρχει ολοκλήρωμα όπου 2. Additenost. Αν η καμπύλη AB χωριστεί σε μέρη AC και SB και υπάρχει ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα, τότε υπάρχουν και ολοκληρώματα Η τελευταία ιδιότητα της φυσικής ερμηνείας ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος του 2ου είδους λειτουργεί πεδίο δύναμης F κατά μήκος μιας συγκεκριμένης διαδρομής: όταν η κατεύθυνση της κίνησης κατά μήκος μιας καμπύλης αλλάζει, το έργο του πεδίου δύναμης κατά μήκος αυτής της καμπύλης αλλάζει πρόσημο στο αντίθετο. 2.3. Σχέση μεταξύ καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων του 1ου και του 2ου είδους Θεωρήστε ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του 2ου είδους όπου η προσανατολισμένη καμπύλη AB (Α είναι το σημείο εκκίνησης, Β είναι το τελικό σημείο) δίνεται από τη διανυσματική εξίσωση (εδώ I είναι το μήκος του καμπύλη, μετρημένη προς την κατεύθυνση προς την οποία προσανατολίζεται η καμπύλη ΑΒ) (Εικ. 6). Τότε dr ή όπου r = m(1) - μονάδα διάνυσμαεφαπτομένη στην καμπύλη ΑΒ στο σημείο Μ(1). Στη συνέχεια, σημειώστε ότι το τελευταίο ολοκλήρωμα σε αυτόν τον τύπο είναι ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του 1ου είδους. Όταν αλλάζει ο προσανατολισμός της καμπύλης ΑΒ, το μοναδιαίο διάνυσμα της εφαπτομένης r αντικαθίσταται από το αντίθετο διάνυσμα (-r), το οποίο συνεπάγεται αλλαγή στο πρόσημο του ολοκληρώματος και, επομένως, στο πρόσημο του ίδιου του ολοκληρώματος.