Παραδείγματα ανομοιογενών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές. Γραμμικές ανομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές

Βασικές αρχές επίλυσης γραμμικών ανομοιογενών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης (LNDE-2) με σταθερούς συντελεστές (PC)

Ένα LDDE 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές $p$ και $q$ έχει τη μορφή $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, όπου $f\left(x \right)$ είναι μια συνεχής συνάρτηση.

Όσον αφορά το LNDU 2 με υπολογιστή, οι ακόλουθες δύο δηλώσεις είναι αληθείς.

Ας υποθέσουμε ότι κάποια συνάρτηση $U$ είναι μια αυθαίρετη μερική λύση μιας ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης. Ας υποθέσουμε επίσης ότι κάποια συνάρτηση $Y$ είναι η γενική λύση (GS) της αντίστοιχης γραμμικής ομογενούς διαφορικής εξίσωσης (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Τότε το GR του Το LHDE-2 είναι ίσο με το άθροισμα των υποδεικνυόμενων ιδιωτικών και γενικών λύσεων, δηλαδή $y=U+Y$.

Αν η δεξιά πλευρά ενός LMDE 2ης τάξης είναι ένα άθροισμα συναρτήσεων, δηλαδή $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$, τότε πρώτα μπορούμε να βρούμε τα PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ που αντιστοιχούν σε καθεμία από τις συναρτήσεις $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, και μετά γράψτε το CR LNDU-2 με τη μορφή $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Λύση LPDE 2ης τάξης με Η/Υ

Είναι προφανές ότι ο τύπος του ενός ή του άλλου PD $U$ ενός δεδομένου LNDU-2 εξαρτάται από τη συγκεκριμένη μορφή της δεξιάς πλευράς του $f\left(x\right)$. Οι απλούστερες περιπτώσεις αναζήτησης για PD LNDU-2 διατυπώνονται με τη μορφή των παρακάτω τεσσάρων κανόνων.

Κανόνας #1.

Η δεξιά πλευρά του LNDU-2 έχει τη μορφή $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, όπου $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, δηλαδή ονομάζεται α πολυώνυμο βαθμού $n$. Στη συνέχεια, το PD του $U$ αναζητείται με τη μορφή $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, όπου το $Q_(n) \left(x\right)$ είναι άλλο πολυώνυμο του ίδιου βαθμού με το $P_(n) \left(x\right)$, και το $r$ είναι ο αριθμός των ριζών χαρακτηριστική εξίσωσηπου αντιστοιχεί στο LOD-2, ίσο με μηδέν. Οι συντελεστές του πολυωνύμου $Q_(n) \left(x\right)$ βρίσκονται με τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών (UK).

Κανόνας Νο. 2.

Η δεξιά πλευρά του LNDU-2 έχει τη μορφή $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, όπου $P_(n) Το \left( x\right)$ είναι ένα πολυώνυμο βαθμού $n$. Στη συνέχεια, το PD του $U$ αναζητείται με τη μορφή $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, όπου $Q_(n ) \ left(x\right)$ είναι ένα άλλο πολυώνυμο του ίδιου βαθμού με το $P_(n) \left(x\right)$ και το $r$ είναι ο αριθμός των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης της αντίστοιχης LODE-2 ίσο με $\alpha $. Οι συντελεστές του πολυωνύμου $Q_(n) \left(x\right)$ βρίσκονται με τη μέθοδο NC.

Κανόνας Νο. 3.

Η δεξιά πλευρά του LNDU-2 έχει τη μορφή $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, όπου είναι τα $a$, $b$ και $\beta$ γνωστούς αριθμούς. Στη συνέχεια, το PD του $U$ αναζητείται με τη μορφή $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, όπου $A$ και $B$ είναι άγνωστοι συντελεστές, και $r$ είναι ο αριθμός των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης του αντίστοιχου LODE-2, ίσος με $i\cdot \beta $. Οι συντελεστές $A$ και $B$ βρίσκονται χρησιμοποιώντας τη μη καταστροφική μέθοδο.

Κανόνας Νο. 4.

Η δεξιά πλευρά του LNDU-2 έχει τη μορφή $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, όπου $P_(n) \left(x\right)$ είναι ένα πολυώνυμο βαθμού $ n$ και το $P_(m) \left(x\right)$ είναι ένα πολυώνυμο βαθμού $m$. Στη συνέχεια, το PD του $U$ αναζητείται με τη μορφή $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, όπου $Q_(s) \left(x\right)$ και $ R_(s) \left(x\right)$ είναι πολυώνυμα βαθμού $s$, ο αριθμός $s$ είναι ο μέγιστος αριθμός δύο αριθμών $n$ και $m$ και $r$ είναι ο αριθμός των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης του αντίστοιχου LODE-2, ίση με $\alpha +i\cdot \beta $. Οι συντελεστές των πολυωνύμων $Q_(s) \left(x\right)$ και $R_(s) \left(x\right)$ βρίσκονται με τη μέθοδο NC.

Η μέθοδος NK συνίσταται στην εφαρμογή του ακόλουθου κανόνα. Για να βρεθούν οι άγνωστοι συντελεστές του πολυωνύμου που αποτελούν μέρος της μερικής λύσης της ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης LNDU-2, είναι απαραίτητο:

αντικαταστήστε το PD $U$ γραμμένο γενική εικόνα, στην αριστερή πλευρά του LNDU-2.
στην αριστερή πλευρά του LNDU-2, εκτελέστε απλοποιήσεις και ομαδοποιήστε όρους με τις ίδιες δυνάμεις $x$.
Στην ταυτότητα που προκύπτει, εξισώστε τους συντελεστές των όρων με τις ίδιες δυνάμεις $x$ της αριστερής και της δεξιάς πλευράς.
λύσει το σύστημα που προκύπτει γραμμικές εξισώσειςσε σχέση με άγνωστους συντελεστές.

Παράδειγμα 1

Εργασία: find OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Βρείτε επίσης PD , ικανοποιώντας τις αρχικές συνθήκες $y=6$ για $x=0$ και $y"=1$ για $x=0$.

Καταγράφουμε το αντίστοιχο LOD-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Χαρακτηριστική εξίσωση: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Αυτές οι ρίζες είναι έγκυρες και διακριτές. Έτσι, το OR του αντίστοιχου LODE-2 έχει τη μορφή: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Η δεξιά πλευρά αυτού του LNDU-2 έχει τη μορφή $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη ο συντελεστής του εκθέτη $\alpha =3$. Αυτός ο συντελεστής δεν συμπίπτει με καμία από τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Επομένως, το PD αυτού του LNDU-2 έχει τη μορφή $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Θα αναζητήσουμε τους συντελεστές $A$, $B$ χρησιμοποιώντας τη μέθοδο NC.

Βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της Τσεχικής Δημοκρατίας:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Βρίσκουμε τη δεύτερη παράγωγο της Τσεχικής Δημοκρατίας:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Αντικαθιστούμε τις συναρτήσεις $U""$, $U"$ και $U$ αντί των $y""$, $y"$ και $y$ στο δεδομένο NLDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Επιπλέον, δεδομένου ότι ο εκθέτης $e^(3\cdot x)$ περιλαμβάνεται ως παράγοντας σε όλα τα στοιχεία, τότε μπορεί να παραλειφθεί. Παίρνουμε:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Εκτελούμε τις ενέργειες στην αριστερή πλευρά της ισότητας που προκύπτει:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο NDT. Λαμβάνουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων με δύο άγνωστα:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Η λύση σε αυτό το σύστημα είναι: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) Το $ για το πρόβλημά μας μοιάζει με αυτό: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

Το OR $y=Y+U$ για το πρόβλημά μας μοιάζει με αυτό: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ αριστερά(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Για να αναζητήσουμε ένα PD που ικανοποιεί τις δεδομένες αρχικές συνθήκες, βρίσκουμε την παράγωγο $y"$ του ΕΠ:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Αντικατάσταση σε $y$ και $y"$ αρχικές συνθήκες$y=6$ για $x=0$ και $y"=1$ για $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Λάβαμε ένα σύστημα εξισώσεων:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6,$

Ας το λύσουμε. Βρίσκουμε $C_(1) $ χρησιμοποιώντας τον τύπο του Cramer και $C_(2) $ προσδιορίζουμε από την πρώτη εξίσωση:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ start(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Έτσι, το PD αυτής της διαφορικής εξίσωσης έχει τη μορφή: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Ετερογενής διαφορικές εξισώσειςδεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές

Δομή της γενικής λύσης

Γραμμική ανομοιογενής εξίσωση αυτού του τύπουέχει τη μορφή:

Οπου Π, q − σταθερούς αριθμούς(που μπορεί να είναι είτε πραγματικό είτε σύνθετο). Για κάθε τέτοια εξίσωση μπορούμε να γράψουμε την αντίστοιχη ομοιογενής εξίσωση:

Θεώρημα: Κοινή απόφαση Δεν ομοιογενής εξίσωσηείναι το άθροισμα της γενικής λύσης y 0 (Χ) της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης και συγκεκριμένης λύσης y 1 (Χ) ανομοιογενής εξίσωση:

Παρακάτω θα εξετάσουμε δύο τρόπους επίλυσης ανομοιογενών διαφορικών εξισώσεων.

Μέθοδος μεταβολής σταθερών

Αν κοινή απόφαση yΤο 0 της σχετικής ομοιογενούς εξίσωσης είναι γνωστό, τότε η γενική λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας μέθοδος σταθερής μεταβολής. Έστω η γενική λύση μιας ομογενούς διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης να έχει τη μορφή:

Αντί για μόνιμη ντο 1 και ντο 2 θα εξετάσουμε τις βοηθητικές συναρτήσεις ντο 1 (Χ) Και ντο 2 (Χ). Θα αναζητήσουμε αυτές τις συναρτήσεις έτσι ώστε η λύση

ικανοποίησε την ανομοιογενή εξίσωση με τη δεξιά πλευρά φά(Χ). Άγνωστες λειτουργίες ντο 1 (Χ) Και ντο 2 (Χ) προσδιορίζονται από ένα σύστημα δύο εξισώσεων:

Μέθοδος αβέβαιου συντελεστή

Δεξί μέρος φά(Χ) μιας ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης είναι συχνά μια πολυωνυμική, εκθετική ή τριγωνομετρική συνάρτηση ή κάποιος συνδυασμός αυτών των συναρτήσεων. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι πιο βολικό να αναζητήσετε μια λύση χρησιμοποιώντας μέθοδος αβέβαιων συντελεστών. Ας το τονίσουμε αυτό αυτή τη μέθοδολειτουργεί μόνο για μια περιορισμένη κατηγορία συναρτήσεων στη δεξιά πλευρά, όπως π.χ

Και στις δύο περιπτώσεις, η επιλογή μιας συγκεκριμένης λύσης πρέπει να αντιστοιχεί στη δομή της δεξιάς πλευράς της ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης. Στην περίπτωση 1, εάν ο αριθμός α στην εκθετική συνάρτηση συμπίπτει με τη ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης, τότε η συγκεκριμένη λύση θα περιέχει έναν επιπλέον παράγοντα Χ μικρό, Οπου μικρό− πολλαπλότητα ρίζας α στη χαρακτηριστική εξίσωση. Στην περίπτωση 2, αν ο αριθμός α + βiσυμπίπτει με τη ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης, τότε η έκφραση για τη συγκεκριμένη λύση θα περιέχει έναν πρόσθετο παράγοντα Χ. Άγνωστοι συντελεστές μπορούν να προσδιοριστούν αντικαθιστώντας την ευρεθείσα έκφραση για μια συγκεκριμένη λύση στην αρχική ανομοιογενή διαφορική εξίσωση.

Αρχή υπέρθεσης

Αν η δεξιά πλευρά της ανομοιογενούς εξίσωσης είναι ποσόδιάφορες λειτουργίες της φόρμας

τότε μια συγκεκριμένη λύση της διαφορικής εξίσωσης θα είναι επίσης το άθροισμα των επιμέρους λύσεων που κατασκευάζονται χωριστά για κάθε όρο στη δεξιά πλευρά.

Παράδειγμα 1

Επίλυση διαφορικής εξίσωσης y"" + y= αμαρτία (2 Χ).

Λύση.

Αρχικά λύνουμε την αντίστοιχη ομοιογενή εξίσωση y"" + y= 0.V σε αυτήν την περίπτωσηοι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι καθαρά φανταστικές:

Κατά συνέπεια, η γενική λύση της ομοιογενούς εξίσωσης δίνεται από την έκφραση

Ας επιστρέψουμε ξανά στην ανομοιογενή εξίσωση. Θα αναζητήσουμε τη λύση του στη φόρμα

χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της μεταβολής των σταθερών. Λειτουργίες ντο 1 (Χ) Και ντο 2 (Χ) μπορεί να βρεθεί από επόμενο σύστημαεξισώσεις:

Ας εκφράσουμε την παράγωγο ντο 1 " (Χ) από την πρώτη εξίσωση:

Αντικαθιστώντας στη δεύτερη εξίσωση, βρίσκουμε την παράγωγο ντο 2 " (Χ):

Από αυτό προκύπτει ότι

Ολοκλήρωση παραστάσεων για παράγωγα ντο 1 " (Χ) Και ντο 2 " (Χ), παίρνουμε:

Οπου ΕΝΑ 1 , ΕΝΑ 2 – σταθερές ολοκλήρωσης. Τώρα ας αντικαταστήσουμε τις συναρτήσεις που βρέθηκαν ντο 1 (Χ) Και ντο 2 (Χ) στον τύπο για y 1 (Χ) και να γράψετε τη γενική λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης:

Παράδειγμα 2

Να βρείτε τη γενική λύση της εξίσωσης y"" + y" −6y = 36Χ.

Λύση.

Ας χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών. Δεξιά πλευρά πίσω δεδομένη εξίσωσηαντιπροσωπεύει γραμμική συνάρτηση φά(Χ)= τσεκούρι + β. Επομένως, θα αναζητήσουμε μια συγκεκριμένη λύση στη φόρμα

Τα παράγωγα είναι ίσα:

Αντικαθιστώντας αυτό στη διαφορική εξίσωση, παίρνουμε:

Η τελευταία εξίσωση είναι ταυτότητα, ισχύει δηλαδή για όλους Χ, επομένως εξισώνουμε τους συντελεστές των όρων με τους ίδιους βαθμούς Χστην αριστερή και δεξιά πλευρά:

Από το σύστημα που προκύπτει βρίσκουμε: ΕΝΑ = −6, σι= −1. Ως αποτέλεσμα, η συγκεκριμένη λύση γράφεται στη φόρμα

Ας βρούμε τώρα τη γενική λύση της ομογενούς διαφορικής εξίσωσης. Ας υπολογίσουμε τις ρίζες της βοηθητικής χαρακτηριστικής εξίσωσης:

Επομένως, η γενική λύση της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης έχει τη μορφή:

Άρα, η γενική λύση της αρχικής ανομοιογενούς εξίσωσης εκφράζεται με τον τύπο

Γενικό ολοκλήρωμα της ΔΕ.

Επίλυση διαφορικής εξίσωσης

Αλλά το πιο αστείο είναι ότι η απάντηση είναι ήδη γνωστή: , πιο συγκεκριμένα, πρέπει να προσθέσουμε και μια σταθερά: Το γενικό ολοκλήρωμα είναι μια λύση στη διαφορική εξίσωση.

Μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών. Παραδείγματα λύσεων

Η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών χρησιμοποιείται για την επίλυση ανομοιογενών διαφορικών εξισώσεων. Αυτό το μάθημα προορίζεται για εκείνους τους μαθητές που γνωρίζουν ήδη λίγο πολύ καλά το θέμα. Εάν μόλις αρχίζετε να εξοικειωθείτε με το τηλεχειριστήριο, π.χ. Εάν είστε τσαγιέρα, προτείνω να ξεκινήσετε με το πρώτο μάθημα: Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Παραδείγματα λύσεων. Και αν τελειώνετε ήδη, απορρίψτε την πιθανή προκατάληψη ότι η μέθοδος είναι δύσκολη. Γιατί είναι απλό.

Σε ποιες περιπτώσεις χρησιμοποιείται η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών;

1) Για την επίλυση μπορεί να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος μεταβολής μιας αυθαίρετης σταθεράς γραμμική ανομοιογενής ΔΕ 1ης τάξης. Εφόσον η εξίσωση είναι πρώτης τάξης, τότε η σταθερά είναι επίσης μία.

2) Η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών χρησιμοποιείται για την επίλυση ορισμένων γραμμικές ανομοιογενείς εξισώσεις δεύτερης τάξης. Εδώ διαφέρουν δύο σταθερές.

Είναι λογικό να υποθέσουμε ότι το μάθημα θα αποτελείται από δύο παραγράφους... Έγραψα λοιπόν αυτή τη φράση και για περίπου 10 λεπτά σκεφτόμουν με οδυνηρό τρόπο τι άλλο έξυπνο χάλι θα μπορούσα να προσθέσω για μια ομαλή μετάβαση σε πρακτικά παραδείγματα. Αλλά για κάποιο λόγο δεν έχω καμία σκέψη μετά τις διακοπές, αν και δεν φαίνεται να έχω καταχραστεί τίποτα. Επομένως, ας πάμε κατευθείαν στην πρώτη παράγραφο.

Μέθοδος μεταβολής μιας αυθαίρετης σταθεράς για μια γραμμική ανομοιογενή εξίσωση πρώτης τάξης

Πριν εξετάσετε τη μέθοδο μεταβολής μιας αυθαίρετης σταθεράς, καλό είναι να εξοικειωθείτε με το άρθρο Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Σε εκείνο το μάθημα εξασκηθήκαμε πρώτη λύσηανομοιογενής 1ης τάξης ΔΕ. Αυτή η πρώτη λύση, θυμίζω, λέγεται μέθοδος αντικατάστασηςή Μέθοδος Bernoulli(δεν πρέπει να συγχέεται με εξίσωση Bernoulli!!!)

Τώρα θα κοιτάξουμε δεύτερη λύση– μέθοδος μεταβολής μιας αυθαίρετης σταθεράς. Θα δώσω μόνο τρία παραδείγματα και θα τα πάρω από το προαναφερθέν μάθημα. Γιατί τόσο λίγοι; Γιατί στην πραγματικότητα, η λύση με τον δεύτερο τρόπο θα μοιάζει πολύ με τη λύση με τον πρώτο τρόπο. Επιπλέον, σύμφωνα με τις παρατηρήσεις μου, η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών χρησιμοποιείται λιγότερο συχνά από τη μέθοδο αντικατάστασης.

Παράδειγμα 1

Βρείτε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης (Diffour από το Παράδειγμα Νο. 2 του μαθήματος Γραμμικές ανομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις 1ης τάξης)

Λύση:Αυτή η εξίσωση είναι γραμμική ανομοιογενής και έχει μια γνωστή μορφή:

Στο πρώτο στάδιο, είναι απαραίτητο να λύσουμε μια απλούστερη εξίσωση: Δηλαδή, μηδενίσαμε ανόητα τη δεξιά πλευρά - γράψτε μηδέν. Θα καλέσω την εξίσωση βοηθητική εξίσωση.

Σε αυτό το παράδειγμα, πρέπει να λύσετε την ακόλουθη βοηθητική εξίσωση:

Πριν από εμάς διαχωρίσιμη εξίσωση, η λύση του οποίου (ελπίζω) να μην είναι πλέον δύσκολη για εσάς:

Έτσι: – γενική λύση της βοηθητικής εξίσωσης.

Στο δεύτερο σκαλοπάτι θα αντικαταστήσουμεκάποια σταθερά προς το παρόνάγνωστη συνάρτηση που εξαρτάται από το "x":

Εξ ου και το όνομα της μεθόδου - μεταβάλλουμε τη σταθερά. Εναλλακτικά, η σταθερά θα μπορούσε να είναι κάποια συνάρτηση που τώρα πρέπει να βρούμε.

ΣΕ πρωτότυποστην ανομοιογενή εξίσωση κάνουμε την αντικατάσταση:

Ας αντικαταστήσουμε την εξίσωση:

Σημείο ελέγχου - οι δύο όροι στην αριστερή πλευρά ακυρώνονται. Εάν αυτό δεν συμβεί, θα πρέπει να αναζητήσετε το παραπάνω σφάλμα.

Ως αποτέλεσμα της αντικατάστασης, προέκυψε μια εξίσωση με διαχωρίσιμες μεταβλητές. Διαχωρίζουμε τις μεταβλητές και ενσωματώνουμε.

Τι ευλογία, οι εκθέτες ακυρώνουν επίσης:

Προσθέτουμε μια «κανονική» σταθερά στη συνάρτηση που βρέθηκε:

Στο τελικό στάδιο, θυμόμαστε την αντικατάστασή μας:

Η συνάρτηση μόλις βρέθηκε!

Η γενική λύση λοιπόν είναι:

Απάντηση:κοινή απόφαση:

Εάν εκτυπώσετε τις δύο λύσεις, θα παρατηρήσετε εύκολα ότι και στις δύο περιπτώσεις βρήκαμε τα ίδια ολοκληρώματα. Η μόνη διαφορά είναι στον αλγόριθμο επίλυσης.

Τώρα για κάτι πιο περίπλοκο, θα σχολιάσω και το δεύτερο παράδειγμα:

Παράδειγμα 2

Βρείτε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης (Diffour από το Παράδειγμα Νο. 8 του μαθήματος Γραμμικές ανομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις 1ης τάξης)

Λύση:Ας φέρουμε την εξίσωση στη μορφή:

Ας επαναφέρουμε τη δεξιά πλευρά και ας λύσουμε τη βοηθητική εξίσωση:

Διαχωρίζουμε τις μεταβλητές και ολοκληρώνουμε: Τη γενική λύση της βοηθητικής εξίσωσης:

Στην ανομοιογενή εξίσωση κάνουμε την αντικατάσταση:

Σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης προϊόντων:

Ας αντικαταστήσουμε στην αρχική ανομοιογενή εξίσωση:

Οι δύο όροι στην αριστερή πλευρά ακυρώνονται, πράγμα που σημαίνει ότι είμαστε στο σωστό δρόμο:

Ας ενσωματωθούμε ανά μέρη. Το νόστιμο γράμμα από τον τύπο ενσωμάτωσης ανά εξαρτήματα περιλαμβάνεται ήδη στη λύση, επομένως χρησιμοποιούμε, για παράδειγμα, τα γράμματα "a" και "be":

Τελικά:

Ας θυμηθούμε τώρα την αντικατάσταση:

Απάντηση:κοινή απόφαση:

Μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών για μια γραμμική ανομοιογενή εξίσωση δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές

Έχω ακούσει συχνά την άποψη ότι η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών για μια εξίσωση δεύτερης τάξης δεν είναι εύκολη υπόθεση. Υποθέτω όμως το εξής: πιθανότατα, η μέθοδος φαίνεται δύσκολη σε πολλούς γιατί δεν συμβαίνει τόσο συχνά. Αλλά στην πραγματικότητα δεν υπάρχουν ιδιαίτερες δυσκολίες - η πορεία της απόφασης είναι σαφής, διαφανής και κατανοητή. Και όμορφη.

Για να κυριαρχήσετε τη μέθοδο, είναι επιθυμητό να μπορείτε να λύσετε ανομοιογενείς εξισώσεις δεύτερης τάξης επιλέγοντας μια συγκεκριμένη λύση με βάση τη μορφή της δεξιάς πλευράς. Αυτή η μέθοδοςσυζητείται λεπτομερώς στο άρθρο Ανομοιογενείς ΔΕ 2ης τάξης. Υπενθυμίζουμε ότι μια δεύτερης τάξης γραμμική ανομοιογενής εξίσωση με σταθερούς συντελεστές έχει τη μορφή:

Η μέθοδος επιλογής, η οποία συζητήθηκε στο παραπάνω μάθημα, λειτουργεί μόνο σε περιορισμένο αριθμό περιπτώσεων όταν η δεξιά πλευρά περιέχει πολυώνυμα, εκθετικές τιμές, ημίτονο και συνημίτονο. Τι να κάνουμε όμως όταν στα δεξιά, για παράδειγμα, είναι ένα κλάσμα, λογάριθμος, εφαπτομένη; Σε μια τέτοια κατάσταση, η μέθοδος μεταβολής των σταθερών έρχεται στη διάσωση.

Παράδειγμα 4

Βρείτε τη γενική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης

Λύση:Υπάρχει ένα κλάσμα στη δεξιά πλευρά αυτής της εξίσωσης, οπότε μπορούμε να πούμε αμέσως ότι η μέθοδος επιλογής μιας συγκεκριμένης λύσης δεν λειτουργεί. Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο μεταβολής αυθαίρετων σταθερών.

Δεν υπάρχουν σημάδια καταιγίδας· η αρχή της λύσης είναι εντελώς συνηθισμένη:

Θα βρούμε κοινή απόφασηκατάλληλος ομοιογενήςεξισώσεις:

Ας συνθέσουμε και λύσουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση: – λαμβάνονται συζευγμένες σύνθετες ρίζες, οπότε η γενική λύση είναι:

Δώστε προσοχή στην εγγραφή της γενικής λύσης - εάν υπάρχουν παρενθέσεις, τότε ανοίξτε τις.

Τώρα κάνουμε σχεδόν το ίδιο κόλπο με την εξίσωση πρώτης τάξης: μεταβάλλουμε τις σταθερές, αντικαθιστώντας τις με άγνωστες συναρτήσεις. Αυτό είναι, γενική λύση ανομοιογενούςθα αναζητήσουμε εξισώσεις με τη μορφή:

Οπου - προς το παρόνάγνωστες λειτουργίες.

Μοιάζει με χωματερή οικιακών απορριμμάτων, αλλά τώρα θα τακτοποιήσουμε τα πάντα.

Οι άγνωστοι είναι οι παράγωγοι των συναρτήσεων. Στόχος μας είναι να βρούμε παραγώγους και οι ευρεθείσες παράγωγοι πρέπει να ικανοποιούν τόσο την πρώτη όσο και τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος.

Από πού προέρχονται οι «Έλληνες»; Τα φέρνει ο πελαργός. Εξετάζουμε τη γενική λύση που λήφθηκε νωρίτερα και γράφουμε:

Ας βρούμε τα παράγωγα:

Τα αριστερά μέρη έχουν αντιμετωπιστεί. Τι είναι στα δεξιά;

είναι η δεξιά πλευρά της αρχικής εξίσωσης, σε αυτήν την περίπτωση:

Αυτό το άρθρο εξετάζει το ζήτημα της επίλυσης γραμμικών ανομοιογενών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές. Η θεωρία θα συζητηθεί μαζί με παραδείγματα συγκεκριμένων προβλημάτων. Για την αποκρυπτογράφηση ασαφών όρων, είναι απαραίτητο να αναφερθούμε στο θέμα σχετικά με τους βασικούς ορισμούς και έννοιες της θεωρίας των διαφορικών εξισώσεων.

Ας εξετάσουμε μια γραμμική διαφορική εξίσωση (LDE) δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές της μορφής y "" + p · y " + q · y = f (x), όπου p και q είναι αυθαίρετοι αριθμοί, και την υπάρχουσα συνάρτηση f Το (x) είναι συνεχές στο διάστημα ολοκλήρωσης x.

Ας προχωρήσουμε στη διατύπωση του θεωρήματος για τη γενική λύση του LNDE.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Γενικό θεώρημα λύσης για LDNU

Θεώρημα 1

Μια γενική λύση, που βρίσκεται στο διάστημα x, μιας ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης της μορφής y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) με συνεχείς συντελεστές ολοκλήρωσης στο διάστημα x f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) και συνεχής λειτουργίαΗ f (x) ισούται με το άθροισμα της γενικής λύσης y 0, που αντιστοιχεί στο LOD και σε κάποια συγκεκριμένη λύση y ~, όπου η αρχική ανομοιογενής εξίσωση είναι y = y 0 + y ~.

Αυτό δείχνει ότι η λύση μιας τέτοιας εξίσωσης δεύτερης τάξης έχει τη μορφή y = y 0 + y ~ . Ο αλγόριθμος για την εύρεση του y 0 συζητείται στο άρθρο για γραμμικές ομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές. Μετά από αυτό θα πρέπει να προχωρήσουμε στον ορισμό του y ~.

Η επιλογή μιας συγκεκριμένης λύσης για το LPDE εξαρτάται από τον τύπο της διαθέσιμης συνάρτησης f (x) που βρίσκεται στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να εξεταστούν χωριστά οι λύσεις γραμμικών ανομοιογενών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές.

Όταν η f (x) θεωρείται πολυώνυμο του n βαθμού f (x) = P n (x), προκύπτει ότι μια συγκεκριμένη λύση του LPDE βρίσκεται χρησιμοποιώντας έναν τύπο της μορφής y ~ = Q n (x ) x γ, όπου Q n ( x) είναι πολυώνυμο βαθμού n, r είναι ο αριθμός των μηδενικών ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Η τιμή y ~ είναι μια συγκεκριμένη λύση y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , τότε οι διαθέσιμοι συντελεστές που ορίζονται από το πολυώνυμο
Q n (x), βρίσκουμε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών από την ισότητα y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Παράδειγμα 1

Υπολογίστε χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Λύση

Με άλλα λόγια, είναι απαραίτητο να προχωρήσουμε σε μια συγκεκριμένη λύση μιας γραμμικής ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές y "" - 2 y " = x 2 + 1, η οποία θα ικανοποιεί τις δεδομένες συνθήκες y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .

Η γενική λύση μιας γραμμικής ανομοιογενούς εξίσωσης είναι το άθροισμα της γενικής λύσης, που αντιστοιχεί στην εξίσωση y 0 ή σε μια συγκεκριμένη λύση στην ανομοιογενή εξίσωση y ~, δηλαδή y = y 0 + y ~.

Πρώτα, θα βρούμε μια γενική λύση για το LNDU και μετά μια συγκεκριμένη.

Ας προχωρήσουμε στην εύρεση του y 0. Η εγγραφή της χαρακτηριστικής εξίσωσης θα σας βοηθήσει να βρείτε τις ρίζες. Το καταλαβαίνουμε

k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2

Βρήκαμε ότι οι ρίζες είναι διαφορετικές και πραγματικές. Επομένως, ας γράψουμε

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.

Ας βρούμε το y ~ . Μπορεί να φανεί ότι η δεξιά πλευρά δεδομένη εξίσωσηείναι πολυώνυμο δεύτερου βαθμού, τότε μια από τις ρίζες είναι ίση με μηδέν. Από αυτό προκύπτει ότι μια συγκεκριμένη λύση για το y ~ θα είναι

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, όπου οι τιμές των A, B, C λαμβάνουν απροσδιόριστους συντελεστές.

Ας τα βρούμε από μια ισότητα της μορφής y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Τότε παίρνουμε ότι:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Εξισώνοντας τους συντελεστές με τους ίδιους εκθέτες του x, λαμβάνουμε ένα σύστημα γραμμικών εκφράσεων - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Όταν λύνουμε με οποιαδήποτε από τις μεθόδους, θα βρούμε τους συντελεστές και θα γράψουμε: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 και y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Αυτή η καταχώρηση ονομάζεται γενική λύση της αρχικής γραμμικής ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές.

Για να βρείτε μια συγκεκριμένη λύση που να ικανοποιεί τις συνθήκες y (0) = 2, y "(0) = 1 4, είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν οι τιμές Γ 1Και Γ 2, με βάση μια ισότητα της μορφής y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Καταλαβαίνουμε ότι:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Εργαζόμαστε με το προκύπτον σύστημα εξισώσεων της μορφής C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, όπου C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.

Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Cauchy, έχουμε αυτό

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Απάντηση: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Όταν η συνάρτηση f (x) παριστάνεται ως το γινόμενο ενός πολυωνύμου με βαθμό n και εκθέτη f (x) = P n (x) · e a x, τότε προκύπτει ότι μια συγκεκριμένη λύση του LPDE δεύτερης τάξης θα είναι μια εξίσωση της μορφής y ~ = e a x · Q n ( x) · x γ, όπου Q n (x) είναι πολυώνυμο n ου βαθμού, και r είναι ο αριθμός των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης ίσος με α.

Οι συντελεστές που ανήκουν στο Q n (x) βρίσκονται με την ισότητα y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Παράδειγμα 2

Να βρείτε τη γενική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης της μορφής y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Λύση

Η γενική εξίσωση είναι y = y 0 + y ~ . Η παραπάνω εξίσωσηαντιστοιχεί στο LOD y "" - 2 y " = 0. Από το προηγούμενο παράδειγμα φαίνεται ότι οι ρίζες του είναι ίσες k 1 = 0και k 2 = 2 και y 0 = C 1 + C 2 e 2 x από τη χαρακτηριστική εξίσωση.

Είναι ξεκάθαρο ότι σωστη πλευραη εξίσωση είναι x 2 + 1 · e x . Από εδώ το LPDE βρίσκεται μέσω y ~ = e a x · Q n (x) · x γ, όπου Q n (x) είναι πολυώνυμο δεύτερου βαθμού, όπου α = 1 και r = 0, επειδή η χαρακτηριστική εξίσωση δεν έχουν ρίζα ίση με 1. Από εδώ το καταλαβαίνουμε

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

Οι A, B, C είναι άγνωστοι συντελεστές που μπορούν να βρεθούν από την ισότητα y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.

Το κατάλαβα

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Εξισώνουμε τους δείκτες με τους ίδιους συντελεστές και παίρνουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Από εδώ βρίσκουμε τα Α, Β, Γ:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Απάντηση:είναι σαφές ότι y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 είναι μια συγκεκριμένη λύση του LNDDE, και y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - μια γενική λύση για μια ανομοιογενή εξίσωση δεύτερης τάξης.

Όταν η συνάρτηση γράφεται ως f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x, και Α'1Και ΣΕ 1είναι αριθμοί, τότε μια μερική λύση του LPDE θεωρείται εξίσωση της μορφής y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ, όπου Α και B θεωρούνται απροσδιόριστοι συντελεστές και r είναι ο αριθμός των σύνθετες συζυγείς ρίζες που σχετίζονται με τη χαρακτηριστική εξίσωση, ίσες με ± i β . Σε αυτή την περίπτωση, η αναζήτηση για συντελεστές πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας την ισότητα y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Παράδειγμα 3

Βρείτε τη γενική λύση μιας διαφορικής εξίσωσης της μορφής y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Λύση

Πριν γράψουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση, βρίσκουμε y 0. Επειτα

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i

Έχουμε ένα ζευγάρι σύνθετων συζυγών ριζών. Ας μεταμορφωθούμε και πάρουμε:

y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης θεωρούνται το συζυγές ζεύγος ± 2 i, τότε f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x). Αυτό δείχνει ότι η αναζήτηση για y ~ θα γίνει από y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Άγνωστα Θα αναζητήσουμε τους συντελεστές Α και Β από μια ισότητα της μορφής y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Ας μεταμορφώσουμε:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Τότε είναι ξεκάθαρο ότι

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)

Είναι απαραίτητο να εξισωθούν οι συντελεστές ημιτόνων και συνημιτόνων. Παίρνουμε ένα σύστημα της μορφής:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Έπεται ότι y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.

Απάντηση:θεωρείται η γενική λύση του αρχικού LDDE δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Όταν f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), τότε y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ. Έχουμε ότι r είναι ο αριθμός των μιγαδικών συζυγών ζευγών ριζών που σχετίζονται με τη χαρακτηριστική εξίσωση, ίσος με α ± i β, όπου P n (x), Q k (x), L m (x) και Nm(x)είναι πολυώνυμα βαθμού n, k, m, m, όπου m = m a x (n, k). Εύρεση συντελεστών Lm(x)Και Nm(x)γίνεται με βάση την ισότητα y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Παράδειγμα 4

Να βρείτε τη γενική λύση y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Λύση

Σύμφωνα με την προϋπόθεση είναι σαφές ότι

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

Τότε m = m a x (n, k) = 1. Βρίσκουμε το y 0 γράφοντας πρώτα μια χαρακτηριστική εξίσωση της μορφής:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 , k 2 = 3 + 1 2 = 2

Βρήκαμε ότι οι ρίζες είναι πραγματικές και διακριτές. Επομένως y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. Στη συνέχεια, είναι απαραίτητο να αναζητήσουμε μια γενική λύση που βασίζεται στην ανομοιογενή εξίσωση y ~ της μορφής

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

Είναι γνωστό ότι τα Α, Β, Γ είναι συντελεστές, r = 0, γιατί δεν υπάρχει ζεύγος συζυγών ριζών που να σχετίζονται με τη χαρακτηριστική εξίσωση με α ± i β = 3 ± 5 · i. Βρίσκουμε αυτούς τους συντελεστές από την ισότητα που προκύπτει:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + Δ) αμαρτία (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) αμαρτία (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Εύρεση της παραγώγου και παρόμοιους όρουςδίνει

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · αμαρτία (5 x) + 45 · αμαρτία (5 x ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))

Αφού εξισώσουμε τους συντελεστές, παίρνουμε ένα σύστημα της μορφής

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Από όλα προκύπτει ότι

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) αμαρτία (5 x))

Απάντηση:Τώρα έχουμε λάβει μια γενική λύση στη δεδομένη γραμμική εξίσωση:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) αμαρτία (5 x))

Αλγόριθμος επίλυσης LDNU

Ορισμός 1

Οποιοσδήποτε άλλος τύπος συνάρτησης f (x) για λύση απαιτεί συμμόρφωση με τον αλγόριθμο λύσης:

βρίσκοντας μια γενική λύση στην αντίστοιχη γραμμική ομοιογενή εξίσωση, όπου y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, όπου y 1Και y 2είναι γραμμικά ανεξάρτητες μερικές λύσεις του LODE, Γ 1Και Γ 2θεωρούνται αυθαίρετες σταθερές.
υιοθέτηση ως γενική λύση του LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
προσδιορισμός παραγώγων μιας συνάρτησης μέσω συστήματος της μορφής C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " (x ) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , και εύρεση συναρτήσεων C 1 (x)και C 2 (x) μέσω ολοκλήρωσης.

Παράδειγμα 5

Βρείτε τη γενική λύση για το y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x.

Λύση

Προχωράμε στη σύνταξη της χαρακτηριστικής εξίσωσης, έχοντας προηγουμένως γράψει y 0, y "" + 36 y = 0. Ας γράψουμε και ας λύσουμε:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = αμαρτία (6 x)

Έχουμε ότι η γενική λύση της δεδομένης εξίσωσης θα γραφεί ως y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Είναι απαραίτητο να προχωρήσουμε στον ορισμό των παραγώγων συναρτήσεων C 1 (x)Και C2(x)σύμφωνα με ένα σύστημα με εξισώσεις:

C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 αμαρτία (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Πρέπει να ληφθεί απόφαση σχετικά C 1" (x)Και C 2" (x)χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε μέθοδο. Στη συνέχεια γράφουμε:

C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2" (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Κάθε μία από τις εξισώσεις πρέπει να ενσωματωθεί. Στη συνέχεια γράφουμε τις εξισώσεις που προκύπτουν:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x αμαρτία (6 x) + C 4

Από αυτό προκύπτει ότι η γενική λύση θα έχει τη μορφή:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 αμαρτία (6 x)

Απάντηση: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Στη διάλεξη μελετώνται LNDEs - γραμμικές ανομοιογενείς διαφορικές εξισώσεις. Εξετάζεται η δομή της γενικής λύσης, η λύση της LPDE με τη μέθοδο της μεταβολής αυθαίρετων σταθερών, η λύση της LDDE με σταθερούς συντελεστές και η δεξιά πλευρά ειδικού τύπου. Τα θέματα που εξετάζονται χρησιμοποιούνται στη μελέτη των εξαναγκασμένων ταλαντώσεων στη φυσική, την ηλεκτρολογία και την ηλεκτρονική και τη θεωρία του αυτόματου ελέγχου.

1. Δομή της γενικής λύσης γραμμικής ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης 2ης τάξης.

Ας εξετάσουμε πρώτα μια γραμμική ανομοιογενή εξίσωση αυθαίρετης τάξης:

Λαμβάνοντας υπόψη τη σημειογραφία, μπορούμε να γράψουμε:

Σε αυτή την περίπτωση, θα υποθέσουμε ότι οι συντελεστές και η δεξιά πλευρά αυτής της εξίσωσης είναι συνεχείς σε ένα συγκεκριμένο διάστημα.

Θεώρημα. Η γενική λύση μιας γραμμικής ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης σε ένα ορισμένο πεδίο ορίζεται το άθροισμα οποιασδήποτε από τις λύσεις της και η γενική λύση της αντίστοιχης γραμμικής ομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης.

Απόδειξη.Έστω Y κάποια λύση σε μια ανομοιογενή εξίσωση.

Στη συνέχεια, όταν αντικαθιστούμε αυτή τη λύση στην αρχική εξίσωση, λαμβάνουμε την ταυτότητα:

Αφήνω
- θεμελιώδες σύστημαλύσεις γραμμικής ομογενούς εξίσωσης
. Τότε η γενική λύση της ομογενούς εξίσωσης μπορεί να γραφτεί ως:

Ειδικότερα, για μια γραμμική ανομοιογενή διαφορική εξίσωση 2ης τάξης, η δομή της γενικής λύσης έχει τη μορφή:

Οπου
είναι το θεμελιώδες σύστημα λύσεων στην αντίστοιχη ομοιογενή εξίσωση, και
- κάθε συγκεκριμένη λύση ανομοιογενούς εξίσωσης.

Έτσι, για να λυθεί μια γραμμική ανομοιογενής διαφορική εξίσωση, είναι απαραίτητο να βρεθεί μια γενική λύση στην αντίστοιχη ομοιογενή εξίσωση και με κάποιο τρόπο να βρεθεί μια συγκεκριμένη λύση στην ανομοιογενή εξίσωση. Συνήθως βρίσκεται με επιλογή. Θα εξετάσουμε μεθόδους για την επιλογή μιας ιδιωτικής λύσης στις ακόλουθες ερωτήσεις.

2. Μέθοδος παραλλαγής

Στην πράξη, είναι βολικό να χρησιμοποιείται η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών.

Για να το κάνετε αυτό, βρείτε πρώτα μια γενική λύση στην αντίστοιχη ομοιογενή εξίσωση με τη μορφή:

Στη συνέχεια, βάζοντας τους συντελεστές ντο Εγώλειτουργίες από Χ, αναζητείται λύση στην ανομοιογενή εξίσωση:

Μπορεί να αποδειχθεί ότι για να βρείτε συναρτήσεις ντο Εγώ (Χ) πρέπει να λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων:

Παράδειγμα.Λύστε την εξίσωση

Επίλυση γραμμικής ομογενούς εξίσωσης

Η λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης θα έχει τη μορφή:

Ας δημιουργήσουμε ένα σύστημα εξισώσεων:

Ας λύσουμε αυτό το σύστημα:

Από τη σχέση βρίσκουμε τη συνάρτηση Ω).

Τώρα βρίσκουμε Β(χ).

Αντικαθιστούμε τις λαμβανόμενες τιμές στον τύπο για τη γενική λύση της ανομοιογενούς εξίσωσης:

Τελική απάντηση:

Σε γενικές γραμμές, η μέθοδος μεταβολής αυθαίρετων σταθερών είναι κατάλληλη για την εύρεση λύσεων σε οποιαδήποτε γραμμική ανομοιογενή εξίσωση. Αλλά επειδή Η εύρεση του θεμελιώδους συστήματος λύσεων στην αντίστοιχη ομοιογενή εξίσωση μπορεί να είναι αρκετά δύσκολη υπόθεση· αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται κυρίως για ανομοιογενείς εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές.

3. Εξισώσεις με τη δεξιά πλευρά ειδικής φόρμας

Φαίνεται δυνατό να φανταστούμε τον τύπο μιας συγκεκριμένης λύσης ανάλογα με τον τύπο της δεξιάς πλευράς της ανομοιογενούς εξίσωσης.

Διακρίνονται οι εξής περιπτώσεις:

I. Η δεξιά πλευρά της γραμμικής ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης έχει τη μορφή:

όπου είναι ένα πολυώνυμο βαθμού Μ.

Στη συνέχεια αναζητείται μια συγκεκριμένη λύση με τη μορφή:

Εδώ Q(Χ) - πολυώνυμο του ίδιου βαθμού με Π(Χ) , αλλά με απροσδιόριστους συντελεστές, και r– αριθμός που δείχνει πόσες φορές ο αριθμός  είναι η ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης για την αντίστοιχη γραμμική ομοιογενή διαφορική εξίσωση.

Παράδειγμα.Λύστε την εξίσωση
.

Ας λύσουμε την αντίστοιχη ομοιογενή εξίσωση:

Τώρα ας βρούμε μια συγκεκριμένη λύση στην αρχική ανομοιογενή εξίσωση.

Ας συγκρίνουμε τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης με τη μορφή της δεξιάς πλευράς που συζητήθηκε παραπάνω.

Αναζητούμε μια συγκεκριμένη λύση με τη μορφή:
, Οπου

Εκείνοι.

Τώρα ας προσδιορίσουμε τους άγνωστους συντελεστές ΕΝΑΚαι ΣΕ.

Ας αντικαταστήσουμε τη συγκεκριμένη λύση σε γενική μορφή στην αρχική ανομοιογενή διαφορική εξίσωση.

Συνολική, ιδιωτική λύση:

Τότε η γενική λύση μιας γραμμικής ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης είναι:

II. Η δεξιά πλευρά της γραμμικής ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης έχει τη μορφή:

Εδώ R 1 (Χ)Και R 2 (Χ)– πολυώνυμα βαθμού Μ 1 και Μ 2 αντίστοιχα.

Τότε μια συγκεκριμένη λύση στην ανομοιογενή εξίσωση θα έχει τη μορφή:

που είναι ο αριθμός rδείχνει πόσες φορές ένας αριθμός
είναι η ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης για την αντίστοιχη ομοιογενή εξίσωση, και Q 1 (Χ) Και Q 2 (Χ) – πολυώνυμα βαθμού όχι μεγαλύτερου από Μ, Οπου Μ- το μεγαλύτερο από τα πτυχία Μ 1 Και Μ 2 .

Συνοπτικός πίνακας τύπων ιδιωτικών λύσεων

για διαφορετικούς τύπους δεξιών πλευρών

Δεξιά πλευρά της διαφορικής εξίσωσης	χαρακτηριστική εξίσωση	Τύποι ιδιωτικών
	1. Ο αριθμός δεν είναι η ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης
	2. Ο αριθμός είναι η ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης της πολλαπλότητας
	1. Αριθμός δεν είναι ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης
	2. Αριθμός είναι η ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης της πολλαπλότητας
	1. Αριθμοί
	2. Αριθμοί είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης της πολλαπλότητας
	1. Αριθμοί δεν είναι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης πολλαπλότητας
	2. Αριθμοί είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης της πολλαπλότητας

Σημειώστε ότι εάν η δεξιά πλευρά της εξίσωσης είναι ένας συνδυασμός παραστάσεων του τύπου που εξετάστηκε παραπάνω, τότε η λύση βρίσκεται ως συνδυασμός λύσεων σε βοηθητικές εξισώσεις, καθεμία από τις οποίες έχει μια δεξιά πλευρά που αντιστοιχεί στην έκφραση που περιλαμβάνεται στον συνδυασμό.

Εκείνοι. αν η εξίσωση είναι:
, τότε μια συγκεκριμένη λύση σε αυτήν την εξίσωση θα είναι
Οπου στο 1 Και στο 2 – ειδικές λύσεις βοηθητικών εξισώσεων