Παράδειγμα λύσης μεθόδου επανάληψης excel. Χρησιμοποιώντας τη λειτουργία "Επαναλήψεις".

ΣΤΟ Πρόγραμμα Excelυπάρχει μια εκτεταμένη εργαλειοθήκη για επίλυση διάφορα είδηεξισώσεις με διαφορετικούς τρόπους.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα λύσεων.

Επίλυση εξισώσεων με τη μέθοδο επιλογής παραμέτρων του Excel

Το εργαλείο αναζήτησης παραμέτρων χρησιμοποιείται σε μια κατάσταση όπου το αποτέλεσμα είναι γνωστό, αλλά τα ορίσματα είναι άγνωστα. Το Excel επιλέγει τιμές έως ότου ο υπολογισμός αποφέρει το επιθυμητό σύνολο.

Διαδρομή προς την εντολή: "Δεδομένα" - "Εργασία με δεδομένα" - "Ανάλυση What-if" - "Επιλογή παραμέτρων".

Ας ρίξουμε μια ματιά στη λύση τετραγωνική εξίσωση x 2 + 3x + 2 = 0. Η σειρά εύρεσης της ρίζας χρησιμοποιώντας το Excel:

Το πρόγραμμα χρησιμοποιεί μια κυκλική διαδικασία για να επιλέξει την παράμετρο. Για να αλλάξετε τον αριθμό των επαναλήψεων και το σφάλμα, πρέπει να μεταβείτε στις επιλογές του Excel. Στην καρτέλα "Τύποι", ορίστε το όριο για τον αριθμό των επαναλήψεων, σχετικό σφάλμα. Επιλέξτε το πλαίσιο "ενεργοποίηση επαναληπτικών υπολογισμών".

Πώς να λύσετε σύστημα εξισώσεων με μέθοδο μήτρας στο Excel

Δίνεται το σύστημα των εξισώσεων:

Λαμβάνονται οι ρίζες της εξίσωσης.

Επίλυση συστήματος εξισώσεων με τη μέθοδο του Cramer στο Excel

Ας πάρουμε το σύστημα εξισώσεων από το προηγούμενο παράδειγμα:

Για να τα λύσουμε με τη μέθοδο Cramer, υπολογίζουμε τις ορίζουσες των πινάκων που λαμβάνονται αντικαθιστώντας μια στήλη στον πίνακα Α με μια στήλη-μήτρα Β.

Για να υπολογίσουμε τις ορίζουσες, χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση MOPRED. Το όρισμα είναι μια περιοχή με τον αντίστοιχο πίνακα.

Υπολογίζουμε και την ορίζουσα του πίνακα Α (πίνακας - εύρος πίνακα Α).

Η ορίζουσα του συστήματος είναι μεγαλύτερη από 0 - η λύση μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο Cramer (D x / |A|).

Για να υπολογίσετε το X 1: \u003d U2 / $ U $ 1, όπου U2 - D1. Για να υπολογίσετε το X 2: =U3/$U$1. Και τα λοιπά. Παίρνουμε τις ρίζες των εξισώσεων:

Επίλυση συστημάτων εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss στο Excel

Για παράδειγμα, ας πάρουμε το απλούστερο σύστημαεξισώσεις:

3a + 2c - 5c = -1
2a - c - 3c = 13
a + 2b - c \u003d 9

Γράφουμε τους συντελεστές στον πίνακα Α. Ελεύθεροι όροι - στον πίνακα Β.

Για λόγους σαφήνειας, επισημαίνουμε τα δωρεάν μέλη συμπληρώνοντας. Εάν το πρώτο κελί του πίνακα A είναι 0, πρέπει να αλλάξετε τις σειρές έτσι ώστε να υπάρχει μια τιμή διαφορετική από το 0.

Παραδείγματα επίλυσης εξισώσεων με επανάληψη στο Excel

Οι υπολογισμοί στο βιβλίο εργασίας πρέπει να ρυθμιστούν ως εξής:

Αυτό γίνεται στην καρτέλα "Τύποι" στις "Επιλογές Excel". Ας βρούμε τη ρίζα της εξίσωσης x - x 3 + 1 = 0 (a = 1, b = 2) με επανάληψη χρησιμοποιώντας κυκλικές αναφορές. Τύπος:

X n+1 \u003d X n - F (X n) / M, n \u003d 0, 1, 2, ....

Μ- μέγιστη αξίαπαράγωγο modulo. Για να βρούμε το Μ, ας κάνουμε τους υπολογισμούς:

f' (1) = -2 * f' (2) = -11.

Η τιμή που προκύπτει είναι μικρότερη από 0. Επομένως, η συνάρτηση θα είναι με αντίθετο σημάδι: f (x) \u003d -x + x 3 - 1. M \u003d 11.

Στο κελί A3, εισαγάγετε την τιμή: a = 1. Ακρίβεια - τρία δεκαδικά ψηφία. Για να υπολογίσετε την τρέχουσα τιμή του x στο διπλανό κελί (B3), εισαγάγετε τον τύπο: =IF(B3=0;A3;B3-(-B3+POWER(B3;3)-1/11)).

Στο κελί C3, ελέγχουμε την τιμή του f (x): χρησιμοποιώντας τον τύπο =B3-POWER(B3;3)+1.

Η ρίζα της εξίσωσης είναι 1,179. Εισαγάγετε την τιμή 2 στο κελί A3. Έχουμε το ίδιο αποτέλεσμα:

Υπάρχει μόνο μία ρίζα σε ένα δεδομένο διάστημα.

Κατά προσέγγιση αριθμητικές μεθόδους

ΛΥΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ με έναν άγνωστο.

Μια εξίσωση με έναν άγνωστο μπορεί να γραφτεί με την κανονική μορφή

Η λύση της εξίσωσης είναι να βρεθούν οι ρίζες, δηλ. τιμές του x που μετατρέπουν την εξίσωση σε ταυτότητα. Ανάλογα με το ποιες συναρτήσεις περιλαμβάνονται στην εξίσωση, χωρίζονται δύο μεγάλες κατηγορίες εξισώσεων - οι αλγεβρικές και οι υπερβατικές. Μια συνάρτηση ονομάζεται αλγεβρική εάν, για να ληφθεί η τιμή της συνάρτησης από δεδομένη αξία x πρέπει να εκτελέσει αριθμητικές πράξεις και εκπτώσεις. Οι υπερβατικές συναρτήσεις περιλαμβάνουν εκθετική, λογαριθμική, τριγωνομετρική άμεση και αντίστροφη κ.λπ.

Μπορείτε να βρείτε τις ακριβείς τιμές των ριζών μόνο στο εξαιρετικές περιπτώσεις. Κατά κανόνα, χρησιμοποιούνται μέθοδοι κατά προσέγγιση υπολογισμού των ριζών με δεδομένο βαθμό ακρίβειας Ε. Αυτό σημαίνει ότι εάν διαπιστωθεί ότι η επιθυμητή ρίζα βρίσκεται μέσα στο διάστημα , όπου a είναι το αριστερό περίγραμμα και b είναι το δεξί όριο του το διάστημα και το μήκος του διαστήματος (β-α)<= E, то за приближенное значение корня можно принять любое число, находящееся внутри этого интервала.

Η διαδικασία εύρεσης των κατά προσέγγιση τιμών των ριζών χωρίζεται σε δύο στάδια: 1) διαχωρισμός των ριζών και 2) εξευγενισμός των ριζών σε δεδομένο βαθμό ακρίβειας. Ας εξετάσουμε αυτά τα στάδια με περισσότερες λεπτομέρειες.

1.1 Διαχωρισμός ριζών.

Οποιαδήποτε ρίζα μιας εξίσωσης θεωρείται ότι είναι διαχωρισμένη σε ένα τμήμα εάν η εξίσωση υπό μελέτη δεν έχει άλλες ρίζες σε αυτό το τμήμα.

Για να διαχωρίσετε τις ρίζες σημαίνει να διαιρέσετε ολόκληρο το εύρος των αποδεκτών τιμών του x σε τμήματα, καθένα από τα οποία περιέχει μόνο μία ρίζα. Αυτή η λειτουργία μπορεί να πραγματοποιηθεί με δύο τρόπους - γραφικό και πίνακα.

Αν η συνάρτηση f (x) είναι τέτοια που είναι εύκολο να δημιουργηθεί ένα ποιοτικό γράφημα της μεταβολής της, τότε σύμφωνα με αυτό το γράφημα, βρίσκονται χονδρικά δύο αριθμοί, μεταξύ των οποίων βρίσκεται ένα σημείο τομής της συνάρτησης με τον άξονα x. Μερικές φορές, για να διευκολυνθεί η κατασκευή, είναι σκόπιμο να αναπαραστήσετε την αρχική κανονική εξίσωση με τη μορφή f 1 (x) = f 2 (x), στη συνέχεια να σχεδιάσετε τα γραφήματα αυτών των συναρτήσεων και τα τετμημένα της τομής των γραφημάτων χρησιμεύουν ως οι ρίζες αυτής της εξίσωσης.

Με την παρουσία υπολογιστή, η μέθοδος διαχωρισμού των ριζών με πίνακα είναι πιο κοινή. Συνίσταται στον πίνακα της συνάρτησης f(x) όταν αλλάζει το x από μια ορισμένη τιμή του x αρχική σε μια τιμή x τελικό με ένα βήμα dx. Το καθήκον είναι να βρείτε σε αυτόν τον πίνακα δύο τέτοιες γειτονικές τιμές x για τις οποίες η συνάρτηση έχει διαφορετικά πρόσημα. Ας υποθέσουμε ότι βρίσκονται δύο τέτοιες τιμές a και b=a+dx, δηλ. f(a)*f(b)<0. Тогда согласно теореме Больцано-Коши внутри отрезка , если функция f(x) непрерывна, существует точка с, в которой f(c)=0. EXCEL позволяет легко реализовать оба способа отделения корней. Рассмотрим их на примере.

Παράδειγμα 1.1.

Απαιτείται ο διαχωρισμός των ριζών της εξίσωσης

Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να συνθέσετε τη συνάρτηση f (X) \u003d exp (X) - 10 * X, γραμμένη σύμφωνα με τους κανόνες EXCEL και να δημιουργήσετε το γράφημά της όταν το X αλλάζει από κάποια αρχή X σε X τελειώνει με ένα βήμα dX . Έστω πρώτα αυτές οι τιμές ως εξής: X αρχή = 0, X τέλος = 5, dX = 0,5. Εάν, εντός αυτών των ορίων αλλαγής στο X, δεν καταφέρουμε να διαχωρίσουμε μία μόνο ρίζα, τότε θα χρειαστεί να ορίσουμε νέες αρχικές και τελικές τιμές του x και, ίσως, να αλλάξουμε το βήμα.

Για την κατασκευή ενός πίνακα, καλό είναι να χρησιμοποιήσετε έναν ειδικό υπορουτίνα TABLE. Για να το κάνετε αυτό, σε ένα νέο φύλλο εργασίας στο κελί B1, πληκτρολογήστε το κείμενο: DEPARTMENT OF ROOTS. Στη συνέχεια, στο κελί A2, πληκτρολογήστε το κείμενο: x και στο κελί B2 δίπλα του, πληκτρολογήστε το κείμενο: f (x). Στη συνέχεια, αφήνουμε το κελί A3 κενό, αλλά στο κελί B3 εισάγουμε τον τύπο της υπό μελέτη συνάρτησης σύμφωνα με τους κανόνες EXCEL, δηλαδή

Στη συνέχεια, συμπληρώστε την αριθμητική σειρά των αλλαγών X στις γραμμές A4:A14 από το 0 έως το 5 με βήμα 0,5.

Επιλέξτε το μπλοκ των κελιών A3:B14. Τώρα ας δώσουμε την εντολή μενού Πίνακας δεδομένων. Τα αποτελέσματα του πίνακα θα τοποθετηθούν στο μπλοκ κελιών B4:B14. Για να τα κάνετε πιο οπτικά, πρέπει να μορφοποιήσετε το μπλοκ B4:B14 έτσι ώστε οι αρνητικοί αριθμοί να έχουν κόκκινο χρώμα. Σε αυτή την περίπτωση, είναι εύκολο να βρεθούν δύο γειτονικές τιμές του X για τις οποίες οι τιμές συνάρτησης έχουν διαφορετικά πρόσημα. Θα πρέπει να λαμβάνονται ως τα άκρα του διαστήματος διαχωρισμού των ριζών. Στην περίπτωσή μας, υπάρχουν δύο τέτοια διαστήματα, όπως φαίνεται από τον πίνακα - και [3.5;4].

Στη συνέχεια, θα πρέπει να σχεδιάσουμε τη συνάρτησή μας επιλέγοντας το μπλοκ A4:B14 και καλώντας Master Chart. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε στην οθόνη ένα διάγραμμα της αλλαγής του f (X), από το οποίο είναι ορατά τα ακόλουθα διαστήματα για τον διαχωρισμό των ριζών.

Εάν τώρα αλλάξετε τις αριθμητικές τιμές του x στο μπλοκ A4:A14, τότε οι τιμές συνάρτησης στα κελιά B4:B14 και το γράφημα θα αλλάξουν αυτόματα.

1.2 Εξευγενισμός ριζών: μέθοδος επανάληψης.

Για να βελτιώσετε τη ρίζα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο επανάληψης, θα πρέπει να καθοριστούν τα ακόλουθα:

Η ίδια η μέθοδος μπορεί να χωριστεί σε δύο στάδια:
α) μετάβαση από την κανονική μορφή γραφής της εξίσωσης f(X)=0 στην επαναληπτική μορφή X = g(X),
β) υπολογιστική επαναληπτική διαδικασία για την ενημέρωση της ρίζας.

Μπορείτε να μεταβείτε από την κανονική μορφή της εξίσωσης στην επαναληπτική με διάφορους τρόπους, είναι σημαντικό μόνο ότι σε αυτήν την περίπτωση επαρκής συνθήκη για τη σύγκλιση της μεθόδου: çg’(X)ç<1 на , δηλ. ο συντελεστής της πρώτης παραγώγου της επαναληπτικής συνάρτησης πρέπει να είναι μικρότερος από 1 στο διάστημα . Επιπλέον, όσο μικρότερος είναι αυτός ο συντελεστής, τόσο μεγαλύτερος είναι ο ρυθμός σύγκλισης.

Η υπολογιστική διαδικασία της μεθόδου είναι η εξής. Επιλέγουμε την αρχική προσέγγιση, συνήθως ίση με X 0 = (a+b)/2. Στη συνέχεια υπολογίζουμε X 1 =g(X 0) και D= X 1 - X 0 . Εάν η ενότητα Δ<= E, то X 1 является корнем уравнения. В противном случае переходим ко второй итерации: вычисляем Х 2 =g(X 1) и новое значение D=X 2 - X 1 . Опять проводим проверку на точность и при необходимости продолжаем итерации. Если g(X) выбрано правильно и удовлетворяет достаточному условию сходимости, то эта итерирующая процедура сойдется к корню. Следует отметить, что от знака g’(X) зависит характер сходимости: για g’(X)>0 η σύγκλιση θα είναι μονότονη, δηλ. με αυξανόμενες επαναλήψεις, το D θα προσεγγίζει το Ε μονοτονικά (χωρίς να αλλάζει πρόσημο), ενώ για g'(X)<0 сходимость будет колебательной , δηλ. Το D θα πλησιάσει το E modulo, αλλάζοντας πρόσημο σε κάθε επανάληψη.

Εξετάστε την εφαρμογή της μεθόδου επανάληψης στο EXCEL χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 1.2

Ας τελειοποιήσουμε με επανάληψη την τιμή των ριζών που χωρίζονται στο Παράδειγμα 2.1. Έστω λοιπόν f(X)= exp(X) - 10*X, για την πρώτη ρίζα a=0 και b=0,5. Έστω E=0,00001. Πώς να επιλέξετε μια επαναληπτική συνάρτηση; Για παράδειγμα, άρα g(X)=0,1*exp(X). Στο διάστημα çg’(X)ç<1 и достаточное условие сходимости выполняется. Кроме того, эта производная >1 στο διάστημα και ο χαρακτήρας της σύγκλισης θα είναι μονότονος.

Ας προγραμματίσουμε τη μέθοδο επανάληψης για αυτό το παράδειγμα στο ίδιο φύλλο εργασίας όπου κάναμε τον διαχωρισμό των ριζών. Στο κελί A22, πληκτρολογήστε τον αριθμό ίσο με 0. Στο κελί B22, γράψτε τον τύπο =0.1*EXP(A22) και στο κελί C22 τον τύπο =A22-B22. Έτσι, η γραμμή 22 περιέχει τα δεδομένα για την πρώτη επανάληψη. Για να λάβουμε δεδομένα για τη δεύτερη επανάληψη στη γραμμή 23, αντιγράφουμε τα περιεχόμενα του κελιού B22 στο κελί A23, γράφοντας τον τύπο =B22 στο A23. Στη συνέχεια, πρέπει να αντιγράψετε τους τύπους των κελιών B22 και C22 στα κελιά B23 και C23. Για να λάβετε δεδομένα από όλες τις άλλες επαναλήψεις, επιλέξτε τα κελιά A23, B23, C23 και αντιγράψτε τα περιεχόμενά τους στο μπλοκ A24:C32. Μετά από αυτό, θα πρέπει να αναλύσετε την αλλαγή D \u003d X - g (X) στη στήλη C, βρείτε το D<0,00001 по модулю и выбрать соответствующее ему значение Х из столбца А. Это и есть приближенное значение корня.

Για μεγαλύτερη σαφήνεια, μπορείτε να δημιουργήσετε ένα διάγραμμα για τη μέθοδο επανάληψης. Επιλέγοντας το μπλοκ A22:C32 και χρησιμοποιώντας Οδηγός γραφήματος, παίρνουμε τρία γραφήματα αλλαγών στα X, g (X) και D ανάλογα με τον αριθμό των επαναλήψεων, για τις οποίες βήμα 3 από 5επιλέξτε μορφή 2 και συνεχίστε βήμα 4 από 5Για να κατασκευάσετε το διάγραμμα, πρέπει να αντιστοιχίσετε μηδέν στήλες για ετικέτες του άξονα X. Τώρα η μονοτονική φύση της σύγκλισης D είναι σαφώς ορατή.

Για να βελτιώσετε τη δεύτερη ρίζα αυτής της εξίσωσης στο διάστημα , πρέπει να επιλέξετε μια άλλη επαναληπτική συνάρτηση, έτσι ώστε η πρώτη της παράγωγος να είναι μικρότερη από μία σε απόλυτη τιμή. Επιλέξτε g(X)= LN(X)+LN(10). Στο κελί A22 θα εισαγάγουμε ένα νέο X0 = 3,75 και στο κελί B22 - έναν νέο τύπο =LN(A22)+LN(10). Ας αντιγράψουμε τον τύπο από το B22 στο μπλοκ B23:B32 και ας λάβουμε αμέσως νέα δεδομένα και ένα ανακατασκευασμένο γράφημα. Ας προσδιορίσουμε την κατά προσέγγιση τιμή της δεύτερης ρίζας.

1.3 Εξευγενισμός ριζών: Μέθοδος Newton.

Για να τελειοποιήσετε τη ρίζα με τη μέθοδο του Newton, θα πρέπει να δοθούν τα ακόλουθα:

1) η εξίσωση f(X) = 0 και f(X) πρέπει να δοθεί με τη μορφή τύπου,

2) οι αριθμοί α - το αριστερό περίγραμμα και β - το δεξί όριο του διαστήματος, μέσα στο οποίο βρίσκεται μια ρίζα,

3) ο αριθμός Ε είναι η δεδομένη ακρίβεια απόκτησης της ρίζας,

4) η συνάρτηση f(X) πρέπει να είναι δύο φορές διαφοροποιήσιμη και οι τύποι f’(X) και f”(X) πρέπει να είναι γνωστοί.

Η μέθοδος συνίσταται σε επαναληπτικούς υπολογισμούς της ακολουθίας

X i+1 = X i - f(X i)/f’(X i), όπου i=0,1,2, ...,

προχωρώντας από την αρχική προσέγγιση Χ 0 που ανήκει στο διάστημα και ικανοποιεί τη συνθήκη f(X 0)*f”(X 0)>0. Επαρκείς προϋποθέσεις για σύγκλισημέθοδος είναι ότι η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος της υπό μελέτη συνάρτησης πρέπει να διατηρούν το πρόσημά τους στο διάστημα . Ως αρχική προσέγγιση, συνήθως επιλέγεται είτε το a είτε το b, ανάλογα με το ποιο από αυτά αντιστοιχεί στον τύπο επιλογής Χ 0.

Η μέθοδος του Νεύτωνα επιτρέπει μια απλή γεωμετρική ερμηνεία. Εάν μια εφαπτομένη στην καμπύλη f(X) σύρεται μέσα από ένα σημείο με συντεταγμένες (X i ;f(X i)) τότε η τετμημένη του σημείου τομής αυτής της εφαπτομένης με τον άξονα 0Χ είναι η επόμενη προσέγγιση της ρίζας Χ. i+1 .

Η μέθοδος του Newton μπορεί να θεωρηθεί ως κάποια τροποποίηση της μεθόδου επανάληψης που δίνει την καλύτερη συνάρτηση επανάληψης g(X) σε κάθε βήμα επανάληψης. Ας πραγματοποιήσουμε τους παρακάτω μετασχηματισμούς με την αρχική κανονική εξίσωση f(X)=0. Ας πολλαπλασιάσουμε το αριστερό και το δεξί μέρος του με κάποιον μη μηδενικό αριθμό l. Στη συνέχεια προσθέτουμε αριστερά και δεξιά κατά μήκος του Χ. Τότε θα έχουμε

X \u003d g (X) \u003d X + l * f (X).

Διαφοροποιώντας το g(X), παίρνουμε g'(X) = 1 + l*f'(X). Από επαρκή συνθήκη για τη σύγκλιση της μεθόδου επανάληψης çg’(X)ç<1. Потребуем, чтобы на i-том шаге итерации сходимость была самой быстрой, т.е. çg’(X i)ç =0. Тогда l=-1/ f’(X i) и мы пришли к методу Ньютона.

Η υπολογιστική διαδικασία της μεθόδου είναι η εξής. Επιλέγουμε την αρχική προσέγγιση X 0 , συνήθως ίση με a ή b. Στη συνέχεια υπολογίστε X 1 = X 0 - f(X 0)/f’(X 0) και D= X 1 - X 0 . Εάν η ενότητα Δ<= E, то X 1 является корнем уравнения. В противном случае переходим ко второй итерации: вычисляем Х 2 и новое значение D=X 2 - X 1 . Опять проводим проверку на точность и при необходимости продолжаем итерации. Если X 0 выбрано правильно, а функция удовлетворяет достаточному условию сходимости, то эта итерирующая процедура быстро сойдется к корню.

Παράδειγμα 1.3.

Ας κάνουμε πιο συγκεκριμένη την τιμή της ρίζας που χωρίζεται στο Παράδειγμα 1.1 με τη μέθοδο του Newton. Έστω λοιπόν f(X)= exp(X) - 10*X, για την πρώτη ρίζα a=0 και b=0,5. Έστω E=0,00001. Οι τύποι για την πρώτη και τη δεύτερη παράγωγο του f(X) είναι οι εξής

f’(X) = exp(X) - 10 και f”(X) = exp(X).

Προφανώς, X 0 = a = 0, γιατί f(0)*f”(0) = 1 >0.

Για να λάβουμε δεδομένα για τη δεύτερη επανάληψη στη γραμμή 43, αντιγράφουμε τα περιεχόμενα του κελιού D42 στο κελί A43, γράφοντας τον τύπο =D42 στο A43. Στη συνέχεια, πρέπει να αντιγράψετε τους τύπους των κελιών B42, C42, D42, E42 στα κελιά B43, C43, D43, E43. Για να λάβετε τα δεδομένα όλων των άλλων επαναλήψεων, είναι απαραίτητο να επιλέξετε τα κελιά στη γραμμή 43 και να αντιγράψετε το περιεχόμενό τους στο μπλοκ A44:E47. Μετά από αυτό, θα πρέπει να αναλύσετε την αλλαγή στο D στη στήλη Ε, να βρείτε το D<0,00001 по модулю и выбрать соответствующее ему значение Х из столбца А. Это и есть приближенное значение корня. При правильно введенных формулах метод Ньютона сходится за 3 или 4 итерации. Поэтому строить диаграмму для этого метода нет необходимости.

1.4. Βελτίωση των ριζών: η μέθοδος διχοτόμησης (διαιρώντας το τμήμα στη μέση).

Για να τελειοποιήσετε τη ρίζα με τη μέθοδο διχοτόμησης, θα πρέπει να δοθούν τα ακόλουθα:

1) η εξίσωση f(X) = 0 και f(X) πρέπει να δοθεί με τη μορφή τύπου,

2) οι αριθμοί α - το αριστερό περίγραμμα και β - το δεξί όριο του διαστήματος, μέσα στο οποίο βρίσκεται μια ρίζα,

3) ο αριθμός Ε - η δεδομένη ακρίβεια απόκτησης της ρίζας.

Θυμηθείτε ότι η συνάρτηση f(X) έχει διαφορετικά πρόσημα στα άκρα του διαστήματος. Η υπολογιστική διαδικασία της μεθόδου είναι ότι σε κάθε βήμα επανάληψης του διαστήματος επιλέγεται ένα ενδιάμεσο σημείο c ώστε να είναι το μέσο του διαστήματος, δηλαδή c=(a+b)/2. Τότε το διάστημα θα διαιρεθεί από αυτό το σημείο σε δύο ίσα τμήματα και , τα μήκη των οποίων είναι ίσα με (b-a)/2. Από τα δύο τμήματα που προέκυψαν, επιλέγουμε αυτό στα άκρα του οποίου η συνάρτηση f(X) παίρνει τιμές αντίθετων προσώπων. Ας το χαρακτηρίσουμε ξανά ως . Αυτό τελειώνει την πρώτη επανάληψη. Στη συνέχεια, διαιρούμε ξανά το νέο τμήμα στη μέση και πραγματοποιούμε τη δεύτερη και τις επόμενες επαναλήψεις. Η διαδικασία διαίρεσης του τμήματος στο μισό εκτελείται έως ότου, σε κάποιο Κ-ο βήμα, το τμήμα που λήφθηκε πρόσφατα γίνει μικρότερο ή ίσο με την τιμή ακρίβειας Ε. Η τιμή του βήματος Κ μπορεί εύκολα να υπολογιστεί από τον τύπο

(β-α)/2 κ<=E,

όπου a και b είναι οι αρχικές τιμές των αριστερών και δεξιών ορίων του διαστήματος.

Η μέθοδος διχοτόμησης συγκλίνει για οποιεσδήποτε συνεχείς συναρτήσεις, συμπεριλαμβανομένων των μη διαφοροποιήσιμων.

Παράδειγμα 1.4.

Ας κάνουμε πιο συγκεκριμένη την τιμή της ρίζας που χωρίζεται στο Παράδειγμα 1.1 με τη μέθοδο διχοτόμησης. Έστω λοιπόν f(X)= exp(X) - 10*X, για την πρώτη ρίζα a=0 και b=0,5. Έστω E=0,00001.

Ας προγραμματίσουμε τη μέθοδο διχοτόμησης για αυτό το παράδειγμα στο ίδιο φύλλο εργασίας όπου κάναμε τον διαχωρισμό των ριζών. Στα κελιά A52 και B52, πρέπει να εισαγάγετε τις αριθμητικές τιμές των a και b, στο κελί C52 - τον τύπο \u003d (A52 + B52) / 2. Στη συνέχεια, στο κελί D52, εισαγάγετε τον τύπο =EXP(A52)-10*A52, στο κελί E52 - τύπος =EXP(C52)-10*C52, στο κελί F52 - τύπος =D52*E52 και, τέλος, στο κελί G52, γράψτε τον τύπο =B52-A52. Στη γραμμή 52, δημιουργήσαμε την πρώτη επανάληψη. Στη δεύτερη επανάληψη, οι τιμές στα κελιά A53 και B53 εξαρτώνται από το πρόσημο του αριθμού στο κελί F52. Αν F52>0, τότε η τιμή του A53 είναι ίση με C52. Διαφορετικά, πρέπει να είναι ίσο με Α52. Στο κελί B53, ισχύει το αντίθετο: εάν F52<0, то значение В53 равно С52, иначе В52.

Η ενσωματωμένη λειτουργία EXCEL, η οποία ονομάζεται IF, θα βοηθήσει στην επίλυση αυτής της δυσκολίας. Ας κάνουμε το τρέχον κελί A53. Στη γραμμή τύπων, δίπλα στο πράσινο σημάδι επιλογής, κάντε κλικ στο κουμπί με την εικόνα f(x). Δήθεν Master Function. Στο παράθυρο διαλόγου που εμφανίζεται, επιλέξτε στο πεδίο Κατηγορίες Λειτουργίεςκατηγορία σπαζοκεφαλιά, και στο χωράφι Όνομα συνάρτησης- όνομα IF. Στο δεύτερο βήμα του διαλόγου, συμπληρώστε τα τρία ελεύθερα πεδία ως εξής: στο πεδίο Boolean_expressionπληκτρολογήστε "F52>0" (φυσικά, χωρίς εισαγωγικά!), στο πεδίο value_if_trueεισάγετε C52 και στο πεδίο value_if_false- Α52. Ας κάνουμε κλικ στο κουμπί φινίρισμα. Αυτό είναι όλο.

Το ίδιο πρέπει να γίνει και με το κελί B53. Μόνο boolean έκφρασηθα είναι "F52<0”, value_if_trueθα είναι C52, και value_if_falseαντίστοιχα Β52.

Στη συνέχεια, πρέπει να αντιγράψετε τους τύπους στο μπλοκ κελιών C52:G52 στο μπλοκ C53:G53. Μετά από αυτό, η δεύτερη επανάληψη θα πραγματοποιηθεί στη γραμμή 53. Για να λάβετε τις επόμενες επαναλήψεις, αρκεί να αντιγράψετε τους τύπους από τη γραμμή 53 στο μπλοκ A53:E53 στο μπλοκ A54:E68. Στη συνέχεια, ως συνήθως, θα πρέπει να βρείτε μια σειρά στη στήλη Ε όπου η τιμή του D θα είναι μικρότερη από το E. Τότε ο αριθμός στη στήλη C σε αυτήν τη σειρά είναι η κατά προσέγγιση τιμή της ρίζας.

Μπορείτε να σχεδιάσετε τις αλλαγές στις τιμές στις στήλες A, B και C από την πρώτη επανάληψη έως την τελευταία επανάληψη. Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε ένα μπλοκ κελιών A52:C68. Δείτε το παράδειγμα 1.2 για περαιτέρω οδηγίες.

Ας προσδιορίσουμε την τιμή της ρίζας που διαχωρίζεται στο παράδειγμα 1.1. Έστω λοιπόν f(X)= exp(X) - 10*X. Ας βρούμε μια ρίζα που βρίσκεται στο διάστημα . Ας αφήσουμε το κελί Α70 κενό. Στο κελί B70, γράψτε τον τύπο =EXP(A70)-10*A70. Επιλέξτε εντολή μενού Υπηρεσία- Επιλογή παραμέτρων. Θα ανοίξει ένα παράθυρο διαλόγου Επιλογή παραμέτρων, στην οποία στο χωράφι Ρύθμιση στο κελίγράψτε B70, στο πεδίο Εννοιαεισάγετε 0 (μηδέν) στο πεδίο Αλλαγή κελιούας πούμε Α70. Κάντε κλικ στο κουμπί OK και θα εμφανιστεί ένα νέο παράθυρο διαλόγου που δείχνει το αποτέλεσμα της λειτουργίας. Στο παράθυρο Κατάσταση απόφασηςθα εμφανιστεί η τιμή που βρέθηκε. Τώρα, εάν κάνετε κλικ στο κουμπί OK, η τιμή ρίζας που βρέθηκε θα εισαχθεί στο κελί A70 και η τιμή της συνάρτησης θα εισαχθεί στο κελί B70.

Για να βρείτε μια άλλη ρίζα που βρίσκεται στο διάστημα, είναι απαραίτητο να αλλάξετε την αρχική προσέγγιση, η οποία στον πίνακα μας βρίσκεται στο κελί A70. Ας γράψουμε σε αυτό το κελί ένα από τα όρια του διαστήματος, για παράδειγμα, 4, και ας εκτελέσουμε ξανά τη διαδικασία επιλογής παραμέτρων. Τα περιεχόμενα των κελιών A70 και B70 θα αλλάξουν, τώρα οι συντεταγμένες της μεγαλύτερης ρίζας θα εμφανίζονται σε αυτά τα κελιά.

2. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Γενικά, το σύστημα των γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων γράφεται ως εξής: a 11 x 1 +a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1

a 21 x 1 +a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2

......................

a n1 x n +a n2 x 2 +... +a nn x n = b n

Γράφουμε το σύνολο των συντελεστών αυτού του συστήματος με τη μορφή τετραγωνικού πίνακα ΕΝΑαπό nγραμμές και nστήλες

a 11 a 12 ... a 1n

a 21 a 22 ... a 2n

a n1 a n2 ... a nn

Χρησιμοποιώντας λογισμό πινάκων, το αρχικό σύστημα εξισώσεων μπορεί να γραφτεί ως

A * X \u003d B,

όπου Χ- διάνυσμα στήλης αγνώστων διαστάσεων n, ένα ΣΤΟ- διάνυσμα-στήλη ελεύθερων μελών, επίσης διάσταση n.

Αυτό το σύστημα ονομάζεται άρθρωσηεάν έχει τουλάχιστον μία λύση, και βέβαιοςαν έχει μία μόνο λύση. Αν όλοι οι ελεύθεροι όροι είναι ίσοι με μηδέν, τότε το σύστημα καλείται ομοιογενής.

Απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για την ύπαρξη μοναδικής λύσης στο σύστημα είναι η συνθήκη DET=0, όπου DET είναι η ορίζουσα του πίνακα ΑΛΛΑ. Στην πράξη, κατά τον υπολογισμό σε υπολογιστή, δεν είναι πάντα δυνατό να ληφθεί η ακριβής ισότητα του DET στο μηδέν. Όταν το DET είναι κοντά στο μηδέν, τα συστήματα λέγεται ότι είναι κακώς ρυθμισμένα. Όταν επιλύονται σε υπολογιστή, μικρά σφάλματα στα αρχικά δεδομένα μπορεί να οδηγήσουν σε σημαντικά σφάλματα στη λύση. Η συνθήκη DET~0 είναι απαραίτητη για να είναι το σύστημα κακώς προετοιμασμένο, αλλά όχι επαρκής. Επομένως, κατά την επίλυση ενός συστήματος σε έναν υπολογιστή, είναι απαραίτητο να εκτιμηθεί το σφάλμα που σχετίζεται με τον περιορισμό του πλέγματος bit του υπολογιστή.

Υπάρχουν δύο ποσότητες που χαρακτηρίζουν το βαθμό απόκλισης του ληφθέντος διαλύματος από το ακριβές. Αφήνω Hkείναι η αληθινή λύση του συστήματος, Xc- η λύση που λαμβάνεται με τη μία ή την άλλη μέθοδο σε υπολογιστή και, στη συνέχεια, το σφάλμα της λύσης:
E \u003d Xk - Xc. Η δεύτερη τιμή είναι η απόκλιση ίση με R = B - A*Xc. Σε πρακτικούς υπολογισμούς, η ακρίβεια ελέγχεται χρησιμοποιώντας υπολείμματα, αν και αυτό δεν είναι απολύτως σωστό.

2.1. μέθοδος μήτρας.

Το EXCEL καθιστά δυνατή την επίλυση ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων μέθοδος μήτρας, δηλ.

X \u003d A -1 * B.

Έτσι, ο αλγόριθμος για την επίλυση του συστήματος με τη μέθοδο του πίνακα μπορεί να αναπαρασταθεί ως η ακόλουθη ακολουθία υπολογιστικών διαδικασιών:

1) λάβετε μήτρα Α'1, το αντίστροφο του πίνακα ΑΛΛΑ;

2) λάβετε τη λύση του συστήματος με τον τύπο Xc \u003d A -1 * B;

3) Υπολογίστε ένα νέο διάνυσμα ελεύθερων όρων Ήλιος \u003d A * Xs;

4) Υπολογίστε το υπόλοιπο R=B-Bc;

5) λάβετε τη λύση του συστήματος με τον τύπο dXc \u003d A -1 * R;

6) συγκρίνετε όλα τα διανυσματικά στοιχεία dXc modulo με δεδομένο σφάλμα E: αν όλα είναι μικρότερα από E, τότε ολοκληρώστε τους υπολογισμούς, διαφορετικά επαναλάβετε τους υπολογισμούς από το στοιχείο 2, όπου Xc = Xc + dXc.

Εξετάστε τη μέθοδο μήτρας για την επίλυση του συστήματος χρησιμοποιώντας EXCEL χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 2.1.

Λύστε ένα σύστημα εξισώσεων

20,9x1 + 1,2x2 + 2,1x3 + 0,9x4 = 21,7

1,2x1 +21,2x2 + 1,5x3 + 2,5x4 = 27,46

2,1x1 + 1,5x2 +19,8x3 + 1,3x4 = 28,76

0,9x1 + 2,5x2 + 1,3x3 +32,1x4 = 49,72

Το EXCEL έχει τις ακόλουθες ενσωματωμένες συναρτήσεις που υλοποιούν υπολογισμούς μήτρας:

α) MOBR - αντιστροφή μήτρας,

β) MULTIP - πολλαπλασιασμός δύο πινάκων,

γ) MOPRED - υπολογισμός της ορίζουσας μήτρας.

Όταν χρησιμοποιείτε αυτές τις συναρτήσεις, είναι σημαντικό να τακτοποιείτε σωστά και συμπαγή τα μπλοκ των κελιών στο φύλλο εργασίας που αντιστοιχούν στην πηγή και τους πίνακες εργασίας και τα διανύσματα στηλών. Ανοίξτε ένα νέο φύλλο εργασίας κάνοντας κλικ στην καρτέλα της επιλογής σας. Πάρτε κάτω από τη μήτρα ΑΛΛΑμπλοκ κελιών A3:D6. Για λόγους σαφήνειας, το περικλείουμε σε μαύρο πλαίσιο. Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε το μπλοκ A3:D6, δώστε την εντολή μενού Μορφή - Κελιάκαι στο παράθυρο διαλόγου που ανοίγει, επιλέξτε την καρτέλα Πλαίσιο. Θα ανοίξει ένα νέο παράθυρο διαλόγου, στο οποίο κάνουμε κλικ στο πεδίο Πλαίσιο - Περίγραμμακαι επιλέξτε στο πεδίο Πλαίσιο- Στυλτο παχύτερο πλάτος γραμμής. Επιβεβαιώστε την απόφασή σας κάνοντας κλικ στο κουμπί ΟΚ. Τώρα επιλέξτε το μπλοκ A8:D11 για τον πίνακα Α'1και επίσης περικλείστε το σε μαύρο πλαίσιο, ακολουθώντας τα βήματα παρόμοια με το μπλοκ μήτρας ΑΛΛΑ. Στη συνέχεια, επιλέξτε μπλοκ κελιών για διανύσματα στηλών (περιγράφοντας τα με μαύρο πλαίσιο): μπλοκ F8:F11 - για διάνυσμα ΣΤΟ, μπλοκ H8:H11 - κάτω από το διάνυσμα Xs Α -1 *Β, μπλοκ H3:H6 - κάτω από το διάνυσμα Ήλιοςπου προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό A*Xs, και για λόγους σαφήνειας, επιλέγουμε ένα πρόσθετο μπλοκ F3:F6, όπου αντιγράφουμε τα στοιχεία του διανύσματος Xsαπό το μπλοκ H8:H11. Και τέλος, θα εισαγάγουμε το σύμβολο πολλαπλασιασμού * στα κελιά Ε4 και Ε9 και το σύμβολο ίσου = στα κελιά G4 και G9, στη συνέχεια, επιλέγοντας με τη σειρά τις στήλες E και G, θα δώσουμε την εντολή μενού Μορφή - Στήλη - Προσαρμογή πλάτους. Έτσι, ετοιμάσαμε ένα φύλλο εργασίας για την επίλυση του προβλήματός μας.

Ας εισάγουμε τα αρχικά δεδομένα: αριθμοί μήτρας ΑΛΛΑστα κελιά του μπλοκ A3:D6 και τους αριθμούς του διανύσματος των ελεύθερων μελών ΣΤΟ- στα κελιά του μπλοκ F8:F11.

Ξεκινάμε τον αλγόριθμο αντιστρέφοντας τον πίνακα ΑΛΛΑ. Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε το μπλοκ A8:D11, όπου θα πρέπει να τοποθετηθεί το αποτέλεσμα της λειτουργίας. Αυτό το μπλοκ θα γίνει μαύρο, εκτός από το κελί A8. Ας κάνουμε κλικ στο κουμπί fxστον πίνακα Πρότυποκάνοντας μια κλήση Οδηγοί λειτουργιών. Θα ανοίξει ένα παράθυρο διαλόγου στο οποίο από το πεδίο Κατηγορία χαρακτηριστικώνεπιλέξτε μια σειρά Χαλάκι. και τριγωνομετρία, και από το χωράφι Όνομα συνάρτησης- γραμμή MOBR. Ας προχωρήσουμε στο δεύτερο βήμα του διαλόγου κάνοντας κλικ στο κουμπί Βήμα>. Εδώ στο χωράφι πίνακαςπρέπει να πληκτρολογήσετε A3: D6 από το πληκτρολόγιο, το οποίο αντιστοιχεί στο μπλοκ των κελιών που καταλαμβάνει ο πίνακας ΑΛΛΑ. Κάνοντας κλικ στο κουμπί φινίρισμα, μπορείτε να δείτε ότι στο μπλοκ A8:D11 συμπληρώνεται μόνο το κελί A8. Για να ολοκληρωθεί η λειτουργία κλήσης, το EXCEL απαιτεί δύο ακόμη βήματα. Πρώτα πρέπει να ενεργοποιήσετε τη γραμμή τύπων κάνοντας κλικ σε αυτήν (οπουδήποτε στη γραμμή!) - ο δρομέας του ποντικιού θα λάβει τη μορφή I. Ο έλεγχος της ορθότητας των ενεργειών σας θα είναι η εμφάνιση τεσσάρων κουμπιών στα αριστερά του τύπου γραμμή, συμπεριλαμβανομένης της πράσινης ένδειξης επιλογής. Μετά από αυτό, πατήστε το πλήκτρο "Ctrl" στο πληκτρολόγιο, στη συνέχεια χωρίς να το απελευθερώσετε - το πλήκτρο "Shift" και χωρίς να το απελευθερώσετε - το πλήκτρο "Enter", δηλ. με αποτέλεσμα να πατηθούν και τα τρία πλήκτρα ταυτόχρονα! Τώρα ολόκληρο το μπλοκ A8:D11 θα γεμίσει με αριθμούς και μπορείτε να επιλέξετε το μπλοκ H8:H11 για να ξεκινήσετε τη λειτουργία πολλαπλασιασμού Α -1 *Β.

Με επιλεγμένο αυτό το μπλοκ, καλέστε ξανά Οδηγός λειτουργιώνκαι στο χωράφι Όνομα συνάρτησης- επιλέξτε τη λειτουργία MULTIP. Κάνοντας κλικ στο κουμπί Βήμα>, ας προχωρήσουμε στο δεύτερο βήμα του διαλόγου, όπου στο πεδίο Πίνακας 1εισάγετε τη διεύθυνση А8:D11 και στο πεδίο Πίνακας 2- διεύθυνση F8:F11. Ας κάνουμε κλικ στο κουμπί φινίρισμακαι βρείτε ότι στο μπλοκ H8:H11 είναι γεμάτο μόνο το κελί H8. Ενεργοποιήστε τη γραμμή τύπων (πρέπει να εμφανιστεί ένα πράσινο σημάδι επιλογής!) Και, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο που περιγράφεται παραπάνω, πατήστε ταυτόχρονα τα τρία πλήκτρα "Ctrl"-"Shift"-"Enter". Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού θα εμφανιστεί στο μπλοκ H8:H11.

Για να ελέγξουμε την ακρίβεια της ληφθείσας λύσης του συστήματος, εκτελούμε την πράξη υπολογισμού Ήλιος=A*Hs. Για το σκοπό αυτό, θα αντιγράψουμε μόνο τις αριθμητικές τιμές (και όχι τους τύπους!) των κελιών από το μπλοκ H8:H11 στα κελιά F3:F6. Αυτό πρέπει να γίνει με τον ακόλουθο τρόπο. Επιλέξτε το μπλοκ H8:H11. Δώστε την εντολή μενού Επεξεργασία- αντίγραφο. Επιλέξτε το μπλοκ F3:F6. Δώστε την εντολή μενού Επεξεργασία- Ειδικό ένθετο. Θα ανοίξει ένα παράθυρο διαλόγου στο οποίο, στο πεδίο Εισάγετεπρέπει να επιλεγεί η λειτουργία Αξίες. Επιβεβαιώστε την απόφασή σας κάνοντας κλικ στο κουμπί ΟΚ.

Μετά από αυτή τη λειτουργία, τα μπλοκ A3:D6 και F3:F6 γεμίζουν με αριθμούς. Ας ξεκινήσουμε με τον πολλαπλασιασμό πίνακα. ΑΛΛΑανά διάνυσμα Xs. Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε το μπλοκ H3:H6, καλέστε Master Functionκαι, συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο όπως στον υπολογισμό Xc \u003d A -1 * B, πάρε Ήλιος. Όπως φαίνεται από τον πίνακα, οι αριθμητικές τιμές των διανυσμάτων ΣΤΟκαι Ήλιοςσυμπίπτουν, πράγμα που δείχνει καλή ακρίβεια των υπολογισμών, δηλ. το υπόλοιπο στο παράδειγμά μας είναι μηδέν.

Επιβεβαιώνουμε την καλή συνθήκη του πίνακα ΑΛΛΑτον υπολογισμό της ορίζοντάς του. Για να γίνει αυτό, ας κάνουμε το κελί D13 ενεργό. Με τη χρήση Οδηγοί λειτουργιώνκαλέστε τη λειτουργία MOPRED. Στο πεδίο πίνακα, εισαγάγετε τη διεύθυνση του μπλοκ A3:D6. Κάνοντας κλικ στο κουμπί φινίρισμα, παίρνουμε στο κελί D13 την αριθμητική τιμή της ορίζουσας του πίνακα ΑΛΛΑ. Όπως μπορεί να φανεί, είναι πολύ μεγαλύτερο από το μηδέν, γεγονός που υποδηλώνει καλή συνθήκη του πίνακα.

2.2. Μέθοδος κατά προσέγγιση υπολογισμών.

Μία από τις πιο κοινές επαναληπτικές μεθόδους επίλυσης συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, η οποία χαρακτηρίζεται από απλότητα και ευκολία προγραμματισμού, είναι η μέθοδος των κατά προσέγγιση υπολογισμών ή η μέθοδος Jacobi.

Αφήστε το σύστημα να λυθεί

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2

a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3

Ας υποθέσουμε ότι τα διαγώνια στοιχεία a 11, a 22, a 33 είναι μη μηδενικά. Διαφορετικά, μπορείτε να αναδιατάξετε τις εξισώσεις. Εκφράζουμε τις μεταβλητές από την πρώτη, δεύτερη και τρίτη εξίσωση, αντίστοιχα. Επειτα

x 1 = / a 11

x 2 \u003d / a 22

x 3 = / a 33

Ας ορίσουμε τις αρχικές προσεγγίσεις των αγνώστων

Αντικαθιστώντας τα στη δεξιά πλευρά του μετασχηματισμένου συστήματος, λαμβάνουμε μια νέα πρώτη προσέγγιση

Παράδειγμα 3.1 . Βρείτε λύση στο σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (3.1) χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Jacobi.

Οι επαναληπτικές μέθοδοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν για ένα δεδομένο σύστημα, επειδή ο όρος "επικράτηση διαγώνιων συντελεστών",που διασφαλίζει τη σύγκλιση αυτών των μεθόδων.

Το σχήμα σχεδίασης της μεθόδου Jacobi φαίνεται στο σχήμα (3.1).

Φέρτε το σύστημα (3.1). σε κανονική προβολή:

, (3.2)

ή σε μορφή μήτρας

, (3.3)

Εικ.3.1.

Για να προσδιορίσετε τον αριθμό των επαναλήψεων που απαιτούνται για να επιτευχθεί μια δεδομένη ακρίβεια μι,και μια κατά προσέγγιση λύση του συστήματος είναι χρήσιμη στη στήλη Hεγκαθιστώ Μορφή υπό όρους. Το αποτέλεσμα μιας τέτοιας μορφοποίησης είναι ορατό στην Εικόνα 3.1. Κυψέλες στήλης H,των οποίων οι τιμές ικανοποιούν την συνθήκη (3.4) είναι σκιασμένες.

(3.4)

Αναλύοντας τα αποτελέσματα, παίρνουμε την τέταρτη επανάληψη ως κατά προσέγγιση λύση του αρχικού συστήματος με δεδομένη ακρίβεια e=0,1,

εκείνοι. x 1=10216; x 2= 2,0225, x 3= 0,9912

Αλλαγή της τιμής μισε ένα κελί H5είναι δυνατό να ληφθεί μια νέα κατά προσέγγιση λύση του αρχικού συστήματος με μια νέα ακρίβεια.

Αναλύστε τη σύγκλιση της επαναληπτικής διαδικασίας σχεδιάζοντας τις αλλαγές σε κάθε συστατικό της λύσης SLAE ανάλογα με τον αριθμό επανάληψης.

Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε ένα μπλοκ κελιών A10:D20και χρησιμοποιώντας Οδηγός γραφήματος, να δημιουργήσετε γραφήματα που αντικατοπτρίζουν τη σύγκλιση της επαναληπτικής διαδικασίας, Εικ.3.2.

Το σύστημα των γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων λύνεται ομοίως με τη μέθοδο Seidel.

Εργαστήριο #4

Θέμα. Αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης γραμμικών συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων με οριακές συνθήκες. Μέθοδος πεπερασμένων διαφορών

Ασκηση.Λύστε το πρόβλημα της οριακής τιμής με τη μέθοδο της πεπερασμένης διαφοράς κατασκευάζοντας δύο προσεγγίσεις (δύο επαναλήψεις) με το βήμα h και το βήμα h/2.

Αναλύστε τα αποτελέσματα. Οι επιλογές εργασιών δίνονται στο Παράρτημα 4.

Εντολή εργασίας

1. Κατασκευή χειροκίνηταπροσέγγιση πεπερασμένης διαφοράς του προβλήματος της οριακής τιμής (πεπερασμένη διαφορά SLAE) με βήμα η , δίνεται η επιλογή.

2. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της πεπερασμένης διαφοράς, σχηματίστε προέχωσύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων πεπερασμένων διαφορών για το βήμα η κατανομή τμήματος . Καταγράψτε αυτό το SLAE στο φύλλο εργασίας του βιβλίου. προέχω. Το σχέδιο σχεδίασης φαίνεται στο σχήμα 4.1.

3. Λύστε το SLAE που προκύπτει με τη μέθοδο σάρωσης.

4. Ελέγξτε την ορθότητα του διαλύματος SLAE χρησιμοποιώντας το πρόσθετο Excel Εύρεση λύσης.

5. Μειώστε το βήμα του πλέγματος κατά 2 φορές και λύστε ξανά το πρόβλημα. Παρουσιάστε τα αποτελέσματα γραφικά.

6. Συγκρίνετε τα αποτελέσματά σας. Βγάλτε ένα συμπέρασμα σχετικά με την ανάγκη συνέχισης ή τερματισμού του λογαριασμού.

Επίλυση προβλήματος οριακής τιμής χρησιμοποιώντας υπολογιστικά φύλλα του Microsoft Excel.

Παράδειγμα 4.1.Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της πεπερασμένης διαφοράς για την εύρεση λύσης στο πρόβλημα της οριακής τιμής , y(1)=1, y’(2)=0,5στο τμήμα xОμε βήμα h=0,2 και με βήμα h=0,1. Συγκρίνετε τα αποτελέσματα και βγάλτε ένα συμπέρασμα σχετικά με την ανάγκη συνέχισης ή τερματισμού του λογαριασμού.

Το σχήμα υπολογισμού για το βήμα h=0.2 φαίνεται στο Σχ.4.1.

Η λύση που προκύπτει (συνάρτηση πλέγματος) Υ {1.000, 1.245, 1.474, 1.673, 1.829, 1.930}, Χ (1; 1.2; 1.4; 1.6; 1.8; 2) στις στήλες L και B μπορεί να ληφθεί ως η πρώτη επανάληψη (πρώτη προσέγγιση) του αρχικού προβλήματος.

Για εύρεση δεύτερη επανάληψηΚάντε το πλέγμα δύο φορές πιο παχύ (n=10, διασκελισμός h=0,1) και επαναλάβετε τον παραπάνω αλγόριθμο.

Αυτό μπορεί να γίνει στο ίδιο ή σε άλλο φύλλο του βιβλίου. προέχω. Η λύση (δεύτερη προσέγγιση) φαίνεται στο σχήμα 4.2.

Συγκρίνετε τις κατά προσέγγιση λύσεις που προέκυψαν. Για λόγους σαφήνειας, μπορείτε να δημιουργήσετε γραφήματα αυτών των δύο προσεγγίσεων (δύο συναρτήσεις πλέγματος), Εικ.4.3.

Η διαδικασία κατασκευής γραφημάτων προσεγγιστικών λύσεων σε πρόβλημα οριακής τιμής

1. Κατασκευάστε ένα γράφημα για την επίλυση του προβλήματος για ένα πλέγμα διαφοράς με βήμα h=0,2 (n=5).

2. Ενεργοποιήστε το ήδη κατασκευασμένο γράφημα και επιλέξτε την εντολή μενού Διάγραμμα\Προσθήκη δεδομένων

3. Στο παράθυρο Νέα δεδομέναεισάγετε δεδομένα x i, y iγια πλέγμα διαφοράς με βήμα h/2 (n=10).

4. Στο παράθυρο Ειδικό ένθετοτσεκάρετε τα πλαίσια στα πεδία:

Ø νέες σειρές,

Όπως φαίνεται από τα δεδομένα που παρουσιάζονται, δύο κατά προσέγγιση λύσεις του προβλήματος της οριακής τιμής (δύο συναρτήσεις πλέγματος) διαφέρουν μεταξύ τους όχι περισσότερο από 5%. Επομένως, παίρνουμε τη δεύτερη επανάληψη ως κατά προσέγγιση λύση του αρχικού προβλήματος, δηλ.

Υ{1, 1.124, 1.246, 1.364, 1.478, 1.584, 1.683, 1.772, 1.849, 1.914, 1.964}

Εργαστήριο #5

Υπουργείο Γενικής Παιδείας

Ρωσική Ομοσπονδία

Ural State Τεχνικό Πανεπιστήμιο-UPI

υποκατάστημα στο Krasnoturinsk

Τμήμα Μηχανικών Υπολογιστών

Εργασία μαθήματος

Με αριθμητικές μεθόδους

Επίλυση γραμμικών εξισώσεων με απλή επανάληψη

χρησιμοποιώντας το Microsoft Excel

Επικεφαλής Kuzmina N.V.

Ο μαθητής Nigmatzyanov T.R.

Ομάδα M-177T

Θέμα: «Εύρεση με δεδομένη ακρίβεια της ρίζας της εξίσωσης F(x)=0 στο διάστημα με τη μέθοδο της απλής επανάληψης».

Περίπτωση δοκιμής: 0,25-x+sinx=0

Συνθήκες του προβλήματος: για μια δεδομένη συνάρτηση F(x) στο διάστημα, να βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης F(x)=0 με απλή επανάληψη.

Η ρίζα υπολογίζεται δύο φορές (χρησιμοποιώντας αυτόματο και χειροκίνητο υπολογισμό).

Προβλέπετε την κατασκευή μιας γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης σε ένα δεδομένο διάστημα.

Εισαγωγή 4

1. Θεωρητικό μέρος 5

2. Περιγραφή της προόδου των εργασιών 7

3. Δεδομένα εισόδου και εξόδου 8

Συμπέρασμα 9

Παράρτημα 10

Αναφορές 12

Εισαγωγή.

Κατά τη διάρκεια αυτής της εργασίας, πρέπει να εξοικειωθώ με διάφορες μεθόδους για την επίλυση της εξίσωσης και να βρω τη ρίζα της μη γραμμικής εξίσωσης 0,25-x + sin (x) \u003d 0 με την αριθμητική μέθοδο - τη μέθοδο της απλής επανάληψης. Για να ελέγξετε την ορθότητα της εύρεσης της ρίζας, είναι απαραίτητο να λύσετε την εξίσωση γραφικά, να βρείτε μια κατά προσέγγιση τιμή και να τη συγκρίνετε με το αποτέλεσμα που προκύπτει.

1. Θεωρητικό μέρος.

Απλή μέθοδος επανάληψης.

Η επαναληπτική διαδικασία συνίσταται σε διαδοχική βελτίωση της αρχικής προσέγγισης x0 (η ρίζα της εξίσωσης). Κάθε τέτοιο βήμα ονομάζεται επανάληψη.

Για να χρησιμοποιηθεί αυτή η μέθοδος, η αρχική μη γραμμική εξίσωση γράφεται ως: x=j(x), δηλ. x ξεχωρίζει? Το j(х) είναι συνεχές και διαφοροποιήσιμο στο διάστημα (a; c). Αυτό συνήθως μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους:

Για παράδειγμα:

arcsin(2x+1)-x 2 =0 (f(x)=0)

Μέθοδος 1.

arcsin(2x+1)=x2

sin(arcsin(2x+1))=sin(x2)

x=0,5(sinx 2 -1) (x=j(x))

Μέθοδος 2.

x=x+arcsin(2x+1)-x 2 (x=j(x))

Μέθοδος 3.

x 2 =arcsin(2x+1)

x= (x=j(x)), το πρόσημο λαμβάνεται ανάλογα με το διάστημα [a;b].

Ο μετασχηματισμός πρέπει να είναι τέτοιος ώστε ½j(x)<1½ для всех принадлежащих интервалу .В таком случае процесс итерации сходится.

Ας είναι γνωστή η αρχική προσέγγιση της ρίζας x \u003d c 0. Αντικαθιστώντας αυτήν την τιμή στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης x \u003d j (x), λαμβάνουμε μια νέα προσέγγιση της ρίζας: c \u003d j (c 0) . x), παίρνουμε μια ακολουθία τιμών

c n =j(c n-1) n=1,2,3,…

Η διαδικασία επανάληψης θα πρέπει να συνεχιστεί μέχρι να ικανοποιηθεί η ακόλουθη συνθήκη για δύο διαδοχικές προσεγγίσεις: ½c n -c n -1 ½

Μπορείτε να λύσετε εξισώσεις αριθμητικά χρησιμοποιώντας γλώσσες προγραμματισμού, αλλά το Excel καθιστά δυνατή την αντιμετώπιση αυτής της εργασίας με απλούστερο τρόπο.

Το Excel εφαρμόζει την απλή μέθοδο επανάληψης με δύο τρόπους, με χειροκίνητο υπολογισμό και με αυτόματο έλεγχο ακριβείας.

y y=x

ι (από 0)

s 0 s 2 s 4 s 6 s 8 root s 9 s 7 s 5 s 3 s 1

Ρύζι. Γράφημα επαναληπτικής διαδικασίας

2. Περιγραφή της προόδου των εργασιών.

1. Ξεκίνησε το ME.

2. Κατασκεύασα μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y=x και y=0,25+sin(x) σε ένα τμήμα με βήμα 0,1 που ονομάζεται φύλλο «Γράφημα».

3. Διάλεξε ομάδα Υπηρεσία ® Επιλογές.
Άνοιξε μια καρτέλα Χρήση υπολογιστή .
Ενεργοποιήθηκε η λειτουργία Χειροκίνητα .
Απενεργοποιημένο πλαίσιο ελέγχου Επανυπολογισμός πριν την αποθήκευση . Έγινε η τιμή του πεδίου Περιορισμός αριθμού επαναλήψεων ίσο με 1, το σχετικό σφάλμα είναι 0,001.

4. Εισαγάγετε στο κελί A1 τη γραμμή "Λύση της εξίσωσης x \u003d 0,25 + sin (x) με τη μέθοδο της απλής επανάληψης."

5. Εισαγάγετε το κείμενο "Αρχική τιμή" στο κελί A3, το κείμενο "Αρχική σημαία" στο κελί A4, την τιμή 0,5 στο κελί B3, τη λέξη TRUE στο κελί B4.

6. Εκχωρήθηκε στα κελιά B3 και B4 το όνομα "start_value" και "start".
Το κελί B6 θα ελέγξει εάν το true είναι ίσο με την τιμή του κελιού "αρχή". 0,25 + sine x. Στο κελί B7, υπολογίζεται το 0,25-sine του κελιού B6, και έτσι οργανώνεται μια κυκλική αναφορά.

7. Στο κελί Α6 εισάγεται y=x και στο κελί Α7 y=0,25+sin(x). Στο κελί Β6 ο τύπος:
=IF(start,start_value,B7).
Στο κελί Β7 τύπος: y=0,25+sin(B6).

8. Στο κελί Α9 πληκτρολογήθηκε η λέξη Σφάλμα.

9. Στο κελί B9 εισήγαγα τον τύπο: \u003d B7-B6.

10. Χρησιμοποιώντας την εντολή Μορφή-Κελιά (αυτί Αριθμός ) μετέτρεψε το κελί B9 σε εκθετική μορφή με δύο δεκαδικά ψηφία.

11. Στη συνέχεια οργάνωσα έναν δεύτερο κυκλικό σύνδεσμο για να μετρήσω τον αριθμό των επαναλήψεων Στο κελί Α11 έβαλα το κείμενο «Αριθμός επαναλήψεων».

12. Στο κελί B11, εισήγαγα τον τύπο: \u003d IF (αρχή; 0; B12 + 1).

13. Στο κελί B12 εισάγεται =B11.

14. Για να εκτελέσετε τον υπολογισμό, ρυθμίστε τον κέρσορα του πίνακα στο κελί B4 και πατήστε το πλήκτρο F9 (Υπολογισμός) για να ξεκινήσετε την επίλυση του προβλήματος.

15. Άλλαξε την τιμή της αρχικής σημαίας σε FALSE και πάτησε ξανά το F9. Κάθε φορά που πατιέται το F9, εκτελείται μία επανάληψη και υπολογίζεται η επόμενη κατά προσέγγιση τιμή του x.

16. Πατήστε το πλήκτρο F9 έως ότου η τιμή x φτάσει την απαιτούμενη ακρίβεια.
Με αυτόματο υπολογισμό:

17. Μεταφέρθηκε σε άλλο φύλλο.

18. Επανέλαβα τα σημεία 4 έως 7, μόνο στο κελί Β4 έβαλα την τιμή FALSE.

19. Διάλεξε ομάδα Υπηρεσία ® Επιλογές (αυτί Χρήση υπολογιστή ).Ορίστε την τιμή του πεδίου Περιορισμός αριθμού επαναλήψεων ίσο με 100, σχετικό σφάλμα ίσο με 0,0000001. Αυτομάτως .